在第一种情况下，不同流动性提供者持有的总波动率与在后者中交易市场投资组合的独特流动性提供者持有的总波动率存在差异，这表明交易成本存在潜在的显著差异，因此( 1） η的值。w> 6=0。Υ市场，Υ（x=w）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ η· , （36）Υ或，Υ（x=w⊥) = 1+θ·TXt=1βtαt- 1.（37）然后，在x=wor x=w时获得最大和最小成本比⊥取决于的符号.maxx公司∈RN{Υ（x）}=（Υmarketif ≥ 0Υ或IF ≤ 0，（38）minx∈RN{Υ（x）}=（Υ或如果 ≥ 0Υ市场 ≤ 0。（39）特别是对于固定的（η，α，···，αT，β，··，βT），存在θ*∈ [0，1]这样 ≥ 如果θ为0≤ θ*和 ≤ 如果θ为0≥ θ*. （40）类似地，对于固定（θ，α，···，αT，β，···，βT），存在η*∈ [θ1-θ, ∞] 因此 ≤ 0如果η≤ η*和 ≥ 0如果η≥ η*. （41）该备注确定了哪些投资组合分别产生了最大和最小的成本比率。很明显，成本比在x=wand x=w时具有极值⊥, i、 e.当xis与市场投资组合w最为一致且最不一致时，从（30）和（23）中，我们得到，在这两种极端情况下，可分离的最优计划由以下公式给出：vsept=（αt·（1- θ） +βt·θ）·x和v*t型=αt·1.-η1+η+ βt·η1+η· xif x=w，αt·xif x=w⊥.当x=w时，优化计划对指数基金流动性供给强度βt的敏感性为η1+η，而可分离执行的敏感性为θ。如果θ>η1+η，可分离性执行将在上午交易超过最佳值，在一天结束时交易低于最佳值；如果θ<η1+η，则相反。我们可以预期，可分离执行的次优性大致可以与θ -η1+η. 类似的论点表明，当x=w时，次优差距⊥大致比例如（θ- 0).

比较θ -η1+η和θasproxies分别表示Υmarkets和Υorth，得出备注1的结论。交易市场投资组合时的绩效影响。接下来，我们将Υmarket描述为参数η的函数。备注2（Υ市场特征）。对于固定值（θ，α，···，αT，β，···，βT），作为η的函数，如果η≤θ1 - θ、 如果η≥θ1 - θ. （42）对于η的特定值，Υ市场（η=0）=1+θ·TXt=1βtαt- 1.（43）Υ市场η=θ1 - θ= 1，（44）limη→∞Υ市场（η）=1+（1- θ） ·TXt=1αtβt- 1.（45）它预测，Υmarket随着η的变化先减小后增大。这可以类似地理解为备注1：只有当η=θ1时，可分离执行才能正确反应indexfund投资者提供的流动性-θ、 当η偏离θ1时，反应过度或反应不足-θ.图5：根据§5.1中的θ、α、··、αT、β、··、β值，成本比Υ相对于η的可能范围。当交易市场投资组合时，耦合执行可以节省多达6.2%。我们对指数基金流动性份额的估计，θ=。21，表示θ/（1）的阈值- θ) ≈ .27、尽管η的价值在我们的上下文中是不可识别的，但人们预计η的价值会适度大（参见脚注4），并且优化组合的耦合执行而非分离执行的实现收益会接近（45）中的上限。

对于§5.1中测试的参数θ，α，···，αT，β，···，β，以及图5所示的η的函数，该上界等于6.2%。也就是说，在我们程式化的订单流生成模型的假设下，通过优化耦合正在清算的各种订单的执行时间表，利用投资组合流动性提供带来的好处，并结合交叉影响现象，可以将执行成本比类似“VWAP”的执行减少6.2%。清算单个订单。最后，我们将结果专门用于以下情况：要清算的目标portfolioto是单个证券上的订单。备注3（个别订单）。当交易一只股票时，Υ（x=ei）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+η1，i1+η- η1，i·, （46）式中，η1，i，w1i·'ψf，1'ψid，i。我们可以进一步确定产生最大成本比的库存：argmaxi=1，···，N{（x=ei）}=argmaxi=1，···，Nw1i？ψid，i如果 ≥ 0argmini=1，···，Nw1i？ψid，i如果 ≤ 0.（47）在这里，我们比较了通过“VWAPlike”执行方式清算单个订单与通过优化的时间表进行清算的绩效影响，该时间表可能会在当天早些时候增加头寸，以便在当天晚些时候以指数基金投资者提供的流动性受益的方式解除剩余投资组合。分数w1i/(R)ψid决定了哪种证券的交易成本最高，并取决于指数基金投资组合中证券的市场权重以及其自身单一股票投资者提供的流动性。假设对于θ的估计值，η非常大( ≥ 0），（47）表明，当交易市场权重较大的证券时，优化的执行时间表可能最为特殊。6.

结语在结语中，我们简要回顾了跨证券市场影响模型的易处理估计程序，并讨论了投资组合执行算法的一些实际考虑因素。6.1. 交叉资产市场影响的估计由于未知系数矩阵的高维性（本例中为N×N），以及基础数据往往非常嘈杂，因此很难建立一个明确测量任何证券对i，j的影响系数的交叉证券影响模型。在本小节中，我们勾画了一个程序，该程序将采用大量专有投资组合交易作为输入，并利用前两节中假设的成本模型的结构，以有效估计具有K+1自由参数的影响成本模型，其中K是投资组合投资者提供流动性的指数基金数量。数据集：我们假设给定的数据包含一组元组（▄vdt，▄rdt，▄Wd），其中▄vdt∈ Rn是在d天的时间间隔t内执行的投资组合向量，以名义美元金额表示；(R)rdt∈ Rn是在d天的时间间隔t开始时，与到达价格向量相关的投资组合VDT执行过程中产生的名义加权执行差额；和▄Wd∈ RN×Kare d日K指数基金的美元加权向量。总之，可以访问已实现的投资组合执行情况、其已实现的不足，以及有关流行指数基金（如市场和部门投资组合）的预览权重向量的参考信息。§3中的推导预测了执行数量▄VD和实现短缺▄rdt之间的以下关系：▄rdt=ψid，dt+~Wd▄f，dt▄W>d-1vdt+dt，（48）其中重新标度的流动性矩阵由▄ψid，dt=diag（▄ψid，1dt，…，▄ψid，Ndt）和▄ψf，dt=diag（▄ψf，1dt…，▄ψf，Kdt）给出。

最后，噪声项的日内协方差矩阵isb∑dt，Cov[dt]。流动性变量——或供给函数——ψid，idt（或ψf，kdt）表示单个股票投资者（或指数基金投资者）在股票或指数价格变动时将提供的股票i（或指数基金k）的名义数量。流动性变量ψ反映了（i）我们正在执行的每个时期的投资者数量或参与强度，以及（ii）他们对价格变动的敏感性。第一个因素大致与交易量成比例，而第二个因素的变化方式取决于基础证券或指数的波动率，具体而言，可以想象它与波动率本身成反比。我们将使用以下简化形式参数化|ψid，idt和|ψf，kdt，idt=γid·[DVolidtbσidt，|ψf，kdt=γf，k·[DVolf，kdtbσf，kdt，（49），其中【DVolidtandbσi表示预测交易量和股票在时间t的d天的预测波动率，γid，γf，1，···，γf，kar是后继中要估计的未知参数。我们选择了一个简单的参数化，其中所有单一股票条款|ψid，idt共享相同的系数γid，该系数被认为反映了所有单一股票投资者的一些不变特征。在与|ψid，idt类似的|ψf，kdtis的参数化。作为[DVolf]的代理，kdtone可以使用相关ETF的区间交易量、成分股基础交易量的加权和，或指数方向上的日内市场交易量预测。本节中，我们使用的是已实现的短缺（回报）rdt，而不是绝对价格变化pdt和名义交易向量vdt代替股票数量vdt。类似地，我们使用美元加权向量wk代替股票加权向量wk。

在重新调整流动性参数|ψidan和|ψf的情况下，价格影响模型的结构保持不变。见附录A。我们选择使用预测值预测交易量和波动率；另一种选择是在执行间隔期间使用已实现的值。在使用市场影响模型预测未来执行的成本时，必须使用预测数量；e、 例如，可以使用过去30个交易日的平均交易量或已实现的波动率，可能需要对异常值进行一些处理。这种参数化的|ψid，idtis与估计市场影响模型的大多数文献一致；e、 假设只有单一股票自然流动性提供者，我们可以恢复一个常见的成本模型，其形式为（1/γid）bσidt（（执行数量）/[DVolidt）；cf.，Almgren et al.（2005））。权重向量。我们允许每个指数基金的不同系数γf，kf，k；更为简约的参数化将考虑所有k=1，…，k的共同系数γffo。在这个参数化下，（48）减少到'rdt='Gdt（γid，γf，1:k）-1vdt+dt，（50）其中系数矩阵Gdt的形式为Gdt（γid，γf，1:K），γid·Did，dt+Wd·Df，dt·W>d，（51）andDid，dt=diagNi=1[DVolidtbσidt！和Df，dt=diagKk=1γf，K·[DVolf，kdtbσf，kdt！。给定（50）-（51）和观察值（vdt，rdt，Wd），可以选择γid，γf，1，··············γf，kt，以最好地解释已实现的执行成本。

假设错误项由已知协方差矩阵x∑dt的多元正态分布得出，对数似然isL（γid，γf，1:K）=-DXd=1文本=1(R)rdt-~Gdt（γid，γf，1:K）-1vdt>b∑-1吨(R)rdt-~Gdt（γid，γf，1:K）-1vdt.可以估计参数γid，γf，1，···，γf，kc，以最大化对数似然L（·）（MLE）。极大似然估计是一个非线性、低维的优化问题；在它的实现中，再次利用Woodbury矩阵恒等式计算▄G是有用的-1dt，因为这可以通过反转K×K矩阵而不是较大的N×N矩阵来实现。给定γid，γf，1，···，γf，K的估计值，可以在风险中性成本最小化问题（16）中使用相应的简化影响成本模型来计算最优交易计划，或等效地插入（18）中的解。6.2. 跨越约束的投资组合执行算法。用于清算投资组合的交易执行算法可能会施加额外的约束，从侧面约束开始，强制清算计划只执行目标清算投资组合中包含的证券，并且只按照母订单本身的方向进行交易，即只出售作为“卖出”订单提交的证券中的股票，对于“购买”订单，反之亦然。例如，当投资者在所谓的“代理”基础上将投资组合的执行委托给经纪人-交易商，经纪人代表其客户执行订单时，就会强制执行此类附带约束。

也可以在资产管理中实施这些方法。另一种方法是使用具有适当异方差性质校正的非线性回归程序。投资组合构建和交易执行被视为独立职能的清算公司，执行交易员没有偏离目标清算投资组合的自由裁量权。§4-§5没有施加这些场外交易限制，而衍生的最优时间表可能违反这些限制，例如，选择交易targetliquidation投资组合x中的证券以外的证券，以便在一天结束时剩余清算投资组合可以利用（更便宜的）投资组合自然流动性。类似地，如果在一天结束时清算剩余投资组合会有好处的话，最佳时间表可以选择在一天的早些时候增加现有订单的规模（而不是开始清算）。受限投资组合清算问题在性质上与前一节中研究的问题相似，且（数值）优化的时间表将继续纳入并利用交叉影响和自然投资组合流动性提供的影响。一个例外是当清算单个母公司订单时，在这种情况下，这些交叉影响和投资组合流动性因素在这种受限公式中并不相关。影响成本模型的功能形式。在§3中，我们做出了两个假设：a）自然流动性的供应量与价格错位成线性比例；b）价格影响是暂时的。这两个假设使我们能够进行直观、封闭式的分析，并对风险中性清算人的最佳交易安排结构提出见解。

然而，我们分析的关键结构性发现仍然有效，即使我们考虑了导致次线性影响的流动性供给模型或合并了冲击衰减的模型。参考V。Agarwal、P.Hanouna、R.Moussawi和C.W.Stahel。ETF是否增加了标的股票流动性的共性？2018年第28届金融经济与会计年会。A、 阿方西、A.福鲁斯和A.希德。具有一般形状函数的极限订单书的最优执行策略。《定量金融》，2010年10:143–157。R、 阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。《应用数学金融》，2003年10:1-18。R、 阿尔姆格伦和N.克里斯。投资组合交易的最优控制。《风险杂志》，3:5–392000年。在一个所有流动性都由单一股票投资者提供的市场中，最佳时间表决不会选择在清算组合中的证券范围之外进行交易，也不会选择违背各自母公司指令的方向进行交易。在实践中，清算问题可能会施加额外的交易约束，例如执行速度上限、（线性）风险约束等。此外，清算人可能会在其目标函数中加入风险项，或添加风险预算约束。由此产生的问题仍然是一个具有类似结构性质的凸二次规划。R、 Almgren、C.Thum、E.Hauptmann和H.Li。直接估计股票市场影响。风险，18（7）：58–622005。一、 Ben David、F.A.Franzoni和R.Moussawi。交易所交易基金。《金融经济学年鉴》，2017年9:169–189。M、 Benzaquen、I.Mastromatteo、Z.Eisler和J-P.Bouchaud。剖析股票市场的交叉影响：一项实证分析。工作文件，2016年。D、 Bertsimas和A.W.Lo。执行成本的最优控制。

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当α=β=1时，通过Woodbury恒等式我们得到=ψid+WψfW>-1= Ψ-1id- Ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id。因此，W>GW=W>ψ-1idW- W> ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idW=W> ψ-1idW-1+ψf-1、接下来，我们将α和β的影响合并如下：W>GW=α ·W> ψ-1idW-1+β·ψf-1.-→ Ψ-1fasα→ 0和β→ 1、因此，对于任何u∈ RK，limα→0,β→1’’C（v=Wu）=limα→0,β→1u>W>GWu=u>ψ-1件。接下来我们考虑当v/∈ 跨度（w，···，wK）。对于某些e，设v=Wu+e∈ R使W>e=0，e 6=0。使用Woodbury矩阵恒等式，G=α-1· Ψ-1id- α-1· Ψ-1idWαβΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id。因此，limα→0,β→1{α·G}=ψ-1id- Ψ-1idWW> ψ-1idW-1W>ψ-1id。带r，ψ-1/2ide和A，ψ-1/2idW，e>Ψ-1id- Ψ-1idWW> ψ-1idW-1W>ψ-1ide=r>r- r> AA> A-1A>r。请注意A> A-1A>r是r在a（用span（a）表示）所跨越的空间上的投影。因此，limα→0,β→1.α·e>Ge= 0当且仅当r∈ 跨度（A）。如果r∈ 跨度（A）：即，对于某些s，r=As∈ RK，e=ψ1/2idr=ψ1/2idψ-1/2idWs=Ws，因此v∈ 跨度（W）。因为我们假设v/∈ span（W），我们有r/∈ span（A），因此Limα→0,β→1.α·e>Ge> 此外，GW=α-1· Ψ-1idW- α-1· Ψ-1idWαβΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idW=α-1· Ψ-1idWIK-αβW> ψ-1idW-1Ψ-1f+IK-1!| {z}-→O作为α→因此，limα→0,β→1.α·e>GWu= 总结一下，limα→0,β→1.uW>GWu= u> ψ-1fu，limα→0,β→1nα·（Wu+e）>G（Wu+e）o=limα→0,β→1.α·uW>GWu+ limα→0,β→1.α·2e>GWu+ limα→0,β→1.α·e>Ge= 0+0+limα→0,β→1.α·e>Ge> 0。（54）由此得出limα→0,β→1n（Wu+e）>G（Wu+e）o=∞. B、 2。

命题4的证明请注意W′ψfW>’ψ-1id- W？ψfW>？ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=W？ψf·Ψ-1f+W>ψ-1idW·Ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id-W？ψf·W>？ψ-1idW·Ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=W？ψf·Ψ-1f+W>ψ-1idW- W> (R)ψ-1idW·Ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=WΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id。再次使用Woodbury矩阵恒等式，G-1tTXs=1G-1s！-1=αt′ψid+βtW′ψfW>ψid+WψfW>-1=αt′ψid+βtW′ψfW>Ψ-1id-Ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id= α-锡- αtWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id+βtW？ψfW>？ψ-1id- βtW？ψfW>？ψ-1idWΨ-1id+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=αtIN+（βt- αt）WΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id{z}，bW>。B、 3。§5中使用的简单订单流生成模型我们首先通过引入交易量的随机过程生成模型，在自然流动性的日内变化和最终交易量的日内变化之间建立明确的关系。其根本动机很简单，但也很直观：单一股票和指数基金投资者对他们希望交易的证券产生（随机）订单流。每一时间段内每种类型投资者的订单流到达强度与该投资者类型在此时间段内提供的相应交易活动或流动性成比例。这分别由α和βt曲线得出。具体而言，我们假设股票i在时间间隔t，DVolidt，d天的名义交易量由单一股票投资者Qid，idd和马德比指数基金投资者Qf，dt的订单流比例构成w1i |表示指数基金中股票i的美元加权所有权，因此，交易一美元数量的指数基金会将名义交易量的| w1i |美元数量累积到股票i上。

每个订单流自然可以分解为小交易。DVolidt=Qid，idt+|w1i | Qf，dt=Nid，idtXj=1qid，idt（j）+| w1i | Nf，dtXj=1qf，dt（j），（55），其中Nid，idtand Qid，idt（j）代表交易的数量和单个股票投资者在时间间隔t的第d天进行的交易的绝对规模。Nf，dt和Qf，dt（j）的定义类似。我们将Nid、idt、Nf、dt、qid、idt（j）和qf、dt（j）视为遵循特定分布假设的随机变量。假设这两类投资者的订单到达过程为泊松分布，且随时间变化的速率与α和βt.Nid，idt成正比~ 泊松（αt∧）和Nf，dt~ 泊松（βt∧）。（56）我们进一步假设，单个订单量qid，idt（j）’s（和qf，dt（j）’s）都是独立的，并且在以下力矩条件下均匀分布。E【qid，idt（j）】qid，i，Var【qid，idt（j）】=cv························································。在上述假设下，单一股票投资者的指令流Qid，idt是一个具有以下均值和方差的复合泊松过程：E【Qid，idt】=E【Nid，idt】·E【Qid，idt（j）】=αt·λ··'Qid，i（58）Var【Qid，idt】=E【Var（Qid，idt'Nid，idt）】+Var【E（Qid，idt'Nid，idt）】（59）=ENid、idt、cv、qid、i+ Var【Nid，idt·'qid，i】（60）=αt∧·（cv+1）·'qid，i.（61）Qf，dt的均值和方差可以用类似的方式表示。对每种证券的这些流量求和，我们得到：e【DVolidt】=αt·∧·qid，i+βt·∧··················································qf（63）Cov【DVolidt w1i | | | | w1j |·（1+cv）·qf。

（64）指数基金投资者制定的共同指令流Qf与指数中的股票呈现正相关。定义θito是指数基金投资者产生的日交易量占股票i总日交易量的比例。θi，PTt=1E[| | w1i |·Qf，dt]PTt=1E[DVolidt]=| | w1i |·Qf | qid，i+| | w1i |·Qf。（65）在（1）和（2）中定义的日内交易量收益率和成对相关系数可以简单地用θi和θj.VolAllocit表示≡E【DVolidt】PTs=1E【DVolids】=αt·（1- θi）+βt·θi（66）相关≡Cov【DVolidt，DVoljdt】pVar【DVolidt】·pVar【DVoljdt】（67）=βt·θi·θjpαt·（1- θi）+βt·θi·qαt·（1- θj）+βt·θj（68），如果我们进一步假设θ在所有证券中的比例相同，θ≡ θ=θ=···=θN，（69）那么所有股票i的VolAllocitis是相同的，而所有股票i，j对的correlijt是相同的，如（28）-（29）所示。B、 4。§5.2B的证明。4.1.

命题5的证明注意，Υ（x）=PTt=1（αt·（1- θ） +βt·θ）·x>αt′ψid+βtW′ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x=TXt=1αt·（1+θ·（γt- 1） ）·x>ψid+γtW？ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x。根据Woodbury的矩阵恒等式，x>ψid+γtW？ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x=x>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWγ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idxx>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1IDC-x> (R)ψ-1idWγ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1IDCx> (R)ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+x>(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1.-γ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1.W> (R)ψ-1idxx>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+x>(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1·γ-1吨- 1.Ψ-1f层·γ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idxx>ψid+WψfW>-1x=1+（1- γt）·x>ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1.IK+γtW>(R)ψ-1idW？ψf-1W>ψ-1idxx>ψid+WψfW>-1x。仅限于K=1的情况，IK+γtW>(R)ψ-1idW？ψf-1=1+γtw>(R)ψ-1idw？ψf，1-1=1+γt·η。因此，x>ψid+γtW？ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x=1+1- γt1+η·γt·x>(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idxx>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+1- γt1+η·γt·x>(R)ψ-1idxx>ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1IDC- 1.-1= 1 +1 - γt1+η·γt·x> (R)ψ-1idxx>ψ-1idw·'ψf，11+'ψf，1w>'ψ-1idw·w>ψ-1IDC- 1.-1= 1 +1 - γt1+η·γt·x>(R)ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC·1+η′ψf，1- 1.-1、为了简化符号，定义（x），x>ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC·1+η′ψf，1- 1.-那么，Υ（x）=TXt=1αt·（1+θ·（γt- 1))·1 +1 - γt1+η·γt·f（x）.注意TXT=1αt·（1+θ·（γt- 1） ）=TXt=1αt·（1+2θ·（γt- 1） +θ·（γt- 2γt+1））=TXt=1αt+2θ·（βt- αt）+θ·βtαt- 2βt+αt= 1+θ·TXt=1βtαt- 1.因此，Υ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）1+η·γt！|{z}，×f（x）。B、 5。备注证明1-3最大/最小成本比。

注意，f（x）是x>ψ的递减函数-1idx（w>ψ）-1idx）和minx∈RNx>ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC=maxx公司∈注册护士w> (R)ψ-1IDCx> (R)ψ-1IDC！-1=maxy公司∈注册护士w> (R)ψ-1/2天y> y型-1=w> (R)ψ-1idw-1=(R)ψf，1η。上述值是在x=w时获得的。因此，maxx∈RNf（x）=f（x=w）=ψf，1η·1+ηψf，1- 1.-1= η.另一方面，因为minx∈RN（w）>ψ-1idx）x>(R)ψ-x=w时1idx=0⊥,minx公司∈RNf（x）=f（x=w⊥) = 结合这两个结果，我们得到了∈RNΥ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ maxx公司∈注册护士{ · f（x）}=最大{市场，或}最小∈RNΥ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ minx公司∈注册护士{ · f（x）}=最小{市场，或}，以及平凡的{市场≥ Υ或仅当且仅当 ≥ 0、签名 关于θ。请注意（θ） 是θ的二次函数。必须证明(θ = 0) ≥ 0和(θ = 1) ≤ 注意，对于任意函数h（·），（如果h（·）是非递减的，则h（γ）·（1- γ) ≤ h（1）·（1）- γ), γ如果h（·）不增加，则h（γ）·（1- γ) ≥ h（1）·（1）- γ), γ. （70）在θ=0的情况下，通过设置h（γt），1+η·γt，这是一个非递增函数，我们可以证明（θ=0）=TXt=1αt·（1- γt）1+η·γt（70）≥TXt=1αt·（1- γt）1+η=（1+η）-1TXt=1（αt- βt）=0。在θ=1的情况下，通过设置h（γt），γt1+η·γt，这是一个非递减函数，（θ=1）=TXt=1αt·γt（1- γt）1+η·γt（70）≤TXt=1αt·（1- γt）1+η=0。Υ市场相对于η的变化。请注意Υ市场η=η(η· (η))=ηTXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）η-1+γt=TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）η·（η-1+γt）=θη·TXt=1αt·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+γt(1 - γt）。设置h（γt），1 +θ-1.-1.-η-1η-1+γt. 如果η≤θ1-θ、 然后θ-1.- 1.- η-1.≤ 0，因此h（·）是非递减的。因此Υ市场η=θη·TXt=1αt·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+γt(1 - γt）（70）≤θη·TXt=1αt·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+ 1(1 - γt）=θη·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+ 1·TXt=1αt（1- γt）=θη·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+ 1·TXt=1（αt- βt）=0。如果η≥θ1-θ、 那么h（·）是非递增的，因此不等式的符号颠倒了。

因此Υ市场η≤ 0如果η≤θ1 - θ、 以及Υ市场η≥ 0如果η≥θ1 - θ.当η=0时，Υ市场（η=0）=1+θ·TXt=1βtαt- 1.注意，Υ市场（η=0）=Υ或。由于Υ市场（η）在[0，θ1]中下降-θ] ，这就完成了（41）的证明。当η=θ1时-θ、 自（1）起-θ+θ·γt）1+η·γt=（1- θ) · (1 - θ+θ·γt），Υ市场（η=θ1- θ） =1+θ·TXt=1βtαt- 1!+θ1 - θ· (1 - θ） ·TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）=1+θ·TXt=1βtαt- 1.- θ·TXt=1βtαt- 1!= 1、Asη→ ∞,limη→∞Υ市场=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ limη→∞(η· （η） ）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）γt=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ (1 - θ） ·TXt=1αtβt！- 1 + 2θ - θ·TXt=1βtαt！=1 + (1 - θ） ·TXt=1αtβt- 1.单个股票交易的成本比率。注意f（ei）=e>i？ψ-1idei公司w> (R)ψ-1idei公司·1+η′ψf，1- 1.-1=ψ-1id，iw1i·′ψ-1id，i·1+η′ψf，1- 1.-1=1+ηη1，i- 1.-1=η1，i1+η- η1，i。还应注意η1，i1+η- η1，i≥η1，j1+η- η1，jif，仅当w1i？ψid，i≥w1j′ψid，j。然后，结果立即来自（34）。