λ=1000和θ=0.01，这使得年化波动率约为0.04+1000（0.01）≈ 0.37.选择这些λ的原因是为了研究跳跃强度水平对估计器性能的影响程度，同时相应地选择θ，以便年化波动率是合理的。我们假设一年有252个交易日，每天有6.5个交易小时。我们关注5分钟数据，这是文献中的标准数据，以避免微观结构噪声影响。此外，数据长度设置为1个月（21个交易日）、3个月（63个交易日）和1/2年。5.1不同阈值的比较我们现在开始研究第4节中介绍的不同“最佳”阈值近似方法如何影响跳跃错误分类的数量。

在表1中，我们报告了与四种阈值近似方法Bc1、Bc2、BN1和Bn2以及Obs相对应的跳跃错误分类的平均总数/Hrρλsd（f）(R)Lc1'Lc2'Ln1'Ln2'L*221 12 0 50 0.03 0.848 0.864 0.835 0.795 0.67821 12 -0.5 50 0.03 0.844 0.884 0.856 0.829 0.69021 12 0 100 0.03 1.669 1.591 1.623 1.382 1.25921 12 -0.5 100 0.03 1.628 1.643 1.584 1.381 1.27221 12 0 200 0.03 3.384 2.967 3.318 2.603 2.52921 12 -0.5 200 0.03 3.372 2.882 3.284 2.577 2.48721 12 0 1000 0.01 51.301 32.673 49.700 31.087 30.21821 12 -0.5 1000 0.01 51.547 32.937 49.895 31.361 30.48063 12 0 50 0.03 2.660 4.217 2.531 2.174 2.09863 12 -0.5 50 0.03 2.590 4.137 2.466 2.125 2.05163 12 0 100 0.03 4.952 6.688 4.741 3.876 3.73963 12 -0.5 100 0.03 4.914 6.822 4.737 3.937 3.82063 12 0 200 0.03 10.195 11.518 9.842 7.651 7.49163 12 -0.5 200 0.03 10.001 11.144 9.658 7.515 7.33963 12 0 1000 0.01 148.661 107.325 143.339 89.477 87.43463 12 -0.5 1000 0.01 149.923 107.895 144.979 90.393 88.293126 12 -0.5 100 0.03 10.106 18.243 9.636 7.890 7.624126 12-0.5 200 0.03 20.129 27.433 19.353 15.036 14.605126 12-0.5 1000 0.01 298.656 241.770 285.045 177.588 173.745表1：基于1000个样本的正常跳跃错误分类的平均总数。oracle阈值，其中我们使用二阶近似B*2In（40），所有真实参数值均已插入。在每种情况下，我们计算跳跃错误分类的平均数量：(R)La：=mmXj=1nXi=1{| X（j）ti-X（j）ti-1 |>Bai，j，N（j）ti-N（j）ti-1=0}+nXi=1{| X（j）ti-X（j）ti-1|≤Bai，j，N（j）ti-N（j）ti-16=0}!, （49）其中m是模拟次数，X（j）·和N（j）分别是X和N的第j条模拟路径，且∈ {c1、c2、n1、n2，*2} ，具体取决于使用的阈值方法。

对于非常数方法，我们使用指数核K（x）=e-|x |/2来估计即期波动率，如定理3.6所示，这是最优的。Weran只对第4节中描述的迭代算法进行了4次迭代。如下所示，这通常有助于实现收敛。结论是，在所有四种方法中，基于二阶近似和非恒定熵估计的跳跃检测方法（“n2”方法）表现最好。虽然，正如应该预料的那样，这比甲骨文略差，但它与甲骨文非常接近。即使对于λ=50的相对较低值，由于跳数相对较少，通常很难估计λ和C（f），二阶局部方法仍然比基于恒定阈值的方法要好一些。例如，对于1个月的时间范围，then2方法在该月的预期4次跳转中只遗漏了约1次跳转。随着跳跃强度的增加，恒定阈值和局部阈值之间的差异变得更加重要。对于200的强度，该方法只会错过预期的16次跳跃中的3次。如上所述，表1的结果基于第4节算法的4次迭代。为了评估算法的收敛性，在表2中，我们显示了基于二阶近似的算法3的前4次迭代中每一次的平均跳跃错误分类数的结果，如（49）所述。

可以看出，通常在第二次迭代后达到收敛#of天#Obs/Hrρλsd（f）Ln2，Iter1 Ln2，Iter2 Ln2，Iter3 Ln2，Iter421 12 0 50 0.03 0.795 0.795 0.79521 12-0.5 50 0.03 0.830 0.829 0.82921 12 0 100 0.03 1.383 1.382 1.38221 12-0.5 100 0.03 1.384 1.382 1.381 1.38121 12 0 200 0.03 2.602 2.603 2.60321 12-0.5 200 0.03 2.586 2.577 2.57721 12 0 1000 0.01 31.855 31.216 31.121 31.08721 12-0.5 1000 0.01 32.080 31.482 31.385 31.36163 12 0 50 0.03 2.183 2.174 2.17463 12-0.5 500.03 2.126 2.125 2.125 2.12563 12 0 100 0.03 3.875 3.874 3.876 3.87663 12 -0.5 100 0.03 3.952 3.938 3.937 3.93763 12 0 200 0.03 7.680 7.653 7.651 7.65163 12 -0.5 200 0.03 7.544 7.517 7.515 7.51563 12 0 1000 0.01 91.283 89.747 89.526 89.47763 12 -0.5 1000 0.01 92.324 90.722 90.411 90.393126 12 -0.5 100 0.03 7.929 7.892 7.889 7.890126 12 -0.5 200 0.03 15.097 15.036 15.035 15.036126 12 -0.5 1000 0.01 181.403 178.022 177.677 177.588表2：基于二阶近似的非齐次算法3前4次迭代的跳跃错误分类平均总数。同样，我们对T的所有值使用1000个样本。5.2原点跳跃密度和现货波动率的估计我们现在研究第2.4节提出的原点跳跃密度核估计量的性能。由于我们已经证实，具有非恒定波动率估计的最佳阈值的二阶近似值优于其他阈值，因此我们将仅在本小节和后续小节中考虑该阈值。结果如表3所示。这些基本上证实了我们的预期，即估计器的性能随着时间范围和强度的增大而提高（对于相同水平的跳跃方差）。

很难将θ=0.03时的估计器性能与θ=0.01和λ=1000时的估计器性能进行比较，因为尽管我们预计后一种情况下会出现更多跳变，但由于θ较小，这些估计器也更难检测到。最后，一个有趣的现象是，我们通常低估了原点处的跳跃密度。这对我们来说是可以接受的。事实上，如果我们将cB表示为估计的二阶阈值，我们通常会得到B>cB>B。这比cB<B要好，在这种情况下，我们可能会明显避免误报（即，将连续分量的增量误分类为跳跃）。最后，我们给出了一些关于核/阈值现货波动率估值器性能的说明（44）。基于最优阈值的二阶近似，我们对局部算法3进行了4次迭代。在图1中，我们展示了方差过程{Vt}t的原型实现≥0在（46）中定义，以及第1次迭代（红色虚线）、第4次迭代（蓝色长虚线）和oracle（绿色双虚线）产生的估计即期方差过程，其中使用了B*1in（40），σi=Vti，C（f）和λ的真值。我们取λ=200，θ=0.03，T=6个月，h=5分钟。三个即期方差估计值彼此非常接近，能够很好地拟合随时间变化的总体波动水平。

平方误差之和，SSE=nXi=1（^σti- σti），#天#Obs/Hrρλθ=sd（f）f（0）E（^fn2（0））sd（^fn2（0））qMSE（^fn2（0））21 12 0 100 0.03 13.30 8.6965 5.4797 7.156721 12-0.5 100 0.03 13.30 8.8117 5.6950 7.251063 12 0 100 0.03 13.30 11.6005 2.1668 2.753763 12-0.5 100 0.03 13.30 11.4145 2.2175 2.9107126 12-0.5 100 0.03 13.30 11.9558 1.6286 2.111621 12 0 200 0.03 13.30 11.2759 2.6362 3.323621 12-0.5 200 0.03 13.30 11.1900 2.7161 3.439363 12 0 200 0.0313.30 11.9714 1.6997 2.158263 12-0.5 200 0.03 13.30 11.9234 1.6539 2.1518126 12-0.5 200 0.03 13.30 12.4776 1.3081 1.545121 12 0 1000 0.01 39.89 37.9363 4.5286 4.932121 12-0.5 1000 0.01 39.89 37.8582 4.2041 4.669363 12 0 1000 0.01 39 41.4335 2.9176 3.300763 12-0.5 1000 0.01 39.89 41.89 5071 3.0726 3.4722126 12-0.5 1000 0.01 39.89 41.8874 2.4255 3.1420表3:基于1000个样本的正常跳跃原点0。对于第1、4和oracle的估计值分别为1.6525、1.4457和1.4450。图2显示了对应于λ=1000和θ=0.01的相同结果。在本例中，第一、第四和oracle估算的SSE分别为2.0015、1.5069和1.4006。6结论与未来工作在本文中，我们研究了通过阈值法进行跳跃检测的问题，这显然与现货波动率估计问题密切相关。我们通过考虑二阶近似和非齐次参数设置，扩展了Figueroa-L'opez-andNisen（2013）的近似最优阈值。由于二阶近似的剩余部分要小得多，同时得到的阈值估值器是时不变的，这在现实中更有意义，因此，这一结果在理论上很有意义。

蒙特卡罗研究也证明了二阶近似的优越性能。精度越高，估计的参数就越多。我们首先设法在原点构建跳跃密度的阈值核估计量。为此，我们提出了一个不同的“最佳”阈值，并说明了为什么这应该不同于原始的“最佳”阈值。直觉是，当我们声称一个增量包含一个跳跃时，我们必须更加准确，以便更好地估计其在原点的密度。我们还提出了现货波动率阈值核估计的修正版本，其中超过阈值的增量将被过滤掉。为了实施所提出的方法，我们需要解决一些关键障碍。具体而言，最优阈值、原点跳变密度和现货波动率的估计相互依赖。为了解决这个问题，我们提出了一种迭代阈值核估计方案。虽然我们不能保证迭代算法总是收敛，但蒙特卡罗研究表明，这在现实中很少产生任何问题。阈值法跳跃检测的精神在于，当过程增量的绝对值超过阈值时，就会发生跳跃，从定义上讲，这是一个二元结果。在这种情况下，当增量接近阈值时，增量的微小差异可能导致完全不同的结果。缓解这一问题的一种方法是估计跳跃在特定时间间隔内发生的概率，这类似于逻辑回归的思想。这为基于阈值的分类提供了一种替代方法。给定一个非递减函数F：[0，∞) → [0，1]和增量|iX |，我们可以假设在[ti]期间发生跳跃的概率-1，ti]是F(|九|）。

然后我们可以采用以下损失函数，即经常0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.10 0.15 0.20 0.25时间t（年）即期方差图1：方差过程{Vt}t≥0（抖动的黑色虚线）和基于Bn2的算法3的第1次迭代（红色虚线）和第4次迭代（蓝色长虚线）产生的估计斑点方差过程（44）。我们还绘制了oracle方差过程（44）（绿色双虚线），将BI替换为真B*iin（40）。oracle和4Thitationation方差估计值重叠。我们取（47）中的参数值以及ρ=-0.5，λ=200，梅顿跳跃（48），θ=0.03。根据6个月内5分钟的观察结果进行估计。用于分类问题：Lt，h（F）=EF（| Xt+h- Xt |）1{Nt+h-Nt=0}+ E[1 - F（| Xt+h- Xt |）]1{Nt+h-Nt6=0}.实际上，对所有连续函数F进行优化可能会很麻烦。然而，我们可以尝试将自己限制在一个合适的、相对较小的可能函数F类中。一个可能的方向是考虑FB（x）=F（x/B），这是我们在本文中所做工作的推广。另一个可能的方向是考虑F（x）=F1n（x）1{0<x<B}+F2n（x）1{x≥B} ，其中f1和f2是两个可以依赖于n的函数。这可以潜在地提供关于F的形状在“最佳”阈值附近的外观的见解。主要结果的证明让我们从给出定理2.1证明所需的引理开始。引理A.1。对于i=1，2，让fi∈ C（[0，∞)) 在（0，∞). 进一步假设fis不增加，而fis不减少，且limx→存在0+[f（x）+f（x）]。如果存在x∈ (0, ∞) 如（a）| f（x）|≥ |f（x）|对于所有x∈ （0，x）（b）| f（x）|≥ |f（x）|对于所有x∈ （十），∞), （50）那么，f：=f+fis在[0]上的拟凸，∞).证据自（a）至（50）和自f（x）≤ 0和f（x）≥ 0，f（x）=f（x）+f（x）≤ 0表示所有x∈ （0，x）。

此外，这意味着limx→0+f（x）≤ 另一方面，从（b）in（50）f（x）=f（x）+f（x）≥ 0表示所有x∈ （十），∞).0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.05 0.10 0.15 0.20时间t（年）即期方差图2：方差过程{Vt}t≥0（抖动的黑色虚线）和基于Bn2的算法3的第1次迭代（红色虚线）和第4次迭代（蓝色长虚线）产生的估计斑点方差过程（44）。我们还绘制了oracle方差过程（44）（绿色双虚线），将BI替换为真B*iin（40）。oracle和第四次迭代方差估计在整个域中几乎重叠，除了在最后。我们取（47）中的参数值以及ρ=-0.5，λ=1000，默顿跳跃（48），θ=0.01。根据6个月内5分钟的观察结果进行估计。根据实数变量连续实值函数拟凸性的已知充分条件（详见Boyd和Vandenberghe（2004）第99页（3.20）），可以得出f在[0，∞).定理2.1的证明。自始至终，我们假设w=1，γt，h>0（γt，h的情况≤ 0和w 6=0可以用类似的方法证明）。为了简单起见，我们省略了Lt，h（B；w）中的参数w。让F*kt，hde表示密度φt，h的分布* f*k、 跳跃次数Nt+h的条件- Nt，损失函数Lt，其拆分如下：Lt，h（B）：=L（1）t，h（B）+L（2）t，h（B），其中L（1）t，h（B）：=P（| Xt+h- Xt |>B，Nt+h- Nt=0）=e-hλt，h“1- ΦB-hγt，hσt，h√h！+Φ-B-hγt，hσt，h√h！#，L（2）t，h（B）：=P（| Xt+h- Xt |≤ B、 Nt+h- Nt6=0）=e-hλt，h∞Xk=1hλt，hkk！F*kt，h（B）- F*kt，h(-（B）.这里，Φ（·）是标准正态分布的cdf。注意，通过定义，L（1）t，his严格减小，而L（2）t，his严格增大。同样清楚的是，对于每个h>0和t∈ [0，T]，L（1）T，h∈ C∞（R+）和BL（1）t，h（B）<0表示所有B∈ R+。

对于L（2）t，h，sincesupk的差异性∈Nsupx公司∈Rφt，h* f*k（x）≤ supx公司∈Rf（x）=：M（f）<∞, （51）下面是SUP∈NsupB公司∈(0,∞)φt，h* f*k（B）+φt，h* f*k级(-（B）≤ 2M（f），因此，根据有界收敛定理，L（2）t，his可微。同样，自supm∈Nsupk公司∈NsupB公司∈(0,∞)φ（m）t，h* f*k（B）+φ（m）t，h* f*k级(-（B）≤2M（f），我们可以进一步证明L（2）t，h∈ C∞（R+）的有界收敛定理。我们观察到L（1）t，h（B）6=0和L（2）t，h（B）6=0，所有B>0，因此我们现在继续研究比率，h（B）：=BL（2）t，h（B）-BL（1）t，h（B）。让我们首先注意到BL（1）t，h（B）=-e-hλt，h√hσt，h“φB-hγt，hσt，h√h！+φB+hγt，hσt，h√h！#，(52)BL（2）t，h（B）=e-hλt，h∞Xk=1hλt，hkk！φt，h* f*k（B）+φt，h* f*k级(-（B）. （53）一个直接后果是Rt，h（B）对于B是连续的∈ [0, ∞). Rt，hm现在可以写成：Rt，h（B）=∞Xk=1hλt，hkk！It，h，k（B），其中It，h，k（B）：=σt，h√h类φt，h* f*k（B）+φt，h* f*k级(-（B）φB-hγt，hσt，h√h类+ φB+hγt，hσt，h√h类.通过卷积的定义，It，h，kc可以写成：It，h，k（B）=Zgt，h（w，B）f*k（w）dw，其中gt，h（w，B）：=φB-hγt，h-wσt，h√h类+ φB+hγt，h+wσt，h√h类φB-hγt，hσt，h√h类+ φB+hγt，hσt，h√h类.插入正常p.d.f.，gt，Hc可以分解为：gt，h（w，B）=exp-w+2whγt，h2hσt，h！经验值B（hγt，h+w）/hσt，h+ 经验值-B（hγt，h+w）/hσt，h经验值Bγt，h/σt，h+ 经验值-Bγt，h/σt，h=: g（1）t，h（w）g（2）t，h（w，B）。不难证明g（1）t，h的下列性质：1≤ g（1）t，h（w）≤ ehγt，h/2σt，h，ω∈ (-2hγt，h，0）和0<g（1）t，h（w）≤ 1, ω ∈ (-2hγt，h，0）C.（54）g（2）t，h（ω，·）是t（x）=eax+e型函数-axebx+e-bx，其中x∈ [0, ∞), a=|（hγt，h+w）/hσt，h |和b=|γt，h/σt，h |。

注意，导数t（x）可以写成ast（x）=eax+e-axebx+e-bx公司aeax公司- e-axeax+e-斧头- bebx公司- e-bxebx+e-bx公司.当a>b>0时，t（x）是从1到+∞ andt（x）≥eax2ebx（a- b） ebx公司- e-bxebx+e-bx公司≥（a）- b） e（a-b） x（1- e-2倍）≥一-b（1- e-1） 2bx，x≤2ba-b（1- e-1） （a）- b） x，x>2b≥（a）- b） （1）- e-1） 最小值（a- b、 2b）x.对于第三个不等式，当0≤ x个≤ 1/2b，我们使用1- e-2倍≥ (1 - e-1） 2bx，当x>1/2b时，我们使用（a-b） x个≥ （a）- b） x和1- e-2倍≥ (1 - e-1). 具体而言，当a>3b时，我们有t（x）≥ b（1- e-1） x.（55）当b>a>0时，t（x）是从1到0的递减函数和| t（x）|≤ bebx公司- e-bxebx+e-bx公司≤ bx，（56），其中我们使用tanh（x）的性质≤ 这里我们注意到a<b<=> ω ∈ (-2hγt，h，0）。基于此，对于每个固定k∈ N、 我们将其分解为两部分：It，h，k（B）=Z(-2hγt，h，0）+Z(-2hγt，h，0）c！g（1）t，h（w）g（2）t，h（w，B）f*k（w）dw=：I（1）t，h，k（B）+I（2）t，h，k（B）。（57）在下面的内容中，我们将证明存在h>0，它可能依赖于T，因此对于所有T∈ [0，T]和h∈ （0，h），存在B*t、 h>0，使得Rt，h（B）<1，对于B∈ （0，B*t、 h）和Rn（B）>1，对于B∈ （B）*t、 h、，∞).这两种情况，以及BL（1）t，手动BL（2）t，h意味着B→ 对于足够小的h，Lt，h（B）是准凸的（见下面的引理A.1）。

为此，我们将证明以下内容：（i）对于任何h>0，肢体→∞Rt，h（B）=+∞.（二）林氏→0支持∈[0，T]Rt，h（0）=0。（iii）存在h>0，这可能取决于T，因此对于所有T∈ [0，T]和h∈ （0，h），Rt，h（·）严格增加。对于（1），很明显I（1）t，h，k≥ 0，根据Fatou引理，对于足够大的k，I（2）t，h，ksatis fieslim infB→∞I（2）t、h、k（B）≥Z(-2hγt，h，0）clim infB→∞g（1）t，h（w）g（2）t，h（w，B）f*k（w）dw=+∞.这两种关系意味着（i）。对于（ii），由于g（2）t，h（w，0）=1，It，h，k（0）=Zg（1）t，h（w）f*k（w）dw=√2πhσt，hehγt，h/2σt，hZe-（w+hγt，h）/2hσt，h√2πhσt，hf*k（w）dw≤√2πhσt，hehγt，h/2σt，hM（f）。请注意，右侧收敛为零，即h→ 0，且不依赖于k。根据假设1，收敛在t中是一致的，因此（ii）如下。现在我们开始考虑（iii）。实际上，对于任何给定的t∈ [0，T]，根据g（1）T的上界，（54）k给出的h（w）必须是大的，因为现在我们不假设小的h，所以f可能是*k（ω）≡ ω为0∈ (-2hγt，h，0）c和Bg（2）t，h（w，B）由（56）给出，我们有| I（1）t，h，k（B+δ）- I（1）t，h，k（B）|=Z(-2hγt，h，0）g（1）t，h（w）×g（2）t，h（w，B+δ）- g（2）t，h（w，B）|×f*k（w）dw≤Z(-2hγt，h，0）ehγt，h/2σt，h×γt，hσt，h（B+δ）δ×f*k（w）dw≤ 2hγt，hσt，hehγt，h/2σt，hM（f）（B+δ）δ。此外，对于I（2）t，h，k，注意对于ω∈ (-2hγt，h，0）C，g（2）t，h（w，B）在B中增加，对于ω∈ [-4hγt，h，4hγt，h]C，我们有|（hγt，h+w）/hσt，h |>3 |γt，h/σt，h |。

因此，我们有i（2）t，h，k（B+δ）- I（2）t，h，k（B）=Z(-2hγt，h，0）Cg（1）t，h（w）×（g（2）t，h（w，B+δ）- g（2）t，h（w，B））×f*k（w）dw≥Z[-4hγt，h，4hγt，h]Cg（1）t，h（w）×（1- e-1） γt，hσt，hBδ×f*k（w）dw≥(1 - e-1） γt，hσt，hBδZg（1）t，h（w）f*k（w）dw- 8hγt，hehγt，h/2σt，hM（f）.把这两个不等式放在一起，我们得到了任何B>0和0<δ<B的不等式：Bδ∞Xk=1hλt，hkk！I（1）t，h，k（B+δ）- I（1）t、h、k（B）≤ 4小时ehλt，h- 1.γt，hσt，hehγt，h/2σt，hM（f）=O（h），h→ 0和Bδ∞Xk=1hλt，hkk！I（2）t，h，k（B+δ）- I（2）t、h、k（B）≥(1 - e-1） γt，hσt，hhλt，hZg（1）t，h（w）f（w）dw-∞Xk=1hλt，hkk！8hγt，hehγt，h/2σt，hM（f）！≥ h3/2λt，h（1- e-1） γt，hσt，h√2πσt，hexphγt，h2σt，h！Cm（f）+O（h），h→ 0，其中最后一个等式可以通过g（1）t，h（w）f（w）dw进行调整≥√2πhσt，hexphγt，h2σt，hCm（f）+O（h）表示小h，其中Cm（f）在（5）中定义，因为以下条件成立：g（1）t，h（w）=exp-w+2whγt，h2hσt，h=√2πhσt，hexphγt，h2σt，h！√2πhσt，hexp-（w+hγt，h）2hσt，h！。还请注意，这两个收敛不依赖于B和δ，并且通过假设1，两个收敛都可以在t中一致。这证明了（iii）。定理2.2的证明。为简单起见，我们使用符号f*kt，h：=φt，h* f*k、 其中φt，h（x）：=σt，h√hφx个-hγt，hσt，h√h类是Xct+h的密度- Xct。我们首先证明最佳阈值（B*t、 h）t，h在t上均匀收敛到0∈ [0，T]，如h→ 我们首先要注意，损失函数（10）可以写成lt，h（B）：=e-hλt，hPhγt，h+σt，h√赫兹> B+ e-h'λt，h∞Xk=1（hλt，h）kk！Phγt，h+σt，h√hZ+kXi=1ζi≤ B接下来，通过划分E：={| hγt，h+σt，h√hZ+Pki=1ζi |≤ B} 进入E∩{| hγt，h+σt，h√赫兹|≤ B} 和E∩{| hγt，h+σt，h√hZ |>B}和简化，Lt，h（B）≤ Phγt，h+σt，h√赫兹> B+ e-h'λt，h∞Xk=1（hλt，h）kk！PEhγt，h+σt，h√赫兹≤ B≤ Phγ*T+h+σ*T+h√h | Z |>B+∞Xk=1（hλ*T+h）kk！PkXi=1ζi≤ 2B！，我们使用γ的地方*t： =支持≤t |γs |，σ*t： =支持≤tσs和λ*t： =支持≤tλ是任何t的定义。

接下来，考虑由BP owh给出的阈值序列，c：=α的chα∈ （0，1/2）和c>0。因此，使用该P（|ζ|≤ 2B）~ 4C（f）波段P|Pki=1ζi |≤ 2B级= O（B）作为B→ 0，支持∈[0，T]Lt，hBP owh，c≤ 4 c c（f）λ*T+hh1+α+o（h1+α）。现在假设 := lim suph公司→0+支持∈[0，T]B*t、 h>0。然后，存在子序列（hn）和（tn）nsuch thatinfnB*tn，hn≥ /2、在这种情况下，Ltn，hn（B*tn，hn）≥ e-hλ*T+hhλT+hPhnγtn，hn+σtn，hnphnZ+ζ≤ /2.,但是，也包括Ltn、hn（B*tn，hn）≤ Ltn，hn（BP owhn，c）和，自Phnγtn，hn+σtn，hn√hnZ+ζ≤ /2.→ P（|ζ|≤ /2） >0，为n→ ∞, 我们会得到4 cλ*T+hC（f）h1+α+o（h1+α）≥ hλT+h+o（h），导致矛盾。因此，有必要使最优阈值在[0，T]上一致收敛到0。现在我们将展示最优阈值的渐近特征。根据定理2.1，存在sh>0，取决于T，因此，对于所有T∈ [0，T]和h∈ （0，h），损失函数Lt，HP有一个唯一的临界点。通过将损失函数的一阶导数从（52）-（53）等于零，可以得出唯一的最佳阈值，B*t、 h必须满足以下公式√hσt，h“φB*t、 h类- hγt，h√hσt，h！+φB*t、 h+hγt，h√hσt，h#=∞Xk=1hλt，hkk！f*kt，h（B*t、 h）+f*kt，h(-B*t、 h）. （58）该方程的重排显示φB*t、 h- hγt，h√hσt，h=√hσt，hh1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，hi-1.∞Xk=1hλt，hkk！f*kt，h（B*t、 h）+f*kt，h(-B*t、 h）. （59）在（59）两侧取对数后，我们得出定点方程（11）。根据（51）和假设1，我们得出结论，limh→0+B*t、 h/h1/2=∞, t均匀∈ [0，T]，即limh→0输入∈[0，T]B*t、 h类√h=+∞.对该方程的进一步修改表明b*t、 h=hγt，h+√2hσt，hlog1/2σt，hλt，hh3/21+日志√2π（f*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，h日志σt，hλt，hh3/2+日志1+St，h（B*t、 h）日志σt，hλt，hh3/21/2，有必要使C（f）>0。

否则，B→ 0不是最佳值。其中，我们有定义，h（B）：=∞Xk=2hλt，hk-1k！“f*kt，h（B）+f*kt，h(-B） f级*1t，h（B）+f*1吨，小时(-B） #。由此产生的直接后果是*t、 h=O（ph log（1/h）），因此√2πf*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，h=√2πC（f）+O（B*t、 h）、St、h（B）*t、 h）=O（h）。上面的第二个关系是因为f*kt，以M（f）和f为界的兔子*1t，h（B*t、 h）以远离零为界。我们现在证明上述第一种关系。实际上，根据我们对f的光滑性的假设，存在 > 0，例如f∈ C（（0，)) 和f∈ C类((-, 0)). 那么，我们有：f*1t，h（B*t、 h）=f*1t，h（0）+O（B*t、 h）f*1t，h（0）- C（f）=f*1t，h（0）-f（0-)Z-∞φt，h（y）dy+f（0）+Z+∞φt，h（y）dy+ O(√h） =Z-∞（f（y）- f（0-))φt，h（y）dy+Z+∞（f（y）- f（0+）φt，h（y）dy+O(√h） =Z-（f（y）- f（0-))φt，h（y）dy+Z+（f（y）- f（0+）φt，h（y）dy+O(√h） =Z-Zf（yv）dvyφt，h（y）dy+Z+Zf（yv）dvyφt，h（y）dy+O(√h） =O(√h） 。（60）以上，第一个等式使用SR+∞φt，h（y）dy=1/2+O(√h） 安德烈-∞φt，h（y）dy=1/2+O(√h） 。第三个等式usesr+∞φt，h（y）dy=o（h）andR--∞φt，h（y）dy=o（h）。由此，我们得到了f*1t，h（0）=C（f）+O(√h） 。然后我们有了*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）=2C（f）+O（B*t、 h）。因此，对于任何α∈ （0，1/2），日志√2π（f*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，h日志σt，hλt，hh3/2=日志√2πC（f）日志σt，hλt，hh3/2+ o（hα），对数1+St，h（B*t、 h）日志σt，hλt，hh3/2= o（hα）。对于定理的最后一个断言，如果我们进一步注意到σt，h=σt+O（h）和λt，h=λt+O（h），在t的特定光滑度下→ σ和t→ λt，那么我们得出以下B的近似值*t、 h:B*t、 h类=√2hσt，hlog1/2σt，hλt，hh3/2“1+日志√2πC（f）日志σt，hλt，hh3/2#1/2+o（h+α）=√hσth3对数（1/h）- 2个日志√2πC（f）σtλti1/2+o（h+α），对于任何α∈ (0, 1/2).命题2.8的证明。首先，请注意P(|X |>B）=e-hλP|hγ+√hσZ |>B+ hλe-hλPhγ+√hσZ+ζ> B+ O（h）。

（61）设φh（x）为hγ的密度+√hσZ，注意，对于k≥ 1，hγ+√hσZ+Pki=1ζihas密度φh* f*k、 其边界为M（f）：=supxf（x）。因此，我们有英国石油公司|hγ+√hσZ+Pki=1ζi |>B< 2M（f）以及，BXk公司≥2（hλ）kk！Phγ+√hσZ+kXi=1ζi> B=Xk公司≥2（hλ）kk！英国石油公司hγ+√hσZ+kXi=1ζi> B！=O（h）。然后我们有了*（B） =-英国石油公司(|X |>B）=e-hλ[φh（B）+φh(-B） ]+hλe-hλ[g（B）+g(-B） ]+O（h），（62），其中g表示hγ的密度+√hσZ+ζ。结合（61）和（62），条件密度为F*|X个|||X |>B（B）=f*（B） P(|X |>B）=λ√2πhσhexp-（B）-hγ）2hσ+ 经验值-（B+hγ）2hσi+g（B）+g(-B） λhP|hγ+√hσZ |>B+ Phγ+√hσZ+ζ> B+ O（h）。现在，g=φh* f和f在0附近的光滑度，如果x足够接近0，g（x）- f（x）=Z（x-,x个+)+Z（x-,x个+)c（f（y）- f（x））φh（y- x） dy=Z（x-,x个+)（f（x）（y）- x） +f（θy）（y- x） ）φh（y）- x） dy+o（h）=o（h），其中θyis在x和y之间，且 是一个固定的正数，因此f∈ C（（x-, x+)). 这样的 由于假设4而存在。上面，我们使用了以下事实：Z（x-,x个+)Cφh（y- x） dy=o（h），Z（x-,x个+)（y）- x） φh（y- x） dy=γh+o（h），Z（x-,x个+)|f（θy）|（y- x） φh（y- x） dy公司≤ Mσh。注意，上述公式在x中0附近保持一致，因此对于足够小的h，g（B）=f（B）+O（h）。这也很简单hγ+√hσZ+ζ≤ B= 2g（0）B+o（B）=2f（0）B+o（B）。因此，我们有以下内容：f*|X个|||X |>B（B）=λ√2πhσhexp-（B）-hγ）2hσ+ 经验值-（B+hγ）2hσi+2f（0）+O（h）+O（B）λhP|hγ+√hσZ |>B+ 1.- 2f（0）B+o（B）+o（h）=2f（0）+λ√2πhσexp-B2hσ+ 2f（0）B+o（B）+o（h-3/2e-B2hσ），其中我们使用了以下内容：hP|hγ+√hσZ |>B~σB√2πhexp-B2hσ,√2πhσexp-（B）-hγ）2hσ~√2πhσexp-B2hσ.这就完成了证明。推论2.9的证明。将（19）的前导项表示为：F（B）=λF（0）√2πhσexp-B2hσ+ B.设置a=1/（λf（0）√2πhσ），b=1/（2hσ）。对于足够小的h，我们有√b>1/（1）- 经验值(-1/2）和log（2ab）<b。

根据下面的引理A.2，F的最小值为√2hσ，q2hσlog（1/√2πhσ）并满足esB exp-B2hσ=√2πhσ。取两边的对数和重新排列项，我们得到b2hσ=log（B）-对数（h）+C，对于某些常数C。请注意，由于B位于√2hσ，q2hσlog（1/√2πhσ）, log（B）=log（h）+O（log log（1/h））。因此，我们得到了最佳B asB的近似值*=p4hσlog（1/h）+O（ph log log（1/h））。这就完成了证明。引理A.2。假设a、b>0和a√b>1/（1）- 经验值(-和log（2ab）<b。定义F（x）=a exp(-bx）+x其中x≥ 那么，F的最小点在（1）中/√2b，plog（2ab）/b）和满意度2abx exp(-bx）=1。证据取两次导数，我们得到F（x）=-2abx exp(-bx）+1，F（x）=2ab（2bx- 1） 经验值(-bx）。通过研究F的符号，我们得出Fis在（0，1）中减少/√2b）和增加（1/√2b，∞), 我们还有f（1/√2b）=-一√2b经验值(-1/2)+1. 现在自从√2b>1/（1）-经验值(-1/2））>exp（1/2），F（0）=F(+∞) = 1，我们有一个根rin（0，1/√2b）和另一根rin（1/√2b，∞). 所有这些进一步暗示F在（0，r）和（r，∞) 在（r，r）中递减。注意F（plog（2ab）/b）=1-plog（2ab）/b>0，因为我们假设log（2ab）<b，所以我们有r∈ (1/√2b，plog（2ab）/b）。还要注意F（1/√2b）=a经验(-1/2) +1/√2b<a=F（0），因为我们假设a√b>1/（1）- 经验值(-1/2)). 因此，0不是最小值。总之，F的最小值为（1/√2b，plog（2ab）/b）和满意度2abx exp(-bx）=1。致谢第一作者的研究部分得到了NSF资助：DMS-1561411和DMS-1613016。作者衷心感谢副主编和两位匿名审稿人的众多更正和建议，这些更正和建议有助于显著改进手稿。参考文献。Ait-Sahalia和J.Jacod。估计高频数据中跳跃的活动程度。《统计年鉴》，第2202-224420009A页。Y

Ait-Sahalia和J.Jacod。测试离散观察过程中的跳跃。《统计年鉴》，第184-2222009b页。Y、 Ait-Sahalia和J.Jacod。对高频数据建模是否需要布朗运动？《统计年鉴》，第3093-31282010页。Y、 Ait-Sahalia和J.Jacod。高频金融计量经济学。普林斯顿大学出版社，新泽西州，2014年。S、 Boyd和L.Vandenberghe。凸优化。剑桥大学出版社，2004年。R、 Cont和C.Mancini。半鞅路径性质的非参数检验。伯努利，17（2）：781–8132011。F、 Corsi、D.Pirino和R.Ren\'o，《阈值双功率变化和跳跃对波动率预测的影响》。《计量经济学杂志》，159:276–2882010。J、 Fan和Y.Wang。高频数据的现货波动率估计。《统计及其界面》，1（2）：279–2882008。J、 E.Figueroa-L’opez。L'evy型随机波动率模型的统计估计。《金融年鉴》，8（2）：309–3352012。J、 E.Figueroa-L\'opez和C.Li。随机微分方程现货波动率的最优核估计。出现在随机过程及其应用中。预印本可用athttps://pages.wustl.edu/Figueroa/publications，2020年。J、 E.Figueroa-L\'opez和C.Mancini。使用平均值和条件均方误差的最佳阈值。《计量经济学杂志》，第208卷，第1期，179-2102019年。J、 E.Figueroa-L’opez和J.Nisen。L'evy跳跃扩散模型的最佳阈值实现功率变化。《随机过程及其应用》，123（7）：2648–26772013。J、 E.Figueroa-L’opez和J.Nisen。FJA加法过程阈值实现功率变化的二阶性质。《随机过程的统计推断》，第22卷，第3期，431–4742019年。D、 Foster和D.Nelson。滚动样本方差估计的连续记录渐近性。

《计量经济学》，64（1）：139–1741996年。J、 贾科德。L'evy过程功率变化的渐近性质。ESAIM：概率与统计。11,173-196, 2007.J、 贾科德。半鞅实功率变分及其相关泛函的渐近性质。《随机过程及其应用》，118（4），517-5592008。J、 Jacod和P.Protter。过程离散化。施普林格·维拉格（Springer Verlag Berlin），海德堡（Heidelberg），2012年。B、 Jing、X.Kong、Z.Liu和P.Mykland。关于半鞅的跳跃活动指数。《计量经济学杂志》，166（2）：213–2232012。D、 克里斯滕森，。已实现即期波动率的非参数过滤：基于核的方法。计量经济学理论，26（01），60–932010。C、 曼奇尼。解开几何跳跃布朗运动中扩散的跳跃。乔尔内尔·戴尔研究所，64岁（19-47）：442001年。C、 曼奇尼。一般泊松扩散模型跳跃特征的估计。《斯堪的纳维亚学报》，2004年（1）：42–522004年。C、 曼奇尼。具有随机扩散系数和跳跃的模型的非参数阈值估计。《斯堪的纳维亚统计杂志》，36:270–2962009。C、 Mancini、V.Mattiussi和R.Ren\'o.使用delta序列估计现货波动率。《金融与随机》，19（2）：261–29320015。F、 Ueltzh–of er。关于马尔可夫过程L'evy核的非参数估计。《随机过程及其应用》，123:3663-37092013。D、 Revuz和M.Yor。连续鞅与布朗运动。施普林格·维拉格（Springer Verlag Berlin-Heidelberg），1998年。五十、 Zhang、P.Mykland和Y.Ait-Sahalia。关于两种时间尺度的故事。《美国统计协会杂志》，100（472），2005年。