使用期望值评估下注几率和免费优惠券

2022-6-11 09:50:41

使用Desirabilitynawapon NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESAbstract评估下注几率和免费优惠券。在英国博彩市场，博彩公司通常会向新客户提供免费赠券。这些免费优惠券允许客户在较低风险下进行额外押注，并结合通常的赔率。我们感兴趣的是，客户是否可以利用这些免费优惠券来确保收益，如果可以，客户如何实现这一点。为了回答这个问题，我们将赔率和免费优惠券作为博彩公司的一组理想赌博。我们证明，我们可以使用Choquet积分来检查这组令人满意的赌博是否会给庄家带来一定的损失，从而给客户带来一定的收益。在后一种情况下，我们还展示了客户如何根据互补松弛度确定能够获得最佳可能收益的赌注组合。举例来说，我们对市场上的一些实际赌博赔率表示满意，并发现，如果没有免费优惠券，从这些赔率衍生出的一组令人满意的赌博可以避免肯定的损失。然而，通过免费优惠券，我们确定了一些客户可以下注的组合，以获得担保金。1、简介考虑一下英国的足球博彩市场，那里的博彩公司通常会为可能的结果提供分数赌注。例如，在曼联和利物浦之间的一场比赛中，收受赌注的人以形式计算曼联获胜的赔率，以c/d表示平局，以e/f表示利物浦获胜。假设一位客户接受赔率a/b，在aManchester United win上下注b英镑，并在比赛前支付给博彩公司。比赛结束后，如果曼联赢了，博克马会付给他一个+磅的奖金。

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2022-6-11 09:50:44

因此，如果曼彻斯特联队获胜，那么客户的总回报将是500美元；否则，客户将减掉b磅。为了预测一场比赛的结果，bo okmaker可能会遇到一些困难，例如缺乏数据（例如，a队在过去五年中从未与B队比赛过）、数据缺失、足球专家o Pine有限，甚至来自不同足球专家的信息相互矛盾。许多作者[14、15、13、10]都认为，这些问题可以通过使用一组令人满意的赌博来解决。赌博会根据不确定的结果（即比赛结果）重新给出奖励（在我们的情况下是金钱）。收受赌注者可以通过陈述他愿意进行的一系列赌博来树立他对这一结果的信念。这样的一组被称为一组合意的赌博。通过对偶，陈述一组期望的赌博在数学上等价于陈述一组概率分布。关键词和短语。下注；息票Choquet积分；互补松弛。2 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESIf如果没有理想的赌博组合会导致保证损失，那么我们说一组理想的赌博可以避免确定的损失【14，15】。因此，如果庄家的一系列理想赌博避免了肯定的损失，那么就不存在客户可以从中获得保证收益的组合。另一方面，如果集合不能避免确定的损失，那么客户可以利用组合下注来获得确定的收益。除了避免肯定的损失外，博彩公司还希望吸引新客户。有几种技巧可供图书制造商用来说服客户与他们的公司打赌。一些博彩公司可能会比其他博彩公司提供更大的赌注，因为胜算意味着对客户的回报更大。

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2022-6-11 09:50:47

另一种技术是提供“免费优惠券”，这是客户可以在赌博上花费的赌注。这种免费优惠券也可以作为一种理想赌博的手段。然而，博彩公司可能会担心客户会发现不同赔率和免费优惠券的组合，他们可以下注并获得有保证的收益。因此，从博彩公司的角度来看，他们希望检查从不同赔率和免费优惠券中获得的一系列理想赌博是否能够避免确定的损失。相反，从理论上讲，客户可能会对收受赌注者的集合无法避免确定损失的情况感兴趣，因为这样客户就可以获得确定的收益。在这种情况下，客户可能希望找到能够获得最佳确定收益的组合。有很多关于利用赌博赔率和免费赌博的研究，目的是找到产生利润的策略。例如，Walley【13，附录I】和Quaeghebeur等人【7】研究了一组理想赌博在体育运动中的应用；Milliner等人【5】、Schervish等人【9】、Vlastakis等人【12】直接利用下注赔率，而Emiliano【2】则在账户中进行免费下注。Emiliano考虑了两种可能的结果，并允许客户之间进行合作。在本文中，我们考虑了任何数量的可能结果，但我们只考虑一个单一客户。我们评估投注赔率和免费优惠券，并检查由赔率和免费优惠券衍生的一组可设计赌博是否通过自然扩展避免了确定的损失（或没有）。如果集合不能避免肯定的损失，那么我们将准确显示客户如何获得肯定的收益。一般来说，可以通过解决线性规划问题来避免确定的损失【13，p.151】。在我们之前的工作【6】中，我们提供了解决这些线性规划问题的有效算法。

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2022-6-11 09:50:50

对于我们的具体问题，我们表明，我们可以通过Choquet积分计算自然延伸，或者通过解决线性规划问题，其中最优值等于自然延伸。在无法避免肯定的损失的情况下，我们知道我们可以找到客户可以押注的策略，以获得有保证的收益。我们表明，可以使用Choquet积分和补充sla确认条件来识别该策略。我们发现这种策略的方法通常不仅适用于这个下注问题，而且适用于涉及更高概率质量函数的任意问题。具体而言，通过使用Choquet积分和利用互补松弛条件，我们可以在不直接求解的情况下找到相应对偶线性规划对的最优解。PAP r组织如下。第2节brie fly回顾了主要概念Behind Desibility，Avoid sure loss and natura l extension。我们还讨论了可用于计算自然延伸的Choquet积分。在第3节“使用DESIRABILITY 3评估投注赔率和免费优惠券”中，我们介绍了固定赔率，并解释了投注赔率的工作原理。由于bettingods可以看作是一组理想的赌博，我们重新研究了一个简单的已知算法，以检查这样的集合是否避免了确定的损失。在第4节中，我们从合意性的角度讨论免费优惠券。我们展示了如何通过自然张力检查免费优惠券的问题是否避免了肯定的损失。我们将演示如何使用Choquet积分来计算此自然扩展。接下来，我们利用互补松弛度来找到一个组合的赌注，从而尽可能获得最佳的保证收益。

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2022-6-11 09:50:53

为了说明我们的结果，第5节，我们考虑了一些实际的赔率和市场上的免费赠券，并提供了一个客户可以通过免费赠券获得一定收益的示例。第6节总结了本文。2、避免必然损失和自然延伸在本节中，我们将简要讨论可取性，避免必然损失和自然张力。我们还将解释Choquet积分，该积分可用于计算本文所考虑的情况下的自然延伸。稍后，当我们将赌注和免费优惠券视为一组可设计的赌博时，以及当我们想检查这组赌注是否避免了确定的损失时，本节中的材料将非常有用。2.1. 避免肯定的损失。允许Ohm 成为结果的不确定性的决定性因素。赌博是一个有界实值函数Ohm. 让我(Ohm) 表示上所有遗传标记的集合Ohm. 让D成为一组被试认为可以接受的赌博；我们称之为主体的一系列令人向往的赌博。欲望的理性条件如下【10，第29页】：公理1（欲望的理性公理）。对于L中的每个f和g(Ohm) andevery非负α∈ R、我们有：（D1）如果f≤ 0且f 6=0，则不需要f。（D2）如果f≥ 0，则需要f。（D3）如果f是可取的，那么αf也是可取的。（D4）如果f和g是可取的，那么f+g也是可取的。这两条公理很简单，因为主体应该接受任何他不能输掉的赌博，但他不应该接受任何他不能赢的赌博。Axiom（D3）遵循效用标度的线性，而ax iom（D4）表明，可以进行赌博的组合也是可取的。我们不认为主体指定的任何集合D满足这些公理。然而，我们可以用这些公理来证明D的合理性。

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2022-6-11 09:50:57

事实上，理性公理本质上表明，理想赌博的非负组合不应产生确定的损失【10，第30页】。在这种情况下，我们说Davoids肯定会失败。定义1。【10，第32页】A组D L(Ohm) 据说是为了避免确定服务水平s，如果所有n∈ N、所有λ，λn≥ 0和所有f，fn公司∈ D、（1）最大ω∈OhmnXi=1λifi（ω）！≥ 注意，可取性的合理性公理比避免额外损失的条件更强【10，第32页】。4 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes我们还可以通过可接受的赌博购买（或出售）价格来模拟不确定性。较低的预测值是在L的某些子集上定义的实值函数(Ohm).我们用domp表示Pby的域。给定一个g amble f∈ dom P，我们将P（f）解释为主体对f的最高购买价格，即f- 对于所有α<P（f）[10，P.40]，α都是可取的。定义2。[10，第42页]如果对所有人来说∈ N、所有λ，λn≥ 0和所有f，fn公司∈ dom P，（2）maxω∈OhmnXi=1λi[fi（ω）- P（fi）]！≥ 任何较低的预测都会产生一个共轭的上预测- dom P：={-f：f∈ dom P}，由P（f）定义：=-P(-f）对于所有f∈ - dom P。P（f）表示标的物f的最高售价【10，第41页】。接下来，le t A表示Ohm, 也称为事件。关联指示器函数Ia由（3）给出ω ∈ Ohm: IA（ω）：=（1如果ω∈ A0否则。此外，在本文中，我们还将张量地使用上概率质量函数。上概率质量函数p是Ohm 对于[0，1]，Andrew提出了以下较低的预测[10，p.123]：（4）ω ∈ Ohm: 聚丙烯(-I{ω}）：=-p（ω），其中dom Pp=Sω∈Ohm{-I{ω}}。我们可以用定理1检查PPA是否避免了肯定损失。定理1。[10，p.124]当且仅当ifPω∈Ohmp（ω）≥ 1.证明。参见【10，p.124，Prop.7.2】，较低概率质量函数p=0。

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2022-6-11 09:51:00

我们可以将概率上限mas函数解释为提供了所有ω的每个{ω}概率的上界∈ Ohm [10，第123页]。2.2. 自然延伸。理想赌博集D的自然扩展被定义为最小的赌博集，包括D中所有有限的非负赌博组合和所有非负赌博【10，§3.7】：定义3。[10，第32页]集合D的自然扩张 L(Ohm) is：（5）ED：=（g+nXi=1λigi:g≥ 0，n∈ N、 g，gn公司∈ D、 λ，λn≥ 0).从这一自然延伸，我们可以得出任意赌博f的最高买价。定义4。[10，第46页]对于任何集合D L(Ohm) 和f∈ L(Ohm), 我们定义：ED（f）：=sup{α∈ R：f- α ∈ ED}（6）=sup（α∈ R：f- α ≥nXi=1λifi，n∈ N、金融机构∈ D、 λi≥ 0).（7）使用DESIRABILITY 5评估博彩赔率和免费优惠券请注意，如果且仅当D避免损失时，eDi-fine因此是一种较低的预测值【10，第68页】。我们表示EdbyEd的共轭，由（8）ED（f）定义：=-教育部(-f） =inf（β∈ R： β- f≥nXi=1λifi，n∈ N、金融机构∈ D、 λi≥ 0).对于L中的所有f(Ohm) [13，第1页，第24页]。在没有混淆的情况下，EDI仅用E来表示。给定一个较低的预测P，我们可以导出一组与Pas相对应的理想赌博如下[10，P.42]：（9）DP：={g- u：g∈ dom Pandu<P（g）}。结合定义4和等式（9），我们可以定义P：定义5的自然延伸。[10，第47页]让Pbe有一个更低的预测。为所有f定义的PI的自然延伸∈ L(Ohm) by：（10）EP（f）：=EDP（f）=sup（α∈ R：f- α ≥nXi=1λi（fi- P（fi）），n∈ N、金融机构∈ dom P，λi≥ 0).类似地，只有当P避免了确定损失时，才有明确的定义【10，第68页】。在下一节中，我们简要解释了使用Choquet积分计算本文所考虑的较低预测类型的自然延伸；有关更多详细信息，请参见[11，10]。2.3. 上概率质量函数和Choquet积分。

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2022-6-11 09:51:03

让Epbe成为PP的自然延伸，避免必然的损失。然后Epis 2-单调，可通过Choquet积分计算[10，p.125]。在本节中，根据【10，第7.1节】的结果，我们给出了该积分的闭合形式表达式。为简单起见，我们表示指示符IAasEp（A）的自然延伸Ep（IA）。我们可以使用以下定理来计算Ep（A）。定理2。[10，第125页]让我们避免损失。那么对于所有A Ohm,（11） Ep（A）=最大值{0，1- U（Ac）}和Ep（A）=min{U（A），1}，其中U（A）：=Pω∈Ap（ω）。证据参见【10，p.125】，较低概率质量函数p=0。定理3。设f按其水平集Ai分解，i=0，1，n：（12）f=nXi=0λiIAiwhereλ∈ R、 λ，λn>0和Ohm = A） A）···）An6=. 然后（13）Ep（f）=nXi=0λiEp（Ai）。证据右侧是Choquet积分[10，p.379，Eq.（C.8）]，自然延伸Ep（f）等于Choquet积分[10，p.125，Prop.7.3（ii）]（低概率质量函数p=0）。6 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes注意到，定理3也适用于上自然延伸。推论1。设f是一个赌博，如式（12）所示分解。然后（14）Ep（f）=nXi=0λiEp（Ai）。证据见附录A。当我们想在第4.2.4节后面计算自然延伸时，Choquet积分将非常有用。多赌一次，避免必然的损失。设D={g，…，gn}是一组避免确定损失的期望赌博，设f是另一个期望赌博。我们想检查D∪ {f}是否仍能避免确定的损失。在第4节中，当我们想使用免费优惠券检查避免确定损失时，将使用此想法。在定义1，D中避免确定损失的条件下∪ {f}避免了确定损失i且仅当对于所有λ≥ 0，n∈ N、 gi公司∈ D和λ，λn≥ 0，（15）最大ω∈OhmnXi=1λigi（ω）+λf（ω）！≥ 我们可以将公式（15）简化如下。引理1。

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2022-6-11 09:51:06

允许Ohm 是一个有限集，D={g，…，gn}是一组避免必然损失的理想赌博，f是另一个理想赌博。然后，D∪ {f} 避免sureloss当且仅当所有n∈ N、 gi公司∈ D和λ，λn≥ 0，（16）最大ω∈OhmnXi=1λigi（ω）+f（ω）！≥ 0.证明。如果式（15）中的λ=0，则式（15）可以满足，因为D避免了确定损失。否则λ>0，对于所有i，λi≥ 0，soλi/λ≥ 因此，等式（15）等于（17）maxω∈OhmnXi=1λiλgi（ω）+f（ω）！≥ 0。因此，D∪ {f} 当且仅当等式（16）成立时，避免确定损失。接下来，我们给出了一种方法，不仅可以检查避免D的确定损失∪ {f}，但也可用于确定最严重的案例损失，这将在第4节的后面部分有用。定理4。让f∈ L(Ohm) 设D={g，…，gn}是一组避免重复损失的期望赌博。然后，D∪ {f} 仅当且仅当ifED（f）时，避免必然损失≥ 0、IfD∪ {f}不能避免确定损失，则存在λ≥ 0, . . . , λn≥ 0，使得f+Pni=1λigi，这是理想赌博的组合，导致至少| ED（f）|的损失。证据见附录B。注意，根据定义5，定理4也可以应用于P。使用DESIRABILITY 73评估下注几率和免费优惠券。下注方案在本节中，我们将解释分数下注赔率是如何工作的，并将研究两种情况：（i）客户下注于一个赌客，（ii）客户下注于多个赌客。在这两种情况下，我们都将下注几率视为一组合意的赌博，并检查这样一组赌博是否避免了确定的损失。3.1. 与一家博彩公司打赌。在英国，博彩公司通常对客户感兴趣的活动的可能结果提供分数赔率。例如，在2016年欧洲足球锦标赛上，客户对冠军感兴趣。假设一家博彩公司将奥德森法国设为9比2，一位客户接受这一赔率。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:51:09

对于客户在法国下注的每一笔2英镑的赌注，他将赢得9英镑加上其股份的回报。因此，收受赌注者将总共损失9英镑。否则，庄家将不支付任何费用并保留2英镑。收受赌注者通常将a/1写为a。给定分数赔率a/b，客户可以简单地按以下方式计算其回报。对于客户下注的每一笔金额b，他要么什么也得不到（如果下注失败），要么获得a加上其赌注的回报（如果赢了）。当收受赌注者接受这项交易时，总回报可以被视为是一场对收受赌注者有利的赌博，比如g：（18）g（ω）=(-如果ω=xb，则为a，否则为。请注意-如果客户决定接受b ookma ker的o dds，那么g对客户来说是一场值得的赌博。允许Ohm = {ω，…，ωn}是一组有限的结果。假设对于每个i，庄家设置下注赔率ai/bionωi。根据等式（18），这些赔率可以被视为一组理想的赌博D={g，…，gn}，其中（19）gi（ω）：=(-Aifω=ωIbiothers。给定几率ai/bionωi，假设我们将该几率中的分母修改为bj。为此，我们可以将ai/BI乘以bj/bjto为（20）aibj/bibj=aibjbi公司/北京。新的可能性仍然可取吗？根据合意性的合理性公理，修改后的DD仍然是合意的。引理2。设a/b为理想结果￠ω的概率。然后，对于所有α>0的情况，也需要￠ω上的几率αa/αb。证据考虑与赔率a/b相对应的理想赌博：（21）g（ω）：=(-a如果ω=￠ωb，则为。根据比率公理（D3），对于任何大于0的α，gambleαg也是可以的。因此，相应的比值αa/αb也是可取的。8 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESLemma 2在我们想要修改赔率以获得相同的预测值时非常有用。假设图书制造商规定了所有可能结果的赌注Ohm.

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2022-6-11 09:51:12

在宣布这些赔率之前，收受赌注者可能想检查是否存在客户可以从中获得肯定收益的组合，或者换句话说，他是否避免了肯定损失【13，附录1，I4，p.635】：定理5。允许Ohm = {ω，…，ωn}。假设ai/biare在ωi上下注赔率。Foreach i∈ {1，…，n}，let（22）gi（ω）：=(-aiifω=ωi另一方面是与赔率ai/bi相对应的赌博。当且仅当（23）nXi=1biai+bi时，D：={g，…，gn}避免了sureloss≥ 1.证明。定理5源于m=1的定理6（进一步证明）。（注意定理5没有用于定理6的证明。）注意，在实践中，Pni=1biai+bi通常严格大于1，（24）100×nXi=1biai+bi- 1.被称为过圆边距【2，12】。让我们看一个定理m 5的例子。示例1。假设一家博彩公司为W提供3/4的赌注，为福特提供13/5的赌注，为L提供16/5的赌注。As（25）3+4+13+5+16+5=1.087≥ 1，根据定理5，庄家避免了确定的损失。因此，客户不能利用这些机会来确保一定的收益。注意，定理5中避免D的确定损失的条件与定理1中避免Ppin的确定损失的条件完全相同。这个条件也相当于Cortis[1]中的命题4。接下来，我们展示了这些几率可以通过一个高概率质量函数来建模：引理3。允许Ohm = {ω，…，ωn}，设ωi∈ Ohm 设g为与等式（19）中定义的ω的赔率相对应的赌博，即，（26）gi（ω）：=(-aiifω=ωibiothers，其中aiand bias为非负。如果p是概率质量函数，即ifPω∈Ohmp（ω）=1和p（ω）≥ 所有ω为0∈ Ohm, 然后（27）Xω∈Ohmgi（ω）p（ω）≥ 0<==>biai+bi≥ p（ωi）。使用DESIRABILITY 9Proof评估下注几率和免费优惠券。

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2022-6-11 09:51:15

假设pω∈Ohmp（ω）=1，对于所有i，p（ωi）≥ 0，thenXω∈Ohmgi（ω）p（ω）≥ 0<==> -aip（ωi）+biXω6=ωip（ω）≥ 0(28)<==> -aip（ωi）+bi（1- p（ωi））≥ 0(29)<==>biai+bi≥ p（ωi）。(30)为了避免保险损失，赔率ai/bionωim必须满足公式（30）[13，§3.3.3（a）]（有关更多详细信息，请参见定理6的证明）。因此，这些dds的集合可以看作是一个上概率质量函数，即（31）我∈ {1，…，n}：p（ωi）：=biai+bi。3.2. 与多个bo okmakers下注。市场上有许多博彩公司。我们感兴趣的是，客户是否可以利用不同图书制造商的优势，以确保获得一定的收益。为此，我们将不同博彩公司的下注几率建模为一组理想的赌博，并检查避免这种情况。我们重新讨论了已知结果，即在每个结果中选择最大几率是最佳的【12】。由于可能性越大，客户获得的回报就越高，因此，客户的明智策略是在每个结果中选择最大的o dds。定理6。允许Ohm = {ω，…，ωn}。假设有m家不同的博彩公司。Foreach k公司∈ {1，…，m}，设aik/bikbe是收受赌注者k提供的ωi的下注赔率∈ {1，…，n}和k∈ {1，…，m}，let（32）gik（ω）：=(-aikifω=ωibikotherwise。成为与aik/bik赔率相对应的理想赌博。让a*输入/输出*ibe结果ωi的最大概率，即，（33）a*输入/输出*i： =mmaxk=1{aik/bik}。然后，理想赌博集D={gik:i∈ {1，…，n}，k∈ {1，…，m}}避免损失当且仅当（34）nXi=1b*ia公司*i+b*我≥ 1.证明。见附录C。定理6告诉我们，为了避免几家博彩公司的损失，我们只需要考虑每个结果的最大赔率。让我们看一个例子。示例2。假设市场上有三家博彩公司为结果W、D和L提供不同的赔率，如表1.10 NAWAPON NAKHARUTAI，CAMILA C.S。

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2022-6-11 09:51:18

CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESOutcomesBetting Companys Maximum oddsRiver Mountain ForestW 4/5 17/20 3/4 17/20D 13/5 14/5 13/5 14/5 L 10/3 16/5 10/3表1。三家庄家提供的赔率表让D是与所有这些赔率相对应的一组理想赌博。请注意，W的最大下注几率为17/20，D为14/5，L为10/3。As（35）17+20+14+5+10+3=1.034≥ 1，根据定理6，我们得出结论，D避免了确定损失。因此，客户无法利用这些机会来获得一定的收益。考虑一位客户，他对表1中三个bo Okmakers提供的赔率感兴趣。对他来说，一个明智的策略是在每个结果中选择最大的可能性。然而，这意味着客户永远不会选择Forest提供的任何赔率，因为Forest的所有赔率都低于其他博彩公司提供的赔率。因此，为了鼓励客户与他们打赌，est可能会在一定条件下向客户提供免费优惠券。在下一节中，我们将更详细地了解这些免费政变。4、免费投注券免费投注券是收受赌注者向第一次投注的客户提供的一种免费赌注。免费优惠券可用于客户想要下注的一些赌注。事实上，免费优惠券并不是真正免费的，因为客户在申请免费优惠券之前首先要赌上一些赔率。此外，博彩公司通常会设定一些必要的条件，例如，限制客户可以申请的免费优惠券数量，或者限制客户可以使用免费优惠券的选择。我们想知道客户是否可以利用这些给定的赔率和免费优惠券，以找到一种能够带来绝对收益的下注策略。

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2022-6-11 09:51:21

如果有可能的方法做到这一点，那么我们将找到一种给出这种策略的算法。为了简化本研究，我们为向博彩公司索取免费优惠券制定了如下标准要求：（1）一旦客户下注，博彩公司将给他一张免费优惠券，其价值等于他下注的价值。（2）收受赌注者设定免费优惠券的最大价值。（3）免费优惠券仅适用于客户与博彩公司的首次下注。（4）客户必须将其免费优惠券与同一博彩公司一起用于其他结果。（5）客户必须将其免费优惠券仅用于一种结果。这里有一个申请免费优惠券的例子。示例3。前提是Forest具有以下功能：将向首次与Forest下注的客户提供免费优惠券，优惠券的价值等于客户下注的第一笔金额。使用表1中的DESIRABILITY 11评估下注几率和免费优惠券，如果客户James从未与Forest下注，并且他决定在结果D的13/5的几率上下注5英镑，那么他将与Forest玩5英镑的游戏，他将申请价值5英镑的免费优惠券。詹姆斯可以用免费的Coupono赌森林的其他结果。一旦James收到免费优惠券，他可以像nex texample一样使用免费优惠券。示例4。继续上一个例子，James从Forest获得了价值5英镑的免费Coupon。由于詹姆斯必须将其价值为5英镑的免费息票用引理2的唯一结果来支付，我们通过将其乘以5/5来修改赔率3/4。现在所有的赔率都有相同的分母，即5。结果D LODS（3·5）/5 13/5 16/5表2。修改后的oddsIf表如果James用他的免费息票在L上下注，而真正的结果是L，那么Forestwill将损失16英镑；否则，森林将一无所获。

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2022-6-11 09:51:24

另一方面，如果詹姆斯将息票押在W上，而真正的结果是W，那么Forest将损失3.5英镑；否则，森林将一无所获。表3总结了森林总收益。将一张免费优惠券下注到Outcomesw D LL 0 0 0-16瓦-3.50表3。总支付表假设客户首先押注结果ωi和相应的oddsai/bi。在表4中，给庄家的报酬表示为赌博gωii。因为这是他第一次下注，客户会收到一张免费的组合价值bi，他会用这张免费优惠券赌一个结果。假设他以相应的赔率aj/bj下注于ωjj。由于分母不一定相等，我们将赔率aj/bjbibi相乘。修正后的赔率为（aj·bibj）/bi。请注意，由于免费优惠券必须用于其他结果，ωjc不能与ωi一致。如果真实结果是ωj，则庄家将失去aj·bibj。否则，庄家将一无所获。向收受赌注者支付的这笔款项被视为一场赌博，如表4所示。正如bo okmaker所期望的gωi和gωjare一样，根据理性主义（D4），gωi+~gωjis也是所期望的。结果ωiωjothersgωi-aibibi▄gωj0-aj·bibjgωi+~gωj-ai（北京-aj）表4。收受赌注者的第一次自由欲望赌博表我们表示gωiωj：=gωi+~gωjan并称之为收受赌注者的第一次自由欲望赌博。请注意- gωiωjis是客户想要的。客户可以在NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESon的其他赔率之间下注，但他不会从额外的赌注中获得任何免费优惠券。这是因为收受赌注者只给他一次免费优惠券。还要注意的是，在实际市场中，通常有不止一家书商提供免费优惠券。因此，客户可以先与不同的收受赌注的人进行赌博，以获得几笔免费的红利。

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2022-6-11 09:51:28

这些可以被视为是第一次自由欲望赌博，结合了几次第一次自由欲望赌博。在这项研究中，我们只考虑客户首先下注并从单个博彩公司索取免费优惠券的情况。在这种情况下，我们面对的是一个组合问题，所有的第一次自由欲望赌博。我们想检查D∪{gωiωj}是否避免确定的损失。根据定理4，如果D避免了确定的损失，那么D∪ {gωiωj}避免确定损失当且仅当ifE（gωiωj）≥ 0 .如果D∪ {gωiωj}不能避免肯定的损失，根据定理4，书商至少会损失| E（gωiωj）|，这是客户的最高肯定收益。因此，客户可以将gωiωj与git的非负组合组合，以获得更大的增益| E（gωiωj）|。让f成为boo-kmaker的第一个最受欢迎的赌博。在使用第2.3节的结果计算f的自然延伸之前，我们必须检查D是否避免了确定的损失。如果PPT不能避免肯定的损失，那么如果没有免费优惠券，那么客户就可以进行非负组合的赌博，以获得肯定的收益。另一方面，如果Ppavoids sure loss，那么我们可以根据f的水平集来写f，并使用推论1来计算f的自然张力。例5。让Forest在W、D和L上提供赌注，如表1所示。Byeq公司。（31），我们有（36）p（W）=p（D）=p（L）=。Sincep（W）+p（D）+p（L）≥ 1，根据定理1，Ppavoids sure loss。从示例4继续，su反对James t下注于D，并用他的免费息票下注于L。然后，第一个免费的理想赌博gDLto森林如下所示：结果W D LgD5-13 5gL0 0-16gDL5-13-11表5。ForestWe的期望赌博表将其水平集的gDLin项分解为（37）gDL=-13IA+2IA+16Ia，其中A={W，D，L}，A={W，L}和A={W}。

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mingdashike22

2022-6-11 09:51:31

根据定理2，我们有Ep（A）=min{p（W）+p（D）+p（L），1}=1（38）Ep（A）=min{p（W）+p（L），1}=（39）Ep（A）=min{p（W），1}=。（40）使用DESIRABILITY 13SubstituteEp（Ai），i评估下注赔率和免费优惠券∈ {0，1，2}转化为等式（37）。通过推论1，我们得到（41）Ep（gDL）=- 13Ep（A）+2Ep（A）+16Ep（A）=-.AsEp（gDL）=-< 0，根据定理4，森林不能避免必然损失。因此，有了免费优惠券，詹姆斯可以获得一定的收益。詹姆斯应该怎么做？记住这一点Ohm = {ω，…，ωn}而gi是对几率ai/bionωi的赌博：（42）gi（ω）=(-Aifω=ωIbiothers。请注意，我们可以通过定义5，通过求解以下线性规划来计算任意赌博fB的ulateEp（f），orEDPp（f）：（P）minα（Pa），根据(ω ∈ Ohm: α -Pni=1gi（ω）λi≥ f（ω）i=1，n： λi≥ 0，（Pb），其中最佳α给定Sep（f）。如果最优α是严格负的，那么最优λ，λn为客户进行多种赌注组合，以确保获得一定收益。（P）的对偶是（D）maxXω∈Ohmf（ω）p（ω）（Da）受gi:Pω∈Ohmgi（ω）p（ω）≥ 0ω：p（ω）≥ 0Pω∈Ohmp（ω）=1。（Db1）应用引理3后，等式（Db1）中的约束为：(ω : 0 ≤ p（ω）≤p（ω）pω∈Ohmp（ω）=1。（Db2）我们看到目标函数等式（Da）是Ep（f），即f相对于概率质量函数p的期望值。作为（D）isEp（f）的最优值，如果我们能找到满足对偶约束等式（Db2）和p（f）=Ep（f）的p，那么我们就找到了（D）的最优解。现在，我们首先构造一个p，将尽可能多的质量签名到最小的水平集。然后，在定理7中，我们证明该p满足等式（Db2）和p（f）=Ep（f）。算法1构造（D）输入的最优解p：一个赌博f，一组结果Ohm.输出：（D）的最优解p。（1）将位置f改为（43）f=mXi=0λiai此处Ohm = A） A）···（上午）是f和λ的水平集∈ R、 λ，λm>0.14 NAWAPON NAKHARUTAI，CAMILA C.S。

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2022-6-11 09:51:34

CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAES（2）阶ω，ω，ωnsuch that（44）我≤ j：Aωi Aωj，其中Aω是ω所属的最小水平集，即（45）Aω=m\\i=0ω∈AiAi。所以，我们从Am中的ω开始，然后是Am中的ω-上午1点，然后上午3点-凌晨2点-1等。（3）设k b e为最小指数，使得（46）kXj=1p（ωj）≥ 1.总有这样的k，因为PPA避免了必然的损失。定义p如下：p（ωi）：=p（ωi）如果i<k1-圆周率-1j=1p（ωj），如果i=k0，如果i>k.（47），那么我们证明等式（47）中的p满足等式（Db2），且Ep（f）=Ep（f）。定理7。由式（47）定义的概率质量函数p满足式（Db2）和p（f）=Ep（f）。证据允许Ohm = {ω，…，ωn}按式（44）排序，并设k为最小索引，使得pkj=1p（ωj）≥ 1.根据等式（47），Pni=1p（ωi）=1和（48）p（ωk）=1-k-1Xj=1p（ωj）≤kXj=1p（ωj）-k-1Xj=1p（ωj）=p（ωk），所以对于所有i∈ {1，…，n}，0≤ p（ωi）≤p（ωi）。因此，p满足等式（Db2）。接下来，我们将显示对于所有级别的s e ts Ai，（49）min（Xω∈Aip（ω），1）=Ep（Ai）。记住，Aωkis是包含ωk的最小水平集。根据等式（47），对于allAi（Aωk），我们知道p（ω）=p（ω），对于所有ω∈ Ai和so（50）min（Xω∈Aip（ω），1）=Xω∈Aip（ω）=Xω∈Aip（ω）。对于所有Ai Aωk，我们现在知道pω∈Aip（ω）=1和pω∈Aip（ω）≥ 1，so（51）min（Xω∈Aip（ω），1）=1=Xω∈Aip（ω）。使用期望值15评估下注几率和免费优惠券，因此，等式（49）成立。因此，Ep（f）=mXi=0λiE（Ai）（根据等式（14））（52）=mXi=0λimin（Xω∈Aip（ω），1）（由式（11））（53）=mXi=0λiEp（Ai）（由式（49））（54）=Ep（f）（55）综上所述，我们可以使用公式（47）来构造p o f（D）的最优解。我们将使用互补松弛度来找到（D）对偶的最优解【16，第329页】。注意，当（D）有一个最优解且对偶问题在上面有界时，则根据强大的对偶理论m【8，p.71】，存在（p）的最优解，并获得相同的最优值。

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2022-6-11 09:51:37

此外，当且仅当（P）和（D）的一对解满足互补y松弛条件时，它们才是最优的【3，P.62】。具体而言，在我们的案例中，该条件适用于任何非负变量及其对应的对偶约束[4，第184页，ll.3-5]。更准确地说，设p（ω），p（ωn）是（D）的任何可行解，设α，λ，λnbe（P）的任何可行解。然后，通过互补松弛度，这些解是最优的当且仅当，对于所有j∈ {1，…，n}，我们有（56）α-nXi=1gi（ωj）λi- f（ωj）！p（ωj）=0和（p（ωj）- p（ωj））λj=0。这相当于（1）如果p（ωj）>0，则α-Pni=1gi（ωj）λi=f（ωj），（2）如果p（ωj）<p（ωj），则λj=0。所以，如果我们有一个最优解n p（ω），（D）的p（ωn）和最优值α，那么我们可以使用这些方程作为λ，…，中的等式系统，λn.注意，该系统的某些解可能不满足可行性，即它们可能会忽略λi≥ 然而，该系统满足λi的所有解≥ 再次保证为（P）的最优解。这个平等体系是什么样子的？记住，k被定义为最小指数，因此pkj=1p（ωj）≥ 1、根据公式（47），对于allj∈ {1，…，k- 1} 我们有p（ωj）>0，所以我们有以下等式：∈ {1，…，k- 1},(57) α -nXi=1gi（ωj）λi=f（ωj）。对于所有j∈ {k+1，…，n}我们有p（ωj）=0<p（ωj），所以λj=0表示所有j∈ {k+1，…，n}。对于j=k，如果p（ωk）<p（ωk），那么我们也可以设置λk=0。否则，我们知道p（ωk）=p（ωk）>0，因此我们可以简单地施加与j相同的质量∈ {1，…，k- 1}. 最后，设k′为16 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes的大t指数j，其中p（ωj）=p（ωj）。然后，由于（P）的最优解存在，可以通过求解以下系统来找到：j∈ {1, . . .

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2022-6-11 09:51:40

，k′}：α-k′Xi=1gi（ωj）λi=f（ωj）（58）j∈ {k′+1，…，n}：λj=0（59），因此，我们只剩下k′约束中的k′变量系统。请注意，我们可以修改赔率，使其具有相同的分母（均为biareequal），因此解决新系统会更容易。最后，请注意，在第一次免费优惠券sc enario中，为了确保收益，客户必须在每一个结果上下赌注。这意味着，值可以为零的唯一系数λi是与客户选择的第一次免费赌博中的赌博相对应的系数。因此，在这种特殊情况下，k′≥ n- 例6。从示例5继续，相应的线性程序toE（gDL）如下所示：（P1）minα（P1a）根据α+3λW- 5λD- 5λL≥ 5α - 4λW+13λD- 5λL≥ -13α - 4λW- 5λD+16λL≥ -11（P1b）和λW，λD，λL≥ 0，无α，（P1c）（D1）最大5p（W）- 13p（D）- 11p（L）（D1a）受试者0≤ p（W）≤ 4/70 ≤ p（D）≤ 5/180 ≤ p（L）≤ 5/21p（W）+p（D）+p（L）=1。（D1b）根据公式（44），我们可以看到（60）AW AL公司所以（D1）的最优解如下：（61）p（W）=，p（L）=，p（D）=1-+=.当p（W）=p（W）且p（L）=p（L）时，当p（D）<p（D）时，通过互补松弛度，（P1）的最优解必须具有λD=0，并求解以下系统：α+3λW- 5λL=5（P1b1）α- 4λW+16λL=-11，（P1b2），其中α的值为-. 我们对这个系统进行了求解，得到了一个最优解：λW=和λL=。詹姆斯获得保证收益的策略如下。他首先在D上下注5英镑，并申请价值5英镑的免费息票在L上下注。接下来，他又在W上下注5英镑，在D上下注1英镑。

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2022-6-11 09:51:43

他将从森林中获得一定的收益。使用DESIRABILITY 17国家赔率国家赔率国家赔率国家赔率奥地利45捷克共和国135德国23 5波兰50斯洛伐克150西班牙5瑞士66爱尔兰共和国1709俄罗斯85冰岛180比利时57/5土耳其94罗马尼亚275意大利91/5威尔士100 N爱尔兰400葡萄牙20乌克兰100匈牙利566克罗地亚27瑞典104阿尔巴尼亚531表6评估投注赔率和免费优惠券。20165年欧洲足球锦标赛最大赌注表。实际足球博彩奇数在本节中，我们将查看市场上的一些实际赔率，并检查客户是否可以以及如何利用这些赔率和免费优惠券来获得真正的收益。考虑附录D中的表9。我们列出了27家博彩公司为2016年欧洲足球锦标赛冠军提供的下注赔率。从表9可以看出，表6列出了每个结果的最大下注几率。就我来说∈{1，…，24}，让a*输入/输出*ibe表6中的最大下注几率。SincePi=1b*ia公司*i+b*i=1.0349≥ 1，根据定理6，与表9中的oddsin对应的期望赌博集避免了确定的损失。因此，不存在能够带来一定收益的赌博组合。假设詹姆斯有兴趣与其中一位打赌，比如Bet2。由于他以前从未在Bet2上下注，Bet2将在他第一次与Bet2下注时给他一张免费优惠券。使用免费优惠券，我们将检查詹姆斯是否以及如何下注以获得保证收益。设D是一组与theods相对应的合意赌博，le t g是公司Bet2的第一个自由合意赌博。我们想检查D∪ {g} 避免或避免肯定的损失。由于有24种可能的结果，与Bet2不同的第一次自由理想赌博总数为24×23=552。假设James首先在Fra nc e上下注，然后s将其免费优惠券挂在Pain上。

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2022-6-11 09:51:47

因此，第一次免费的理想赌博gF GisOutcomesFrance Spain othersgF-3.1.1㎎gS0-5 0gF秒-3.-4表7。詹姆斯的第一次自由赌博，其中F和S分别表示法国和西班牙。同样，我们通过Choquet积分计算（gF S）。我们将其水平集的gF Sin项分解为（62）gF S=-4IA+IA+4IA18 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes，其中A=Ohm, A=Ohm \\ {S} 和A=Ohm \\ {F，S}。根据定理2，我们得到（63）E（A）=1 E（A）=0。9810 E（A）=0。根据推论1，我们取代了E（Ai），i∈ {0，1，2}到等式（62）并获得（64）E（gF S）=- 4E（A）+E（A）+4E（A）=- 0.0950.因此，D∪ {gF S}无法避免肯定的损失。在所有可能的第一次免费赌博中，我们发现还有三次赌博低于z e ro，即e（gF G）=- 0.2093，E（gGF）=- 0.0117安第斯山脉（gGS）=- 0.0950，其中G表示德国。根据定理4，D∪ {g} 当g∈ {gF S，gF G，gGF，gGS}；否则D∪ {g} 避免必然的损失。因此，如果（1）詹姆斯先在法国下注，然后用他的免费息票在西班牙或德国下注，或者（2）詹姆斯先在德国下注，然后用他的免费息票在法国或西班牙下注，那么他可以同时下注，以确保从Bet2中获得一定的收益。考虑一下詹姆斯第一次在法国下注1英镑，并声称他在西班牙的免费Coupon赌注。通过算法1可以找到相应问题（D）（表8中的p列（ωi））的最优解。然后，我们可以利用（D）的最优解和互补松弛条件找到相应问题（P）的最优解。表8中的λii列给出了（P）的最优解。因此，如果詹姆斯在λi列中额外下注，那么他将从2.6之间获得0.095英镑的纯收益。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:51:50

结论在本文中，我们研究了客户是否以及如何利用给定的bettingods和免费优惠券来获得额外收益。具体而言，我们将这些赔率和免费优惠券视为一组令人满意的赌博，并通过自然延伸检查这一组是否避免了必然的损失。我们证明，当且仅当与fr ee息票相对应的第一次自由赌博的自然延伸为非负时，集合避免损失。如果集合不能避免确定的损失，那么可以从相应线性规划问题的最优解中导出组合下注。我们表明，对于这个特殊问题，我们可以通过Choquet积分轻松找到自然延伸。在集合不能避免确定损失的情况下，我们介绍了如何使用Choquet积分和互补松弛条件直接获得所需的be ts组合，而无需实际解决线性规划问题，而只需求解线性等式系统。这种技术可以应用于涉及上概率函数的任意问题。为了说明结果，我们在市场上估算了2016年欧洲足球锦标赛获胜的实际赔率，并避免了损失。我们发现，从这些奇怪的赌博中得到的任何一组令人满意的赌博都是肯定会输掉的。话虽如此，通过免费优惠券，我们推出了一系列令人渴望的赌博，不再能够避免必然的损失。

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mingdashike22

2022-6-11 09:51:53

有趣的是，在这种情况下，当使用Desibility 19阶ωi国家赔率p（ωi）最优解p（ωi）λi1德国42英格兰90.53比利时104意大利165葡萄牙186克罗地亚257奥地利408波兰509瑞士4010俄罗斯6611土耳其8012威尔士8013乌克兰6614瑞典8015捷克共和国10016斯洛伐克10017爱尔兰代表15018冰岛15019罗马尼亚10020北爱尔兰25021阿尔巴尼亚25022匈牙利25023法国324西班牙5表8。添加了Bet2提供的赔率汇总、概率上限函数P（ωi）和（D）和（P）优惠券的最优解，客户可以通过组合下注获得一定收益。致谢我们感谢科技人才发展与促进项目（英国皇家政府奖学金）对本项目的支持。我们还感谢审稿人提出的建设性意见。20 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes参考文献【1】Dominic Cortis。博彩公司支付的预期值和变量：设定赔率限制的理论方法。《预测市场杂志》，9（1）：1–14，2015年。[2] 科尔安东尼奥·埃米利亚诺。博彩市场：许多人的机会？《奥拉多大学年鉴》，经济科学系列，22（2）：200–208，2013年12月。[3] Shu Cherng Fang和Sarat Puthenpura。线性优化和扩展：理论和算法。1993年【4】Igor Griva、Stephen G.Nash和Ariela Sofer。线性和非线性优化第二版。暹罗，费城，2009年。[5] I.Milliner、P.White和D.Webber。足球中各种古怪规则的统计发展。《赌博、商业和经济杂志》，3（1）：89–992009年。[6] N.Nakharutai、M.C.M.Troffaes和C.C.S.Caiado。改进的线性规划方法，用于检查避免确定损失。

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kedemingshi

2022-6-11 09:51:56

《近似推理国际期刊》，101:293–310，2018年10月。内政部：10.1016/j.ijar。2018.07.013.[7] Erik Quaeghebeur、Chris Wesseling、Emma Beauxis-Aussalet、Teresa Piovesan和Tom Sterkenburg。CWI世界杯比赛：引发一系列可接受的赌博。Alessandro Antonucci、Giorgio Corani、Ines Couso、andS’ebastien Destercke，《第十届不精确概率国际研讨会论文集：理论与应用》，机器学习研究论文集第62卷，第277-288页。PMLR，2017年7月。[8] 罗梅什·赛加尔。线性规划：现代综合分析。SpringerScience+Business Media纽约，1995年。[9] Mark J.Schervish、Teddy Seidenfeld和Joseph B.Kadane。不连贯性的一些衡量标准：如果必须的话，如何避免赌博。第66 0号技术报告，卡内基梅隆大学统计系，1998年。[10] Matthias C.M.Troffaes和Gert de C ooman。较低的预测值。概率和统计学中的WileySeries。Wiley，2014年。ISBN 978-0-470-72377-7。统一资源定位地址http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470723777.html.[11] 马蒂亚斯C。M、 Troffaes和Robert Hable。《不精确概率导论》，第329-337页，计算一章。Wiley，2014年。内政部：10.1002/9781118763117。第16章【12】尼古拉斯·弗拉斯塔基斯（Nikolaos Vlastakis）、乔治·多西斯（George Dotsis）和拉斐尔·马克洛斯（Raphael N.Markellos）。战胜赔率：足球博彩市场中的套利和获胜策略。西班牙马德里康普卢滕塞大学，2006年。统一资源定位地址http://financedocbox.com/Stocks/71222948-2006-annual-conference-june-28-july-1-2006-universidad-complutense-madrid-spain.html.[13] 彼得·沃利。具有不精确概率的统计推理。查普曼·安德霍尔，伦敦，1991年。[14] 彼得·M·威廉姆斯。关于条件预测的注释。数学学院技术报告。和物理。Sci。，苏塞克斯大学，1975年。[15] 彼得·M·威廉姆斯。关于条件预测的注释。

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2022-6-11 09:52:00

《国际近似推理杂志》，44（3）：366-3832007。内政部：10.1016/j.ijar。2006.07.01 9.[16] 韦恩·L·温斯顿。运筹学：应用和算法。杜克斯伯里出版社。波士顿，1987年。使用Desibility 21附录A评估下注几率和免费优惠券。推论1的证明。自A=Ohm, 我们可以将f写成（65）f=nXi=1λiIAi+λ，其中λ∈ R、 λ，λn>0和A）····）An）. 然后-f=-nXi=1λi（1- IAci）- λ= -nXi=1λi- λ+nXi=1λiIAci。（66）因此，Ep（f）=-Ep公司(-f）（67）=--nXi=1λi- λ+nXi=1λiEp（Aci）！（68）=λ+nXi=1λi（1- Ep（Aci）（69）=λ+nXi=1λiEp（Ai），（70），其中等式（6-8）通过恒定可加性和共单调可加性保持不变【10，p.382，Prop.C.5（v）&（vii）】。附录B.定理4Proof的证明。对于第一部分，假设f∈ L(Ohm) D={gi:i∈ {1，…，n}}是一组令人满意的赌博，可以避免必然的损失。我们发现（f）=inf（α∈ R：α- f≥nXi=1λigi，λi≥ 0）=最小值（最大ω∈Ohmf（ω）+nXi=1λigi（ω）！：λi≥ 0），（71），其中inf实际上是一个min，因为D是有限的。所以，通过引理1，（72）ED（f）≥ 0<==> λi≥ 0，最大ω∈OhmnXi=1λigi（ω）+f（ω）！≥ 0.对于第二部分，如果D∪ {f} 无法避免确定的损失，则Ned（f）<0。那么，拜EQ。（71），存在ω*在里面Ohm 和一些λi≥ 使得（73）ED（f）=f（ω）*) +nXi=1λigi（ω*) ≥ f（ω）+nXi=1λigi（ω），ω ∈ Ohm.因此，肯定会损失至少| ED（f）|。22 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESAppendix C.定理证明6。注意，对于每个i和k，我们有（74）个aikbik≤一*ib公司*我<==>b*ia公司*i+b*我≤比卡伊+比克。So，（75）b*ia公司*i+b*i=水貂比卡伊+比克.(==>) 假设这组令人满意的赌博避免了必然的损失。我们将展示EQ。（34）持有。由于D避免确定损失，以下线性不等式系统：i： p（ωi）≥ 0（76）nXi=1p（ωi）=1（77）i、 k:nXi=1gik（ωi）p（ωi）≥ 0，（78）有一个解[13，p.175，ll.10–13]，比如p=（p（ω），p（ωn））。

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