通过变量技术的分离求解方程（14）得到债券定价函数P（r，s，^θr，^σr）=ADSR（s）exp（BDSR（s）r+CDSR（s）√r） ，（15）其中DSR=1+eψs1/2经验c+cs+c1+eψs,BDSR（s）=-ψ（σr）+ψ（σr）（1+eψs），CDSR（s）=θr1.-eψs/2（σr）（1+eψs）和ψ=q2（σr）；c=（θr）ψ（σr）；c=ψ-（θr）ψ；c类=-4（^θr）ψ。股价我们选择股价过程的方式与Cox等人【17】、Jaimungal和Wang【41】、Lin和Wang【47】和Wang【66】等类似。请注意，我们的股价过程包括两个组成部分：SCtand SFt，前者是由灾难风险变量驱动的组成部分，后者是由金融市场风险变量驱动的组成部分。更具体地说，当影响发行人的灾难性事件发生时，股价可能会下降，因为这些大额债权必须支付。这在sh areprice过程中得到了解释，因此该过程对Lt的负依赖性。在P下，是初始股价，us是Yt的长期平均值，σs是Yt的瞬时波动率。常数α>0表示灾难性损失对股价对数的影响。α的值越大，灾难损失对αLt的影响就越严重。此外，如Wang[66]所述，索赔的平均数量λudu被包括在内，以积极（在一定程度上）补偿股价出现的向下跳跃。常数κ>0控制着这种效应的表现，并在下面引理1的基础上进行了讨论。请注意，P.骨料损失下的Wtis标准布朗运动遵循一种模拟骨料损失过程的辅助方法，因为我们采用时间不均匀复合泊松过程来控制IL-Cococate未衰减指数的行为。

Embrechts和Meist er【28】指出，这种过程是灾难相关衍生品灾难损失模型的合适候选模型。我们也可以选择这样的过程，因为它可以捕捉到灾难到来时的过度分散。相关性我们假设利率和股价过程是相互依赖的：这是由ρ的相关系数得出的。3.3. 仪器操作自发行之日起，IL COCOCATA持有人将收到（按合同规定的恒定值) 基于-年伦敦银行同业拆借利率，R（ti-1，ti-1，ti-1+ ),加上价差c。因此，在每个息票日期收到的浮动付款为R（ti-1，ti-1，ti-1+) + c每单位标称值。在时间T，投资者收到债券本金Z>0，除非提前触发IL CoCocate。在交易期限内，发行人将监控基础指数的表现，并记录导致过程Lt的累积损失。如果要发生触发事件，即对于某些τ，Lτ>D∈ [0，T]（如果存在），则IL-CoCocate的IL-CAT债券类型的分支终止，投资者以等于KP的转换价格获得公司普通股权中的sh。也就是说，投资者将以（ζZ/KP）Sτ的值收回发行人的ζZ/KP股份单位，该值为投资于IL Cocate的Z名义值。3.4. 正如我们前面提到的那样，转换价格的选择有三种一般情况，我们可以考虑每种情况。对于将kpi假设为股价的实值函数的情况，我们假设它的形式为KP：=Sντ，表示ν∈ （0,1）.采用Sτ的这种函数可以灵活地设计IL-CoCoCate，并分析IL-CoCoCate的价格。

首先，它允许投资者和发行人考虑他们对巨灾相关损失对发行人股价影响的观点。例如，如果投资者认为市场在评估股票价值时没有令人满意地捕捉到巨大灾难性损失的影响，则应将th enν设置为小于1的值，以便投资者以低于市场价值的价格购买股票。其次，投资者和发行人都可以说明他们对发行人股票未来市场表现的看法。例如，如果发行人认为股票价格将上涨（与灾难性损失无关），则可以将ν设置为avalue小于1，这样投资者就不会获得大部分股权。最后，请注意，如果ν=1，则转换价格设置为转换时的股价。4、指数挂钩CoCocate的分析性风险中性定价我们现在在我们的模型中对指数挂钩CoCocate进行定价，从代理转换价格KP开始，在我们的风险中性概率度量下，在发行日期t：=0。假设所有符号都遵循第3.1节的规定，其中的假设和结果也假设为HOLD。如第3.1节所述，R（t，ti-1，ti-1+ ) （16） 是间隔时间t的远期伦敦银行同业拆借利率-1，ti-1+ ]. 特别是，R（t，t，t+) 伦敦银行同业拆借利率是否在时间t：自 假设为常数，我们用{Rt，t表示LIBOR过程≥ 0}.B（0，t）：=经验值-Ztrudu公司（17） 贴现无风险银行账户是否与渐进可测量过程{rt，t≥ 0}，andP（0，t）：=等式[B（0，t）| Ft]，t型∈ [0，T]。（18） 现在，在Q下，可以找到有争议的COCOCATE价格低于预期的表达式。这非常重要，我们将其正式化为一个主要事实。事实

发行日期（或零时间）风险中性价格，V，o of an IL cococate isV=EQ[I+I+I]，（19），其中I：=N∑i=1Rti公司-1+cZI{τ>ti}B（0，ti）；一： =ζZKPSτI{τ≤T}B（0，τ）；一： =ZI{τ>T}B（0，T）。请注意，事实上的期望包括三个术语。IRE表示包含利差的耦合付款（与伦敦银行同业拆借利率挂钩），而IRE表示如果之前未发生违约，则在到期时偿还的资本。IRE表示转换为股权后的恢复情况。请注意，如果KPI设置为等于Sτ，我们将获得特殊类型的CAT债券的定价公式，该债券在触发时立即支付ζZ（即时间τ）。我们对模型的这一特性进行了阶段化，使其适用于更广泛的应用程序套件。一些CAT债券发行实际上就是这种性质的，因此我们的估值框架可能会在这种情况下找到潜在的适用性。然而，在下面的框架中，我们将考虑Sτ的特殊函数，这将导致转换价格的三种情况。现在，我们展示了我们的模型在marti ngale测度Q下的变化。在Q下，贴现股价过程经验值-Rtrudu公司St，t≥ 0通过定义风险中性度量，必须是关于过滤Gt的鞅。这给出了以下定理。定理3。设κ=α（1-（L fX）（α）），（20），其中（L fX）（α）：=R∞e-αyfX（y）dy是fX的拉普拉斯变换，fX是每个严重度分量X在α处计算的X的正支撑上的密度函数。

然后存在风险中性度量Q=QFPc和该度量下的巨灾风险和金融市场风险变量由以下方程组捕捉：drt=θr（mr-√rt）dt+σr√rtdWt，（21）St=SCtSFt，（22）SCt=exp-αLt+ακZtλudu, （23）SFt=Sexp{Yt}，（24）dYt=rtYtdt+σSYtd▄Wt，（25）dh▄Wt，▄Wti=ρdt，（26）Lt=Nt∑k=1Xk，（27），其中θrand mra是利率过程的风险中性参数，给出了显式不等式（33）和（34），其中dwt和wt是度量QF下的两个布朗运动。证据方程（23）和（27）都是假设2的直接结果，因为当从P移动到Q时，过程保留其分布形式和参数。现在，我们考虑如何分别从方程（5）、（8）、（9）和（10）中找到方程（21）、（24）、（25）和（26）。在第一步中，我们证明了折扣后的现货价格经验值-Rtrudu公司SFt，t≥ 0是在适当选择的市场鞅测度QF下的一个^ft鞅。基于It^o公式的经典论证表明，该要求等价于方程式（25）。我们现在展示了如何选择度量qf，以从方程（9）中获得该方程。定义T=WT和BT=p1-ρWt-ρp1-ρWt.根据L'evy定理（见Karatzas和Shreve【43，第3章】），Bt和Bt分别是两个布朗运动。此外，Bt和Bt之间的协方差为零，因此这两个布朗运动是不相关的。设γ：=ρσSand（28）γu：=σSq1-ρ+βu.（29）对于一些βu，稍后将具体说明。我们使用Girsanov鞅的逆定义金融市场上的风险中性度量Qf，其中ich也是一个鞅：dQFdPF^Ft=η（t）：=exp-Zt[（γ）+（γu）]du-ZtγdBu-ZtγudBu.现在，根据多维Girsanov T heorem（见Karatzas和Shreve【43，第3章】），过程Bt：=Bt+Ztγdu和Bt：=Bt+Ztγudu是度量QF下的标准（不相关）布朗运动。

然后，通过进一步应用L'evy定理，我们可以定义两个新的相关布朗运动，在测量QF下，使得▄Wt：=▄Bt=Wt+Ztγdu，（30）▄Wt：=ρBt+q1-ρИBt=Wt+Ztργ+q1-ργudu，（31）dh▄Wt，▄Wti=ρdt。现在选择βu=uS-俄罗斯-σSσSp1-ρ（32）我们得到us-σSργ+p1-ργu= 俄罗斯。因此，将其插入方程（9）并使用（31），我们得到方程（25）。从方程式（30）和定理3可以看出，Longst aff利率模型保持不变，即方程式（21）成立。在这种情况下，新参数由θr：=(R)θr+σrγ和（33）mr：=σrθr.（34）给出。在第二步中，我们证明所选κ满足EPChSCt | Csi=SCsfor s<t。在假设2中，我们因此要求，对于s<t，EPC经验值-αLt+ακZtλudu|^Cs= 经验值-αLs+ακZsλudu, （35）可在asEPC上重写经验值-α（Lt-Ls）+ακZtsλudu|^Cs= EPC总承包经验值-α（Lt-Ls）+ακZtsλudu= 1.（36）现在考虑EPC[经验(-α（Lt-Ls））]。这可以简化如下。EPC[经验(-α（Lt-Ls））]=EPChEPC[经验(-α（Lt-Ls））| Nt-Ns]i=EPC“exp-αNt-Ns系列∑k=1Xk|Nt公司-Ns#=EPC{（L-fX）（α）}Nt-Ns系列= GNt公司-Ns（（L fX）（α））=经验值[（L fX）（α）-1] Ztsλudu, （37）（38）其中GNt-nsi是均值为λudu的泊松随机变量的概率母函数。从方程（36）中，我们得到κ=α（1-（L fX）（α））。在证明的最后一步中，我们考虑了贴现股价过程，经验值-Rtrudu公司St，t≥ 0.请注意，根据设计，每t>0的期望值是有限的。利用推论1，我们得到，fors<t，EQSCtSFtexp-Ztrudu公司|Gs公司= 均衡器均衡器SCtSFtexp-Ztrudu公司|Gs公司∨英尺|Gs公司= 均衡器SFTEX公司-Ztrudu公司EQhSCt | Gsi | Gs= SCsEQ公司SFTEX公司-Ztrudu公司|Gs公司= SCsSFsexp-兹鲁杜,其中最后一行从证明的第一步开始。现在我们分别计算等式（19）中的三项。4.1. 息票支付应考虑等式【I】，将其分为第一个参考息票的伦敦银行同业拆借利率和其余后续息票。

简化这一术语的一种方法是对远期伦敦银行同业拆借利率进行近似计算，并假设其始终高于无息利率（例如，见Jarrow[42]）。在2007/2008年金融危机前后的金融稳定期间，这一假设在实践中得到了很大程度的支持（将OIS利率视为无风险利率）。然而，在危机时期，实证研究表明，这种价差显著扩大，这一假设值得怀疑[40]。我们在分析中不使用这种近似方法，但指出了这一缺点，因为它已用于理论CAT债券定价（以获得封闭形式的解决方案为目的）。（i） 第一个伦敦银行同业拆借利率参考息票（一开始为kn所有）可通过风险中性估值公式找到：公式R+cZI{τ>t}B（0，t）,根据假设2，等于R+cP（r，t，θr，σr）P（Lt<D）Z、 （39）式（16）和（18）中分别定义了Rt和P（0，t），ris为初始瞬时利率，P（Lti<D）=exp-Ztiλudu∞∑n=0Rtiλudunn！Fn公司*X（D）。（40）其中Fn*X（D）表示n-单损失分布函数fx自身的折叠卷积，在正参数D处进行评估。（ii）对于第二个到第n个libor参考息票，我们将度量改为相应的前向度量。对于每个i∈ {2，…n}，我们使用t向前测量Qti，定义为数值过程P（0，ti）的向前测量；见【8】。因此，在发行日期，ITH息票付款的价值为Rti公司-1+cZI{τ>ti}B（0，ti）= ZcP（Lti<D） + ZP（Lti<D）等式Rti公司-1B（0，ti）,（41）等式（40）给出了相应的概率。

考虑情商Rti公司-1B（0，ti）.通过改变tiforward度量（见Bj¨ork[8]），回顾远期伦敦银行同业拆借利率是一个数量比例（见Bj¨ork[8]），并注意远期伦敦银行同业拆借利率的定义（见Brigoand Mercurio[11]）：等式Rti公司-1B（0，ti） = P（0，ti）EQtiRti公司-1.= P（0，ti）R（0，ti-1，ti-1+ ) （42）=P（0，ti）P（0，ti-1） P（0，ti）-1.= P（0，ti-1) -P（0，ti）。（43）将方程式（43）插入方程式（41）中，并采用我们对Longstaff模型下零耦合债券价格的表示法，给出了剩余息票支付在发行日期的所需值，即：等式“N”∑i=2Rti公司-1+cZI{τ>ti}B（0，ti）#=ZN∑i=2P（Lti<D）c + P（r，ti-1，θr，σr）-P（r，ti，θr，σr）. (44)4.2. 赎回金额我们现在考虑等式[I]。通过类似于第4.1节的推理，我们得到ZI{τ>T}B（0，T）= ZP（r，T，θr，σr）P（LT≥ D） 。(45)4.3. 转换特性最后，我们考虑特定类型转换价格的等式[I]。回想一下，KPcan eitherb被设置为一个常数，作为转换时的股价，或者被指定为函数kp：=Sντ，表示ν∈ （0，1）如第3.4节所述。必须将ν限制在该区间内，才能使FX的拉普拉斯变换不受限制。如果ν=1，则经济转换价格等于股价。我们下面的分析是一般性的，我们考虑4.3.1 KP：=sντ，或4.3.2 KP：=K。我们在下面依次进行分析。情况1。在这种情况下，我们对simplif感兴趣yingEQ[S1-ντI{τ≤T}B（0，τ）]，可按asEQ展开经验值-α(1 -ν） Lτ+Zτ（1-ν)ακλu-σSdu+σS（1-ν） Wτ-νZτrudu×SI{τ≤T}. （46）计算公式（46）。我们将使用特定的度量变更。由于t在过程lti中是一个强度为λt的时间非均匀泊松过程，因此过程X#t：=（t，Lt）是所谓分段确定性过程的一种特殊情况（有关更多详细信息，请参见Palmowski和Rolski【56，第5.2节】。

实际上，在这种情况下，必须考虑空的activeboundary，取该进程的外部状态索引等于1，并取状态空间O为R，即x#：=（t，y）∈ Ris是过程X#t的一个值。此外，X#的微分算子是通过χf（t，X#）指定的：=tf（t，x#），进程满足度Q（x#，dy）=FQX（dy）（其中FQXis是进程在Q下的严重性分布），其跳跃强度λ（t，y）等于λt。现在取h（y）=e-α(1-ν） yin Palmowskiand Rolski【56，方程（1.1）】作为一个好函数，并将其应用于生成器，a f（t，x）=tf（t，x）+λtZ∞f（t，x+y）FX（dy）- f（t，x）,过程Lt（见Palmowski和Rolski[56]第776页）产生以下指数鞅：(R)η（ν）（t）：=exp(-α(1 -ν） Lt+Д（α（1-ν） ，t）），（47）式中，Д（α（1-ν） ，t）：=[1-（L fX）（α（1-ν） ）]Ztλudu。（48）和（L fX）（α（1-ν） ）是fX的拉普拉斯变换，对于随机变量X负支撑上的n，在argum entα（1）处计算-ν). 继Palmowski和Rolski【56，定理5.3】之后，我们现在可以通过Radon-Nikodym导数定义一个新的概率测度P（ν）：dP（ν）dPC^Ct=(R)η（ν）（t），（49），在此过程上，我们的过程lt仍然是一个复合泊松过程，但严重程度分布和强度有所改变：λ（ν）t=（L fX）（α（1-ν） ）λt和（50）F（ν）X（dx）=e-α(1-ν） xFQX（dx）（L fX）（α（1-ν)). （51）注意，当λt=λ（常数）时，许多事情都会简化。例如，Д（α（1-ν） ，t）=λД（α（1-ν） ）t，（52），其中Д（α（1-ν)):=λ[1 -（L-fX）（α（1）-ν))].

（53）通过应用等式（49）规定的测量变化和应用假设2，我们可以重写等式（46）asEQFP（ν）经验值Zτ（1-ν)ακλu-σS杜邦-φ(α(1 -ν） ，τ）+σS（1-ν） Wτ-νZτrudu×SI{τ≤T}= SZTP（ν）τ（τ∈ ds）经验值Zs（1-ν)ακλu-σS杜邦-φ(α(1 -ν） ，s）×EQF经验值σS（1-ν） Ws-νZsrudu, （54）其中，最后一行后面是▄wt和▄wt与测量值变化的独立性，P（ν）τ是τ在P（ν）下的密度函数。注意，方程（54）是三项的乘积，第一项是P（ν）下τ的分布，第二项是指数项，第三项是QF下两个相关Q-布朗运动的预期。我们现在给出以下有用的引理。在进一步阅读之前，回想一下在我们的模型中，我们在Q、~Wt和~Wt下有两个相关的标准布朗运动，相关系数ρ。该引理的目的是从等式（54）中的期望值中删除ws。引理2。考虑一个新的概率度量“QF”，由byd指定的Radon-Nikodym导数“QFdQF”给出^Ft：=η*（t） ：=扩展(1 -ν） σSWt-(1 -ν） σSt然后，在概率测度“Q t h h e process”Wt下：=▄Wt-ρσS（1-ν） t是标准布朗运动。证据如果ζ>0，则通过将测量值从“Q”更改为“Q”，E“QFheζ”Wti=EQF经验值ζОWt+（1-ν） σSWt-(1 -ν） σSt= 经验值-(1 -ν） σStEQF公司(ζ,(1 -ν） σS）·（▄Wt，▄Wt）. （55）由于（▄Wt，▄Wt）的分布是二元正态分布，我们可以证明方程（55）中的th是equaltoexp-(1 -ν） σSt+ζt+2ρσS（1-ν） ζt+（1-ν） σSt= 经验值ζt+ρσS（1-ν） ζt.因此，我们能够继续进行sim p LIFINGEQF经验值σS（1-ν） Ws-νZsrudu（56）来自方程式（54）。现在，将度量值从qf改为“qf”，以获得等式（56）为equaltoexp(1 -ν） σSsE’QF经验值-νZsrudu（57）式中{rt，t≥ 0}是目前在“QF”度量下的利率过程。

定理2提醒我们，（21）中规定的在QF下的Longstaff利率模型是在QF下的Longstaff利率模型，这两个参数分别为b yθ*r=θr-σrρσS（1-ν) ; m级*r=mrθrθr-σrρσS（1-ν).通过简单应用It^o引理，也可以在测度Q下显示，过程{rt，t≥ 0}，其中▄r（t）：=νr（t）是一个Longstaff利率过程，其中▄Q-dynamics由d▄rt=θ给出orm级or-√rtdt+σor√rtd  Wt，其中θor=√νθ*rm级or=√νm*rσor=√νσr，而且mor=（σor） /4θoR电源。因此，我们可以将方程（57）改写为asexp(1 -ν） σSsE'Q经验值-Zsrudu（58）我们有一个偏微分方程的解，具体是（14），乘以一个常数。利用方程（15），我们可以简化方程（58），得到它等于xp(1 -ν） σSsP（r，s，θor、 σor） 。（59）因此，方程式（54）最终可以表示为一个包含整数的积分，即isSZTP（ν）τ（τ∈ ds）扩展Zs（1-ν)ακλu-σS杜邦-φ(α(1 -ν） ，s）+（1-ν） σSs×P（r，s，λ，θor、 σor） （60）=SZTA（s）P（r，s，θor、 σor） B（s）ds，（61）其中（s）=exp-（σS/2）ν（1-ν） s+（1-ν） [^1（α，s）-φ(α(1 -ν） ，s）]-Zsλ（ν）uduB（s）=λ（ν）s∞∑n=0Rsλ（ν）udun-1（n-1)!-Rsλ（ν）udunn！F（ν）n*X（D），其中F（ν）n*X（D）表示n-F（ν）x与其el F的折叠卷积，在参数D处计算，且Д（α，s）：=Д（α（1-ν） ，s）|ν=0。回想一下，F（ν）x和λ（ν）皮重分别在（51）和（50）中给出，P在（15）中给出。我们现在可以在分析表中计算出一种无风险中性价格。我们在定理4中将这一切形式化。定理4。

在分析形式中，转换价格等于ν的Sντ的IL-CoCoCate的时间零风险中性价格V∈（0,1），并假设方程（21）至（27）中给出的动力学由v=Z给出IE+IE+IE, （62）其中=R+cP（r，t，θr，σr）P（Lt<D） +N∑i=2P（Lti<D）[c + P（r，ti-1，θr，σr）-P（r，ti，θr，σr）]；IE=SζZTA（S）P（r，S，|θr，|σr）B（S）d S；IE=P（r，T，|θr，|σr）P（LT≥ D）方程（39）和（44）、方程（61）和方程（45）中确定的IEI。案例2。在本节的最后部分，我们考虑了与whenKPis a constantof K有关的有趣案例。因此，为了分析等式，我们将只关注简化ngEQ[SτI{τ≤T}B（0，τ）]不可能使用定理4来推导结果，因为不可能对P不等式（61）进行分析评估。可按asEQ扩展Sexp-αLτ+ακZτλudu+Zτrudu-σSτ+σSWτI{τ≤T}exp-Zτrrdu= 均衡器SI{τ≤T}exp-αLτ+Zτακλu-σSdu+σSWτ. （63）由于LTI是一个时间不均匀复合泊松n过程，因此第4.3节第（i）部分中考虑的测量变化可在ν=0时应用。对于密度过程（47），我们表示η（t）=η（0）（t）。注意，Д（α，t）=Д（α（1-ν） ，t）|ν=0。考虑到该度量值的变化，注意等式（63）可以重写为asEQSI{τ≤T}exp-αLτ+Д（α，τ）-Д（α，τ）+Zτακλu-σSdu+σSWτ= EQF公司P（0）SI{τ≤T}expZτακλu-σS杜邦-Д（α，τ）+σSWτ= SZTP（0）τ（τ∈ ds）扩展Zs公司ακλu-σS杜邦-^1（α，s）EQF[eσSWs]，（64），其中最后一行紧随其后，因为Wsis独立于所有S的度量值变化∈ [0，T]，P（0）τ是τ在P（0）下的密度函数。通过考虑~Wt的矩母函数，我们得到方程（64）等于ztp（0）τ（τ∈ ds）扩展ακZsλudu-^1（α，s）= SZTP（0）τ（τ∈ ds）=SP（0）τ（τ≤ T）（65）=S1.-经验值-ZTλ（0）udu∞∑n=0RTλ（0）udunn！F（0）n*X（D）, （66）式中F（0）n*X（D）表示n-F（0）x与自身的折叠卷积，在论证时计算。

注意，表达式的简化，EQ[SτI{τ≤方程（65）给出的T}B（0，τ）]非常直观。触发时股价的贴现值仅为现有股价S乘以概率测度下的触发概率，该概率测度明确调整了服务水平S过程。现在，我们可以以分析形式给出具有常数转换价格的IL-CoCate的时间零ris k-中性价格。我们在第5节中介绍了这一点。定理5。在分析形式中，转换价格等于K且假设方程（21）至（27）中给出的动力学，IL CoCocate的时间零风险中性价格V由V=Z给出IE+IE+IE. （67）式中，IEI定义为等式（39）和（44），IEI定义为等式（66）（乘以ζ/k）和等式（45）。4.4. 关于定理4和定理5，我们现在提供了使用方程定理4和定理5计算IL-Coccat定理的简要动机。与直接使用Mon-te Carlo模拟近似方程（19）相比，使用我们的定理更精确。首先，如果度量P（ν）和P（0）下的损失卷积是以闭合形式已知的，那么我们可以直接近似IL CoCocate的价格（尤其是转换特征的值），而无需蒙特卡罗模拟。因此，在没有任何模拟的情况下，我们将能够通过在计算合适的上限处截断求和，并通过离散积分来计算方程（61）。此外，在没有任何模拟的情况下，我们将能够通过在计算合适的上限处截断求和来计算方程式（6）。

如果我们假设，在概率测度P下，损失遵循阿加玛分布，那么这种情况实际上可能发生。其次，对于损失随机变量的更重尾分布假设，有必要使用蒙特卡罗模拟对方程（60）和（65）中的积分进行数值计算。也就是说，必须模拟停车时间τs的时间分布。这比蒙特卡罗直接计算公式（19）d更准确，事实上更快，因为在前一种情况下，与后一种情况相比，只需模拟一个过程Lt，其中需要模拟三个过程，即Lt、RTA和St.5。本节中的实证说明我们提出了数值实验，作为对共同经营者价格行为的首次尝试。在此类仪器的设计阶段，了解不同参数下的IL-CoCocate价格行为至关重要。此外，它还有助于为ILS结构人员可以用来向潜在发行人营销新ILS发行类型的推介书准备插图。在我们的模拟中，我们特别注意转换功能，因为这将是发布仪器时最感兴趣的部分。此外，由于我们选择的潜在损失严重性分布无法获得精确的闭合形式解，因此我们对损失过程使用基于重要性抽样的蒙特卡罗模拟。在应用重要性采样后，每个实例中使用100000个模拟。为了获得IL-CoCocate优先级的数值，我们需要指定一组基本参数。这些参数如表2所示。方程（60）和（65）的使用首先需要损失随机变量的指数倾斜，然后是n倍卷积。

现在，一个指数倾斜的伽马分布随机变量再次被伽马分布，它的卷积也是。此外，gamma随机变量的Laplace变换存在封闭形式。表2：IL CoCocate价格数值说明的选定参数值。复合泊松损失过程参数值λ突变损失过程方程的tIntensity（68）Burr严重度分布的cbShape参数1.57kb严重度分布的Shape参数0.7ζbScale参数Burr严重度分布9.53×10 QrInitial瞬时利率下的利率过程参数0.02θrModel参数0.02σrInstanentous volatility0.1mrModel参数1.125×10-3初始股价下发行人的股价过程参数10ρ股票和利率过程的相关系数-0.5α亏损对对数股价的影响5.81×10-11IL CoCocate参数Pconstant conversion price varievesνPower参数for conversion price varievesζconversion fraction 0.2 期限：息票支付之间的时间0.25c固定利差（CAT风险溢价）0.1Z名义金额1T期限变量阈值水平变量首先，有必要为IL Cocate下的复合泊松过程选择参数。我们使用了以下强度，这是Gi uricich和Burnecki于1985年至2011年的PCS数据【32】：λ（t）=24.93+0.03t+5.61 sin{2π（t+7.07）}+0.30 exp余弦πt4.76. （68）然而，我们也指出了布劳恩工作的以下有趣的潜在应用【9】。假设我们只对地震和/或飓风造成的损失进行建模。

如果我们不假设灾难风险变量的真实世界和风险中性概率度量值重合，而是对灾难风险变量使用风险中性度量值，那么我们可以使用从灾难掉期交易中得到的布劳恩隐含强度。通过这样做，我们可以确保在灾难风险市场中，CoCocate与其他工具的价格保持一致。此外，我们希望我们的流程基于厚尾的潜在严重性分布，这样就可以考虑低频和高严重性的灾难。证据随着PCS数据的更详细细分，确实可以提取这些信息。也就是说，如果我们没有使用假设2，而是做了一个稍微弱一点的假设，即当从现实世界移动到风险中性概率度量时，随机变量保留其分布特征。Levi和Partrat【46】、Burnecki等人【12】、Mi lidonis和Grace【53】、Braun【9】、Ma和Ma【51】以及Giuricich和Burnecki【32】发现了与灾难相关的经济和保险损失中的重尾分布属性。在评估哪些重尾分布符合这些数据的所有努力中，从对灾难相关ILS文献的回顾来看，毛刺分布一致性最好。在本节中，我们确实使用了Burr XII型分布，其概率密度函数由f（x，ζb，cb，kb）=kbcbζb指定xζbcb公司-1.1 +xζbcb公司kb+1ζb，cb，kb>0和x>0，其中cb和kb是形状参数，ζbis是s刻度参数。为了便于说明，我们考虑了Giurici ch和Burnecki[32]确定的毛刺分布，取cb=1.57、kb=0.7和ζb=9.53×10。顺便说一句，请注意，可以将风险边际添加到我们从真实数据得出的损失过程的各种参数中。

这与传统精算方法的som eof是一致的（例如，关于这一点的简要讨论，请参见Chang和Chang最近的工作【15】，并简要提及Braun【9】），但与往常一样，这种选择是主观的，对建模者来说是特定的。最后，必须注意的是，适用于复杂自然灾害模型的真实世界和综合模拟数据的严重分布（以及强度函数）也可以在我们的环境中使用。与行业实践者讨论，这似乎是在实践中用于自然灾害相关工具定价的方法。其次，我们考虑利率参数。我们重申，鉴于定理4和定理5中的共同定价公式的简化，没有必要模拟利率过程。我们让风险中性参数θrandσr分别等于0.2和0.03。此外，我们规定相关系数ρ为-0.5. 所有这些参数都符合Lo等人[49]和Wang等人[66]，以及之前关于保险背景下利率建模的文献（例如，见Duan和Simonato等人[25]和Chang等人[14]）。第三，我们考虑了股价过程的参数。我们将初始股价S设定为10。灾难损失对股价对数α的影响与Jaimung al和Wang[41]类似。我们让α表示每单位预期损失对数股价的下降百分比，即α=δEP【Xk】，我们考虑这种情况，如Jaimungal和Wang【41】，其中δ=0.02。因此，α=5.81×10-11

尽管α的尺寸很小，但其影响仍然是由Ltin方程（23）乘以的，Ltin方程（23）比α大得多。最后，我们考虑了IL-CoCocate本身的各种参数。我们将合同规定的换算分数ζ设置为20%，这与之前有关CocoCats的文献一致（见Georgiopoulos【31】），我们将期限设为3个月（与Jarrow【42】一致）。为了举例说明，我们让IL-CocoCat扩散为10%，并将键的标称值Z设置为1。此外，我们将让某些参数发生变化，即术语（T）、阈值水平（D）和ν，以评估IL协同配置时间零价格如何随这些参数的变化而变化。我们现在讨论如何通过蒙特卡罗模拟分别在测度P（ν）和P（0）下估计方程（60）和（65）的数值。为了评估这些积分，有必要通过考虑每个t<t的Lt值来模拟过程Lt的路径，从而得出相应度量下停止时间τ的经验分布。为了模拟测量值P（ν）和P（0）下的Lt路径，有必要知道这些测量值下的强度和严重度分布，必要的链接分别由方程（50）和（51）提供。方程（50）很容易找到，因为我们在数值上知道严重性随机变量的拉普拉斯变换。然而，对于Burr分布的严重性随机变量，处理方程式（51）并不明显。这主要是因为指数倾斜的Burr分布没有已知和可计算的密度。因此，为了模拟等式（51）中的损失，我们采用了接受-拒绝算法【65】。

我们指出，这种模拟技术可用于任何测量变化由等式（51）规定的情况。请注意，这种模拟技术在模拟随机变量的领域中很常见，在其他概率度量下，这些随机变量在给定的复杂度量变化下。我们的步骤如下：如果f（x，ζb，cb，kb）是Q（可逆且已知）下毛刺分布损耗的pdf，那么我们可以通过直接从f（x，ζb，cb，kb）生成密度f（ν）（x，ζb，cb，kb），然后应用具有常数cR的接受-拒绝算法来生成密度f（ν）（x，ζb，cb，kb-ν))]-1、在测度P（ν）下，在下面的伪码中对仿真算法进行了总结。P（0）的算法是类似的。生成Lt1算法的关键步骤。对于间隔ti-1对于ti，生成泊松实现ni，强度为ti-1λudu。2、通过接受-拒绝算法从f（ν）（x，ζb，cb，kb）生成nirealisions：（i）从U（0，1）和密度为f（x，ζb，cb，kb）的独立x生成U。（ii）如果U<f（ν）（X，ζb，cb，kb）cRf（X，ζb，cb，kb），则接受X，否则返回步骤（i）。（ii）继续，直到绘制f（ν）（x，ζb，cb，kb）的NIrealisions。继续到时间tN，连续添加已接受的变现。在给出数值结果之前，我们现在对第5节的其余部分进行简要概述。最重要的IL-Cocate方面将是转换特性（即Ifrom定理4），因此我们将重点分析不同类型的IL-Cocate。对于转换功能，考虑了两种截然不同的转换价格，并通过蒙特卡罗模拟对每种价格进行评估。方程（39）、（44）和（45）中与损失过程相关的概率（即P（Lti<D）=P（τ>=ti））也通过蒙特卡罗模拟停止时间的分布来评估。

然而，方程式（39）、（44）和（45）以及方程式（60）中与酯交换过程有关的剩余项通过可用的封闭式溶液进行评估。因此，第5.1节考虑了IL CoCocate具有KP恒定转换价格的情况，而第5.2节考虑了转换价格是股价函数的情况，即KP=Sντ表示ν∈ [0，1）。后者包括KP=Sτ时的特殊情况，因为转换价格设置为sh是转换时的价格。最后，第5.3节比较了三种情况下IL-CoCocate的价格行为：当KP为常数时，KP=Sτ，KP=S0.5τ。注意，指数倾斜是一种情况。为了有效模拟重尾密度f（x，ζb，cb，kb），我们使用重要性抽样（见Giuricich和Burnecki[32]）。0.6200.81155价格1.24Fixed strike（KP）1.41031011阈值水平（D）1.6251000.5 1.5 2.5 3.5 4 4.5到期时间0.30.40.50.60.70.80.911.11.21.3定价=1.3 1010D=2.5 1010D=3.7 1010）（a）（b）图3：（a）IL CoCocate价格作为转换价格（KP）和阈值水平（D）的函数，使用损失过程的100000蒙特卡罗模拟计算，Lt.（b）三个不同阈值水平的IL-CoCocate价格作为期限（T）的函数，使用损失过程的100000 Mo nte Carlo模拟计算，Lt，takin gKP=8.5.1。案例1：关键绩效指标（KPI）是一个恒常变量。首先，我们研究了在不断变化的恒定转换价格（KP）和阈值水平（D）的背景下，IL CoCocate价格的行为。

图3面板（a）对此进行了说明。注意，通过方程式（21）至（25）的设计，利率过程不会影响IL-CoCocate转换特征的值，（ζ/KP）EQ[sτZI{τ≤T}B（0，τ）]，完全。从图3面板（a）可以清楚地看出，对于所有不变的执行价格，随着阈值水平的增加，IL CoCocate价格在每单位标称值约1.5的范围内波动。直觉上，这是有意义的，因为在如此高的阈值水平下触发的机会变得越来越小，转换功能的价值越来越低，而现金支付和赎回支付的价值越来越高。事实上，对于这些高门槛水平，IL-CoCocate似乎表现得像公司债券（忽略信用风险）。然而，对于较低的阈值水平，与赎回（或本金）金额相比，包括部分减记投资本金的转换功能更具价值，因此IL CoCocate价格更低。研究不同条件下的IL-CoCocate价格行为也很有趣，其数值结果如图3面板（b）所示。这表明，期限越长，IL CoCocate的价格越低。这是因为从长期来看，触发的可能性更大，因此投资者损失1-ζperunit标称值。但正如预期的那样，对于那些阈值较高的国家来说，油价下跌的速度较慢。5.2. 案例2：KP=Sντ我们现在研究转换价格是转换时股价函数的情况，在ν值和阈值D变化的背景下。图4面板（a）显示了这一点。但同时，请注意，利率的变化确实会对这种结构的期货价格产生影响，因此我们努力研究这种影响。

本次调查的结果如图4面板（b）所示，据此，我们分析了改变两个利率过程参数σrandθr对不同条件下IL共同成本价格的影响。0.8111.25价格1.441.60.53阈值水平（D）10111.82100（a）0.5 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5到期时间0.50.60.70.80.911.11.21.3价格=0。0 3，r=0。02r=0。0 3，r=0.04r=0。1，r=0.02r=0。1，r=0.04r=0。2，r=0.02r=0。2，r=0.04（b）图4：（a）IL-CoCoCate价格作为ν和阈值水平（D）的函数，使用损失过程的100000蒙特卡罗模拟计算，Lt。（b）IL-CoCoCate价格作为三种不同利率波动率和参数θr的两个不同值的项（T）的函数，使用损失过程的100000蒙特卡罗模拟计算，Lt，取ν=0.5。考虑图4面板（a）。作为ν和thresho ld level的函数，当转换特性设置为恒定级别时（如案例I），也会出现类似的行为。考虑到转化率ζ在0.2时相对较小，所见结果具有直观意义，因为转化率对IL-CoCocate的总体价格影响较小。优惠券的时间零值和价格金额对价格的影响明显更大。如果ζ在si ze中增加（可以增加），则观察到IL CoCocate价格行为发生变化，转换价格的TIME-zero值对IL CoCocate价格的增加有明显影响。事实上，从图5所示的数值模拟可以看出，从0.8及以上的ζ值来看，IL CoCocate canarise的时间零价格较高。

然而，我们确实注意到，ζ的如此高的值在实践中可能是不现实的，因为发行人将不会使用太多的IL CoCocate作为资本救济。此外，根据我们进行的其他数值分析，有趣的是，转换价格越低（即，νis越小），增加ζ对时间零点IL-CoCoCate价格的影响越大。此外，我们通过分析瞬时波动率变化的影响和参数θrin图4panel（b），研究了利率变化对IL-CoCocate价格的影响。只有在中长期内，利率的变化才有明显的影响，参数θR是导致这种变化的最大影响因素。请注意，长期来看，不同的利率对息票和本金金额的时间零值有很大影响，因此导致这些条款的IL Cocate时间零值不同。我们用以下备注结束本节。从我们的数值模拟中可以看出，IL-CoCocate对阈值D最为敏感。这对于较低的阈值水平尤其如此，但对于较高的阈值水平（即，超过10的阈值水平），这并没有多大影响。后一种情况是正确的，因为这些高阈值水平的触发概率非常小，并且对于阈值水平的微小变化没有显著差异。0.1 0.2 0.3 0.4 0.500.7 0.8 0.90.30.40.50.70.80.911.1PD=1.3 1010D=2.5 1010D=3.7 1010图5：（a）IL CoCocate的价格作为ζ和三个不同的阈值水平（D）的函数，使用损失过程Lt的100000蒙特卡罗模拟计算，取ν=0.5。5.3.

最后，我们比较了三种不同转换价格的5年期IL CoCocate时间零价格：当KP是一个常数，值为8（用V表示）、KP=Sτ（用V表示）和KP=S0.5τ（用V表示）。表3列出了不同阈值水平D下不同转换价格V、V和V的IL CoCocate的时间零价格。我们的比较主要集中在较低的阈值水平上，因为每个阈值水平的价格差异至少有三个重要参数可见。正如我们在第5.2节中所述，对于较高的阈值水平，不同阈值水平之间的价格差异非常小。表3:V、Vand和V三种转换价格结构下不同阈值水平的时间零利率，期限为5年，S=10。D VVV1.3×100.345 0.310 0.3311.8×100.423 0.379 0.3912.3×100.523 0.460 0.4872.9×100.691 0.653 0.6763.4×100.952 0.915 0.9484.0×101.263 1.271 1.2929.5×101.507 1.508 1.5092.5×101.579 1.579 1.5793.5×101.579 1.579价格达到极高阈值水平的情况。第5.1节和第5.2节也检测到了这种影响：转换价格（和hencefeature）对IL-CoCocate时间零价格有轻微影响。然而，表3显示，在我们模拟练习的限制范围内，Vis始终小于或等于V，这是预期的，因为由于转换价格低于转换时的股价，转换期权更有价值。然而，分析Vand V之间的关系很有趣。在较低的阈值水平下，从表3可以清楚地看出，V超过V。

对于这些较低的门槛水平，转换很可能会更快（比较高门槛水平的转换更快），而且这种微小的损失和短期内利率变化的影响不会对10的初始股价产生重大影响。因此，在转换时，固定转换价格为8的IL CoCocate投资者很可能会以低于转换时当前价值的价格购买股份，从而使转换功能的价值更高。然而，对于更高的阈值水平（即4.0×10和更高），Vexceeds V。在如此高的阈值水平下，大型保险损失现在对股价有更显著的影响，导致转换时股价可能下跌，这很可能低于固定转换价格8。此外，它还需要更多的时间让损失过程达到更高的阈值水平，从而允许利率变动的进一步不确定性。总的来说，利率的不确定性加上股价下跌的可能性，很可能会导致转换功能的价值降低。最后，我们强调，应由发行人为合同规定的转换价格选择适当的阈值水平。阈值水平不应设置得太高（这是投资者首选的选项），SO转换永远不会发生。但是，转换价格不应设定得太低，这样一来，投资者的盈利能力就很高（尽管转换价格较低），这可能是投资者不喜欢的情况。结论在本研究中，我们正式确定了Coco债券的设计，这是一种类似于银行发行的传统Coco债券的ILS。

我们将其与已有的Coco债券文献联系起来，并简要回顾了瑞士证券交易所（SwissRe）于2013年发布的现有COCOCT。此外，我们还解释了为什么保险公司和再保险公司可能需要发行共同条款。在其他原因中，合作者允许其用户利用资本市场提供的更广泛的融资池。随后，我们继续对一种特殊类型的CoCocate进行定价，即与PCS损失指数挂钩的IL CoCoCocate。利率动态选择Longstaff模型。我们能够通过假设巨灾风险和金融市场风险变量之间存在依赖关系，找到直观的价格分析表达式。其次，指数变化的度量使我们能够分别处理金融市场和灾难风险变量，而类Girsanov变换使我们能够从包含两个相关布朗运动的期望中综合去除布朗运动。最后，我们得出了转换特征的分析表达式（以及由此得出的p ri ce），该表达式只需要模拟损失过程，以便根据经验估计股权转换特征触发时间的分布。我们确实注意到，Mon-te Carlosimulation可用于直接估计IL-CoCocator的转换特性值。然而，由于只需模拟一个过程，即保险损失指数，而不必模拟利率和股票价格过程，因此我们对分析公式的简化更具吸引力。最后，我们对IL-CoCocate的价格进行了数值分析，我们认为这种分析在乐器的设计阶段以及在音箱中使用时至关重要。

我们在分析中获得的价格符合直觉：theIL CoCoCate的阈值水平越高，价格越高。但对于异常高的阈值水平，IL-CoCocate的浓度变化不大，这可能是仪器的一个限制。我们还发现有证据表明，IL-CoCocate价格行为对三个设计方面非常敏感：阈值水平、利率和转换分数。由于CoCocate迄今为止几乎没有引起人们的广泛关注，因此显然需要对其进行进一步的研究。研究其他类型的协同行为，例如基于参数触发的协同行为，并研究它们的价格行为，将是一件有趣的事情。考虑其他设计特征也很有意思，例如将Trigger的回收转换为发行人以外的实体的权益。致谢我们非常感谢Peter Ouwehand以及David Taylor（开普敦大学非洲金融市场与风险管理研究所）、Melusi Mavuso（开普敦大学统计科学系）和Jonas Becker（慕尼黑Willis Towers Watson）的意见和见解。但最重要的是，我们感谢迈克·沃德（Witwatersrand大学吉布斯分校）提出这个想法。这项工作得到了波兰国家科学中心第2016/23/B/HS4/00566号赠款的部分支持。参考文献【1】Ahn，D.-H.，Dittmar，R.F.，Gallant，A.R.，2002年。二次项结构模型：理论与证据。财务研究回顾15（1），243–288。[2] Asmussen，S.，Glynn，P.W.，2007年。随机模拟：算法与分析。第57卷。斯普林格，柏林。[3] Bakshi，G.，Mada n，D.，2002年。平均费率索赔，强调巨灾损失期权。

《金融与定量分析杂志》37（01），93–115。[4] Baryshnikov，Y.，Mayo，A.，Taylor，D.，1998年。CAT债券的定价。工作文件。URL：http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.202.9296&rep=rep1&type=pdf.[5] Beaglehole，D.，Tenney，M.，1992年。对利率期限结构非线性均衡模型的修正和补充。《金融经济学杂志》32（3），345–353。[6] Besson，J.-L.，Dacorogna，M.M.，De Martin，P.，Kastenholz，M.，Moller，M.，2009年。再保险需要多少资本？日内瓦关于风险和保险的文件。问题s和实践34（2），159–174。[7] Bishop，D.、Liu，E.Z.、Murray，P.、Solomonia，T.，2009年。或有可转换债券：对2009年12月《加强银行业弹性的咨询文件》的评论。向国际清算银行提交归档咨询文件意见。[8] 比约克，T.，2009年。连续时间套利理论。牛津大学出版社，牛津。[9] Braun，A.，2011年。巨灾掉期定价：一种持续索赔方法。保险：数学与经济学49（3），52 0–536。[10] Braun，A.，2016年。CAT债券一级市场定价：新的经验证据。《风险与保险杂志》83（4），811–847。[11] Brigo，D.，Mercurio，F.，2007年。利率模型理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷。柏林斯普林格。[12] Burnec ki，K.、Kukla，G.、Weron，R.，（2000年）。财产保险损失分配。Physica A 287（1），269–278。[13] Carayannopoulos，P.，Perez，M.F.，2015年。通过ca ta strophe债券实现多元化：次贷金融危机的教训。《关于风险和保险问题及实践的日内瓦文件》40（1），1-28。[14] Chang，C-C.，Lin，S-K.，Yu，M-T.，2011年。利用马尔可夫调制泊松过程对巨灾股票看跌期权进行估值。

《风险与保险杂志》78（2），447–473。[15] Chang，C.W.，Chang，J.S.，2017年。巨灾再保险定价的综合方法。风险5（3），51。[16] Cox，J.C.，Ingersoll Jr，J.E.，Ross，S.A.，1985年。利率结构理论。《计量经济学》，385–407。[17] Cox，S.H.，Fairchild，J.R.，Pedersen，H.W.，2004年。结构化风险管理产品的估值。保险e：数学与经济学34（2），259–272。[18] Cox，S.H.，Pedersen，H.W.，（2000年）。巨灾风险债券。《北美精算杂志》4（4），56–82。[19] 康明斯，J.D.，2008年。Cat bo nds和其他风险相关证券：市场状况和最新发展。风险管理和保险审查11（1），23–47。[20] 康明斯，J.D.，杰曼，H.，1995年。巨灾保险期货和看涨期权利差定价：套利Approa c h.J.固定收益4（4），46–57。[21]康明斯，J.D.，维斯，M.A.，2009年。保险和金融市场的融合：混合和证券化风险转移解决方案。《风险与保险杂志》76（3），493–545。[22]Dassios，A.，Jang，J.，2003年。使用具有热噪声强度的Cox过程对巨灾再保险和衍生品进行定价。财务部。斯托赫。7 (1), 73–95.[23]De Martino，G.，Libertucci，M。，Marangoni，M.，Quagliariello，M.，2010年。反周期资本（ccc）：可能的用途和理想的设计。工作论文，意大利银行：银行和金融监管区。[24]Delbaen，F.，Ha ezendon ck，J.，198 9。无套利市场中保费计算原则的马丁格尔方法。保险：数学与经济s 8（4），269–277。[25]Duan，J.-C.，Simonato，J.-G.，2002年。有利率风险的损失保险价值的最大似然估计。《实证金融杂志》9（1），109–1 32。[26]Durbin，D.，2001年。

管理自然灾害风险：再保险的结构和动态。关于风险和保险的日内瓦文件。问题与实践26（2），297–309。【27】Embrechts，P.，2000年。实际保险与财务保险。《风险金融杂志》1（4），17–26。【28】Embrechts，P.，Meister，S.，1997年。保险衍生品定价，如CAT期货。摘自：1995年鲍尔斯风险证券化研讨会的过程，佐治亚州立大学亚特兰大分校，美国实时学会，专著M-FI97-1。第15-26页。[29]Flannery，M.J.，2016年。通过或有资本证明稳定大型金融机构。《金融季刊》6（02），16 50006。【30】Gatzert，N.，Pokutta，S.，Vo gl，N.，2014年。资本和保险市场的融合：指数关联灾难性损失工具的一致定价。技术代表，联邦大学Erlangen Nurnberg分校的安德里奇·亚历山大神父（FAU）。[31]Georgiopoulos，N.，2016年。简单偿付和流动性契约下或有可转换巨灾债务的估值。《风险杂志》（即将出版）18（6）。【32】Giuricich，M.，Burnecki，K.，2017年。左截断重尾数据建模及其在巨灾债券定价中的应用。SSRN 2 97341 9提供。【33】G¨urtler，M.，Hibbeln，M。，Winkelvos，C.，2016年。金融危机和自然灾害对国债的影响。《风险与保险杂志》83（3），579–612。【34】Hagen dorff，B.，Hagendorff，J.，Keasey，K.，2015年。特大灾难对保险公司的影响：美国房主保险市场基于风险敞口的分析。风险分析35（1），157–173。[35]Harrison，J.M.，Pliska，S.R.，1981年。连续交易理论中的鞅和随机积分。随机过程与ir应用11（3），215–260。[36]Haslip，G.G.，Kaishev，V.K.，2010年。