图9还显示，这种优势随着恢复参数Q的变化而变化：这对政策制定至关重要。解决这个问题的一种方法是分析赛德尔（q，q）的分界线曲线C，因为它将感兴趣区域的吸引盆地分开。不幸的是，除了命题C.9，该命题依赖于线性化系统的特征向量在突变点（q，q）附近提供的“局部”信息以及向量场各分量的单调性之外，这些结果类似于在金融网络中获得的结果，代理人（如银行）通过金融依赖性暴露于其他人违约的风险，目标是了解冲击如何在金融网络中传播。正如Acemoglu等人（2015年）所言：“只要影响金融机构的负面冲击的规模足够小，那么一个联系更紧密的金融网络[……]增强财务稳定性。然而，在某一点之外，密集的互联作为冲击传播的机制，导致金融系统更加脆弱。”Cabrales等人（2017年）也取得了同样的结果。定义系统（6）在特定领域，我们必须依赖近似结果，因为不可能用解析的方式明确描述c。具体而言，我们首先在数值上近似分界线C和单位正方形边界[0，1]之间的交点，然后在数值上测量灰色区域并确定其相对比率，正如我们所观察到的，这对于理解全球化系统在相同参数q和ν下是否具有优于自给自足系统的抗冲击性至关重要。（数值）比较静力学让我们首先处理分界线C和对角线下方单位正方形边界之间交点的（数值）计算，即。

段[0，1]×{0}和{1}×[0，1]。根据C是与前一段相交还是与后一段相交，我们遵循命题C.9中使用的旋转，图4分别用（xA，xB）=（η（q，ν），0）或（1，ζ（q，ν））表示该点。该分析如图10所示：o保持固定ν∈ （0，1），每当C穿过点（η（q，ν），0）中的段[q，1]×{0}，那么q 7→ η（q，ν）在q中增加，范围从0到1。此外，η（q，ν）>q；o类似地，当q超过某个阈值时，则C在点（1，ζ（q，ν））处穿过段{1}×[0，q]；此外，q 7→ ζ（q，ν）在增加，从0增加到1，并且始终满足ζ（q，ν）<q。现在让我们来看看自给自足系统相对于全球化系统的相对优势/劣势，尤其是当主要受到一维冲击时。我们已经观察到，图8和图9中浅灰色和深灰色区域衡量了一个自给自足的系统或全球化系统相对而言或多或少能够从这种冲击中恢复的程度。保持不变的传染性ν，随着恢复参数q的增加，浅灰色区域扩大，而深灰色区域缩小。根据我们之前的解释，这意味着更可能的是，1维冲击会导致自给自足系统达到局部地方性平衡，而相应的暗灰色区域的减少意味着全球化系统更能够从冲击中恢复。这反过来意味着检疫q的可用水平越大，相对于自给自足的系统，在全球化系统中就越方便。在这方面，图9显示了随着隔离区q的变化，浅灰色和深灰色区域是如何变化的。该分析也如图11所示，其中我们绘制了矩形[q，1]×[0，q]被深灰色区域占据的百分比。

通过使用上面所做的冲击分析，随着q的增加，我们观察到，与自给自足的2定位系统相比，连接的2定位系统在总体上变得越来越有利和具有抵抗力。这一结论直接体现在政策方面：如果可用的检疫级别q足够大，那么允许跨国进出口对于系统性抵抗感染冲击是有益的和可取的。相反，当只有少量检疫q可用时，两个自给自足的国家构成了一个更具抗感染性的系统。根据对角线对称性，同样的分析也适用于对角线上方单位正方形的边界。图10中q=0.39对应的阈值。主要从单一位置开始的冲击，形式为s=（ε，sB）或（sA，ε），ε≈ 我们认为传染性是一个与所考虑的疾病类型严格相关的参数，因此对决策不感兴趣。因为它对应着白人恢复区的扩大，对于一个全球化的体系来说。虽然传染性ν保持不变，因为我们认为它是一个与疾病相关的参数，不受政策制定的约束。图10：分界线C与[0，1]0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q0.20.40.60.81.0左侧边界的交点q 7→ η（q，0.7）（平方）和q 7→ ζ（q，0.7）（三角形），固定ν=0.7。随着q的增加，分界线C首先穿过水平段[q，1]×{0}in（η（q，ν），0），然后当q超过某个阈值（在这种情况下，q=0.39，由虚线垂直线表示），C开始在点（1，ζ（q，ν））处穿过垂直段{1}×[0，q]中的边界。对角线（虚线）显示η>q，而ζ<q。在右侧，交点η（q，ν）作为两个参数（q，ν）的函数∈ (0, 1).

所有截面η（·，ν）和η（q，·）都在增加。6结论从一个非常简单的同质病原体间流行病扩散模型出发，我们考虑了两个相同国家居住着此类病原体的情况。这些代理人（随机）成对地相互作用和交易，以获得利益，并通过这种方式在他们之间传播传染病，从而降低了可获得的贸易收益。作为对感染风险的回应，代理商可以选择承担（异质）成本，与其他国家的代理商进行互动，从而建立一种风格化的跨国进出口贸易形式。通过假设两国都有（有限且固定的）资源来干预感染，我们也能够引入恢复的可能性，即降低感染率。考虑到流行病参数，我们比较了“自给自足”体系（假设两国不进行贸易）和“全球化”体系（允许跨国贸易）的抗外来冲击感染率。总的来说，全球化的制度导致其对自给自足制度冲击的反应更加“极端”。这是两国相互联系的结果：一方面，全球化体系在面临相对较小的冲击时具有更大的“恢复能力”，但另一方面，它有一个更大的领域，两国最终都会被完全感染。特别是，相对于自给自足的制度，全球化制度所排除的主要可能性是，只有一个国家受到感染，而另一个国家没有受到感染。

相反，“自给自足”系统提供了由感染冲击引起的更广泛的可能结果，特别是，它们表现出局部地方病平衡，其中只有一个地方完全感染，而另一个地方没有疾病。通过比较自给自足制度和全球化制度在应对冲击时的表现，我们能够理解它们的异同。抗冲击性分析的主要结果是，这两个系统的行为有很大不同，尤其是当它们受到“一维大冲击”时：当感染冲击主要冲击一个位置（仅轻微冲击另一个位置）时，全球化的系统要么完全恢复，要么完全受到感染，而无人值守系统可能表现出局部地方性平衡，如果暴露于相同的图11：左侧灰色区域之间的比率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q0.00.20.40.60.81.0比率，深灰色区域与深灰色加浅灰色区域之和之间的比率（即[q，1]×[0，q]∪ 【0，q】×【q，1】）作为q的函数数值获得∈ （0，1），保持fixν=0.7。在右边，比率是两个参数（q，ν）的函数∈ (0, 1).随着隔离q的增加，全球化的系统相对于自给自足的系统变得越来越方便。震惊根据分配给恢复的资源量，如我们框架中隔离级别q所衡量的，当有大量隔离资源可用时，全球化系统可能更可取，而在资源较低时，则可参考自给自足系统。参考Acemoglu，D.、A.Ozdaglar和A.Tahbaz Salehi（2015年2月）。金融网络的系统风险和稳定性。《美国经济评论》105（2），564–608。Allen，L.J.、F.Brauer、P.Van den Driessche和J.Wu（2008年）。数学流行病学。斯普林格。Bass，F.M.（1969年）。新型耐用消费品的新产品增长。

管理科学15（5），215–227。Brauer，F.和P.van den Driessche（2001年）。传染病传播和传染病迁入的模型。数学生物科学171（2），143–154。Cabrales，A.、P.Gottardi和F.Vega Redondo（2017年）。网络中的风险分担和传染。金融研究回顾30（9），3086–3127。Calistri，P.、A.Conte、F.Natale、L.Possenti、L.Savini、M.L.Danzetta、S.Iannetti、A.Giovannini等（2013年）。流行病紧急情况预防和控制系统。意大利兽医49（3），255–261。Cavoretto，R.、S.Chaudhuri、A.De Rossi、E.Menduni、F.Moretti、M.C.Rodi、E.Venturino、T.E.Simos、G.Psihoyios、C.Tsitouras等人（2011年）。动力系统分界线曲线的近似。《美国物理学会AIP会议过程》，第1389卷，1220页。Chowell，G.和H.Nishiura（2014年）。埃博拉病毒病（evd）的传播动力学和控制：综述。BMC medicine 12（1），196。D\'Alessandro，S.（2007年）。人口和自然资源的非线性动态：不同发展模式的出现。生态经济学62（3），473–481。Fenichel，E.P.、C.Castillo Chavez、M.Ceddia、G.Chowell、P.A.G.Parra、G.J.Hickling、G.Holloway、R.Horan、B.Morin、C.Perrings等人（2011年）。流行病学模型中的适应性人类行为。《美国国家科学院院刊》108（15），6306–6311。Funk，S.、M.Salath\'e和V.A.Jansen（2010年）。模拟人类行为对传染病传播的影响：综述。《皇家学会杂志》第7期（50），1247–1256年。Galeotti，A.和B.W.Rogers（2013年）。战略免疫和群体结构。《美国经济杂志》：微观经济学5（2），1–32。Galeotti，A.和B.W.Rogers（2015年）。随机图中的差异和保护。网络科学3（03），361–376。Gomes，M.F.、A.Piontti、L.Rossi、D.Chao，I。

朗吉尼，M.E.哈洛兰，安达。维斯皮格纳尼（2014）。评估与2014年西非埃博拉疫情相关的国际传播风险。PLOS电流爆发1。Goyal，S.和A.Vigier（2015年）。互动、保护和流行病。《公共经济学杂志》125，64–69。Halloran，M.E.、A.Vespignani、N.Bharti、L.R.Feldstein、K.Alexander、M.Ferrari、J.Shaman、J.M.Drake、T.Porco、J.Eisenberg等（2014）。埃博拉：流动性数据。《科学》（纽约州纽约市）346（6208），433–433。Horan，R.D.、E.P.Fenichel、D.Finno Off和C.A.Wolf（2015年）。通过贸易管理动态流行病学风险。《经济动力与控制杂志》53192-207。Iannetti，S.、L.Savini、D.Palma、P.Calistri、F.Natale、A.Di Lorenzo、A.Cerella和A.Giovannini（2014年）。一个支持意大利兽医活动的综合网络系统，用于管理疫情紧急情况下的信息。预防兽医113（4），407–416。Manfredi，P.和A.D\'Onofrio（2013年）。模拟人类行为与传染病传播之间的相互作用。Springer Science&BusinessMedia。Muscillo，A.、P.Pin、T.Razzolini和F.Serti（2018年）。“网络关闭”是否增加了进口溢价？mimeo。Poletti，P.、M.Ajelli和S.Merler（2012年）。新兴流行病中不协调行为反应的风险感知和影响。数学科学238（2），80–89。Reluga，T.C.（2009）。有两个亚群的SIS流行病学游戏。《生物动力学杂志》3（5），515–531。Roodman，D.（2011年）。用CMP拟合完全观测的递归混合过程模型。《国家统计局杂志》11（2），159–206。Thomas、M.R.、G.Smith、F.H.Ferreira、D.Evans、M.Maliszewska、M.Cruz、K.Himelein和M.Over（2015年）。埃博拉对撒哈拉以南非洲的经济影响：2015年最新估计。Wang，W.和X.-Q.Zhao（2004）。

斑块环境中的流行病模型。数学生物科学190（1），97–112。附录A关于计量经济分析的更多信息在本节中，我们调查表2中观察到的伪阳性的显著影响是否可能是选择过程的结果。为此，我们用最大似然估计估计了一个二元选择模型，其中主要方程是一个以距离为因变量的Tobit模型。参与方程是一个问题，它估计了在第四季度t活跃（即至少发送一头牛）的概率。虽然主方程中的因变量是连续的（未经审查时），但模型的识别只能取决于分布假设。因此，我们使用意大利空军提供的降雨数据（CentroOperativo Dati per la Meteoria），在参与等式中添加了排除限制。对于每个城市，我们通过平均三个最近的气象站来估算降雨量水平及其与季度平均值的偏差。因此，我们在参与方程中加入了降雨量与四分之一年降雨量偏差的滞后值作为回归量。由于t的降雨量减少-1–通过对用于动物饲料的作物（干草、玉米等）的生产产生负面影响，降低该市牛的流入量，这反过来又会减少t时的流出量。已使用David Roodman开发的Stata(R)命令CMPD对双变量模型进行了估计。虚拟正系数i，t-1表明农场里有一头病牛-1在时间t不太可能处于活动状态-1、降雨量与季度平均值的偏差对时间t发送牛的概率具有预期的积极和统计意义。

ρ系数估计误差项之间的相关性为负，显著为10%，因此表明存在微弱的负选择效应。估计的积极影响I，t-然而，在Tobit主方程中，与表2第3列所示的结果非常接近。meteo站约有115个，每日数据覆盖整个意大利领土。详见Roodman（2011）。表3：在时间tPositivei，t激活的双变量选择模型-119.462***-0.881***-5.591（0.047）库存0.0845***0.0004***（0.001）（0.000）平均降雨量-10.002***（0.001）常数13.444***1.753***-1.104（0.012）σ90.523***（0.0528）ρ-0.0077*（0.0047）观测值2267463 2267463对数似然-10207407使用Stata(R)命令cmp估计了双变量Tobit/Probit模型。回归包括时间和区域影响。在农场级别聚集的标准错误显示在括号中。星号表示：**显著值为1%，**显著值为5%，*显著值为10%。附录B提案3.1第3、4和5节的证明。导数xdt是x的一个三次函数，只有三个根x=0、x=q和x=1，其中x等于0。此外，当x∈ （0，q）且当x∈ （q，1）。命题4.1的证明。我们想证明，在系统（3）定义的动力学下，单位平方[0，1]是一个不变集。为了做到这一点，我们需要向量场来定义方程组，即（3）的右侧作为（xA，xB）的二维函数是“指向正方形的内部”，同时限制在正方形的边界上。更正式地说：o假设xA=0。然后˙xA=νA（1- FA）xBFB≥ 0，对于任何xB∈ [0，1]，根据需要。o相反，假设xA=1。

通过假设，当nxa=1时，我们得到FA=1，然后˙xA=νA（1- FA）（1- xB）FB- xAFA=-1<0，如我们所愿。类比和对称推理表明˙xB≥ 0，当xB=0时，且˙xB≤ 0，当xB=1时。命题5.1的证明。向量场定义系统（7）的形式为F（xA，xB）=（FA（xA），FB（xB）），其中FA（x）=FB（x）=F（x）：=νx（1- x） （十）- q） 。然后，很明显，系统相对于对角线是对称的，即F（xB，xA）=（FB（xA，xB），FA（xA，xB））。由于f（x）=0当且仅当x=0或x=q或x=1，则系统（7）的平衡为：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（q，q），（0，q），（1，q），（q，0）和（q，1）。此外，由于当xA=0时˙xA=0，这意味着RCA中的线xA=0不能与系统的轨迹相交。类似地，直线xA=q，xA=1，xB=0，xB=q，xB=1不能交叉，这意味着它们是不变量，并且单位平方[0，1]在系统（7）定义的动力学下也是不变量。为了评估此类平衡点的稳定性，必须研究系统的雅可比矩阵。现在，因为雅可比矩阵的形式是f（xA）00 f（xB）,式中，f（x）=ν[（2- 3x）x+q（2x- 1） ，且f（0）=-νq<0，f（q）=νq（1- q） >0且f（1）=-ν(1 - q） 当ν，q∈ （0，1），那么对其特征值的研究简单地说：（0，0），（0，1），（1，0）和（1，1）是渐近稳定的，因为特征值都是负的。点（0，q），（q，0），（1，q），（q，1）是鞍点，因为它们具有不同符号的特征值。最后，（q，q）是一个不稳定的源点，因为它的两个特征值都是正的。附录C线性案例分析我们在这里研究的系统（6），它来自于代理的线性性和统一成本分布的假设。原则上，该系统在R中定义良好，但我们将把分析限制在单位平方（xA，xB）∈ [0，1]，其中感染病原体的分数是有意义的。

除了R的对角线外，它在任何地方都是连续可微的，即在R \\{（xA，xB）上∈ R： xA=xB}。然而，由于假设模型保证了系统的对称性，我们可以将分析分为三个不同的部分：对角线、超对角线集和次对角线。这使我们可以使用一种策略来获得一些明确的结果。有两种渐近稳定的平衡状态，（xA，xB）=（1，1）和（0，0），第一种对应于两个国家都被完全感染，而第二种对应于两个国家都没有疾病。有一个第三平衡点，（q，q），它是一个不稳定的鞍点。其分界线曲线将渐近稳定状态的吸引盆地分隔开来，如图4所示。然而，值得注意的是，它们并不是可以明确描述的。为了便于解释，让我们用向量表示法重新编写系统（6），如下所示：ddt（xA，xB）=V（xA，xB），（8）其中V（xA，xB）：=（VA（xA，xB），VB（xA，xB））表示所有（xA，xB）∈ Rand VA、Vb是由（6）的第一行和第二行分别定义的2变量实值函数。让我们也用D来表示对角线：{（xA，xB）∈ R： xA=xB}，对角线上方和下方的集合分别由+:= {（xA，xB）∈ R： xA<xB}和-:= {（xA，xB）∈ R： xA>xB}。引理C.1。向量场V相对于对角线D对称，即对于所有（xA，xB）∈ R： V（xB，xA）≡ （VB（xA，xB），VA（xA，xB））。证据证明直接来自V的定义。即使在简单的动力学系统中，也没有已知的方法来分析确定这些曲线。在数值近似方面取得了进展（Cavoretto等人，2011年）。向量场V可以被视为由三个基本部分组成，所有这些基本部分都在整个Rbut上定义，以便在适当限制集合D时，它们与V本身重合，+和-.

下面的lemma规范化了这个想法。引理C.2.1。当限制在对角线D上时，向量场V与Vd（xA，xB）一致：=νxA（1- xA）（xA- q） νxB（1- xB）（xB- q）,反过来，这在R.2中得到了很好的定义。向量字段V（当限制为on时）-与V一致-（xA，xB）：=ν(1 - xA+xB）hxA（1- xA）（xA- q） （1）- xA+xB）i- xA（xA- xB）νhxB（1- xB）（xB- q） +（xA+xB- 2xAxB）（xA- xB）i.3、向量场V在限制时+与V+（xA，xB）一致：=νhxA（1- xA）（xA- q） +（xA+xB- 2xAxB）（xB- xA）iν（1- xB+xA）hxB（1- xB）（xB- q） （1）- xB+xA）i- xB（xB- xA）.证据何时（xA，xB）∈ D、 那么max{0，xA-xB}=最大值{0，xB-xA}=0。由此，第一点来自（6）中定义的V计算。第二点紧随其后，因为当（xA，XB）∈ -, 那么max{0，xA-xB}=xA- xBwhile最大值{0，xB- xA}=0。与第三点类似。提案C.3。系统（6）相对于对角线对称，并且在R中定义良好。对角线D，集合+和-对于系统（6）定义的动力学而言，都是不变量。证据Rf中系统（6）的对称性与V的对称性不同。这意味着对角线D必须是不变的，因此也+, -必须保持不变。由于不变性，当限制在每一个D，+和-. 从前面的引理C.2可以看出，系统定义得很好，因为VD，V-V+在rand上是光滑的，特别是在D上，-和+分别地提案C.4。单位平方[0，1]对于系统（6）定义的动力学是不变的。证据以下引理C.5表示，在单位正方形的边界上，向量场V指向内部。引理C.5。在段（0，1）×{0}上VB（·，·）>0，在段{1}×（0，1）上VA<0。因此，根据对称性，VB<0 on（0，1）×{1}，VA>0 on{0}×（0，1）。证据

从定义来看，所有xA∈ （0，1），它认为VB（xA，0）=νxA>0。类似地，对于所有xB∈ （0，1），则认为VA（1，xB）=-(1 - xB）<0。现在我们可以证明系统（6）有3个临界点，特别是（q，q）是鞍点，其分界线曲线自然形成渐近稳定点（0，0）和（1，1）的吸引盆边界。提案C.6。系统（6）只有三个平衡：o（xA，xB）=（0，0）和（1，1），它们是渐近稳定状态；o（xA，xB）=（q，q），这是一个不稳定的鞍点。此外，鞍（q，q）的两条分界线曲线是这样的，即不稳定线与正方形{（xA，xB）的对角线重合∈ [0，1]：xA=xB}，而稳定分界线是稳定平衡吸引盆地边界的一部分。证据证明直接遵循使用引理C.2，然后应用引理MAC。8.引理C.7。考虑V-, 如引理C.2所述。然后是JacobianJac-（xA，xB）：=五、-（xA，xB）xA公司|五、-（xA，xB）xB公司计算时：o在（0，0）中，其两个特征值均等于-qν<0，对于所有q，ν∈ (0, 1);o 在（1，1）中，其特征值等于-(1 -q） ν和-1.-(1 -q） ν，对于所有q，ν都是负值∈ (0, 1);o 在（q，q）中，其特征值等于qν（1-q） >0，-q（1+ν（1-q） ）<0且相应的特征向量等于（1，1）和-2(1-q） ν，1.考虑V+。类似地，当在点（0，0）和（1，1）中计算时，其雅可比矩阵具有负特征值。然而，当在（q，q）中计算时，特征值与上述相同，qν（1- q） >0和-q（1+ν（1- q） ）<0，但相应的特征向量为（1，1）和(-2(1 - q） ν，1）。证据

定义V-在引理C.2中，点（q，q）中导数的计算得到：Jac-（q，q）=-q（1- ν(1 - q） ）q2（1）- q） qν-(1 - q） qν.该矩阵的特征值和特征向量易于计算。类似地，点（0，0）和（1，1）的计算得出：Jac-(0, 0) =-qν00-qν, 江淮汽车-(1, 1) =-1.- (1 - q） ν10-(1 - q） ν,从中可以得到上述特征值和特征向量。最后一部分来自于对v+对称进行的相同计算。引理C.8。考虑两个向量场V-引理C.2中定义的V+。然后：1。点（0，0），（1，1）和（q，q）是V-和V+分别位于D区∪ -和D∪ +.2.（0，0）和（1，1）对于V-和V+。（q，q）是两个V的鞍座-和V+。证据对于第一点，考虑V-. 需要验证的是∪-, 五、-（xA，xB）=0，当且仅当（xA，xB）是权利要求中考虑的点之一。类似地，对于V+。第二点和第三点直接来自引理C.7。最后，我们重点讨论了萨德尔（q，q）的稳定分界线曲线所起的关键作用，以下用C表示。根据动力系统理论，C被划分为系统（6）的三个不同轨迹/解的图像：C=C-∪ {q，q}∪ C+。在我们的情况下，C-是马鞍（q，q）相对于向量场V的分界线-, 而C+是作为（q，q）相对于V+的分界线得到的一块。下面的结果形式化了图4所示的内容：根据参数ν和q，随着时间t的增加，解C-沿线段[q，1]×{0}或沿{1}×[0，q]穿过其边界进入单位平方，并最终向{q，q}收敛为t→ ∞. 对称地，C+也会发生同样的情况。提案C.9。

设C表示系统（6）鞍点（q，q）的（唯一）稳定分界线。曲线C可以根据构成曲线C的以下三条不同轨迹进行自然分割：C=C-∪ {q，q}∪ C+。然后是C-∩[0，1]包含在[q，1]×[0，q]中，根据参数q，ν，它要么穿过点（η，0）中的段[q，1]×{0}，要么穿过点（1，ζ）中的段{1}×[0，q]。对称结果适用于C+。证据结果基于以下引理。引理C.10。让C-表示（q，q）的（稳定）分界线曲线相对于V的部分-属于-. 对称地，让C+表示V+属于的（q，q）的（稳定）分界线+. 然后：C- [q，1]×[0，q]和C+[0，q]×[q，1]对于足够大的t倍。证据考虑C的情况-（C+的另一种情况是对称的）。点（q，q）是鞍形的，所以它的稳定分界线收敛到（q，q）为t→ ∞ 此外，它由向量局部线性逼近-2(1-q） ν，1, 这是Jac负特征值对应的IGenvector-（q，q），来自LemmaC。7.引理C.11。向量场定义系统组件的符号（6），在（xA，xB）中计算时∈ （q，1）×（0，q），使得VA（xA，xB）≤ 0和VB（xA，xB）≥ 0、对称，VA≥ 0和VB≤ 0英寸（0，q）×（q，1）。证据考虑V-A（xA，xB），V的第一个分量-（其他情况类似），让我们展示一下-当0<xB<q<xA<1时，A（xA，xB）<0。

引理C.2中的副定义：V-A（xA，xB）=ν（1- xA+xB）[xA（1- xA）（xA- q） ]- xA（xA- xB）。必须证明，对于0<xB<q<xA<1和q，ν∈ (0, 1)ν(1 - xA+xB）xA（1- xA）（xA- q） ？<xA（xA- xB），即ν（1- xA+xB）（1- xA）（xA- q） ？<xA公司- xB。右侧始终大于xA-q、 所以不等式变成：ν（1- xA+xB）（1- xA）（xA- q） ？<xA公司- q、 然后是ν（1- xA+xB）（1- xA）？<1、取xB左侧的上确界∈ （0，q），在xb=q时获得，得到ν（1- xA+q）（1- xA）？<1、xA的上确界∈ （q，1），对于xA=q，得到ν（1- q+q）（1- q）≡ ν(1 - q） <1，这意味着上述所有不等式都必须成立。附录D分界线曲线的线性化和吸引盆地的近似由于我们已经观察到分界线C无法用解析方法描述，我们首先计算其线性近似值，然后通过数值分析确认结果。这使我们能够近似计算吸引力基础的面积，这是第5节中进行的比较静力学分析的关键。我们使用引理C.7将系统（6）在鞍（q，q）附近线性化。图5显示了C与其线性近似值C之间的异同。提案D.1。分界线C在（q，q）中用两段线EC线性近似，我们分别称之为C+andeC-, EC定义=eC+：xB=-2(1 - q） ν（xA- q） +q，为xA定义≤ q、 欧共体-: xB=-2(1 - q） ν（xA- q） +q，为xA定义≥ q、 证明。让我们考虑一下-（EC+的情况类似）。从引理C.7可以看出，（q，q）的（稳定）分界线与V-是（q，q）的直线，切线由对应于负特征值的特征向量给出，即向量-2(1-q） ν，1.

Ris中的此类线由以下参数描述：猜数字= t型-2(1-q） ν+qq, 对于t≥ 0隐式写为xB=-2(1 - q） ν（xA- q） +q，用于xA≥ q、 引理D.2。之间的交叉点-单位平方[0，1]的次对角线边界，即线段{1}×[0，q]和[0，q]×{0}，是点P-= （P-A、 P-B） 给定byP-=(1.-2ν(1 - q） +q, 如果ν<q2（1-q） ，则，q2ν（1-q） +q，0, 如果ν≥q2（1-q） ，对称地，可以找到一个点P+，作为C+与线段{0}×[q，1]和[0，q]×{1}的交点。评论请注意，如果q∈ （0，1）和ν∈ （0，1），以下两个条件是等效的：ν<q2（1- q）<==>1 + 4ν -√8ν+14ν<q。此外，当q>1/2时，则ν<q2（1-q） 对于所有ν∈ (0, 1). 图12显示了正方形的子区域（q，ν）∈ （0，1）当满足该条件时。图12：参数q和ν0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0qν方子区域的条件（q，ν）∈ （0，1）由曲线ν=q2（1）分隔-q） 。白色区域表示ν<q2（1-q） ，其中灰色区域是相反的不等式成立的地方。尤其是在白色区域（分别为灰色）P-属于垂直段{1}×[0，q]（分别为水平段[q，1]×{0}）和曲线下的区域-是梯形Q-（分别为三角形T-). 最后，虚线位于q=1/2处。根据参数ν和q，曲线下的面积要么是一个三角形，要么是一个三角形，很容易在下面的结果中计算出来。通过将该面积视为曲线C下面积的近似值，这也将允许我们进行比较静力学分析。结果也如图6所示。引理D.3。

如果ν≥q2（1-q） ，考虑三角形T- {（xA，xB）∈ [0，1]：xA≥ xB}定义为以下顶点集的凸包-= 卷积和多项式相乘{（q，q），（q，0），P-}.相反，如果ν<q2（1-q） ，考虑梯形q- {（xA，xB）∈ [0，1]：xA≥xB}由Q定义-= 卷积和多项式相乘{（q，q），（q，0），（1，0），P-}.其面积的测量值为：A（T-) =q×（P-A.- q） =q4ν（1- q） ，无论何时定义≥q2（1- q） ，A（q-) =(1 - q） ×（q+P-B） =（1）- q）q- ν(1 - q）, 当ν<q2（1- q） 。无论何时定义，q 7→ [A（T-)] （q，ν）对于所有ν总是增加的。此外，其对q的导数为：A（T-)q=q（2- q） 4ν（1- q） >0， q、 ν∈ (0, 1) : ν ≥q2（1- q） 。A（Q）的导数-) 是A（Q-)q=1- 2q+3ν（1- q） ，当ν<q2（1）时定义- q） ，且当且仅当以下条件成立时为正值< q∧1.- 第2季度（1- q） <ν<q2（1- q）∨q<∧ν<q2（1- q）∨ ν >1 - 第2季度（1- q）.类似地，对于P+和相应的T+，Q+及其面积和导数。证据三角形T面积的度量-或梯形Q-使用P的坐标轻松计算-引理D.2中获得。然后计算导数就很简单了。现在让我们计算曲线下面积的比率-和整个矩形[q，1- q] ×[0，q]，如图6所示。引理D.4。删除器-（q，ν）是曲线下面积之间的比率-矩形[q，1]×[0，q] [0, 1]. 塞纳-（q，ν）由er给出-（q，ν）：=[A（T-)] （q，ν）q（1- q） =q4ν（1- q） ，如果ν≥q2（1- q） [A（T-)] （q，ν）q（1- q）≡[A（Q-)] （q，ν）q（1- q） =，如果ν=q2（1- q） [A（q-)] （q，ν）q（1- q） =q- ν(1 - q） q，如果ν≤q2（1- q） 。以类似的方式，线EC+以上的比率用er+（q，ν）表示，并等于toeR-（q，ν）的对称性。证据er的分子-由前面引理D.3给出的三角形或梯形的面积给出，即分别为A（T-) 或A（Q-).

取而代之的是，Denominator只是R中矩形[q，1]×[0，q]的面积。er（q，ν）的行为作为参数q和ν的函数，由以下结果描述。引理D.5（近似比率（q，ν）上的比较静力学）。考虑人-（q，ν）如上所述。它在[0，1]及其截面q 7中有界→呃-（q，ν）都在增加∈ （0，1），而ν7→呃-（q，ν）对所有q都是递减的∈ (0, 1). 此外，无论何时定义，其衍生产品为：qeR-（q，ν）=1+q4ν（1- q） >0，如果ν>q2（1- q）q- 1.ν>0，如果ν<q2（1- q）νeR-（q，ν）=-q4（1- q） ν<0，如果ν>q2（1- q）-(1 - q） q<0，如果ν<q2（1- q） 。证据导数的计算直接遵循公式definger-在前面的引理中。此外，很容易检查分母是否总是大于分子，从而保证-（q，ν）≤ 1、复杂的情况源于以下事实：-第2季度（1-q） 正在减少，同时Q2（1-q） isincreasing，当q∈ （0，1），它们在q=2/7时相交。图13：吸引盆地面积及其近似图显示：吸引盆地面积（0，0）作为q和ν的函数，数值计算（蓝色），使用近似值C计算面积（黄色，与蓝色几乎没有区别），最后是它们的差异（几乎平坦的表面，红色）。评论给定q和ν，R-（q，ν）仅表示矩形[q，1]×[0，q]内吸引盆的部分（0，0）。因此，（0，0）的基本吸引的确切总面积很容易计算为：2·R-（q，ν）+q。类似地，对于其近似值，威瑟尔-. 这些区域（及其差异）如图13所示。