而且-αwx（x，y）- wy（x，y）+（x- c） =0表示所有（x，y）∈ 通过使用（4.44）和（4.46），并观察（4.7）中的-αA（F（x- αz））ψ′（x- αz）- A′（F（x）- αz））ψ（x-αz）+（x- αz）- c=0。因此，留下来表明-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- c≤ 0, （x，y）∈ W、 （4.47）Lw（x，y）- ρw（x，y）≤ 0, （x，y）∈ S=S∪ S（4.48）在下面的步骤1中，我们证明（4.47）成立，因为（4.48）的证明分别针对步骤2和步骤3中的砂执行。第1步。这里我们证明了（4.47）适用于任何（x，y）∈ W、 注意（4.7）给定a′（y）=F-1（y）- cψ（F-1（y））-αA（y）ψ′（F-1（y））ψ（F-1（y））。（4.49）20科赫岑法拉利，通过使用（4.38）和（4.49）的第一个和第三个方程式，我们将（4.47）的左侧（后列项后）重写为αA（y）ψ′（F-1（y））ψ（x）ψ（F-1（y））- ψ′（x）-F-1（y）- cψ（F-1（y））ψ（x）+x- c=Q（x，F-1（y）），（4.50）对于任何（x，y）∈ W、 这里，我们定义了q（x，q）：=αA（F（q））ψ′（q）ψ（x）ψ（q）- ψ′（x）-q- cψ（q）ψ（x）+x- c、 对于任何（x，q）∈ R×[x∞, x] 。自Q（Q，Q）=0时起，为了使（4.47）有足够的证据表明∞, x] 是F）Qx（x，q）的域≥ 0，对于任意x≤ q、 对于所有q∈ （十）∞, x] 。我们在下面证明了这一点。将Q与x区分开来，使用（4.27），给定sqx（x，Q）=ψ（Q）- （q）- c） ψ′（q）ψ′（q）ψ（q）- ψ′（q）ψ′（x）ψ′（q）ψ（q）- ψ′（x）-（q）- c） ψ′（x）ψ（q）+1。（4.51）取x≤ x个∞q=x∞, 回想一下x∞> c解算（x∞- c） =ψ′（x∞)ψ′（x）∞).

然后，在一些简单代数之后，我们得到了qx（x，x∞) = 1.-ψ′′（x）ψ′（x）∞)> 0，其中最后一个不等式是由于x 7→ ψ′′（x）严格递增。此外，我们发现qx（x，x）=1- （十）- c） ψ′（x）ψ（x）≥ 0，对于任意x≤ x、 （4.52）由于x>c唯一解（x- c） ψ′（x）- ψ（x）=0和x 7→ 1.- （十）-c） ψ′（x）ψ（x）<0严格递减。通过对Qxof（4.51）进行微分，得到qxq（x，q）=“ψ′′（q）[（q-c） ψ′（q）- ψ（q）]- ψ′′（q）[（q- c） ψ′（q）- ψ′（q）]ψ′′（q）ψ（q）- ψ′（q）#Φ（x，q），（4.53），其中我们引入了函数Φ（x，q）：=ψ′（x）ψ′（q）- ψ′′（x）ψ（q），对于所有（x，q）∈ R、 （4.54）即Φq（x，q）=ψ′（x）ψ′（q）- ψ′′（x）ψ′（q）>0，x个≤ q、 （4.55）因为ψ′/ψ′′在k=1的情况下减少到引理4.3。根据推论4.6，我们得到ψ′′（q）（q）- c） ψ′（q）- ψ（q）- ψ′（q）（q）- c） ψ′（q）- ψ′（q）≤ 0，（4.56）对于所有q∈ [x∞, x] 。因此，（4.53）右侧的Φ乘以一项为负。根据（4.55），我们知道，对于q，Φ（x，q）在q中增加≥ x。

我们现在有三种可能的情况。（a） 如果Φ为Φ（x，q）<0表示所有q∈ [x∞, x] ，然后到（4.56）（注意到（4.56）中的函数实际上出现在Qxq的分子中）我们必须有Qxq（x，q）≥ allq为0∈ [x∞, x] ，因此0≤ Qx（x，x∞) ≤ Qx（x，q）≤ Qx（x，x），对于所有q∈ [x∞, x] ，和x≤ x个∞.（4.57）如果Φ为Φ（x，q）>0，则具有价格影响的最优提取21（b）∈ [x∞, x] ，那么到（4.56），我们必须有Qxq（x，q）≤0表示所有q∈ [x∞, x] ，因此0≤ Qx（x，x）≤ Qx（x，q）≤ Qx（x，x∞), 对于所有q∈ [x∞, x] ，和x≤ x个∞.（4.58）（c）如果Φ是Φ（x，q）处的th≤ 0表示所有q∈ [x∞, \'\'q\'，其中\'\'q∈ [x∞, x] ，且所有q的Φ（x，q）>0∈ [(R)q，x]，那么到（4.56），我们必须有Qxq（x，q）≥ 0表示所有q∈ [x∞, q]和Qxq（x，q）≤ 0对于所有q∈ [(R)q，x]，因此qx（x，q）≥ 最小值{Qx（x，x∞), Qx（x，x）}≥ 0，对于所有q∈ [x∞, x] 和x≤ x个∞.（4.59）从（4.57）-（4.59），我们得出结论，（4.47）适用于任何（x，y）∈ W使x≤ x个∞.现在，以x为例∈ （十）∞, x] 让q∈ [x，x]。对于q=x，我们从（4.51）中发现qx（x，x）=0。（4.60）然后，如上所述，从（4.52）和（4.60）中，我们得到Qx（x，q）≥ allx为0∈ （十）∞, x] 带q∈ [x，x]。因此，综上所述，Qx（x，F-1（y））≥ 0表示所有x≤ F-1（y）和y>0，然后确定（4.47）。第2步。在这里，我们通过LemmaB证明（4.48）在S.S设置'x=a+ρcρ+b中成立。1在附录B中，我们有'x≤ x、 使用x解决（x- c） ψ′（x）- ψ（x）=0（参见引理4.4）。现在，让（x，y）∈ Sbe给定并固定。由于（4.39）中的第一和第二个等式，我们得到了（x，y）- ρw（x，y）=（a- bx）y- ρh（x- c） y型-αyi=：eQ（x，y）。ClearlyeQ（x，0）=0。此外，因为（x，y）∈ Sis使y≤α（x- x） 和x≥ x、 我们有eqy（x，y）=a- bx公司- ρ（x- c） +αρy≤ 一- bx公司- ρ（x-c）≤ a+ρc- x（ρ+b）≤ 0，其中最后一个不等式是由x引起的≥ \'x.因此Lw（x，y）- ρw（x，y）≤ S上的0。步骤3。

在这里，我们分别为这两种情况提供了S中（4.48）的证明：（i）a-卑诗省≤ 0和（ii）a-bc>0，在这两种情况下采用不同的方法（另请参见下面的备注4.12）。（i） 假设a- 卑诗省≤ 0、Let（x，y）∈ Sbe给定和固定，并回顾x≥ F-1（y）andy>α（x- x） 适用于所有（x，y）∈ S、 通过使用（4.44）和（4.45），并观察（4.3）中的一个散列σA（F（x- αz））ψ′（x）- αz）+一- b（x- αz）A（F（x- αz））ψ′（x- αz）- ρA（F（x- αz））ψ（x- αz）iz=z（x，y）=0，（4.61）我们得到lw（x，y）- ρw（x，y）=h（a- bx）z- ρ（x- c） z+ραz- bαzA（F（x-αz））ψ′（x- αz）iz=z（x，y）。（4.62）由于z＞0，A＞0，ψ′＞0，则有Lw（x，y）- ρw（x，y）≤bQ（x，y），其中我们有setbq（x，y）：=h（a- bx）z- ρ（x- c） z+ραziz=z（x，y）。22法拉利，KOCHObserve thatbQ（F-1（y），y）=自z（F）起为0-1（y），y）=0（参见（4.36））。因此，对于所有的（x，y），它必须显示bqx（x，y）<0∈ S、 微分Bq与给定的x的关系Bqx（x，y）=z（x，y）- b- ρ+ραzx（x，y）+ zx（x，y）h（a- bx）- ρ（x- c） i.由于zx>0且αzx<1（参见（4.40）并回忆起F′<0），且x≥ F-1（y）≥ x个∞, 我们发现Bqx（x，y）≤ zx（x，y）ha+ρc- F-1（y）（ρ+b）i≤ zx（x，y）a+ρc- x个∞（ρ+b）= zx（x，y）（ρ+b）\'\'x- x个∞,（4.63）和clearlybQx（x，y）≤ 如果为，则为0- 卑诗省≤ 0，s，因为后者表示“x”≤ c<x∞.这表明S上的Bq<0，因此w在Sif a中求解（4.48）- 卑诗省≤ 0.（ii）假设- bc>0。在这种情况下，正如Remark4.12中所讨论的，我们没有通过研究Lw的符号来证明（4.48）- ρw如上（i）所述。因此，我们遵循不同的方法，该方法基于[4]中引理6.7的证明。在这里，我们只提供主要观点，因为大多数论点都来自【4】。Let（x，y）∈W∩ Sbe给定并固定，并考虑任意zo>0。

从（4.35）中，我们找到z（x+αzo，y+zo）=zo，利用后者，我们得到了（4.34），（4.44）和（4.45）的thatLw（x+αzo，y+zo）- ρw（x+αzo，y+zo）=-αbzoA（F（x））ψ′（x）+一- b（x+αzo）zo公司- ρ（x+αzo）- czo+ραzo=：U（zo）。注意，U（0）=0，因此显示U的负性，证明U′（zo）≤ 所有zo>0时为0。We findu′（zo）=-αbA（F（x））ψ′（x）- αbzo+（a- b（x+αzo））- ρ（x+αzo-c） =bx个- c- αA（F（x））ψ′（x）+ （x+αzo- c）-（b+ρ）+a- b（x+αzo）（x+αzo）- c,（4.64）在重新排列术语后，加上和减去术语b（x- c） 以获得上述第二个等式。现在，确定函数（4.65）κ（x）：=-（b+ρ）+a- bxx公司- c、 注意κ（x∞) =ψ′（x∞)-1.（a）- bx公司∞)ψ′（x）∞) - （b+ρ）ψ′（x）∞)= -σψ′′（x∞)ψ′（x∞)< 0，这里我们用了x∞解算x∞-c=ψ′（x∞)ψ′（x）∞)对于第一个等式，引理4.3-（2），k=1表示第二个等式。此外，κ′（x）=bc- a（x- c） <0，因为a>bc，那么对于所有x>x，y ieldsκ（x）<0∞. 从κ的单调性和负性以及zo7→ （x+αzo-c） 为正，随x增加≥ x个∞> c、 我们可以得到zo7→ （x+αzo- c） κ（x+αzo）降低。前面有U′（zo）≤ 0如果U′（0+），则所有zo>0≤ 为了证明右导数U′（0+）是负的，我们现在解释如何在我们设置引理6.7的证明中使用[4]。首先，我们讨论了[4]中的标准假设2.2。f（x）满足条件C2和C3≡ x个- c、 如果a- bc>0，则满足[4]中假设2.2中的条件C5（f（x）≡ x个- c、 ^σ≡ σ, β + δ ≡ ρ、 具有价格影响的最优提取23σρ^σ≡ a、 an dβ≡ b、 此外，在我们的案例中，不需要[4]的假设2.2中的所有其他要求。

事实上，条件C6保证x和x的存在和唯一性∞, 我们已经有引理4.4；条件C4只确保了我们从命题3.1得到的值函数的一个条件，而在我们的设置中，[4]的条件C1只意味着贴现因子必须严格为正。然后，在将我们的奇异随机控制问题重新表述为变量演算问题后，我们可以证明我们的自由边界F-1是我们的绩效基准（2.4）的（单方面）局部最大化者。因此，文献[4]中引理6.7的证明中的矛盾论点也适用于我们的情况，并得出U′（0+）≤ 0。这就完成了证明。备注4.12。（1） 正如我们所看到的，当a-bc>0需要不同的分析，在这里，我们试图解释为什么更直接的方法似乎不会导致理想的结果。假设- bc>0，如果一个人想通过研究Lw的符号来证明（4.48）- ρw in S，假设z：=z（x，y）≥ 0表示全部（x，y）∈ S、 可以尝试证明（cf.（4.62））L（x，y）：=a- bx公司- ρ（x- c） +ραz- bαA（F（x- αz））ψ′（x- αz）对于任何（x，y）为负∈ S、 通过使用（4.7）和A′的定义（参见（4.29））进行计算，发现对于任何y>0的情况，都有L（F-1（y），y）=χ（F-1（y）），其中，对于任何u∈ （十）∞, x] ，我们设置了χ（u）：=（ρ+2b）（bx- u） +bψ（u）（u）- c） ψ′（u）- ψ′（u）ψ′（u）ψ（u）- ψ′（u）,bx：=a+（ρ+b）cρ+2b<x∞. 注意到A（F（x- αz））ψ′（x- αz）=wx（x，y）- zin S（参见。

（4.44）），其中之一是L重写为L（x，y）=a- bx公司- ρ（x- c） +ραz+bαz- bαwx（x，y），因为αzx<1乘以（4.40）和wxx≥ 0乘以（4.45），很容易看出S上的Lx<0。因此，证明Sit上的L<0将有助于显示x上的χ<0∞, x] 。然而，由于函数ψ的隐含表达不明确，即使数值研究似乎证实了χ的负性，我们也无法证明这一性质。由于这一技术原因，在定理证明4.11的步骤3—（ii）中，我们依赖于那些最初在[4]中提出的论据来解决案例a- bc>0。（2） 还值得注意的是，[4]中的变分法方法不会直接适用于任何参数的选择。事实上，当-bc<0，则（4.65）的函数κ在增加，因此没有[4]假设2.2条件C5所要求的单调性。然而，在此类参数的限制下，直接计算（如命题证明4.11的步骤3—（i）中开发的计算）会得到期望的结果。这一事实表明，在复杂的情况下，如果两种方法都不能证明候选值函数对模型参数的任何选择是最优的，那么结合使用变量演算方法和对HJB方程进行更标准的直接研究可能会成功。我们的结论是，（4.34）中的w与值函数V相同。与abyprodu ct一样，我们还提供了最佳提取规则。我们首先需要以下技术结果。在考虑以下节理过程（X，ζ）为（退化）的rw扩散，且在方向上有斜反射时，通过适当地采用[10]中的经典结果，其证明如下(-α, -1） 在C∞-自由边界F（另见【4】，备注4.2）。24法拉利，科奇莱玛4.13。

Let（x，y）∈ R×（0，∞), F如（4.32）所示，z：=z（x，y）求解（4.35），并让 := （x，y）=y1{（x，y）∈S} +z1{（x，y）∈S} 。然后存在一个（沿路径）唯一的自适应连续（X，ζ），ζ增加，例如xt≤ F-1（y-  - ζt），dXt=一- bXt公司dt+σdWt- αdζt，dζt=1{Xt=F-1（y--ζt）}dζt，对于任何0≤ t型≤ τζ，τζ：=inf{t≥ 0：ζt≥ y- }, 起点（X，ζ）=（X- α, 0).定理4.14。分别调用（4.32）和（4.34）中的函数F和w。函数w与（2.3）中的v值函数v以及由ξ表示的最佳提取策略相同, 由ξ给出t型=( + ζt，t∈ [0，τζ），y，t≥ τζ，（4.66）带ξ0-= 0，以及, ζ、 和τζ，如引理4.13所示。证据我们的目标是应用定理3.2。我们已经知道w∈ C2,1（R×[0，∞)) 是引理4.10和命题4.11对HJB方程（3.10）的解，对于所有x，满足度（x，0）=0∈ R、 此外，f函数w相对于y增加。要看到这一点，请注意，从（4.29）可以看出，A′（y）>0，对于y>0（因为（4.29）的分母由引理4.3-（3）为正，分子也由f为正-1（y）≥ x个∞), 这使得W和S上的wy>0（参见（4.38）和（4.46））。此外，可以很容易地从（4.39）中检查wy≥ Sbecause y上为0≤ （十）- x） /α和x>c。为了证明（3.13）中的上界，回想一下（cf.（4.27））A（y）=（F-1（y）- c） ψ′（F-1（y））- ψ（F）-1（y））α[ψ′（F）-1（y））- ψ′（F）-1（y））ψ（F-1（y））]，y≥ 0.自x起≥ F-1（y）≥ x个∞对于任何y≥ 0，通过使用ψ，ψ′和ψ′是连续的，我们得到存在一个大于0的常数，使得a（y）≤ K代表所有y≥ 因此，通过（4.34），我们得到了w（x，y）≤Kψ（F-1（y））≤ Kψ（x）表示所有（x，y）∈ W、 此外，0≤ z（x，y）≤ y代表所有（x，y）∈ 因此，砂（x-c） z-αz≤ （十）-c） z≤ （十）-c） y。

由于（3.13）中的上界在S中得到了明显的满足，我们得出结论，存在一个常数K>0，使得W（x，y）≤ Ky（1+y）（1+| x |）表示所有（x，y）∈ R×（0，∞).对于w的非负性，注意对于所有（x，y）∈ Swe havew（x，y）=（x- c） y型-αy≥ yx个- c-（十）- x）≥ yx个∞- c+x- c≥ 0，自y起≤x个-xα，x≥ F-1（y）≥ x个∞和x>x∞> c、 此外，ψ和a的非负性意味着（x，y）≥ 0，表示所有（x，y）∈ W、 而且，给定（x，y）∈ S、 我们有w（x，y）=A（F（x-αz））ψ（x-αz）+（x-c） z-αz≥Zz（x-αu-c） 杜邦≥Zz（x∞-c） 杜邦≥ 0，自0起≤ z≤x个-x个∞α和x∞> c、 因此w≥ R×[0上的0，∞).现在，自ξ满足（3.14）和（3.15），因此，根据定理3.2，我们得出结论，加宽系数为V，且θ为是一种最佳提取策略。具有价格影响的最佳提取250.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6图2。最佳提取规则ξ的图示（参见（4.66））和自由边界F。通过数值计算（4.32）的自由边界，使用a=0.4、σ=0.8、ρ=3/8、c=0.3、b=1、α=0.25和d获得该图。最佳提取规则规定如下。在{（x，y）区域∈ R×（0，∞) : y<F（x）}最好不要提取。如果在初始时间（x，y），x>F-1（y）和y≤ （十）- x） /α，则应立即耗尽储层。另一方面，如果（x，y）发出x≥ F-1（y）和y>（x- x） /α，然后进行大小合适的z（x，y）的集总提取，然后继续提取，直到通过阻止（最优控制的）过程（x，y）离开区域{（x，y），耗尽公共性∈ R×（0，∞) : y≤ F（x）}。4.2.1. 一个相关的最优停车问题。在本节中，我们展示了方向导数u：=αVx+vyidentifies与最优停止问题的值函数。

这样的结果与[21]中获得的结果一致，对于不同的布朗动力学模型，其中研究了有限燃料奇异随机控制问题与最优停止问题之间的联系。提案4.15。函数u:R×[0，∞) 7.→ 定义为u（x，y）：=αVx（x，y）+Vy（x，y）的概率表示u（x，y）=supτ≥0Ee-ρτ（Xxτ- c）-Zτe-ρsαbA（y）ψ′（Xxs）ds, （x，y）∈ R×[0，∞),（4.67）26科赫法拉利，其中优化是在F停车时间集合上进行的。此外，对于（4.32）中的F，我们得到了停止时间τ（x；y）=在f{t中≥ 0:Xxt≥ F-1（y）}，（x，y）∈ R×[0，∞),在（4.67）中是最佳的。证据在剩下的证据中，y∈ [0, ∞) 将给出并确定。请注意，u（·，y）∈C（R）按构造（参见（4.7）和（4.8））。此外，对（4.34）的直接计算表明Uxx（·，y）∈ L∞loc（右）。现在我们来看看u（·，y）如何解HJB方程maxnlw（x）- ρw（x）- αbA（y）ψ′（x），x- c- w（x）o=0，a.e.x∈ R、 （4.68）回顾销售区域S和等待区域W.L et x∈ R应为（x，y）∈ W、 注意（4.34），我们有vx（x，y）=A（y）ψ′（x），Vy（x，y）=A′（y）ψ（x）。那么，由于u=αVx+Vy，Lu（x，y）- ρu（x，y）- αbA（y）ψ′（x）=σαA（y）ψ′′（x）+A′（y）ψ′（x）+ （a）- bx）αA（y）ψ′（x）+A′（y）ψ′（x）-（ρ+b）αA（y）ψ′（x）- ρA′（y）ψ（x）=αA（y）Lψ′（x）- （ρ+b）ψ′（x）+ A′（y）Lψ（x）- ρψ（x）= 0，使用ψ（k）满足引理4.3-（2），k=0，1。现在，让x∈ R应为（x，y）∈ S、 所以u（x，y）=x- c（召回（4.5））。

If（x，y）∈ 斯腾x≥ x、 利用αbA（y）ψ′（x）>0，我们得到lu（x，y）- ρu（x，y）- αbA（y）ψ′（x）=（a- bx）- ρ（x- c）- αbA（y）ψ′（x）≤ 一- （ρ+b）x+ρc=（ρ+b）（\'x- x）≤ 0，自x起≥ \'x由LemmaB提供。1在附录B中。另一方面，让x∈ R应为（x，y）∈ S、 集合H（x，y）：=Lu（x，y）-ρu（x，y）-αbA（y）ψ′（x），注意H（x，y）x=-（ρ+b）- αbA（y）ψ′（x）<0，因为A和ψ′的正性。因此，为了证明Lu（x，y）- ρu（x，y）-αbA（y）ψ′（x）≤ 0表示全部（x，y）∈ S、 足以证明H（F-1（y），y）≤ 0、Setu：=F-1（y）；然后，利用A的定义（参见（4.27）），我们得到H（u，y）=ψ（u）ψ′（u）- ψ′（u）-1×h（a- 日分- ρ（u- c） （）ψ（u）ψ′（u）- ψ′（u）+ b（u- c） ψ′（u）- bψ（u）ψ′（u）i=σψ（u）ψ′（u）- ψ′（u）-1××hψ′′（u）（u）- c） ψ′（u）- ψ（u）-ψ′（u）（u）- c） ψ′（u）- ψ′（u）i<0，其中我们对最后一个等式应用了k=0和k=1的引理4.3-（2），最后一个不等式遵循自x以来的推论4.6∞< u≤ x、 因此，Lu（x，y）- ρu（x，y）-αbA（y）ψ′（x）≤ 最后，从命题4.11我们得到了x- c- u（x，y）≤ 0表示任意x∈ R、 前面的不等式表明，u（·，y）与W2相同，∞loc（R）-解决方案（4.68）。然后，基于价格影响27It^o公式的（广义）最优提取应用的标准验证定理表明，u（·，y）adm其表示（4.67）和停止时间τ（x；y）=在f{t中≥ 0:Xxt≥ F-1（y）}达到上确界。备注4.16。一些评论值得一提。关于奇异随机控制问题与最优停止问题之间的联系（参见，例如，[11]、[12]、[19]和[21]作为早期贡献，以及引入最近的[9]以获得更丰富的文献综述），我们可以解释停止时间τ（x；y）作为提取额外社区单位的最佳时间。

事实上，当时的基本过程是，从经济角度来看，边际预期最优利润（即αVx+Vy）与边际瞬时净利润（即x-c） 保持。2、如果我们在模型中不考虑价格影响（即，我们取α=0），可以很容易地看出，得到的最优提取问题V的值函数为vy（x，y）=supτ≥0Ehe-ρτ（Xxτ- c） i，结果与（4.67）明显一致。积分项-Zτe-（4.67）中出现的ρsαbA（y）ψ′（Xxs）ds可被视为运行成本/罚款，其影响随着价格影响α的增加而增加。可以检查，命题4.15证明的论点也适用于漂移布朗运动给出的最终价格，即当b=0时（参见第4.1节）。正如在（4.67）的右侧设置b=0所期望的那样，在这种情况下，它保持αVx（x，y）+Vy（x，y）=supτ≥0Ehe-ρτ（Xxτ- c） 因此，与最优提取问题相关的停止问题不取决于水库y的当前水位。这解释了为什么在第4.1节研究的漂移布朗运动情况下，自由边界x触发optimalextraction规则与y无关。5、比较静力学分析在本节中，我们分别研究了由漂移布朗运动（第5.1节）和byan-Ornstein-Uhlenbeck过程（第5.2节）给出的基本p水稻的提取问题的解的敏感性。特别是，在第5.1节中，我们分析确定了自由边界x的依赖关系（4.13）和参数a和σ的值函数（4.14）。在第5.2节中，我们分析研究了价值函数（4.34）和临界价格水平x和x∞引理4.5依赖于a和σ，以及自由边界F对a、σ和b.5.1的灵敏度。

漂移布朗运动基本价格的敏感性分析。这里我们假设b=0 in（2.2）。感谢显式公式（4.13），研究自由边界x的灵敏度关于参数a和σ，是一个简单的微分练习。提案5.1。自由边界xof（4.13）相对于a和σ都在增加。证据我们将（4.11）的参数n看作a和σ的函数；也就是说，我们设置（a，σ）：=-aσ+raσ+ 2ρσ.28 FERRARI，KOCHThen，通过直接计算不难发现（5.1）na（a，σ）=σ应收账aσ+ 2ρσ- σ,和（5.2）nσ（a，σ）=σ一-aσ+ρraσ+ 2ρσ.显然，如果≤ 0一个有na≤ 0和nσ≤ 然后，假设a>0，注意（5.3）raσ+ 2ρσ≥aσandraσ+ 2ρσ≤aσ+ρa，其中上述第二个不等式后面是二项式公式的应用。通过使用（5.1）中的第一个不等式（5.3）和（5.2）中的第二个不等式（5.3），我们很容易发现na（a，σ）≤ 0，以及nσ（a，σ）≤ 0.最后，声明如下，因为x相对于n减小（参见（4.11））。提案5.2。（2.3）中定义的值函数V相对于a和σ增加。证据设^a>a和^σ>σ。我们分别在两步中证明了关于a和σ的单调性。第1步。Let（x，y）∈ R×（0，∞ ) 给出并确定。对于任何ξ∈ A（y），我们用bxx，ξt表示（2.2）的解，当b=0，漂移为^A时。一个显然有bxx，ξt≥ Xx，ξtP-a.s.对于任何t≥ 0.Th-er-eforebJ（x，y，ξ）≥ J（x，y，ξ）对于任何ξ∈ A（y），其中^J由（2.4）给出，基本状态为（bXx，ξ，Yy，ξ）。因此，我们得出V（x，y）≥ V（x，y），（x，y）∈ R×[0，∞),其中bv（x，y）：=supξ∈A（y）^J（x，y，ξ）。第2步。为了证明V相对于σ的单调性，我们采用了文献[2]中定理4的设置思想。当（2.2）中的波动系数为^σ时，LetbV为值函数。

回想一下（3.9）中的L，让BL与（3.9）中的一样，但波动系数为bσ。然后，对于所有（x，y）∈ R×（0，∞) 我们有LBV（x，y）- ρbV（x，y）=^σbVxx（x，y）+abVx（x，y）- ρbV（x，y）+（σ- ^σ）bVxx（x，y）=bLbV（x，y）+（σ- ^σ）bVxx（x，y）≤(σ- ^σ）bVxx（x，y）≤ 0，（5.4）因为（4.17）和（4.19）中的第二个方程以及（4.21）中的第二个方程bv（·，y）是凸的。此外，由于当（2.2）波动率为^σ时，bV是最优提取问题的值函数，因此bV必须满足-αbVx（x，y）-bVy（x，y）+（x- c）≤ 0，（5.5）对所有（x，y）具有价格影响的最优提取29∈ R×（0，∞ ), andbV（x，0）=所有x的0∈ R、 现在，在证明定理3.2的第一步中，通过使用（5.4）和（5.5），我们得到了≥ V，从而得到所要求的单调性。命题5.1和5.2表明，漂移a的水平越高，因此预期价格越高，公司开始提取的时间越晚，以获得更大的利润。此外，公司利用更高的不确定性，从而产生更大的价格波动，然后以更高的价格出售商品，并增加最终利润。5.2。Ornstein-Uhlenbeck基本价格的敏感性分析。我们首先研究x和x的灵敏度∞（参见Lemma4.5）关于模型参数A和σ。在下面，当需要时，我们写g（·；a，σ），以强调给定的真值函数g对a和σ的依赖性。回想一下，方程（L）的基本递增解- ρ） u=0由（4.25）给出（另见（4.26））。下面，当需要时，我们用ψ（k）（x；a，σ）表示k-关于ψx的TH导数。

通过应用支配收敛定理，我们得到了ψ（k）a（x；a，σ）：=ψ（k）a（x；a，σ）=-bψ（k+1）（x；a，σ），对于所有k∈ N∪ {0}.（5.6）类似地ψ（k）σ（x；a，σ）：=ψ（k）σ（x；a，σ）=一- bxbσψ（k+1）（x；a，σ）-kσψ（k）（x；a，σ），（5.7）对于所有k∈ N∪ {0}通过使用（5.6）和引理4.3，可以很容易地得出下一个结果。引理5.3。一个人有这个（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））a=ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）- ψ（k+1）（x；a，σ）bψ（k+1）（x；a，σ）>0，（5.8）下一个结果的证明见附录a。它使用（5.7）。引理5.4。一个人有这个（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））σ（5.9）=（a- bx）[ψ（k+1）（x；a，σ）- ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）]+bψ（k+1）（x；a，σ）ψ（k）（x；a，σ）bσψ（k+1）（x；a，σ）>0。先前关于ψ/ψx对a和σ的依赖关系的结果（即（5.8）和（5.9））允许我们确定x和x的依赖关系∞关于a和σ。我们可以直觉地预期，该公司会利用更高的均值回归水平，从而以更高的价格出售商品。为了证明这一点，我们确实发现x，x∞, 值函数V随着a的增大而增大。在下面，我们用x，x表示∞（c，∞) 至（x-c） ψx（x；a，σ）-ψ（x；a，σ）=0和（x-c） ψxx（x；a，σ）-ψx（x；a，σ）=0。此外，V（x，y）表示（2.2）中平均回归水平为a/b且波动率为σ时的值函数。提案5.5。设^a>a，用^x和^x表示∞（c，∞) 至（x- c） ψx（x；^a，σ）- ψ（x；^a，σ）=0和（x- c） ψxx（x；^a，σ）- ψx（x；^a，σ）=0。30法拉利，科赫福特莫尔，我们用bybV（x，y），（x，y）表示∈ R×[0，∞), 在（2.2）中，平均回归水平为^a/b，波动率为σ时的v值函数。我们有^x>x和^x∞> x个∞,andbV（x，y）≥ V（x，y），（x，y）∈ R×[0，∞ ).（5.10）证明。

对于任何给定的q∈ R和σ>0，设置H（x；q，σ）：=（x- c） ψx（x；q，σ）- ψ（x；q，σ），x∈ R、 对于所有x>c，我们的Hx（x；q，σ）>0。此外，H（^x；a，σ）=ψ（^x；^a，σ）ψx（^x；^a，σ）ψx（^x；a，σ）- ψ（^x；a，σ）>0=H（x；a，σ），其中，我们使用H（^x；^a，σ）=0 f表示第一个等式，使用k=0表示不等式。因此，由m表示H（·；q，σ）在（c）上的耳鸣性，∞ ), 我们有^x>x。类似地，我们可以证明^x∞> x个∞采用引理5.3，k=1。为了证明（5.10），我们可以按照命题证明5.2的步骤1进行。下一个命题表明，临界价格水平x和x∞随着价格波动的增大而增加。提案5.6。设^σ>σ，用^x和^x表示∞（c，∞) 至（x- c） ψx（x；a，^σ）- ψ（x；a，^σ）=0和（x- c） ψxx（x；a，^σ）- ψx（x；a，^σ）=0。此外，当（2.2）中的平均回归水平为a/波段，波动率为^σ时，用bv表示值函数。我们有^x>x和^x∞> x个∞,andbV（x，y）≥ V（x，y），（x，y）∈ R×R+。（5.11）证明。对于任何给定的q>0和a∈ R、 设置H（x；a，q）：=（x- c） ψx（x；a，q）- ψ（x；a，q），x∈ R、 对于所有x>c，我们有Hx（x；a，q）>0。此外，使用H（^x；a，σ）=0，我们有H（^x；a，σ）=ψ（^x；a，σ）ψx（^x；a，σ）ψx（^x；a，σ）- ψ（^x；a，σ）>0=H（x；a，σ），其中不等式由k=0的引理5.4引起。由于H（·；a，q）随着allx>c的增加，我们有^x>x。类似地，我们可以证明^x∞> x个∞k=1的引理5.4。为了证明（5.11），我们可以使用命题证明5.2第2步中使用的参数，只要注意到bv（·，y）通过（4.38）和（4.39）中的第二个方程是凸的，以及（4.45）（回忆一下，A处的th是正的，ψ是凸的）。我们的结果的半显式性质使我们能够轻松地从数值上研究自由边界F对a的依赖性。如图3所示。

我们看到F增加asa增加：均值回归水平越高，公司开始提取的时间越晚，以获得更大的收益。图4显示了曲线x 7的相关性→ F（x）关于σ。我们看到整个曲线F随着σ的增加而增加。因此，我们得出结论，公司利用了更高的不确定性，进而在平均回归水平上产生了更高的波动，然后以更高的价格出售商品，并提高了其收益。在图5中，我们可以观察到自由边界F相对于b的灵敏度，不同于增加σ和a时发生的情况，现在整个曲线F随着b d的减小而增大，实际上，随着b的减小↓ 0，收敛到x, 这是b=0情况下的自由边界（即与漂移布朗运动情况相关）。这一事实可以通过价格影响的最优提取310.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2图3来解释。自由边界图x 7→ F（x）表示b=1，σ=0.8，ρ=3/8，c=0.3，α=0.25，以及a的各种值：a=0.4（绿色），a=0.5（蓝色），a=0.6（红色），a=0.7（黄色）。0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4图4。自由边界图x 7→ F（x）表示a=0.4、b=1、ρ=3/8、c=0.3、α=0.25以及各种波动率值：σ=0.8（绿色）、σ=0.9（蓝色）、σ=1（红色）和σ=1.1（黄色）。32法拉利，科赫0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2图5。自由边界图x 7→ F（x）对于a=0.4、σ=0.8、ρ=3/8、c=0.3、α=0.25以及平均回复速度的各种值：b=1（绿色）、b=0.25（蓝色）、b=0.125（红色）和b=0.05（黄色）。也就是说，如果a>0，b的值越低，公司就越等待，因为它预计未来能够以更高的价格出售商品。附录A.引理4.3第4.2节和第5.2节的结果证明。（1） 我们请读者参阅[18]等。

此外，ψ的严格凸性可以通过（4.25）上的直接计算来检验。（2） 定义函数f:R+×R→ R+byf（t，x）=Γ（ρb）tρb-1.e-t+tbx公司-aσb√2b，即，一旦与x不同，yieldsfx（t，x）=ρ√2bbσΓ（ρ+bb）tρ+bb-1.e-t+tbx公司-aσb√2b。注意，f是（4.26）中出现的β=-ρb.T然后，对x进行微分（4.25），并调用支配收敛定理，我们得到ψ′（x）∝ e（bx-a） 2σbD-ρ+bb-bx公司- aσb√2b级,注意到fx（t，x）是D的被积函数-ρ+bb-bx公司-aσb√2b级（参见（4.26））。因此，ψ′可以被确定为（常数模）的正严格递增基本解（L-（ρ+b））u=0，通过直接计算，可以确定它是严格凸的。通过重复前面的论点，我们可以看到，对于任何价格影响为33k的最优提取∈ N、 函数ψ（k）是严格凸的，并且与（L）的正严格递增基本解一致- （ρ+kb））u=0。（3） 我们定义函数f（k）：R+×R→ R+byf（k）（t，x）=√2b/σkΓ（ρb）tρb+k-1.e-t+tbx公司-aσb√2b。通过直接计算，我们确定ψ（k+1）（x）=Z∞f（k+2）（t，x）f（k）（t，x）dt，x∈ R、 借助于H¨older不等式（严格地说f（k）（·，x）不是f（k+2）（·，x））的倍数），givesZ∞f（k+2）（t，x）f（k）（t，x）dt<Z∞f（k+2）（t，x）dtZ公司∞f（k）（t，x）dt。后者实际上等于ψ（k+2）（x）ψ（k）（x）- ψ（k+1）（x）>0。引理证明4.4。让k∈ N∪ {0}给定并固定，定义∧（x）：=（x- c） ψ（k+1）（x）- ψ（k）（x），x∈ R、 然后我们有以下内容。（i） 对于x≤ c、 很容易看出∧（x）<0。（ii）对于所有x>c+ψ（c）ψ′（c），其中一个具有∧（x）>0。要看到这一点，重写∧（x）=ψ（k）（x）（十）-c） ψ′（x）ψ（x）- 1., 注意，通过引理4.3ψ′（x）ψ（x）′=ψ′′（x）ψ（x）- （ψ′（x））（ψ（x））>0。因此，对于所有x>c+ψ（c）ψ′（c）>c，其中一个具有ψ′（x）ψ（x）>ψ′（c）ψ（c），这意味着（x- c） ψ′（x）ψ（x）- 1>（x- c） ψ′（c）ψ（c）- 1>0，对于所有x>c+ψ（c）ψ′（c）。

后者明确给出了∧（x）>0的所有x>c+ψ（c）ψ′（c）。因为∧′（x）=（x- c） ψ（k+2）（x）>0对于所有x>c，我们从（i）和（ii）中得出结论，（c）上存在唯一解，∞) 通过∧的连续性，方程∧（x）=0。引理证明4.5。我们用矛盾来争论，我们给出了x∞≥ x、 然后定义x和x∞wehavex公司- x个∞= （十）- c）- （十）∞-c） =ψ（x）ψ′（x）-ψ′（x∞)ψ′（x）∞).（A-1）自Lemma4.3起ψ（x）ψ′（x）′=ψ′（x）-ψ（x）ψ′（x）ψ′（x）<0，对于任何x∈ R、 34法拉利，科赫威（A-1）thatx- x个∞≥ψ（x）∞)ψ′（x∞)-ψ′（x∞)ψ′（x）∞)> 0，同样是由于Lemma4.3。但这与x相矛盾∞≥ x、 引理证明4.9。首先注意，对于（4.35）的解z的存在性，有必要是y-z≥ 0自F起≥ 0和x-αz∈ （十）∞, x] 因为F的域是（x∞, x] 。因此，如果存在（4.35）的解，它必须是z（x，y）∈ （十）-xα，x-x个∞α∧ y] ，适用于所有（x，y）∈ S、 Let（x，y）∈ 给定并固定y>F（x），定义R（z）=y-z-F（x-αz），f或z∈ （十）-xα，x-x个∞α∧ y） 。那么，R（0）=y- F（x）>0和limz↑（十）-x个∞α∧y） R（z）<0。自7世纪以来→ R（z）是严格递减的（严格按F的耳蜗度m递减），因此（4.35）存在唯一解。最后，（4.36）注意到当y=F（x）时，0解（4.35）并且解的唯一性。类似地，（4.37）后面会注意到x-xα唯一解（4.35），sinceF（x）=0。引理5.4的证明。（5.9）中的第一个等式遵循fr om（5.7）。

为了证明（5.9）中的最后一个不等式，我们通过引理4.3-（2）发现σψ（k+2）（x；a，σ）+（a- bx）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）=0。（A-2）从（A-2）中，回顾ψ（k+1）>0，我们得到（A- bx）=-σψ（k+2）（x；a，σ）2ψ（k+1）（x；a，σ）+（ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）。因此，我们有（a- bx）hψ（k+1）（x；a，σ）- ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）i+bψ（k+1）（x；a，σ）ψ（k）（x；a，σ）=（ρ+（k+1）b）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）+σψ（k+2）（x；a，σ）2ψ（k+1）（x；a，σ）hψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x，a，σ）- ψ（k+1）（x；a，σ）i |{z}>0通过引理4.3>ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）h（ρ+（k+1）b）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x，a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）i。我们现在的目标是确定后一个等式右侧的最后一项为正。关于（5.9），这显然意味着（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））σ> 0.从（A-2）我们得到（ρ+（k+1）b）ψ（k+1）（x；A，σ）=σψ（k+3）（x；A，σ）+（A- bx）ψ（k+2）（x；a，σ），具有价格影响的最优提取35，然后产生ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）h（ρ+（k+1）b）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）i=ψ（k）（x；σ）ψ（k+1）（x；a，σ）hσψ（k+3）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）+ψ（k+2）（x；a，σ）（a）- bx）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）i=σψ（k）（x；σ）ψ（k+1）（x；a，σ）hψ（k+3）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）- ψ（k+2）（x；a，σ）i>0，其中最后一个等式通过（a-2）的应用再次出现，最后一个不等式通过Emma4.3出现。因此（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））σ> 0，证明已完成。附录B.辅助结果附录B.1。设xbe为（4.28）和（B-1）x的解：=a+ρcρ+B。我们有x<x的证明。定义H（x）：=（x- c） ψ′（x）- ψ（x），x∈ R、 自ψ满足σψ′（x）+（a- bx）ψ′（x）- ρψ（x）=0，对于所有x∈ R、 σψ′（x）>0，我们发现-ψ（x）<-（a）-bx）ρψ′（x），x个∈ R、 因此，我们有h（\'x）<（\'x- c） ψ′（(R)x）-（a）- b'x）ρψ′（'x）=h（'x- c） ρ- （a）- b'x）iψ′（'x）ρ=0，通过'x的定义。

由于H（x）=0，对于所有x<x的情况，H（x）<0，对于所有x>x的情况，H（x）>0，它必须是'x<x。致谢。。德国研究基金会（DFG）通过合作研究中心C entre 1283“在分析、随机性及其应用中从随机性和低规律性中驯服不确定性和利益”提供的财政支持得到了研究者们的感谢。我们感谢Stefan Ankirchner、Dirk Becherer、Todor Bilarev、Ralf Korn、Frank Riedel、Wolfgang J.Runggaldier和Thorsten Upmann的宝贵讨论和评论。特别是，我们感谢彼得·弗伦特鲁普（PeterFrentrup）在本手稿的前一版本中指出了阿米斯塔克（amistake）。参考文献【1】Almansour，A.，Insley，M.（2016）。随机开采成本对可开采资源价值的影响：阿尔伯塔油砂的应用。《能源杂志》37（2）。[2] Alvarez，L.H.R.（2000年）。存在状态相关屈服结构的奇异随机控制。S toch。流程应用。86 323–343.[3] 贝特曼，H.（1981）。高等超越函数，第二卷。麦格劳·希尔图书公司。[4] Becherer，D.、Bilarev，T.、Frentrup，P.（2017）。随机流动性下的最优清算。金融圣奥赫。22(1) 39–68.[5] Becherer，D。，Bilarev，T.，Frentrup，P.（2018年）。M1/J1拓扑中大投资者策略的稳定性。出现在伯努利。ArXiv:1701.02167。[6] Borodin，W.H.，Salminen，P.（2002年）。布朗运动事实和公式手册。第二版。Birkh–auser。36法拉利，科赫[7]Brekke，K.A.，Oksendal，B.（1994）。O不确定性条件下经济活动的最佳转换。暹罗J.控制优化。32(4) 1021–1036.[8] Bridge，D.S.，Shreve，S.E.（1992年）。多维有限燃料奇异随机控制。讲师通知控制。Sci。177 38–58.[9] De Angelis，T.，Ferrari，G.（2018）。

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