合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

2022-6-13 22:28:28

合格资产最优组合的存在性、唯一性和稳定性苏黎世ETH Michel BaesDepartment of Mathematics，Switzerlandmbaes@math.ethz.chPablo科赫·梅迪纳，科西莫·穆纳里安金融保险中心和瑞士苏黎世大学金融研究所，瑞士巴勃罗。koch@bf.uzh.ch，科西莫。munari@bf.uzh.chJanuary2018年3月摘要在资本充足性框架中，风险度量用于确定金融机构必须筹集和投资预先指定的合格资产组合的最低资本量，以通过给定的资本充足性测试。从资本效率的角度来看，重要的是通过筹集最少的资本来确定合格资产组合的集合，以通过测试。我们研究这种最优投资组合的存在性和唯一性，以及它们对潜在资本头寸变化的敏感性。这自然会导致研究集值dmap的连续性属性，该集值dmap与每个资本头寸以及相应的最优投资组合集相关联。我们特别关注下半连续性，这是从财务角度来看的关键连续性。如果测试基于多面体风险度量，则该“稳定性”属性总是令人满意的，但一旦我们脱离多面体，即使参考风险度量是凸的，它通常也会失败。然而，如果一个人愿意专注于接近最优的投资组合，通常可以实现较低的半连续性。

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2022-6-13 22:28:31

除了资本充足外，我们的结果对定价、套期保值和资本配置问题有着各种自然的应用。关键词：资本充足率、风险度量、最优合格资产、下半连续性。数学学科分类：91B30，91B321简介本论文研究的是一类集值映射，它在数学金融的几个领域中发挥着自然而重要的作用。出于不确定性，我们介绍了我们的数学设置，重点是一个特定的应用领域，即资本充足率。与其他财务问题的联系如下图所示。监管机构要求金融机构持有充足的资本金，以保护负债持有人在发生严重未预期损失时免受违约风险的影响。机构发行的资本基础是否由监管资本充足率测试确定，监管资本充足率测试通常基于价值风险（巴塞尔协议2-3，偿付能力2）或预期缺口（Ba sel 4，瑞士偿付能力测试）。与此测试相关的是一个风险度量或资本要求规则，该规则确定了一个机构为了通过监管机构y测试而必须筹集的最低资本额。然而，这一最低数额将取决于一旦筹集资金后如何进行投资。因此，只有在规定了一组可接受的投资后，风险度量作为确定资本要求的规则才有意义。根据Artzner等人（1999）在总结论文中描述的原始框架，大部分关于风险度量的文献都是明确或隐含的，该募集资金以现金形式持有，或投资于单一预先指定的交易资产，使用Artzner等人（2009）的语言，我们称之为合格资产。

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2022-6-13 22:28:34

值得强调的是，只有在该金额实际投资于合格资产的情况下，筹集由风险度量确定的资本金额才能确保机构的可接受性。正如Artzner等人（2009年）和最近Farkas等人（2015年）所指出的那样，将投资选择限制在单一合格资产上，而不是允许投资于多个合格资产集的投资组合是非常有效的，因为这通常会导致更高的资本要求。请注意，较低的资本要求并不意味着该机构的安全性较低。事实上，该机构继续满足相同的资本充足率标准。只是，如果允许更多的投资选择，就需要更少的资本来提高每个可接受性。从数学角度来看，资本充足率测试由资本头寸的接受集表示。在建模过程中，首先指定资本头寸空间X（通常为随机变量空间）。X的每个元素表示公司在预先指定的未来日期（时间1）的资本（资产减去负债）。从监管角度来看，可接受的资本头寸集合由合适的集合a表示 X，称为验收集。因此，资本状况为X的公司∈ 如果且仅当X属于A，则认为X资本充足。如果金融机构的资本状况不可接受，则管理层需要采取补救措施以达到可接受程度。本文考虑的补救措施是筹集新资本（时间为0），并将其投资于N个无摩擦和流动交易资产的投资组合S=（S，S），SN=（SN，SN），称为合格资产。对于任何i∈ {1, . . .

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2022-6-13 22:28:37

，N}数量Si∈ R表示时间0和Si时第i项资产的一个单位的价格∈ X表示同一资产的一个单位在时间1的支付。我们用M表示X的向量子空间，由上述payoffs跨越，即M=span（s，…，SN）。空间M被称为合格支付空间。M中的每个元素都可以被视为合格资产可计量组合的支付。如果一个价格定律成立，那么每个产生相同回报的投资组合都有相同的初始价格，那么可以定义一个定价函数π：M→ R通过设置π（Z）=NXi=1λiSi，对于任何λ∈ Rn使得Z=NXi=1λiSi。为通过规定的可接受性测试，需要筹集并投资于合格支付组合的最低资本金额由风险度量ρ：X表示→定义为ρ（X）=inf{π（Z）；Z∈ M、 X+Z∈ A} 。根据定义，数量ρ（X）可以作为资本要求进行自然的操作解释。Artzner等人（1999年）提出的风险措施构成了上述资本要求功能的原型，对应于最简单的管理行动形式，即筹集资本并将其投资于单一合格资产。据我们所知，多资产框架的扩展首先在F¨ollmer和Schied（2002）中讨论，随后在Fritelli和Scandolo（2006）Artzner etal中讨论。（20 09）和Farkas等人（2015）的更全面研究。最优合格报酬本文研究集值映射E:X=> 定义byE（X）={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）=ρ（X）}。集合E（X）包括所有合格的支付，以确保以最低成本接受头寸X。地图E将被称为最优支付地图，E（X）中的每个支付都将被称为X的最优支付。

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2022-6-13 22:28:41

在本报告中，我们还从运营角度解决了以下关键的理论问题：o是否存在最佳回报。是否列出了合格资产的最佳回报？这相当于评估E是否不是空值最优薪酬的唯一性。如果存在最优薪酬，它们是唯一的还是管理层有多种选择？这相当于评估E是否将唯一薪酬与每个职位相关联最优收益的稳定性。如果存在多个最优收益，选择特定投资组合的稳健性如何？更具体地说，我们感兴趣的是：（1）评估在基础位置发生轻微扰动后，最优配置是否仍接近最优；（2）确保最优配置的精度随着基础位置的近似程度而增加。这相当于研究E的适当连续性性质：（1）对应于下半连续性，（2）对应于上半连续性接近最优支付的稳定性。如果最优回报的选择不稳健，我们能否通过放宽最优条件，并以略高于最优的成本考察合格资产组合的可接受性来增强稳健？这一问题具有实际意义，因为在应用中，人们会接受对偏离光学性的一定公差。如果没有回答上述问题，任何资本要求分析都是不完整的。从理论角度来看，如果不回答这些问题，就等于是在研究一个优化问题，只关注目标函数的最优值，而不关注解集的结构。

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nandehutu2022

2022-6-13 22:28:44

从实践的角度来看，找到这些问题的答案至关重要，因为要使资本制度有效运作，必须确保管理者知道他们可以采取哪些行动来满足资本要求，并且这些行动对于错误估计是稳健的。定价、套期保值和资本配置的应用上述问题与数学金融的其他各种领域相关。在不完全市场定价的背景下，其中元素X∈ X被解释为不可复制金融合同的支付，数量ρ(-十） =inf{π（Z）；Z∈ M、 Z- 十、∈ A} 可以自然地视为价格（从卖家的角度）。在这种情况下，acceptanceset A的元素表示可接受的复制错误。如果A是X的正元素集（providedX是部分订购的），那么我们可以获得标准的超级复制价格。如果A还包含非积极因素，因此impe-rfect superreplication可能是可接受的，那么我们将在可接受风险下的好交易定价框架内；参见Cochrane和Saa Re quejo（2000）、Carr等人（2001）和Jaschke andK¨uchler（2001）。这种定价方法最近在Madan和Cherny（2010）开发的二次曲线融资框架中再次受到关注。我们还参考了Arai和Fukasawa（2014）。本文研究的风险度量自然会在一系列与套期保值相关的风险最小化问题中产生一个lso。要看到这一点，让X是一个包含常数的随机变量空间，并假设X∈ X表示给定的未来风险敞口。

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2022-6-13 22:28:47

然后，可以将ρ重写为ρ（X）=inf{ρA（X- Z+π（Z））；Z∈ M} ，其中ρA:X→R是由ρA（X）=inf{m定义的简单（基于现金的）单一资产风险度量∈ RX+m∈ A} 。这表明ρ（X）可以解释为风险指数k的最低水平，由ρA衡量，在该水平下，我们可以通过建立合格资产组合来确保风险敞口X。还要注意ρ（X）=inf{ρA（X- Z）- π（Z）；Z∈ M} ，表明ρ可以表示为ρa和-π（通过设置π（X）=-∞ 无论何时X/∈ M）。关于通过风险最小化进行套期保值的详细讨论以及在此背景下的错误卷积的作用，我们参考了B arrieu和El Karoui（2009年）及其参考文献。例如，Jouini等人（2008年）和Filipovi\'c和Svindland（2008年）研究了风险度量s的错误卷积。我们还参考了R¨uschendorf（2013）中的全面讨论。最后，我们强调ρ形式的泛函最近已在资本分配和系统风险的背景下进行了研究。在这种情况下，人们将X的元素解释为d维区域向量，其中组件代表d金融实体（不同的公司、单个公司的子公司、不同的办公桌）的资本头寸。类似地，M的元素被解释为d维随机向量，由合格的支付组成（原则上可以考虑合格资产的不同空间，包括不同的组成部分），π由各个定价函数的总和给出。在这些规范下，数量ρ（X）=inf（dXi=1πi（Zi）；（Z，…，Zd）∈ M、（X+Z，…，Xd+Zd）∈ A）代表必须在系统的各个实体之间以合法资产组合的形式筹集和分配的最小资本量，以确保可接受性。

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2022-6-13 22:28:50

Biagini等人（2015年）研究的系统性风险度量具有上述形式。Feinstein et al.（2017）在系统风险框架中引入的有效现金不变分配规则也与上述功能相关。Molchanov和Cascos（2016年）使用了多种多变量位置的接受集。Hamelet等人（2013年）处理了与基于预期短缺的独立可接受性相对应的特殊情况。Armenti等人（2017年）对多变量s-hortfall风险进行了深入研究。我们的贡献虽然风险度量本身的属性已经受到了详细的审查，但上述四个问题在风险度量文献中还没有得到系统的解决。在使用单变量头寸风险度量进行套期保值和资本配置的背景下，建立了各种结果，即最优支付的存在性（精确性）和唯一性；见Barrieu和El Karoui（20 09）及其参考文献。本文全面讨论了一般位置空间的存在性和唯一性，从而也包括了多元情况。然而，据我们所知，这篇论文最重要也是最新颖的贡献在于对稳定性这一关键问题的研究。这个问题构成了一个典型的非优化问题，更具体地说是在参数优化子领域；参见e.g.B ank et al.（1983）及其参考文献。

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2022-6-13 22:28:53

在这里，可以通过关注约束集映射f:X来描述问题=> 定义为f（X）={Z∈ MX+Z∈ A} 。风险度量ρ和最优支付图E可以用图F表示为ρ（X）=inf{π（Z）；Z∈ F（X）}和E（X）={Z∈ F（X）；π（Z）=ρ（X）}。因此，风险度量ρ对应于极值函数和最优支付映射E到最优集映射。最优集映射连续性性质的研究是参数优化中经常出现的一个主题，它被称为定性稳定性或摄动分析。众所周知，在稳定性或连续性的各种概念中，下半连续性的性质是最具挑战性的。不幸的是，事实证明（少数）关于下半连续性的标准结果都不能应用于我们的设置；备注5.8。然而，从财务角度来看，关键属性恰恰是下半连续性，因为它确保了基础头寸的小扰动不会导致最优投资组合结构的显著变化。为了解决稳定性问题，我们不得不开发各种新的结果，利用我们的最优集映射的特殊结构。本文的结构如下。在第2节中，我们将介绍底层模型空间并列出一些相关示例。在第3节中，我们讨论了最优支付映射的基本性质。第4节讨论了最优支付的存在性和唯一性问题。尤其是，位置4.2和推论4.4强调了存在与不存在（可扩展）好交易之间的联系。第5节专门讨论稳定性问题。在重点讨论了外半连续和上半连续之后，我们对下半连续的关键性质进行了全面的讨论。

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2022-6-13 22:28:56

如许多示例所示，即使存在公共接受集，下半连续性也可能失败。然而，根据定理5.11，如果选择的接受集是多面体，我们总是具有下半连续性。在本节的最后一部分中，我们放松了最优性条件，并将重点放在接近最优的支付上。作为orem 5.21的结论，我们能够为接近最优的支付映射建立几个低于半连续的有效条件。2基本模型空间在本节中，我们描述了我们的头寸空间模型和合格支付空间，并介绍了一些符号和术语。为了覆盖文献中提到的所有单变量和多变量位置的特殊空间，我们在一个抽象空间中工作。这也有助于突出问题的基本数学结构。头寸空间我们考虑一个单期模型，其中，期末的财务头寸由R上的Hausdorff拓扑向量空间的元素表示，我们用X表示。我们假设X是第一个可数且局部凸的。这意味着X的每个元素都允许一个由凸集组成的可数邻域基。特别地，X可以是任何赋范空间。X的拓扑对偶用X′表示。集合a的内部、闭包和边界 X分别用int A、cl A和bd A表示。我们说当X∈ A表示λX∈ 每λ为A∈ [0, 1]. 如果λX+（1），则称集合A是凸的- λ） Y型∈ A表示任意X，Y∈ A和λ∈ [0，1]和一个锥，如果λX∈ 任何X∈ A和λ∈ [0, ∞). 此外，我们还说，t A是严格凸的w hene verλX+（1- λ） Y型∈ 所有λ的int A∈ （0，1）和任何不同的X，Y∈ A、显然，每个包含零的凸集都是星形的。类似地，每个（不一定是凸的）圆锥体都是星形的。

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2022-6-13 22:28:59

包含A的最小凸集称为A的凸集，用co A表示。包含A的最小圆锥称为A的圆锥壳，用圆锥A表示。A的圆锥壳，用OFF A表示，是formPmi=1αiXifor X，…，的所有线性组合的集合，Xm公司∈ A和α，αm∈ R总计为1。如果A可以表示为半空间的有限交点，即A=m\\i=1{X，则称A为多面体∈ 十、^1i（X）≥ αi}对于合适的泛函Д，^1m∈ X′和sca larsα，αm∈ R、在这种情况下，我们说A由Д表示，^1m；见下文als o（1）。显然，任何多面体集都是封闭的和凸的。A的渐近锥是通过设置A定义的闭合锥∞:=\\ε> 0cl{λX；λ∈ [0，ε]，X∈ A} 。等效地，A∞由序列的所有极限（λnXn）组成，其中（λn） [0, ∞) 带λn→ 0和（Xn） A、如果A是闭合的，且为凸形或星形，则A的渐近锥与由EC A定义的衰退锥（否则更小）重合：={X∈ 十、Y+λX∈ A.Y∈ A.λ ∈ (0, ∞)}.A的线性空间是由lin A定义的向量空间：=A∞∩ (-A.∞).我们假设X是由一个反射的、反对称的传递关系部分排序的≥. 对应的正锥由X+：={X给出∈ 十、十、≥ 0}.在这种情况下，双空间X′也可以通过设置Д进行部分排序≥ ψ当且仅当ψ（X）≥ ψ（X）表示所有X∈ X+。相关的正锥体为x′+：={Д∈ X′；^1（X）≥ 0, 十、∈ X+}。元素X∈ 对于所有非零的Д，当Д（X）>0时，X+被称为严格正∈ X′+。严格正元素集用X++表示。

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kedemingshi

2022-6-13 22:29:02

类似地，功能Д∈ 对于所有非零X，当ν（X）>0时，X′＋称为严格正∈ X+。集合a的（下）支持函数 X是σA:X′的映射→ R∪ {-∞} 定义人σA（Д）：=infX∈A^1（X）。σA的有效域很容易被视为一个凸锥，称为A的势垒锥，由bar A表示。我们说X∈ A是A的支撑点，如果存在功能∈ X′满足Д（X）=σA（Д）。A的每个支撑点自动属于bd A。虽然边界点不必是支撑点，但每当A是多面体或dim（X）<∞.我们在下面的结果中收集了支持函数和势垒锥的各种有用性质；参见Aliprantis和Border（2006年），对于第（iii）点，Farkas等人（2014年）。引理特别告诉我们，一个向量空间的势垒，分别是一个圆锥体，与它的零化子，分别是它的（单侧）极性重合。引理2.1。以下陈述适用于任何子集A、B X：（i）σA+B（ψ）=每个ψ的σA（ψ）+σB（ψ）∈ X′。（ii）巴（A+B）=巴A∩ 钢筋B.（iii）（如果A+X）+ A、然后bar A X′+。（iv）如果A是向量空间，则bar A={Д∈ X′；Д（X）=0，十、∈ A} 。（v）如果A是圆锥体，则bar A={Д∈ X′；^1（X）≥ 0, 十、∈ A} 。（vi）如果A是闭合的和凸的，则A=\\Д∈条形图A{X∈ 十、^1（X）≥ σA（Д）}。（vii）如果A是多面体，并由Д、…、表示，^1m∈ X′，然后Д，^1m∈ 条形图A和A=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。（1）合格支付空间假定合格支付属于向量子空间M X，1<尺寸（M）<∞. 我们装备了从X继承的相对拓扑。由于M具有有限维，因此相对拓扑始终是可规范的。在下文中，我们用k·k表示M上的固定范数，并使用符号d（S，S）：=inf{kW- Zk；W∈ S、 Z∈ S} 对于任何子集S，S M

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kedemingshi

2022-6-13 22:29:05

此外，我们写了br（Z）：={W∈ M千瓦- Zk公司≤ r} 对于任何Z∈ M和r∈ (0, ∞).可用支付的价格用线性函数π：M表示→ R、注意，作为线性，π是自动连续的。π的核用ker（π）表示：={Z∈ Mπ（Z）=0}。我们自始至终都假设M包含一个正的支付和严格的正价格（通过线性，它总是可以归一化为1）。假设1。我们假设存在U∈ M∩ X+使得π（U）=1。如果M包含非零正收益，且市场没有套利机会，因此π是严格正的，则上述假设自动满足。验收集验收集由子集a表示我们规定了以下假设。假设2。我们假设A严格包含在X和s中：（1）A是闭合的，并且包含零。（2） A+X+ A、上述性质被广泛认为是验收集应满足的最小性质。属性（1）在理论和实践中均符合所有相关验收集的要求。属性（2）被称为单调性，等同于规定支配可接受位置的任何位置也应被视为可接受。注意，我们不要求先验是凸的。原因是，尽管其在多元化效益方面的解释很有吸引力，但实践中使用的一些相关接受集（如基于风险价值的接受集）并不能满足凸性。然而，我们需要A的凸性来建立我们的一些结果。在凸接受集类中，多面体集和凸锥（有时称为相干接受集）特别容易处理。例2.2（单变量可接受性）。假设X是随机变量的标准空间。

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2022-6-13 22:29:08

对于隐式，我们取X=L∞(Ohm, F、 P）并且我们考虑了X上的c-正则几乎确定序。（1）头寸X的风险值（VaR）∈ α级X∈ （0，1）由varα（X）定义：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α}.因此，直到一个符号，VaRα（X）与X的上α分位数重合。相应的接受集是由a={X给出的闭合锥∈ 十、VaRα（X）≤ 0}={X∈ 十、P（X<0）≤ α}.在这种情况下，可接受性归结为检查某个头寸的违约或损失概率是否不超过阈值α。请注意，A通常不是凸的。基于VaR的承兑交易历来是巴塞尔协议（Basel Agreements）和偿付能力II（Solvency II）的核心，前者是银行业的参考监管制度，后者是欧盟保险公司的监管制度。（2）预计的ed差额为X∈ α级X∈ （0，1）定义为α（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。相应的访问集是由a={X给出的闭凸锥∈ 十、ESα（X）≤ 0}.众所周知，无论何时，A都是多面体Ohm 是有限的。要在ES下被接受，金融机构需要在α分位数上限以外的尾部具有平均偿付能力。目前，ES是瑞士保险公司监管框架SWIS偿付能力测试的基础，并将成为即将出台的巴塞尔协议中市场风险的风险度量标准。（3）基于测试场景E的非空se的验收集∈ F是闭凸圆锥＝{X∈ 十、XE公司≥ 0}.在这里，我们用事件E的指标函数表示。在这种情况下，可接受性降低到在每个选定的测试场景中要求偿付能力。注意，在E=Ohm. 还请注意，A是多面体Ohm 是有限的。

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2022-6-13 22:29:11

许多中央交易所和清算对手用于设定保证金要求的方法，尤其是芝加哥商品交易所采用的标准投资组合风险分析，基于测试sce narios。（4）基于概率测度族Q的可接受集(Ohm, F）对于P是绝对连续的，是由a=\\Q定义的闭凸集∈Q{X∈ 十、等式[X]≥ αQ}适用于合适的αQ∈ (-∞, 0]. Q的元素通常被称为广义s cenarios。请注意，当Q为有限和圆锥时，如果所有Q的αQ=0，则为一个等多面体∈ Q、在关于好交易定价或具有可接受风险的定价的文献中，经常会遇到这种类型的接受集。（5）基于增凹效用函数u:R的可接受集→ R由a={X给出∈ 十、E【u（X）】≥ α} 对于合适的α∈ (-∞, u（0）]。注意，当u在u（λx+（1）的意义上是严格凹的时，A是严格凸的- λ） y）>λu（x）+（1- λ） u（y）表示所有缺陷x，y∈ R和λ∈ (0, 1). 基于预期效用的接受集在有关良好交易定价或具有可接受风险的定价的文献中很常见。例2.3（多元可接受性）。假设X是随机向量的标准空间。对于隐式，我们取X=L∞d(Ohm, F、 P）对于某些d∈ N，我们考虑X上的正则分量几乎必然序。（1）每当A的formA=C×······································∞(Ohm, F、 P）。根据A的说法，当每个实体根据相应的单一接受集在单独的基础上充分资本化时，该系统就被充分资本化了。（2）基于聚合函数∧：Rd的接受集→ R定义为a={X∈ 十、∧（X）∈ C} 其中C是L中的给定验收集∞(Ohm, F、 P）。

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nandehutu2022

2022-6-13 22:29:14

函数∧在一个图中总结了系统及其内部相关性，该图根据单变量接受集进行测试。在好的交易定价框架中，通常假设市场不接受好的交易，即nopayo ffz∈ A.∩ M使得π（Z）≤ 这相当于要求每个可接受的合格支付必须有一个严格的正价格。根据假设1-2，没有好的交易相当于∩ ker（π）={0}。有时，人们有兴趣排除那些特殊的好交易Z∈ M使得λZ∈ A表示所有λ>0，对应于可以零成本甚至负成本购买的支付，并且无论其大小都是可接受的。根据Pennanen（2011）中引入的术语，我们将这种支付称为可扩展的好交易。根据假设1-2，缺乏可扩展的良好交易相当于∞∩ ker（π）={0}。上述条件对于确保最优支付的存在性和稳定性非常重要。风险度量与接受集A、合格支付空间M和Pricingfunctionπ相关的风险度量是映射ρ：X→通过设置ρ（X）：=inf{π（Z）；Z定义∈ M、 X+Z∈ A} 。对于我们研究合格资产最优投资组合的存在性和稳定性而言，至关重要的是假设ρ仅取有限值且是连续的；详见备注5.7。假设3。我们假设ρ是整值且连续的。Fa rkas等人（2015）提供了各种完整性和连续性的有效条件，我们在此记录这些条件以便于参考。特别要注意的是，ρ不能被精确估价（事实上，我们会得到ρ≡ -∞) unlessA+ker（π）6=X。Farkas等人将这种情况称为缺乏可接受性套利。

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2022-6-13 22:29:17

（2015），并表示不可能以零成本让每个职位都可以接受。提案2.4（[18，提案1、2、3]）。假设A+ker（π）6=X。然后，如果以下任何条件成立，ρ为整值且连续：（i）int X+∩ M 6=.（ii）A是凸的，X是凸的++∩ M 6=.（iii）A是凸锥，int A∩ M 6=.备注2.5。上述条件要求合格支付空间包含“充分无风险”的支付；详见Farkas等人（2015）。注意，条件（i）要求正coneX+具有非空内部。如果dim（X）<∞ 但除有界随机变量空间外，通常在有限维空间中分解。3最优支付图与风险度量ρ相关的最优支付图是集值图E:X=> 定义byE（X）：={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）=ρ（X）}。E（X）中的每个合格支付被称为位置X的最佳支付。注意，如上所述，可能存在位置X，使得E（X）为空（即使ρ（X）为有限）。下一个命题列出了本文中使用的最优支付图的一些有用属性。为此，我们首先需要回顾风险度量ρ的一些基本属性。引理3.1（[18，引理2，3]）。对于任意X，Y∈ X风险度量ρ满足：（i）X≥ Y表示ρ（X）≤ ρ（Y）。（ii）ρ（X+Z）=ρ（X）- π（Z）对于每个Z∈ M、（iii）ρ（X）=inf{M∈ RX+亩∈ A+ker（π）}。（四）{X∈ 十、ρ（X）<0}=int（A+ker（π））。（v） {X∈ 十、ρ（X）≤ 0}=cl（A+ker（π））。（vi）{X∈ 十、ρ（X）=0}=bd（A+ker（π））。提案3.2。

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2022-6-13 22:29:21

对于每X∈ 下列国家持有：（i）E（X）={Z∈ MX+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π））}。（ii）E（X+Z）=E（X）- Z代表每个Z∈ M、（iii）E（K）对于每个紧集K是闭合的十、（iv）当A是凸的时，E（X）是凸的。（v）当A是多面体时，E（X）是多面体（M）。（vi）E（X）∞ A.∞∩ ker（π）。（vii）E（X）∞= A.∞∩ ker（π），如果A为星形且E（X）6=.证据（i）因为A是闭合的，X+Z∈ 对于所有X，bd（A+ker（π））等价于ρ（X）=π（Z）∈ X和Z∈ M通过引理3.1，一旦我们证明了E（X），断言就成立了 {Z∈ MX+Z∈ bd A}。（2）为此，取任意Z∈ E（X），注意，根据定义，我们有X+Z∈ A和ρ（X）=π（Z）。应为X+Z∈ 在等待中，我们将找到一个合适的ε>0，以便X+Z- εU∈ A、然而，这将意味着ρ（X）≤ π（Z）- επ（U）<ρ（X）。因此，我们必须有X+Z∈ 这就是（2）的证明。（ii）对于任何Z∈ M根据命题3.2，E（X+Z）=bd A∩ bd（A+ker（π））- （X+Z）=（bd A∩ bd（A+ker（π））- X）- Z=E（X）- Z、（iii）评估K X是紧的，考虑序列（Zn） E（K）收敛到某个Z∈ M（r ecallthat M is clos e d）。对于任意n∈ N我们发现Xn∈ K，使Zn∈ E（Xn）。由于K是紧的，一个适配子序列（Xnk）收敛到某个X∈ K、请注意，Xnk+Znk∈ bd A∩ bd（A+ker（π））适用于所有k∈ N根据命题3.2。还请注意，Znk→ Z、因此，我们推断X+Z∈ bd A∩bd（A+ker（π）），表示Z∈ E（X）aga根据命题3.2。这将产生Z∈ E（K），并得出证明结论。（iv）假设A是凸的，取任意X∈ 十、然后，对于每个Z，W∈ E（X）和对于每个λ∈ [0，1]我们显然有x+λZ+（1- λ） W=λ（X+Z）+（1- λ）（X+W）∈ Aas以及π（λZ+（1- λ） W）=λρ（X）+（1- λ） ρ（X）=ρ（X）。这表明E（X）是凸的。（v）假设A是多面体，以便我们找到合适的泛函Д。

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2022-6-13 22:29:24

，^1m∈ X′+满足a=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。在这种情况下，我们很容易看到{Z∈ MX+Z∈ A} =m\\i=1{Z∈ M^1i（Z）≥ σA（Дi）- ^1i（X）}。（3）此外，请注意{Z∈ Mπ（Z）=ρ（X）}={Z∈ Mπ（Z）≥ ρ（X）}∩ {Z∈ M-π（Z）≥ -ρ（X）}。（4）这表明E（X）可以表示为M中两个多面体集的交点，因此在M中也是多面体。（vi）取任意Z∈ E（X）∞所以λnZn→ Z表示合适的序列（λn） R+收敛到零，对于（Zn） E（X）。自λn（X+Zn）→ Z和X+锌∈ A代表每n∈ N、我们看到Z∈ A.∞. 此外，请注意，Z属于M（因为M是封闭的），满足π（Z）=limn→∞λnπ（Zn）=limn→∞λnρ（X）=0乘以π的连续性，因此Z∈ ker（π）。这证明了E（X）∞ A.∞∩ ker（π）。（vii）回想一下，如果A是星形的，我们有∞= 此外，回顾渐近锥总是包含相应的衰退锥。因此，根据第（v）点，一旦我们证明REC A∩ ker（π）记录E（X）。（5）为此，取任意Z∈ 记录A∩ ker（π）和W∈ E（X），它的存在是因为E（X）被假定为benonempty。我们声称，对于每个λ∈ (0, ∞), 我们有W+λZ∈ E（X）。为了说明这一点，请首先注意x+W+λZ∈ A、这是因为Z∈ rec A和X+W∈ A、此外，很明显π（W+λZ）=π（W）=ρ（X）。这表明W+λZ∈ E（X）对于每个λ∈ (0, ∞) 并建立（5）。备注3.3。我们表明，上述第（vii）点中的假设都是必要的。设X=Rand M=X，通过为所有X设置π（X）=（X+X）来定义定价函数π∈ 十、（i） A为星形，但E（X）为空。考虑验收se t A=A∪ A其中A={X∈ 十、十、∈ [0, ∞), 十、∈ [-1.∞)}andA={X∈ 十、十、∈ (-∞, 0），X≥ 前任- 十、- 2}.请注意，A是星形的。很容易验证我们的假设（A1）到（A3）在该设置中都得到了满足。

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2022-6-13 22:29:27

此外，我们有a+ker（π）={X∈ 十、X>-十、- 2}.由于bd A和bd（A+ker（π））具有空交集，因此从命题3.2可以看出，E（X）对于每个X都是空的∈ 十、但是∞∩ ker（π）包含很多元素。（ii）E（X）是非空的，但A不是星形的。设置αn=-n+n每n∈ N并考虑验收集a=X+∪[n∈N{X∈ 十、十、∈ [αn+1，αn），X∈ [n+1，∞)}.请注意，A不是星形，我们的假设（A1）到（A3）都符合此设置。此外，很容易验证a+ker（π）={X∈ 十、十、≥ -十} 。由于E（0）={0}，我们也有E（0）∞= {0}. 但是∞∩ ker（π）很容易被认为包含很多元素。4最优支付的存在性和唯一性本节致力于研究在哪些条件下我们可以确保最优合格支付的存在性和唯一性。最优支付的存在性从提供最优支付全局存在性的一般特征开始。命题4.1。以下语句等效：（a）E（X）6= 对于每X∈ 十、（b） E（X）6= 对于每X∈ bd（A+ker（π））。（c） A+ker（π）闭合。证据很明显，（a）意味着（b）。假设（b）成立，但A+ker（π）不闭合，因此我们找到X∈ bd（A+ker（π））\\（A+ker（π））。这意味着E（X）6= ρ（X）=0，引理3.1，但同时，不存在Z∈ k（π），X+Z∈ A、由于这是不可能的，我们得出结论（c）必须成立。最后，假设（c）保持并取任意的X∈ 十、注意，ρ（X+ρ（X）U）=0，thusLemma 3.1表示X+ρ（X）U∈ A+ker（π）。因此，我们发现∈ ker（π），使得X+ρ（X）U+Z∈ Aandπ（ρ（X）U+Z）=ρ（X），证明ρ（X）U+Z∈ E（X）。这表明（a）保持并总结了等价性的极限。前面的结果表明，最优支付的存在性等价于“增广”接受集A+ker（π）是闭合的。

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kedemingshi

2022-6-13 22:29:30

这组数据有一个清晰的财务解释，因为它包括在零成本下可以接受的所有位置，即a+ker（π）={X∈ 十、X+Z∈ A代表一些Z∈ ker（π）}。特别是，当A=X+时，上述集合很容易与可以零成本超级复制的位置集合重合，直到一个符号。确立A+K（π）的封闭性是数学金融中经常出现的主题。事实上，这是泛函分析中一个经典al问题的特例，该问题问两个闭集的和何时仍然是闭的。正如Dieudonn\'e（1966）首次指出的那样，渐近锥的概念在建立亲密度方面起着重要作用。提案4.2。假设市场不允许任何可扩展的好交易，即∞∩ ker（π）={0}。那么，我们有E（X）6= 对于每X∈ 十、证据自ker（π）∞= ker（π），由于缺乏可扩展的良好数据，因此∞∩ ker（π）∞= {0}.此外，作为有限维向量空间的子集，ker（π）很容易被认为是Barbu和Precupanu（2012）意义上的渐近紧集。事实上，我们总是可以找到ε>0和z ero U的邻域 X使得cl（{λX；λ∈ [0，ε]，X∈ ker（π）}∩ U）结构紧凑。因此，我们可以应用Ba rbu和Precupanu（2012）中的Corollary 1.61，得出a+ker（π）是闭合的结论。命题4.1现在得出E（X）6= 对于每X∈ 十、备注4.3。在Ar menti等人（2016）研究的多元短缺风险度量的设置中，最优回报被称为风险分配。主要存在性结果是他们的定理3.6，该定理为在适当假设基础多变量损失函数下存在风险分配提供了有效条件。这种浪费很容易被视为等同于缺乏可扩展的好交易。我们将上述命题应用于星形和多面体接受集。

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2022-6-13 22:29:34

首先，我们表明，如果潜在的接受集是星形的，并且市场不接受好的交易，那么最优回报总是存在的。由于假设2，该结果适用于任何凸或圆锥接受集。推论4.4。假设A是星形的，m市场不允许有好的交易，即A∩ ker（π）={0}。那么，我们有E（X）6= 对于每X∈ 十、证据要验证任何闭合的星形se t是否包含共形c t并不困难。因此，命题4.2中的断言立即出现。接下来，我们证明了当潜在接受集是多面体时，每个位置都允许最优支付。在这种情况下，我们不需要缺少（可扩展的）良好交易。推论4.5。假设A是多面体。那么，我们有E（X）6= 对于每X∈ 十、证据一旦我们证明A+ker（π）是闭合的，这个断言就来自命题4.1。事实上，我们证明了A+ker（π）是偶数多面体。如果尺寸（X）<∞ 因为，作为有限维空间，ker（π）在有限维环境中是多面体，而多面体在加法下保持不变。因此，假设dim（X）=∞ 请注意，我们可以在不损失一般性的情况下假设t dim（ker（π））=1（否则，通过简单的有限归纳论证进行）。我们还假设A由Д，^1m∈ X′+。从引理2.1来看，这意味着a=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。在这种情况下，我们很容易∞=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ 0}.首先，假设∞∩ ker（π）6={0}，取非零Z∈ A.∞∩ ker（π）。请注意，Z∈ bd（A∞), 否则，每X∈ X将允许λ>0满足λX+Z∈ A.∞, 所以X A.∞+ ker（π）（与ρ的完整性相比，参见第2.4条建议前的讨论）。因为Z是a的边界点∞, 可以拆分{1。

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2022-6-13 22:29:37

，m}分为两个子集I6= I+使得对于I，φI（Z）=0∈ i的i和φi（Z）>0∈ I+。在这种情况下，我们声称a+ker（π）=\\i∈I{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。“包含内容”” 是清楚的。要显示反向包含，假设X∈ X满意度i（X）≥ σA（Дi）表示所有i∈ 我注意到，我们可以选择λ>0，其大小足以满足Дi（X+λZ）=（Дi（X）≥ σA（Дi）如果i∈ 一、 ДI（X）+λДI（Z）≥ σA（Дi）如果i∈ I+，所以X∈ A+ker（π）。这证明了包含”” 并表明A+ker（π）是多面体。现在，假设A∞∩ ker（π）={0}。取任意非零Z∈ ker（π），并注意到对于合适的j，k，φj（Z）>0>φk（Z）∈ {1，…，m}（否则为Z或-Z需要位于A∞). 因此，我们可以将{1，…，m}分成三个子集I，I+6= 而我-6= 因此，对于i，νi（Z）=0∈ 一、 ^1I（Z）>0表示I∈ I+，对于I，νI（Z）<0∈ 我-.对于任何j∈ I+和k∈ 我-定义λjk=-Дk（Z）Дj（Z）>0，使函数lДjk=λjkДj+Дkbelongs toker（π）⊥. 我们声称a+ker（π）=\\i∈I{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}∩\\j∈I+，k∈我-{X∈ 十、Иjk（X）≥ σA（Дjk）}。“包含内容”” 是清楚的。要避免逆向包含，请取X∈ 并假设它属于上述有限交点。我们必须展示λ∈ R使得X+λZ∈ A、或相当于Дi（X+λZ）≥ σA（Дi）表示所有i∈ {1，…，m}。为此，设置λ=ma xi∈I+σA（ДI）- Дi（X）Дi（Z）。然后，不难验证φi（X+λZ）=^1i（X）≥ σA（Дi）如果i∈ 一、 ДI（X）+λДI（Z）≥ Дi（X）+σA（Дi）-如果i∈ I+，Дji（X）- λjiИj（X+λZ）≥ λjiσA（Дj）+σA（Дi）- λjiσA（Дj）=σA（Дi），如果i∈ 我-,其中j∈ I+满意度λ=σA（Дj）-Дj（X）Дj（Z）（注意，Дj（X+λZ）=σA（Дj））。这就是结论的证明。”” 并表明A+ker（π）是多面体。最优支付的唯一性在描述最优支付的存在性之后，下一个自然问题是在什么条件下我们可以确保唯一性。

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2022-6-13 22:29:42

我们首先展示了独特性的一般特征，这是对我们的最佳支付的定义的简单序列∈ X我们用| E（X）| s E t E（X）的基数表示。提案4.6。假设E（X）6= 对于每X∈ 十、然后，以下语句是等效的：（a）| E（X）|=1，每X∈ 十、（b） | E（X）|=每X 1∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。（c） bd A∩ bd（A+ker（π））∩ （bd A+（ker（π）\\{0}））=.（d） bd A∩ （bd A+（ker（π）\\{0}）） int（A+ker（π））。证据很明显，（a）意味着（b）。现在，假设（b）成立，但我们发现X∈ bd A∩ bd（A+ker（π））和Z∈ ker（π）\\{0}这样X+Z∈ bd A.由于引理3.1的ρ（X）=0，我们看到E（X）包含两个零payoff 0∈ M和非零payoff Z∈ M使| E（X）|≥ 由于这与（b）相矛盾，我们得出结论，（b）必须暗示（c）。立即验证（c）是否意味着（d）。最后，假设条件（d）满足，但存在Z，Z∈ E（X），对于某些X，Z6=zf∈ 十、特别地，请注意Z- Z∈ ker（π）\\{0}。SinceProposition 3.2表示t X+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），则X+Z=X+Z+Z- Z∈ （（bd A∩ bd（A+ker（π））+ker（π）\\{0}）∩ bd A。然而，这与条件（d）不兼容，表明（d）意味着（A）。我们提供了多面体接受集唯一性的充分条件。为此，wefreely使用引理2.1中记录的多边形集的对偶表示。提案4.7。假设A是多面体，由Д、…、表示，^1m∈ X′+。对于任何X∈ X考虑setIA（X）={i∈ {1，…，m}；Дi（X）=σA（Дi）}。然后，以下语句是等效的：（a）| E（X）|=1，每X∈ 十、（b） ker（π）∩Ti公司∈IA（X）ker（ψi）={0}对于每X∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。证据首先，回顾推论4.5，每个职位都有一个最优的报酬，因此E（X）对于所有X都是非空的∈ 十、

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2022-6-13 22:29:46

此外，对于任何位置X，没有te∈ X我们有IA（X）6= 当且仅当X∈ bd A由于多面体。为了证明（a）意味着（b），假设条件（b）对x失效∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），因此我们找到一个非零Z∈ 对于所有i，属于keri的keri（π）∈ IA（X）。特别是在r中，请注意，对于i，Βi（X+λZ）=Βi（X）+Βi（Z）=σA（Βi∈ 每λ的IA（X）∈ (0, ∞). 因为i的φi（X）>σA（φi）/∈ IA（X），也很清楚的是，аi（X+λZ）=аi（X）+λаi（Z）≥ σA（Дi）表示i/∈ λ的IA（X）∈ (0, ∞) 小enoug h。这意味着X+λZ∈ A FORλ∈ (0, ∞) 足够小。由于ρ（X）=0，我们得出结论| E（X）|>1。这就确定了（a）意味着（b）。相反，假设t（a）不成立，因此对于某些X，| E（X）|>1∈ bd A∩ bd（A+ker（π））由命题4.6得出。取两个不同的Z，Z∈ E（X）并设置Y=X+（Z+Z）。自（Z+Z）∈ 根据A的凸性，从命题3.2可以看出，Y属于bd A∩ bd（A+ker（π））。那么，对于everyi∈ IA（Y）我们有σA（νi）≤（Дi（X+Z）=Дi（Y）+Дi（Z- Z） =σA（Дi）+Дi（Z- Z） Дi（X+Z）=Дi（Y）+Дi（Z- Z） =σA（Дi）+Дi（Z- Z）在第一个不等式中，我们将X+Zand和X+Zbelong都用到了A。这意味着Z- Z∈ ker（^1i）代表所有i∈ IA（Y）。自π（Z- Z） =ρ（X）- ρ（X）=0，我们得出结论，违反了条件（b）。因此，（b）意味着（a）。对于多面体接受集，上述唯一性条件采用以下简单形式。推论4.8。假设A是一个多面体圆锥体，由Д，^1m∈ X′+andker（π）∩ 对于所有i，ker（Дi）={0}∈ {1，…，m}。那么，| E（X）|=每X 1∈ 十、我们通过建立关于唯一性的另一个有用结果来结束本节，该结果表明，每当接受集沿ker（π）方向“严格凸”时，总是确保唯一性。提案4.9。

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2022-6-13 22:29:49

假设E（X）6= 对于所有X∈ 对于任何不同的X，Y∈ bd A带X- Y∈ ker（π）存在λ∈ （0，1）满足λX+（1- λ） Y型∈ int A.那么，对于所有X，| E（X）|=1∈ 十、证据取任意位置X∈ bd A∩ （bd A+ker（π）\\{0}）。这一主张直接源于主张4。6一旦我们证明X属于int（A+ker（π））。为此，请注意，对于合适的位置Y，X=Y+Z∈ bd A和非零支付∈ ker（π）。因此，通过假设，我们找到了一个标量λ∈ （0，1）满足λX+（1- λ） Y型∈ int A.现在，设置为方便em=X- (1 - λ） Z=λX+（1- λ） Y型∈ int A，所以M+U A表示零U的某个邻域十、自每个W∈ X+U很容易被看到- (1 - λ） Z- M=W- 十、∈ U、然后是X+U (1 - λ） Z+M+U A+ker（π）。这表明X是A+ker（π）的内点，并给出了证明。备注4.10。一般来说，不需要满足上述唯一性的充分条件。要看到这一点，letX=Rand考虑由a=co（{X，X，X}）+X+给出的多面体接受集，其中X=（0，-1，1），X=(-1、0、1）和X=(-, 0, 0). 假设M=X，并通过为所有X设置π（X）=（X+X+X）来定义π∈ 十、立即验证我们的假设（A1）至（A3）在这种情况下是否成立。此外，sinceA+ker（π）={X∈ 十、X+X+X≥ -},由此可知，根据命题4.1，E（X）是非空的，并且很容易被视为由单个支付组成，每个X对应于命题4.6∈ 十、然而，位置X和X都属于bd A和satisfyX- 十、∈ ker（π）\\{0}和bd A中连接X和Xlie的整个段。作为命题4.9的直接结果，我们推断，如果基础接受集是严格凸的，则位置最多允许一个最优支付。推论4.11。假设A是严格凸的，E（X）6= 对于所有X∈ 十、那么，对于allX，| E（X）|=1∈ 十、备注4.12。在Armenti等人的多变量背景下。

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2022-6-13 22:29:52

（2016年），最优薪酬的独特性对于在被调查的金融系统实体之间确定系统性风险的有意义分配至关重要。定理3.6中记录的唯一性结果可以被视为等价于基础接受集的严格凸性。5最优收益的稳定性本文的其余部分侧重于最优投资组合的稳定性或稳健性问题。正如导言中所述，从运营角度来看，确保X的轻微扰动（例如由估计或规格错误引起的扰动）不会显著改变最优支付集是至关重要的。换句话说，对于所有位置X，Y∈ 我们希望确保y接近X==> E（Y）与E（X）接近。为了明确最优支付集之间的邻近性概念，我们自然会研究最优支付映射的（半）连续性性质。文献中研究了集值映射的各种（半）连续性概念，并且经常使用相同的术语来描述不同的连续性形式。上半连续和下半连续的概念可以追溯到Berge（1963），但我们对上半连续的概念略有不同，并与Aliprantis和Border（2006）中的上半连续的概念一致。外部半连续性的定义摘自Rockafellar和Wets（2009）。外部半连续性。对于任何给定位置X∈ 我们说E在X上是外半连续的，如果在Z上是外半连续的/∈ E（X）我们发现开放式邻居引擎罩UX X/X和UZ Z中的M就是这样∈ 用户体验==> E（Y）∩ UZ=.我们说E是外半连续的（在X上），如果E在每个X上是外半连续的∈ 十、

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2022-6-13 22:29:55

这种稳定性要求，对于给定位置非最优的合理报酬，对于非常接近给定位置的任何位置都不可能是最优的。上半连续性。对于任何给定位置X∈ 如果前面的开集U是上半连续的，我们说E在X上是上半连续的 M带E（X） U我们找到一个开放的社区UX X/X这样的∈ 用户体验==> E（Y） U、如果E在每个X上是上半连续的，我们说E在X上是上半连续的∈ 十、直觉上的峰值、上半连续性确保了最优收益集不会因基础位置的轻微扰动而突然“爆炸”。下半连续性。对于位置X∈ 我们说，对于每个开集U，E在X iff处是下（或内）半连续的 M带E（X）∩ U 6= 我们发现了一个开放的社区UX X/X这样的∈ 用户体验==> E（Y）∩ U 6=.我们说，如果E在每个X上是下半连续的，那么E是下半连续的（或内部的）∈ 十、从直觉上讲，下半连续性确保了最优支付不会因基础头寸的轻微扰动而突然“收缩”。在这种情况下，对于每个位置X，满足以下直觉鲁棒性：Y接近X和Z∈ E（X）==> E（Y）中存在一个接近Z的支付。换句话说，下半连续性保证了在基础头寸发生小扰动后，最优支付将接近最优。因此，这种连续性属性构成了我们财务上下文中的键稳定性概念。备注5.1。（i）由于E是闭值的，很快就会发现，对于我们的最优支付图E，上s半连续性总是意味着外半连续性。（ii）考虑位置X∈ X，其中| E（X）|=1。那么，当E在X上半连续时，它在X上是下半连续的。然而，反之则不成立。

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