为了选择三件式参数的“安全”值，我们将在每个时间间隔内简单地（尽管有些人为地）扰动每个安全参数的值，得出以下“安全”三件套参数表：T件比例κθλρrdrf1M 1 1/4 4.80 1.70%0.394-0.371 1%02 1/4 5.20 2.10%0.434-0.411 3%03 1/2 5.00 1.90%0.414-0.391 2%03M 1/4 4.80 0.90%0.394-0.371 1%02 1/4 5.20 1.30%0.434-0.411 3%03 1/2 5.00 1.10%0.414-0.391 2%06M 1 1/4 4.80 0.70%0.394-0.371 1%02 1/4 5.20 1.10%0.434-0.411 3%03 1/2 5.00 0 0.90%0.414-0.391 2%01Y 1/4 4.80 0.70%0.394-0.371 1%02 1/4 5.20 1.10%0.434-0.411 3%03 1/2 5.00 0.90%0.414-0.391 2%0在我们的数值分析中，我们改变其中一个三段参数（κ、θ、λ、ρ），然后通过闭式近似公式和如上所述的蒙特卡罗方法计算影响的波动率。具体而言，我们从（κ、θ、λ、ρ）中选择一个3段参数，从其安全3段参数值的40%开始，然后以20%的增量增加每个段的值，一直增加到160%，同时保持其他三个3段参数固定在其安全值。然后，我们对其他三个3件式参数中的每一个重复此过程。相关表格分别为表7.1、表7.2、表7.3和表7.4，用于分析κ、θ、λ和ρ。请注意，ρ表中的值是相反的，因为ρ为负，因此160%的安全三件式ρ约为(-0.594, -0.658, -0.626). 这确保所有表的参数值都在增加。备注7.3。伐木条件为2κθ>λ。表7.1至7.4显示了伐木条件不满足时的红色文本。请注意，在应用中，几乎总是违反此条件。

也就是说，根据市场数据校准的参数几乎总是违反伐木工人条件，参见示例【11、12、31】。事实上，这就是从业者现在青睐非有效模型的原因。表7.1：。在theHeston模型中计算的基点隐含波动率的符号误差，κ的变化范围为其“安全”三件式值的40%-160%。κ40%0 60%0 80%100%120%140%160%ATM 1M 0.77 0 1.08 0 1.23 0 1.32 1.37 1.40 1.413M-26.35-15.43-9.00-4.96-2.30-0.45 0.876M-59.94-31.56-16.97-8.82-3.96-0.93 1.001Y-70.41-29.66-12.76-4.92-1.05 0.95 1.98投入25 1M 12.81 11.01 9.65 8.61 7.79 7.13 6.593M14.05 12.89 12.08 11.43 10.89 10.41 9.986M 3.83 9.08 11.35 12.14 12.17 11.82 11.291Y-7.47 6.88 11.14 11.86 11.34 10.42 9.44推杆101M 34.21 27.41 22.52 18.91 16.19 14.08 12.403M86.32 62.63 47.89 38.17 31.40 26.50 22.816M 115.94 78.44 57.53 44.60 35.91 29.68 25.041Y 105.65 66.94 47.08 35.05 27.06 21.45 17.38表7.2。在theHeston模型中使用θvaryin g计算的基点隐含波动率的符号误差，从其“安全”三段值的40%到160%。θ40%60%80%100%120%140%160%ATM 1M-0.12 0.22 0.32 0.32 0.32 0.25 0.14 0.013M-20.59-12.98-8.66-6.05-4.41-3.35-2.656M-32.70-20.25-13.51-9.46-6.90-5.19-4.021Y-21.50-12.02-7.09-4.24-2.45-1.28-0.47Put 25 1M 14.04 11.50 9.69 8.35 7.31 6.47 5.773M24.69 17.26 13.10 10.49 8.68 7.33 6.266M 31.34 20.93 15.91 13.07 11.24 9.94 8.931Y 28.59 19.26 15.15 12.80 11.30 10.23 9.41Put 101M 33.55 26.93 22.07 18.45 15.69 13.53 11.793M84.65 63.16 48.78 38.90 31.87 26.69 22.766M 103.04 74.71 56.46 44.40 36.11 30.16 25.721Y 81.69 58.22 43.82 34.74 28.72 24.48 21.36表7.3。

在theHeston模型中计算的基点隐含波动率的符号误差，λ从其“安全”三件式值的40%到160%不等。λ40%60%80%100%120%140%160%ATM 1M 0.04 0.59 0.78 0 0.15-2.00-6.32-13.333M-0.07 0.15-1.68-7.00-17.03-32.53-54.166M 0.98 0.74-2.26-9.55-22.26-41.14-66.661Y 2.37 2.28 0.41-4.38-12.88-25.70-43.27Put 25 1M 1.31 3.36 5.61 7.94 10.34 11.553M 2.50 5.92 9.21 11.35 11.31 8.24 1.666M 4.09 7.93 11.34 13.02 11.87 7.04-2.111Y 5.10 8.18 11.05 12.73 12.43 9.50 3.39投入10 1M0.47 4.78 10.97 19.32 29.81 42.31 56.543M 2.10 10.46 22.57 38.09 56.38 76.63 98.376M 4.70 14.43 28.08 44.95 64.13 84.85 106.371Y 5.13 12.44 22.53 34.81 48.54 63.19 78.41表7.4。在theHeston模型中计算的基点隐含波动率的符号误差，ρ从其“安全”三件式值的160%到40%不等。ρ160%140%120%100%80%60%40%ATM 1M 29.14 14.93 6.37 1.16-2.02 0-3.96 0-5.10 03M 27.01 10.49-0.06-6.97-11.56-14.60-16.526M 24.82 8.30-2.34-9.41-14.19-17.41-19.491Y 25.35 10.58 1.42-4.47-8.34-10.91-12.54投入25 1M 44.10 28.02 16.46 8.28-1.52-1.49-1.49 4.193M63.28 40.72 23.85 11.21 1.67-5.51-10.856M 68.04 44.03 26.03 12.39 1.96-6.03-12.121Y 60.63 39.51 24.27 13.08 4.73-1.55-6.27投入10 1M 28.21 28.60 24.52 18.96 13.15 7.68 2.813M64.31 58.82 49.05 38.07 27.19 17.01 7.786M 76.48 68.62 56.94 44.37 32.11 20.69 10.331Y 64.00 55.57 44.91 34.16 24.11 15.04 7.05敏感性分析与我们预期一致。例如，对于大到期日，可以很容易地表明，扩展和评估点差异的分量方差增加。

此外，对于volλ的大vol或大相关|ρ|，人们预计扩展和评估点的差异方差会增加。因此，当这些参数较大时，我们期望我们的闭式近似公式不太准确。事实上，数值结果证实了这一行为。然而，当比较与到期日T=1/2和T=1相关的数值结果时，似乎有一个特点。具体而言，T=1的近似公式似乎比T=1/2的近似公式更准确。通过研究err或bound fr-om定理5.4，对这种行为的一种解释是，从函数ζ（T）开始，在T中呈指数衰减的项（这是固定K的函数M（T，K），见引理5.2）可能开始在T的这一区域贡献更多。当然，这只是猜测，因为这种说法依赖于误差界理论5.4中的所有其他术语（最值得注意的是，基本方差过程的矩的行为）。然而，这似乎是一个合理的说法，因为错误界中的其他术语都是T的递增函数。要对这一说法进行精确量化，需要进一步调查潜在方差过程的矩。在应用方面，对于实际参数值（即“安全”3件套参数集附近的值），我们发现误差大小约为10-50bps，这被认为是在工业中使用的合理值。7.2. GARCH扩散模型敏感性分析。我们从第7.1节中相同的“安全”3段参数集开始，尽管每个段上的ρ=0。在我们的分析中，我们一次改变三个参数中的一个（κ、θ、λ），并保持其余参数不变。

我们采用与Heston框架中相同的策略，我们从安全3件式参数值的40%开始，将itin增量增加20%，一直增加到160%，而其余的固定在其s afe值。关于κ、θ和ρ的分析，相关表格分别为表7.5、表7.6和表7.7。表7.5。在GARCH d扩散模型中计算的基点隐含波动率的符号误差，κ从其“安全”3段值的40%到160%变化。κ40%60%80%100%120%140%160%ATM 1M-1.33 0-1.70 0-2.06 0-2.35-2.58-2.77-2.933M-2.69-3.10-3.30-3.31-3.22-3.06-2.876M-3.32-3.16-2.74-2.25-1.78-1.36-1.021Y-2.79-1.80-1.04-0.54-0.25-0.08 0.00放25 1M-1.36-1.73-2.73 09-2.38-2.61-2.81-2.963M-2.71-3.12-3.31-3.32-3.23-3.07-2.876M-3.30-3.13-2.72-2.23-1.75-1.34-1.001Y-2.77-1.77-1.02-0.52-0.23-0.070.02投入10 1M-1.37-1.74-2.10-2.39-2.62-2.81-2.973M-2.75-3.16-3.35-3.37-3.27-3.11-2.916M-3.33-3.17-2.75-2.25-1.78-1.36-1.011Y-2.76-1.76-1.00-0.51-0.22-0.06表7.6。在GARCH扩散模型中计算的基点隐含波动率的符号误差，θ从其“安全”3段值的40%到160%变化。θ40%60%80%100%120%140%160%ATM 1M-1.09 0-1.51 0-1.95 0-2.35-2.71-3.04-3.353M-1.43-2.14-2.78-3.34-3.85-4.31-4.736M-0.67-1.29-1.82-2.27-2.67-3.02-3.351Y 0.47 0.08-0.22-0.46-0.66-0.84-1.00Put 25 1M-1.11-1.54-1.54 98-2.38-2.74-3.07-3.383M-1.42-2.13-2.77-3.34-3.84-4.30-4.736M-0.65-1.26-1.79-2.24-2.63-2.99-3.311Y 0.43 0.04-0.26-0.51-0.72-0.90-1.07投入10 1M-1.13-1.56-2.00-2.39-2.75-3.09-3.403M-1.43-2.14-2.78-3.35-3.85-4.31-4.746M-0.69-1.30-1.82-2.27-2.66-3.02-3.341Y 0.40 0.02-0.29-0.53-0.75-0.93-1.10表7.7。

在GARCH d扩散模型中计算的基点隐含波动率的符号误差，λ从其“安全”3段值的40%到160%不等。λ40%60%80%100%120%140%160%ATM 1M-2.51 0-2.36 0-2.36 0-2.36-2.36-2.36-2.353M-3.43-3.33-3.32-3.31-3.31-3.316M-2.33-2.26-2.26-2.26-2.271Y-0.55-0.51-0.50-0.50-0.51放25 1M-2.51-2.36-2.36-2.35-2.35-2.35-2.343M-3.42-3.31-3.31-3.30-3.29-3.286M-2.32-2.26-2.25-2.25-2.251Y-0.57-0.54-0.55-0.56-0.57-0.59-0.61投入10 1M-2.51-2.36-2.36-2.36-2.36-2.35-2.353M-3.43-3.33-3.32-3.32-3.31-3.316M-2.33-2.26-2.26-2.26-2.251Y-0.55-0.50-0.50-0.49-0.49-0.48-0.48 GARCHdi融合模型中封闭式近似公式的隐含波动率误差表现良好，大部分误差较小幅度超过3bp。与Heston模型分析相比，这很可能是因为相关系数ρ始终假设为0，因此人们预计表达式和评估点的差异方差较小。否则，近似值会如我们所预期的那样出现，对于大成熟度T和volλ的vol，威瑟罗系数会更大，因为膨胀和评估点的差异会随着这些参数的增加而增加。同样，当比较与T=1/2和T=1相关的数值结果时，出现了一个异常，因为后者似乎更准确。出于与赫斯顿模型相似的原因，我们将这种行为归因于函数ζ（T）（见引理5.2和推论5.3）。7.3. 计算运行时分析。使用我们的闭式近似公式，基本上可以即时得到看跌期权价格的近似值。然而，在考虑不同n的n-p iece参数时，值得研究加速/减速。

我们将考虑对期限为6百万和1年的看跌期权进行定价，同时改变赫斯顿和加什扩散模型中的参数所拥有的部分数量，以及我们的封闭式近似公式。这些参数的值不会影响运行时，因此我们在数值测试中没有提供它们。我们显示的每个运行时将是具有相同参数的平均100 r次。表7.8：。在Heston模型中，通过我们的闭式近似方法，对m性质为6M，1Y的看跌期权进行定价的运行时，其中#个参数发生变化。对应于一个工件的每个时间间隔的长度相等。每个运行时的平均运行时间为100次（参数相同）#工件运行（ms）减速（×）6M 1 0.77 1.002 1.43 1.873 2.48 3.244 4.70 6.135 7.87 10.276 11.05 14.437 16.98 22.188 22.21 29.009 31.53 41.1710 40.73 53.191Y 1 0.80 1.002 1.71 2.133 2.65 3.304 4.60 5.745 6 6.59 8 8 10.94 13.647 15.80 19.698 22.17 27.659 29.75 37.0910 40.08 49.97表7 9。通过我们的闭式近似方法，在GARCH扩散模型中为自然数为6M，1Y的看跌期权定价的运行时，其中#个参数会发生变化。与工件对应的每个时间间隔的长度相等。每个运行时的平均运行时间为100次（具有相同的参数）#工件运行（ms）减速（×）6M 1 0.69 1.002 1.37 1.983 2.81 4.054 4.56 6.585 8.30 11.966 13.07 18.847 20.28 29.228 30.56 44.039 44.38 63.9410 62.86 90.571Y 1 0.67 1.002 1.45 2.173 2.63 3.934 5.08 7.595 8 8.75 13.076 12.85 19.197 20.79 31.048 29.50 44.059 44 44.24 66.0710 65.43 97.71表7.8给出了赫斯顿模型运行时分析，而GARCH DiffusionModel运行时分析如表7.9所示。不出所料，成熟度值不会真正影响运行时，因为改变成熟度不会增加公式中的任何计算负担。

对于单件参数（即常数参数），Heston和GARCH扩散模型的近似公式的运行时几乎相同（不到一毫秒）。然而，对于具有大量片段的参数，GARCH差异模型公式的运行时间比赫斯顿模型的运行时间长。例如，对于10-p iece参数，运行赫斯顿模型闭式近似公式大约需要40毫秒，而GARCH扩散模型大约需要65毫秒。这似乎令人惊讶，因为人们可能会认为，GARCH扩散模型闭式近似公式的运行成本较低，因为这里的设置比较简单，ρ=0 a.e。。然而，GARC H扩散模型的闭式近似公式计算成本更高的原因是，它具有5倍积分算子term，而赫斯顿m模型的闭式近似公式只有4倍和以下积分算子。结论在具有时间相关参数的随机波动率模型的背景下，我们推导出了欧洲pu-t期权价格的闭式近似公式。我们的方法涉及混合溶液的二阶泰勒展开，然后通过使用测量技术的变化简化许多预期。Drimus考虑了具有常数参数的Heston模型的这种方法【14】。当我们考虑依赖时间的参数时，我们扩展了这种方法，这需要对其中一个期望值进行额外的近似。此外，我们还得到了由展开式导出的误差项的表达式。我们根据基础方差过程的高阶矩给出了诱导误差项的一般界。

在Heston框架下，我们发现由展开式产生的所有项都可以表示为迭代积分。此外，我们试图将此方法推广到GARC H扩散模型。我们证明了在度量改变后获得方差过程的解或矩的表达式是很容易实现的。通过在GARCH扩散模型中假设ρ=0 a.e.，我们能够解决这个问题，尽管增加了不相关的波动率和波动率运动的假设。此外，我们还证明了当参数为分段常数时，迭代积分服从一个方便的递归性质。通过这样做，近似公式成为闭合形式。此外，我们还设计了一种利用积分算子递归性质的快速校准方案。最后，我们进行了数值误差和灵敏度分析，以研究我们在Heston和GARCHdi ffusion模型中的近似质量。我们发现，该误差完全在适用于应用程序的范围内，并表现为我们对某些参数值的预期，如长成熟度、大体积和大相关性。纯概率混合解方法是我们的扩展方法的主干，由于其通用性和处理时间相关参数的能力，它非常有吸引力。需要进一步研究，将其与从业者青睐的非有效随机波动率模型结合起来，而不受相关性限制。参考文献[1]Elisa Al\'os。赫尔公式和怀特公式的推广及其在期权定价中的应用。《金融与随机》，10（3）：353–365，2006年。[2] 莱夫·安徒生。Heston随机波动率模型的有效模拟。SSRN 9464052007可用。[3] F.Antonelli、A.Ramponi和S.Scarlati。

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混合溶液在本附录中，我们对【19】中称为混合溶液的结果进行了推导。这一结果对于第2节中实施的扩展方法至关重要。Hull和White首先建立了独立布朗运动W和B的表达式。Lateron对相关布朗运动进行了扩展，参见[32，36]。在国内风险中性度量Q下，假设方差σ为的点S遵循动态St=St（（rdt- rft）dt+√σtdWt），S，dσt=α（t，σt）dt+β（t，σt）dBt，σ，dhW，Bit=ρtdt。定理A.1（混合溶液）。Let Put=e-RTrdtdtE（K- ST）+。然后输入=Ee-RTrdtdtE（K）-ST）+FBT= EPutBS公司SξT，ZTσT（1-ρt）dt,式中，Putbs在等式（2.4）中给出。证据通过将光斑的驱动布朗运动写为Wt=RtρudBu+Rtp1- ρudZu，其中Z是Q下的布朗运动，与B无关，这给出了S asST=SξTexp的显式路径唯一强解ZT（rdt- rft）dt-ZTσt（1- ρt）dt+ZTqσt（1- ρt）dZt,ξt：=经验值Ztρu√σudBu-Ztρuσudu.首先，请注意σ和ξ都适用于过滤（FBt）0≤t型≤T、 因此，很明显St | FBTwill具有对数正态分布，即St | FBT~ 液态氮u（T），￠σ（T）,u（T）：=ln（SξT）+ZT（rdt- rft）dt-ZTσt（1- ρt）dt，￠σ（t）：=ZTσt（1- ρt）dt。因此，计算e-RTrdtdtE（K）-ST）+FBT将产生一个布莱克-斯科尔斯式的公式。e-RTrdtdtE（K）- ST）+FBT= Ke公司-RTrdtdtNln（K）- Иu（T）~σ（T）- e-RTrdtdte￠u（T）+￠σ（T）Nln（K）- u（T）- σ（T）σ（T）= Ke公司-RTrdtdtNln（K）- u（T）-σ（T）σ（T）+σ（T）！- SξTe-RTrftdtNln（K）- u（T）-σ（T）σ（T）-σ（T）！=Ke公司-RTrdtdtNln（K/SξT）-RT（rdt- rft）dt▄σ（T）+▄σ（T）！- SξTe-RTrftdtNln（K/SξT）-RT（rdt- rft）dt￠σ（T）-σ（T）！。e立即-RTrdtdtE（K）- ST）+FBT= PutBS公司SξT，|σ（T）. 附录B.PutbPartial derivatives该附录包含Black-Scholes看跌期权公式PutBS的一些偏导数，见等式。

(2.4). 人们可以认为这些偏导数类似于布莱克-斯科尔斯希腊语。然而，这些略有不同，因为我们的Black-Scholes公式是针对综合方差而非波动率进行参数化的。B、 1。一阶PUTB。xPutBS=e-RTrfudu（N（d+）- 1) ,yPutBS=xe-RTrfuduφ（d+）√y、 B.2。二阶PUTB。xxPutBS=e-RTrfuduφ（d+）x√yy yPutBS=xe-RTrfuduφ（d+）4y3/2（d-d+- 1),xyPutBS=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）d-2年。B、 3。三阶PUTB。xxxPUTB=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）xy（d++√y） ，则，xxyPutBS=e-RTrfuduφ（d+）2y（d-d+- 1),xyyPutBS=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）2yd-d+-d+- d-,y yyPutBS=xe-RTrfuduφ（d+）8y5/2（d）-d+- 1)- （d）-+ d++2.B、 4。四阶PUTB。xxxxPutBS=e-RTrfuduφ（d+）xy3/2（d++3d）+√y+2y+1），xxxyPutBS=e-RTrfuduφ（d+）2xy3/2（d-(1 - d+），xxyyPutBS=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）2xy5/2（d）-+ d++d-d+1.-d-d+-,xyyyPutBS=e-RTrfuduφ（d+）8y(√y- d+）（d）-d+- 1)- （d）-+ d++2+ 4[d+（d-- d+）- d--d+],y yyyyputbs=xe-RTrfuduφ（d+）8y7/2（d-d+- 1） （d）-d+- 5) -（d）-d+- 1） （d）-+ d+）-（d）-+ d+（d-d+- 7） +（d-d+- 1)!.附录C.希腊看跌期权二阶近似值的Greeksexpression可通过看跌期权（2）的简单部分微分获得（等式（2.5））。Pu t Delta近似值是通过Put（2）相对于基础S的部分微分获得的。SPut（2）=xPutBS（^x，^y）+2秒xxPutBS（^x，^y）+SxxxPUTB（^x，^y）E（ξT- 1)+xyyPutBS（^x，^y）EZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+ [xyPutBS（^x，^y）+SxxyPutBS（^x，^y）]E（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt.Put-Gamma近似值是通过对Put-Delta近似值相对于底层S的部分微分获得的。SSPut（2）=xxPutBS（^x，^y）+2.xxPutBS（^x，^y）+2SXXxPUTB（^x，^y）+SxxxxPutBS（^x，^y）E（ξT- 1)+xxyyPutBS（^x，^y）EZT（1-ρt）（σt- E（σt））dt+ [2XXYPUTB（^x，^y）+SxxxyPutBS（^x，^y）]·E（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt.请注意，上述期望值与等式中的期望值相同。

（2.6）至（2.8）。第3节明确了这些期望。附录D.动量的计算在本附录中，我们推导了本文中使用的CIR和IGa过程的一些矩、混合矩和协方差的表达式。CIR过程的结果是众所周知的，然而，我们在文献中没有找到具有时间相关参数的IGa矩的来源。D、 1。CIR过程的时刻。设V为CIR（V；κt，θt，λt）。满足SDEdVt=κt（θt- Vt）dt+λtpVtdBt，V=V，其中我们假设e（κt）0≤t型≤T、 （θT）0≤t型≤Tand（λt）0≤t型≤皮重随时间变化，密度恒定，结构正且有界于[0，T]。对于s<t，可将其积分以获得Vt=Vse-Rtsκzdz+Ztse-Rtuκzdzκuθudu+Ztse-RtuκzdzλupVudBu。（D.1）特别是，对于s=0，Vt=ve-Rtκzdz+中兴通讯-Rtuκzdzκuθudu+中兴通讯-RtuκzdzλupVudBu。（D.2）提案D.1。V具有以下力矩：E（Vnt）=E-Rtnκzdzvn+ZteRunκzdznκuθu+n（n- 1） λuE（Vn-1u）du,Var（Vt）=Ztλue-2Rtuκzdzve公司-Ruκzdz+Zue-Rupκzdzκpθpdpdu，Cov（Vs，Vt）=e-RtsκzdzZsλue-2Rsuκzdzve公司-Ruκzdz+Zue-Rupκzdzκpθpdpdu，E（VmsVnt）=E-RtnκzdzE（Vm+ns）+ZtseRunκzdznκuθu+n（n- 1） λuE（VmsVn-1u）du,Cov（Vms，Vnt）=E（VmsVnt）- E（Vms）E（Vnt），全部为f或m，n≥ 1和s<t证明。我们给出了获取Var（Vt）和Cov（Vs，Vt）的概要。其他术语遵循类似的方法。注意Var（Vt）=E（Vt- E（Vt））。然后使用等式（D.2）和E（Vt），Var（Vt）=E中兴通讯-RtuκzdzλupVudBu=中兴通讯-2RtuκzdzλuE（Vu）du。假设s<t。使用Vtin项s表示Vseq。（D.1），我们有Cov（Vs，Vt）=CovVs，Vse-Rtsκzdz+Ztse-Rtuκzdzκuθudu+Ztse-RtuκzdzλupVudBu= e-RtsκuduVar（Vs），其中我们使用了独立于It^o integralRtse的VSI-Rtuκzdzλu√VudBu。D、 2。IGa过程的时刻。设V为IGa（V；κt，θt，λt）。

满足SDEdVt=κt（θt- Vt）dt+λtVtdBt，V=V，其中我们假设e（κt）0≤t型≤T、 （θT）0≤t型≤Tand（λt）0≤t型≤皮重随时间变化，密度恒定，结构正且有界于[0，T]。当s<T时，V有显式强解vt=VsYtYsv+Rtκuθu/Yuduv+Rsκuθu/Yudu！。特别是，对于s=0，Vt=Ytv+ZtκuθuYudu.提案D.2。V具有以下力矩：E（Vnt）=eRtn（n-1） λz-nκzdzvn+nZtκuθue-运行（n-1） λz-nκzdzE（Vn-1u）du,Var（Vt）=e-2RtκzdzZtλuE（Vu）eRuκzddu，Cov（Vs，Vt）=Var（Vs）e-Rtsκzdz，E（VmsVnt）=eRtn（n-1） λz-nκzdzE（Vm+ns）E-Rsn（n-1） λz-nκzdz+nZtsκuθue-运行（n-1） λz-nκzdzE（VmsVn-1u）du,Cov（Vms，Vnt）=E（VmsVnt）- E（Vms）E（Vnt），全部为f或m，n≥ 1和s<t证明。我们展示了如何获得E（VnsVmt）。其他术语遵循类似的方法。我们考虑Vn的差异。d（Vnt）=nκtθtVn-1吨+n（n- 1） λt- nκtVnt公司dt+nλtVntdBt==> Vnt=Vns+ZtsnκuθuVn-1u+n（n- 1） λu- nκuVnudu+ZtsnλuVnudBu。将两边乘以vms，取期望收益率（VmsVnt）=E（Vn+ms）+ZtsnκuθuE（VmsVn-1u）+n（n- 1） λu- nκuE（VmsVnu）du。在t中区分两侧，让Mm，ns（t）：=E（VmsVnt），然后是ddtmm，ns（t）=nκtθtMm，n-1s（t）+n（n- 1） λt- nκtMm，ns（t）。这是一个一阶常微分方程，可以通过从s到t的积分，用积分因子法求解。附录E.具有线性扩散的SDE解决方案补充微分U解决SDEdUt=f（t，Ut）dt+νtUtdBt，U=U，（E.1），其中（νt）0≤t型≤它适应于布朗过滤，f和ν满足一些正则条件，从而存在U的路径唯一强解。例如，f Lipschitz inx在t中是一致的，在[0，t]上有界的dν是有效的。提案E.1。式（E.1）的解可以表示为asUt=Yt/Ft，其中F是GBM（1；νt，-νt），Th at is，dFt=νtFtdt- νtFtdBt，F=1==> Ft=expZtνudu-ZtνudBu,Y求解积分方程（以微分形式书写）dYt=Ftft、 YtFt公司dt，Y=u。

（E.2）证明。我们基本上验证了这种形式的U满足SDE等式（E.1）。dYtFt公司= d（1/Ft）Yt+FtdYt+d（1/Ft）dYt=νtFtdBt-νtFtdt+νtFtdtYt+f（t，Yt/Ft）dt+0=YtFtνtdBt+f（t，Yt/Ft）dt=νtUtdBt+f（t，Ut）dt。