假设F=F′，ug≥ u▄g，其中ug=F（Dg[X]），u▄g=F（D▄g[X]）。然后，Y≤dispY′和C是PDS的应用程序gCoDg，h[Y | X]≤ gCoDg，h[Y′X′，对于anyh∈ G、 项目。根据定理3.13 a和F=F′，可以观察到gCoDg，h[Y | X]=ZhF-1Y^h（p）- F-1Y^h（p）idh（p），gCoDg，h[Y′X′）=ZF-1Y′^h（p）- F-1Y′^h（p）dh（p），其中Y^h=[Y | X>Dg[X]]和Y^h=[Y | X>Dg[X]]是凹面畸变函数从Y诱导的畸变r.v.\'s（这是由于C是PDS的fact意味着Y↑六）^h（p）=C（ug，1- p） 1个- ugand^h（p）=C（ug，1- p） 1个- ug，p∈ [0，1]，（13）和Y′^h=[Y′X′>Dg[X′]]和Y′h=[Y′X′>Dg[X′]]也是（13）从m Y′引入的畸变r.v.\'。另一方面，C是PDS的条件意味着V是右尾递增的U if（U，V）~ C、 因此，我们知道C（u，1- p） 1个- u=P（V>1- p | U>U）在U中增加∈ 对于p，[0，1]∈ [0, 1 ]. 因此，可以得出^h（p）≥^h（p）f orp∈ [0，1]因为ug≥ 然后，可从Lemma 14inSordo等人（2018）处获得所需结果。备注5.10。定理5.9包含S ordo et al.（2018）的定理20，作为特殊情况，当g（p）=1（1/2,1）（p），g（p）=1（1-α、 1]（p），h（p）=1（1-β、 1]（p）带1/2≤ α ≤ 同样值得注意的是，如理论5.9所示，此处使用的“C是TP”的条件可以通过“C是PDS”来减弱。Besid es，条件ug≥ ugis等效toDg【X】≥ Dg【X】。因此，一个有效的条件是≥ ~g.下一个结果提供了关于copula的负相关结构的一些其他有效条件。定理5.11。设（X，Y）和（X′，Y′）是两个双变量随机向量，具有相同的公共集C。假设F=F′，ug=F（Dg[X]），ug=F（Dg[X]）。然后，Y≤dispY′，C是NDS和ug≤ 你把那件事告诉我gCoDg，h[Y | X]≥ 任意h的gCoDg，h[Y′X′]∈ G、 项目。

在使用引理5.1（ii）时，可以以与定理5.9类似的方式建立证明，因此为了简洁起见，这里省略了该证明。5.2超额财富顺序和Di s to rtion风险贡献度量对于r a r.v.X和d.f.f，Sordo（2008）在超额财富顺序和风险度量等级之间建立了一个等价特征，即dφ，φ[X]=ZF-1（t）dφ（t）-采埃孚-1（t）dφ（t），其中φ和φ是两个畸变函数。引理5.12。（Sordo，2008）设X和Y分别为两个r.v.\'s和d.f.\'s f和G。那么，X≤ewY当且仅当Dφ，φ[X]≤ Dφ，φ[Y]对于所有的Dφ，φ使得φ（t）和φφ-1（t）t上的重凸∈ [0, 1].定理5.13。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是包含copulac和C′的两个二元随机向量。假设F=F′，X↑SIY或X′↑SIY′或两者保持，h（t）为凹形，h（A（h-1（t）））是凸的，其中A（t）=1-C（ug，t）1-ug。然后，Y≤ewY′和C C′意味着CoDg，h【Y | X】≤ CoDg，h[Y′| X′对于任何g∈ G、 项目。假设X↑SIY（情况X′）↑SIY′可以类似地处理）。请注意CoDg，h【Y | X】=ZG-1（t）dh（A（t））-ZG公司-1（t）dh（t），CoDg，h[Y′| X′）=ZG′-1（t）dh（B（t））-ZG′型-1（t）dh（t）。因为h（t）是凹的，而h（A（h-1（t）））是凸的，引理5.12允许CoDg，h【Y | X】≤ZG′型-1（t）dh（A（t））-ZG′型-1（t）dh（t）≤ZG′型-1（t）dh（B（t））-ZG′型-1（t）dh（t）=CoDg，h′[Y′| X′），其中最后一个不等式是由于C C′impliesRG′-1（t）dh（A（t））≤RG′型-1（t）dh（B（t））。因此，证明成立。我们还可以研究CoDgg，h【Y | X】和通过使用边缘人之间的超额财富顺序，计算出CoDgg，h[Y′X′）。

这是一个未解决的问题。6 CoD风险度量和扭曲风险贡献度量下成对风险之间的相互作用最近，Fang和Li（2018）研究了边际d.f.和依赖结构如何影响CoVaR、CoES、，CoVaR，以及CoES措施。在本节中，我们将为我们的CoD风险度量和畸变风险贡献度量建立一些新的结果，这些结果概括了在Ang和Li（2018）中建立的相应结果。定理6.1。设（X，Y）是具有copula C的二元随机向量。假设C（u，v）是对称的，uXg=F（Dg[X]），而维吾尔=G（Dg[Y]）。（i） 如果X≤stY，uXg≥ 维语和Y↑RTIX，我们有CoDg，h[X | Y]≤ CoDg，h[Y | X]表示anyh∈ G、 （ii）如果X≤stY，uXg≤ 维语和Y↑RTDX，我们有CoDg，h[X | Y]≤ CoDg，h【Y | X】F法兰h∈ G、 （iii）如果X≤icxY，uXg≥ 维语，d C是PDS，我们有e CoDg，h[X | Y]≤ CoDg，h[Y | X]为平面凹面h∈ G、 （iv）如果X≤icvY，uXg≤ 维语，d C是NDS，我们有CoDg，h[X | Y]≤ 任意凸h的CoDg，h[Y | X]∈ G、 （v）如果X≤dispY，uXg≥ 维语，C是PDS，我们有CoDg，h[X | Y]≤ 任意h的CoDg，h[Y | X]∈ G、 （vi）如果X≤dispY，uXg≤ 维语和C i s NDS，我们有CoDg，h[X | Y]≥ 任意h的CoDg，h[Y | X]∈ G、 项目。（i）和（ii）的证明：通过使用（8），所需结果等效于显示ZF-1（t）dh（￠A（t））≤ZG公司-1（t）dh（A（t）），其中A（t）=1-C（uXg，t）1-uXgand￠A（t）=1-C（t，维语）1-维语。因为C（u，v）是对称的，所以我们有▄A（t）=1-C（维语，t）1-维语。通过使用X≤stY，我们有ZF-1（t）dh（￠A（t））≤ZG公司-1（t）dh（￠A（t））。另一方面，根据uXg≥ [≤]维族和Y族↑RTI【RTD】X，可以验证a（t）≤A（t）。

因此，它认为thatZG-1（t）dh（￠A（t））-ZG公司-1（t）dh（A（t））=Z[h（A（t））- h（￠A（t））]dG-1（t）≤ 因此，证明已完成。（iii）和（iv）的证明：根据（i）和（ii）的证明以及定理4.9的证明，很容易看出▄A（t）和A（t）都是增加的和凸的，因为C是pds。此外，A（t）≤因uXg导致的A（t）≥ 维吾尔语和C为PDS。因此，h的凹度意味着t h（A（t））和h（△A（t））是增加的和凸的。然后，利用引理4.8以及（i）和（ii）证明的第二部分完成了（iii）的证明。结果（iv）可以用类似的方式证明，因此在此省略。（v）和（vi）的证明：可以使用（i）和（ii）、定理5.2和定理5.3的证明。下一个结果可以很容易地通过使用类似于5.13中证明的参数s来证明，因此为了简洁起见，我们省略了证明。定理6.2。设（X，Y）是具有copula C的二元随机向量。假设C（u，v）是对称的且uXg≥ 维语。如果X≤ewY，C（u，v）是PDS，h是con ca，h（AX（h-1（t）））是凸的，其中AX（t）=1-C（uXg，t）1-那么uXgCoDg，h[X | Y]≤ 任意g的CoDg，h[Y′| X′]∈ G、 当copula是不对称的时，获得排序共同风险度量和风险贡献度量的充分条件将是非常有意义的。这个研究问题是一个悬而未决的问题。7数值示例本节提供了一些数值示例来说明我们的主要发现。根据我们在前几节中得出的结果，X和X′的d.f\'s和畸变函数的选择可以是任意的，因为我们只需要u和ug′/ug之间的关系。因此，我们在大多数示例中都没有指定X和X′的显式d.f\'s。

我们将分别用Gumbel copula和theFa r lie Gumbel Morgenstern（FGM）copula来说明我们对正依赖和负依赖结构的主要结果。7.1 Gumbel copula Gumbel copula定义为asCθ（u，v）=exp-(- 对数u）θ+(- 对数v）θ1/θ, θ ≥ 当θ=1时，它对应于独立copula，当θ=∞. 可以推断f r omWei和Hu（2002）的Cθ Cθ′ifθ≤ θ′. 此外，Cθ是llθ的PDS≥ 感兴趣的读者可参考Joe（1997）和Nelsen（2007）进行更多讨论。示例7.1（CoD风险度量）。假设Y有一个标准法向d.f.和ug=0.95，对于X的一些选定d.f.和畸变函数g。对于γ>0，设h（p）=pγ。注意，对于任何p，h（p）是d，在γ中为g∈ [0, 1 ].（a） 对于依赖参数θ=1、1.5、2、2.5、4的不同值，我们在图1（a）中绘制了γ>0时的CoDg、h【Y | X】值。很明显，对于固定的依赖参数θ，当Y的偏离函数变小（即γ变大）时，COD风险度量会降低，而当正相关变大（即θ变大）时，COD风险度量会增加。这说明了定理4.1的结果。γ0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4CoDg，h[Y | X]-2-1θ=1θ=1.5θ=2θ=2.5θ=4（a）ug0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1CoDg，h[Y | X]0.51.52.5θ=1.5θ=2θ=2.5θ=3θ=4（b）γ0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1变形共同风险度量（Y，ug，θ）（Y，ug′，θ）（Y′，ug，θ）（Y′，ug′，θ）（c）图1：（a）γ上的CoDg，h[Y | X]图∈ [0.1，4]对于θ的不同值。（b） ug上的CoDg，h[Y | X]图∈ [0.7，0.99]表示θ的不同值。

（c） γ上CoD风险测量图∈ （0，1）在d.f.、thre shold分位数和依赖性参数的不同设置下。（b）对于依赖性参数θ=1.5、2、2.5、3、4的不同值，我们绘制了CoDg、h[Y | X]的值，因为图1（b）中的UG从0.7变化到0.99，其中我们观察到CoD-ri s k测量值随着固定依赖性参数θ的阈值分位数UG变大而增加，当正相关性变大（即θ变大）时，它会增加。因此，理论4.5（i）中的理论结论得到验证。（c）考虑Y~ N（0，1）和Y′~ N（0，2）使得Y≤icxY′但YstY′。假设θ=2，θ=4，ug=0.8，ug′=0.99。图1（c）给出了不同γ值的COG、h[Y′X）、CoDg′、h[Y′X′、CoDg、h[Y′X]和CoDg′、h[Y′X′）的曲线图∈ （0，1），这意味着h（p）在p上增加且凹∈ [0, 1]. 很明显，这四种类型的CoD风险度量值随着γ的增加而变小，即随着畸变函数变小。此外，对于任何固定γ∈ （0，1），我们有CODG，h[Y | X]≤ CoDg′，h【Y | X′】≤ CoDg′，h[Y′| X′，CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h[Y′| X]≤ CoDg′，h[Y′X′），而CoDg′，h[Y′X′和CoDg，h[Y′X]无法比较。这些观察结果验证了定理4.1 3（i）的结果。下一个示例支持我们对失真风险贡献度量的比较结果。示例7.2（失真风险贡献度量）。在这个例子中，我们假设应用于Y和Y′的存储函数是幂函数的形式。（a） 假设Y~ Γ（a，b）和Y′~ Γ（a，b）（a，b）=（0.3，1）和（a，b）=（2，1）。因此，它认为Y≤dispY′。

对于p，设ug=0.8，h（p）=p0.4∈ [0 , 1 ].图2（a）显示了CoDg，h【Y | X】和θ上的CoDg，h[Y′| X′]≥ 1，从中可以观察到CoDg，h【Y | X】≤ 对于任何固定θ，CoDg，h[Y′| X′，并且它们都是相对于\'’. 这支持了定理5.2（i）的结果。（b） 让Y~ Γ（0.2，1），ug=0.9，θ=2。很明显，Y是DFR。的价值CoDg，h[Y | X]在图2（b）中绘制，用于不同的畸变函数。straig htforward认为CoDg，h[Y | X]相对于γ递减，这符合定理5.5（i）。（c） 设h（p）=pγ，h′（p）=pγ，c带参数θ，c′带参数θ。设置γ=3，γ=2，θ=2，θ=3，Y~ Γ（0.2，1）和Y′~ Γ(2, 1). 图2（c）曲线图CoDg，h【Y | X】和ug上的CoDg，h′[Y′| X′]∈ [0.6, 0.99]. 我们观察到CoDg，h【Y | X】和CoDg，h′[Y′| X′]相对于ug增加，并且CoDg，h【Y | X】≤ 对于任何固定ug，CoDg，h′[Y′| X′]，这验证了上述5.8的结果。θ1 2 3 4 5 6CoDg，h【Y | X】和CoDg，h[Y′| X′]0.51.52.5（X，Y）（X′，Y′）（a）γ2 4 6 8 10 12 16 18 20CoDg，h[Y | X]0.20.40.60.81.21.41.6（b）ug0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1CoDg，h【Y | X】代码，h′[Y′| X′（c）a0 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5CoD▄gg，h【Y′| X′】-CoDgg，h[Y | X]0.10.20.30.40.50.60.70.8（d）图2：（a）曲线图CoDg，h【Y | X】和θ上的CoDg，h[Y′| X′]≥ 1.（b）地块γ>0时的CoDg，h[Y | X]。（c） 的绘图CoDg，h【Y | X】和ug上的CoDg，h′[Y′| X′]∈ [0.6, 0.99]. （d） 的绘图Co Dgg，h[Y′X′]-形状参数a不同值的CoDgg，h【Y | X】≥ a、 （d）假设ug=0.9，ug=0.8，h（p）=p，θ=2，Y~ Γ（a，1）和Y′~ Γ（a，1），a>0。之间的差异函数CoD▄gg，h【Y′| X′】和图2（d）中绘制了CoDgg，h[Y | X]，对于所有a，该值始终为负值≥ a=0.3。

从而验证了定理5.9的结果。t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1ψ（t）0.10.20.30.40.50.60.70.80.9θ=1.2θ=1.8θ=2.5θ=3θ=5（a）t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1ψ（t）0.10.20.30.40.50.70.80.9γ=1.2γ=2γ=3γ=4γ=5（b）图3：（a）ψ（t）在t上的曲线图∈ [0，1]表示θ的不同值。（b） ψ（t）在t上的曲线图∈ [0，1]表示γ的不同值。接下来，我们给出一个例子来说明定理5.13中的条件。示例7.3。假设h（p）=1- (1 - p） γ>1时为γ。设C是依赖参数θ>1的Gumbel copula。很容易证明h（p）是凹的，h（p）=pγ。观察ψ（t）：=h（A（h-1（t））=“tγ- C（ug，tγ）1- ug#γ。（a） 设置ug=0。9和γ=1.1。图3（a）在t上绘制ψ（t）∈ [0，1]在θ=1.2，1.8，2.5，3，5的不同值下，这表示ψ（t）的凸性。（b） 设置ug=0。9和θ=1。图3（b）在t上绘制ψ（t）∈ [0，1]在γ=1.2，2，3，4，5的不同值下，可以观察到ψ（t）的凸性。以下示例说明了定理5.13。示例7.4。假设h（p）=1- (1 - p） ，θ=1.5，Y~ W（1，2）和Y~W（1，1）。Cl早期，它认为Y≤ewY′但YdispY\'或YdispY′（参见示例2 4inSordo et al.，2018）。如图4所示，CoDg，h【Y | X】≤ CoDg，h【Y′| X′】用于UG∈ [0.6，0.99]，这表明了定理5.13的有效性。ug0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1变形风险贡献度量0.51.52.53.5CoDg，h【Y | X】CoDg，h【Y′| X′】图4：曲线图CoDg，h【Y | X】和ug的CoDg，h[Y′| X′]∈ [0.6, 0.99].接下来，我们给出了一个数值例子来说明定理6.1的有效性。示例7.5。设C是依赖参数θ=2的Gumbel copula。假设g（t）=t0.3，X~ Γ（0.5，1），Y~ Γ（1.5，1），当γ>0时，h（p）=pγ。很容易验证X≤stY和X≤dispY公司。此外，可以计算出uXg=0.9714>维吾尔=0.9599。

图5（a）显示γ>0时的CoDg、h[Y | X]和CoDg、h[X | Y]，图5（b）p l otsCoDg，h【Y | X】和对于γ>0，CoDg，h[X | Y]。显然，CoDg，h[Y | X]≥CoDg、h【X | Y】和CoDg，h【Y | X】≥ CoDg，h[X | Y]f或γ>0。因此，支持定理6.1（i）和定理6.1（v）的结果。7.2 Farlie-Gumbel-Morgenstern copula Farlie-Gumbel-Morgenstern（FGM）copula定义为sCα（u，v）=uv[1+α（1- u） （1）- v） ]，-1.≤ α ≤ 如果θ=0，则Cθ减少为独立copula。此外，Cα（u，v）是α的RR[TP]∈ [-1, 0) [α ∈ [0，1]]和α≤ α意味着Cα Cα。有关其性质的更多详情，请参阅Joe（1997）和Nelsen（2007）。以下示例显示了定理4.5（ii）、定理4.9（ii）、定理5.3（ii）、定理5的有效性。5（ii）和定理6.1，以FGM copula为特征的负相关性。示例7.6。（a） 设置Y~ Γ（0.8，2）和h（p）=p的Pf∈ [0, 1]. 图6（a）ug上的显示Ayscog，h【Y | X】∈ [0，1）对于依赖参数α的不同值=-0.9, -0.7, -0.5, -0.3, -0.1. 我们很容易观察到，对于任何固定的α，相对于ug，CoDg，h【Y | X】都在减少，而对于任何固定的ug，CoDg，h【Y | X】在α中都在增加。这与定理4.5（ii）的结果一致。γ0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4畸变共同风险度量CoDg，h[X | Y]CoDg，h[Y | X]（a）γ5 10 20 25 30畸变风险贡献度量0.51.52.53.5CoDg，h[X | Y]CoDg，h[Y | X]（b）图5：（a）γ>0时CoDg，h[Y | X]和CoDg，h[X | Y]的曲线图。（b） 的绘图CoDg，h【Y | X】和对于γ>0，CoDg，h[X | Y]。（b） 设置Y~ Γ（0.8，2），Y′~ Γ（1.8，2），ug=0.95，α=-0.9，α=-0.3.

Leth（p）=γ的pγ≥ 1和p∈ [0，1]，这意味着h是递增的和凸的。的v值CoDg，h【Y | X】和图6（b）中绘制了γ的CoDg，h[Y′| X′]≥ 1，从中可以明显看出CoDg，h【Y | X】≤ γ的CoDg，h[Y′| X′]≥ 1、从而验证了定理4.9（ii）的结果。（c） 假设Y~ Γ（0.6，1），Y′~ Γ（1.2，1），ug=0.95，ug′=0.9，α=-0.3，α′=-0.9. 很遗憾≤显示\'，ug≥ ug′，和d C′ C、 如图6（C）所示，CoDg，h【Y | X】≥ 对于γ>0，CoDg′，h[Y′| X′，这说明了定理5.3（ii）。（d） 设置α=-0.8，Y~ Γ（0.8，2），ug=0.95。因此，Y是DFR。设h（p）=pγ，γ>0。如图ure6（d）所示CoDg，h[Y | X]随着γ>0而增加，这验证了定理5.5（ii）的理论发现。最后，给出了一个数值例子来说明定理6.1在负相关情况下的有效性。示例7.7。设C为依赖参数α=-0.8. 假设g（p）=p0.2，X~ Γ（0.8，1），Y~ Γ（0.8，2），当γ>0时，a和h（p）=pγ。很容易验证X≤hrY和X≤st[显示]Y，因为X和Y都是DFR。此外，可以计算出uXg=维吾尔=0.9937。图7（a）显示了CoDg、h[Y | X]和CoDg、h[X | Y]的γ>0，以及图7（b）的曲线图代码，h[Y | X]和对于γ>0，CoDg，h[X | Y]。请注意，CoDg，h[Y | X]≥ CoDg，h[X | Y]当CoDg，h【Y | X】≤ CoDg，h[X | Y]对于所有γ>0，从而验证了定理6.1（ii）和6.1（i v）的结果。ug0 0.2 0.4 0.6 0.8 1CoDg，h[Y | X]0.10.120.140.160.180.20.220.240.26α=-0.9α = -0.7α = -0.5α = -0.3α = -0.1（a）γ1 2 3 4 5 60.51.52.53.5CoDg，h[Y | X]CoDg，h[Y′X′）（b）γ0.5 1 1 1.5 2 2.5 3.5 4 4.5 5 5 5失真风险贡献度量-1.5-1-0.5CoDg，h【Y | X】CoDg′，h[Y′| X′（c）γ0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4CoDg，h[Y | X]-2.5-2-1.5-1-0.5（d）图6：（a）ug的CoDg，h[Y | X]图∈ 【0，1】（b）图CoDg，h【Y | X】和γ的CoDg，h[Y′| X′]≥ 1.