通过在[bmin，bmax]上10点的规则网格上取Payoff函数和多项式近似值之间的最大距离来近似误差界。我们注意到切比雪夫方法的误差界在福列尔-勒让德方法的误差界附近振荡。这似乎是由于随着切比雪夫节点的变化，Payoff扭结周围的多项式近似精度发生变化所致。请注意，误差界在实践中通常是不严格的，如以下定价应用程序所示，其中定价误差远低于误差界，至少对于n≤ 图7显示了价格近似值作为多项式阶数的函数，最大n=30。使用傅立叶-勒让德方法，价格近似值迅速稳定，因此使用前n=10矩的价格近似值在某个基点上似乎是准确的。另一方面，切比雪夫方法的价格近似值表现出较大的波动。图7还显示，在标准桌面上计算价格近似值只需几分之一秒。请注意，几乎所有的CPU时间都用于计算动量Z（t，tM，k）。我们记得，LHC模型的波动性参数σ不会影响CDS价差，因此可以用于改进CDS和CDS期权的联合校准。我们在图8的左面板中对此进行了说明，其中CDS期权价格显示为不同履约价差的波动性参数的函数。正如所料，期权价格是波动率参数的递增函数。图8的右侧面板还显示，xH对CDS期权价格的影响几乎是线性的。注意多项式基的维数1+m+nn当展开阶n和因子数1+m都很大时，这就成为编程和计算的挑战。

例如，对于n=20和1+m=2，基的维数为231，而当1+m=4时，基的维数为10’626。在实践中，我们成功地在标准台式计算机上实现了1+m=4和n=50的示例，在这种情况下，基维数为316’251.4.3 CDIS选项价格。我们讨论了通过齐次投资组合上CDISoption的切比雪夫多项式逼近Payoff函数。设Nt=PNi=0{τi≤t} 表示时间t前违约的公司数量。考虑同质投资组合上的CDIS期权，使Sit=a>YT，alli=1，N、 从命题2.12可以看出，CDIS期权的时间t价格由vcdiso给出（t，t，tM，k）=e-r（t-t） NN型-NtXj=0E（五）*（j，t，tm））+q（j，t，t）英尺有条件支付sV*（j，t，tm）=ja>Ytψcds（t，t，tm，k）>YtXt公司+ (1 -δ） （N）- j） 条件概率q（j，t，t）=N- Ntj公司（a>Yt）j（a>Yt- a> Yt）N-Nt公司-j（a>Yt）N-Nt（45），与现在的求和最大包含N+1项的显著不同，因为这些项是对称的，因此可以互换。定义随机变量y（t）=a>y和X（t，tM，k）=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司.然后，CDIS期权价格重写svcdiso（t，t，tM，k）=E[f（Y（t），X（t，tM，k））| Ft∨ 其中，二元支付函数f（y，x）由f（y，x）=e给出-r（t-t） N（a>Yt）N-Nt公司(1 - δ） N（a>Yt）- y） N个-Nt+N-NtXj=1N- Ntj公司（j x+y（1- δ） （N）- j） ）+yj-1（a>Yt- y） N个-Nt公司-j.（Y（t），X（t，tM，k））的Ft条件矩可以用引理4.4中类似的方法递归计算。Payoff函数f（y，x）可以使用切比雪夫多项式和节点（见附录C）或使用其二维傅里叶-勒让德级数表示法进行近似。4.4 CDIS分期付款pricingAs在第4.3节中，我们考虑了同质投资组合，以便所有i=1，…，Si=a>Y，N

在这种情况下，可以导出（18）的更简单表达式Q[Nu=j | F∞∨ Gt]=Q【N】- Nu=N- j | F∞∨ Gt]=q（N- j、 t，u）（46）对于u>t和j=Nt，N、 其中q（N- j、 t，u）定义如（45）所示。我们将附着点固定为Ka=na（1- δ） /N，分离点至Kd=nd（1- δ） /N，对于某些整数0≤ na<nd≤ N、 为简单起见，假设Nt≤ na，然后从（19）和（46）我们得到∞∨ Gt]=NXj=na+1（1- δ） 最小值（j- 不适用，不适用- na）Nq（N- j、 t，u）和，通过对u的区分，dE[Tu | F∞∨ Gt]du=NXj=na+1（1- δ） 最小值（j- 不适用，不适用- na）N×N- NtN公司- j（a>Yu）N-j-1（a>Yt- a> Yu）j-Nt公司-1（a>Yt）N-Nt×（N）- j） a>年初至今- （N）- Nt）a>Yua> （c Yu+γXu）对于任何u>t。因此，原则上，可以使用力矩公式（33）计算（16）中的保护和高级支腿。5扩展我们提供了几个提供附加功能的模型扩展。我们首先构建多名称模型，然后包括可能与信贷利差相关的随机利率，并通过讨论跳跃和随机时钟得出结论，以产生同时违约。5.1多名称模型我们以大型强子对撞机模型为基础，构建具有相关违约强度的多名称模型，该模型可以轻松容纳新因素和公司的加入。这种方法可以应用于其他线性信用风险模型，只要它们属于多项式模型。我们考虑n个独立的LHC过程（Y，X），（Yn，Xn）（47），其中每个（Yj，Xj）的定义如（21）–（22）所示。我们定义了叠加过程Y=（Y，…，Yn）与Y=1，X=（X，…，Xn）与X∈ [0，1]m=Pnj=1mj的地方。我们表示（Y，X）的状态空间。设h=（h，…，hn）为Rn+-值过程，其j-th分量由hjt=γj>XjtYjt，t给出≥ 0（48），其中向量γj∈ Rmjis Yj的漂移参数，见（21）。线性构造。企业的生存过程i=1。

，N可定义为（1），对于某些向量ai，Si=a>iY∈ Rn+满足a>1=1。对应的默认强度λiof firm i适用于所有t≥ 0由h的加权和给出，即λit=wit>ht，随机权重为jt=aijYjt/Sit>0，满足pdj=1wijt=1。多项式构造。确定d度，并确定每个企业的生存过程i=1，N x Sit=所有t的pi（Yt）≥ 0，对于某些多项式pi（y）∈ Pold（[0，1]n），其在[0，1]n上为正，分量不递增，因此pi（1）=1。设Hd（y，x）为Pold（E）的多项式，其叠加在行向量中，形式为Hd（y，x）=（Hd（y），H*d（y，x）），其中Hd（y）本身是Pold的多项式基（[0，1]n）。然后，企业i的生存过程重写Si=a>iy，其中有限变量过程Y=Hd（Y），因子过程X=H*d（Y，X），其中向量ai由等式pi（Y）=Hd（Y）ai给出。根据多项式性质，过程（Y，X）具有线性漂移，如（2）–（3）所示，参见（Filipovi\'c和Larsson 2017，定理4.3）。（Y，X）漂移的具体值取决于多项式基Hd（Y，X）的选择。示例5.1对于某些α，取p（y）=yα=Qni=1yαii∈ Nn，则隐含违约强度为（48）中定义的加权和λt=α>HTA。与线性结构中的随机权重相反，权重是恒定的。备注5.2 Hd（y，x）的尺寸为d+n+md并且可能很大，这取决于m+n和d的值。然而，考虑到（47）中的对（Yit，Xit）是独立的，（Yu，Xu）中单项式的条件期望重写了sehnyi=1（Yiu）αi（Xiu）βiFti=nYi=1Eh（Yiu）αi（sui）βiFti，u>t，对于某些αi∈ N和βi∈ Nmj对于所有i=1，n

因此，为了计算债券和CDS价格，我们只需要考虑总维数等于toPni=1的n个独立多项式基d+1+中.5.2随机利率我们包括可能与信贷利差相关的随机利率。我们表示贴现过程Dt=exp(-RTRSD），用于t≥ 0，其中rsi是时间s的短期利率值。我们为一些向量ar指定d=a>rY∈ 注册护士。这类似于企业生存过程的规定，但我们不要求D是非递增的。也就是说，我们允许负利率。我们遵循第5.1节的规定，将H（y，x）作为Pol（E）的多项式基础，定义了一个新的线性信贷风险模型（y，x）=（H（y），H*（Y，X）），其线性漂移由矩阵a给出，如（5）所示。命题5.3定价公式（6）、（7）和（9）也适用于使用向量ψZ（t，tM）>=a> ZeA（tM-t） 其中，向量aZis由H（y）>aZ=（a>ry）（a>y）和向量ψD（t，tM）>=a>DZtMteA（s）给出-t） ds，ψD*（t，tM）>=a>DZtMts eA（s-t） ds，其中向量aDis由H（y，x）aD=（a>ry）给出(-a> （cyγx））。在实践中，可以考虑严格小于H（y，x）的基，如下例所示。例5.4考虑两个独立的LHC过程（Yj，Xj），j的mj=1∈ {1，2}，并考虑以下线性信用风险模型，其中随机利率为，Dt=Yt，St=νYt+（1-ν） Yt，对于所有t≥ 0，对于某些参数ν∈ (0, 1). 债券和CDS价格的计算只需要子基（y，x）=yyy年, H（y，x）=YXYXYXXX,其总尺寸为dim（（H（y，x），H（y，x））=7<dim（Pol（E））=15。过程的漂移项（H（Y，X），H（Y，X））isA=0 0 -2γ0 0 0 00 0 0 -γ-γ0 0b0β0 0-γ0 b0β0 0-γ0 b0 0β0σ0 2b- σ0 0 0 2β0 0 0 0 bb0β+β其中，下标表示LHC模型标识。

此基础中的定价向量区域z=ν 1 - ν和aD=0 0 -ν γ-(1 - ν) γ0 0 0.5.3跳跃和同时违约有两种方法可以将跳跃纳入生存过程动态，这可能导致多家公司同时违约。第一种方法是让Y的鞅部分由一个jump过程驱动，以便多个生存过程可以同时跳跃。第二种方法是让时间以随机时钟向前跳跃的方式运行，从而在因子和生存过程中产生同步跳跃。生存过程仍如（1）所述，但这些因素是LHC过程的延伸，如下所示。为简单起见，我们讨论了（21）中的唯一对（Y，X），其参数γ、β、B满足（24）–（25）。设Z是具有L'evy测度νZ（dζ）和漂移bZ的非减量L'evy过程≥ 0独立于布朗运动W和均匀随机变量SU，联合国。跳跃扩散模型。假设Zt公司≤ 所有t均为1≥ 0.我们定义了具有跳跃的THLHC模型的动力学，如下所示YtXt公司=-c-γ>- δ> E[Z]bβ- diag（ν）E[Z]年初至今-Xt公司-dt公司+∑（Yt-, Xt公司-)载重吨-c年初至今-+ δ> Xt公司-诊断（ν）Xt-dNtwith由Nt=Zt给出的鞅N- E[Z]t代表t≥ 0，对于某些c>0，δ∈ Rm+，和ν∈ Rm+使得c+δ>1<1，c+δ>1≤ νi≤ 1，i=1，m（49）和νi<1如果（26）适用，i=1，m（50）条件（49）–（50）确保进程始终在其状态空间内跳跃。请注意，同一过程Z可以影响多个LHC过程的动力学（Yi，Xi）。随机时钟。我们考虑时变过程（\'Yt，\'Xt）t≥0=（YZt，XZt）t≥0将直接输入（1）而不是（Yt，Xt），其因子动态由以下公式给出年初至今下半年=\'\'A“Yt”Xtdt+dM'YtdM'Xt！式中，（m+n）×（m+n）-矩阵“A”现在由“A=bZA+Z”给出∞（eAζ- Id）νZ（dζ）（51），矩阵A如等式（5）所示，见（Sato 1999，第6章）和（Filipovi\'c和Larsson 2017，定理6.1）。

时变LHC模型仍然是一个线性信用风险模型。背景过滤F现在是过程的自然过滤（YZ，XZ）。表示ψ（·）由E[exp]定义的Z的拉普拉斯指数(-uZt）]=经验值(-tψ（u））。以下命题表明，矩阵可以以闭合形式计算。命题5.5假设A=UDU-1式中，U为酉矩阵，D为带非正项的对角矩阵，则“a=-Uψ(-D） U型-1、在某些情况下，“A”的表达式很简单，不需要对矩阵A进行分解，如下例所示。示例5.6设Z为γ过程，使得νZ（dζ）=γZζ-1e级-对于某些常数λZ，γZ>0和bZ=0，λZζdζ。如果矩阵A的特征值具有非正实部，则时变过程的漂移（YZ，XZ）等于'A=-γZlog身份证件-Aλ-1Z（52）如附录A所示。我们感谢一位匿名裁判提出这一结果。从独立的LHC模型构建的生存过程可以使用相同的时钟Z进行时间更改，以便同时生成默认值，从而产生默认相关性。请注意，利用时间变化产生累积风险或生存过程的同时跳跃的想法并不新鲜，例如，关于早期贡献，请参见（Mendoza Arriaga和Linetsky 2016），其中开发了同时违约的多名称统一信贷权益模型。备注5.7可以使用（Li、Li和Mendoza-Arriaga2016）中所示的附加从属项，以增加模型的灵活性。这些从属关系取决于时间，因此可能有助于改善期限结构，但代价是引入额外的参数。

在这种情况下，因子过程的漂移（‘Y，’X）保持线性，但（51）中的矩阵‘A’可能与时间有关，并且可能没有封闭形式的表示，这反过来会导致较高的计算成本。6结论线性信用风险模型种类丰富，提供了新的建模可能性。生存过程及其漂移在因子过程中是线性的，因子过程的漂移也是线性的。因此，可违约债券、信用违约掉期（CDS）和信用违约指数掉期（CDISs）的价格成为因素中的线性理性表达式。我们介绍并研究了单名线性超立方体（LHC）模型，该模型由具有二次微分函数的离散因子过程组成，并在紧凑的状态空间中取值。这些特征被用于开发高效的欧洲期权定价方法。在LHC模型的基础上，我们构建了简洁且通用的多名称模型。通过构造类似于生存过程的贴现过程，该设置可以适应与信用利差相关的随机利率。因子动态中的跳跃以及随机时钟可用于生成同时的默认值。实证分析表明，LHC模型可以再现复杂的CDS结构动力学。我们通过数值验证，对于LHC模型，不同货币条件下的CDS期权价格可以精确近似。我们还表明，同质投资组合上的CDIS期权价格和份额价格可以用相同的方法近似。

未来的研究方向包括开发有效的算法来为多名称信用衍生品定价，以及对单名称和多名称信用合约的联合实证研究。证明本附录包含正文中所有定理和命题的证明。（4）证明如下（Filipovi\'c、Larsson和Trolle 2017，引理3）。示例2.3的证明自治过程X允许采用以下值的解决方案[-e-t、 e类-t] 在时间t时 > 0和X∈ [-1，1]当且仅当κ>, 参见（Filipovi\'c和Larsson 2016，定理5.1）。Y的两个坐标的下界是X。实际上，对于i=1，2，我们有dyit=-（Yit±Xt）dt≥ -（Yit+e-t） DTDZT的解=-(/2） （Zt+e-t） Z=1的dt由Zt=e给出-t、 t型≥ 0，这证明Yit≥ Zt公司≥ |Xt |对于i=1，2。最后，通过应用Ito引理，我们得到了dHλ，λit=-σ（e-t型- Xt）（e-t+Xt）Y1tY2t，t≥ 0，为负，概率为正。λiis的动力学由dλit=(/4)± (1 -2κ/)（下/下）+（下/下）dt±dMit=(/2)(1 - 2κ/)（λit- /2） +（λit- /2)dt±dMitwhere dMit= σ/（2Yit）p（e-t型- Xt）（e-t+Xt）dWt和κ>. λihas的二次漂移为两个正根，κ和/2，在0处为正，在0处为负. 自κ>, 这表明λimean向/2表示i=1，2。命题2.4的证明命题2.4是（4）和以下引理的直接结果。引理A.1设Y为非负F∞-可测量的随机变量。任何时候t≤ tM<∞,E{τ>tM}Y燃气轮机={τ>t}StE【StMY | Ft】。请注意，tM<∞ 除非我们假设∞= 引理A.1源自（Bielecki和Rutkowski 2002，推论5.1.1）。为了方便读者，我们在这里提供了其证明的草图。

正如（Bielecki和Rutkowski 2002，Lemma5.1.2）所示，对于任何非负随机变量Z，我们可以得到{τ>t}ZHt公司∨ 英尺={τ>t}钢{τ>t}Z英尺.设置Z={τ>tM}Y我们现在可以导出{τ>tM}Y燃气轮机= E{τ>t}Y{τ>tM}燃气轮机={τ>t}钢{τ>tM}Y英尺={τ>t}钢E{τ>tM}F∞Y英尺={τ>t}StE【StMY | Ft】。命题2.5的证明随后的证明建立在以下引理的基础上，引理来自（Bielecki和Rutkowski2002，命题5.1.1）。引理A.2设Z为有界F-可预测过程。对于任何t≤ tM<∞,E{t<τ≤tM}Zτ燃气轮机={t<τ}StZ（t，tM]E[-祖德苏|英尺]。请注意，tM<∞ 除非我们假设∞= 我们现在可以继续证明命题2.5。或有现金流的价值由表达式cd（t，tM）=Ehe给出-r（τ-t） {t≤τ≤tM}通过应用引理A.2，我们得到cd（t，tM）={τ>t}StZtMtEh-e-r（s）-t） 决策支持系统Fti={τ>t}StZtMte-r（s）-t） 呃-a> （cYs+γXs）Ftids={τ>t}StZtMte-r（s）-t）- a>cγeA（s）-t）YtXt公司其中第二个等式来自以下事实：-rudMSuis是鞅。第三个等式来自（4）。推论证明2.6该或有债券的价值由CD给出*（t，tM）=Ehτe-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti={τ>t}StZtMtEh-s e公司-r（s）-t） 决策支持系统fti的结果如下，证明命题2.5。引理2.8的证明观察到，对于任何矩阵A和实r，我们都有ereA=ediag（r）+A，并且矩阵指数积分可以用以下闭式计算：zueasds=Zu（I+as+as+…）ds=Iu+Au+Au+…=A.-1（eAu- 一） 。通过变量u=s的变化- 我们获得了ztmsea*（s）-t） ds=ZtM-tueA公司*udu+tZtM-茶叶*udu，其中RHS上的第二项在引理2.5中给出。第一项可通过partsZtM的集成推导-tueA公司*udu=（tM- t） A-1.*eA公司*（tM）-t）- A.-1.*A.-1.*（eA）*（tM）-t）- 一） 。命题2.9的证明第2.4条和第2.5条分别对保护腿和试片部分Viprot（t，t，tM）和Vicoup（t，t，tM）进行了计算。

应计利息Viai（t，t，tM）由或有现金流和加权零回收息票债券的总和给出，因此其计算遵循命题2.5和2.6。或有现金流系列实际上等于违约时支付τCD的单个或有付款*（t，tM）=MXj=1Ehτe-r（τ-t） {tj-1<τ≤tj}Gti=Ehτe-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti。使用标识{tj-1<τ≤tj}={τ>tj-1}-{τ>tj}我们得到Viai（t，t，tM）的第二项由下式给出-MXj=1Ehe-r（τ-t） tj公司-1{tj-1<τ≤tj}Gti=MXj=1tj-1（CD（t，tj）- CD（t，tj-1） ）=tM-1CD（t，tM）- 经颅多普勒（t，t）-M-1Xj=1（tj- tj公司-1） CD（t，tj）。命题2.11的证明Nu的条件特征函数由φ（t，ξ）=Ehexp给出iξNuF∞∨ Gti=EhexpiξNXi=1{τi≤u}F∞∨ Gti=EhNYi=1{τi>u}+eiξ（1-{τi>u}）F∞∨ Gti=NYi=1{τi>t}Sit（Siu+eiξ（Sit- Siu））+{τi≤t} eiξ=NYi=1eiξ+{τi>t}（1- eiξ）SiuSit其中，第三行中的第一个等式来自（Bielecki和Rutkowski，2002年，引理9.1.3），它给出了表达式{τ>t，…，τN>t}| Ft∨ 燃气轮机=NYi=1{τi>t}位。

（53）表达式（18）随后直接应用离散傅立叶变换，详情请参见（Ackererand Vatter 2017，第3节）。命题证明2.12通过对所有可能的违约事件SQ（α）=NYi=1施加条件，CDIS期权的支付时间始终可以分解为2Nterms（{τi>t}）αi+（{τi≤t} ）1-αi（54）对于α∈ {0，1}N，并使用约定0=0，以便payoff函数重写NXi=1{τi>t}Sitψicds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ (1 -δ） {τi≤t}+=Xα∈{0,1}NNXi=1αiSitψicds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ (1 -δ)(1 - αi）+q（α）。我们可以应用（Bielecki和Rutkowski 2002，引理9.1.3）来计算概率（53），因此通过将（54）写成指示函数的线性组合，我们可以得到q（α，t，t）=E[q（α）| Ft∨ Gt]=NYi=1（Sit）αi（Sit- Sit）1-αiSit{τi>t}+（{τi≤t} ）1-αi这就完成了证明。定理3.1的证明我们定义了有界连续映射（Y，X）：R1+m→ R1+mbyY（y，x）=y+∧ 1，Xi（y，x）=x+i∧ y型+∧ 1，i=1，m、 这样，E上的（Y，X）（Y，X）=（Y，X）。类似地，将色散矩阵∑（Y，X）扩展到R1+m上的丰富连续映射∑（（Y，X）（Y，X））。然后，随机微分方程（21）扩展到R1+mbydYt=-γ> X（Yt，Xt）dtdXt=（bY（Yt）+βX（Yt，Xt））dt+∑（（Y，X）（Yt，Xt））dWt。（55）由于（55）的漂移和色散在R1+m上是有界和连续的，对于（Y，X）的任何初始定律（Y，X）存在（55）的弱解（Y，X），并以E为支撑，请参见（Karatzas和Shreve 1991，定理V.4.22）。现在我们证明了（55）的任何弱解（Y，X）（Y，X）∈ E保持在E（Yt，Xt）∈ E代表所有t≥ 为此，对于i=1，m、 注意，∑ii（（Y，X）（Y，X））=0表示所有（Y，X）和xi≤ 0或xi≥ y、 （57）条件（24）意味着（由（y）+βX（y，X））i≥ 0表示所有（y，x）和xi≤ 0

（58）对于δ， > 0我们定义τδ，= inf{t≥ 0 | Xit≤ - 和- < 对于所有s，Xis<0∈ [t- δ、 t）}。然后在{τδ上，< ∞} 根据（57）和（58），0>Xiτδ，- Xiτδ，-δ=Zτδ，τδ,-δ（bY（Yu）+βX（Yu，Xu））idu≥ 0，这很荒谬。因此τδ，= ∞ a、 因此退出≥ 0表示所有t≥ 同样，条件（25）暗示-γ> X（y，X）-（bY（y）+βX（y，X））i≥ 0表示所有（y，x）和xi≥ y、 （59）使用与Yt相同的参数- Xit代替Xit，（59）代替（58），我们看到Yt- 退出≥ 0表示所有t≥ 0。请注意，0≤ γ> X（y，X）≤ γ> 1 y+表示所有（y，x）和thus1≥ 年初至今≥ e-γ> 所有t的1t>0≥ 这证明了（56），从而证明了（21）的E值解的存在性。（21）的E值解（Y，X）的唯一性来自（Filipovi\'c和Larsson2016，定理4.2）和E相对紧的事实。多项式p（y，x）=xind y的边界未达到条件（26）–（27）来自（Filipovi\'c and Larsson 2016，定理5.7（i）和（ii））- xi，对于i=1，m、 引理4.1矩阵A的证明*在LHCC模型中，由A给出*=-r-γ0 00 -（κ+r）κθ0···。。。。。。θm0-（κm+r）因此它的行列式等于| A*| = -r-（κ+r）κθ0···。。。。。。0 0 -（κm+r）+ (-1） m级-γ0 0-（κ+r）κθ0···。。。。。。0-（κm+r）κmθm.r>0时，右侧的第一个元素为非零，符号等于(-1） 1+和第二个元素的符号也等于(-1） 这是因为三角形矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积。因此*是非零，这就结束了证明。公式（39）的证明，i=1，对于所有t，我们有d（1/Yt）=γZ1t/Yt≥ 因此Z的动力学由dzit=（κiθiZ（i+1）t给出- κiZit+γZ1tZit）dt+σipZit（1- Zit）dWit，对于i=1。

，m-1，bydZmt=（κmθm- κmZmt+γZ1tZmt）dt+σmpZmt（1- Zmt）dWmtFixing Z1t=(R)u1t并求解Zmt的值，该值抵消了其漂移，我们得到了umt=-κmθm′u1tγ- κm，并递归求解i=m- 1.1给出（39）。引理4.4We的证明Z（t，tM，k）的n次方重写sz（t，tM，k）n=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司n=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司Xα>1=n-1cπ（α）hπ（α）（Yt，Xt）=1+mXi=1Xα>1=n-1cπ（α）ψcds（t，t，tM，k）ihπ（α+ei）（Yt，Xt）这是一个包含所有且仅包含n次多项式的多项式，引理通过改变项来遵循。命题5.3的证明零息票零回收债券的时间t价格现在由bz（t，tM）=EhD*****t{τ>tM}给出Gti={τ>t}DtStEhDtMStMFti={τ>t}（a>rYt）（a>Yt）Eh（a>rYtM）（a>YtM）Fti={τ>t}a>ZYta> ZeA（tM-t）YtXt公司应用引理A.1。类似地，对于引理A.2的或有现金流，我们有-r（τ-t） {t≤τ≤tM}Gti=f（τ）{τ>t}StDtZtMtEh- f（s）DsdSsFti={τ>t}（a>rYt）（a>Yt）ZtMtf（s）Eh-（a>rYs）（cYs+γXs）Ftids={τ>t}a>ZYtZtMtf（s）a>DeA（s-t） ds公司YtXt公司f（s）等于s或1，这就完成了证明。命题5.5的证明L'evy Kintchine定理表明ψ（u）=bZu+Z∞(1 - e-uξ）νZdξ。

（60）我们通过应用Sylvester公式eUDU得出结论-1=UeDU-1并使用（51）中的（60），如下所示“A=bZUDU”-1+Z∞（eUDU-1ξ- Id）νZdξ=bZUDU-1+Z∞（UeDξU-1.- U U-1） νZdξ=-UbZ公司(-D） +Z∞（Id）-e-(-D） ξ）νZdξU-1= -Uψ（D）U-公式（52）的证明公式（51）中的矩阵“A”重写了“A=Z”∞（吃- Id）γZt-1e级-λZtdt=γZ∞Xk=1Akk！Z∞tk公司-1e级-λZtdt=γZ∞Xk=1Akk！Γ（k）λkZ=γZ∞Xk=1Aλ-1Zkk=-γZlog（Id-Aλ-1Z）其中第二个等式来自矩阵指数的定义，第三个等式来自伽马函数及其整数值的定义，最后一个等式来自矩阵对数的定义。B风险规格的市场价格我们讨论了风险规格的市场价格（MPR），使得X在实际世界衡量标准P下也存在线性漂移~ Q、 这可能进一步促进LHC模型的经验估计。设∧（Yt，Xt）表示时间t MPR，使得Xtunder P的漂移变为uPt=bYt+βXt+∑（Yt，Xt）∧（Yt，Xt）。对于某些向量bP，它在（Yt，Xt）中呈uPt=bPYt+βPXt形式的线性∈ RMAD矩阵βP∈ Rm×m，当且仅当∧i（y，x）=（（bP- b） s+（βP- β） x）iσipxi（y- xi），i=1，m、 （61）为了使∧（Yt，Xt）得到很好的定义，并引起等效的测量值变化，即氡浓度-尼古丁密度过程expZt∧（Yu，Xu）dWu-Ztk∧（Yu，Xu）kdu（62）是一个一致可积的Q-鞅，我们需要（Y，X）不能达到E的所有部分的边界。下面的定理对此进行了说明，该定理源自（Cheridito，Filipovi\'c和Yor2005）。定理B.1（61）中的MPR∧（Yt，Xt）得到了很好的定义，并导出了一个等价的度量~ 具有氡-尼科德姆密度过程（62）的Q，如果对于所有i=1，m、 十九∈ （0，Y）和（26）–（27）对于Q漂移参数β，b和P漂移参数βP，b保持不变，以代替β，b。如果对于某些i=1。

，m，βPij=βij对于所有j 6=i和（i）bPi=bi，使得∧i（y，x）=（βPii- βii）√xiσi√y- xi，如果Xi0∈ [0，Y）而不是Xi0∈ （0，Y）和（24）代替（26）适用于βij，bi，因此适用于βPij，bPi。（二）bPi- bi=βPii- βii，使得∧i（y，x）=（βPii- βii）√y- xiσi√xi，如果Xi0∈ （0，Y）而不是Xi0∈ （0，Y）和（25）代替（27）适用于βij，bi，因此适用于βPij，bPi。通常采用线性漂移保持测度变化的假设是为了节省开支和简化经验估计过程。例如，在（Duffee 2002年），（Duarte 2004年）和（Cheridito，Filipovi\'c，和Kimmel 2007年）等中，从理论和实证上研究了维持风险因素本质的MPR规范。C切比雪夫插值本附录描述了如何在角[a，b]×[C，d]上执行任意函数的切比雪夫插值 R、 第一类切比雪夫多项式取[-1，1]，但可以移动和缩放，以形成[a，b]的基础。在这种情况下，它们由以下递归公式给出，ta，b（x）=1Ta，b（x）=x- uσTa，bn+1（x）=2（x- u）σTa，bn（x）- Ta，bn-1（x），u=（a+b）/2，σ=（b）-a） /2。然后，区间[a，b]的切比雪夫节点由xa给出，bj=u+σcos（zj），zj=（1/2+j）πN+1，对于j=0，N、 N阶多项式插值ispN（s，x）=NXn=0NXm=0cn，mTa，bn（s）Tc，dm（x），其中系数由cn给出，m=2{n6=0}+{m6=0}NXi=0NXj=0fxa、bi、xc、djcos（n zi）cos（m zj）（n+1）。通过应用克伦肖方法或离散余弦变换，可以有效地计算系数。这种直接的插值有利于防止龙格现象。