（45）可以表明【160161】逆测量eu+也与比率r+i=平面和p+i=ri自相似，其中多重分形谱f+（α+）是τ+的勒让德变换，其隐含定义为nxi=1（p+i）p（r+i）-τ+= 1. （46）很容易验证以下反演公式成立（τ（q）=-pτ+（p）=-q、 （47）紧接着是两个等效的可测试公式（τ（q）=-τ+[-1](-q） τ+（p）=-τ[-1](-p） ，（4 8）其中上标[-1] 表示反函数运算符。图3（f）验证了反演公式（48）适用于标准普尔500指数的高频波动时间序列【159】。我们还可以将正、逆奇异强度与正、逆奇异谱联系起来。Fro mEq公司。（47），我们有α（q）=dτ（q）dq=-数据处理-dτ+（p）=α+（p）。（49）结合式（47）、式（49）和勒让德变换，我们得到f（α）=qα- τ = -τ+（p）α+p=α[-τ+（p）+pα+]=f+（α+）/α+=αf+（1/α）。（50）这些结果的严格证明也可以在参考文献中找到。[160, 161]. 很容易得到正广义维数和逆广义维数之间的关系[164]：（p=-（q）- 1） D（q）D+（p）=q/[1+（q- 1） D（q）]，（51），其中D+（p）是反向的广义维数函数。2.1.5. 整体平均在金融时间序列的多重分形分析中，几乎所有研究都集中于单个时间序列，很少有例外。我们可以进一步研究单个资产的原始时间序列集合【165】。发展集合平均法是为了确定扩散受限聚集的多重分形维数[166–170]，并挖掘出一个由复杂分形维数量化的精细离散h-I-rarchy[171]。我们将q上移和退火质量指数τquen（q）和τann（q）定义如下，Dlnχq（s）E~ -τquen（q）lns，（52）lnDχq（s）E~ -τann（q）ln s，（53），其中角括号h·i表示所有时间序列的集合平均值。

退火指数对具有异常值χq（s）的系综的rar e样本更为敏感，而受影响指数更具有系综典型成员的特征【172】。系综平均法下的研究在于考虑到人们对古代仪器的n个“系综”的动力学进行多次测量。整体平均法提供了另一种方法来衡量除市场指数以外的个别股票的市场风险。它也不同于直接平均许多个人股票的风险度量。此外，虽然该方法最初是为配分函数法开发的，但它对其他多重分形分析方法的扩展是很有前景的。2.2. 结构功能方法2.2.1。直接结构函数（MF-SF）湍流场的另一个重要统计量是速度增量的结构函数[133134]。已经进行了经典实验来测量结构函数及其非线性标度行为【135】。这种非线性标度行为也称为多重分形[122136]。结构函数法也被用来研究金融时间序列[18、138、173]。qth或der结构函数在文献中也称为qth或der高度-高度相关函数【174175】。考虑一个时间序列{X（i）：i=1，····，N}。时间尺度上的增量或创新定义为X（i，s）=X（i）- X（i）- s） 。（54）对于金融资产，X（i）是对数价格，并且X是持续时间s的时间间隔内的收益。qth orderstructure函数定义为增量分布的qth阶矩：K（q，s）=h|X（i，s）| qih | X（i）| qi=N-sPNi=s+1 | X（i）- X（i）- s） | qNPi[X（i）]q。

（55）我们强调q≥ 0表示湍流中的时间序列【135】、金融领域【138176】和其他领域，bec a使用X（i，s）可以证明负阶矩没有定义。当q=0时，我们有K（0，s）≡ 1，它与尺度s无关。当n q=2时，K（2，s）与自相关函数成正比~ hX（i）X（i）- s） i【138176】。对于自相似时间序列，我们期望haveK（q，s）~ sζ（q），sqH（q），（56），其中H（q）是广义Hurst指数。标度函数为e d，即[177]τ（q）=ζ（q）- 1=qH（q）- 1.（57）当q=0时，我们得到τ（0）=-1.（58）在实践中，对于每个固定的q，我们用不同的s值计算K（q，s）值，并在适当选择的标度范围内，对ln s进行ln K（q，s）的线性最小二乘回归[smin，smax]，以获得qH（q）a和τ（q）。它允许τ（q）=qH（q）- 1=Psln sPsln K（q，s）- NPsln s ln K（q，s）Psln s- NPs（ln s）- 1（59）我们可以通过勒让德变换进一步确定奇异函数α（q）和奇异谱f（α）。当X（t）为单分形时，H（q）=H为常数。当X（t）具有多重分形性质时，H（q）随q减小。根据K（q，s）的定义，我们得到了ln K（q，s）dq=K（q，s）dK（q，s）dq=PtvqdPtvqdq=Ptvqln vPtvq，（60），其中p是s+1的和≤ t型≤ v>0时的T。表示k——标度关系的比例系数（56）。很明显，k>0。结合式（56）和式（57），我们得到了τ′（q）k ln s=d[τ（q）+1]k ln sdq=d ln k（q，s）dq=Ptvqln vPtvq。（61）设g（x）=x ln x。

当x时，g′（x）>0∈ [1/e+∞) 当x时g′（x）<0∈ （0，1/e）。图4显示了基于结构函数法对道琼斯工业平均指数（DJIA，1896-2015）对数价格X（t）的每日时间序列进行多重分形分析的结果。1895 1915 1935 1955 1975 1995 2015345678910tX（t）10010110210310410-1510-1010-5100sKq（s）q=1q=2q=3q=4q=5q=60 1 2 3 4 5 60.30.40.50.6qH（q）0 1 2 3 4 5 6-1.-0.500.511.5qτ（q）0 1 2 3 4 5 60.10.20.30.40.50.6qα（q）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.200.20.40.60.811.2αf（α）图4：（彩色在线）基于结构函数法对道琼斯工业平均指数（DJIA，1896-2015）对数价格X（t）的每日时间序列进行多重分形分析。（a） 道琼斯工业平均指数的每日价格时间序列。（b） 对于不同的q值，结构函数K（q，s）对时滞s的幂律依赖性。（c） 广义Hurst指数H（q）作为q的函数。（d）标度指数函数τ（q）。（e） 奇异强度函数α（q）。（f） 多重分形奇异谱f（α）。在一项开创性的研究【173】中，M¨uller等人提出了一项财务数据的统计分析，记录了q=1和q=2的比例律，尽管他们没有提到“多重分形”、“多尺度”或“结构函数”。他们的分析包括3年内的日内价格和15年内四种外汇即期汇率（德国马克/美元、日元/美元、瑞士法郎/美元、美元/英镑）的日内价格以及3年内的黄金价格（XAU/美元）。其他经济学家也采用了类似的一阶和二阶矩分析方法【178】。2.2.2. 多重分形波动分析（MF-FA）波动分析方法是提取时间序列赫斯特指数的经典方法【179】，在经济物理学中得到了广泛应用【180–184】。

函数可以如下计算，Z（2，s）=σ（s）=D[X（i，s）- h类X（i，s）i]E~ s2H。（62）其中H是波动分析（FA）指数，即近似的赫斯特指数。Hurst Exponenth值大于0.5 m意味着时间序列是相关的，当H<0.5时，时间序列是反相关的，当H=0.5时，时间序列是不相关的。可以将方程（62）中的波动分析扩展到更高阶，如下所示[185–187]，Z（q，s）=h|X（i，s）- h类X（i，s）i|qi~ sζ（q）。（63）这使我们能够理解市场动态的多重分形性质。标度指数ζ（q）和广义赫斯特指数H（q）之间的关系可用公式（57）描述。当q=2时，H=H（2）是式（63）中表示的赫斯特指数p。利用勒让德变换，我们可以得到奇异强度α及其谱f（α）。2.2.3. 逆统计和逆结构函数根据配分函数近似中的逆测度[161188]，Jensen[189]研究了退出时间或首次通过时间的时刻。对于给定增量十、 使用定义（54），退出时间尺度s时间i由s（i，十） =inf{s+：X（i，s+）≥ 十} ，（64）这是波动超过阈值所需的最短时间十、≥ 第一次通过时间在国内有重要用途。例如，Cho和Frees采用它来构造一个渐近无偏的挥发度估计器【190】。他们认为，自然波动率估值器关注的是价格变化的程度，而基于首次通过时间的“时间”估值器关注的是价格变化的速度【190】。逆统计也与持久性概率有关【191–194】。

变量s（i，十） 衍生数量在金融领域有着自然的解释，如提款后的“恢复时间”，是衡量金融策略和对冲基金绩效的标准方法的一部分。这解释了逆向统计学在金融领域以及其他领域（如心率和心脏病的研究）中得到了广泛应用【195】。如果X（i）是布朗运动，则s的分布解析为伽马分布【196197】：Pr（s）=√πas3/2exp-像（65）其中a与十、 由于资产价格不是布朗运动，Simonsen等人[198]提出了广义移位Gamm a分布PR（s）=νΓδνβ2δ（s+s）δ+1exp“-βs+s！ν#，（66）具有幂律尾Pr（s）~ s-(δ+1). 方程式中的伽马分布。（65）在ν=1、δ=1/2、s=0和β=a时恢复。他们分析了DJIA（189年5月26日至2001年6月5日）的小波过滤对数日收盘价，发现δ≈ 0.5很好地拟合了数据。尽管有研究表明δ可以偏离0，但对于不同市场的指数和股票的统一时间序列而言，这一观察结果似乎无处不在【199–201】。5 [202, 203]. 对于交易层面的逐笔交易数据，尾部指数可以大于0.5，如2002年伦敦证券交易所（LSE）电子市场中的五支高流动性股票（阿斯利康、葛兰素史克、劳埃德TSB集团、壳牌和沃达丰）以及1998年全年的德国马克兑美元汇率（δ=1.4）[204]。Simonsen等人[198]认为，最容易描述的首次通过时间*是最佳投资期限，并发现*使用缩放X为幂律，s*~ (十） γ，（67），其中γ≈ 1.8，偏离布朗运动的γ=2。

我们发现，在大多数市场中，γ<2适用于规则间隔的样本，并且发达股市的γ值大于新兴市场[199205]。对于抽样不均匀的逐点数据，据报告γ>2[206]。对于资产价格，自然也会考虑到价格以一定回报贬值所需的最短时间十、≤ 0.然后，时间i的退出时间s由[207]s（i，十） =inf{s+：X（i，s+）≤ 十} 。（68）大量研究表明，收益的最优投资期限比损失的最优投资期限长，这被称为损益不对称[205，20 7–215]。已经提出了几种模型来再现增益-损失不对称性【216–218】。然而，也有一些资产没有表现出明显的损益不对称性【202，219】。基于离散小波变换的f频率空间分析表明，增益损失不对称主要是由价格序列的低频成分引起的，如果去掉低频成分，不对称就会消失【218】。或者，发现增益损失不对称性是由tim e系列中的非皮尔逊型自相关引起的【220】。此外，如果时间依赖结构被时间序列破坏，则增益-损失不对称性消失【221】。损益不对称可以与杠杆效应相关，如下所示。首先回顾杠杆效应是这样一个事实，即在大幅负回报后，波动性显著增加，而n则会回落，通常在时间上呈指数级增长【222–224】。相反，在正回报后，波动率没有显著变化。而因果关系是从（负）收益率到未来波动率的关系，而不是相反，因为波动率的变化不会对未来的预期收益产生任何可测量的变化。

杠杆效应可以解释为亏损对企业风险感知的影响，随着亏损导致权益与债务比率下降，这种影响会增加[222]。这也反映了投资者的行为反应，他们在亏损后疯狂地重新评估irrisk风险敞口，并重新调整投资组合，导致价格大幅波动。杠杆效应允许我们解释以下两个方面：（i）固定百分比价格下跌的平均时间与相同价值的价格收益之间的不对称性（例如，道琼斯工业平均指数损失5%为10天，收益5%为20天），以及（ii）指数正目标与负目标等待时间的不对称性较强，指数的不对称性较弱或不存在个人股[218221]？考虑固定的dr op目标为-5%。这种下跌是通过连续的日收益率实现的，负收益率大于正收益率。当某一天出现负损失时，杠杆效应会导致下一天收益的幅度增加。由于我们计算的等待时间是以累计跌幅-5%为条件的，因此由于杠杆效应，以下收益率将趋于负值，且幅度更大。相比之下，对于获得+5%正收益的等待时间，大多数每日走势都是积极的，如果价格路径上没有或没有微弱的负收益，杠杆效应就会减弱或消失。因此，当一系列日收益率处于正水平（+5%）时，由于日收益率的幅度很小，达到正回报率（+5%）的平均等待时间大于f或负回报目标。

单个股票的不对称性很小，因为杠杆效应的记忆时间很短，达到目标阈值的每日涨跌幅度相差不大。相反，对于一个指数或相当于一个Nstocks投资组合，必须考虑到构成lio端口的股票回报率之间普遍存在的相关性。这些相关性通常是正的（大多数股票在平均值上几乎同时移动），会导致损益不对称的放大，因为通过对组成股票的特质残差进行平均，杠杆效应更强。这也导致预测aportfo lio的损益不对称性越强，其组成股票的平均相关系数越强。出口时间的动量称为距离结构函数（189）或逆结构函数（225226），由TP定义(X）≡ 热休克蛋白(十） i.（69）由于结构函数和逆结构函数之间的二元性，我们可以直观地预期，存在幂律标度，表明tp(X）~ Xφ（p），（70），其中φ（p）是非线性con-cave函数【189】。GOY壳湍流模型的合成数据显示，逆结构函数对速度阈值具有完美的幂律依赖性【189】。对于二维湍流，逆结构函数s表现出明确的多重分形特性【226】。相反，对于三维湍流，高雷诺数下实验时间序列的逆结构函数没有表现出明显的幂律标度[225]。

然而，不同的实验表明，三维湍流的逆结构函数表现出一种更普遍的尺度行为，称为扩展自相似性（见下一小节）[227-229]。据我们所知，尚未研究金融资产价格的逆结构函数行为。还可以导出与直接结构函数的直接标度指数ζ（q）和逆结构函数的逆标度指数φ（p）相关的反演公式[230，231]，并给出（ζ（q）=-pφ（p）=-q、 （71）这些表达式通过壳模型的模拟速度波动进行验证【162】。然而，该预测（71）c无法通过风洞湍流实验（雷诺数Re=400）得到证实~ 1100）[228]，这并不令人惊讶，因为逆结构函数不会按照速度增长阈值的幂律进行缩放[225，228]。2.2.4. 扩展自相似性为了研究逆结构函数的标度特性，可以使用扩展自相似性（ESS）框架定义一组相对指数[232]：K（q，s）~ [Kq（s）]ξ（q，q），（72），其中q是作为参考值的顺序。如果公式（56）成立，我们h aveξ（q，q）=qH（q）qH（q）。（73）当时间序列为单分形时，H（q）与q无关，即H（q）=H（q）。对于单分形时间序列，ξ（q，q）=q/q。（74）对于流体力学中的速度结构函数，q=3是基于精确的Kolmogorov四五定律的自然选择【229233】。对于金融时间序列，我们建议选择q=2，因为H（2）是埃赫斯特指数。通常，ESS方法为提取标度指数ts提供了更大的标度范围。图5（a）给出了K（q，s）与K（s）f或q=1，2，···，6的对数-对数图，其中∈ [1, 2].

straig Htline的震级超过两个数量级，q的震级至少超过3.5个数量级≤ 3，证明了结构函数中存在扩展自相似性。小q的标度范围f似乎比大q的标度范围宽。ESS标度指数ξ（q，2）如图5（b）所示。有一个微弱的迹象表明，ξ（q，2）作为q的函数具有非线性依赖性，向下的曲率使曲线偏离线性依赖性ξ（q，2）=q/2观察小q。时间序列是否具有单分形或多实际行为与新息分布有关。为便于记法，我们表示v=|X（t，s）|。根据定义，我们有k（q，s）=Z∞vqPr（s；v）dv=[σ（s）]qZ∞dxΦ（s；x）xq，（75），其中Pr（s；v）是v的分布，σ（s）是v的标准偏差，x=v/σ是归一化波动率，10-610-510-410-310-210-1510-1010-5100K2（s）Kq（s）q=1q=2q=3q=4q=5q=60 1 2 3 4 5 600.511.522.5qξ（q）10-110010110210-510-410-310-210-1100|X（t，s）|/σ（s）P s=1s=2s=4图5：（彩色在线）DJIA指数日价格时间序列的扩展自相似性分析（1896-2015）。（a） 对于不同的q值，qth阶结构函数K（q，s）与二阶结构函数K（s）的幂律依赖关系。（b） ESS标度指数ξ（q）是q的函数。（c）归一化波动率的分布|对于s=1、s=2和s=4，X（t，s）|/σ（s）。Φ（s；x）是x的分布。用q=2来消去σ（s），那么K（q，s）=[K（s）]q/2R∞dxΦ（s；x）xqhR∞dxΦ（s；x）xiq/2。（76）如果Φ（s；x）是普适的且与s无关，则等式（76）中的最后一项是s（和thusof K（s））的数量依赖t，然后是单分形行为ξ（q，2）=q/2。图5（c）显示了归一化波动率的分布|X（t，s）|/σ（s），在三种不同的尺度下。

虽然这三条曲线在尾部有很好的重叠，但它们在x=1左右的体积上显示出明显的差异。这表明ESS不可能是非分形的，这与图5（b）中无非线性曲率的存在是一致的。我们注意到，ESS分析没有训练到结构功能。相反，它可以用于其他多重分形分析方法。在验证和量化金融波动复发区间的多尺度行为时，研究了不同阶次经验时间序列的复发区间矩的相对依赖性【234】，这本质上是一种压力分析【235】。2.3. 小波变换方法2.3.1。基于小波变换的多重分形分析（MF-WT）小波变换被广泛用作分析时序的数学显微镜【236237】。特别是，它可以用来分析分形和多重分形时间序列的奇异结构【238–240】。函数X（t）的小波变换为[236237]Cψ（b，s）=sZ+∞-∞X（t）ψt- bs！dt，（77），其中b∈ R是位置参数，a∈ R+是扩张参数，ψ（t）是分析的“母”小波。高斯小波被广泛采用[241]，并被定义为高斯函数的导数：gn（t）=g（n）（t）=cndndtne-t/2，（78），其中Cn是归一化系数。二阶（n=2）高斯小波称为墨西哥帽。为了在时间序列{X（i）}Ni=1上执行小波变换，通常将公式（77）离散化，其中b可以沿采样间隔取任意值，s Takes nscales形成几何序列ce:sj=λj-1smin，1 6 j 6 ns，（79），其中λ>1。给定时间序列Y（i）的离散化小波变换为n w（s，i）=sNXj=1X（j）ψj- 是, i=1，···，N。

（80）小波变换用于在时间尺度平面上识别信号中不同类型的奇异点，这取决于母小波导数的阶数n（78）。更一般地，选择一个满足Rxm+1ψ（s）dx=0的母小波ψ，意味着小波变换对m阶多项式依赖是盲的，并且只检测到高阶幂。例如，当m=0时，小波变换与信号电平无关，基本上在局部斜率上形成。当m=1时，小波变换与信号电平及其局部斜率无关，并通知局部曲率。我们还应该提到正交小波变换[241-243]和双正交小波变换[244]的存在，它们可以直接用于确定长程相关时间序列的Hurstindex[245-247]。为了研究时间序列的多重分形性质，可以计算小波系数的q阶矩[248249]Mq（s）=NNXi=1 | W（s，i）| q（81），我们预计Mq（s）~ sqH（q），s>> 0。（82）我们注意到Mq（s）可能会偏离q≤ 0，因为| W（i，k）|的某些值可能接近或等于0。我们可以通过普通最小二乘回归来计算标度指数。或者，我们可以通过更加关注方差较小的点来选择加权最小二乘回归[247]。表示Lj，q=ln Mq/q，（83）相应的权重wjiswj~ Var（Lj，q）-1（84），目标函数为xjwjeh（Lj，q- H（q）ln sj- A） i.（85）H（q）的估计值确定如下：^H（q）=PjwjPjwjln sjLj，q-Pjwjln sjPjwjLj，qPjwjPjwjlnsj-Pjwjln sj. (86)2.3.2. 小波变换模极大值（WTMM）基于小波变换模极大值（WTMM）[245249–251]，这是一种更优雅的方法，可以消除连续小波变换中包含的冗余。

在每个尺度sj上，存在几个局部极大值W（sj，i）|。这些极大值在（i，s）平面上形成多条极大ima线。WTMM能够检测时间序列大类的所有奇点【252】。传统的基于配分函数的方法在处理q的情况时面临着许多问题≤ 然而，我们会发现基于WTMM的多重分形分析可以克服这一困难，因为WTMM线上的小波系数是非0的局部极大值[251]。假设尺度sj处存在Njlocal maxima，而W（ij，k，sj）是位于ij，k处的第k个局部最大值。WTMM上定义的qthorder动量areM（q，sj）=NjNjXk=1 | W（ij，k，sj）| q（87），或者分区函数readZ（q，sj）=NjXk=1 | W（ij，k，sj）| q.（88）对于多重分形时间序列，我们有z（q，s）~ sτ（q）。（89）然后可以直接计算广义维数和奇异谱。与第2.1.3节中直接确定奇点和奇点谱的热力学近似类似，我们可以定义正则测度[250]，uk（q，sj）=W（ij，k，sj）| qZq（sj），（90），这样奇点强度α为α（q）=limsj→0ln sjNjXi=1huk（q，sj）ln | W（ij，k，sj）| i（91），奇异谱f（α）isf（α）=limsj→0ln sjNjXi=1huk（q，sj）lnuk（q，sj）i.（92）在应用中，我们使用不同的尺度sj，并在对数尺度上进行（加权）线性回归。分别使用分区函数法和小波分析来检测单个时间序列的多重分形性质，发现τPF（q）=τWT（q）+q和αPF（q）=αWT（q）+1[253–255]。2.3.3. 小波前导（MF-WL）最近的多重分形形式基于小波前导【256–261】。

Jaffard[256，257]介绍的小波导程是基于离散小波系数定义的，该系数在{ψj，k}j的基础上分解时间序列X（i）∈Z、 k级∈离散小波ψj，k的z合成。整数j∈ Z和d k∈ Z确定标度s=2j和位置B=k 2j。离散小波{ψj，k}j∈Z、 k级∈分析小波ψ（t）的Zare空间移位和尺度扩张模板：ψj，k（t）=jψi- k2jj！，（93）通常使用1阶Daubechies小波作为母小波。离散小波系数定义为asW（j，k）=ZiX（i）jψi- k2jj！。（94）将并矢区间λ（j，k）定义为λ（j，k）=hk2j，（k+1）2j, （95）表示区间λ及其两个相邻的nt邻域的单位为3λ，3λ（j，k）=λ（j，k- 1) ∪ λ（j，k）∪ λ（j，k+1）。（96）小波导程l（j，k）由[256，257]定义l（j，k）=supλ′3λ（j，k）| W（λ′）|，（97），对应于在区间（k）上计算的绝对小波系数W（j′，k′）的最大值-1） 2j≤j′k′<（k+2）2j0<j′≤ j、 注意，为了计算小波导程，所有的细尺度2j′≤ 2J必须加以考虑。基于小波前导的多重分形分析可描述如下【256–261】。通常，我们可以通过m（q，j）=njnjXk=1来定义q阶矩l（j，k）q，（98），其中nj是尺度s=2j处的小波前导数。如果基础过程是多重分形的，那么也可以预期以下标度行为，M（q，j）~ 2jζ（q）=sζ（q）。（99）式中，ζ（q）与τ（q）的关系为ζ（q）=τ（q）+1=qH（q）。

（100）与第2.3.2节中的WTMM情况一样，我们还可以提供一种经典方法来直接确定奇点强度函数α（q）和多重分形谱f（α（q））。小波导程的一个有趣的应用是逐点小波导程熵[262]，它定义为给定点（k）的超差尺度（j）byE（k）=-mXj=1ρj，klogρj，k，（101），其中ρj，klogρj，k=0，如果ρj，k=0，并且ρj，k=（W（j，k）/Pmj=1W（j，k）如果W（j，k），如果W（j，k）=0（102），当应用于DJIA指数（1928-2011）时，得到的小波前导熵能够识别历史大市场波动【262】。最近，引入了小波p-导子来刻画负逐点正则性的p-指数[263]。基于公式（94）中计算的小波系数，小波p-le ADER定义如下：l（p） （j，k）=Xj′型≤j、 λ′3λ（j，k）| W（j，k）| pj′-j1/p.（103）p-领导多重分形形式依赖于p-领导的样本m（264）：m（p）（q，j）=njnjXk=1hl（p） （j，k）iq，（104）发现MF-DFA通过2指数而不是H¨older指数来表征局部正则性，小波领导多重分形形式可以被视为MF-DFA的基于小波的扩展[264]。p-leaders受到有限的分辨率效应的影响，可以通过明确的、非通用的闭式校正来解决[265]。2.4. 趋势分析方法2.4.1。一般框架考虑一个时间序列{X（i）| i=1，2，·····，N}，其数据点通常是更新时间序列的累积和。LeteX（t）是局部趋势函数，通常使用某种方法在数据点周围局部确定d。去趋势残差定义为（i）=X（i）-eX（i）。

（105）我们将{（i）}分为Ns=int[N/s]个大小为s的方框的不重叠的pin g段，其中int[y]是不大于y的最大整数。我们将第vth段表示为Sv={（（v-1）s+j）| j=1，2，····，s}。vth框中的loca l去趋势函数Fv（s）定义为去趋势残差的r.m.s.【Fv（s）】=ssXi=1（（v- 1） s+j）. （106）qth订单整体去趋势预测为FQ（s）=NsNsXv=1Fqv（s）q、 （107）其中q可以取除q=0以外的任何实值。当q=0时，根据L\'H^Hospital的规则，我们有ln[F（s）]=NSxv=1ln[Fv（s）]，（108）。当整个序列{（i）}不能完全被NSbox覆盖时，可以使用2个方框覆盖序列两端的序列，其中Ns=int【N/s】，残差两端的短部分可能会被覆盖【139】。我们将从左至右划分的第vth段表示为Sv={（（v- 1） s+j）| j=1，2，···，s}对于V=1，2，···，Ns和从左到右划分为Sv={（N）的vth段- （五）- Ns）s+j）| j=1，2，···，s}对于v=Ns+1，Ns+2，··，2Ns。vth框中的局部去趋势函数Fv（s）定义为去趋势残差的均方根误差[Fv（s）]=ssXi=1（（v- 1） s+j）对于v=1，2，···，Ns（109a）和[Fv（s）]=ssXi=1（N- （五）- Ns）s+j）对于v=Ns+1，Ns+2，···，2Ns。（109b）第四季度订单整体去趋势波动为FQ=2Ns2NsXv=1【Fv（s）】qq、 （110）其中q可以取除q=0以外的任何实值。当q=0时，根据L\'h^医院规则，我们的h aveln[F（s）]=2Ns2NsXv=1ln[Fv（s）]，（111）。通过测量段大小s的值，我们可以确定函数Fq（s）与大小刻度s、Fq（s）之间的幂律关系~ sH（q）。

（112）根据标准的多重分形形式，多重分形标度指数τ（q）可用于表征多重分形特性，其读数为τ（q）=qH（q）- Df，（113），其中DFI是多重分形测量的几何支撑的分形维数【139】。对于时间序列分析，Df=1。如果标度指数函数τ（q）是q的非线性函数，则认为时间序列具有多重分形性质。根据从分区函数直接确定f（α）的方法【157、158、266】，也可以直接确定趋势函数方法中的奇异强度及其谱【267】。定义标准度量u（q，s，v）u（q，s，v）=Fqv（s）PNsv=1Fqv（s），（114）我们有α（q）=lims→0PNsv=1u（q，s，v）ln Fv（s）ln s，（115a）和f（α（q））=lims→0PNsv=1u（q、s、v）lnu（q、s、v）ln s.（115b）基于p模型和分数布朗运动的数值实验表明，MF-DMA及其directdetermination变体在揭示分形和多重分形特性方面具有比较好的性能【267】。2.4.2. 多重分形去趋势波动分析（MF-DFA）发明去趋势波动分析（DFA）最初是为了研究编码和非编码DNA核苷酸序列的长程相关性[268]。DFA的多重分形扩展MF-DFA随后迅速发展起来[269270]。自Kantelhardt等人【139】的工作以来，MF-DFA已成为不同领域多光谱分析的最重要方法之一。在M F-DFA方法中，趋势函数是多项式[139]，通常采用线性趋势。对于每个点i，其趋势值Ex（i）与同一方框Sv中的其他点一起确定，使用顺序为l的多项式拟合到i中的s数据点∈ Sv:eX（一）=lXk=0akik，l=1，2，····。

（116）对于l = 1如图6所示。图中显示了一个Ns<N/s的情况，其中不应包括时间序列两端的数据点以形成方框。否则，当fmax=f（q=0）>1时，会得到错误的结果，如第5.1.2节所述。在实现MF-DFA的标准程序中，研究人员消除了恒定位移hXi来自增量X和累积利润（i）=iXj=1[X（一）- h类Xi]，i=1，2，···，N，（117），其中hxi是X（i）系列。但是，当趋势函数为多项式l时，此操作不会对结果产生任何影响。MF-DFA方法的一个微妙问题是多项式阶的选择。O'swie,cimka等人利用经典数学模型（分数布朗运动、L'evy过程和二项式测度）和现实世界的时间序列（外汇汇率和文学文本），发现计算的单极化谱可能对去趋势多项式的阶数非常敏感，而这种敏感性取决于分析的时间序列【271】。如果不深入了解驱动动力学的基本机制，就很难确定应该使用哪个多项式阶。无论如何，对于收益率等金融时间序列，我们可以根据金融收益率中缺乏长记忆的基本事实来检查赫斯特指数H（2）的值是否接近0.5，但这可能在交易层面上并不成立[272]。i0 100 200 300 400 500-20-10Y（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-15-10-5i0 100 200 300 400 500-20-10Y（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-10-5图6：（颜色在线）MF-DFA方法中的去趋势处理。时间序列有500个数据点，时间刻度为s=150。

Firstrow显示了从左到右的去趋势化过程，其中i=451，452，····，500的数据点不应用于计算F，第二行显示了从右到左的去趋势化过程，其中i=1，2，···，150的数据点不应使用。一种可能的解决方案是在多重分形可行去趋势函数分析（MFFDFA）中使用“可行趋势函数”【273】。可以预设任何趋势函数的先验集，例如，{ax+bx+c，a sin（x）+bx+c，ax+bx+c}，并用所有预设的趋势函数填充每个分段。对于每个分段，只选择一个确定系数R最大的确定函数。因此，对于每个时间尺度s，不同分段的趋势函数不必相同。分数布朗运动和二项式测量的数值实验表明MFFDFA方法优于MF-D FA方法【273】。对于二项式度量，改进部分是由于MFFDFA的函数Fq（s）具有更小的对数周期振荡幅度，这减少了缩放范围选择的影响【274】。2.4.3. 多重分形去趋势移动平均分析（MF-DMA）基于移动平均（MA）技术，用于估计自相关性信号的赫斯特指数【275】，去趋势移动平均（DMA）分析考虑原始信号与其移动平均函数之间的差异【276277】。DMA方法也可以很容易地实现，以估计非平稳序列的相关特性，而无需任何先验假设，这被广泛应用于分析真实世界的时间序列[278–285]和合成信号[286]。

大量的数值实验表明，DMA的性能与DFA相当，在不同的情况下优先级略有不同，DFA和DMA都是确定时间序列赫斯特指数的“选择方法”【28 7–289】。DMA方法被推广到MF-DMA，用于研究时间序列的多重分形性质【290】。MF-DFA和MF-DMA算法之间的主要区别在于去趋势化过程。在MMF DMA方法中，计算大小为s[283]的移动窗口中的移动平均函数eX（i），eX（i）=s（s）-1)(1-θ)Xk公司=-（s）-1)θX（i）- k） ，（118）其中y 是不大于y的最大整数，y 是不小于y的最小整数，和θ∈ [0，1]是位置参数。换句话说（s）- 1)(1 - θ) 过去的数据点和（s）- 1)θ 0 100 200 300 400 500-30-25-20-15-10-5Y（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-10-5i0 100 200 300 400 500-30-25-20-15-10-5Y中的点（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-10-5图7：（颜色在线）MF-BDBA方法中的去趋势过程（θ=0）。时间序列有500个数据点，时间刻度为s=150。所示时间序列是通过从更长的时间序列中截断两端的点来获得的。第一行显示了从左到右的去趋势化过程，其中i=451，452，····，500的数据点不应用于计算F，而从右到左的第二行显示了i=1，2，···，150的数据点不应用于计算F。未来决定x（i）。当i接近每个端点时，方框的大小可能小于s。可以放弃这些点，也可以直接计算移动平均值。通常，我们考虑三种特殊情况，对应于MF-DMA的三个代表版本：oMF-BDMA。

第一种情况θ=0是指ba c kward移动平均值[287]，其中移动平均值函数（i）是在过去的- 1信号的数据点。oMF-CDMA。第二种情况θ=0.5对应于居中移动平均值[287]，其中ex（i）在每个窗口中包含过去和未来一半的信息。该版本也称为MF-CMA【291】。oMF-FDMA。第三种情况θ=1称为前向移动平均值，其中ex（i）考虑了s的形成趋势- 1未来的数据点。我们注意到，用于计算移动平均值的窗口大小必须与计算去趋势函数s的段大小相同【290291】。图7.2.4.4中的插图d显示了去趋势过程。其他检测算法虽然很难确定嵌入非平稳时间序列中的内在趋势，但有许多不同的选择[292]。由于时间序列的内在趋势通常是未知的，因此对于不同类型的时间序列，方法具有不同的性能。因此，已经提出了许多M F-DFA和MF-DMA的变体。局部趋势可进一步分为不连续趋势和连续趋势。MF-DFA和MF-DMA分别属于这两类（见图6和图7）。Zhou和Leung提出了移动窗口中的多重分形时间加权去趋势反射分析（MF-TWDFA）[293]。对于每个i，它们对数据点（X（i））拟合一个线性函数- s） ，····，X（i），····，X（i+s））在大小为2s+1的移动窗口中，使用加权最小二乘回归。目标函数isO（i；s）=sXj=-sX（i+j）-lXk=0ak×（i+j）kwi j，| i- j |≤ s、 （119）式中，wi j是随着| i的增加而减少的重量- j |。换句话说，偏差十、- 一- a×（i+j）当j远离i时，重量更大。

权重wi jin MF-TWDFA由[293]wi j=“1”定义-我- js公司#. （1 20）对于等权重情况，wi j=1，（1 21）我们获得了多重分形Moving窗口去趋势流动分析（MF-MWDFA）[293]。这两种方法实际上属于连续类，因为趋势变化不大，没有跳跃。实际上，当l=0时，我们采用了中心MF-DMA方法[293]。经验模态分解（EMD）是一种分析非线性非平稳时间序列的创新方法，它分解时间序列{X（（v- 1） s+i）}si=1到有限个内模函数（IMF）[294]。设{x（i）}si=1，{x（（v- 1） s+i）}si=1。分解是一个筛选过程，它有六个步骤[292]：（1）识别x（i）的所有极值；（2） 对局部极大值进行插值，以形成每个包络U（i）的上方向图；（3）插值局部极小值以形成下包络L（i）；（4） 计算平均包络线：u（i）=[U（i）+L（i）]/2；（122）（5）从信号CK（i）=X（i）中提取me an- u（i）；（123）（6）检查wh ether Ck（i）是否满足IMF条件。如果国际货币基金组织的条件已满，则Ck（i）为国际货币基金组织，且解除停止。否则，让x（i）=Ck（i）并继续筛选。最后，我们得到了基于EMD的时间序列段{X（（v- 1） s+i）}si=1:rn，eX（（v- 1） s+i）=X（（v- 1） s+i）-KXk=1Ck（i）。（124）钱等人在MF-DFA方法中使用了这种局部趋势，并开发了基于EMD的MF-DFA方法[295]。多重分形二项测度的数值实验表明，基于EMD的MF-DFA方法与MF-DFA方法具有可比性，但基于EMD的方法对小奇异点的性能稍好【295】。

该方法已被应用于分析股票市场指数[295，296]、外汇汇率[297]以及经证明的减排（CER）和欧盟补贴（EUA）期货价格[298]，所有这些都证实了财务回报中多重分形的存在。为了处理具有高度非平稳正弦和多项式叠加树的时间序列，Horvaticet等人提出用不同阶数的多项式来消除趋势[299]。在这种方法中，多项式或derl 不是固定的，而是随着比例尺s的增加而增加，不同比例尺下的去趋势波动应标准化，以确保绝对截距。虽然缺乏确定变化顺序的客观标准，但主观选择(l = s=4时为1，l = s=6时为2，l = s=10时为4，l = s=18时为8，且l = 16对于s>18）似乎效果良好[299]。潜在的对数ic是我们需要高阶多项式来正确地预测振荡。Du等人为非平稳时间序列构建了基于双树复小波变换的多重分形去趋势函数分析（DTCWT-MFDFA）[300]。基于双树复小波变换的抗混叠和几乎平移不变性[301，302]，原始时间序列通过金字塔算法进行分解，以从小波系数中提取与尺度相关的趋势和波动。通过希尔伯特变换计算每个时间尺度上非重叠段的长度，并将每个提取的函数划分为大小相同的非重叠段。可以计算每个管段的预计弯曲度。发现DTCWT-MFDFA方法在多重分形二项测度方面优于MF-DFA方法【300】。为了执行MF-DFA，Manimaran等人。

建议使用离散小波变换进行趋势分析【303】。采用Daub-echies系列的离散小波分析高达s级的r aw时间序列。由此产生的低通系数反映了数据中的多项式趋势。然后，利用这些低通系数构建时间序列，以不同的尺度表示局部趋势。该方法已经对综合TIME系列进行了测试，并应用于纳斯达克和BSE指数【304，305】。Ghosh等人使用Db4和Db6基本集，分别从纽约证券交易所（NYSE）上市的快速扩张资本化公司的收盘价中分离出不同规模的局部线性和二次趋势【306】。在被调查的股票指数和个股中观察到多重分形。我们注意到，第5.3.6节中用于预处理原始时间序列的其他去趋势化方法也可用于不同尺度的局部去趋势化，以构建MF-DFA的变体。2.5. 其他方法在本节中，我们将回顾其他几种多重分形分析方法。应该记住，在不同的领域提出了不同的多重分形分析方法，很难全部提及。我们重点关注与前几节讨论的方法相关的方法，以及用于财务时序分析的方法。除了下面介绍的内容外，我们还想提及基于0-1检验的多重分形信号传导分析[307]和基于焦点的多重分形形式主义[308]。2.5.1. 乘数法Novikov引入了乘数的概念，以描述间歇性和尺度自相似性inturbulent Flows【125】。在经济物理学中，可以将这一概念应用于研究波动率乘数。

对于高频财务数据，我们首先在时间区间[t，t]中构建一个加性度量，它是绝对回报的总和：u（[t，t]）=tXt=t | r（t）|，（125）ab溶质回报实际上是对[t，t][309]上波动性的度量。波动率时间序列r（t）被划分为大小相同的s个框。每个母框进一步划分为子框，其中a称为基。乘数ma，sis由子框上的度量值与其m其他框上的度量值的比率确定【310，311】。如果乘法器是尺度不变的，对于任意两个基a和b，乘法器密度函数pa（ma）和pb（mb）通过梅林变换M关联如下[311]：[M{pa（ma）}]1/ln a=[M{pb（mb）}]1/ln b，（126），这导致mqapa（ma）dmaln a=lnRmqbpb（mb）dmabln b。（127）macan力矩的质量标度指数τ（q）被定义为[310，311]τ（q）=-D-lnhmqailn a，（128），其中Dis是度量支持度的分形维数。对于时间序列，我们有D=1。局部奇异指数α及其谱f（α）通过Legendre变换与τ（q）相关。由此得出α（q）=-hmqaln maihmqailn a（129）和f（α）=hmqailnhmqai- hmqaln mqaihmqailn a.（130）等式。（127-130）意味着，对于每个q，这些特征多重分形量中的每一个都收敛到标度范围e中的一个常数，并且与基数a无关。请注意，对于金融波动性，q>-1【312】，这与湍流中的情况非常相似【228】。因为收益可以为零，所以乘数m可以为零，概率密度pa（0），在ma=0时为0。当mis小于一个小数字δ时，p（m）=p（0）是一个常数。对于给定的小δ，Rδmqp（m）dm=C是有限的。然而，动量zmqp（m）dm=Zδmqp（m）dm+C=p（0）q+1mq+1q时δ+C（131）发散≤ -1.

基于被积函数mqapa（ma）对给定q发散的想法，这一性质在经验上得到了验证[312]。尺度不变乘数分布被认为比标准多重分形谱f（α）[310311]更基本。此外，它需要更少的指数计算时间，并且比分区函数方法更精确【310，311】。Jiang和Zhou使用标准普尔500指数的1分钟高频数据报告称，波动率乘数是尺度不变的，波动率具有多重分形特性[312]。牛和王证实了上海SSEC指数乘数分布和“选民互动动态系统”模型模拟数据中存在的尺度不变性[314]。2.5.2. 多重分形Hilbert-Huang谱分析Hilbert-Huang变换结合了EMD和Hilbert谱分析[294315]，其中Hilbe-rttransform应用于等式（123）中的每个分量Ck（i）。总体趋势可表示为X（i）=X（i）-nXk=1Ck（i）=X（i）-nXk=1Ak（i）expjZωk(l) dl!, （132）其中j=-1、对于每种模式，Hilbert Huang谱定义为振幅的平方（ω，i）=A（ω，i），（133）原始时间序列的Hilbert Huang g边际谱为书面灰分（ω）=ZH（ω，i）di，（134），对应于频率ω处的能量密度。该方法称为基于EMD的希尔伯特谱分析（EMD-HSA），为简单起见，我们将其称为希尔伯特-黄谱分析（HHSA）。Huang、Schm-itt、Lu和Liu通过将Hilbert-Huang变换从二阶推广到任意阶，提出了多重分形H-ilbert-Huang g谱分析（MF-HHSA）[316，317]。

Hilbert-Huang g谱h（ω，i）表示局部水平的原始信号，可用于确定频率ω和振幅Ak的联合概率密度函数p（ω，A）。公式（134）中的Hilbert-Huang裕度a l谱可以重写为Ash（ω）=Z∞p（ω，A）AdA，（135），对应于二阶矩。Huang等人将公式（135）推广到任意阶动量Lq（ω）=Z∞p（ω，A）AqdA，（136），其中q≥ 0和h（ω）=L（ω）。在惯性范围内，我们假设以下标度关系，Lq（ω）~ ω-τ（q），（137），其中τ（q）是幅频空间中相应的标度函数。Li和Huang将这种MF-HHSA方法应用于中国股市的CSI 300指数，并证实了多重分形的存在[318]。2.5.3. 基于EMD的多重分形方法Sweeter和Esquef提出了一种基于EMD的优势振幅多重分形形式（EMD-DAMF），其实现如下【319】：步骤1：对X（i）进行EMD，以获得K IMFs Ck（i）。步骤2：确定振幅ak（i）和Ck（i）的特征时标s。

可以通过希尔伯特谱分析（HSA）将每种模式下的特征时间尺度估计为平均频率的倒数，或者简单地估计为所有相邻零交叉点之间平均时间间隔的两倍。步骤3：确定主振幅系数，j：=supk′6k{max[| ak′（i∈ Ik，j）|]}，k=1，2，···，k和j=1，2，···，nk，（138），其中，nk是ak（i）的局部最大值的数目，Ik，jis是ak（i）的第j个最大值a周围的时间支持。步骤4：计算不同q值的qth阶矩：Mq（sk）=nknkXi=1（uk，j）q，k=1，2，····，k，（139），其中，HSA可在每种模式下获得特征时间尺度sk，作为平均（线性）频率的倒数，或仅通过所有相邻零交叉点之间的平均时间间隔。步骤5：估计缩放函数MQ（sk）~ sτ（q）+1-qk。（140）在实际应用中，Welter和Esquef建议将筛选次数固定为10（即，K=10），并通过三次样条插值计算信号包络线【319】。他们用分馏布朗运动【320】、L'evy过程【321】、多重分形随机m小波级联【322323】和p模型的多重分形多重复制级联【324】验证了该方法。注意，EMD-DAMF方法在较大尺度m模式下的振幅m轴数量较少，尺度数量有限【319】。后一个缺点可能会影响缩放范围的确定。或者，Zhou等人提出了所谓的EMD-DFA方法【325】。将积分时间序列X（i）分解为一组固有模式函数和一个残差或趋势分量。通过计算每个内部模式函数（IMF）中每个相邻位置最小值之间的数据点数量，确定所有内部时间尺度。

对于给定的s，通过0的所有数据点对应不等于s的标度重新对所有IMF进行采样，并通过对所有重新采样的IMF进行求和获得波动时间序列Xs（i）。标度s处的总流量是x（i）：F（s）的平方根=NNXi=1Xs（i）1/2，比DFA方法产生更好的缩放效果【325】。EMD-DFA方法可以通过处理q阶矩（Fq（s））扩展到多重分形时间序列=NNXi=1 | Xs（i）| q1/q.（141）注意，EMD-DFA方法没有像公式（105）那样明确的detr结束形式。2.5.4. 多尺度多重分形分析Gieraltowski等人在MF-DFA方法的基础上提出了多尺度多重分形分析（MMA）[326]。在通过MF-DFA方法计算所有总电导率Fq（s）值后，r a不是从Eq中估计H（q）。（112）在标度范围内，他们继续估计不同标度下移动窗口的局部基因化赫斯特指数H（q，s）。在该方法中，引入了两个自由参数：移动窗口大小和步长。