这是因为Y是处于均衡状态的做市商过滤中的布朗运动，因此，随机变量X因备注a.1而得到充分支持。Y是布朗运动是理性的结果，Hx>0，H满足（2.16）。然而，价格从下方到[0，^t]的一致有界性为内部人士提供了一个与均衡定义相矛盾的无界利润。事实上，因为f是无界的，所以存在一个z∈ R使得f（z）<h。考虑交易策略dθt=-n1[0，^t]（t）dt并注意到，通过部分整合我们获得的相关最终财富=-新西兰^t（f（z）- H（t，Xt））dt≥ n（h- f（z））^t→ ∞ 作为n→ ∞.因此，我们可以假设H（t，∞) = -H（t，-∞) = ∞ 对于所有t∈ [0, 1].下一个表示ghy（t，H）-1（t，x））×g（t，x），并观察z∞ξ（t，a）（H（t，u）- a） g（t，u）du=Z∞a（u- a） g（t，u）du。假设对于所有t∈ [0，1]我们有limu→∞gHy（t，H-1（t，u））=limu→∞g（t，u）≥ 0以及limu→-∞g（t，u）≥ 0，并考虑An：={（t，u）∈ [0，1]×R：~g（t，u）≤ -n} 。很明显，Anis每n关闭一次≥ 此外，它也是有界的。确实，假设t存在一个序列（tm，um）m≥1. Ansuch that limm→∞tm=t≤ 1和limm→∞um=∞ 或-∞.那么，limm→∞~g（tm，um）≥ 0，因为▄g的连接连续性是矛盾的。Thusan是紧致的，如果▄gw不从m开始，则其int部分将由嵌套集属性非空。然而，如果（^t，^u）∈ [0，1]×R属于交叉点，~g（^t，^u）=-∞. 因此，交叉点必须为空，因此▄g从下方有界。接下来假设存在一个^t，使得limu→∞g（^t，u）<0或limu→-∞g（^t，u）<0。在不丧失一般性的情况下，假设前者，并观察到这导致了▄g（t，x）<-C对于[t，t]×[x]中的所有（t，x），∞) 对于某些c>0和t，tin[0，1]和x∈ R由于▄g的连续性。

注意，可以假设xc满足H（t，x）≥ 所有t的f（z）∈ 由于H的连续性和单调性，设xn：[0，1]→ 对于所有t，R是由xn（0）=0、xn（t）=x+、xn（3t+t）=x+n+、xn（t）=x+、xn（1）=f（z）和xn（t）=x+n+定义的分段线性函数∈ [3t+t，t+3t]。考虑ε=和引理A.1的应用，得出一般KYLE-BACK模型中定价规则和最优策略的结果为22。允许策略θn的存在是连续的、有限的变化和满足∈[0,1]| Xnt- xn（t）|<，其中Xnis为引理。与该策略相关的财富由wn给出：=ψf（z）（0，0）- E0，z“ZZH（t，Xnt）f（z）（u- f（z））~g（t，u）dudt#根据定理5.1。由于Xnis在[0，t]和[t，1]上一致有界，我们只需要考虑[t，t]上的上述积分。此外，g的连续性意味着wn≥ l - E0，z“ZttZH（t，Xnt）x（u- f（z））~g（t，u）dudt#≥ l - E0，z“Z3t+t3t+tZH（t，Xnt）x（u- f（z））~g（t，u）dudt#≥ l +cE0，z“Z3t+t3t+t（H（t，Xnt））- f（z））dt#，其中第二个和第三个不等式是由于▄g小于或等于-c在【t，t】×【x，∞). 自H（t，Xnt）≥ f（z）在[3t+t，t+3t]上，根据单调收敛定理，Wn→ ∞ 作为n→ ∞, 这与平衡的定义相矛盾。备注5.2。注意，鉴于上述l emma，我们可以将H作为恒等式函数。实际上，如果（H，w）是一个满足上述引理条件的定价规则，那么（~H，~w），其中~H（t，x）=x和~w（t，x）=Hx（t，H）-1（t，x））w（t，H-1（t，x））也是满足引理条件的一个pricingrule，条件为▄g（t，x）=g（t，H-1（t，x））Hx（t，H-1（t，x））。

此外，Zxξ（t，a）（H（t，u）- a） g（t，u）du=ZH（t，x）a（u）- a） g（t，u）du和H（t，∞) = -H（t，-∞) = ∞ 对于所有t∈ [0, 1].此外，考虑St：=H（t，Xt），其中X是（2.10）的唯一解，c=j=0。然后DST=~w（t，St-)dYct+~w（t，St-) wx（t，St-)（d[Y，Y]ct- dt）+（H（t，Xt）- H（t，Xt-),因此，S满足S（2.10），w=~w。事实上-+ H（t，Xt）- H（t，Xt-) = K-1w（t，Kw（t，St-) + Yt）。abo ve相当于Yt=Kw（t，H（t，Xt））- Kw（t，St-) =ZStSt公司-w（t，y）dy=ZXtXt-w（t，y）dy，它从X的动力学角度出发。因此，在不损失一般i的情况下，我们可以假设为恒等式。我们现在可以给出定理3.2的证明。关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略23定理3.2的证明。注意θ*根据定理5.2，是连续的。观察时间*可根据备注5.2视为等同。我们还将把注意力限制在∈ E、 固定z∈ E、 我们显示X*必须确保X*t=arg minxRxf（z）（y-f（z））g（t，y）dy for all t∈ (0, ν). 假设不存在，即假设存在t∈ （0，ν）和δ>0，如tha tP0，z“ZX*tf（z）（y）- f（z））g（t，y）dy-Zsf（z）（t）f（z）（y）- f（z））g（t，y）dy>δ#>0。因为X和*和sf（z）在[0，ν]和zx上是连续的*uf（z）（y）- f（z））g（u，y）dy-Zsf（z）（u）f（z）（y）-f（z））g（u，y）dy≥ 0对于所有u∈ [0，ν]我们将得到p0，z“zνZX*tf（z）（y）- f（z））g（t，y）dydt-ZνZsf（Z）（t）f（Z）（y）- f（z））g（t，y）dydt>0#>0。这意味着0，zZνZX*tsf（z）（t）（y）- f（z））g（t，y）dydt= δ>0（5.9）对于任何ε>0，考虑sε，使得sε（0）=0，sε=sf（z）（在ε，ν上），并且sε在[0，ε]上连续且单调。

由于引理A.1，存在Xε这样的t hatsupt∈[0，ν]| sε（t）- Xεt |<ε。我们将使用相应的θε作为[0，ν]上的内幕策略。在[ν，ν+ε]集合dθε=-dBt+f（z）-Xενεw（t，Xεt）dt，注意Xε保持在[ν，ν+ε]上，Xεν+ε=f（z）。现在考虑区间[ν+ε，ν+2ε]并引入Rεt=dBt+R*t型- Rεtν+2ε- tdt，Rεν+ε=Kw（ν+ε，f（z））。很容易看出，上述SDE在[ν+ε，ν+2ε]上的解由εt=（ν+2ε）给出- t）Rεν+ε+Ztν+εν+2ε- sdBs+Ztν+εR*s（ν+2ε）- s） ds,其中R*t=千瓦（t，X*t） 。观察方括号中的前两项乘以（ν+2ε- t） 将两个0收敛为t→ 根据[21]中的练习IX.2.12，ν+2ε。此外，在[R*ν+2ε6=0]L\'Hospital规则的应用表明，第三项乘以（ν+2ε- t） 收敛到R*ν+2ε. 类似地，在[R*ν+2ε= 0], (ν + 2ε - t） Rtν+ε| R*s |（ν+2ε-s） ds公司→ 0.24关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略*ν+2ε，a.s。。注意，如果我们定义τR：=inf{t≥ ν+ε：R*t=Rεt}，则Rε是[ν+ε，τR]上的半鞅。实际上，ZτRν+ε| R*t型-Rεt |（ν+2ε- t） dt公司=ZτRν+εR*t型- Rεt（ν+2ε- t） dt公司=BτR- RετR- Bν+ε+Rεν+ε< ∞.接下来，我们定义Xt=K-t为1w（t，Rεt）∈ [ν+ε，ν+2ε]和setXεt=f（z）+（Xt）- f（z））+，如果X*ν+ε≥ f（z）；f（z）- （▄Xt- f（z））-, 如果X*ν+ε<f（z），t型∈ [ν+ε，τ]，其中τ=inf{t≥ ν+ε：X*t=f（z）}∧τR.首先不是e，而是τ≤ ν+2ε和所有t∈ [ν+ε，τ]我们有X*t型≥ Xεt≥ f（z）或f（z）≥ Xεt≥ 十、*t位于X上*ν+ε. 此外，Xετ=X*τ所以我们可以设置Xεt=X*t对于t∈ [τ, 1].Xεon[ν+ε，τ]满足dxεt=w（t，Xεt）（dBt+dθεt），其中在X的情况下*ν+ε≥ f（z）dθεt=1[Xεt>f（z）]G（t，Xεt）+R*t型- Rεtν+2ε- t型dt+dLt- 1[Xεt=f（z）]dBt，并且根据[20]第四章中的定理68，L是f（z）处X的当地时间。