（A.9）这种不平等意味着z =εq =√λq0≤ Hε(z) = Hε(√λq) = -tr公司(αλ(q)) -√λbαtr公司(q) + aα,和（A.6）收益率λ ≥ λ= (ε)tr公司(αZ,λ(q)) ≤ tr公司(αλ(q)) ≤ aα-√λbαtr公司(q),这证明了这一说法。在剩下的证明中，我们展示了不等式（A.9）。矩阵z 和Γ是对称的，z 为正定义，且Γ为严格正定义。然后Γ+εz 是严格的正定义，符合属性1。和3。引理A.1的矩阵（Γ+εz)-1对称且严格正定义。进一步的z是对称的正半定义。不等式（A.3）意味着tr(AB) ≥ tr公司(B)/ tr公司A-1.andwith公司A = (Γ + εz)-1和B = z我们发现(z(Γ + εz)-1.z) = tr公司(z(Γ + εz)-1) ≥tr公司(z)tr（Γ+εz)=tr公司(z)tr（Γ）+ε tr公司(z).不平等（A.4）产生tr(z) ≥dtr公司(z), 因此我们获得(z(Γ + εz)-1.z) ≥dtr公司(z)tr（Γ）+ε tr公司(z)=tr公司(z)ψ + εd tr公司(z), （A.10）其中ψ = d tr（Γ）。设置x = tr公司(z) ≥ 0和g(x) =xψ+εdx- bαx + aα- aμ那么（A.10）意味着Hε(z) ≥ g(x).现在仍然需要选择常量aα, bα, ε> 0，以便g(x) ≥ 全部为0x ≥ 0和ε ≤ ε. （A.11）出租aα> aμ= tr（∑）μ). 然后a := g(0) = aα- aμ> 0.自ψ + εdx > 0不平等g(x) ≥ 0等于0≤ f (x) := (ψ + εdx)g(x) = Aεx+ Bεx + C,Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波行为》，第19页，其中Aε= 1.- εdbα, Bε= εda - bαψ, C = ψa. 允许ε > 选择0，以便Aε> 0，那么f(x) = Aεx+BεAεx +CAε= Aεx -Kε+ Dε具有Kε=BεAε和Dε:= C -(Bε)Aε=4.CAε- (Bε)4.Aε.我们选择aα> aμ, 即。，a = aα- aμ> 0，那么我们有f(x) ≥ 0如果Dε≥ 0或等效值，如果P (ε) := 4.CAε- (Bε)≥ 0P (ε) 是一个二次函数P (ε) = 4.ψa - (εda + bαψ), 因此P (0) = 4ψa - bαψ和P 正在减少ε > 0

因此，我们必须要求P （0）>0，给出0<bα≤ bα= bα(aα) = 2.aα- aμψ.然后P (ε) ≥ 0用于ε ∈ (0, ε] 哪里ε是的正零P 提交人：ε= ε(aα, βα) =d(aα- aμ)ψ(aα- aμ) - bαψ.不难检查ε < ε它保持不变Aε= 1.- εdbα>1.- bαψaα- aμ≥ 0.请注意bα= bα它保持不变ε= 0，这是不可行的。因此用于aα> aμ, bα∈ (0, bα(aα)) 对于ε ≤ ε= ε(aα, bα) 或同等λ ≥ λ= 1/ε它适用于（A.11），因此Hε(z) ≥ 0在（4.7）中给出的条件下。这就完成了证明。A、 3引理5.1的证明为了方便读者，我们回顾引理5.1的陈述：对于函数αJ,λ（5.3）中给出了存在常数aα, bα> 0独立于λ 对于全对称和正半定义q ∈ Rd×dtr公司αJ,λ(q)≤ aα-√λ bαtr公司(q), 对于λ > 0、上述估计适用于aα= tr（∑）μ) + (d tr（∑）J)r)-1和bα= 2(d tr（∑）J)√r)-1和每r > 0.证明。使用定义αJ,λ在（5.3）和tr（·）的线性中，我们发现trαJ,λ(q)= tr公司Σμ- tr公司κq + qκ- tr公司q(Σ-1.R+ λΣ-1.J)q. （A.12）对于r.h.s.（A.2）中的第二项，意味着tr(κq + qκ) = tr公司((κ + κ)q) ≥ β tr公司(q) 哪里β :=ρ闵(κ + κ) > 0是的最小特征值κ + κ. 该矩阵是对称的正定义，自κ 为正定义。使用（A.3）和（A.4），我们推导出(q(Σ-1.R+ λΣ-1.J)q) ≥ λ tr公司(qΣ-1.Jq) = λ tr公司(qΣ-1.J)≥ λtr公司(q)tr（∑）J))≥ λdtr公司(q)tr（∑）J))= λψ tr公司(q)哪里ψ := (d tr（∑）J))-1> 0. 将上述估计值代入（A.12），我们得到αJ,λ(q)≤ f （tr(q)) 具有f(x) := aμ- βx - λψx, x ≥ 0，（A.13）我们设置的位置aμ= tr（∑）μ). 二次函数f 是严格凹的，因此对于任何x≥ 0它保持不变f(x) ≤ f(x) + f′(x)(x - x). 选择x= 1/√λr 对一些人来说r > 0它如下所示f(x) ≤ aμ+ψr-√λ2.ψ√rx = aα-√λbαx我们使用的定义aα, bα在（5.5）中。将此估算值代入（A.13）可证明该索赔。

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