更具体地说，对于序列a：=（ai）i∈一、 其中，I是一个具有| I |元素的有限集l-标准kakis由（61）kak给出：=| I|-1十一∈Iai。（当使用复数时，ai将替换为| ai |，但这在后面的内容中不是必需的。）类似地l- 以及l∞-a的范数：=（ai）i∈Iaregiven作者：kak：=| I|-1Pi∈I | ai |和kak∞:= maxi公司∈I | ai |，分别是。对于l∞-正常，正常化当然不起作用。因此，对于每个交易日τ=1，N我们有一组J=260个三元组mτ={（yτ，J，∑τ，J，Tτ，J）}，（因此J=1，…，J）。上述集合中的每三个分别代表货币性、报价波动性和到期时间。假设罢工总是K=1，r=0，这不会改变我们对备注1的计算。然后，使用函数Crelof方程（45）（62）pτ，j=Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j），获得该交易的期权价格。更准确地说，我们在本小节开头概述的程序包括以下内容。对于每个目标函数和每个交易日τ，我们使用最小二乘优化法来确定最终目标函数最匹配的参数（ντ、στ、ρτ）（在l感知）引用数据。在为三种类型的测试中的每一种更详细地解释这一点之前，让我们首先对我们的数据结构做出以下评论。备注3.1。在我们的数据中，市场数据不提供对数货币价值yτ，j，而是提供对冲参数τ、 j.值y=ln（Sert/K）根据 使用公式（63）yτ，j=στ-1pTτ，j2N个-1(τ、 j）- στ -1pTτ，j,其中στ-1是在前一个交易日确定的隐含波动率，t=t。对于第一个交易日，我们将参数作为初始值，即前一轮计划的平均值。

我们还估计了yτ，jusing∑τ，jin而不是στ-1，但在表1.3.3中报告的误差估计中未发现任何显著差异。第一类市场数据测试：隐含波动率。对于第一类测试，我们使用了两种隐含波动率近似值作为目标函数：σ和σHde，如下所示。22 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 1。将模型的隐含波动率与市场数据进行比较。ISE OSEνstd（ν）σstd（σ）ρstd（ρ）σD.0152。0179 1.335 0.3 .1889 .078 -0.54 .07σH.0154。0181 1.332 0.29 .1902 .079 -0.58 .0693.3.1. 目标函数：σD。隐含波动率函数的第一个选择，即σD，是orem 2.2提供的一个函数，通过将其截断为二阶近似值（以ν的幂为单位），即，（64）σD（y，ν，σ，T）：=σ+νe+νe。我们使用该目标函数如下。回想一下，Jτ是当天τ的市场数据集。对于每个交易日τ，我们计算了参数（ντ，στ，ρτ），该参数使（的平方）最小化l我们的目标函数（σD）和市场提供的模拟函数（隐含波动率，在这种情况下用各种指数表示∑）之间的误差。

也就是说，我们选择（ντ，στ，ρτ）来最小化（65）kσD（Jτ，ν，σ，ρ）- ∑（Jτ）k：=| Jτ| X（y，∑，T）∈JτσD（y，ν，σ，ρ，T）- Σ=Xj=1σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j）- ∑τ，j.使用的最小值lnorm是我们模型的拟合误差，或“样本内误差”（ISE），通过将（ν，σ，ρ）替换为（ντ，στ，ρτ）：（66）kσD（Jτ，ντ，στ，ρτ）-∑（Jτ）k：=Xj=1σD（yτ，j，ντ，στ，ρτ，Tτ，j）-∑τ，j.我们还计算了通过将（ν，σ，ρ）替换为（ντ）得到的“样本外”（OSE）误差-1, στ -1, ρτ -1） ，即使用前一天获得的参数s。（67）kσD（Jτ，ντ-1, στ -1, ρτ -1)-∑（Jτ）k：=Xj=1σD（yτ，j，ντ-1, στ -1, ρτ -1，Tτ，j）-∑τ，j.下表（表1）的第二行总结了我们的测试结果，提供了ISE和OSE、平均值ν、σ、ρ，以及特定目标函数（本例中为σ）的标准偏差std（ν）、std（σ）和std（ρ）。3.3.2. 目标函数：σH。回想一下，在[31]中，Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward应用了奇异摄动技术来推导SABR动力学下的闭合形式隐含效用近似，表示为σH。设z=νσln（F/K）和（68）ξ（z）=lnp1- 2ρz+z+z- ρ1 - ρ.SABR 23的VOL-OF-VOL展开式对于β=1，本文考虑的唯一情况，其隐含波动率近似值由以下公式给出：（69）σH（y，ν，σ，ρ，t）：=σzξ（z）h1+ρνσ +2 - 3ρνti，（另见【1】。）at表1中的las t数据行汇总了与上一段相同的信息，但针对σH替换σD.3.3.3。结论表1中总结的计算结果表明，对于数据集中出现的参数，两个公式σ和σD得出了非常相似的结果（通常情况下并非如此！）。3.4. 第二类市场数据是：实际价格。

在本小节中，我们报告了比较实际价格的测试结果。通过Black-Scholes公式（43），选择隐含波动率的近似值可以得出价格的近似值。例如，如果我们用σD近似σimp（就像在上一小节的第一组测试中一样），则得出的价格近似值为（70）CD（y，σ，t）：=Crel（y，σD，t）。（尤其是CD=e-rtFD，见方程式（16）。）此外，如果我们用σH近似σimp，所得公式将表示为（71）CH（y，σ，t）：=Crel（y，σH，t）。对于短期期权，SABR PDE解的近似值被广泛认为是非常精确的。我们将得出的价值和Cd与市场数据提供的价格Cm进行了比较。除了这些近似价格函数外，我们还测试了正则化的CHof Haga n公式，以及CSA的第二阶近似，即CSA，2=e-rtFSA，2定理1.1 1。如备注1.15和1.16所述，我们可以假设K=1和r=0，将所有结果乘以一个全局因子。3.4.1. 目标功能：CD2和CSA。然后，我们按照上一小节的步骤进行，但我们使用了Cd而不是σ，并且实际价格Cm=CBS（S，K，∑，t）而不是∑，其中∑是隐含波动率，由数据se t提供。我们还包括了对近似价格公式的测试，包括κ=。在我们的测试中，我们假设-rt=1。

因此，我们选择（ν，σ，ρ）来最小化（72）Xj=1，而不是（65Crel（yτ，j，σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j），Tτ，j）- Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j）,式中，Crelis如等式（45）所定义（因此，我们将dσd（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j）替换为dσd（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j）-∑τ，jwith Crel（yτ，j，σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j），Tτ，j）-方程（65）中的Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j）。为了获得样本内误差（ISE）和样本外误差（OSE），我们对方程（66）和（67）进行了一些类似的修正。这等于将方程式（72）中的（ν，σ，ρ）替换为（ντ，στ，ρτ），以获得ISE和（ντ-1, στ -1, ρτ -1） 以获得OSE。我们对CSA进行了类似的处理，2=e-rtFSA，2（见方程式（15））。结果见表2.24 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 2的最后两列。将模型的实际价格与市场数据进行比较。ISE OSEνstd（ν）σstd（σ）ρstd（ρ）CH.0038。0043 1.0463 .24 .197 .07 -0.56 .07CH.0036。0042 1.0687 .28 .192 .07 -0.39 .15CD。0037 .0042 1.0502 .25 .196 .07 -0.53 .08CSA，2.0037。0043 1.0566 .25 .196 .07 -0.55 .07表3。将模型的对数价格与市场数据对象函数ISEνstd（ν）σstd（σ）ρstd（ρ）ln（CH）进行比较。069 .077 1.2 .2.19 .08 -0.57 .06ln（￠CH）。056 .066 1.4 .4.18 .08 -0.28 .12ln（CD）。059 .068 1.5 .3.19 .08 -0.54 .04ln（CSA，2）。067 .076 1.3 .3.19 .0 8 -0.55 .05ln（Cκ）。064 .074 1.2 .3.19 .08 -0.55 .04ln（哥伦比亚广播公司）。119 .123 .18 .063.4.2. 目标函数：CHandCH。该表第二列提供了用Chare替换CDR的类似结果。结果表明，由于ξ（0）=0，σHdue的商z/ξ（z）的公式中存在一些数值不稳定性，因此对于很小的z，我们讨论了机器精度问题。

因此，对于z非常小，我们在z/ξ（z）和1之间插入te-σz≈ z/ξ（z）以获得新的公式CH，我们还总结了（略好的）结果。在处理市场数据时，z实际上从来都不是零，但在处理数字测试时，我们确实得到了z=0，因此这种插值变得必不可少。3.4.3. 结论重新使用CHwithCHIMP将此公式的性能提高了一小部分，但意义重大。在任何情况下，所有这些模型（Black-Scholes模型除外）的表现都非常相似，通过检查样本内误差s（ISE）和样本外误差（OSE）可以看出。3.5. 第三类marke-t数据测试：对数价格。读者可能已经观察到了前一节中使用的方法的谬误：通过观察差异CM- 例如，我们没有考虑这样一个事实，即当Cm很小时，我们希望误差更小。因此，我们现在执行相同的测试，但针对的是价格的对数。因此，我们将CD替换为ln（CD）（与其他Cs类似）。因此，对于目标函数ln（CD），我们最小化（73）Xj=1自然对数Crel（yτ，j，σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j），Tτ，j）- 自然对数Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j）,其他目标函数的所有其他公式都以类似的方式变化。我们还测试了均值回复项。我们在表3总结的结果中得出，平均值回复项对应于ln（Cκ）。SABR 25的VOL-OF-VOL扩展这里是对这些结果的一些评论。最好的模型是修改后的哈根模型，紧随其后的是我们的隐含波动率模型（因此，在这种情况下，考虑定理2.2的隐含波动率公式而不是定理1.11的近似价格公式是一个优势，尽管它们之间有一个O（ν）阶差）。

为了进行比较，在最后一行，我们还展示了Black-Scholes mo de l的表现，这被认为比所有其他的表现都要差得多。与价格的类似近似值相比，使用隐含波动率的ν展开可以改善结果。引入均值回复项也可以改善（对于小κ）结果。这可以通过比较ln（Cκ）对应的行与ln（CSA，2）对应的行，以及从CSA公式中得到的Cκ公式（包括均值回复项）来看出。备注3.2。我们已经包含了参数s（ν，σ，ρ）的平均值和标准偏差的信息，因为我们将使用它们来选择数值测试的最有利参数。从这个意义上说，我们不明白你的意思-.01和标准偏差0.28.4。数值试验我们对我们的近似公式CSA、2和CDin进行了数值试验。数值试验证实了我们的方法在适当的参数范围内的有效性。在下面的所有数值测试中，我们选择了K=1和K=0。我们还选择了r=0，因此for ward价格SF=ertC和实际价格C之间的区别消失了。4.1. 近似值的个体：在PDE中替换。评估本pap中考虑的各种方法性能的最简单的数值测试是检查得到的价格函数C是否满足SABRPDE（方程（1））。回想一下，在我们的数值测试中，L是SABR PDE的生成器，κ=0。也就是说，我们共同计算残差tC公司-LC，其中，对于哈根模型，C=chf；对于我们使用近似波动率σD的模型，C=cd2；对于我们的二阶近似值，C=CSA。如果C是SABR-PDE的n精确解，则残差为零。

所以范数R=ktC公司- theresidual的LCk告诉我们C离实际解有多远。为了比较，我们还计算了当C=CBS时的残差范数，即当C仅由Black-Scholes公式给出时的残差范数。可以说，如果个体的范数很小，那么C接近实际解，因为对于κ=0，PDE是适定的。然而，情况并非如此，因为较大的残差并不意味着Cis远离溶液（这与如果f′很小，则给出fis很小的现象相同，但并非相反）。我们计算了l-不同区域的残差范数。例如，让我们考虑一组数据点，其中ν=0.12 5，T属于n 0.1和1之间的等距节点集，ρ=-0.4，σb延伸至0.1和0.3之间的一组等距节点，y属于-0.5和0.5。表4总结了我们选择C的残差标准。（在该表中，我们显示了标准乘以1000，因为这些数字在其他方面非常小。）我们对其他不同地区进行了相同的测试，包括参数值接近市场数据的地区。26 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 4的结果，如预期的那样，随着ν、T和区间大小的增加而恶化。残差R的估计：=k(t型- 五十） CkC=CHCDCSA，2CBSR 0.489 0.181 0.163 16.436ν=。125，吨∈ [0.1, 1], ρ = -.4, σ ∈ [0.1、0.3]和y∈ [-0 .5, 0.5].表5：。残差估计（续）C=CHCDCSA，2CBSνT∈ y∈R33 .07 .072 1.8 .1 [ 0.1, 30 ] [-0.3, .3] R。38 .28 .37 1.8 .1 [ 0.1, 30 ] [ -1.5，1.5]R。02 .016 .018 1.4 .25 [ 0.1, 0.2 ] [ -1.5，1.5]R 3.2 2.4 5.2 18.8 1[0.1，1][-0.2，0.2]R 4.3 26。14.8 15.5 1 [ 0.1, 1 ] [ -1，1]R 6.1 4。7. 17.5 1 [ 0.1, 2 ] [ -0.2，0.2]表6。

Dyson级数方法与Hagan公式OBJ函数的比较lll∞σH- σD.0057。0139 .16 7频道- 光盘0010 .0026 .0266ln（CH）- ln（CD）。0326 .0938 3.598年。在这些测试中，我们的模型be对于小ν，甚至对于大T都有更好的效果。然而，对于较大的ν值，Hagan的模型表现更好（对于这种类型的测试）。在所有这些测试中，我们只使用了T的值≥ 0.1，因为T<0.1.4.2时，程序中使用的数值微分变得不太可靠。我们的隐含波动率公式与哈根的市场数据公式的比较。对于上文中解释的所有参数qτ，j：=（ντ，στ，ρτ，yτ，j，Tτ，j），我们还计算了隐含挥发度σH之间的差异- σD，价格Sch（qτ，j）- CD（qτ，j）：=Crel（σH（qτ，j））- Crel（σD（qτ，j））：=Crel（yτ，j，σH（ντ，στ，ρτ，yτ，j，Tτ，j），Tτ，j）-Crel（yτ，j，σD（ντ，στ，ρτ，yτ，j，Tτ，j），Tτ，j）。我们同样计算了相应原木价格之间的差异：ln（CH（qτ，j））- ln（CD（qτ，j））：=ln（Crel（σH（qτ，j）））- ln（Crel（σD（qτ，j）））。对于所有这些选项，我们计算了l, l, 和l∞norm，表6总结的结果得出的结论是，平均而言，σ和σd预测了一些非常接近的值。然而，有时，这些值可能非常不同。获得了价格差异的“最佳结果”，但这些结果并不太重要，因为它们不是无量纲的（它们没有考虑价格的大小）。SABR 274.3的VOL-OF-VOL扩展。蒙特卡罗模拟。公式CH、CD或CSA、2均不是SABR PDE的正确解决方案。为了将它们与真解进行比较，我们需要一种方法来很好地逼近真解，以便查看哪种方法最接近真解。

回想一下，在我们的数值测试中，κ=0。在第一组测试中，我们使用蒙特卡罗方法来近似SABR P DE的真实解。为了进行测试，我们首先使用30000条路径和时间步10，通过蒙特卡罗模拟（以下由CMC表示）来计算看涨期权的价格-4、我们以此值为基准。然后，我们计算了差值EH=CH- CMCand ED=CD- CMCfora K和t的范围，并将其绘制为货币y=ln F/K的函数。我们在整个测试过程中选择以下参数：F=10，σ=0.2，ν=0.2，ρ=-0.3.当t=1时，近似值CHand和Cd几乎完全一致，并且都相当准确。最大误差为0.8%，约为基准价格CMC的0.1%-0.2%。当t增加到3和10时，误差开始增大，两种近似值逐渐发散。当CHand和Cd都高估CMC时，Hagan的近似值往往会给出更好的近似值，而如果他们都低估CMC，Duhamel-Dyson微扰级数近似值的误差r较小。因此，总的来说，无法判断隐含波动率的两个近似值（Hagan和我们的）中哪一个更适合小t。最后，当它大到30年时。CHand和Cd之间的差异变得显著。有趣的是，CHand-Cd都高估了时间的CMCmost，而且Cd几乎系统性地为低CH。因此，在这种情况下，Duhamel Dyson摄动级数方法为大多数罢工提供了更好的近似值。事实上，Hagan近似的最大相对误差为22%，而Duhamel-Dyson微扰序列展开法的相对误差仅为12%。然而，对于ν=1.5，我们的蒙特卡罗模拟甚至对于路径也不收敛。为此，我们还尝试了有限差异模拟。4.4. 与有限差分近似解的比较。

在第二次测试中，我们也将解的有限差分近似值作为SABR PDE的基准。这是最相关的方法（因此我们最后保存了be ST），因为FD方法比Mo nte Carlo方法更精确，并且在我们的例子中，可以得到相当好的近似解（但并不完美）。事实上，我们已经计算了方程（1）的解FSAof的有限差分（FD）近似序列wkof，其中κ=0是通过连续定义我们的节点集获得的。对于该序列的wkof近似，我们已经测试了FD近似的收敛性，并将其与之前考虑的各种近似C进行了比较：CSA、2、CD、CH和CBS。表7和表8显示了最近离散化（最大k）的比较结果。现在让我们解释一下这些表格中包含的结果。我们继续假设r=0，所以FSA=CSA，FD=CD，依此类推。4.4.1. 概述该方法及其挑战。第3节（使用市场数据）中的测试给出了y的范围，大致包含在[-0.3, 0.3]. 因此，在我们的FD测试中，我们采用了I：=[-1，1]作为y的兴趣区间。这意味着我们已经将我们的FD近似值wk与其他方法仅对y预测的值c进行了比较∈ [-1, 1]. 我们同样也支持an28 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORinterval对σ间隔的兴趣：=[0.14，0.23]=[0.18/c，0.18 c（也就是说，J是相对于对数刻度上0.18对称的区间s；但请注意，我们已将值四舍五入到两个重要数字）。鉴于我们涉及市场数据的结果（见第3节），平均波动率选择0.18似乎是一个合理的选择。

然后，我们在节点p点（74）（x，σ）处，将我们的FD近似值WK和其他近似值C（na-mely CH，CV，CSA，2和CBS）进行了比较∈ I×J=[-1, 1] × [ 0.14, 0.23 ] .参数ν、ρ、T也选择接近市场数据提供的参数（我们将在下文解释）。在实现和错误分析中，我们必须处理以下事实：域是非紧的，SABR PDE的系数远远不是常数，事实上，它们在某些区域非常小，在其他区域非常大。接下来，让我们解释一下我们是如何具体处理这些问题的。4.4.2. 切割误差。回想一下，我们要解的方程是域（x，σ）上的方程（1）（在这些测试中，κ=0）∈ R×（0，∞). 由于域是非紧的，为了使用有限差分（FD）离散此方程，我们通过限制为矩形域来执行域的切割Ohm := [-xMAX，xMAX]×[σmin，σMAX]，σminσMAX=0.18和Ohm 明显大于I×J。这要求我们指定边界上的解的值Ohm do干管的Ohm, 在计算之前不需要的东西（因为，我们没有规定边界条件，而是假设我们的解u（t）在合适的加权Sob-olev空间中）。因此，我们将问题（1）替换为（75）tw=σ(xw公司- xw）+νρx个σw+νσw（x，σ）∈ Ohmw（x，σ，0）=ex- 1 |+and w（x，σ，t）=g（x，σ，t）if（x，σ）∈ Ohm .根据经典结果，请参见[8、15、17、39、4、5、47、48]，例如，该方程的FD近似收敛到方程（75）的解w，这一点在我们的实现中没有非常清楚的说明。然而，对于v=h且κ=0，方程（75）的解w不同于方程（1）的s解Csao。

然而，鉴于备注1.6和方程格林函数的指数衰减t型- 五十、 o必须保证g与边界上的实际解不太远（即使g=0也可以），即ku- wkI×J→ 0作为Ohm 接近总域R×（0，∞) （参见[12，46]和其中的参考文献。参见als o[19]。这里的标准是未规范化的l使用感兴趣域I×J中的节点定义的范数。因此，一个大的切割不会对感兴趣的s小矩形I×J上的期望值产生太大的影响。然而，问题是，在实施中应该选择多大的切割。为了回答这个问题，我们需要精确估计出补偿误差。很难对这种削减进行严格的估计，而且最简单的估计似乎比我们在实施过程中看到的要大得多。相反，我们选择数值估算SABR 29的体积膨胀体积Ohm 通过反复增加它，直到我们的FD解决方案在感兴趣的领域I×J上变化很小。具体而言，我们Ohm := [-3，3]×[0.0193，1.6803]对于我们测试的最大ν值（ν=1.5）和我们测试的最大T值（T=5）。当T和ν的一些较小值仅略微改变结果时，使用了一些较小的区间。注意，在宏观上，σ中的区间明显大于x中的相应区间（与相关区间相比），因此σ中的离散比x中的离散需要更多的节点。我们发现，如果通过在Ohm, 这与ν=0.4.4.3的偏微分方程的解相对应。离散化错误。

对于离散化，be以间隔上的uniformgrid开始[-3，3]，网格尺寸h=1/2。然而，在区间[0.0193，1.6803]上，我们选择了一个具有19个节点的几何级数网格（因此，我们感兴趣区间的终点，其prec ise值为0.1404和0.2307，在所选节点中）。对于T=5，我们在第一次迭代中使用了190个时间步。我们使用了一种直接方法，因为在我们的情况下，它很容易实现，并且相当有效，至少在σ变量中选择了正确的网格（即几何进度网格）之后。然后，我们通过将每个间隔划分为两个较小的间隔来连续重新定义网格，同时保持每个维度中网格的性质。（也就是说，在x方向，我们选择端点的算术平均值来划分旧区间，而在σ方向，我们使用了几何平均值。）相应地，为了满足FD实现的稳定性条件，我们每次执行一次调整时必须将时间步数乘以4。因此，我们得到了方程（7-5）的解w的一系列近似值。特别是，每个近似解都需要（基本上）比前一个多16倍的计算时间。由于代码的运行时间（用C++编写并在简单的笔记本电脑上运行），这对我们的近似精度造成了一些严重的限制。预期收敛速度KWK+1- wkk公司≈ 4.-1周- 工作时间：-1k几乎立即被观测到，这导致了形式kw的良好误差估计-wkk公司≈ 3.-1周-工作时间：-1k（与经验估计的Cut-o ff误差不同，尽管我们知道它比任何指数都快，因为t型-五十） 。

在感兴趣域I×J和总域上都观察到了这种收敛速度Ohm.为了查看获得的精度，我们加入了以1开头的条目*见表7。它不对应于FD近似序列中的最后一项wk，而是对应于wk-1、对应于wk的条目就在其下方，我们可以看到数字s非常接近（除了估计误差kw-wkkI×J，正如预期的那样，在第k个任期内，其体积大约小四倍）。请注意，该表中记录的值表示相应规范值的100倍，因为我们处理的是小数字。4.4.4. 总误差估计。使用之前pa ragraphs的符号，我们可以看到（感兴趣的领域）总误差为（76）kCSA- wkkI×J≤ kCSA公司- wkI×J+k w- wkkI×J.30 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 7。闭式近似解与迭代FD近似的比较，ρ=-.2、所有标准均乘以100。TνkδCHk kδCHk∞对数CHkδCSA，2k kδCSA，2k∞记录CSA，2kδHDk est错误5 1 10。5 22.7 74.3 7.35 16.8 55.3 5.32 .0362 1.5 6.32 14.2 78. 2.91 7.72 56.7 5.9 .01022 1 1.4 5 3.28 35.3 0.939 2.26 38.6 1.72 .00912 .5.1 0.23 4.03 .136 .398 6.68 .179 .00221* 1.5 1.25 2.81 43.9 .741 1.6 56.4 1.7 .04421 1.5 1.24 2.9 43 .3.732 1.61 56.4 1.69 .0111 1 .24 1 .53 14.3 .2379 .608 22.2 0.403 .0101.5 1 .029 .088 2.13 .051 .179 4.83 .06 65 .003在本估算中，k CSA- wkI×Jis是截断误差，因为我们将FDtest限制在有界域内Ohm. 在我们的测试中，切割误差与k无关，因此Ohm 一开始必须选择相当大的尺寸。术语kw-wkkI×JR表示由于FD离散化而产生的误差，goe s为0，预计为c4-k、 kCSA的估算结果- wkkI×Jare包含在表7和表8的la st列中。

让我们解释一下这些表中其他列的含义。设k·k：=k·kl（I×J）和k·k∞:= k·kl∞（I×J）。设CH为Hagan的模式l和CSA预测的溶液，2b为我们的DuhamelDyson级数模型预测的溶液，与之前的e一样。“log”列显示kln（CH）- ln（wk）和kln（CSA，2）- 节点处差异的ln（wk）k范数，其中kcorres最终离散化。我们还写δCH：=CH-wk，类似地，δCSA，2：=CSA，2- wkandδHD：=CH- CSA，2。我们已经对ρ=-.2和其他参数的不同值。结果见表7。类似的结果，但ρ=-.5包含在表8中，其中我们分别显示了FD误差和切割误差的估计值。因为这些数字非常小，所以这些表格中的所有标准都乘以100。上述测试（同时考虑到离散化和切割误差）似乎表明，Duhamel-Dyson方法至少与asHagan方法一样具有竞争力（如果不适合大T和与市场数据兼容的参数）。因此，与我们的结论最相关的量是kδCHk和kδCSA，2k。表7和表8中的测试结果有时允许我们比较以下不同的其他评估方法。让我们对哈根公式和二阶近似CSA，2这样做。我们有（所有规范都在感兴趣的领域I×J）（77）kCH- CSA，2k≥ kCH公司- CSAk公司- kCSA，2- CSAk公司≥ kCH公司-wkk公司-kCSA，2-wkk公司-2kCSA公司-wkk=：kδCHk-kδCSA，2k-2kCSA公司-wkk。这使得CSA，2将更接近实际解CSA（在I×J的网格点上），我们没有kδCHk-kδCSA，2k>2kCSA-wkk。另一方面，如果标准kCH-CSA，2k较小，需要决定kCH中的哪一个-CSAkand kCSA，2-CSAk更小。当T和ν很小时，情况就是这样。

一般来说，kCH的差异-CSA，2k比kCSA快到0-wkk，所以对于这些值，SABR 31的VOL-OF-VOL扩展表8。闭式近似解与迭代FD近似的比较，ρ=-.5、所有标准均乘以100。TνkδCHk kδCHk∞对数CHkδCSA，2k kδCSA，2k∞记录CSA，2δHDFD err cut-o OFF 2 1 1 1.24 2.88 1 6.8 1.03 2.47 39.4 1.54。0185 .04181 1 .253 .543 2.4 .314 .752 25.9 .462 .0212 .00160.5 1 .0497 .137 1.41 .0671 .177 13.7 .0936 .0058 .0012很难判断哪一个是CHO CSA，2更接近CSA。因此，对于ν或T的较小值，我们需要更高的精度（即更大的k），以便区分模型，这两种模型似乎都非常接近实际解（特别是对于与市场数据兼容的参数，对于T≤ 2). 由于将k增加1会使程序运行时间大约增加15倍，因此在我们的测试中，区分CHand CSA、2对于小T或ν是一个真正的挑战。FD实现中的另一个挑战是，该方法的成本随着T的增加而快速增加。如果我们能够保持切割域固定（使用T），成本将在T中呈线性增长（这已经是一个挑战）。然而，作为Tgrowth，我们需要采取更大的Ohm, 因为Green函数大致减少了likee-d/（2T），其中d是R×（0）上的双曲线距离，∞). 为了保持较大T的相同精度，我们预计Ohm 增长速度至少与√T所以如果用4T代替T，那么我们必须将（双曲线）距离加倍M、 这意味着σmax乘以e2ν。由于我们选择了σ方向的几何网格（正是出于这个原因），因此σ方向的节点数量不会增加太多。

（这个麻木的人长得像ln(Ohm最大值）。）然而，在（直接）FD方法中，它会通过因子e4ν影响矩阵的稳定性（因为x） 而我们需要按比例减少时间步长的大小。因此，时间步长的总数需要增加4e4ν。当ν很大时，这是非常昂贵的。关于均值回复案例的一些最新结果，请参见[21、33、54]。然而，我们强调，许多在非均值回复情况下（即κ=0）成立的理论结果尚不清楚，甚至可能在κ6=0.5的情况下也不成立。到目前为止，我们已经完全解决了更一般的λSABR模型的一个特例。也就是说，我们取了β=1和κ=0。然而，换向器方法的适用性并不要求F（t）和σ（t）为对数正态。如前所述，该方法工作的关键条件是模型系数都是状态变量的多项式函数。乍一看，具有一般β的SABR模型违反了这一条件，因为系数F（t）β不是F（t）的多项式函数。幸运的是，我们将证明，如果volatilityprocess是对数正态的（即κ=0），那么简单的变量更改会将SABRequations转换为具有多项式系数的SABRequations。32 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.Nistorth另一个假设，即κ=0，也不是至关重要的。当κ6=0时，可以通过将前向波动率[σ（T）]作为我们的状态变量来消除均值回复漂移项。这在我们的模型中产生了轻微的复杂性，因为转换后的SDE不会是时间均匀的。

我们将证明，这对于换向器方法的应用来说并不是一个重要的问题。综上所述，κ6=0和β6=1这两种最普遍的情况实际上更加困难，无法单独通过命令方法来处理。因此，在本节的其余部分，我们只考虑沿两个方向的梯度，1）κ6=0和β=1，2）β6=1和κ=0.5.1。具有均值回复波动性的对数正态模型。我们首先考虑β=1的简单情况，而波动过程不是对数正态的，而是由类似于Ornstein-Uhlenbeck过程的过程驱动的。然后，我们假设风险中性度量下的价格波动动力学为（78）dF（t）=σ（t）F（t）dW（t）dσ（t）=κ（θ- σ（t））dt+νσ（t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，为了消除波动率漂移项，我们考虑远期波动率，定义为终端波动率σ（t）的时间t条件期望，z（t）=Et[σ（t）]。那么z（t）是一个构造鞅，因此它的动力学没有偏差。为了推导z（t）和σ（t）之间的精确关系，我们计算了（eκtσ（t））=eκt（dσ（t）+κσ（t）dt）=κθeκtdt+νσ（t）eκtdW（t）。将上述条件从t代入t，取两边的条件期望Et[·]，我们得到κTz（t）- eκtσ（t）=θ（eκt- eκt）。ab-ove允许我们将变量σ（t）写为新状态变量z（t）和时间的函数，即（79）σ（z，t）=eκ（t-t） z（t）- θ（eκ（T-t）- 1 ).很容易验证（80）dz（t）=ν（z（t）- θ(1 - eκ（t-T）））dW（T）。因此，我们得出了转换后的模型，（81）dF（t）=σ（z，t）F（t）dW（t）dz（t）=νe-κ（T-t） σ（z，t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，我们现在回到之前的情况，“波动”过程没有漂移，尽管系数现在是状态变量的时间依赖函数。

将价格过程F（t）替换为X（t）=ln（F（t）），转换模型下的期权价格u（X，z，t）解决了以下初值问题（82）uτ=σ（uxx- ux）+νρe-κτσuxz+νe-2κτσuzzu（x，z，0）=（ex- K） +SABR 33的VOL-OF-VOL展开相应的微分算子为（83）L=σ(x个- x） ，L=ρe-κτσx个z、 L=e-2κτσzandL=L+νL+νLV=νL+νL请记住，这里的σ是（79）给出的z和τ的函数，并且Li是一个较长的时间同态。因此，在eRτL（s）ds中，系统的基本解不再是一个半群，而是一个演化系统。重复应用Duhamel原理可得到以下Duhamel-Dyson微扰级数展开式：eRτL（s）ds（84）eRτL（s）ds=eRτL（s）ds+ZτeRτtL（s）dsV（t）eRtL（s）dsdt+ZτZteRτtL（s）dsV（t）eRttL（s）dsV（t）eRtL（s）dsdtt再次应用CHB恒等式，我们可以很容易地得出以下Lemmaremma 5.1。eRτL（s）dsu（x，z，0）=eRτL（s）ds（1+νJ+νJ）u（x，z，0）=（1+νJ+νJ）eRτL（s）dsu（x，z，0），其中J=zτ[L（t），ZtL（s）ds]dtJ=zτ[L（t），ZtL（s）ds]+[ZtL（s）ds，[ZtL（s）ds，L（t）]]dt+I（L，L）I（L，L）=τZt（t）+[L（t），ZtL（s）ds][L（t），ZtL（s）ds]DTD防。证明是使用CHB恒等式和u（x，z，0）仅依赖于x的事实进行的简单计算。引理5.2。换向器由：[L（t），ZtL（s）ds]=ρ2κ（1）给出- e-κt）（zeκt- θ（eκt- 1））（eκt（z- θ） +z+θ）(x个- x） [L（t），ZtL（s）ds]=2κ（e-κt- e-2κt）（zeκt- θ（eκt- 1））（eκt（z- θ） +z+θ）(x个- x）z+4κ（1- e-2κt）（zeκt- θ（eκt- 1 ))(x个- x） [ZtL（s）ds，[ZtL（s）ds，L（t）]]=4κe-2κt（eκt- 1）（zeκt- θ（eκt- 1））×（eκt（z- θ） +z+θ）(x个- x） 证明。让我们首先计算时间索引换向器[L（t），L（t）]。为简洁起见，我们使用符号vito表示σ（z，ti），并使用v′ito表示 σ（z，ti） z、 34 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORRecallσ（z，τ）=eκτz- θ（eκτ- 1 ).

结果，v′i=2（eκtiz- θ（eκti- 1）eκti【L，L】=ρe-κtvv′(x个- x） 。因此[L（t），ZtL（s）ds]=ρe-κtvZt（eκtz- θ（eκt- 1）eκtdt(x个- x） 。重新定义术语产生第一个身份。第二个和第三个恒等式的计算类似。结合以上两个引理，Jand-jca可以通过简单（但冗长）的计算得到。然后，与前面一样，运算符1+νJ+νjc可以写成x，x、 。，x、 每个系数都是参数的基本函数。剩下的唯一一个问题是，我们如何计算存在挥发物反转时的跃迁密度eRTtL（s）ds（x，t；y，t）？注意，当ν=0时，我们得到了具有确定性波动率的Black-Scholes模型，由（85）dσ（t）dt=κ（θ）给出- σ（t））。因此，终端原木价格X（T）可以明确地表示为X（T）=X（T）-ZTtσ（s）ds+ZTtσ（s）dW（s）。以Ft为条件，X（T）通常与平均值X（T）分布-V（t）和方差V（t），w with V（t）表示时间累计方差。然后，通过（86）eRTtL（s）ds（x，t；y，t）=q2πV（t）e给出了ν=0的cas e中的传递度-（y）-x+V（t））2V（t）这里的V（t）可以通过求解ODE（85）得到，因为（87）V（t）=θτ+κθ（z（t）- θ） （eκτ- 1）+2κ（z（t）- θ） （e2κτ- 1）eRTtL（s）ds（x，t；y，t）以及期权价格遵循引理5.1和5.2以及方程式86.5.2。SABR模型（含一般β）。我们现在考虑原始的SABRmodel，其波动率遵循纯对数正态分布，即（88）dF（t）=σ（t）F（t）βdW（t）dσ（t）=νσ（t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，当β6=1时，该模型不再被认为是受体积系数体积扰动的Black-Scholes模型。在指数d中，当ν=0时，（88）退化为本身难以求解的CEV模型。

因此，我们的第一个目标是对SABR 35a变量技术的变化应用VOL展开，以使变换后的模型在经过修正的Black Scholes mo de l中获得增益。首先注意，“瞬时波动率”不是σ（t），而是σ（t）f（t）β-我们称之为局部波动过程，并用M（t）表示。好消息是，当σ（t）遵循如（88）所示的无漂移对数正态过程时，M（t）的Ito差异不单独取决于σ（t）和F（t），而仅取决于M（t）。要看到这一点，应用伊藤的lemmadM（t）=（β- 1） M（t）（νρ+（β- 2） M（t））dt+（β- 1） M（t）dW（t）+νM（t）dW（t）（89）让表示β- 1，SABR模型现在重写为s（90）dF（t）=M（t）F（t）dW（t）dM（t）=M（t）（νρ+（- 1） M（t））dt+M（t）dW（t）+νM（t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，因此，我们现在可以将SABR模型视为受两个“vol of vol”参数s，和ν扰动的Black-Scholes模型。此外，上述方程中的系数都是F（t）和M（t）的多项式函数。因此，如果我们对期权价格CSA（f，m）在和ν上进行泰勒级数展开，那么CHB定理可以保证系数可以用无数项精确计算。请注意，当波动率为均值回复时，上述结果不再成立，因为局部波动过程s M（t）不再是自治的。我们还指出，与前一种均值回复波动率的情况不同，我们并没有试图摆脱M（t）-方程中的“波动率漂移”项。

原因是我们现在对b oth和ν进行泰勒展开，因此M（t）的漂移不会进入我们的零阶算子，并使其余的计算复杂化。方程（90）表示期权价格u（x，m，τ）解决了以下初始值问题（91）uτ=m（uxx- ux）+m（νρ+（- 1） m）um+m（m+νρ）uxm+m（m+2νρm+ν）um，u（x，m，0）=（ex- K） +。右侧的二阶微分算子可以写为，L=L+L+νLν+L+νLν+V Lν，其中L=m(x个- x） ，L=（- 1） m级m+mx个m、 Lν=ρmx个m、 L=mm、 Lν=mm、 Lν=ρm(m+mm） 。参考文献【1】Antonov A.、M.Konikov和M Spector。FreeBoundarySABR。风险，2015年。[2] H.阿曼。线性和拟线性抛物问题。数学专著第一卷，第89卷。Birkhauser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿，1995年。抽象线性理论。36 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTOR【3】H.Amann。一致正则黎曼流形上的抛物方程和退化初边值问题。在数学流体力学的最新发展中，Adv.Math。流体机械。，第43–77页。伯克豪斯/斯普林格，巴塞尔，2016年。[4] H.阿曼。Sobolev-Slobodeckii和H¨older spaceson一致正则黎曼流形中抛物型方程的Cauchy问题。J、 进化。设备。，17(1):51–100, 2017.[5] B.安曼、亚历山德罗·D·伊奥尼斯库和V·尼斯特。李流形上的Sobolev空间和多面体区域的正则性。文件编号：。数学11： 161–206（电子版），2006年。[6] B.Am mann、R.Lauter和V.Nistor。关于具有lie结构的黎曼流形的几何。国际数学杂志。数学Sci。，2004(1-4):161–193, 2004.[7] C.Bacuta、V.Nistor和L.Zikatanov。提高多面体上高阶元素的收敛速度。一、 先验估计。数字。功能。肛门。Opti m.，26（6）：613–6392005。[8] M.Ben Artzi、J.-P.Croisille和D.Fishelov。

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