适用于所有1≤ 我≤ k、 它适用于：（i）每个紧凑的k R、 存在[a，b](δ*, δ*) 使得H±i（d）=最大δ∈[a，b]h±i（δ，d），对于所有d∈ K、 （ii）H±iis局部Lipschitz。证据修复1≤ 我≤ k和let k R是一个紧集。我们首先验证（i）是假设1.2.2的结果。设C>0，使| d |≤ C代表所有d∈ K、 如果δ*= -∞, 然后我们可以做任何一个<分钟{-C、 δ*} 因为所有δ<a和d的h±i（δ，d）<h±i（a，d）∈ K、 另一方面，如果δ*= +∞, 取一些c>max{δ*, 2C}。它认为h±i（c，d）≥ ∧±i（c）Uγ（c）=：ε>0，我们可以选择b>c，使得h±i（δ，d）≤ 所有δ的h±i（δ，C）<ε≥ b和d∈ K、 由于[a，b]上的h±i（·，d）对所有d的连续性，现在可以立即通过最大值进行替换。（ii）使用{h±i（δ，·）}δ族进行常规验证∈[a，b]是K上的equi-Lipschitz。我们现在想证明Cauchy问题（4.1.3）承认一个唯一的全局经典解θ，它是Cin时间。为此，我们将处理有限系统（N*< ∞) 和有限系统（N*= ∞) 方程组。4.2约束库存ODEN*< ∞ 我们正在处理一个有限的颂歌系统。我们知道，在一定的正则条件下，Cauchy问题（4.1.3）保证在某些邻域（τ，T）上有经典解 T中的[0，T]。然而，这种局部解并不总是可以在[0，T]上推广到全局解。根据【Gu’e17，GL15】，我们首先证明（4.1.3）的比较原则，这将特别允许我们展示全局解决方案的存在性。使用的参数是HJB型方程比较原则的标准。命题4.2.1（比较原则）。让我 [0，T]是包含T和letθ的区间，θ：I×I→ R是经典的（C关于时间）超解和子解。of（4.1.3）。

即0≤ -θt（t，n，i）- un+σn（ζ+γ）-Xj6=iqijtUγθ（t，n，j）- θ（t，n，i）-{n<n*}H-我θ（t，n+1，i）- θ（t，n，i）-{-n<n*}H+iθ（t，n- 1，i）- θ（t，n，i）,(4.2.1)0 ≥ -θt（t，n，i）- un+σn（ζ+γ）-Xj6=iqijtUγθ（t，n，j）- θ（t，n，i）-{n<n*}H-我θ（t，n+1，i）- θ（t，n，i）-{-n<n*}H+iθ（t，n- 1，i）- θ（t，n，i）（4.2.2）和θ（T，·，·）≤ -` ≤ θ（T，·，·）。（4.2.3）然后θ≤ θ.证据见附录A。我们现在可以证明Cauchyproblem（4.1.3）的经典全局解的存在性和唯一性。定理4.2.2。存在唯一的Θ：[0，T]×I→ R、 Cin时间，它（经典地）解决了柯西问题（4.1.3）。证据对于每个1≤ 我≤ k、 引理4.1.1告诉我们H±i:R→ R是局部Lipschitz。我们还计算了Q：[0，T]→ Rk×K连续（假设1.2.1）。因此，根据Cauchy-Lipschitz定理，ODE的终端条件系统（4.1.3）允许唯一的闭式解（Θ（·，n，i））（n，i）∈一、 定义了一些最大区间I [0，T]包含T。假设I（[0，T]），那么I=（τ，T）对于一些0≤ τ<T和kΘ（T）k→ ∞ 作为t&τ。我们声称Θ实际上是有界的，导致了矛盾。实际上，takeK=max（i，n）∈我un-σn（ζ+γ）+{n<n*}H-i（0）+{-n<n*}H+i（0）andK=`（N*),定义θ：I×I→ R乘以θ（t，n，i）=K（t- t） 和θ：=-θ - K、 那么θ（分别为θ）是柯西问题（4.1.3）的超（分别为次）解。根据比较原则（4.2.1），-千吨级- K≤ θ ≤ Θ ≤ θ ≤ KT，证明Θ有界。4.3我们现在考虑的无约束库存ODEs N*= +∞, 其中（4.1.3）成为一个完整的ODE系统。回想一下，在这种情况下，我们假设γ=ζ=0≡ `, i、 例如，MM是完全风险中性的，具有可忽略的成本。这允许我们通过额外的ANSATZΘ（t，n，i）=un（t）进一步降低状态变量的维数- t） +Φi（t），（4.3.1）对于某些Φ=（Φi）ki=1∈ C（[0，T]，Rk）。

代入（4.1.3），我们得到Φ必须解微分方程的有限线性系统（φ（t）=-Q（t）φ（t）+b（t）φ（t）=0，（4.3.2），bi（t）=-H-i（u（T- t） （）- H+i(-u（T- t） ），i=1，k、 通过Q和b的连续性（见引理4.1.1），已知之前的系统具有唯一的全局解Φ∈ C（[0，T]，Rk），可通过参数变化法计算。直截了当的VerificationNow给出了以下内容：命题4.3.1。LetΦ∈ C（[0，T]，Rk）是（4.3.2）的唯一解。然后Θ：[0，T]×I→ R使得Θ（t，n，i）=un（t- t） +Φi（t），是具有N的Cauchy问题（4.1.3）的唯一Cin时间（经典）解*= +∞ γ=ζ=0≡ `.4.4一般验证理论我们现在给出了完整信息下一般模型的完整解决方案。对于下一个定理，我们注意到，对于N，给定定理4.2.2中定义的函数*< +∞ （N对应提案4.3.1*= +∞ γ=ζ=0≡ `) 方程（4.1.3）的差异或“跳跃”项以连续性为界。即Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）有界于[0，t]×i forN*< +∞ （分别为（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）=u（T- t） 在[0，t]上有界。定理4.4.1（验证定理）。设Θ与N的定理4.2.2相同*< +∞ 命题4.3.1中N的andas*= +∞ γ=ζ=0≡ `. 那么（4.1.1）中的值函数isV（t，s，x，n，i）=Uγ（x+sn+Θ（t，n，i））。此外，如果C>0，则|Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）|≤ C代表所有（t、n、i）∈ [0，T]×i带-N*≤ n 1.≤ N*, 存在Borel可测函数δ±，δ±k：[-C、 C]→ (δ*, δ*)使得δ±i（d）∈ arg最大δ∈(δ*,δ*)所有d的h±i（δ，d）∈ [-C、 C]，1≤ 我≤ k对于任何这样的函数，策略（δ+u，δ-u） ，带δ±u：=δ±Yt，iu-Θ（u、Nt、nu- 1，Yt，iu-) - Θ（u、Nt、nu-, Yt，iu-),是最佳的。符号

注意，我们稍微滥用了符号，在定理中为Borel函数写δ±If，在扩展过程中写（δ±u）。证据让1≤ 我≤ k、 我们首先检查，我们可以根据d以可测量的方式选择h±i（·，d）的最大化子。引理4.1.1告诉我们存在[ai，bi] (δ*, δ*) 对于所有d，h±i（δ，d）在[ai，bi]中达到最大值∈ [-C、 C）]。根据假设1.2.2（ii），h±iis连续，尤其是Carath’eodory函数【AB06，定义4.50】。因此，可测量最大值定理[AB06，Thm.18.19]保证了arg maxδ±i的Borel选择器的存在：[-C、 C]→ [人工智能，人工智能] (δ*, δ*). （请注意，在这种情况下，弱可测性假设得到了验证。）从这里开始，让δ±，δ±k：[-C、 C]→ (δ*, δ*) 是一些如上所述的Borel选择器。根据引理4.1.1，这些函数必须从下方有界，并且定理中定义的扩展过程（δ±u）明确允许。我们现在定义▄V（t，s，x，n，i）：=Uγ（x+ns+Θ（t，n，i）），我们想表明▄V=V。让我们确定初始时间和值，t∈ [0，T]，s，x∈ R和（n，i）∈ 一、 考虑一个任意策略α=（δ-u、 δ+u）∈ 美国犹他州。简而言之，我们在过程和期望的旋转中省略了这些初始条件和策略。

我们用S表示：={j- l： 1个≤ l、 j≤ k、 l 6=j}，Y的跳跃高度集，andRt，v：=-σζZvtNudu，Zt，v：=exp- γRt，v.通过等式Uγ（a+b）=Uγ（a）e-γb+Uγ（b），我们可以重写MM的惩罚dp和L asUγ的效用Pt，T= UγXT+STNT- `（NT）Zt，T+UγRt，T=VT、 ST、XT、NT、YTZt，T+UγRt，T.（4.4.1）使用分部积分和Ito引理（回顾（1.2.2）），我们重新表示最后两个术语SasuγRt，T= -σζZTtZt，未断续VT、 ST、XT、NT、YTZt，T=~V（T，s，x，n，i）+ZTtV（u，Su，Xu，Nu，Yu）dZt，u+ZTtZt，udV（u，Su，Xu，Nu，Yu）=~V（T，s，x，n，i）+σζγZTtV（u，Su，Xu，Yu）Zt，uNudu+ZTtZt，uVt（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)du+uZTtZt，uVs（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)du+σZTtZt，uVs（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)dWu+σZTtZt，uVss（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)du+ZTtZt，uV（u、Su、Xu-- （苏- δ-u） ，Nu-+ 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN-u+ZTtZt，uV（u、Su、Xu-+ Su+δ+u，Nu-- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN+u+ZTtZt，uZSV（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-+ h）-V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)uY（dt，dh），其中uY是Y的跳跃度量。替换（4.4.1）中的UγPt，T=V（t，s，x，n，i）+σZTtZt，uVs（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)dWu+ZTtZt，unVt（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)du+uИVs（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)du+σ￠Vss（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)du+σζNuγV（u、Su、Xu、Nu、Yu）- 1.du+ZSV（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-+ h）-V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)uY（dt，dh）+V（u、Su、Xu-- （苏- δ-u） ，Nu-+ 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN-u型+V（u、Su、Xu-+ Su+δ+u，Nu-- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN+uo。（4.4.2）接下来，我们要验证该过程RvtZt，uVs（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)dWu公司t型≤v≤这是一个零均值鞅。自Zt起，uis有界（N或*< ∞ 或γ=0）有必要检查ztteh？Vs（u，su，Xu，Nu，Yu）idu<+∞. （4.4.3）如果γ=0，则▄Vs（u，Su，Xu，Nu，Yu）=Nuand（4.4.3）是（1.2.5）的结果。如果γ6=0（因此N*< ∞), 设C为（δ）的下界-u） 和（δ+u）。

分部积分和H¨older不等式yieldEhVs（u，Su，Xu，Nu，Yu）i=γEhexp- 2γXu+SuNu+θ（u，Nu，Yu）Nui=γexp(-2γ（x+sn））×E经验值- 2γZutδ-wdN公司-w+δ+wdN+w+uNwdw+σNwdWw+θ（w，Nw，Yw）如新大学≤ γN*经验值2γx+sn+uN*（T- t） +kθkL∞（[t，t]×I）+2σγN*（T- t）×E经验值- 4γCN-T+N+T- N-t型-- N+t-E“exp- 4γσZTtNudWu- 8γσZTtNudu#（4.4.3）也是（1.2.5）和Novikov条件（基本满足）的结果。同样地，回顾（Zt，u）是有界的，（δ±u）是从下方有界的，Q是由连续性有界的，可以检查zttehzt，uV（u、Su、Xu-±（Su±δ±u），Nu- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)λ±uidu<+∞andZTtEhZt，uXj6=Yu-qYu公司-,jt公司V（u、Su、Xu-, 如新大学-, j）-V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)idu<+∞.以（4.4.2）中的期望值为例，布朗项消失并与todN积分-, dN+和duYi在其双重可预测预测预测方面被集成所取代（参见，例如，[Br'e81，p.27 T8和p.235 C4]）。即EhUγPt，Ti=~V（t，s，x，n，i）+ZTtEhZt，unVt（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)+ uVs（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-) +σ▄Vss（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)+σζNuγОV（u、Su、Xu、Nu、Yu）- 1.+kXj=1qYu-jtV（u、Su、Xu-, 如新大学-, j）+-u∧-于-(δ-u）V（u、Su、Xu-- （苏- δ-u） ，Nu-+ 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)++u∧+Yu-（δ+u）V（u、Su、Xu-+ Su+δ+u，Nu-- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)奥杜伊≤~V（t，s，x，n，i），正如~V求解（4.1.2）一样，等式为（δ-u） =（δ-u） 定义为（δ+u）=（δ+u）。我们得出结论，V=~V，并且该对（δ-u） ，（δ+u）是最优的。评论对于N*< ∞, 因为MM不会在任何时候购买（或出售）（Nu-) 点击次数N*（分别为。-N*), （δ）的值-u） （分别为δ+u））在这些停止时间基本上是无关的。

从astrict数学的角度来看，唯一的限制是，无论我们选择哪个值，该过程都需要保持可接受性。4.5计算最优利差：定理4.4.1中的一些特殊情况表明，全信息问题（4.1.1）的最优利差可以按照（t，n，i）=（t，Nt）的反馈形式计算-, 年初至今-) 每次t∈ [0，T]。实际上，这意味着找到（通常是数字）解算常微分方程的终端条件系统（4.1.3），并通过最大化找到价差：δ±（t，n，i）∈ arg最大δ∈(δ*,δ*)∧±i（δ）Uγδ+Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）. （4.5.1）（参见引理4.1.1的证明，以了解在δ的情况下如何将最大化减少到紧致域*= -∞ 或δ*= +∞.) （4.5.1）中的函数通常可以允许多次最大化。在【BL14、Gu’e17、GL15】中，对订单强度进行了更有力的假设，尤其是保证了最大化子的唯一性。现在，我们将这些假设扩展到我们的上下文中，并给出相应的利差特征。此后，假设1.2.2（ii）替换为以下内容：假设4.5.1。∧±i∈ C(δ*, δ*), 对于部分0<c<2，对于所有1，则∧±i<0和∧±i∧±i<c（∧±i）≤ 我≤ k、 备注。示例1.2.4 1、2和3的强度函数都验证了这些更强的假设，而示例4仅在d±i>1时验证。事实上，通过解决假设4.5.1中的差异线质量，我们可以看到，在这个新框架中，任何∧±i都有一个严格的上界，其形式如示例4所示。特别是对于δ*= +∞, limδ→+∞Δ∧±i（δ）=0是必须满足的。在假设4.5.1下，（4.5.1）的最大化（对于固定的（t，n，i）），可以通过求解收缩固定点方程来替代，并在域边界上考虑横向导数，对结果进行调整和封顶。

当γ=0且扩散无约束时，需要严格不等式c<2。δ*和δ*分别地为了使其精确，即使强度函数不超过（δ*, δ*), 设D±i*:=-U-1γ∧±i（δ*)∧±i（δ*)- δ*如果δ*> -∞+∞ 如果δ*= -∞,d±i*:=-U-1γ∧±i（δ*)∧±i（δ*)- δ*如果δ*< +∞-∞ 如果δ*= +∞.以下结果表明，在约束条件下，最优利差是如何通过最大化MM即时保证金的“预期”效用的第一个条件（见备注1.2.3）以及考虑到持有库存和市场转移前景的额外风险调整得出的。注意第一项如何取决于∧±i/∧±i，即流动性对利差变化的敏感性百分比。提案4.5.2。在假设4.5.1下，函数δ±，δ±kof定理4.4.1的唯一特征是δ±i（d）=δ*如果d<d±i*, δ±i（d）=δ*如果d>d±i*（4.5.2）如果d∈ （d±i*, d±i*), 那么δ±i（d）是固定点方程δ±i（d）=-U-1γ∧±i（δ±i（d））∧±i（δ±i（d））- d、 （4.5.3）此外，方程式（4.1.3）的哈密顿量可表示为asH±i（d）=h±i（δ*, d） 如果是d≤ d±i*-∧±i（cδ±（d））∧±i（cδ±（d））-γ∧±i（cδ±（d））如果d±i*< d<d±i*h±i（δ*, d） 如果是d≥ d±i*.证据对于每个1≤ 我≤ k、 定义±i（δ，d）=δ+U-1γ∧±i（δ）∧±i（δ）！+d、 带δ∈ (δ*, δ*), d∈ R、 根据假设4.5.1和简单的计算（参见计算，例如，在【Gu’e17，引理3.1】中），一个验证sgnh±iδ= - sgn（f±i）和f±iis在每个变量上严格增加。因此，对于任何d<d±i*和δ<δ*（分别为d>d±i*和δ>δ*), f±i（δ，d）<f±i（δ*, d±i*) = 0（分别为f±i（δ，d）>f±i（δ*, d±i*) = 0），这证明了（4.5.2）。同样，如果d∈ （d±i*, d±i*) 和-∞ < δ*< δ*< +∞, 那么f±i（δ*, d） <0和f±i（δ*, d） >0。因此，f±i（·，d）的连续性意味着（4.5.3）（解的唯一性是由于f±i（·，d）的严格单调性）。

【Gu’e17】中证明了无限制利差的情况。最后，案例d=d±i*> -∞ d=d±i*< +∞ 以同样的方式遵循；哈密顿量的新表达式是直接的，即H±i（d）=H±iδ±i（d），d.如【Gu’e17，引理3.1】所述，（4.5.3）可由显式公式δ±i（d）=（λ±i）代替-1.γH±i（d）- H±i（d）,sgn表示符号函数，sgn（0）：=0。但计算（λ±i）-通常，H±I和H±I必须以数字进行。现在，我们陈述了在某些特定情况下出现的一些简化，即强度为指数或N*= ∞, γ = ζ = 0 ≡ `. 这些都是通过直接替换得到的。我们参考[Gu\'e17，Sect.4]中的一些渐近近似，当t<t时，在一个制度的情况下，具有无约束的利差和N*< ∞.推论4.5.3。如果N*= +∞ γ=ζ=0≡ `, 那么δ±（t，i）=δ*如果 u（T- t） <d±i*, δ±i（d）=δ*如果 u（T- t） >d±i*, （4.5.4）如果u（T- t）∈ （d±i*, d±i*), 那么δ±（t，i）是定点方程δ±（t，i）=-∧±i（δ±（t，i））∧±i（δ±（t，i））±u（t- t） 。（4.5.5）如果另外∧±i（δ）=a±ie-b±iδ，a±i，b±i>0，每个1≤ 我≤ k、 那么δ±（t，i）=δ*∨b±i±u（T- t） 哦！∧ δ*.换句话说，如果N*= ∞ γ=ζ=0≡ `, 然后，不再需要求解（4.1.3），只需求解定点方程（4.5.5）。此外，MM的利差不依赖于n。这是可以预期的，因为在这种情况下，她对所有类型的库存风险都是中性的，并且忽略了终端执行成本。然而，她确实需要重新调整体制的变化，因为这些变化会影响她获得订单的可能性。此外，如果理论强度是指数的，则直接计算扩散，避免了任何数值格式的需要。

还要注意，这个简单的模型如何通过方程（4.5.5）证明最优利差的第二个组成部分：漂移调整，通过漂移调整，资产管理模型考虑到资产价格的总体趋势。现在我们来看看一般指数强度的结果，特别是N*< +∞. 在这种情况下，方程式（4.5.3）成为一个明确的公式，因为百分比流动性敏感性∧±i/∧±i是恒定的。推论4.5.4。如果∧±i（δ）=a±ie-b±iδ，a±i，b±i>0，每个1≤ 我≤ k、 那么δ±（t，n，i）=δ*∨-U-1γ-1/b±i-Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）∧ δ*.这意味着对于指数强度而言，不再需要求解任何定点方程，只需要求解常微分方程组（4.1.3）。一般来说，后者仍然需要用数值方法来解决。（或者，有关一些渐近近似值，请参见[Gu\'e17]。）评论除了案例N*= +∞, γ = ζ = 0 ≡ `, （4.1.3）可进一步简化为线性常微分方程组（常数系数）的一个值得注意的情况是，当nk=1，N*< +∞, δ*= -∞, δ*= +∞ 和∧±（δ）=ae-bδ，a，b>0。通过转换Θ（t，n）=blogψ（t，n）实现还原。详见【GLFT13】。5数值分析在本节中，我们展示了我们的数值结果，重点关注部分和完整信息框架之间的最佳行为差异，以及过滤器背后的直觉。

为了以具体的方式简化我们的发现，同时尽可能保持陈述的简单，我们将在本节中假设：oMM的风险规避参数γ=0。o只有两种可能的状态：状态1代表客户低流动性的“坏”制度，状态2代表高流动性的“好”制度过渡速率矩阵Q是常数强度是对称的、成比例的和指数的，即∧±（δ）=∧（δ）=ae-bδ和∧±（δ）=∧（δ）=m∧（δ），其中a，b>0，m>1。后一种假设允许我们以分析的方式执行方程（3.1.5）中的优化。实际上，比例强度意味着，虽然GoodScheme上的交易更加活跃，但客户对利差变动的反应方式仍然没有受到影响。Asin【CJ15】，我们将考虑三种类型的惩罚来管理库存风险：对最大多头和空头头寸的限制、累计库存惩罚和MM的二次（可能可以忽略不计）终端惩罚（或成本）。也就是说，oN*< +∞, ζ ≥ 0和`（n）=cn，对于某些c≥ 让我们写出π：=π，对于给定可观测信息的处于坏状态的条件概率。请注意，在本节中，π是一个标量，因为π=1- π忽略了附加变量的需要。

点（t，n，π）处的PIDE（3.1.5）读数为：0=θt+un-σnζ+2^q（π）θπ+ab^m（π）{n<n*}e-bcδ-+{n>-N*}e-bcδ+, （5.0.1）终端条件θ（T，n，π）=-cδ±（t，n，π）=b给出的cN和部分信息最优价差- 2w（π）^m（π）θπ（t，n，π）-θ（t，n 1，π/^m（π））- θ（t，n，π）, 式中：（5.0.2）（i）^q（π）=qπ+q（1- π） 是可观察到的向不良状态过渡的速率。（ii）^m（π）=π+（1- π） m是不良状态下可观察到的强度增加（作为比率）。（iii）w（π）=（m）- 1)π(1 - π） 是从不良状态增加的百分比强度的平方根的可观察方差；i、 e.，一种可观察到的订单流量波动率的度量。前面的方程对δ有效* 0 δ*, 或者更准确地说，对于δ*, δ*这样δ*≤cδ±≤ δ*适用于整个领域。否则，需要对最优利差进行调整和封顶，并相应地改变哈密顿量，如命题4.5.2所述。求解（5.0.1）的简单实现的有限差分格式包括反转时间，并在（t，π）和n=-N*, -N*+1.N*. θ（t，n）形式的项 1，π/^m（π）），其中π/^m（π）通常会超出网格，可以通过线性插值进行近似，如DF14所示。极限方程可用于π→ 0+和π→ 1.-前提是-q> 0，我们从此假设。在适当的CFL条件下，该方案可以证明是一致的、稳定的和单调的。根据满足比较原则的方程（3.1.5）（参见[CEFS16a，Thm.5.3]以及在定理3.1.4的证明中为什么它适用于我们的模型），我们知道该方案收敛于唯一的连续粘度解[BS91]，并且我们可以恢复MM的预期惩罚dp&L（定理3.1.1和3.1.4）。

MMI遵循的最佳策略，然后以反馈形式给出cδ-（t，Nt-, ∏t-),cδ+（t，Nt-, ∏t-).如前所述，从技术上讲，这些都是最佳（或-最优）策略。我们在这里并没有严格证明它们的最优性特征，只是注意到离散时间动态规划的众所周知的结果，以及（5.0.1）的离散解与解析解的收敛性，表明它们可以安全地使用。我们将把注意力集中在最优的ask价差上，并对出价价差进行类似的观察。表1中的参数值用于本节中介绍的所有实验。对于经典的单区模型中存在的那些，我们选择了之前工作中使用的值（在γ=0的情况下[CJ15]），以使比较更加清楚。具体而言，c值将取0或0.01，在每个实验中进一步规定。时间范围将始终是相应轴上显示的时间范围。

请注意，我们的工作是在对称市场中进行的，它只分析了一面。参数uσζa b N*m级-q=q-δ*= δ*数值0.1 0.1 2 5表1：给出的数值试验的静态参数值。5.1比较全部和部分信息最优策略根据本节的现有假设，函数|θ的全部信息方程（4.1.3）变为：0=|θt+un-σnζ+~qiθ（t，n，1）-θ（t，n，2）+abmi{n<n*}e-bfδ-+{n>-N*}e-bfδ+,（5.1.1）终端条件|θ（T，n，i）=-Cn和由fδ±（t，n，i）=b给出的全信息最优价差-θ（t，n 1，i）-θ（t，n，i）, 式中：（5.1.2）（i）~qi=q{1}（i）+q{2}（i）是向不良状态的有效过渡率。（ii）~mi={1}（i）+{2}（i）m是不良状态下的有效强度增加（作为比率）。前面的方程对δ有效* 0 δ*, 就像部分信息的情况一样。虽然类似，但坏状态i=1（分别为好状态i=2）的方程式（5.1.1）不是π的（5.0.1）极限方程式→ 1.-（分别为π→ 0+). 事实上，一个拥有完整信息的MM可以期望获得更大的利润。因此，一般来说，即使在这些极端情况下，θ>θ。然而，如图1和图2所示，相应的最优策略确实（至少大致）一致。图1显示了不同库存水平（实线）下部分信息下的最优ask价差随时间的变化。它还显示了不同过滤器值（从左到右π=0、0.6和1）的变化情况，以及它与良好区域（左）和不良区域（右）中完整信息（虚线）下的最佳ask扩散的比较情况。在所有情况下，库存水平都从上到下增加，并且忽略了终端执行成本（c=0）。

我们选择显示π=0.6，因为过滤器的效果在该值周围更加明显；它会产生一个最佳的价差，即 T，比完全信息下的相应值高6%-30%（取决于库存水平）（实践中存在较大差异）。我们将在第5.2节中回到这一点。所有其他值显示类似的中间行为。回想一下，当库存达到最小值=-N*= -3、MM在库存再次增加之前不会再出售（要么放弃报价，要么给出“存根”报价），这就是为什么没有为此头寸绘制价差的原因。我们看到，在完全和部分信息下，一个区域模型中已经存在的一些特征在两个区域中都得到了保留；也就是说：我们的数字发现确实与这一直观的说法一致。图1：在全部和部分信息（虚线和实线分别）下，作为时间函数的最佳ask扩散，以及不同的库存和过滤价值。在所有情况下，库存水平都会自上而下增加。忽略终端执行成本（c=0）。o对于t T价差不依赖于时间（近似），其渐近值随着库存减少到较低的约束n=-N*. 事实上，对于流动头寸或空头头寸，任何额外的询价订单都会增加库存风险，使其更接近允许的最低水平，并提高累计库存罚款。货币市场部通过增加价差来管理这一风险，从而要求更高的即时利润，并降低被执行的可能性。同样地，对于多头头寸，风险敞口越高，价差越低，因为MM寻求平仓在终端成本可以忽略的情况下，价差收敛到与库存无关的终端价值。

这是完全风险中性MM的最佳利差，成本可以忽略不计（推论4.5.3），它只会最大化“预期瞬时利润”。（该值由Cδ+（T，·，·）=1/b给出，即流动性对价差变化的倒数百分比敏感性；参见提案4.5.2）。原因是，随着时间范围的临近，MM再次执行的可能性越来越小。t和t之间累积的惩罚消失，达到库存约束的风险降低。因此，MM承担了更大的风险，最后一次尝试通过增加执行概率（零头寸或空头头寸）或增加执行时的瞬时收益（多头头寸）来增加预期损益。然而，可以观察到以下差异：o在完全信息下（对于对称市场），相对于风险中性值，库存中的利差始终是对称的，即1/b-fδ+（·，n，·）=fδ+（·，1-n、 ·）-1/b，对于0<n≤ N*. 然而，在部分信息下，随着MMI传播的增加，这种对称性被打破。事实上，这适用于任何0<π<1的情况，通过方程式（5.0.2）和（5.1.2）的比较可以得出这一结论，因为θπ<0（处于不良状态的概率增加会降低预期的损益；请参见[BL09，引理3.3]的论点）。因此，当确切的制度未知时，完整的信息传播会向下倾斜。粗略地说，这种偏差大约与θπ（预期损益对可观察状态变化的敏感性）和w（π）（可观察有序流动波动率）的乘积成正比，与可观察强度增加^m（π）成反比。直觉上，一个部分知情的MM不仅面临着市场机制转变的风险，而且还面临着当前状态的不确定性，因此必须相应地增加利差。

这是通过考虑损益和订单流量中的流量的任何可见变化的成本，以及流动性增加的贴现来实现的好的和坏的制度在参考价格的订单流动率上有所不同（即订单强度的振幅参数a和am）。因此，有人认为部分信息策略本质上应该是一些中间参数的一种区域策略，例如a^m（π）。然而，在完整的信息框架中，客户流动性的增加会导致渐进利差（即，对于t T）接近风险中性值（见[CJ15，GLFT13]）。另一方面，在部分信息的情况下，这不再是事实，因为之前提到的regimerisk调整改变了利差最后，我们注意到，在接近到期时，行为发生了显著变化，在再次接近GIT之前，一些存货的展期超过了风险中性值。直觉上，超调是由于增加了制度风险调整，而收敛是由于额外库存风险的消失。（回想一下，theMM的主要担忧是她的终端对冲成本，如果有，这并不取决于市场机制。）不对称市场中的信息不足也会产生类似的影响【CJ15】。图2与图1进行了相同的比较，但在本例中包括了终端执行成本。观察结果基本上保持不变，除了息差的最终行为发生了变化，就像经典的单一制度案例一样。在这里，利差偏离了风险中性的无成本价值，而不是接近它，因为MM在最后一刻试图降低她的对冲成本。

我们注意到，在这两个例子中，较高的惩罚ζ会增加两种制度的完全信息最优利差之间的差异，但不会从质的角度改变观察结果。图3显示了三种不同库存头寸的部分信息最优ask价差随时间和过滤器的变化：极短（左）、最短（中）和极长（右），且无终端惩罚。我们可以看到，过滤器上的排列是凹的，对于空库存和π，达到最大凹度≈ 0.6，随着位置变短或变长而逐渐减小。我们已经在方程（5.0.2）中观察到，部分信息MM增加了她的利差以管理更高的制度风险，并且这种修正与预期损益敏感性θπ乘以观察到的顺序波动率w（π）=（m）近似成比例- 1)π(1 - π). 启发性的是，对于风险规避型MM来说，分布的变化应该类似于w（π）的凹度，区域不确定性的成本对于一个浮动头寸来说是最高的（因为偏离它会增加价格敞口）。为什么在π附近达到最大变化的问题≈ 0.6再次适用于第5.2节。图2：在完全和部分信息（虚线和实线分别）下，作为时间函数的最佳ask扩散，以及不同的库存和过滤价值。在所有情况下，库存水平都会自上而下增加。终端执行成本：`（n）=-cn，c=0.01。图3：不同库存水平下，最佳部分信息ask价差随时间和过滤器的变化（不良制度的可观察可能性）。忽略终端执行成本（c=0）。5.2样本路径和对过滤器的仔细观察有不同的方法来模拟具有随机强度的点过程。

一种简单实现的经典方法是所谓的细化方法[Oga81]。该方法特别适合我们的框架，因为它可以通过利用N的可观测强度（见定理3.1.1和[GKM11，Alg.3.2]），与第2节中发展的过滤理论相结合。感兴趣的读者可以参考[LTT18]了解细化范围方面的优化。图4显示了由具有不完全信息的MM的最佳行为产生的四条样本路径。它们是通过联合模拟库存N（中间）从N=0开始，过滤器∏=α，1（底部）从π=0.5开始，以及最优策略α来获得的=cδ-（t，Nt-, ∏t-),cδ+（t，Nt-, ∏t-)（顶部），对于c=0。图4：c=0、n=0和π=0.5的最优部分信息买卖价差（第一）、库存（第二）和过滤（第三）的样本路径。我们想分析∏的行为。让我们回顾一下，根据MM在时间t观察到的信息，∏Tre表示处于不良状态（流动性低的缓慢市场）的可能性。MM根据迄今为止收到的订单（买卖）进行评估，这与查看其库存的演变情况相同。如果我们仔细观察任意两个连续订单之间发生的情况，就会发现有一种模式会重复自身。随着时间的推移，MM没有收到任何订单，她认为市场很可能处于糟糕的状态，因此∏t增加。如果以这种方式经过足够的时间，则∏tgets逐渐接近某个优势“平衡”值，约为0.6。（回想一下，这与我们之前遇到的对利差影响最大的价值相同。）但一旦收到订单，MM就会重新审视自己的可能性，因为进入高流动性的良好体制似乎更有可能。

这就是为什么我们看到∏tJumps在每次交易中向下（即在库存的跳跃时间）。那么π是什么≈ 0.6那么特别？如果我们看一下控制过滤动力学的SDE（2.1.1），它现在的内容是：d∏t=^q（πt）+w（πt）a-te公司-bcδ-t++te-bcδ+tdt+πt-^m∏t-- 1.dN-t+dN+t.（5.2.1）在跳跃之间，∏t卷的每条路径符合一个ODE。如果有足够的时间经过而没有另一个订单到达，我们可以考虑t的渐近行为→ T对于c=0，这导致tod∏tdt≈ ^q（πt）+w（πt）aeβ，β=1或β=2，取决于当前库存水平。这首颂歌的右侧是一条凹抛物线∏t，它有一个负根，另一个是π*, 介于0和1之间。对于表1中的参数值，它是π*≈ β=1时为0.572，或π*≈ β=2时为0.636。因此，π*是过滤器的吸引子（即稳定平衡），这解释了∏t向0.6的趋势以及该值的中心作用。事实上，随着过滤器接近其吸引子之一，MM耗尽了她所拥有的所有信息，在接到另一个订单之前，无法对市场状况进行进一步评估。从某种意义上说，这是她面临最不确定因素的时候，她相应地增加了利差以管理政权风险。命题1.4.1的补充证明。N-, N+是有限变化（FV）过程，没有公共跳跃，因此[N-, N+]=0 Q-a.s。因此，随机指数的乘法[JS02，p.138]和FV过程的指数公式[Br'e81，p.337 T4]得出显式表达式Zα=Zα，-Zα，+，带Zα，±t=expZt1.- ∧±Yu-（δ+u）±udu！于≤电话：N±u6=0∧±Yu-（δ+u）。（A.1.1）则（i）遵循∧±i（δ±）的严格正性和有界性≤ 我≤ k、 asin【Br'e81，p.168 T4】，终端时间T。唯一的区别是，在我们的案例中，N±的Qin强度为{Nt公司-<N*}≤ 1而不是1。

尽管如此，证明仍然是一样的，只是简单地说明了N±t的Q-矩母函数由标准泊松随机变量（见（1.2.5））。一致可积性是即时的。（i） 保证（ii）中定义的Pα是等效的概率度量。N的Pα强度的形状-, N+是由于【Br'e81，p.166 T3】。在Pα下，W仍然是维纳过程这一事实是Girsanov–MeyerThermore【Pro04，P.132 Thm.35】和Levy特征化定理的结果。对于Y，首先请注意，当Zα=1时，其初始分布不会发生变化，并且其最小生成算子的分布相同。要了解这一点，请考虑Q-generator操作符AYt:RE→ RE，AYtf（i）=Pkj=1qijtf（j）。我们知道过程Mt=f（Yt）- f（Y）-RtAYuf（Yu）du是一个Q-局部鞅。再一次，根据Girsanov–Meyer定理。，M也是Pα-局部鞅（[M，Z]=0，因为Y，N-, N+是满足（1.2.2）的FV过程。此外，在有界的情况下，M是真Pα鞅，Y为（F，Pα）解了（AYt，u）的适定鞅问题。这意味着Y是一个具有唯一确定定律的Pα-马尔可夫链[EK09，P.184Thm.4.2]。Q也是Pα生成矩阵的唯一性。（1.2.2）在概率度量的等效变化下明显保持不变。虽然我们的鞅问题在时间上是非齐次的，（Qt）是确定性的，所以这并不代表一个问题。命题1.4.2的证明。（i） 和（ii）的证明与命题1.4.1相同（过程1∧±i（δ±）为严格正且有界于1≤ 我≤ k） 。Y，N，W的Qα独立性是[JYC09，p.543 Lem.9.5.4.1]的结果。即（Qα，F）-鞅-R·Pkj=1qYu-,北朱伊杜-R·(-u-+u） du和W具有关于FY、fn和fwrep的可预测表示属性。

（关于补偿计数度量，请参见[Br'e81，p.239 T8]），它们是（F，Qα）-正交的，这意味着它们是独立的。随机指数的显式表达式（见（A.1.1））直接表明Zα′Zα=1，证明（iii）。（iv）是由于【Br'e81，p.64 T8】。命题2.1.1的证明。我们证明它只适用于N+，其他的都是类似的，为了简单起见，我们省略了α。很明显，Cλ+是可预测的。我们需要检查对于任何FW，非预测过程ψ≥ 0，E“ZTψtcλ+tdt#=E”ZTψtdN+t#。对于任何1≤ 我≤ k、 c ` adl ` ag过程∏iand{Y·=i}的每条路径只有可数的跳跃。因此，当与dt积分时，我们可以交换这些过程及其左极限。根据条件期望和Fubini定理的性质，E“ZTψtcλ+tdt#=EZTψt+tkXi=1∏it-∧+i（δ+t）dt= EZTψt+tkXi=1∏it∧+i（δ+t）dt= EZTψt+tkXi=1E{Yt=i}FN，重量∧+i（δ+t）dt=中兴通讯Ehψt+tkXi=1{Yt=i}∧+i（δ+t）FN，Wtidt=ZTEhψt+tkXi=1{Yt=i}∧+i（δ+t）idt=EZTψt+tkXi=1{Yt-=i} ∧+i（δ+t）dt= E“ZTψtλ+tdt#=E”ZTψtdN+t#。命题2.1.2的证明。让我们检查∏α是否求解（2.1.1）。显然，约束条件和初始条件已得到满足。SDEs的验证应根据[CEFS16a，第3.3款]（更多详情见[CEFS16b，附录A，引理A.2和第3.3款]），尽管需要进行一些考虑。一方面，作者使用纯跳跃模型，策略仅适用于驾驶跳跃过程的自然过滤（即没有差异）和马尔可夫链的恒常生成矩阵。

然而，经过必要的修改后，前一种差异在证明中没有重大变化。另一方面，作者的主要假设[CEFS16a，Asm.2.1]假设在具有紧支集的R上存在一些确定性测度|ηN（dz），因此对于所有∈ E、 δ+，δ-∈ (δ*, δ*), n∈ [-N*, N*] ∩ Z、 测量ηN（i，δ+，δ-, n、 dz）相当于|ηn（dz）和氡尼科德姆导数dηn（i，δ+，δ-, n、 ·）/d|ηNis一致有界且远离零|ηn（dz）-a.s.在[CEFS16a]中，假设支撑是(-1.∞), 但这只适用于“回报（或收益）过程”，就像他们的情况一样。由于扩散过程是固定且有界的，我们可以假设δ*是有限的。设定值ηN（dz）：=m（dz）+m-1（dz）我们清楚地看到，这两个测度与导数ηN（i，δ）等价-, δ+，n，·）dηn（z）=∧-i（δ-){n<n*}{z=1}+∧+i（δ+）{-n<n*}{z=-1} ，（A.1.2）一致以∧为界-i（δ*) + ∧+i（δ*). 然而，我们的模型允许dηN/dηN（z）=0，这是消失强度λ±的结果。尽管如此，这并不构成问题，asdηN/dηN（z）>0仅在[CEFS16a，3.3号提案]中使用，以保证“zα>0”（见提案1.4.2）。该条件在我们的模型中也得到了满足，允许从物理概率α到参考概率Qα再向后。现在我们来看看唯一性的证明。我们首先指出，跳跃高度系数（2.1.1）通常不会是Lipschitz（SDE的经典结果，如[Pro04，p.253 Thm.7]无法应用），且在N的跳跃时间之间，排列路径不需要是连续的（排除ODE的最经典结果[CL55]）。

尽管如此，我们仍然可以遵循冷漠的方法。让我们确定一条路径，并在区间[τm，τm+1]上归纳验证唯一性，其中τ：=0和0<τ<τ<·····<τm=T是N的跳跃时间（包括终点时间T，即使该点没有跳跃）。设置Ajit=-t（λ-j- Λ-i） （δ-t） ++t（λ+j- ∧+i）（δ+t）。然后Ajiis为所有1绑定≤ i、 j≤ k、 现在，请注意，任何求解SDEs（2.1.1）约束系统的c\'adl\'ag过程∏都必须求解m=0，1，…，的路径，M- 1以下整数形式的密码系统，用于t∈ [τm，τm+1）：￠∏it=Rim~Πτ-m级+ZtτmkXj=1qjiu▄∏ju+▄∏iu▄∏juAjiudu，（A.1.3）带轮辋~Πτ-m级:=∏iτ-m∧±i（δ±τm）/Pkj=1∏jτ-m∧±j（δ±τm）如果Nτm=1、m>0和Ri~Πτ-= ui.使用该∏∈  是有界的，且有界Lipschitz函数的初等代数，它遵循fi:[τm，τm+1）× → R、 定义为fi（u，π）=Pkj=1（qjiuπj+πiπjAjiu）是π中的Lipschitz，均匀地在u中。设K为fl的最大Lipschitz常数，对于1≤ l≤ k并假设∏ατ-m=△τ∏-m（显然满足m=0）。然后（A.1.3）得到k∏αt-∏tk≤ KRtτmk∏αu-~ukdu，通过Gr¨onwall不等式表示∏αt=~ton[τm，τm+1）。因此，[0，t]上的等式后面是归纳法。它在时间t也必须明确保持，无论是通过连续性还是（如果有跳跃），因为∏αt=RMΠατ-M= RM~Πτ-M=∏T.命题2.1.4的证明。我们想证明∏α，对于所有1，它>0≤ 我≤ k、 0个≤ t型≤ 助教。s、 在命题2.1.2的证明结束时，我们对每条路径的跳跃时间N进行归纳。使用相同的符号，让1≤ 我≤ k并假设∏α，jτ-m> 0表示所有1≤ j≤ k（假设m=0时满足）。

然后（A.1.3）、假设1.2.1和≡ 定义为0，表明∏α，iis在区间[τm，τm+1]上绝对连续，满足度（∏α，it）=kXj=1qjit∏α，jt+∏α，it∏α，jtAjit= πα，itqiit+Xj6=i∏α，jtAjit+Xj6=iqjit∏α，jt≥ πα，itqiit+Xj6=i∏α，jtAjit,（A.1.4）这最终是假设1.2.2（i）中分解的结果，允许强度的消失因子作为参考概率强度。对于dt-a.e.t∈ [τm，τm+1），受制于∏α，iτm=Rim（∏ατ-m） >0。让我们设置s：=sup（[τm，τm+1）∩ {t∈【0，T】：α∏，it>0}）。我们需要证明s=τm+1。根据∏α，i的连续性，它必须>τm。因此，（A.1.4）和对数∏α，离子的绝对连续性[τm，t] [τm，s）屈服∏α，it≥ 轮辋∏ατ-m） 经验值ZtτmQiu+Xj6=i∏α，juAjiu杜邦对于dt-a.e.t∈ [τm，s）。如果是s<τm+1，则∏α，iagain的连续性和前面的不等式将意味着0=∏α，是>0，通过矛盾证明，s=τm+1和∏α，在整个区间上是正的[τm，τm+1]。[0，T）上的正性现在由归纳得出，并且它在时间T上也必须明确成立，因为要么存在跳跃，要么我们可以像刚才那样推理。定理3.1.4的证明。案例N*< +∞ γ>0：我们写ψ=1+Γ，其中Γ（t，n，π）=supα∈§At▄Eα，t，n，π经验值- γ~Pα，n，πt，t+`（Nt，Nt）- 经验值γ`（Nt，Nt）.然后，可以将Υ视为标准Bolza-Lagrange公式中优化问题的值函数，即Υ（a）=supα∈~At▄Eα，a“ZTtDα，At，uf（u，aα，au，αu）du+Dα，At，Tg（aα，At）#，其中状态变量aα，au=（u，Nt，nu，πα，t，n，πu）是有界状态空间[0，t]×（Z）的PDMP∩ [-N*, N*]) × o初始条件a=（t，n，π），Dα，at，u=exp-Rvtρ（u，Aα，au，αu）du贴现因子和f，g，ρ是有界函数。

（由于控制空间有界，这些函数是有界的。）现在可以用与[CEFS16a，Thm.4.10]中相同的方式证明Υ的连续性，尽管是以更直接的方式。这是由于f，g，ρ的有界性，即∏α，t，n，π从不访问单纯形的相对边界, 除了终端时间，状态空间没有退出时间。假设【CEFS16a，Asm.4.7】在我们的模型中得到了明确验证，并且【CEFS16a，Asm.2.1】已经在命题2.1.2的证明开始时得到了说明。我们注意到，在我们的例子中，边界函数（见[CEFS16a，Lem.4.6]）可以简单地表示为b（t，n，π）=exp（η（t- t） ，η>0大时，证明收缩性。在证明了连续性之后，[CEFS16a，Thm.5.3]（或[DF99，Thm.7.5]）的相同证明表明，Υ是其标准HJB方程的唯一连续粘度解。Weremark再次指出，我们的情况更简单，因为Υ是有界的，除了终端时间条件外，我们没有任何边界条件。特别是，没有必要对Υ的增长进行额外的假设。最后，通过两个递增的微分变换ψ=1+Υγ和Θ=U，得到了Θ的结果-1γo Ψ.案例N*< +∞ γ=0：与前一种情况的唯一区别是，由于Θ（t，n，π）=supα，直接获得了问题的BolzaLagrange表示∈AtEα，t，n，π“ZTtδ-ucλ-uα，t，n，π+δ+ucλ+uα，t，n，π+uNt，nu-σζ（Nt，nu）杜邦- `（Nt，Nt）#，无需任何转换。案例N*= +∞ γ=ζ=0≡ `: 与后一种情况相同，但使用状态变量（u，πα，t，n，π）和值函数Φ。现在的另一个细节是[CEFS16a，Asm.2.1]也用于[CEFS16a，Lem.4.1]，其中指出方程（2.1.1）中的漂移系数是状态变量中的Lipschitz，在时间和控制上是一致的。

这在我们的案例中得到了验证，在我们的新假设下：-∞ < δ*< δ*< ∞.命题4.2.1的证明。假设第一个I=[τ，T]约为0≤ τ<T，ε>0。辛岑*< ∞, 存在（tε，nε，iε）∈ [τ，T]×I使得θ（Tε，nε，Iε）- θ（tε，nε，iε）+ε（t- tε）=最小值（t，n，i）∈[τ，T]×Iθ（T，n，I）- θ（t，n，i）+ε（t- t） 。（A.1.5）如果tε<t，那么我们必须有θt（tε，nε，iε）- θt（tε，nε，iε）≥ ε.让我们看看左边是非正数。通过（4.2.1）和（4.2.2），θt（tε，nε，iε）- θt（tε，nε，iε）≤Xj6=iεqiεjtUγθ（tε，nε，j）- θ（tε，nε，iε）- Uγθ（tε，nε，j）- θ（tε，nε，iε）+{n<n*}H-我θ（tε，nε+1，iε）- θ（tε，nε，iε）- H-我θ（tε，nε+1，iε）- θ（tε，nε，iε）+{-n<n*}H+iθ（tε，nε- 1，iε）- θ（tε，nε，iε）- H+iθ（tε，nε- 1，iε）- θ（tε，nε，iε）.H±i增加（Uγ增加）和（A.1.5）意味着最后两项（Firstone）为非正。我们必须得到tε=t，并且由于（A.1.5）和（4.2.3）对于所有（t，n，i）∈ [0，T]×I：θ（T，n，I）- θ（t，n，i）+ε（t- t）≥ θ（T，nε，iε）- θ（T，nε，iε）+ε（T- T）≥ 0θ（t，n，i）≥ θ（t，n，i）- ε（T- t） 。由于ε>0是任意的，我们得到了期望的结果。情况I=（τ，T）现在是比较θ和θ在[tn，T]形式区间上的结果 （τ，T）参考文献[AB06]C.D.Aliprantis和K.C.Border，《有限维分析：搭便车指南》，第三版，Springer，2006。[AS08]M.Avellanda和s.Stoikov，《限额订单簿中的高频交易》，量化金融8（2008），第3期，217–224。【BL09】E.Bayraktar和M.Ludkovski，《非流动市场中的最佳交易执行》，arXiv预印本arXiv:0902.2516v1（2009）。【BL14】，《控制强度的限额指令簿清算》，MathematicalFinance 24（2014），第4627–650号。【Bou07】B。

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