或有可转换巨灾债券的估值——以

2022-6-14 01:00:04

或有可转换巨灾债券的估值——股权共转换案例Krzysztof Burneckia，Mario Nicol\'o Giuricichband Zbigniew Palmowskia1Apure and Applied Mathematics，Hugo Steinhaus Center，弗罗茨瓦夫理工大学，波兰和开普敦大学非洲金融市场和风险管理研究所，南非摘要在有关或有可转换债券的银行业相关文献的背景下，我们综合考虑了一种相对新型的保险相关证券的设计和特征，称为或有可转换巨灾债券（CoCocate）。我们首先讨论了它的设计，并比较了它与突变债券和突变股票的相对优点。随后，我们在自然灾害和金融市场风险之间独立的假设下，推导出与指数相关的共同资本的分析估值公式。我们用时间非齐次复合泊松过程模拟自然灾害损失，利率过程由Longstaff模型控制。通过使用损失过程的指数变化度量，以及类Girsanov变换来综合去除份额和利率过程之间的相关性，我们得到了这些分析公式。利用早期研究中选定的参数值，我们实证分析了指数关联的共同运营者的估值公式。对结果的分析表明，共同交易价格对利率、转换分数和决定触发时间的阈值水平的变化最为敏感。关键词：巨灾风险，或有可转换债券，时间非齐次复合泊松过程，Longstaff模型，风险中性测度，重尾数据。1.

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2022-6-14 01:00:07

导言鉴于自然灾害多发地区城市化的普遍性以及全球变暖的不利影响，保险公司、再保险公司和ZF甚至遭受了巨大的自然灾害相关损失。保险公司通常通过在再保险市场对风险进行再保险或在资本市场对风险进行证券化来应对不断增加的风险。由于资本市场可以获得更大、更多样化和更具流动性的资本池，而不是再保险人的权益，因此在为巨灾风险融资方面，此类资本市场比再保险市场具有显著优势【26】。因此，研究如何从资本市场获取替代、丰富和稳健的资本来源，为传染风险和灾难性电子风险敞口实体融资，引发了一波创新金融产品浪潮。在这种情况下，保险相关证券（ILS）一直处于领先地位，其中最突出的一类产品是巨灾（CAT）债券，这是一种完全抵押的债务证券，在发生灾难前的事件时偿还债务【19】。其他的例子有灾难期权、灾难期货和相应的作者：zbigniew。palmowski@pwr.edu.plcatastrophe-权益（E类）p uts。然而，鉴于交易量较低，这些工具中每一种的市场地位现在都已消失。基于此类工具市场的首次消亡。其次，关于这些工具的学术文献的最新扩展，第三，全球发生的自然灾害风险的增加，第四，ILS灾难债券市场的增长[61]，我可以提出以下建议。

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2022-6-14 01:00:11

可能需要为易发生灾难的实体提供新的替代资金来源，不同于传统的灾难债券。最近，在银行业，“或有资本”工具，如或有可转换（Coco）债券，得到了各种学者、从业者、经济学家、监管机构和银行的支持，作为一种潜在的途径，可以减少对被归类为“太大而不能倒”的机构的救助需求【59，29】。或有资本工具是一种具有低负债吸收机制的债务工具：即，当发生预先规定的触发事件时，它们会自动转换为普通股或减记【29】。正是在这些或有资本工具的各个方面，我们看到了它们在保险和再保险中的应用。根据我们对行业从业人员的采访和在线发布的大量新闻稿，许多全球保险公司和再保险公司，如慕尼黑再保险公司、瑞士再保险公司、汉诺威再保险公司和美国再保险集团，经常被称为“太大、太失败”。鉴于Coco债券等或有资本工具的成功，我们现在为保险人和再保险人指定了一种特殊类型的Coco债券（在本研究中，这两种债券统称为“发行人”）。我们相信，发行这样一种特殊的Coco债券，我们称之为Coco，将有助于在困境中稳定发行人的资产负债表；特别是在发生极端自然灾害时，可能会引发大量非独立的保险相关损失。鉴于上述情况，本文组织如下。

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2022-6-14 01:00:16

第2节对我们认为的首次发行的CoCocate进行了初步讨论，并随后正式确定了此类CoCocate的机制、结构和特征，了解了有关传统Coco债券的文献。此后，我们试图为一种特定类型的COCAT提供一个估价框架，即与财产索赔服务（PCS）指数等保险损失指数挂钩的框架。我们将这种类型的协同编码称为索引链接（IL）协同编码。第3节描述了现实世界（或物理）概率度量下必要的联合资产、损失和利息率过程，以在我们的模型中验证IL Cocate。此外，还引入了一个重要假设：我们假设自然灾害风险和金融市场风险是独立的，并且这种假设允许使用方便的定价公式。第4节通过引入适用于所选风险中性指标的特定指标变化，利用推动实际指标下IL共同定价的各种过程的动态，在风险中性指标下对其进行定价。在此基础上，推导了IL协同定价的解析公式。为了简化定价形式ulae并避免金融市场变量（即利率和股价）的数值模拟，我们对损失过程的指数变化度量以及类似Girsanov的度量变化进行了研究，以消除利率和股价之间的假设相关性。第5节使用了第4节中推导的定价公式，以便实证研究IL CoCocate价格随模型各种参数变化的行为。

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2022-6-14 01:00:19

从合同设计的角度来看，这种分析对于发行人来说是有用的，可以纳入ILS结构的账簿，但对于ILS合作公司（以及其他类型的合作公司）的投资者来说也是非常重要的。最后，在第6节中，我们陈述了我们的结论和建议，以进一步研究这个新的有趣的话题。2、CoCocates——股权可转换证券案例2.1。背景与工具设计2013年10月，在资本市场上推出了一种新的再保险混合证券。瑞士再保险公司（SwissRe）率先创建了1.75亿瑞士法郎的或有可转换债券，主要用于向更多投资者出售飓风尾部风险。混合证券的有效期为32年，每年支付7.5%的息票，除非触发，否则按面值赎回。这种回报在ILS市场是合理的，例如欧盟和美国的市场投资者通常认为需求回报率为5%至7%。触发事件在Coco（和CAT）债券的经典背景下是不寻常的，因为它是一个双重触发因素：如果在期限内发生200年一遇的大西洋飓风，债券就会触发（这是不寻常的传统内部融资活动），或瑞士证券交易所的偿付能力比率（由瑞士证券交易所的偿付能力测试确定，并在法定报告日期向瑞士金融市场监管局报告）低于135%。如果其中一个触发事件发生，投资者将失去其全部本金；见【62】。这种新颖的混合证券确实对发行人和投资者都很有吸引力。在低利率环境和不断上涨的股市中，资本市场投资者不能忽视此类noveldebt发行的高收益票面利率。

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2022-6-14 01:00:22

此外，从多元化的角度来看，股票发行对这些投资者很有吸引力，因为灾难风险与金融市场风险相对较远；其次，这种新型证券不同于更传统的保险关联证券。然而，必须注意的是，瑞士证券交易所发行的分散收益并不像传统的CAT债券那样受到重视。这是由于双重触发因素的存在，其中一部分基于金融市场事件。但归根结底，如果这种新型证券的结构与瑞士证券公司的结构不同，那么在灾难发生后，如果均价上涨，这些新型证券可能会提供难得的机会来收回长期投资的全部本金。最后，从发行人的角度来看，此类证券有助于满足监管偿付能力要求，并可以根据欧盟的偿付能力II框架和（在某些情况下）美国保险专员协会制定的资本要求框架减少事后违约概率。此外，此类债券的息票支付可以为银行、潜在的保险公司和再保险公司提供一定程度的税收减免。但更重要的是，这类工具可以帮助发行人以一种新的方式将与灾难相关的尾部风险从资产负债表中转移出去，并可以确定触发后将收到的资本。我们现在将瑞士特殊可可债券的发行置于一个更为复杂的环境中，并试图形成一个所谓的可可债券。由于这类证券的市场仍处于初级阶段，迄今为止学术界关注甚少，就我们所知，学术文献中似乎没有对或有可转换灾难（CoCocate）债券的正式定义。

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2022-6-14 01:00:25

在公司负债领域，Coco债券被定义为一种债务工具（出于会计目的，分类为普通负债），在发生预先定义的触发事件后，通过某种预先指定的转换机制转换为普通股，或遭受全额减记。Spiegeleer和Schoutensa根据路透社、彭博社和瑞士证券交易所（SwissRe）发布的新闻稿，与灾难性事件相比，此类事件发生的概率较低，而灾难性债券通常是以灾难性事件为基础的（如0年一遇或50年一遇事件）。债务工具可以是零息票、固定息票或（更常见的是）浮动息票（带已执行债券）。[60]坚持认为，在开证行的情况下，Coco的触发事件是最可能的财务不可行。因此，Coco工具的目的是在发生金融危机或传染效应时稳定资产负债表，并允许减少大型金融机构面临的系统性风险【59】。然而，必须记住，转换为普通股将使可可债券投资者面临未来潜在的损失，并进一步使现有股东面临转换后稀释的风险。因此，Coco bo投资者和现有股东在监控金融机构的风险预算方面都有着更大的既得利益，从而使双方都能更好地监控风险【23】。此外，考虑到稀释的潜在风险，现有股东可能会要求其股权获得更高的要求回报。从发行人的角度来看，这种更高的要求回报在很大程度上将通过降低转换功能的风险来抵消。

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2022-6-14 01:00:28

因此，从平衡现有股东所需的额外回报的角度来看，Coco债券结构中的转换特征以及CoCocate中的转换特征将非常重要。我们认为cococate是一种特殊类型的Coco键。Coco键有两个重要特征-转换Trigger和转换机制-我们试图将其应用于CocoCats领域。正如鲁德林格[59]所提到的，转换触发器列出了触发可可键转换机制的一个或多个事件，而转换机制在债券契约中明确定义了触发事件后可可键直接发生的情况。因此，我们认为共同资本是一种aCoco债券，其诱因与发生一次或一系列预先发生的自然灾害有关，以及一种转换机制，即债券（i）按照债券契约规定的转换率转换为发行人的普通股（从而增加发行中的普通股规模），或（ii）按契约中规定的固定百分比减记（本金和息票）。后期转换机制让人想起发行日当天各种CAT债券的典型结构（例如，见康明斯和维斯[21]）。鉴于我们对共同保险人的拟议定义，鉴于其在保险和再保险环境中的实际适用性，我们提出以下意见。首先，SwissRe的2013placement大致就是这样一个CoCoCate的例子，触发器是基于索引的。其次，我们注意到，在银行发行带有银行相关触发因素的COCO的情况下，为了保护is起诉银行的声誉，有一种趋势，即不减记息票支付后投资的本金[7]。

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2022-6-14 01:00:32

正如一些行业从业人员所了解的，这种行为在猫的世界中也很明显。许多CAT债券在触发时并未全部减记，而是开始在较长时间内支付较小的息票（与原始期限相比），本金偿还可能会延迟到到期后的某个时间点。因此，通过采取此类行动，很明显，银行和CAT债券发行人都不希望通过当前和未来的投资者发出负面信号。这突出了CoCocates必须向发行人提供的众多潜在利益之一。我们现在介绍了我们预计CoCocates将提供的好处。首先，由于本金偿还不会出现意外延迟，因此可以更确定从共同客户处收回本金的时间（即债务在触发时转换）。其次，CoCocate的结构可以考虑发行人的本金回收金额，以及在CoCocate触发器中固定的注入股本（属于投资者）的总金额，允许与传统的CAT债券触发器具有相同的形式，即参数、指数关联、建模或赔偿触发器。进展最后，也是最重要的一点，CocoCats可以满足普通负债的必要减少，还可以提供即时的事前流动性，以立即支付保险索赔。请注意，CocoCats的股权转换功能可以允许发行人在solvency II制度下的事后偿付能力提高，自然灾害相关和集群索赔对其资产负债表的影响造成的财务压力。然而，我们指出，从共同经营者和共同投资者的角度来看，诸如减记之类的触发转换机制可能是惩罚性的。

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2022-6-14 01:00:35

从投资者的角度来看，考虑到减记风险，股权转换前的高息票率是必要的，但必须与COCOCAT触发的风险相称。虽然从发行人的角度来看，这样一个共同资本的吸引力将限制可以利用的资本市场的规模，因为某些投资者可能无法或不愿意承受本金全额减记的风险。考虑到上述所有情况，我们建议在股权转换触发的基础上发行共同债券可能是合适的，因为债券本金的一定比例是在发行人的普通股权中回收的，因此可能会增加其资产负债表或风险评估中反映的资本。我们随后继续这一动力：从现在起，我们假设CoCocate在触发时转换为股权。作为我们基于股权转换的共同债券案例的最终证据，我们鼓励发行共同债券，而不是传统的CAT债券。乔治·奥普洛斯（Georgiopoulos）[31]中提供了大量证据，我们将其作为我们所提议的CoCocate的简单设计的基础。首先，共同运营商为投保人提供了转移保险风险的机会，而无需在海外司法管辖区（如百慕大和凯曼群岛）进行投资交易，而ILS主要在这些地区进行交易。CoCocate可由发行人通过承销商或在结构代理的帮助下，在其本国（或明智选择的外国）债务市场上直接发行，发行方式与Coco债券的发行方式类似。此外，与CAT债券相比，投资者可以更轻松地进行CocoCats交易，并且可能不需要aquali fied investor子句来进行交易[31]。

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2022-6-14 01:00:39

对《反海外腐败法》发行人来说，另一个吸引人的特点是，不需要设立一个特殊目的工具（以及设立《反海外腐败法》债券所需的总回报掉期）来发行债务并作为债务的抵押品，因此减少了工具的设立费用。第三，由于不存在用于发行的特殊目的载体，与传统的ILS不同，CocoCats不需要特殊再保险中介来推广、发行和出售债务——投资银行可以为发行提供担保【31】。最后，基于第三方灾难风险模型，可以很容易地建立共同运营者的触发机制，因此不需要专门的内部模型开发。我们指出，与赔偿或参数债券相比，发行指数挂钩的CAT债券也有优势，但对于具有指数挂钩触发机制的共同债券和指数挂钩的CAT债券，都可能产生基差风险。然而，我们强调，在保险人或再保险人作为发行人的情况下，共同保险的重点不是针对与灾难相关的保险损失支付提供完全的保护，而是来自资本市场的部分金融保护，这是一个比再保险市场更大的市场。因此，在上述信息的基础上，我们建议将COCAT的形式结构如图1所示。参考图1，共同持有人的操作是，与E类看跌期权相比，这种事前资本准备金也是共同持有人的一个令人愉快的优势，但后者的事后资本准备金可能不会实现（即信贷风险）。基差风险是指保护工具的现金流与预期对冲的损失之间可能不匹配的风险。

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2022-6-14 01:00:42

我们指出，对发行人而言，以风险为基础的事后成本可能太高。下文讨论。2.1.1投资者将债券本金转让给iss uer，然后在资产负债表中立即反映为普通负债。然后，债券发行人将收益投资于流动国债（可能会折减），其贴现平均条款与CoCocate大致相同，以避免信用风险。2.1.2 iss用户可以组织将固定收益兑换成浮动收益，尤其是如果Cococat的优惠券是浮动的。通常使用浮动回报率，以便将投资者的预期回报基于参考利率【54】。2.1.3在触发CoCocate之前，发行人将使用浮动申报表和保险金，按照预先规定的期限向投资者支付CoCocate上的息票。息票将基于参考利率（如伦敦银行同业拆借利率），还将包括固定息差，以考虑灾难风险。2.1.4如果未触发CoCocate，投资者将在到期时收到全额现金本金，以获得最终息票。2.1.5如果触发，COCOCATA将终止，并将通过发行人的余额表注销责任。发行人将从国债中赎回本金，并将使用该本金的预定比例来支付指定的超额（灾难性）债权。剩余的国债本金将转换为（新的）普通股，并将属于共同公司的投资者，从而增加发行人对总股本的比例。因此，投资者在投资者权益中收回其本金的一部分。图2说明了共同运营者的触发因素对发行人权益和负债的影响。

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2022-6-14 01:00:45

请注意，触发共同持股后，负债减少（由灾难导致的还款引起），共同持股人的债务价值比例消失，共同持股人的剩余价值转换为新的普通股。考虑到椰子糖的简化设计结构，我们现在努力参考Spiegeleer和Schoutens指定的椰子糖键的“解剖结构”，更全面地分析和重新定义结构【60】。我们首先考虑转换触发器。Spiegeleer和Schoutens提出的四种更为普遍的Coco b ond触发器（会计、市场、监管或多变量）中，不需要将Coco C指定中使用的自然资本相关触发器事件作为其中之一【60】。这是因为CoCocate的目的和性质不同，而且CoCocate是针对保险人和再保险人而非银行的特定证券。基于灾难的触发因素本身与发行人财务健康的明确指标（如solvencymargin）有着本质的区别，但这些类型的触发因素可以是保险和再保险行业整体财务健康的指标。因此，我们假设基于灾难的触发因素是一种系统性触发因素（正如Pazarbasioglu等人【58】所介绍的，这是一种与该工具所在行业的整体财务健康状况相关的触发因素）。在继续之前，重要的是要注意触发器应遵循四个标准[59]。我们现在讨论基于自然灾害的触发器是否符合这四个标准。2.2.1触发事件的清晰度。无论发卡机构在哪个司法管辖区操作，触发器都应携带相同的消息。

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2022-6-14 01:00:48

任何一种普遍接受的Cat债券触发因素（参数化、赔偿、指数链接或建模）都不可能是共同行为触发因素。事实上，考虑到保险损失报告与下一次的e ju ri sdiction不同，基于赔偿的触发器将满足这一标准的要求。指数链接触发器（如果基于特定的保险损失指数）和基于参数的触发器SwapCounterPartyLiquidTreasures来自capitalmarketsIssuerUnderwriter（即银行）的投资者浮动再回报固定回报浮动再回报原则性原则性原则性原则性原则性原则性原则性原则性原则性权益组图1：如果由银行编写，则拟议的共同coCat结构。毛入学率将符合这一标准。触发因素还包括与会计相关的触发因素，例如瑞士证券交易所的CoCocate，但由于不同的司法管辖区适用不同的会计法规，因此需要谨慎对待。2.2.2触发事件的客观性。触发因素应在CoCocate的招股说明书中详细记录，并在发行之日已知。在共同交易期限内，绝对没有改变触发因素定义或改变债券转换为股权的方式的余地。2.2.3触发事件的透明度。与灾难相关的触发因素应该简单易懂，投资者和发行人都可以定期观察到。这可能是前面提到的所有四种CAT债券触发因素的问题，因为大多数信息是公司专有的（尤其是在基于赔偿的触发因素的情况下）或是另一家灾难建模公司专有的（尤其是在[行业]指数挂钩的触发因素的情况下）。在行业指数触发的情况下，满足该标准。

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2022-6-14 01:00:51

然而，我们认为，发行人应根据严格的保密条款，努力向投资者提供触发过程演变的信息。2.2.4触发事件的功能。Coco债券的触发类别由功能条件确定：触发因素应是发行人财务困境状态或发行人经营所在金融市场的适当衡量标准。Weargue认为，基于自然灾害的触发因素的功能确实表明了特定发行人的财务困境，因为就这些灾难而言，预期未来损失索赔和潜在索赔传染给发行人，将是其他负债（A）共同资本负债共同资本权益负债（B）其他权益图2：共同资本触发对发行人权益和负债的预计影响：（A）p提供共同资本触发前资产负债表结构的简化概述，而（B）提供共同资本触发后的资产负债表概述。请注意负债的减少，这是减记的结果。与这些灾难的发生有关。此外，灾难的发生不在发行人的控制之下，这为此类客观触发机制的选择提供了进一步的依据。我们现在考虑转换机制，如前所述，该机制规定了转换时应遵循的程序，以及转换时共同投资方的潜在损失（本金）。我们遵循鲁德林·格尔（R¨udlin ger）[59]的精神，对于我们提出的COCATA结构，考虑转换分数、价格和比率。转换分数ζ规定了按合同规定的转换价格转换为普通股的或有债券面值的比例。

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2022-6-14 01:00:54

因此，如果ζ=1，债券的全部面值将转换为权益。然而，就我们提议的共同投资而言，我们假设0<ζ<1：因此，共同投资投资者失去了1的比例-ζ，并将ζ的剩余比例转换为新的普通股。由于CoCocate的主要目的是在触发事件发生时（与发行人的债权经历直接或间接相关）立即提供流动资金，我们建议在资产负债表中减记CoCocate债务，这一减记金额被指定用于立即支付任何比预期更糟糕的灾难相关索赔（直接或直接与触发事件相关）。这会削弱发行人的资产负债表。然而，我们要注意的是，转换分数的选择是客观的，但却是关键的。回顾ILSs的目的不是在不利经验的情况下提供全面保护，而是补充全面的灾难风险管理框架。因此，发行人需要仔细决定ζ，ζ最终确定发行人在灾难发生后每单位名义上收到的资本额。影响ζ量级的因素首先是预计的未来灾难相关索赔经验（很难准确评估）作为风险预算，其次是证券营销和起诉的投资者基础。最后，需要考虑后续股权稀释的影响。转换价格KP是共同投资方转换潜在损失的关键指标。

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2022-6-14 01:00:57

事实上，KP可以解释为共同公司发行人的股票价格，在该价格下，债券面值的分数ζ在触发时转换为普通股。鲁德林格[59]提出了三种可能的转换价格设置方法，并将其应用于共同经营者的情况：（a）在共同经营者招股说明书中确定，（b）转换时的市场股价，或（c）触发时已知股价的函数。我们认为，在共同投资的情况下，期权（a）可能不适合投资者。Hagendorff等人最近发现，在发生特大自然灾害后，保险公司的份额略有下降。[34]，这是意料之中的。因此，存在将转换价格设定为高于市场价格的风险，从而对合作公司的投资者产生不利影响，从而导致投资者获得的股份减少。这可能会降低CoCocate的营销能力和相对吸引力。此外，该转换价格可能会考虑到发行人和持有公司大量股份的现有股东的道德风险。也就是说，将转换价格设定在一个不可接受的高水平将对股权产生重大影响，投资者将在触发后恢复。然而，期权（a）的一个关键好处如下：根据共同配售的规模，发行公司的现有股东可能会优先选择该期权，因为如果当前股价因自然灾害的影响而严重下跌，该期权可能会抑制其持股的稀释【60】。相比之下，如果全部本金金额转换为股权，则期权（b）对共同投资者来说似乎是等时性的，因为几乎不会对投资者造成任何股价差异损失。

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2022-6-14 01:01:00

如果CoCocate发行的规模相对于iss ue的总股本而言较大，那么这种最佳状态（b）也是有利的，因为CoCocate投资者有可能获得发行公司的实质性股份。此外，o p（a）中所述道德风险的范围没有明确规定。然而，目前的股东只需接受稀释他们的持股，从他们的角度来看，这可能是不可取的。期权（c）也是共同配售设计中的一种可能性，可以考虑更多的灵活性，这可以提高此类发行对投资者和发行人的吸引力。还有一些支持这种基于函数的转换价格的进一步论据，涉及到减少共同投资者操纵股价的情况——参见第3.3节o f R¨udlinger【59】。然而，我们警告称，这可能会使定价考虑和框架复杂化。在本研究中，根据KP的选择，我们考虑了选项s（a）、（b）和（c）。在本节的最后，我们对在保险或再保险公司中实际使用CocoCats进行了一些评论。CocoCats的主要目的是帮助iss uer管理经济和偿付能力资本：正如Besson等人所假设的那样[6]，资本的关键功能是吸收公司承担的风险，其传染性比预期的更差或更大。我们还认为，您提议的共同投资可能会导致现有股东在风险低于预期的情况下无法提供额外资本。要求现有股东提供额外资金是不利的。我们还重申，拟议的CoCocate工具并非旨在作为一种巧妙的金融工具，以实现灾难性损失的全额赔偿。

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2022-6-14 01:01:03

相反，它是对全面和一致的灾难风险管理框架的补充，也是其不可分割的一部分。因此，它应该遵守Pazarbasioglu等人提出的框架要素[58]，即加强监管、健全的经济资本基础、更好地通知市场的透明披露以及明确的处置制度。由于其市场是新的，因此，大多数股票将暂时成为非标准、场外交易和（针对发行人）定制的工具。因此，在代表发行人、投资者和保险市场监管机构开发和管理此类问题时，有必要进行仔细审查。尽管这对每一次发行都是特殊的，也是一项艰巨的任务，但需要在不产生额外道德风险和信息不对称的情况下，在合作伙伴给发行人带来的潜在利益和投资者获得的回报之间实现谨慎的平衡。2.2. 与其他灾难相比，e-linked ilsscoccats是一种形成自己独特类别的ILS。它们类似于E类看跌期权，即一旦触发，发行人将向投资者出售部分股份。然而，E类看跌期权受到了信贷风险的限制。如果他们在合同开始时提供了资本（在触发之前），则不得合作。此外，共同交易的期限可能比E类看跌期权长得多——期限将取决于触发因素的类型。与指数挂钩的巨灾债券ds、巨灾掉期和E类看跌期权非常相似，指数挂钩的共同交易可能使发行人面临基差风险（这与行业损失和再保险不同），尤其是当该工具旨在对冲发行人负债的特定组合时。

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2022-6-14 01:01:06

但是，与指数挂钩的ILS的一个令人愉快的优点是，它们可以消除道德风险的普遍性，不幸的是，道德风险在恢复时是一个问题。最后，可以收回投资于共同公司的全部本金，即使其被转换（如果股票在未来表现良好），但对于CAT债券而言，这种完全收回并非始终可行。表1总结了这一比较的要点。表1：CAT键、CAT-E和CO键的简要比较（上标*，表示规格的变化可能超出表中所述）。CAT债券CAT-E认沽期权共同履约期限3-5年1-5年*取决于触发资本准备金X事后事前全额本金的可能性否否是灾后恢复触发付款指数关联罢工vs.股票指数关联债务赔偿参数纯参数指数参数指数模型损失多个触发多个触发因素道德风险如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。交易对手。与索引相关的CoCocate：模型3.1。模型设置、假设和属性我们现在将重点放在一种特定类型的协同产品上，并介绍其分析定价所需的工作方式、注释和基本定义。我们支持触发器是指数链接的，并且还支持CAT bonds所基于的许多指数链接触发器（例如，参见康明斯（Cummins）[19]，w el l as Haslip and K Aisev[36]，Ma and Ma[51]，Nowak and Romaniuk[55]和Gatzert et al[30]）。

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2022-6-14 01:01:09

例如，考虑一种最常见的与指数挂钩的CAT债券：其类型取决于财产索赔服务（PCS）行业指数。对于大多数此类债券，触发点被定义为PCS指数累计损失超过合同规定阈值水平的时间点。从这里开始，我们假设CoCocate是基于PCS损失指数，但是，请注意，就模型中可以使用的指数类型而言，没有失去一般性。我们的框架中也可以使用其他指数（如欧洲联盟的风险指数）。我们大致遵循Jaimungal和Wang【41】，并在现实世界的孔隙度测量下开始。在任何概率度量下，共同运营者的价格取决于两种正在出现的现象：金融市场相关风险和灾难相关风险。由于灾难风险会导致跳跃，我们需要在不完整的市场环境下工作，并注意可能会出现复杂的衡量变化。为了避免这种情况，我们根据之前有关灾难相关金融工具定价的大量文献，做出以下假设。Hoyt和McCullougH【37】以及Cummins和Weiss【21】提出了支持这一假设的证据，但Carayannopoulos和Perez【13】以及Hagendorff et al【34】对此提出了质疑。假设1。灾难风险变量和金融市场风险变量在现实世界中是独立的。这一假设在众多与灾难相关的工具研究论文中都有提出，包括Baryshnikov等人【4】、Cox和Pedersen【18】、Jarrow【42】、Braun【9】、Ma和Ma【51】以及Nowak和Romaniuk【55】。它为我们提供了独立于金融市场风险变量处理灾难风险变量的可能性。

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2022-6-14 01:01:12

因此，我们可以在现实世界中，以及随后在风险中性概率测度下，将Coccat pricin g分解为两个独立的问题。此外，以下方法是建立模型所需概率空间的一种方便方法。我们假设存在两个概率空间：对于金融市场风险变量，该空间由(OhmF、 ^F∞,PF），其中^F∞:=Wt公司≥0^Ft部分金融市场过滤（^Ft）t≥0.A lso，OhmF分别为样本空间和PFI，是金融市场风险变量的真实概率度量。对于灾难风险变量(OhmC、 ^C∞,PC），其中^C∞:=Wt公司≥0^Ct表示部分灾难风险过滤（^Ct）t≥0.此外，OhmCis是相应的样本速度，PCS是灾难市场风险变量的现实概率度量。从这些概率空间，我们可以构造一个乘积空间(Ohm,G∞,P），其中Ohm:= OhmF×OhmC、 G级∞:=^F∞^C∞和P：=PFPC.N注意到如何在P.On的定义中方便地捕捉到第1类消费Ohm, 我们定义了以下两类对我们的分析很重要的集合：Ft:=^Ft×{φ，OhmC} 和Ct：={φ，OhmF} ×^Ct。此外，请注意Gt：=^Ft连续油管。正如布劳恩（Braun）[9]研究的巨灾掉期以及CATbonds和其他ILS一样，COCOCT不是一份保险合同，而是一种金融工具，因此需要使用金融定价技术对其进行定价。正如Cox等人[17]提出的那样，如果存在非流动性和大市场的灾难关联证券（s ay Coccates），那么标准衍生品定价理论（例如，见Harrison和Pliska[35]）意味着存在风险中性度量，因此可以对指数关联Coccates等ILS进行定价。

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2022-6-14 01:01:16

然而，由于CEA灾难掉期是一种金融工具，其中保护卖方从保护买方处定期收到付款，作为交换，保护买方收到预先确定的损失赔偿金，并应事先约定触发事件。指数关联的共同目标依赖于一个表现出跳跃的过程，市场是不完整的，并且存在henceno统一的风险中性度量[27]。因此，我们假设金融市场风险变量QF存在给定的风险中性定价度量，QF是通过适当的利率和股票价格过程校准获得的。然而，下一个问题涉及巨灾风险变量的相关风险中性概率度量是什么。由于巨灾风险变量将被假定为遵循跳跃过程，我们将有几种选择【22】。我们考虑默顿的不完全市场框架[52]。这种方法已广泛应用于估值收益（以某种方式）与自然灾害发生相关的衍生品时，例如Bakshi和Madan【3】、Lee和Yu【44】、Vaugirard【64】、Jaimungal和Wang【41】、Lee和Yu【45】、Ma和Ma【51】、Nowak和Romaniuk【55】以及Chang和Chang【15】。基于默顿框架的普遍性，我们在工作中提出了以下假设，并广泛使用。假设2。投资者对自然灾害风险变量带来的跳跃风险保持风险中性。更全面地说，在金融工具定价的背景下，假设2指出，在整体经济中，自然灾害可以被视为可以（几乎）完全分散的特殊风险。灾难风险将构成“无n-系统性风险”，并且不合理地将产生零风险溢价。

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2022-6-14 01:01:20

因此，巨灾风险变量的风险中性概率测度将与各自的真实概率测度c重合，并且在测度之间改变时，跳跃过程将保持其分布特征。关于支持这一点的进一步讨论，请参见Delbaen和Haezendonck【24】、Cummins和Geman【20】以及Cox和Pedersen【18】。然而，必须记住，最近的经验巨灾债券定价文献表明，巨灾债券没有零风险溢价（例如，见Papachristou【57】、Braun【10】和G¨urtler等人【33】）；这可能会延续到其他与灾难相关的ILS工具，如w el l。在此背景下，可以推断，基于零风险溢价假设的定价将产生比假设非零风险溢价的定价模型更高的价值。因此，这些定价模型的使用可能需要在计算价值中增加额外保证金，或在与跳跃过程相关的分配参数中增加保证金，所有这些都由发行人自行决定。尽管如此，我们在工作中仍然对假设2感到遗憾，原因有二。首先，它与根据布劳恩[9]在实践中盛行的精算定价技术相称。其次，也是最重要的一点，它可以适应模型中不属于投资资产因而不可交易的状态变量的范围。因此，我们可以使用真实世界的数据来定价。考虑到许多与灾难相关的ILS（尤其是协同运营商）定价数据的稀缺性（且难以获得），这一点非常有用。我们现在可以在可测量的产品空间上构建风险中性度量(Ohm,G∞): 我们设置Q：=QFPC.我们考虑乘积空间上定义的两个重要随机变量(Ohm,G∞,Q）。

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2022-6-14 01:01:24

对于金融市场随机变量YF：OhmF7层→ R（其中yf∈ m^F∞) 我们可以将其与一个独特的Y∈ mG公司∞, 带Y：Ohm 7.→ R、例如y（ωF，ωC）：=YF（ωF）（1）指数挂钩证券基于保险损失指数，如PCS指数。此类指数通常被建模为跳跃过程，我们将在本节后面的部分中回到这一点。对于ωF∈ Ohm风扇ωC∈ OhmC、类似地，对于灾难风险随机变量XC：OhmC7级→ R（其中XC∈ m^C∞) 我们可以将其与唯一的X关联∈ mG公司∞, 带X：Ohm 7.→ R使得x（ωF，ωC）：=XC（ωC）。（2）请注意，随机变量X和Y的定义为我们提供了一个从单个空间到乘积空间的简单随机变量转换。请注意，更一般地说，对于某些X，X（ωF，ωC）∈mG为C∞-可测的当且仅当它不依赖于ωF时。类似地，对于some▄Y，▄Y（ωF，ωC）∈ mG是F∞-可测量的当且仅当它不依赖于wC时。在从两个概率空间构造可测积空间的过程中，我们注意到假设1导致以下属性。假设1表明，在风险中性概率测度Q下，我们可以方便地拆分预期。命题1。对于所有可积G∞-可测随机变量Y和d X分别定义了方程（1）和（2），它认为eq【XY】=EQC【XC】EQF【YF】。（3）证明。XC（ωC）时的Supp o se th：=对于某些A∈^C∞和YF（ωF）：=对于某些B∈^F∞. 因此，通过构造，X（ωF，ωC）=IOhmF×A（ωF，ωC）和Y（ωF，ωC）=IB×OhmC（ωF，ωC）。现在，等式[IA×]Ohm金融机构OhmC×B]=Q（{A×）OhmF}∩{OhmC×B}）=Q（A×B）=QC（A）QF（B）=EQC[IA]EQF[IB]。通过基于单调类定理的标准参数，结果适用于所有非负可测函数。在…上Ohm, 我们定义了以下两组对我们的分析很重要的数据：Ft：=^Ft×{φ，OhmC} 和Ct：={φ，OhmF} ×^Ct。以下命题为美国国债定价提供了依据。

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2022-6-14 01:01:27

但在此之前，让我们先介绍一下下面的有用引理。引理1。它认为F∞⊥⊥质量控制部∞证据支持F∈ F∞和C∈ C∞. 然后我们可以写出F=F′×OhmF′的C∈^F∞andC=OhmF×C′表示C′∈^C∞. NowQ（F∩C） =EQ[IFIC]=EQ[IF′×OhmCI公司OhmF×C′）=EQF[IF′]EQC[IC′）=QF（F′）QC（C′），其中最后一行后面是命题1。现在，注意QF（F′）QC（C′）=QF（F′）QC(OhmC） QF公司(OhmF） QC（C′）=Q（F′×OhmC） Q(OhmF×C′）。提案2。假设t h在G处∞-可测量的随机变量Y和X分别如方程（1）和（2）所示。然后，它认为EQ[XY | Gt]=EQ[X | Ft]EQ[Y | Ct]。证据根据条件期望的部分平均性质，对于所有A∈ 燃气轮机。我们现在需要证明zaeq[X | Ft]EQ[Y | Ct]dQ=ZAXY dQ。（4）然而，通过一个单调的类参数，就足以证明方程（4）在a：=F×C时成立，其中F∈ F和C∈ 计算机断层扫描。现在，方程（4）可以重写为Ohm如果×，则等于[X | Ft]Ohm|{z}Ft可测eq[Y | Ct]IOhm×C |{z}Ct可测dq，根据过滤fta和Ctunder Q的依赖关系（见引理1），等于ZOhm如果×，则等于[X | Ft]Ohm干熄焦ZOhm等式[Y | Ct]IOhmF×干熄焦=采埃孚×OhmCEQ[X | Ft]dQZOhmF×CEQ[Y | Ct]dQ=采埃孚×OhmCX dQZOhmF×CY dQ=ZF×CXY-dQ，其中最后一行后面是Q下X和Y的独立性。现在，在我们提出CAT债券定价定理之前，我们为命题2提供了一个有用的推论。推论1。使用与提案1中相同的符号，如下所示：（i）EQ[X | Gs]=EQ[X | Fs]s>0；和（ii）等式[Y | Gs]=等式[Y | Cs]s>0。证据第（i）部分接着在命题1中设置g Y=1，并应用假设2，而第（ii）部分接着设置X=1。在呈现捕捉金融市场行为和灾难风险变量的过程之前，我们先介绍一些符号。设：oT>0表示IL COCOCATE的术语。

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2022-6-14 01:01:30

对于IL-CocoCats，我们假设期限将与普通发行的ind-ex-linked CAT债券的期限一致。然而，对于基于非常罕见的tai-l风险的参数型CocoCats（如第2.1节提到的SwissRe-CoCocate），期限更长是有意义的Z是投资于CoCocate的本金金额，投资者将在CoCocate有效期内收到该本金金额，而CoCocate在有效期内不会触发Vdenote截止日期的IL COCOCATE价格，t：=0{St，t≥ 0}是发行公司的股价。o{Lt，t≥ 0}是一个聚合的l oss进程，它捕获IL CoCocate所基于的索引的行为。假设总损失过程的频率分量由（可能不均匀）泊松过程N={Nt，t指定≥ 0}，具有实值函数λt指定的确定性强度，以及一系列ID严重度分量连续随机变量{Xk，k∈N} （与频率成分无关），每个都具有分布函数fX和密度fX。我们假设RTλsds<+∞.o T： ={T，T，…，tN-1，tN=T}表示N个息票支付日期的集合。o 表示息票支付日期ti之间的固定年时间段-1和tifori∈ {1，2，…，n}。根据Jarrow【42】，在CAT债券的情况下，这应该是一（1/12年）、三（3/12年）或六个月（6/12年）。oR（t，ti-1，ti-1+ ) 成为-时间t时的年简单远期伦敦银行同业拆借利率≥ 0.o{rt，t≥ 0}是每年无风险的即期汇率过程，持续复合。oc≥ 0是IL共同成本的固定价差（即灾难风险溢价）。oζ是之前介绍的IL CoCocate合同规定的换算分数D>0是IL公司招股说明书中规定的触发因素的阈值水平τ=inf{0≤t型≤T：Lt≥D} ，第一次达到或超过触发水平。

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