允许vnbe系统在指定时间段内生成的概率的随机值。那么ρi=Ehvn | bξkn=ζn=ii，i∈ Z={0，1}（22）。我们计算条件期望的大小，它位于等式（22）的右侧。由数学期望的性质ρi=Ehvn | bξkn=ζn=ii=NXl=2Ehvn | bξkn=ζn=i，bξkn+1=li××Pbξkn+1=l | bξkn=ζn=i,我∈ {0，1}（23）对于考虑中的随机模型，在连续点击mainprocessnbξko之间的时间内的增量∞k=0进入边界状态由将此过程转移到其中一个内部状态的相关成本和在自由进化过程中收到的随机收入组成，直到下一次击中其中一个边界状态。从这里开始vn | bξkn=ζn=i，bξkn+1=li=d（i）l+rl，l∈ {2，3，…，N}，i∈ {0，1}（24）从（23）中，考虑（24）和（13），我们得到rhoi=Ehvn | bξkn=ζn=ii=NXl=2hd（i）l+rliα（i）l，i∈ {0，1}（25）如前所述，辅助马尔可夫链{ζn}∞n=0是不可逆、反复和正的。然后，上述与所考虑的随机模型和马尔可夫链{ζn}相关的加性成本泛函的遍历定理∞n=0有效。从这个定理和关系式（6）的陈述中，我们将i=ρπ+ρπ（26）代入（26）式（20），（21），（25），得到以下表达式i=NPm=2α（0）mhd（0）m+rmimpl=2α（1）lbl0+NPm=2α（1）mhd（1）m+rmimpl=2α（0）lbl1NPl=2α（0）lbl1+NPl=2α（1）lbl0（27）。让我们变换式（27）右侧分子和分母中的表达式。

考虑一下数字α(0), α(1)=NXm=2α（0）mhd（0）m+rmiNXl=2α（1）lbl0+NXm=2α（1）mhd（1）m+rmiNXl=2α（0）lbl1我们以成对乘积的双和形式写出和的乘积α(0), α(1)=NXm=2NXl=2hd（0）m+rmibl0α（0）mα（1）l++NXm=2NXl=2hd（1）m+rmibl1α（0）lα（1）m（28）现在，我们对等式右侧（28）的第一项和第二项中的求和指示符进行重新指定。在第一个双倍和中，我们将m=m，l=m，在第二个双倍和中，我们将m=m，m=m。然后，将bothamounts合并为一，得到α(0), α(1)==NXm=2NXm=2hhd（0）m+rmibm，0+hd（1）m+rmibm，1iα（0）mα（1）m（29）现在考虑公式（27）I右侧分母的表示α(0), α(1)=NXl=2α（0）lbl1+NXl=2α（1）lbl0我们执行表达式i的身份转换α(0), α(1)考虑概率分布α（0）、α（1）的归一化条件。我α(0), α(1)=NXm=2α（1）mNXl=2α（0）lbl1+NXm=2α（0）mNXl=2α（1）lbl0==NXm=2NXl=2bl1α（0）lα（1）m+NXm=2NXl=2bl0α（0）mα（1）l（30）接下来，我们将重新设计等式右侧（30）第二项中的求和指数，方法与转换分子时相同，然后将这些求和合并为一。ThenI公司α(0), α(1)=NXm=2NXm=2[bm，1+bm，0]α（0）mα（1）m（31），从等式（27）出发，考虑到分子和分母表达式的转换，由公式（29），（31）给出，我们得到了静态成本指标I的表示形式α(0), α(1)在表格（8）中。在这种情况下，函数A（m，m）、B（m，m）分别由公式（9）、（10）确定。

证明了定理1。从定理1的陈述中可以看出，在考虑中的随机模型中，控制效率的固定成本指标Iα(0), α(1)表示为一组离散概率分布上定义的线性分数阶积分函数α(0), α(1), 其中每一项都定义了一种控制策略。在这方面，为了解决最优控制问题，它被表述为一个极值问题（7），有必要使用这种形式的泛函的无条件极值问题的理论结果。下一节将对这些结果进行总结。八、定义在一组离散概率分布上的分数线性整体泛函的极值问题P.V.Shnurkov的工作中描述了定义在一组概率测度上的线性分数积分泛函的无条件极值的一般问题的解。随后，相应结果的证明发表在[26]。为了解决本研究过程中出现的极值问题（7），我们需要[25]、[26]中所述一般性陈述的特殊版本。在这种变体中，位置极值问题的目标函数定义在离散概率分布的有限集上。然后将目标泛函分子和分母中的多维积分转换为多维和。由于这种函数是一般分数线性积分函数的特殊版本，我们将使用相同的名称，并添加“离散”一词。在这一节中，我们将给出分数阶线性积分离散泛函极值问题的表达式和解决该问题的定理。

该定理的表述将构成解决极值问题（7）的理论基础。我们采用以下符号约定。第VIIII节中介绍的各种数学对象的名称将仅在本节的框架内使用。这些对象与本研究中考虑的随机调谐问题的对象之间的联系将在本文的下一部分建立。我们考虑一组离散集Ui=1，2，ni，i=1，2，N、 N<∞. 每组元素的数量Ui可以是有限的，也可以是可数的：ni≤ ∞, i=1，2，N在下文中，这些集合被解释为在随机模型的不同状态下接受的可容许解（控制）集合，但在本节中，它们是抽象的。在每个setUi上，我们引入了所有可能的概率分布的集合，其形式为α（i）=（α（i），α（i），α（i）ni），α（i）s≥ 0，s=1，2，镍；niPs=1α（i）s=1，i=1，2，N、 我们表示UibyΓ（i）d上定义的一组概率分布，i=1，2，N进一步，我们考虑了空间U=U×U×·····×UN的笛卡尔乘积。按照在笛卡尔空间乘积上引入测度的经典方案【27】，我们在U上引入概率测度，作为空间U，U，…，上概率测度的乘积，由分布α（1），α（2），…，待定，α（N）。因此，U上的概率测度由概率分布集α（1），α（2），α（N）。我们用Γd表示U上的概率测度集。下面在极值问题的陈述中描述了与该集有关的几个附加条件。与[25]类似，我们引入了退化离散概率分布的概念。定义2。概率分布α（i）*如果α（i）ki=1，α（i）l=0，l=1，2，…，则称（ki）为退化。

，ni，l 6=ki。Apoint ki∈ Ui称为简并分布α（i）的集中点*（ki）。众所周知，退化分布对应于取值ki的确定性量。我们表示UibyΓ（i）上定义的退化概率分布集*d、 i=1，2，N显然，集合Γ（i）之间存在一对一的对应关系*丹迪，i=1，2，N、 因此，我们将集合U上定义的所有退化概率测度集表示为Γ*d、 集合Γ中的每个退化测度*由一组退化分布α（1）定义*, α(2)*, . . . , α（N）*.我们假设在集合U上定义了两个数值函数：A（k，k，…，kN）：U→ R、 B（k，k，…，kN）：U→ R、 其中ki∈ Ui，i=1，2，N我们注意到，离散集上定义的离散测度上的积分可以转换为和，由离散空间的笛卡儿积上定义的初始测度的乘积生成的测度上相应的多维积分成为多维和。据此，我们通过类比【25】引入以下定义。定义3。线性分数阶积分泛函（在离散版本中）或简单地定义在一组离散概率分布集合上的离散线性分数阶积分泛函，定义为映射I（α（1），α（2），α（N））：Γd→ R由表达式i（α（1），α（2），…）给出，α（N））==nPk=1nPk=1···nNPkN=1A（k，k，…，kN）α（1）kα（2）k。α（N）kNnPk=1nPk=1···nNPkN=1B（k，k，…，kN）α（1）kα（2）k。α（N）kN（32）定义4。A函数C（k，k，…，kN）：U→ 表达式（k，k，…，kN）=A（k，k，…，kN）B（k，k，…，kN），（33）是离散线性分数阶积分泛函I（α（1），α（2，…）的测试函数。

，α（N））由公式（32）给出。让我们为i（α（1），α（2），…，建立相应的极值问题，在一组离散概率分布集合上，形式为（32）的α（N）：I（α（1），α（2）。。。，α（N））→ extr，（α（1），α（2）。。。，α（N））∈ Γd（34）我们假设，在解决[25]、[26]中考虑的一般结构的线性分数次积分函数的极值问题时，与引入的相应条件类似的一些初步条件对于上述极值问题（34）是满足的。让我们具体说明这些条件。1） 确定分子和分母表达式（32）的离散概率分布函数定义为任何概率分布（α（1），α（2），α（N））∈ ΓdasI（α（1），α（2）。。。，α（N））==nXk=1nXk=1。。。nNXkN=1A（k，k，…，kN）α（1）kα（2）k。。。α（N）kN（35）I（α（1），α（2）。。。，α（N））==nXk=1nXk=1。。。nNXkN=1B（k，k，…，kN）α（1）kα（2）k。。。α（N）kN（36）换言之，表达式（35）和（36）右侧的数值序列假定为收敛。2） 对于任何离散概率分布（α（1），α（2），α（N））∈ Γd，功能（α（1），α（2），α（N））不消失，即I（α（1），α（2），α（N））=nXk=1nXk=1···nNXkN=1B（k，k，…，kN）α（1）kα（2）k。α（N）kN6=6=0.3）退化概率分布集合集Γ*dis完全包含在集合Γd中：Γ*d Γd.备注3。与一般版本【26】一样，条件2和3意味着函数B（k，k，…，kN）严格来说是所有（k，k，…，kN）的常数符号∈ U、 同时，如果满足与函数B（k，k，…，kN）特征相关的条件，则条件2自动满足。在[26]中，特别注意到函数B（k，k，…）严格为常数符号（特别是严格为正）的条件。

，kN）是随机过程最优控制问题的自然解。在这种联系中，需要满足极值问题（34）解的基本定理中的条件。定义4。如果满足预备条件系统中的条件1和3，则离散概率分布集合称为极值问题（34）中的可容许集合。我们现在制定了极值问题（34）解的基本定理，这是文献[25]中制定的第1项的特例。我们仅考虑该定理中的第一个断言，这是解决本文所考虑的最优控制问题最重要的一个断言。定理2。假设极值问题（34）中的离散概率分布集合是可容许的，并且离散线性分数积分泛函（32）中的函数B（k，k，…，kN）对于所有参数值（k，k，…，kN）都严格具有常数符号（严格正或严格负）∈ U还假设离散线性分数阶积分泛函C（k，k，…，kN）=A（k，k，…，kN）B（k，k，…，kN）的测试函数在集合U上的一个执行点（k）处达到全局极值（最大值或最小值*, k*, . . . , k*N） 。然后，在退化概率分布集（α（1）上得到了相应的极值问题（34）的最大或最小存在的解*, α(2)*, . . . , α（N）*) 集中在各自的点SK*, k*, . . . , k*满足以下关系：max（α（1），α（2），。。。，α（N））∈ΓdI（α（1），α（2）。。。，α（N））=最大值（α（1）*,α(2)*,...,α（N）*)∈Γ*dI（α（1）*, α(2)*, ..., α（N）*) == 最大值（k，k，…，kN）∈UA（k，k，…，kN）B（k，k，…，kN）=A（k*, k*, ..., k*N） B（k*, k*, ..., k*N） ，（37）如果在点（k）处达到测试函数的全局最大值*, k*, . . .

k*N） ；min（α（1），α（2），。。。，α（N））∈ΓdI（α（1），α（2）。。。，α（N））=最小值（α（1）*,α(2)*,...,α（N）*)∈Γ*dI（α（1）*, α(2)*, ..., α（N）*) == 最小值（k，k，…，kN）∈UA（k，k，…，kN）B（k，k，…，kN）=A（k*, k*, ..., k*N） B（k*, k*, ..., k*N） ，（38）如果在点（k）处达到测试函数的全局最小值*, k*, . . . , k*N） 。九、 用离散时间集求解离散马尔可夫模型的最优控制问题转向求解目标函数I的极值问题（7）α(0), α(1), 由公式（8）定义。Inits解析形式，函数Iα(0), α(1)属于由关系式（32）定义的分数线性积分离散泛函的形式。容许解空间（控制）的作用由有限集U=U={2，3，…，N}及其笛卡尔积U=U×U发挥，这是一组向量：U={（m，m）：m∈ U、 m级∈ U} 。离散概率分布α（0）=α（0）l，l=2，3，N,α(1)=α（1）l，l=2，3，N分别在U组上定义。线性分式积分的主函数离散泛函Iα(0), α(1)由公式（见通式（33））确定：C（m，m）=A（m，m）B（m，m），（39），其中函数A（m，m），B（m，m）分别由等式（9），（10）给出。请注意，在所考虑的问题中，函数C（m，m）定义在一组有限的参数值U上。因此，该函数在集合U上实现其最小值和最大值（全局极值）。还记得，在考虑中的随机模型中，假设概率特征sbm，1，bm，0对于m的所有值都是严格正的∈ U={2，3，…，N}，m∈ U={2，3，…，N}（见注2）。

因此，条件满足。B（m，m）=bm，1+bm，0>0，（m，m）∈ UThus，定义在离散概率分布集上的线性分数次积分泛函极值定理的所有条件都已满足（定理2）。极值问题（7）的解存在（分别针对最大值问题和最小值问题），并在集中于m点的退化离散分布上实现*, m级*. 在这种情况下，（m*, m级*) 由公式（39）、（9）和（10）确定的主函数C（m，m）的相应全局极值点。因此，该随机模型中的最优控制问题的解是一对确定的控制参数值（m*, m级*), 提供明确规定的函数C（m，m）的极值。最优控制问题已经完全解决了。十、 结论。结果的意义及其可能的应用让我们对所构建的数学模型的意义和所获得结果的应用做一些一般性的评论。经济中的干预现象研究是应用数学的重要问题之一，第二部分提到的大量研究证实了这一点。本文首先构建了干预作为有控制的随机过程的数学模型。该模型允许将干预描述为对经济体系（粮食市场或外汇市场）的外部影响。从数学上讲，这种影响由两个离散的概率分布表示。

它们的要素代表了将主要过程（谷物价格或相关自由市场中的货币价格）从任何边缘不可接受状态转移到内部可接受状态之一的可能性。理论上的控制问题可以解释为，如何找到能够为某些效率指标提供最大值的概率分布。就其经济意义而言，该指标代表了该经济体系在稳定（静止）状态下发展时产生的平均特定收益。理论研究的结果表明，描述外部影响（控制）的最优概率分布是退化分布。由于退化分布对应于确定性值，这意味着控制应以确定性方式确定。换句话说，干预必须在达到较低或较高的不可接受水平时进行（在可接受的符号中，分别为状态0和状态1），将主要过程转移到某个执行状态或某个固定的可接受水平。我们应该特别注意的是，主过程的控制或状态水平的最佳确定性值可以定义为实现两个整变量函数的全局最大值的点，这两个整变量取一个数值。对于该函数，通过模型的初始特征获得显式分析表示。从实际应用的角度来看，研究结果为粮食和货币市场干预的优化组织开辟了一条新途径。

在确定了第六节所述模型的初始特征后，可以提前计算所进行干预的最佳数量，在此情况下，主要受控过程将转移到给定的一个级别。应该指出的是，所获得的理论结果可以用来解决技术系统的最优控制或调节问题。在许多技术系统，尤其是电子系统中，基本参数的时间变化可以描述为一个随机过程。作为这样一个过程，该模型中使用了马尔可夫链。为确保系统功能的性能，有必要将规定的主要参数保持在规定的限制范围内。因此，相应的随机过程必须在状态集的给定子集中，在该模型中可以称为容许的。如果该过程达到可容许子集的一个边界，即不可接受状态之一，则有必要执行一些控制操作或系统配置，因此必须将过程（或主要参数）返回到可容许子集的一个状态。从数学上讲，控制过程可以用两个离散的概率分布来描述，它们决定了主过程从某个边界到一个内部容许状态的转换。很自然地，将此技术系统的最优调节或最优调节的数学问题作为一项任务，即找到一对离散概率分布，为系统性能的固定成本指标提供极值。

因此，初始技术系统的最优调整问题形式上代表了最优随机控制问题，这是解决经济系统干预优化问题的理论基础。综上所述，在进行的研究中，我们开发并分析了一个通用概率模型，该模型可用于描述经济和技术中的各种系统。得到了这种情况下产生的最优随机控制问题的理论解。研究结果可作为解决与经济干预和技术系统参数优化调整相关的各种模型中相应的最优控制问题的基础。参考文献【1】P.V.Shnurkov，“在给定状态集子集边界上具有周期点击的随机模型中的最优控制问题（调整问题）”，康奈尔大学的工作论文。数学系列“arxiv”。组织”。2017年第1709.03442v1号。P、 1-16。[2] L.I.Lopatnikov，“经济和数学词典：现代经济科学词典”，莫斯科。德洛。2003年【3】关于农业发展的2006年12月29日第264-FZ 12.02.2015号俄罗斯联邦法律（包括2015年8月13日的变更和补充）。[4] Romanenko I.A.，Evdokimova N.E.《俄罗斯联邦农业和工业联合体模型的主要计量依赖关系》//解决农产工业联合体经济问题的信息学。p、 57-80。1997年【5】Siptits S.O.、Romanenko I.A.、Evdokimova N.E.《俄罗斯粮食市场的数学建模方法》//RAAS，RIAPI them。A、 A.尼科诺夫，2006年-p、 45。[6] Evdokimova N.E.建立国家粮食市场监管的有效机制。论文作者关于经济科学候选人科学学位竞争的摘要。莫斯科

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