在这种情况下，使用定理3.7证明中等式（57）给出的Feynman-Kac表示，我们得到f（t，y，e>n）=eK1级-qρeRtβ-1^（s，^Yy，ns，e>n）ds+ZtK1-qβ-1f1-β（s，^Yy，ns，e>n）eRsβ-1^1（u，^Yy，nu，e>n）哑弹.那么，对于j=1，m、 根据等式（46）和支配收敛定理，我们得到了dyjf（t，y，1）=E“K1-qρeRtβ-1Д（s，^Yy，ns，e>n）dsZtβ-1mXi=1DyiД（s，^Yy，ns，e>n）φij，nsds#+e“ZtK1-qβ-1(1 - β） f级-β（s，^Yy，ns，e>n）mXi=1Dyif（s，^Yy，ns，e>n）φij，nseRsβ-1Д（u，^Yy，nu，e>n）duds#+e“ZtK1-qβ-2f1-β（s，^Yy，ns，e>n）eRsβ-1Д（u，^Yy，nu，e>n）duβ-1ZsmXi=1DyiД（u，^Yy，nu，e>n）φij，nudu！ds#。上面，φij，kt：=φij，zt当z=0j，。。。，JK和k∈ {0，1，…，n}。在假设（A2）-（A3）下，DyИ（·，e>n）在D上有界，我们记得（43）中定义了И（y，z）。利用估计（46），在假设（A1）-（A3）下，利用定理3.7中改进的经典解F的有界性，我们推导出常数C>0的存在性，从而Dyjf（t，y，e>n）≤ CZtmXi=1Eφij，nsds+CZtZsmXi=1Eφij，nududs+CZtmXi=1EDyif（s，^Yy，ns，e>n）φij，nsds。在下面的估计中，我们继续使用C=C（m，n，T）表示一个与m，n和T可能不同的直线之间的有限正常数。使用H¨older不等式和Jensen不等式，mXj=1Dyjf（t，y，e>n）≤ CZtmXi，j=1Eφij，nsds+CZtmXi=1EDyif（s，^Yy，ns，e>n）nXj=1Eφij，nsds公司≤ CZtmXi，j=1Eφij，nsds+CZtsup（u，y）∈[0，s]×DmXj=1Dyjf（u、y、e>n）nXi，j=1Eφij，nsds公司≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt+ C支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，ntZtsup（u，y）∈[0，s]×DmXj=1Dyjf（u、y、e>n）ds。然后，从Gronwall引理，我们使用（66）thatsup（t，y）得到∈[0，T]×DDyf（t，y，e>n）≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt经验值CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt. （67）（II）0≤ k≤ n- 1，即z=0j，。。。，jk和股票j，jkare默认值。在这种情况下，使用等式中的PDE表示。

（50），我们获得以下Feynman Kac代表FJ，。。。，jk（t，y）=EK1级-qρeRtβ-1хj，。。。，jk（s，^Yy，ks）ds+ EZtΦj，。。。，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））eRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）哑弹,其中函数Φj，。。。，jk已在公式（51）中定义。那么，对于j=1，m、 我们使用估计（46）和支配收敛定理DYJFj，…，得到，。。。，jk（t，y）=E“K1-qρeRtβ-1хj，。。。，jk（s，^Yy，ks）dsZtβ-1mXi=1DyiДj，。。。，jk（s，^Yy，ks）φij，ksds#+E“ZtΦj，…，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））×β-1ZsmXi=1DyiДj，。。。，jk（u，^Yy，ku）φij，kudu！eRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）duds#+E“ZtmXi=1DyiΦj，…，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））φij，kseRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）duds#（68）+E“ZtDvΦj，…，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））mXi=1Dyifj，…，jk（s，^Yy，ks）φij，kseRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）duds#。使用（51）中给出的Φ表达式，我们可以计算yiΦj，。。。，jk（t，y，v）=β-1v1-β“Xj/∈{j，…，jk}βfβ-1j，。。。，jk，j（t，y）Dyifj，。。。，jk，j（t，y）×1+^hj；jjk（t，y）qλj；jjk（y）+Xj/∈{j，…，jk}fβj，。。。，jk，j（t，y）Dyi[1+^hj；jjk（t，y）qλj；jjk（y）]#，和dVΦj，。。。，jk（t，y，v）=β-1(1 - β） 五-β(69)K1级-q+Xj/∈{j，…，jk}fβj，。。。，jk，j（t，y）1+^hj；jjk（t，y）qλj；jjk（y）.式（68）以及式（69）中给出的导数表达式表明，导数之间也存在递归依赖关系，即术语Dyfj，。。。，JK取决于Dyfj，。。。，jk，jforj/∈ {j，…，jk}。（I）中的分析表明，当所有股票都违约时，梯度Dyf是有界的。接下来，我们继续归纳并假设sup（t，y）∈[0，T]×DkDyfj，。。。，jk，j（t，y）k<+∞对于j/∈ {j，…，jk}。然后我们要证明sup（t，y）∈[0，T]×DkDyfj，。。。，jk（t，y）k<+∞. 首先，请注意^hj，。。。，jk（·）∈ Θθ C0,1b。根据假设（A3），这意味着（1+^hj；j，…，jk）q∞≤1+^hj；jjk公司q∞如果q∈ （0，1）和（1+^hj；j，…，jk）q∞≤ 对于某些ε>0的情况，εqif q<0。

还使用假设（A3）、公式（46）在假设（A2）-（A3）下给出的估计以及定理3.7中证明的经典解f的有界性，它认为Φj，。。。，jk（t，y，fj，…，jk（t，y）），kDyΦj，。。。，jk（t，y，fj，…，jk（t，y））k和DvΦj，。。。，jk（t，y，fj，…，jk（t，y））都有界。因此，对于j=1，m、 我们有Dyjfj，。。。，jk（t，y）≤ CZtmXi=1Eφij，ksds+CZtZsmXi=1Eφij，kududs+CZtmXi=1EDyifj，。。。，jk（s，^Yy，ks）φij，ksds。利用H¨older不等式和Jensen不等式，可以得出Dyfj，。。。，jk（t，y）≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt+ CZtE公司Dyfj，。。。，jk（s，^Yy，ks）mXi，j=1Eφij，ksds公司≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，kt+ C支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，ktZtsup（u，y）∈[0，s]×DDyfj，。。。，jk（u，y）ds。然后通过Gronwall引理和估计（66），我们得到了sup（t，y）∈[0，T]×DkDyfj，。。。，jk（t，y）k<+∞. 这就完成了证明。23.3验证结果本节给出了对偶问题的验证定理（31）。在证明这个定理之前，我们记得f（t，y，z）是偏微分方程递归系统（44）的唯一正有界经典解，而（40）给出的^a（t，y，z）是对应的一阶条件系统的解。还记得^h（t，y，z）由（41）给出。我们将随机控制问题（31）的值函数定义为f（T，y，z）：=Ξ（a，h）∈MEq、a、hK1级-qeRTψ（s，as，hs，Ys，hs）ds+K1-qZTeRtψ（s，as，hs，Ys，hs）dsdt, （70）对于给定的初始条件（Y，H）=（Y，z）∈ 那么，我们有下面的命题3.9。在假设（A1）-（A3）下，以下陈述成立（I）Let^at=^a（T- t、 年初至今-, Ht公司-) 和^ht=^h（T- t、 年初至今-, Ht公司-) 对于t∈ [0，T]。然后（^a，^h）∈ M、 （II）值函数F（T，y，z）=Fβ（T，y，z），β=1-第一季度-qρ。特别地，马尔可夫反馈控制（^a，^h）=（^at，^ht）t∈（I）中给出的[0，T]是（70）中的最优控制。证据我们首先证明（I）。

回想一下g（t，y，z），（t，y，z）∈ [0，T]×D×S，是HJBequation（42）的解。然后g（t，y，z）=fβ（t，y，z），其中β=1-第一季度-qρ。因此，使用（40），可以得出^a（t，y，z）=-p1级- ρ1 - qσ>（y）Dyg（t，y，z）g（t，y，z）=-p1级- ρ1 - qβσ>（y）Dyf（t，y，z）f（t，y，z）。由于f及其梯度分别由定理3.7和命题3.8有界，我们得到了每个状态z的有界性∈ S、 sup（t，y）∈[0，T]×Dk^a（T，y，z）k≤ Csup（t，y）∈[0，T]×DkDyf（T，y，z）kK（z）<∞. （71）另一方面，到（41），我们有^h∈ ΘθwhileΘθ C0,1b使用假设（A3）。因此，与估计（71）一起，它意味着（I）中给出的（^a，^h）属于空间M。接下来，我们转向（II）的证明。根据公式（38），我们可以确定（a，h）的哈密顿量ψ（a，h；t，y，z）∈ Rn×(-1.∞)nand（t、y、z）∈ [0，T]×D×S，由式（38）的r.h.S.给出。可以很容易地验证ψ（^a，^h；t，y，z）=Ξ（a，h）∈B×Θθψ（a，h；t，y，z）表示（t，y，z）∈ [0，T]×D×Sa。s、 然后，将It^o公式应用于g（T- t、 注意到g（t，y，z）满足HJBequation（42），在p.m.Pq，^a，^h下，我们得到t+^Aηt+ψ（t，^at，^ht，Yt，ht）g（T- t、 Yt，Ht）=-K1级-q、 t型∈ [0，T），（72），其中系数ψ由（32）给出，运算符^Aη定义为^Aηtl（T，y，z）：=tr（σσ>Dyl）（t，y，z）+ η（^at；t，y，z）>Dyl（t，y，z）（73），其中l（t，y，z）表示固定（t，z）∈ [0，T]×S。注意g（0，y，z）=K1-qfor all（y，z）∈ 然后，等式F（T，y，z）=g（T，y，z）遵循费曼-卡克公式和等式（72）。2标记3.10。对于某些（a，h）∈ M、 过程Γq，a，h=（Γq，a，ht）t∈（29）定义的[0，T]可能不是（P，G）-鞅。然而，因为θ∈ C和（a，h）∈ M、 我们有（θ（·，z），h（·，z））areC0，1b和h（t，y，z）∈ (-1 + ε, ∞)对于一些ε∈ (0, 1). 用M={（a，h）定义Mof M的子集∈Ma有界}。

然后，满足了Novikov条件，因此过程Γq，a，his a（P，G）鞅为all（a，h）∈ M、 由于命题3.9，它认为inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ），因为命题3.9中给出的最优控制^a确实是有界的（即，（^a，^h）∈ M） 。这意味着在约束优化问题（33）中，我们可以用M替换可容许策略集M。因此，我们可以在假设Γq，a，his a（P，G）-鞅的情况下解决问题（33）。4最优投资/消费策略在本节中，我们推导了可容许的最优交易策略，表示为^πt=（^πit）>i=1，。。。，n、 t型∈ [0，T]，以及由^ct，T表示的容许最优消耗过程∈ [0，T]。这是通过利用命题3.3中提供的原始-对偶关系来实现的。我们开始召回数量（^a，^h）∈ M由命题3.9给出。让密度过程Γ^a，^ht，t∈ [0，T]，由（16）和（a，h）给出∈ M替换为（^a，^h），F^a，^h（T，y，z）由（70）定义为（a，h）替换为（^a，^h）。然后使用命题3.9中给出的验证结果，F^a，h（T，y，z）=g（T，y，z）=Fβ（T，y，z）。函数g（t，y，z）和f（t，y，z）分别是等式（42）和等式（44）的唯一正有界经典解，其中β=1-第一季度-qρ。我们也叫数量Ii（y）=K1-qiyq公司-1，i=1，2，y∈ R+，见第3.1节。使用命题3.3，在初始条件（X^π，^c，Y，H）=（X，Y，z）下∈ R+×D×S，最优终端财富由x^π，^cT=I^κ，^hTBT=K1级-qxF^a，^h（T，y，z）Γa，^hTBT！q-1，（74），最优消耗过程由^ct=I^κΓa，^htBt=K1级-qxF^a，^h（T，y，z）Γa，^htBt！q-1，t∈ [0，T]，（75）式中，^κ=（F^a，^h（T，y，z）x）1-q、 接下来，我们要建立投资者的最优容许交易/消费过程（^π，^c）。

我们的目标是为满足式（14）中给出的动力学的最优财富过程提供表示。这将通过等式（74）中给出的最优终端财富表达式以及消费过程（75）来实现。我们开始定义下一步：=BtE^a，^h“X^π，^cTBT+ZTt^CSBSDGt#，t∈ [0，T]。使用g（0，y，z）=K1-q、 Cox和Huang（1989）中的引理2.5，我们有，对于t∈ [0，T]，^XtBt=xg（T，y，z）Γa，^htEK1级-qΓ^a，^hTBT！q+K1-qZTtΓ^a，^hsBs！qds燃气轮机=xg（T，y，z）Γ^a，^htE“GT- K1级-qZtΓ^a，^hsBs！qdsGt#。（76）在上述表达式中，对于t∈ [0，T]，我们定义了流程gt：=K1-qZtΓ^a，^hsBs！qds+a、htBt！qg（T- t、 Yt，Ht）。（77）我们在附录中证明了以下引理。引理4.1。过程G=（Gt）t∈式（77）中定义的[0，T]是一个正（P，G）-鞅。使用引理4.1和公式（77），我们可以将公式（76）改写为^XtBt=xg（T，y，z）Γ^a，^ht“Gt- K1级-qZtΓ^a，^hsBs！qds#=xg（T，y，z）Γ^a，htΓa，htBt！qg（T- t、 Yt，Ht）=xg（t，y，z）Γ^a，^htq-1Bqtg（T- t、 Yt，Ht）。（78）然后，使用等式（75）和上述表达式，可以根据时间t最优财富将最优消费过程写成^ct=K1-qxg（T，y，z）^Xtxg（T，y，z）g（T- t、 Yt，Ht）=K1-q^Xtg（T- t、 Yt，Ht），t∈ [0，T]。（79）为了实现我们表达动力学d的目标^XtBt+^ctBtdt在形式（14）中，我们首先推导了^XtBt的动力学。这是在附录中证明的下列引理中完成的。引理4.2。上面写着“D^XtBt！”=xg（T，y，z）（Γ^a，^ht）q-1Bqt- K1级-qdt+g（T- t、 Yt，Ht）×(1 - q） θ>t+ρDyg（t- t、 Yt，Ht）>σ（Yt）g（t- t、 Yt，Ht）dWθt（80）+xg（T，y，z）（Γ^a，^ht-)q-1Bqt-g（T- t、 Yt，Ht-)nXi=11+^命中-q-1g（T- t、 年初至今，命中-)g（T- t、 Yt，Ht-)- 1.dM^h，it。以上，用于t∈ [0，T]，Wθtand M^h，对于i=1。

，n在（15）中定义，h替换为^h。使用上述动力学以及方程（14）和（75），我们获得了最佳反馈策略的以下特征。对于（t，y，z）∈ [0，T]×D×S，定义∧θ，^h（T，y，z）：=（1- q） θ（t，y，z）>+ρDyg（t- t、 y，z）>σ（y）g（t- t、 y，z），Jθ，^hi（t，y，z）：=1- （1+^hi（t，y，z））q-1g（T- t、 y，’zi）g（t- t、 y，z），i=1，n、 （81）和Jθ，^h（t，y，z）=（Jθ，^hi（t，y，z）；i=1，n） >。提案4.3。假设（A1）-（A3）成立。假设存在a^h∈ Φθ，例如Jθ，^h（t，y，z）>σ（y）=∧θ，^h（t，y，z）。然后，G-可预测最优反馈策略^πt=^π（t，Yt-, Ht公司-), t型∈ [0，T]，由^π>Tσ（Yt）给出-) =(1 - q） θ（t，Yt-, Ht公司-)>+ ρβDyf（T- t、 年初至今-, Ht公司-)>σ（Yt-)f（T- t、 年初至今-, Ht公司-)诊断（1- 打-; i=1，n） ，πit=“1- （1+^hi（t，Yt-, Ht公司-))q-1.f（T- t、 年初至今-,“”命中-)f（T- t、 年初至今-, Ht公司-)β#(1 - 打-), i=1，n、 （82）其中β=1-第一季度-qρ和f（t，y，z）是PDEs（44）递归系统的唯一经典解。让我们分析一下（82）中第一个等式给出的最优投资策略的结构。在右侧，第一个部分是所谓的近视部分，其功能形式与经典默顿模型中的功能形式相同，但经过调整也反映了即将到来的信贷风险。第二部分是由随机因素和股票价格的相关运动（相关系数ρ6=0）产生的超额套期保值需求。证据利用引理4.2和等式（78），我们得到了byd^XtBt+^ctBtdt=^Xt-英国电信-!∧θ，^h（t，Yt-, Ht公司-)dWθt- Jθ，^h（t，Yt-, Ht公司-)>dM^ht, （83）其中∧θ，^h（t，y，z）和Jθ，^h（t，y，z）在（81）中定义。对于^h∈ Φθ，我们让可预测过程π^h满足系统（82）。这进一步给了thatd^XtBt+^ctBtdt=^Xt-英国电信-（π^ht）>σ（Yt）dWθt- dM^ht. （84）然后直接比较公式。

（84）和式（14）表明，最佳反馈策略由π^h给出，其中我们还使用了g（T- t、 y，z）=fβ（t- t、 投资者持有的股票在违约后的财富收益率为零。另一方面，利用单纯形3.2和假设（A3），可以得出原始问题v（x，y，z）的值函数≤ inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）≤ ∏（^a，^h，^κ），其中^at=^a（t，Yt-, Ht公司-) 由（40）给出^a，由（75）给出^κ，且^ht=^h（t，Yt-, Ht公司-) 带^h∈ 上述Φθ。根据（23）、（18）、（75）和（84），直接计算得出∏（^a，^h，^κ）=V（x，y，z）。因此，它认为inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=∏（^a，^h，^κ）。这表明^h∈ Φθ满足上述要求（41）。Wenext验证上述策略π^h=（π^ht）t∈[0，T]是允许的。利用（82）中的第一个等式以及定理3.7和命题3.8，我们推断E[RTk（π^ht）>σ（Yt）kdt]<+∞根据假设（A1）-（A3）。利用（82）中的第二个等式和定理3.7，我们得到pni=1E[RT |π^h，it |λi（Yt，Ht）dt]<+∞. 此外，在假设（A1）-（A3）下，它保持π^h∈ (-∞, 1） 对于每个i=1，n、 因此，策略π^可以作为特定定义2.1接受。因此，^π：=π这是最优反馈策略。2标记4.4。G-可预测最优反馈策略^πt=^π（t，Yt-, Ht公司-), t型∈ （82）给出了[0，T]。观察HJB方程（42）的解g（t，y，z）=fβ（t，y，z）也依赖于h∈ Φθ. Michelbrink和Le（2012）考虑了一个具有跳跃微分动力学但没有随机因素的最优投资组合问题，并使用鞅方法进行了求解。在没有随机因素和违约传染的情况下，（81）中定义的函数减少到∧θ，^h（t，z）=（1-q） θ（t，z）>和Jθ，^hi（t，z）=1-（1+^hi（t，z））q-分别为1。

因此，方程Jθ，^h（t，z）>σ=∧θ，^h（t，z）的形式与Michelbrink和Le（2012）的推论1中的形式相似（选择ξ=σ，γi=1）。在没有违约风险的情况下，f（t，y，’zi）=f（t，y，z）=f（t，y），因此我们有^h（t，y，z）=0。因此，对于i=1，…，Jθ，0i（t，y，z）=0，n、 （83）中的默认鞅部分消失。比较dM^h=0（无违约风险）时的动力学（83）和（14），我们推断出最优策略由^π>t给出=(1 - q） θ（t，Yt）>+ρDyg（t- t、 Yt）>σ（Yt）g（t- t、 Yt）σ-1（Yt），其中g（t，y）是HJB方程的解，对应于相同的最优控制问题，但忽略违约风险。当n=1时，我们恢复了Castaneda Leyva和Hernandez Hernandez（2005）的最优策略（见他们论文的最后一节，并选择一维随机因子的波动率函数为常数）。备注4.5。我们提出了一个专门化的框架，在这个框架中可以显式地计算最优策略和值函数。投资组合模型由一只风险股票（n=1）和一个恒定的一维因子Y组成。在这个设置中，我们得到了forEq的闭式解。（44），显式依赖于h=^h。函数f满足以下伯努利方程：f（t，1）=Д（t，1）βf（t，1）+Kβf1-β（t，1），f（t，0）=Д（t，0）βf（t，0）+Kβ+fβ（t，1）（1+h（t，0））qλ（0）βf1-β（t，0），初始条件分别由f（0，1）=f（0，0）=K（1）给出-q） /β=K（因为β=1- q） 。方程的系数由ν（t，1）：=q（q）给出- 1） θ（t，1）- qr=q（q- 1)ξ- qr，Д（t，0）：=q（q- 1） θ（t，0）- qr+[q- 1.- q（1+h（t，0））]λ（0）。如果股票已经默认（z=1），我们有θ（t，1）≡ ξ = σ-1(u - r） ，即等于风险的市场价格。因此，我们可以取h（t，1）=0，因为如果股票违约已经发生，违约强度不起任何作用。在z=0的状态下，即。

当股票还活着时，我们得到了空气（θ（t，0），h（t，0））满足方程ξ- θ（t，0）=σ-1λ（0）h（t，0）。因此，上述系数可重写为Д（t，1）≡ ^1（1）：=q（q- 1)ξ- qr，（85）Д（t，0）：=q（q- 1） λ（0）2σh（t，0）- qλ（0）（q）- 1)ξσ+ 1h（t，0）- qr码- λ（0）+q（q- 1)ξ.定义f（t，z）=f（t，z）1/β，z=0，1。然后，对于z=0，1，~f（t，z）用初始数据~f（0，1）=~f（0，0）=Kβ满足线性ODE，并且~f（t，1）=Д（1）~f（t，1）+Kβ，~f（t，0）=Д（t，0）~f（t，0）+Kβ+~f（t，1）（1+h（t，0））qλ（0）。（86）对于t∈ [0，T]，设x（T）：=1+~h（T，0），其中设置~h（T- t、 0）=h（t，0）。然后我们可以将（85）中给出的系数Д（t，0）重写为Д（t，0）=Д（x（t- t） ）：=ax（t- t） +bx（t- t） +c，（87），其中常数a：=q（q-1） λ（0）2σ，b：=q（1-q） λ（0）σ+qλ（0）（（1-q） ξσ-1） 和c：=qλ（0）（（q-1)ξσ+1) - qr码- λ（0）+q（q-1） ξ+q（q-1)λ(0)2σ. （86）中第二个方程的闭式解由▄fx（t，0）=eRtД（x（t-s） ）ds中兴通讯-卢比（x（T-v） ）dvKβ+`（s）x（T- s） qds+Kβ.在上述表达式中，`（t）：=λ（0）~f（t，1）=λ（0）eД（1）tKβRte-^1（1）vdv+Kβ对于t∈ [0，T]，它独立于x（T）。修复t∈ [0，T]并设u=T-现在是成熟的时候了。然后，命题4.3中的非线性方程Jθ，h（t，0）σ=∧θ，h（t，0）减少了tox（u）=ba+`（u）afx（u，0）x（u）β，（88），其中a：=βλ（0）σ和b：=λ（0）β（ξσ+λ（0））-σσ. 我们考虑q=0且▄b>0的情况，这对应于具有对数效用的投资者。设ε：=▄b/▄a和I：=【ε，∞). 对于所有y∈ CI：=CI（[0，T]），定义CI上的连续映射：F（y）（u）：=ε+~a-1年（u）-β`（u）e-库鲁-反恐精英Kβ+`（s）ds+Kβ。我们的目标是证明F（x）的唯一固定点的存在。对于任何y，y∈ CI，它保持| F（y）（u）- F（y）（u）|=`（u）~ae-铜y（u）-β- y（u）-β后悔-反恐精英Kβ+`（s）ds+Kβ≤`（u） aβε-β-1 | y（u）- y（u）| Ruec（u-s）Kβ+`（s）ds+ecuKβ：=G（u）| y（u）- y（u）|。注意，`（t）在t上有界∈ [0，T]。

然后，存在ε>0，使得supu∈[0，T]G（u）∈ (0, 1).因此，基于Picard迭代的标准技术产生F（x）的唯一固定点。使用公式（75），我们还可以得到^ct=K1-qxfβ（T，y，z）Γ^a，^htBt！q-1.（89）根据附录中的定理3.7和引理A.1，我们得到RT^ctdt< +∞. 这表明（^π，^c）∈ U=U（x，y，z）。使用公式（78），最优财富过程为x^π，^ct=xf（T- t、 Yt，Ht）f（t，y，z）Γ^a，^htBt！q-1，t∈ [0，T]。（90）接下来，我们继续第2节中给出的示例2.1。示例2.1续：我们应用上述理论分析，得出与示例2.1中给出的设置相关的最优策略和值函数。最优策略和消耗过程都依赖于半线性偏微分方程递归系统（44）的解f。在我们的示例中，系统简化为f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+K1-qβ-1f1-β（t，y），f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h1,01（t，y））qλ1,01（y）,f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h2,10（t，y））qλ2,10（y）,f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）fβ（t，y）（1+^h1,00（t，y））qλ1,00（y）+fβ（t，y）（1+^h2,00（t，y））qλ2,00（y）+K1级-qβ-1f1-初始条件为f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=K1的β（t，y）（91）-所有y的qρ∈ D、 请注意违约和金融传染如何反映到PDE结构中。首先考虑两种股票都违约的情况，即默认状态为z=（1，1）。那么投资者只能投资银行账户。接下来，考虑z=（0，1）或z=（1，0）的情况，即只有一只股票违约。

在这种情况下，投资者需要考虑当两支股票都违约时，在所达到的状态下可实现的最佳预期。这可以通过fand fon f满足的PDE的依赖性来反映。同样，当两支股票都存在时，投资者的最佳效用直接取决于其中一支股票违约时达到的效用（fdepends on fand f），间接取决于两支股票违约时达到的效用（fdepends on fthrough fand f）。Let^h∈ Θθ满足Jθ，^h（t，y，z）>σ（y）=∧θ，^h（t，y，z）。UsingEq。（82），最佳反馈策略如下所示：^π1,01（t，y）=1- （1+^h1,01（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β、 ^π2,01（t，y）=0；^π1,10（t，y）=0，^π2,10（t，y）=1- （1+^h2,10（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β;^π1,00（t，y）=1- （1+^h1,00（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β、 ^π2,00（t，y）=1- （1+^h2,00（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β.请注意，投资者在每个违约状态下采用的最优策略取决于相同违约状态下PDE解的梯度。这样的解决方案反过来取决于与发生额外违约的增广状态相关联的偏微分方程的解决方案。5数值分析我们进行了数值分析，以分析最优投资策略对模型参数的敏感性。为了突出主要经济力量，我们考虑了一个由两支可违约股票组成的投资组合模型，其价格过程由一个O-U型

我们假设随机因子是区间中的任意常数y(-l、 l）其中，l>0是一个固定的正常数。对于i=1，2，我们选择默认强度函数的形式为λi（y，z）=aiz+bizecizy。系数aiz、biz、cizare正常数取决于默认状态z∈ {0, 1}. 通过数值求解以下PDE交互系统，可以恢复最优策略和值函数：f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+K1-qβ-1f1-β（t，y），f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h1,01（t，y））qλ1,01（y）,f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）>f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h2,10（t，y））qλ2,10（y）,f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）fβ（t，y）（1+^h1,00（t，y））qλ1,00（y）+fβ（t，y）（1+^h2,00（t，y））qλ2,00（y）+K1级-qβ-1f1-对于所有y，初始条件为f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=kf的β（t，y）（93）∈ D、 我们使用通用形式的PDE接口和内置的COMSOL Multiphysics随时间变化的研究来数值求解系统（93），假设y∈ (-l、 l），并在命题4.3a为全局约束方程的条件下。我们首先按照EA给出的格式（OMSOL接口要求）重写上述系统ut+daut+Γ=F.（94）式（93）是一个偏微分方程系统，其解向量u（t，y）=[u，u，u，u]（t，y）表示（t，y）∈ [0，T]×(-l、 l）。请注意，ν（y）uy=（ν（y）u）+uu。设a：=π=1σ0i。那么它认为-奥伊- ν（y）uy=(-奥伊- ν（y）u）- uu。因此，PDE的系统（93）是通过直接指定等式获得的。

（94），其中我们设置ea=0，da=I（这里I表示单位矩阵），Γ=-au1y- ν（y）u-au2y- ν（y）u-au3y- ν（y）u-au4y- ν（y）u, （95）和源termF=(β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq（β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）（β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）（β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）. （96）初始值u（0）=[u，u，u，u]（0）=[K，K，K，K]。我们使用以下参数基准规范：a=0.6、a=0.5、a=0.8、b=0.4、b=0.3、b=0.6、c=c=c=0.1、u=0.5、u=1.2、σ=0.6、σ=0.4、u=r=0.2、σ=σ=0.8和K=1。我们将投资期限设置为T=1.5.2比较静态分析图1表明，随着因子y的增加，投资者减少了风险股票中持有的财富比例。这可以通过以下两个因素来解释：（i）违约强度是因子y的递增函数，（ii）风险厌恶型投资者随着股票违约概率的增加而减少其持有的股票。图1中顶部图形的直接比较表明，随着y的增加，投资者始终将财富的一小部分分配给股票1，而不是股票2。这直接源于当默认状态z=（0，0）时λ（y，z）>λ（y，z）。股票违约后，生存股票的违约强度会上升。因此，相对于违约前两支股票都存在的情况，投资者分配给它的财富比例较小。作为规划地平线T-t增加，投资者受到的约束更少，因此愿意承担更高的风险。因此，他将财富的很大一部分分配给了风险股。与直觉一致，图2显示投资者的风险厌恶程度越高，风险股票中持有的财富比例越低。

股票价格波动路径导致投资者减少持有风险股票。这如图3所示，我们可以清楚地看到，随着波动性的增加，厌恶风险的投资者会减少其股票的风险敞口。由于股票“1”的波动系数高于股票“2”的相应系数，投资者总是在投资组合的所有违约状态下向股票“2”分配更高比例的财富；比较图3的顶部图和底部图。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.680.690.70.710.720.730.74yπ*1，（0,0）t=0 t=0.2t=0.5-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.70.710.720.730.740.750.76yπ*2，（0,0）t=0 t=0.2t=0.5-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.530.5350.540.5450.550.5550.560.5650.570.5750.58yπ*1，（0,1）t=0 t=0.2t=0.5-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.490.50.510.520.530.540.55yπ*2，（1,0）t=0t=0.2t=0.5图1：投资于股票的财富与因子值y的最佳比例。不同的线条对应不同的投资时间t。左上面板：当两支股票都活着时，投资股票1。右上面板：当两支股票都活着时，投资股票2。左下面板：默认为股票2时对股票1的投资。右下面板：默认为库存1时，对库存2的投资。风险规避参数为p=0.8。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.250.30.350.40.450.50.550.60.650.7yπ*1，（0,0）p=-1便士=-0.6p=0.8-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.350.40.450.50.550.60.650.7yπ*2，（0,0）p=-1便士=-0.6p=0.8-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.20.250.30.350.40.450.50.55yπ*1，（0,1）p=-1便士=-0.6p=0.8-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.20.250.30.350.40.450.5yπ*2，（1,0）p=-1便士=-0.6p=0.8图2：投资于股票的财富与因子值y的最佳比例。不同的线对应于投资者风险厌恶的不同水平p。

左上面板：当两个都活着时，投资于股票1。右上角的面板：当两人都活着时，对股票2的投资。左下角面板：股票2违约时对股票1的投资。右下面板：股票1默认时投资股票2。投资时间为t=0.6。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.580.60.620.640.660.680.70.72yπ*1，（0,0）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.640.660.680.70.720.740.76yπ*2，（0,0）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.440.460.480.50.520.540.56yπ*1，（0,1）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.380.40.420.440.460.480.50.52yπ*2，（1,0）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）图3：投资于股票的财富与因子值y的最佳分数。不同的线对应股票价格过程的不同波动水平。左上面板：两人都活着时对股票1的投资。右上面板：当两个区域都处于活动状态时，对股票2的投资。左下面板：默认为股票2时对股票1的投资。右下面板：股票1默认时对股票2的投资。投资时间为t=0，风险规避参数为p=0.1.6结论我们研究了一个由同时具有市场风险和信用风险的证券组成的市场中的最优投资/消费问题。通过股票波动率和违约强度对随机因素的共同依赖性，对这些风险的依赖结构进行了建模。由于故障在我们的模型中顺序发生，因此控制问题（及其对偶）的HJB PDE是递归链接的。我们将HJB-PDE的原始递归系统转化为一个等价系统，其中默认状态相关的PDE是半线性的。然而，这些偏微分方程的系数是非线性和非Lipschitz连续的。

为了处理半线性偏微分方程的这种非标准特性，我们开发了一种基于截尾时间变元的截断技术，然后利用其解的概率表示。我们已经证明了解梯度的有界性，并利用它通过验证结果确定了最优投资策略和消费路径的可接受性。这些策略允许在值函数及其梯度方面进行显式表示。我们用数值研究补充了我们的理论分析，说明了投资策略对模型参数的敏感性。数值结果证实了经济学的假设：随着波动系数、违约强度和风险厌恶系数的增加，投资者减少了对风险股票的持有。命题3.3的技术证明。使用定义（23）和等式（27），我们得到了INF（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=inf（a，h）∈M、 κ>0E“~UκΓa，hTBT！+ZT ~UκΓa，hsBs！ds+κx#≤ E“~U^κΓ^a，^hTBT！+ZT ~U^κΓa，^hsBs！ds#+^κx=E”U^κΓa，^hTBT！！- I^κΓ^a，^hTBT！^κΓ^a，^hTBT+ZTUIκΓa，^hsBs！！- I^κΓ^a，^hsBs！^κΓ^a，^hsBsds#+^κx=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds- ^κE“Γ^a，^hTX^π，^cTBT+ZTΓa，^hs^csBsds#+^κx=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds- ^κE^a，^h“X^π，^cTBT+ZT^csBsds#+^κX=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds≤ V（x，y，z）。这意味着inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）≤ ∏（^a，^h，^κ）≤ EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds≤ V（x，y，z）。然后，结合不等式（26），我们得到inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=∏（^a，^h，^κ）=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds= V（x，y，z），即等式（28）成立。引理的顶部3.4。