现在让我们陈述T=1的主要定理：命题n C.1Let NA（P）hold and x≥ π(ξ). Thenu（x）：=sup（H，c）∈A0，xinfP公司∈PuIEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c）< ∞存在（^H，^c）∈ A0，xsuch thatinfP∈PuIEP[U（1，x- ^c+^HS- π（ξ））]+U（0，^c）=U（x）。我们通过引理证明了这个结果。这里我们表示l=span（{supp（Po (（S）-1 | P∈ P} （） Rd与正交补⊥= {H∈ 所有V的Rd | HV=0∈ 五十} 。引理C.2Assumex≥ π(ξ). 在NA（P）下，setKx=A0，x∩ （L×R+） Rd+1非空、凸面和紧凑。证据Kxis明显凸且闭合。还有待证明的是，Kxis有界：由π（ξ）的定义明确c∈ [0，x- π（ξ）]对于所有c∈ A0，x我们只需要显示H∈ Kxis有界。注意，在通过（H，0）进行转换之后∈ KX我们有0∈Kx：=Kx- （H，0）。现在我们假设存在一个矛盾∈Kxsuch that | Hn |→ ∞. 我们确定δ=| H |+1。我们可以提取一个子序列δHn/| Hn |，它收敛到极限H∈ Rd，so | H |=δ。A sKxis凸且包含足够大的n的原点δHn/| Hn |∈Kx。它跟在H后面∈Kx，自▄Kx关闭。进一步MorehS≥ lim信息→∞π(ξ) - x个- HS | Hn |/δ=0 P-q.S.By NA（P），这意味着HS=0 P-q.S，因此H∈ L⊥使用[Nutz，2 016，引理2.6]。作为H∈Kx这包括H+H∈ Kx公司 五十、 也就是说| H |=-HH。这与Cauchy-Schwarz不等式得出的| H |=δ相矛盾。命题C.1的证明。Fatou引理将其应用于所有P∈ Puthe函数（H，c）7→ IEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c）在A0，x上是上半连续的→ infP公司∈PuIEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c）是上半连续的，因此在紧集Kx上达到其上确界。

最后，再次引用【Nutz，2016，Lemma 2.6】，并回顾 Psup（H、c）∈A0，xinfP公司∈PuIEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c）= sup（H、c）∈Kx公司infP公司∈PuIEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c）.推论C.3在命题C.1的条件下，我们有SUP（H，C）∈A0，xinfP公司∈PuIEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c）= infP公司∈Pusup（H，c）∈A0，x（IEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c））！。证据请注意，Kxis紧、凸和pu是凸的。定义：Kx×P(Ohm) → R（H、c、P）7→ IEP[U（1，x- c+HS- π（ξ））]+U（0，c），注意（H，c）7→ f（H，c，P）是上半连续凹的。进一步详情第7页→ f（H，c，P）在Pu上是凸的。该主张源自Terkelsen（1973）的推论2。备注C.4 U（1，·，·）上方的有界性可替换为较弱的条件：事实上，假设存在一个大于0的常数，如tω7，这是足够的→ U（1，ω，a/2）从下到下是有界的andIEP[U+（1，x+HS- π(ξ))] < ∞ 对于所有H∈ A0、X和P∈ Pu和asIEP[U+（1，a）]<∞ 对于al l P∈ 聚氨基甲酸酯。命题C.1的证明遵循了H∈ ri（Kx）。C、 定理4.3的证明：多周期情况对于本节的其余部分，我们假设NA（P），ξ是Borel可测的。此外，我们通常将πt（ξ）缩写为πt。为了简化符号，我们假设U（0，·，0）=0。我们给出以下定义：定义C.5我们定义（ω，x）=U（T，ω，x），对于0≤ t型≤ T- 1Ut（ω，x）：=sup（H，c）∈At，x（ω）infP公司∈Put（ω）IEP[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c- 1{t=t-1} ξ（ω，·））]+U（t，ω，c）, x个≥ πt（ω）和Ut（ω，x）=-∞ 否则，其中x∈ R we setA0，x（ω）：={（H，c）∈ Rd×{0}| x+HS（ω，·）≥ π（ω，·）P（ω）-q.s.}At，x（ω）：={（H，c）∈ Rd×R+| x+HSt+1（ω，·）- c≥ πt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.}，t≥ 我们从引理B.3中回忆起，πt（ξ）是上半解析的。

这特别是指{（ω，x）| x<πt（ξ）（ω）}=[q∈Qπ-1t（（q，∞)) × (-∞, q） 是分析型的。接下来，我们通过反向归纳法表明，如果假设4.2得到满足，则Uthas Pu-q.s.具有以下性质：条件C.6 Let 0≤ t型≤ T- 1、Ut功能：Ohmt×R→ [-∞, ∞) 是下半解析的，从ab ove开始有界。此外，以下属性适用：1。ω 7→ 对于x（ω），Ut（ω，x（ω））从下方有界：=πt（ω）+，且每个>0.2。x 7→ Ut（ω，x）在πt（ω）上是非递减的、凹的和连续的，∞) 对于每个ω∈ Ohmt、 引理C.7假设NA（P）和假设2.1，假设4.1和假设4.2适用于u（t，·，·），0≤ t型≤ T、 然后存在函数▄Ut：Ohmt×(-∞, ∞) → [-∞, ∞),满足条件C.6，因此▄Ut=UtPu-q.s.证明。我们用归纳法证明了这一主张。回想一下UTsatis假设4.2。Wenow显示了从t+1到t的诱导步骤，因此是第一个xω∈ Ohmt、 为便于演示，我们假设t≤ T- 2、我们首先陈述了关于下半解析性的一些结果，这与Ut的定义有关：使用[Bertsekas and Shreve，2004，Lemma 7.30，p.177，Prop 7.47，p.179，Prop 7.48，p.180]，假设4.2和Put的分析图，我们可以看到φ：Ohmt×(-∞, ∞) ×Rd×R→Rφ（ω，x，H，c）=单位为fP∈Put（ω）IEP[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，ω，c）是下半解析的St+1（ω，·）是Borel可测函数（对于t=t，也是ξ（ω，·））- 1). 现在我们定义函数▄φ：Ohmt×R×Rd×R→Reφ（ω，x，H，c）=-∞ if（H，c）/∈ At，xor x<πt（ξ）（ω）φ（ω，x，H，c），否则。我们证明了∧φ是下半解析的。修复a∈ R

Thenneφ<ao={（ω，x，H，c）|φ（ω，x，H，c）<a，（H，c）∈ At，x（ω），x≥ πt（ξ）（ω）}∪ {（ω，x，H，c）|（H，c）/∈ At，x（ω）或x<πt（ξ）（ω）}={φ<a}∪ {（ω，x，H，c）|（H，c）/∈ At，x（ω）}∪ {（ω，x，H，c）| x<πt（ξ）（ω）}。通过与φ的下半解析性相同的论证，我们可以看到{（ω，x，H，c）|（H，c）/∈ At，x（ω）}=（（ω，x，H，c）支持∈Put（ω）IEP[x+HSt+1（ω，·）- c- πt+1（ω，·）]-> 0）是解析的，且集合{φ<a}和{（ω，x，H，c）∈ Ohmt×R×Rd×R | x<πt（ξ）（ω）}是解析的，soeφ是下半解析的。与【Blan chard和Carassus，2017年，提案3.27】类似，我们定义了Ut（ω，x）=limn→∞sup（H、c）∈Qd×Q+eφω、 x+n，H，c.由于下半解析函数的lim-its和可数上确界是下半解析函数，因此我们得出▄Utis是下半解析函数的结论。从定义中可以清楚地看出，Ut（ω，·）是非递减的，并且从ab ove开始有界。下一步，我们证明▄Ut（ω，·）是凹的。由于凹函数的最小值是凹的，因此足以证明x 7→ sup（H、c）∈Qd×Q+eφ（ω，x，H，c）是凹的。这与R\'asonyi和Stettner【2006年】【第2号提案的证明，第5页】：事实上，它足以显示sup（H，c）的中点凹度∈Qd×Q+eφ（ω，·，H，c），which是利用三角不等式直接得到的。凹度意味着▄Ut（ω，·）在（πt（ω）上是连续的，∞). 通过定义凹性和连续性扩展到πt（ω），∞).根据定义，我们显然有SUP（H，c）∈Qd×Q+eφ（ω，x，H，c）≤ su p（H，c）∈At，x（ω）φ（ω，x，H，c）。现在，我们展示了Pu-q.e.ω的Ut（ω，x）和~Ut（ω，x）的等式∈ Ohmt、 因此，让我们fix x>πt（ω）和ω∈ OhmtNA。使用[Bouchard and Nutz，2015，定理3.4]和Put（ω） Pt（ω）存在▄H∈ Rd使得πt（ω）+HSt+1（ω，ω′）≥ πt+1（ω，ω′）表示Put（ω）-q.e.ω′∈ Ohm.取c<x- πt（ω）和H∈ [0, ∞)dsuch thatH+···+Hd≤x个- πt（ω）- cmax1≤我≤dSit（ω）。下面是Put（ω）-q.e。

ω′∈ Ohm thatx+（H+~H）St+1（ω，ω′）- c=x- πt（ω）+HSt+1（ω，ω′）+πt（ω）+HSt+1（ω，ω′）- c≥ x个- πt（ω）- HSt（ω）+πt+1（ω，ω′）- c≥ πt+1（ω，ω′）。因此，At，x（ω）的最终值为Rd+1，因此Ri（At，x（ω））是一个开放集inRd+1。这意味着SUP（H，c）∈Qd×Q+eφ（ω，x，H，c）=su p（H，c）∈At，x（ω）φ（ω，x，H，c）。对于x>πt（ω）。x=πt（ω）中的等式后面是Utand▄Ut的右连续性。实际上，在x=πt（ω）中，Ut（x，ω）的右连续性遵循At，πt（ω）+1（ω）的紧性∩span（supp（{Po (St+1（ω，·）-1 | P∈ Pt（ω）}）和Fatou引理。最后，我们从下面展示了▄utb的有界性：对于某些>0的情况，设x（ω）=πt（ω）+。根据上述参数，存在^H∈ qd使得πt（ω）+/3+^HSt+1（ω，ω′）≥πt+1（ω，ω′）Put（ω）-a.s.ThusUt（ω，x（ω））≥ 在fP中∈Put（ω）IEP[Ut+1（（ω，·），x（ω）+^HSt+1（ω，·）- /3）]+U（t，ω，/3）≥ infP公司∈Put（ω）IEP[Ut+1（（ω，·），πt+1（ω，·）+/3）]+U（t，ω，/3）从下方受归纳假设和假设4.2的限制。这表明了这一主张。引理C.8假设NA（P）和假设2.1，假设4.1和假设4.2适用于u（t，·，·），0≤ t型≤ T、 利特∈ {0，…，T- 1} 和（H，C）∈ Aπ。存在多种可测映射^Ht+1，^cts，使得^cts是非负的，Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）+^Ht+1（ω）St+1（ω，·）- ^ct（ω）≥ πt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.andinfP∈Put（ω）IEPhUt+1（ω，·），Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）+^Ht+1（ω）St+1（ω，·）- ^ct（ω）- 1{t=t-1}ξ(ω, ·)i+U（t，ω，^ct（ω））=Utω、 Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）对于Pu-a.e.ω∈ Ohmt、 证明。我们展示了 B（R）-可测：事实上，我们知道ω7→Ut（ω，x）是较低的半解析值，尤其是普遍可测量的。另x 7→~Ut（ω，x）在πt（ω）上连续，∞), 从上到下有界且▄Ut（ω，x）=-∞ 对于x<πt（ω）。Thusis它在R上是凹的和上半连续的，其主张源自【Blanchard和Carassus，2017，Lemma A.35，p.1889】。

接下来，我们证明函数φ（ω，x，H，c）=在fP中∈Put（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，ω，c）是FUt B（R） B（Rd） B（R）-可测：正如我们在引理C.7ω7中所讨论的那样→φ（ω，x，H，c）是下半解析的，尤其是普遍可测的。另一方面，x 7→~Ut+1（ω，x）对于任何ω都是上半连续且凹的∈ Ohmt、 由于▄Ut+1是从上方有界的，应用Fatou引理得到（x，H，c）7→φ（ω，x，H，c）对于每个ω都是上半连续且凹的∈ Ohmt、 同样由【Blanchard和Carassus，2017，Lemma A.35，第1889页】得出，φ是FUtB（R）B（Rd）B（R）-可测量。现在我们定义对应关系Φ（ω）：={（H′，c′）∈ Rd×R+|φ（ω，Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）- 1{t=t-1} ξ（ω，·），H′，c′）=Ut（ω，Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω））}，ω∈ Ohmt、 那么它的图形就是FUt B（Rd） B（R）。接下来，我们定义函数Υ：ω7→ At，Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）（ω）。Bouchard和Nutz【2015】【Lemma 4.10的证明，第846-848页】中给出的论点有细微的变化，Υ的图是FUt B（Rd） B（R）-可测量和thusgraph（Υ）∩ ((OhmtNA公司∩ Ohmtξ）×Rd×R）∈ 未来 B（Rd） B（R）。然后还有￠Φ（ω）=（At，Vπ，H，Ct）的图-1（ω）+Ht（ω）St（ω）（ω）∩ Φ(ω) ω ∈ OhmtNA公司∩ Ohmtξ 未来的其他智慧B（Rd） B（R）和Φ在普适可测集{Φ6=} ∈ FUtby Neumann-A umann定理（【Sainte Beuve，1974，Cor.1，p.120】）。我们通过在{Φ6=}.此外，命题C.1中给出的单周期情形适用于x=Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω），引理B.1，备注B.2，以及【Bouchard a and Nutz，2015，定理3.4】中所述的超边缘策略的存在，表明￠Φ（ω）6= 对于Pu-q.e.ω∈ Ohmt、 这表明索赔为Ut=~UtPu-q.s。定理4.3的证明。设（^H，0）为INFP的最优策略∈PuIEP（U[π+HS） ]如引理C.8所示。

递归地进行，我们使用引理C.8来定义策略ω7→ （^Ht+1，^ct）（ω）用于INFP∈Put（ω）IEP[Ut+1（（ω，·），Vπ，^H，^Ct-1（ω）+^Ht（ω）St（ω）+Ht+1（ω）St+1（ω，·）- ct（ω）- 1{t=t-1} ξ（ω，·））]+U（t，ct（ω）），其中1≤ t型≤ T- 1和定义Ct=Pts=1^C以及^CT=Vπ，^H，^CT-1+^HT装货单- ξ.通过构造，我们得到（^H，^C）∈ Aπ。为了确定（^H，^C）的th是最优的，我们首先表明INFP∈PuIEP“TXs=1U，^Cs）#≥ U（π）。（26）让0≤ t型≤ T- 1、根据（^H，^C）的定义，我们有INFP′∈Put（ω）IEP′[Ut+1（（ω，·），Vπ，^H，^Ct（ω）+^Ht+1（ω）St+1（ω，·）- 1{t=t-1} ξ（ω，·））]+U（t，ω，^Ct（ω））=Ut（ω，Vπ，^H，^Ct-1（ω）+^Ht（ω）St（ω））表示所有ω∈ Ohmtoutside Pu polar套装。让P∈ P、 那么P=P · · ·  PT公司-1对于某些选择器Ptof Put，t=0，T- 我们通过Fubini定理得出结论Vπ，^H，^Ct+^Ht+1St+1- 1{t=t-1}ξ+tXs=1U（s，^Cs）#=IE（P···Pt公司-1） （dω）IEPt（ω）hUt+1（ω，·），Vπ，^H，^Ct（ω）+^Ht+1（ω）St+1（ω，·）- 1{t=t-1}ξ(ω, ·)i+tXs=1Us、 ω，^Cs（ω）≥ IEP公司···Pt公司-1.美国犹他州Vπ，^H，^Ct-1+^HtSt公司+t型-1Xs=1Us^Cs= IEP公司美国犹他州Vπ，^H，^Ct-1+^HtSt公司+t型-1Xs=1Us^Cs.重复应用该不等式显示（26）。要得出（^H，^C）是最优的结论，还需要证明u（π）≥ sup（H、C）∈AπinfP∈PuIEP“TXs=1U，Cs）#=：v（π）。为此，我们确定了任意（H，C）∈ π和第一个显示INFP∈PuIEP“UtVπ，H，Ct-1+HtSt公司+t型-1Xs=1U，Cs）#（27）≥ infP公司∈PuIEP“Ut+1Vπ，H，Ct+Ht+1St+1- 1{t=t-1}ξ+tXs=1U（s，Cs）#，t=1，T- 1、设>0。如引理C.7（ω，P）7的证明→ IEPhUt+1（（ω，·），Vπ，H，Ct（ω）+Ht+1St+1- 1{t=t-1} ξ（ω，·））i+tXs=1U（s，ω，Cs（ω）），是下半解析的。使用【Bertsekas和Shreve，2004，P rop.7.50，P.184】和【Bertsekas和Shreve，2004，Prop。

ω为7.44，p.172]∈ Ohm对一些普遍可测的最优选择器PtthatIEPt（ω）给出了一个Pu极集Ut+1（ω，·），Vπ，H，Ct（ω）+Ht+1（ω）St+1（ω，·）- 1{t=t-1}ξ(ω, ·)+tXs=1U（s，ω，Cs（ω））- ≤ (-)-1.∨infP公司∈Put（ω）IEPhUt+1（ω，·），Vπ，H，Ct（ω）+Ht+1（ω）St+1（ω，·）- 1{t=t-1}ξ(ω, ·)i+tXs=1U（s，ω，Cs（ω））≤ (-)-1.∨sup（H′，c′）∈At，Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）（ω）infP∈Put（ω）IEPUt+1（ω，·），Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω）- c′+H′St+1（ω，·）- 1{t=t-1}ξ(ω, ·)+t型-1Xs=1U（s，ω，Cs（ω））+U（t，c′）= (-)-1.∨Ut（ω，Vπ，H，Ct-1（ω）+Ht（ω）St（ω））+t-1Xs=1U（s，ω，Cs（ω））.给定P∈ Puwe Thous haveIEP(-)-1.∨Ut（Vπ，H，Ct-1+HtSt）+t-1Xs=1U，Cs）≥ IEP公司PtUt+1（Vπ，H，Ct+Ht+1St+1- 1{t=t-1} ξ）+tXs=1U（s，Cs）- ≥ infP′型∈PuIEP′Ut+1（Vπ，H，Ct+Ht+1St+1- 1{t=t-1} ξ）+tXs=1U（s，Cs）- .As>0和P∈ Puwere arb Itrry（27）如下。注意U（π）=infP∈PuIEP[U（Vπ，H，C）]（27）yieldsU（π）的重复应用≥ infP公司∈PuIEP[U（π+HS） ]≥ . . . ≥ infP公司∈PuIEP公司UT（Vπ，H，CT-1+HT装货单- ξ） +吨-1Xs=1U，Cs）= infP公司∈PuIEP公司TXs=1U（s，Cs）.As（H，C）∈ Aπ是任意的，因此U（π）≥ v（π）。由于π=π（ξ），这就结束了这个过程。C、 3定理4.5的证明。最优投资消费策略的存在性来自定理4.3。我们现在展示了乐观主义者的独特性。We fix 0≤ t型≤ T- 1并回顾引理C.7中给出的UT的定义。注意，可以显示函数（ω，P）7→ sup（H、c）∈At，x（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c- 1{t=t-1} ξ（ω，·））]+U（t，c）是下半解析的，通过将上述表达式减少到可数集上的上确界，如引理c.7中的证明。再次回顾引理C.7中存在的一组满泵测量，其中所有0≤ t型≤ T对于其余的证明，wetakeω在该集合与OhmtNA。

使用与定理4.3和推论C.3证明中相同的Jankov von Neumann参数，我们得出结论，对于eacht=0，T- 1存在序列Pnt：Ohmt型→ P(Ohm) 在Pnt（ω）处的普遍可测核数，如th∈ 放置（ω）和x≥ πt（ξ）（ω）sup（H，c）∈At，x（ω）IEPnt（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c- 1{t=t-1} ξ（ω，·））]+U（t，c）↓Ut（ω，x）。由于Put（ω）是紧的，因此存在概率测度^Pt（ω）∈ Put（ω）和一个子序列{nk（ω）}k∈把那个limk→∞Pnk（ω）t（ω）=^Pt（ω）。我们现在证明，对于Pu-q.e.ω∈ Ohm串联x≥ πt（ω）函数sut（ω，x）=sup（H，c）∈At，x（ω）infP∈Put（ω）IEP[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c- 1{t=t-1} ξ（ω，·））]+U（t，ω，c）有唯一的优化器（H，c）∈ At，x（ω）。为了便于注释，我们假设0≤ t型≤ T- 2、我们注意到，通过▄Ut+1和U（t，·）的凹度，函数（H，c）7→ infP公司∈Put（ω）EPUt+1（（ω，·），y+HSt+1（ω，·）- c）+ U（t，c）是凹的。

现在假设有（H，c），（H，c）∈ At，x（ω），使得infp∈Put（ω）EPUt+1（ω，·），x+HSt（ω，·）- c+ U（t，c）=infP∈Put（ω）EPUt+1（ω，·），x+HSt（ω，·）- c+ U（t，c）=Ut（ω，x）。注意，对于策略（H，c）：=（（H+H）/2，（c+c）/2）∈ 在，x（ω）处，我们有byconcavityinfP∈Put（ω）EPUt+1（ω，·），x+HSt（ω，·）- c+ U（t，c）≥infP公司∈Put（ω）EPUt+1（（ω，·），x+HSt（ω，·）- c+ U（t，c）+infP∈Put（ω）EPUt+1（ω，·），y+HSt+1（ω，·）- c+ U（t，c）=Ut（ω，x）。因此，我们得出结论∈Put（ω）EPUt+1（ω，·），x+HSt（ω，·）- c+ U（t，c）=Ut（ω，x）。此外，对于任何x≥ πt（ω）和任意最大值（~H，~c）∈ At，x（ω）~Ut（ω，x）wehavesup（H，c）∈At，x（ω）IEPnk（ω）t（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c）≥ IEPnk（ω）t（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，c）（28）≥ infP公司∈Put（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+~HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，c）=Ut（ω，x），因此取（28）w w f indlimk→∞IEPnk（ω）t（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- ~c）]+U（t，~c）=~Ut（ω，x）。此外，我们注意到，根据假设和引理，C.7Ut（ω，y）被{（ω，x）上的someC所限定∈ Ohmt×R | x≥ πt（ξ）（ω）}，在yan中不递减为连续，ξ为连续。注意超边缘价格ω7→ πt（ξ）（ω）在{（ω，v）上是连续的∈ Ohmt | v∈ 英尺-1（ω）}b通过假设。对于n∈ N+我们定义了转移效用函数u1/N（T，x）：=U（T，x+1/N）。此外，我们归纳确定了多周期情况下U1/nT（ω，x）：=U1/n（T，x）和U1/nT（ω，x）：=sup（H，c）的相应一步版本∈At，x（ω）infP∈Put（ω）IEP[U1/nt+1（（ω，·），x+1/n+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c）表示1≤ t型≤ T- 1、请注意，特别是ar U1/n（t，x）完整假设4。4代表alln∈ N和1≤ t型≤ T表示它们的下半解析版本U1/nt（ω，x）。根据引理C.7，存在一组完整的Pu测度，使得对于所有n，U1/nt（ω，x）=U1/nt（ω，x）∈ N和1≤ t型≤ 从现在开始，T和we fixω在这个集合中。

我们现在用反向归纳法证明，对于所有n∈ N函数（ω，x）7→~U1/nt（ω，x+1/n）在集合{（ω，x）的每个点上都是连续的∈ Ohmt×R | x≥ πt（ξ）（ω）}：假设t+1和fix n的假设为真∈ N、 x个≥ πt（ξ）（ω）。对于y（|ω，|x）∈ Ohmt×R wehave公司~U1/nt（ω，x+1/n）-~U1/nt（~ω，~x+1/n）≤~U1/nt（ω，x+1/n）-~U1/nt（ω，~x+1/n）+~U1/nt（ω，~x+1/n）-~U1/nt（~ω，~x+1/n）.同于x 7→~U1/nt（ω，x+1/n）在πt（ξ）（ω）上是连续的- 1/n，∞), 存在δ>0，因此第一个和可以以/2 i f | x为界- x |≤ δ. 因此，有足够的证据表明存在|δ>0，这样对于所有|ω- ω| ≤δ我们有~U1/nt（ω，~x+1/n）-~U1/nt（~ω，~x+1/n）≤ /2.事实上，首先请注意，通过备注A.1和与命题3.5相同的矛盾论点，选择|Δ>0足够小，我们可以假设对于任何超边缘策略（H，c）∈ 在，πt（ξ）（|ω）（|ω），我们有|（H，c）|≤对于一些▄C>0的▄C，与▄ω无关。此外，我们可以选择|δ>0，这样|πt（ξ）（ω）- πt（ξ）（￠ω）|≤接下来我们观察到：假设Put（ω）是弱紧的，存在一个紧集[0，K]d Ohm, 求P（（[0，K]d）c）≤ /（48C）对于所有P∈Put（ω）。根据归纳假设（v，y）7→~U1/nt+1（v，y+1/n）在集合{（v，y）的每个点上都是连续的∈ Ohmt+1×R | y≥ πt+1（ξ）（v）}，从而在紧子集上一致连续。存在1/n>δ>0，因此对于v，~v∈ B（ω）×{u∈Ohm | inf▄u∈[0，K]d | u- u |≤ δ} ，y∈ [πt+1（ξ）（v），2CK]和|（v，y）- （￠v，￠y）|≤ δ我们有U1/nt+1（v，y+1/n）-U1/nt+1（▄v，▄y+1/n）≤ /24. （29）假设4。4.（1）并通过相应地调整δ，对于al lω∈ OhmTsch表示|ω- 对于所有P∈ Put（ω），存在▄P∈ 将（￠ω）放置为dL（P，￠P）≤ ：=δ/（2C）∧/（48C）。

根据Strassen定理，存在一个测度π∈ P（Rd×Rd）和两个随机变量X~ Po （St+1）-1（|ω，·）和|X~Po （St+1）-1（￠ω，·）如tπ（| X-X |≥ ~) ≤ ~. 因此，我们得出y的结论，~y：Ohm → R带| y（x）- y（x）|≤ δ每当πt+1（|ω）≤ y（▄x）≤ 2CK和| x- x |≤ ~IEPh▄U1/nt+1（▄ω，·），1/n+y（·））i- 即Ph值U1/nt+1（℃ω，·），1/n+y（·））i(30)=IEπhU1/nt+1（|ω，X），1/n+y（X））-U1/nt+1（|ω，|X），1/n+y（|X））i≤ IEπU1/nt+1（ω，X），1/n+y（X））-U1/nt+1（|ω，|X），1/n+y（|X））{X∈[0，K]d，| X-X|≤~}+C12C≤ /12 + /12 = /6.现在我们修改|δ>0，使得|πt（ξ）（ω）- πt（ξ）（￠ω）|≤ δif |ω- ~ω| ≤~δ.

进一步将命题C.1应用于函数（ω，x+1/n）7→~U1/nt（ω，x+1/n）存在极大值（H′，c′）∈ 在SUP（H，c）的▄x+1/n（▄ω）∈在，￠x+1/n（￠ω）infP∈输入（|ω）IEP[|U1/nt+1（|ω，·），|x+1/n+HSt+1（￠ω，·）- c） ]+U（t，c）和a策略（H，c′）- β) ∈ 在，~x+1/n（ω），其中β：=c′∧ |πt（ξ）（ω）- πt（ξ）（￠ω）|≤ δ/2.此外，存在P∈ 将（ω）放置为▄U1/nt（ω，▄x+1/n）≥ IEPh▄U1/nt+1（（ω，·），▄x+2/n+HSt+1（ω，·）- c′+β）i+U（t，c′）-β)-/6.注意，我们可以修改|δ>0，使|（ω，HSt（ω））- （|ω，HSt（|ω））|≤ （▄C+2）▄δ≤ δ/2.现在由（29）加上y（·）=~x+1/n+HSt+1（ω，·）-c′＋β和▄y（·）=▄x＋1/n＋HSt+1（￠ω，·）-c′IEP[U1/nt+1（（ω，·），x+2/n+HSt+1（ω，·）- c′＋β）]+U（t，c′）- β) - /6≥ IEP[￠U1/nt+1（（￠ω，·），￠x+2/n+HSt+1（￠ω，·）- c′）+U（t，c′）- /3后接（30），y（·）=x+1/n+HSt+1（￠ω，·）-c′，~y（·）=~x+1/n+H′St+1（￠ω，·）-c′，并注意到| H- H′|≤ 2▄CIEPh▄U1/nt+1（▄ω，·），▄x+2/n+HSt+1（￠ω，·）- c′）i+U（t，c′）- /3≥ 即Ph值U1/nt+1[（￠ω，·），~x+2/n+H′St+1（￠ω，·）- c′）i+U（t，c′）- /2≥~U1/nt（~ω，~x）- /2.交换ω和ω的角色，得出归纳步骤的证明。这特别显示了ω′7的连续性→~U1/nt+1（（ω，ω′），x+1/n+HSt+1（ω，ω′）-c）为ω′7→ x+~HSt+1（ω，ω′）- c是连续的。因为这个函数i s也放（ω）-q.s。

由引理C.7限定（回想一下（▄H，▄C）∈ 在，x（ω）），我们通过使用Portmanteau定理得出结论，Ut（ω，x）=infn∈NU1/nt（ω，x）=infn∈Nlim信息→∞IEPnk（ω）t（ω）[U1/nt+1（（ω，·），x+1/n+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c）≥ infn公司∈NIE^Pt（ω）[U1/nt+1（（ω，·），x+1/n+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，c）=IE^Pt（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c）≥ infP公司∈Put（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+~HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c），其产生x≥ πt（ω）~Ut（ω，x）=IE^Pt（ω）[~Ut+1（（ω，·），x+~HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c）。特别是对于i=1，2IE^Ptω）h▄Ut+1（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- ci+U（t，c）=IE^Pt（ω）hUt+1（ω，·），x+HiSt+1（ω，·）- ci公司i+U（t，ci）。现在自（H，c）7→ IE^Pt（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c）是凹的，在c中是严格凹的，我们需要c=candHSt+1（ω，·）=HSt+1（ω，·）^Pt（ω）- a、 用Ξt表示对应关系Ξt（ω）=（P∈ Put（ω）~Ut（x，ω）=sup（H，c）∈At，x（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c））表示x≥ πt（ω），并注意到通过Bouchard和Nutz【2015】【引理证明4.10，p.848】中的可测选择参数，集合（（ω，p）∈ 图表（Put）sup（H、c）∈At，x（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c）-Ut（x，ω）≤ 0）是（FUt）的一个元素 B（P(Ohm))), 其中A（未来 B（P(Ohm))) 是FUt上所有Nucleof Suslin方案的集合 B（P(Ohm)). 因此，存在一个未来可测量函数^Pt：Ohmt型→ P(Ohm) 绘制该图（^Pt） 图表（Ξt）。这就是证明的结论。如果我们假设H- H∈ span^Pt（ω）(St+1（ω，·）），然后H=H.ReferencesB。Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233–2512013年。A、 Aksamit、S.Deng、J.Obl'oj和X.Tan。稳健定价——离散金融市场中美国期权的对冲双重性。数学《金融》，第1-372018页。

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