资产负债表风险度量的稀疏网格方法

2022-6-14 03:10:32

CEMRACS：资产负债表风险度量的稀疏网格方法Cyril Bénézet*, Jérémie Bonnefoy+，Jean-Francois Chassagneux*，Shuoqing Deng，Camilo Garcia Trillos§，Lionel Len^otreP2018年11月22日摘要在这项工作中，我们提出了一种基于稀疏网格近似的数值方法，以计算金融或保险公司资产负债表的损失分布。我们首先以简洁的方式描述用于资产负债表分布数值估计的资产和负债动态。对于定价和套期保值模型，我们选择了一个经典的Black&Scholes模型，随机利率遵循Hull&White模型。描述定价和对冲模型参数演化的风险管理模型是高斯模型。将新的数值方法与传统的嵌套模拟方法进行了比较。我们回顾了两种方法的收敛性，以估计考虑中的风险指标。最后，我们提供的数值结果表明，稀疏网格方法对于中等维数的模型非常有竞争力。1简介本文的目标是提出一种稳健而有效的方法，以数字方式评估给定期限内（例如，保险公司）资产负债表分布上的风险。在实践中，它被选择为一年，与Solvency 2监管一致，这是评估欧洲保险公司所需Solvency资本的审慎框架。关于滤波概率空间(Ohm, A、 P，（Ft）t≥0），公司的资产负债表是一个随机过程，在任何时候≥ 0，按公司资产价值（At）t≥0和可靠性（Lt）t的值≥0

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2022-6-14 03:10:35

利息数量是与资产负债表相关的损益（续表中的PnL），由PT=Lt给出- At，t≥ 0 .按照惯例，并采用风险管理的观点，我们将损失计量为正数。在负债方面，保险公司出售了一种结构性金融产品，该产品取决于一维股价（St）和无风险利率（rt）的演变。有几种保险产品可能属于这种类型，特别是与单位挂钩（有或没有财务担保）和可变年金合同。对于这些合同，客户的资金投资于股票和债券市场，而保险公司也可能提供类似于长期看跌期权的财务担保。这些合同的长期到期要求引入利率模型，因为它们对利率曲线的变动非常敏感。该值仅为该产品的价格，考虑了t=1时用于校准定价模型的某些风险因素X（股价、利率曲线等）的值。在资产方面，保险公司管理一些资产以对冲与产品销售相关的风险。定价实际上包括通过对冲获得的保证金。对冲资产为*巴黎狄德罗大学，LPSM+吉安盛集团风险管理部巴黎多芬大学，Ceremake。§伦敦大学学院。PEcole Polytechnique，CMAP。多个到期日的股票和掉期，实际上主要集中在长期。实际上，债券期货有时也包括在内。

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2022-6-14 03:10:38

套期组合通常每周重新平衡，套期数量由财务模型确定，该模型与负债定价模型相同，其输入是计算套期时t的风险因素xtx。我们在第2节，定价和套期保值模型，风险因素X的动态以及资产负债表资产和负债方面的价值中进行了准确的描述。我们要强调的是，风险因素模型是在所谓的现实世界概率测度P下给出的，该测度可以使用金融市场的时间序列进行客观校准，或者代表管理层的观点。这种现实世界的模型可能——而且在大多数情况下——与定价和对冲模型完全不同，定价和对冲模型可能出于运行时间/可追踪性的目的而简化，谨慎（定价和对冲包括保证金）或受到监管的约束。然后，我们的目标是计算资产负债表损失分布的各种风险指标，即真实世界概率测度P下的分布，我们在下文中表示η。准确地说，我们使用在平方可积测度%：P（R）类上定义的（法律不变性）风险测度来衡量与η相关的风险→ R、首先，我们考虑所谓的风险值（V@R），由左侧分位数确定：V@Rp（η）=inf{q∈ R |η((-∞, q] （）≥ p} 。（1.1）我们还将研究光谱风险度量的类别：光谱风险度量定义为%h（η）=ZV@Rp（η）h（p）dp，（1.2），其中h是[0，1]上的非递减概率密度。在数值计算中，我们将重点关注平均风险值（AV@R），由AV@Rα（η）=1给出- αZαV@Rp（η）dp，（1.3），是光谱风险度量的特例。对于一个律不变的风险测度%，我们表示为<其在L上的“升力”(Ohm, A、 P；R） =：L，即任何X的<[X]=%（[X]）∈ 五十、其中，[X]表示X定律。

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2022-6-14 03:10:41

光谱风险度量的升力%h满足以下特性：1。单调性：<h[X]≤ <h[Y]，对于X≤ Y∈ L2、现金不变性：<h[X+c]=<h[X]+c∈ 土地c∈ R3、正均一性：<[tX]=t<[X]，t≥ 0和X∈ 五十、 4。凸度：<[tX+（1- t） Y]≤ t<[X]+（1-t） <[Y]，每当0≤ t型≤ 1，对于X，Y∈ L让我们强调一个事实，即V@R仅满足1-3。我们参考[7]和其中的参考文献，以了解更深入的风险度量和光谱风险度量。在我们的设置中，资产负债表PnL的损失分布η通过以下表达式获得：η=p]ν，其中]表示推进运算符，p:Rθ→ R是根据风险因素描述PnL的函数，ν代表风险因素X的分布。实际上，估计%（η）需要从η中取样。反过来，这需要一个模型参数分布ν的样本和一个p的数值近似值。在本文中，我们比较了两种主要方法，以形成给定ν的η样本。第一种方法称为嵌套模拟方法：这是一种两步方法。首先，绘制了一组描述风险因素随机值的“outersimulation”。然后，针对风险因素的每个值，抽取一个“内部模拟”样本来计算各种套期保值和价格。在这种方法中，所有计算都是“在线”实现的。该方法的主要优势在于其在实践中的实施简单，如第3.1小节第一段所述。然而，众所周知，这种方法非常贪婪，即使像[6]中那样进行了优化。

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2022-6-14 03:10:45

我们还想强调一个事实，即在计算η-样本时，没有为将来的工作存储关于PI的信息：例如，如果由于时间或模型更改而修改了ν，则需要完全重新计算。我们选择采用并希望推广的另一种方法是网格方法，在这种方法中，PI的近似值通过蒙特卡罗方法生成“oêine”，然后存储。然后通过网格上的（多重线性）插值进行数值计算。这种方法的主要缺点是，高维网格的大小可能变得不可操作，尤其是在使用常规网格的情况下。为了部分解决这一难题，我们引入了稀疏网格[2]，它大大减少了要使用的点的数量（相当于要存储的值），而方法的精度仅略有降低。我们证明，对于谱风险度量，这两种方法给出了收敛于真值的%（η）估计，见定理3.1。此外，我们在数值第4节中表明，使用网格方法和低水平稀疏网格可以很好地近似损失分布η和一些相关风险度量，同时大幅减少计算时间，并允许保留有关资产负债表函数p的信息。最后，这允许对不确定性进行数值量化。事实上，由于网格上的计算是存储的，PnL在其他参数分布下的分布计算几乎是瞬时的，并且可以与初始结果进行比较。最后一个数值应用给出了不确定度估计的一个应用。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们首先描述了用于描述风险中性度量Q下价格演变的数学模型。

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2022-6-14 03:10:47

然后，我们精确地描述了A和L的定义。在第3节中，我们描述了在任何给定时间t计算Lt和Ata的两种数值方法≥ 特别是，我们展示了如何在时间t有效地计算对冲组合中持有的数量，这些数量以索赔价格的衍生品表示。我们还解释了如何计算产品的价格和用于构建对冲组合的资产的价格，从而计算LTA和At。我们展示了如何获得物理测度P的punder分布的近似值，并证明了整个过程的均方误差的上界。最后，在第4节中，我们给出了我们的数值结果，并对两种方法进行了比较。2财务模型在本节中，我们给出了资产负债表中资产和负债方面的精确说明。我们还介绍了所使用的风险中性模型和实际模型。2.1出售产品的描述让我们假设一家公司在时间t=0出售或有权益，这是一个（离散的）路径依赖关系，支付函数G在到期日t>0时支付，这取决于一维风险资产价格s的演变。我们在此重点讨论：看跌期权，这是一种离散路径依赖型期权，其到期时的行权T由资产价格s在T倍内的最大值给出∈ {τ=0，τ，···，τκ=T}其中κ≥ 1： G（Sτ，…，Sτκ）=最大值0≤`≤κSτ`- ST.（2.1）备注2.1。上述委托书接近于可变年金合同中提供的财务担保。这些合同是由基金投资构成的结构化保险产品，在基金投资的基础上增加了保险和金融保护。在我们的案例中，合同是一个有保证的最低累积效益，包括棘轮机制。

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2022-6-14 03:10:50

在时间t=0时，客户将其资金投资于基础基金，并将在给定的到期日收到终端基金价值与其终端基金基数之间的最大值，以防客户仍然活着。最终收益基数等于合同各周年日观察到的基础基金价值的最大值（棘轮机制）。我们不考虑本诉讼中死亡/生还的建模，也不考虑客户在合同有效期内的任何时候放弃的可能性。2.2风险中性措施下的市场模型我们假设所有定价和套期保值均采用市场风险中性措施Q。具有上述支付函数G的衍生工具取决于一维股票的价格s=（St）t∈[0，T]。在此，我们假设Q下资产的动态为Black&Scholes类型，如第2.2.2节所述，随机利率r=（rt）t∈[0，T]遵循Hull&White模型。由于支付是可变年金担保的代理，可变年金担保是一种长期储蓄产品（实际期限为10年至30年，具体取决于产品类型），因此利率建模对于该产品至关重要，因此公司的整体资产负债表对此风险非常敏感。2.2.1短期利率modelLetΘ∈ Rd（续集中的d=3）是一组代表一些市场观察结果的参数。短期演化受赫尔&怀特动力学rt，Θs=rt，Θt+Zsta控制ut，Θu- rt，Θudu+b（Bs- Bt），s∈ [t，t]，（2.2）其中B是Q-布朗运动，a和B是实常数，ut，Θ：[t，t]→ R是一个函数。有关赫尔&怀特短期利率模型的更完整分析，请参阅[1]。使用市场观察值Θ校准参数ut，Θ，以便模型再现市场上观察到的利率曲线。

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2022-6-14 03:10:53

由ut，Θs=fΘ（t，s）+a给出fΘ（t，s）s+b2a1.- e-2a（s）-t）, s∈ [t，t]。（2.3）关于（2.3）的推导，我们参考附录。因此，必须选择Θ参数，以充分表示市场上观察到的远期利率曲线。这里我们假设远期利率曲线fΘ（t，·）是直接观察到的，并且是三个基本函数ht，1，ht，2，ht，3从[t，t]到R的线性组合，由ht，1（s）：=h（s）给出- t），ht，2（s）：=h（s- t），和ht，3（s）：=h（s- t），s∈ [t，t]，其中，对于u∈ [0，T]：h（u）=1如果u≤t+t，t+t-美国犹他州-tif u∈ [t+t，t+t]，否则为0，h（u）=0如果u≤t+tu-电话+电话-tif u∈ [t+t，t+t]，否则为1，h（u）=1- h（u）- h（u），其中0≤ t<t<t<t≤ T是四个固定的实数。函数ht，1（分别为ht，2，ht，3）为利率曲线的短期（分别为中长期）结构建模。简而言之，短期利率模型由以下因素决定：1。观察时间t∈ [0，T]，0 5 10 15 20 25 300.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0基本函数h，t1=0，t2=6，t3=16，t4=30UH1H2H3图1：远期利率曲线的构建块。2、三维参数Θ：={θ，θ，θ}∈ R、其中θ、θ、θ是指fΘ（t，·）=θht，1+θht，2+θht，3，（2.4）fΘ（t，·）是观察到的远期利率曲线。结果，给出如上所述的观察结果（t，Θ），短速率过程rt，Θ具有动力学（2.2），其中ut，Θ使用（2.3）计算。备注2.2。在实践中，可以校准（2.2）中出现的参数a、b，以便模型再现市场上观察到的一些合约（如掉期或掉期期权）的价格。我们可以更一般地降低赫尔&怀特模型的参数a、b，以取决于市场观察结果。

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2022-6-14 03:10:56

参数Θ应位于更高的维度空间中，以考虑观察到的掉期价格。参数的定期重新校准主要由从业者执行，尤其是当他们执行动态对冲时。选择这种模式有几个原因。首先，使用数据进行校准非常简单。事实上，函数u直接作为远期利率曲线的函数给出。我们应该再次注意到，通过时间固定a、b的选择简化了校准。其次，我们将在后面的命题3.1中看到，与下面描述的股票模型相关联的短期利率模型，导致在风险中性度量下的精确模拟。最后，可以获得零息票债券和掉期价格的封闭且易于处理的公式，这些产品用于构建对冲组合，然后计算公司资产A的价值。这些价格如下所示。提案2.1。Let（t，Θ）∈ [0，1]×Rbe市场观察，并考虑过程rt，Θss∈[t，t]由（2.2）给出，其中参数ut，Θ由（2.3）和（2.4）定义。1、在时间u到期的零息票在时间t的价格∈ [t，t]由：Pt，Θ，u=exp给出-ZutfΘ（t，s）ds, （2.5）及其对Θ的导数：=（θ，θ，θ）由下式得出：Pθit，Θ，u=-Pt，Θ，Uzutt，i（s）ds。(2.6)2. 设（0，Θ）为时间0时的观测值。考虑一个s=0的掉期合约，到期日M>0，利率R>0，每次i∈ {1，…，M}。那么，该合同在时间t的价格为：SWt，Θ，M，R=Pt，Θ，1P0，Θ，1- Pt，Θ，M- RMXi=1Pt，Θ，i，（2.7）及其相对于Θ的导数如下所示：软件θjt，Θ，M，R=-Pt，Θ，1P0，Θ，1Ztht，j（s）ds+Pt，Θ，MZMtht，j（r）dr+RMXi=1Pt，Θ，iZt+itht，j（s）ds.

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2022-6-14 03:10:59

（2.8）2.2.2股票模型给出了利率因素和风险资产价格x的观察结果∈ (0, ∞), 中性风险度量Q下的价格演变由t，x，Θs=x+Zstrt，ΘuSt，x，Θudu+ZstσSt，x，ΘudWu，s给出∈ [t，t]，（2.9）其中σ>0，~W是另一个Q-布朗运动，其与B的二次协变量由hb给出，~W it：=ρt，t∈ [0，T]，其中ρ∈ [-1, 1]. 等效地，St，x，Θ可以写成：St，x，Θs=x+Zstrt，ΘuSt，x，Θudu+ZstρσSt，x，ΘudBu+Zstp1- ρσSt，x，ΘudWu，s∈ [t，t]（2.10），其中W是Q-布朗运动，与B无关。备注2.3。实际上，可以校准（2.10）中出现的参数σ，以便模型再现风险资产上某些衍生工具的价格。这可以通过增加Θ所在空间的尺寸和添加此校准程序来考虑。备注2.4。自然，通用稀疏网格方法可以应用于不同的模型和功能表示。我们选择使用Black&Scholes模型来表示股票价值，使用Hull&White模型来表示短期利率的h、h、HF的函数表示，因为它们便于获得明确的定价和敏感性公式，如下所示。2.3资产负债表建模我们的关键点是，根据t=0时的市场观察结果，估算t=1时（此处为一年）保险公司资产负债表的分布。如引言中所述，PnL是一个过程P，可分解为asPt=Lt- At，t∈ [0，1]，（2.11），其中L是公司负债的价值，A是资产的价值。我们假设在t=0时，资产负债表是清晰的，这意味着该公司既没有资产也没有负债，即L=A=0。我们在随后的两节中准确描述了这些数量的定义。

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2022-6-14 03:11:02

重要的是，wedenote by“Xt:=（“St，”“t”），0≤ t型≤ 1，表示真实世界测度P下市场参数随机演化的随机过程。即，如第2.2.1节所述，S是股票价格和利率曲线参数。重要的是要记住，为股票价格S（Q下）和S（P下）选择的模型将完全不同，因为它们不符合相同的目的（一方面是定价对冲，另一方面是资产负债表的风险管理或所需资本的监管评估）。2.3.1负债侧对于任何市场观察，必须计算负债的值Lt=：`（t，\'St，\'t），尤其是在我们的应用程序中的时间t=1时。公司负债减少为一种以t=0的价格出售的衍生产品。在我们的设置中，未定权益的价格简单地由以下公式给出：`（t，x，Θ）=EQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i，（2.12）其中（rt，Θ，St，x，Θ）t≤s≤关于短期利率和股票价格的风险中性动态，请参见第2.2.1节和第2.2.2节，根据t时观察到的市场参数（x，Θ）进行校准。我们记得，支付取决于St，x，Θ，仅通过值St，x，Θτ，τ∈ ΓG：={τ，…，τκ}（κ≥ 0），请参见（2.1）。如下文所述，首先计算需要在[0，1]×（0，可能是随机的）离散网格上近似（t，x，Θ）的`（t，x，Θ），∞) ×R.任意点（t，x，Θ）的近似值L∈[0, 1]×(0, ∞)×rbasicaly遵循风险中性度量Q和蒙特卡罗程序下的过程rt，Θ和St，x，Θ的模拟。我们将在第3节中看到，可以在我们的模型中以正确的方式进行模拟。备注2.5。经典的计算方法是使用动态规划原理。一步一步，它需要1。用（2.12）计算网格上所有（x，Θ）的`（1，x，Θ），2。

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2022-6-14 03:11:05

然后使用`（tk，x，Θ）=等式迭代计算网格上所有x，Θ的`（tk+1，x，Θ）e-Rtk+1tkrtk，ΘsdsEQe-RTtk+1rtk，ΘsdsG（Stk，x，Θ）| Ftk+1. （2.13）然而，当x>0和Θ时，内部条件期望不是`（tk+1，x，Θ）形式∈ R、事实上，市场观察的时间仍然是塔卡，而贴现系数仅从塔卡+1到T，而不是（2.12）。因此，使用动态规划方程（2.13）需要引入一些额外的人工参数，即校准时间和时间tk+1时的rtk值。这将使整个过程更重，这就是为什么我们只使用（2.12）进行计算。2.3.2资产方面公司希望复制产品并支付。数学金融的经典理论确保，在理论上，拥有一个否定产品价格随基础参数变化的投资组合是等价的。在我们的背景下，保险公司希望受到保护，免受股票价格变化的影响，利率曲线通过参数Θ建模。动态套期保值投资组合是在离散时间内，在时间网格上构建和重新平衡的：={t=0<t<···<tn=1}（在实践中，投资组合将在产品到期之前重新平衡，但在我们的设置中，我们只对t=1之前的投资组合价值感兴趣）。每次t∈ 在这种情况下，保险人计算出与持仓价格相关的衍生品，然后购买一些金融资产（股票和掉期），以构建一个衍生品与计算出的衍生品相匹配的投资组合。为了对该框架建模，我们将套期保值组合的价值A分解为两部分：At=At+Aρt。

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2022-6-14 03:11:09

（2.14）过程A是指为抵消与S相关的价格变化而获得的投资组合的价值，而ρ是为处理与Θ相关的变化而定义的。备注2.6。显然，由于在实践中套期保值是在离散时间内完成的，并且没有考虑一些潜在参数，因此支付不是完全复制的，也不是超级复制的。因此，公司的PnL不是空的，也不总是正的，本程序的目标正是提出一种新的数值方法来估计t=1时该数量的分布。在实践中，定价包含利润，复制支付的目的是确保利润。为了构建对冲投资组合，保险人可以购买标的股票，以及三份掉期合约，由一些利率R、R、R>0和到期日T、T、T确定∈ [1，T]。进行利率调整，使投资组合对利率曲线主要到期日的变化不敏感。对于长期产品，这意味着建立一个对冲投资组合，包含从1年到30年的几个不同阶段。这里，为简单起见，仅考虑代表曲线短期、中期和长期部分的3个到期日。上述建议2.1中给出了其价格SWt，Θ，Ti，Ri，i=1，2，3的公式。我们现在描述如何计算每次购买的资产和掉期数量t∈ Γ，重新平衡对冲组合。表示为（分别为ρi，i=1，2，3）股票数量（分别为利率为Ri和到期日为Ti的掉期，i=1，2，3）。那么，公司投资组合的价值为：∏t=St+Xi=1ρidSWt，Θt，Ti，Ri- `（t，St，Θt）。

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2022-6-14 03:11:12

（2.15）通过It^o公式，假设过程Θ在P下的半鞅分解，我们得到：d∏t=( - （t，St，Θt））dSt+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R-`θ（t，x，Θ）dθ+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R-`θ（t，x，Θ）dθ+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R-`θ（t，x，Θ）dθ+dt项。为了消除股票价格和利率曲线变化引起的风险，需要取消前面等式中的四个第一项。这些考虑因素导致对冲组合A=A的以下构造+ Aρ：-套期保值：指时间1 isA=n-1Xi=0（ti，\'Sti，\'Θti）？Sti+1-？Sti哪里（t，x，Θ）：=Lx（t，x，Θ）。（2.16）请注意必须计算，每次ti，i=0，n、对于目前的任何市场情况（x，Θ）。一种数值估计建议参见第3节。ρ-对冲：ρisAρ=n的值-1Xi=0Xj=1ρj（ti，\'Sti，\'Θti）SWti+1、\'Θti+1、Tj、Rj- SWti、Θti、Tj、Rj. （2.17）时间t∈ [0，T]，对于（x，Θ）的市场，套期保值所需的每个掉期合约的数量ρi（T，x，Θ），i=1，2，3由线性系统的解给出ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R=`θ（t，x，Θ）ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R=`θ（t，x，Θ）ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R=`θ（t，x，Θ）（2.18）在这种情况下，我们需要计算的一个关键量就是灵敏度向量(`θi（t，x，Θ）），i=1，2，3。备注2.7。（i）我们选择始终使用t=0时发行的相同掉期合约作为对冲工具。我们本可以决定在每次再平衡时免费进行掉期交易（按掉期利率）。

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2022-6-14 03:11:14

然而，此策略需要保留掉期利率的内存，以便在下一个结算日计算掉期价格。（ii）应选择Ti，R，使其代表一些流动合同。2.3.3全球PnL功能根据前两节，我们得出结论，时间1的资产负债表PnL可以表示为，P=P（t，\'St，\'Θt）t∈Γ其中（\'\'S，\'\'Θ）是市场参数（风险因素）和PnL函数p:Rγ→ R、 γ=4×（n+1），由`（tn，xn，Θn）给出-n-1Xi=0（ti，xi，Θi）（xi+1- xi）-n-1Xi=0Xj=1ρj（ti，xi，Θi）SWti+1、Θi+1、Tj、Rj- SWti、Θi、Tj、Rj.（2.19）在下一节中，我们将描述我们将考虑的市场参数（\'S，\'920\'）的模型。2.4真实测量下的市场参数我们在此描述将用于模拟数字部分中的市场参数的模型。让我们坚持认为，这个真实世界的衡量标准P可能代表了管理层对[0，1]时期市场参数演变的看法。如前所述，它可以与用于风险中性定价的模型完全不同。我们假设我们知道或至少能够估计P下（X：=log（S），Θ）=（X，（θ），（θ），（θ），（θ））分布的前两个矩。更准确地说，我们假设P下，该随机向量具有由u=（uX，u，u，u），（2.20）V=（Vij）i，j=0,1,2,3给出的均值和协方差矩阵。（2.21）对随机过程（Xt，（θ）t，（θ）t，（θ）t）t进行建模∈[0,1]在P下，我们假设其动力学由xt=X+bt+cWt+cWt+cWt+cWt，（2.22）（θ）t=（θ）+bt+cWt+cWt（2.23）（θ）t=（θ）+bt+cWt+cWt（2.24）（θ）t=（θ）+bt+cWt，（2.25），其中Wi，i=0，1，2，3是独立的P-布朗运动。提案2.2。至多存在一组系数bi、cij、i、j=0、1、2、3，使得随机向量（X、（θ）、（θ）、（θ））具有平均u和协方差矩阵V。证据

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2022-6-14 03:11:17

我们参考附录中的证明，参见命题5.1。备注2.8。众所周知，在Black-Scholes模型中很难准确估计漂移参数。这使得我们的计算受到模型风险的影响。我们将其留给未来的研究工作，以找到可靠的方法来近似Punder P定律。然而，让我们指出，网格方法允许我们以最小的重新计算，计算P定律不同近似值的风险度量。这是该方法相对于使用“嵌套模拟”的优势之一，如第4.3节数值方法所示。在本节中，我们描述了计算资产负债表PnL上风险指标所使用的两种数值方法。第一种方法被称为嵌套模拟方法，已在行业中使用，见开创性论文【6】。第二种方法是稀疏网格方法，其设计目的是在中等维数的情况下比嵌套模拟方法更有效。在下一节中，我们将进行数值模拟，以证实我们在这里考虑的中等维度模型的这一事实。3.1估计风险度量在一年的资产负债表风险度量%和损失分布η中，我们通过模拟N i.i.d随机变量（ψj）1的样本来估计利息的数量%（η）≤j≤然后使用公式（1.1）、（1.2）和（1.3）简单计算%（ηN），用ηN代替η。这里，ηNstands表示与ψji相关的经验测量值。e、 ηN=NNXj=1Δψj，其中δxis是点x处的狄拉克质量。回想一下，在我们的工作中，损失分布η是通过以下表达式获得的：η=p]νpB如（2.19）所述，ν代表市场参数的分布。

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2022-6-14 03:11:20

也就是说，ν是随机变量X的定律：=（\'St，\'t）t∈Γ（3.1）在真实世界概率测度P下。为了估计所选风险测度的%（η），我们需要能够从η中取样，这意味着我们的设置有两个步骤。首先，我们需要能够对'X进行采样，然后我们使用p，ν的近似值pν∈ {N，S}，即：opNif选择嵌套模拟方法；opSif one选择稀疏网格方法。最后，通过rν：=%（pν]νN）给出%u的估计量，对于ν∈ {N，S}。（3.2）综上所述，这两种数值方法有以下步骤。嵌套模拟方法1。外部步骤：模拟模型参数（Xj）j=1，。。。，N、 2。内部步骤：使用MC仿真模拟ψj=pN（Xj）。这需要使用蒙特卡罗估计值计算期权价格、利率衍生产品价格和价格的各种敏感性，见第3.2.2小节。所有这些计算都是使用下面推导的封闭式公式进行的。3、估计风险度量。所有计算都是“在线”进行的。稀疏网格方法1。固定（稀疏）网格V，并通过MCsimulation计算网格上每个所需值的近似PSA。这涉及与2完全相同的计算。在上面2、模拟N个模型参数样本（Xj），并计算ψj=pS（Xj）。3、估计风险度量。步骤1的计算。都是用“松露”做的。接下来的两个步骤是“在线”完成的。现在，我们精确地描述了如何计算Pn和pS.3.2嵌套模拟方法。在嵌套模拟方法中，一旦模拟了市场参数“X”，就要计算函数Pn本身。回顾（2.19），这要求评估函数\'N，N、 ρN（近似`，, ρ）根据市场参数的价值。

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2022-6-14 03:11:23

此计算再次使用蒙特卡罗方法进行。为了计算上述公式中的风险中性预期，必须对短期利率过程进行抽样，并计算其在[t，t]上的积分，还必须至少在τ的时间模拟股票价格S`∈ ΓG∩ [t，t]。根据第2.2节所述模型，模拟是准确的，并在以下两个陈述中进行了描述，其证明推迟到附录中。Let（t，x，Θ）∈ [0，T]×（0，∞) ×Rbe市场观察，并考虑流程rt，Θss∈[t，t]和St，x，Θss∈【t，t】由（2.2）、（2.10）定义。我们首先从一个简单且众所周知的观察开始。引理3.1。对于短速率过程，我们有以下分解：rt，Θ=ξt+αt，Θ，（3.3），其中（αt，Θs）s∈[t，t]是时间αt的确定函数，Θs=afΘ（t，s）+b2ah1- e-a（s）-t） i，s∈ [t，t]，（3.4）和ξtss∈[t，t]是SDEdξts=-aξtsds+bdBs，s∈ [t，t]（3.5）ξtt=0。（3.6）以下命题提供了一种递归方法，可以在离散网格{t}上生成三元组（ξt，At，Xt，x，Θ）的样本路径∪ （ΓG∩ [t，1]）。因此，我们能够模拟（rt，Θ，St，x，Θ）的演化，并且贴现因子βt，θt：=e-RTtrt，Θsdsunder the risk neutral Measures Q.提案3.1。修复t≤ s≤ u≤ T

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2022-6-14 03:11:26

有条件地在Fs上，三元组ξtu，At，su：=Zusξtrdr，Xt，x，Θu：=logSt，x，Θu是维数为3的高斯向量，平均向量和协方差矩阵分别为ξtu= ξtse-a（u-s），EsAt，su=ξtsa（1- e-a（u-s）），EsXt，x，Θu= Xt，x，Θs+Zusαrdr-σ（u- s） +ξtsa（1- e-a（u-s）），（3.7）andVars（ξtu）=b2a（1- e-2a（u-s）），Covs（ξtu，At，su）=ba（1- e-a（u-s）（）-b2a（1- e-2a（u-s）），Vars（At，su）=ba（u- s）-2ba（1- e-a（u-s））+b2a（1- e-2a（u-s）），Covs（ξtu，Xt，x，Θu）=ba（ba+ρσ）（1- e-a（u-s）（）-b2a（1- e-2a（u-s）），Covs（At、su、Xt、x、Θu）=-aCov（ξtu，Xt，x，Θu）+ba（ba+ρσ）（u- s）-ba（1- e-a（u-s）），Vars（Xt，x，Θ）=（ρσ+ba）（u- s） +（1- ρ） σ（u- s）-2ba（ρσ+ba）（1- e-a（u-s））+b2a（1- e-2a（u-s））。（3.8）3.2.1负债侧的近似值根据上述结果，负债函数“N”在任何时间t的近似值都很简单。由\'N（t，x，Θ）=MMXk=1βt，Θ，kTG（St，x，Θ，k），（3.9）和（（βt，Θ，kτ，St，x，Θ，kτ）τ给出∈ΓG）1≤k≤（βt，Θτ，St，x，Θτ）τ的Mare i.i.d实现∈ΓG，召回（2.1）。3.2.2资产方面的近似由于需要计算模型参数的敏感性，因此资产方面的近似更为复杂：`X和`θi，i=1，2，3，见（2.16），（2.17）和（2.18）。我们选择使用“权重”方法计算敏感度，即我们将其表示为折扣付款预期乘以精心选择的随机权重。请注意，可以使用其他技术来计算这些灵敏度，例如自动微分。在我们的背景下，我们比较了这两种方法，并观察到权重法更有效，见附录中的第5.4节。我们现在描述如何以蒙特卡罗模拟的方便形式获得灵敏度。

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2022-6-14 03:11:30

重新调用我们考虑如下形式的责任函数：`（t，x，Θ）=EQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i，（3.10），其中G通过有限集上的值依赖于St，x，Θ，G={τ=0，…，τκ=T} [0，T]。在下文中，为了简单起见，我们假设τ>t。否则，将添加确定性项，但方法保持不变。Delta：我们要计算：`x（t，x，Θ）=xEQhe公司-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i（3.11），我们得到以下结果。提案3.2。对于所有（t，x，Θ）∈ [0，1]×R×R，以下情况成立：`x（t，x，Θ）=等式-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）Hx，Θe-Rτtξtsds，St，x，Θτi、（3.12）带hx，Θ（a，y）=∑-11,2a+∑-12,2×对数（y/x）-Rτtαt，Θrdr+σ（τ- t）x、（3.13）式中，∑是（Atτ，Xt，x，Θτ）的协方差矩阵，见（3.18）。证据我们把期望写成一个积分，记住我们知道耦合定律（ξtu，Atu，Xt，x，Θu）在Fs上的条件：EQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i（3.14）=e-RTtαt，ΘsdsEQ“e-Rτtξtsdsκ-1Y`=1e-Rτ`+1τ`ξtsdsG（St，x，Θ）#=e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）dQ（Atu，Xt，x，Θu）u∈ΓG（a，···，aκ，x，···，xκ）=e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）pΘ（t，0，log（x），1，a，x）×。×pΘ（tκ-1，0，xκ-1，tκ，aκ，xκ）da··daκdx··dxκ，其中pΘ（s，a，x，u，，.）是偶的密度（At，au，Xt，x，Θu），以Fs为条件。我们以前发现它是一个具有显式平均向量和协方差矩阵的高斯向量。因此，使用Fubini\'stheorem，我们得到，因为除了第一个密度外，对x没有依赖性：`（t，x，Θ）x=e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）pΘ（t，0，log（x），1，a，x）x×。×pΘ（tκ-1，0，xκ-1，tκ，aκ，xκ）da··daκdx··dxκ。

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2022-6-14 03:11:33

（3.15）因此，贴现价格对初始股价的敏感性仅通过计算密度对x的导数来计算。我们有pΘ（t，0，log（x），s，a，y）=det（2π∑）exp-（（a，y）- u) Σ-1（（a，y）- u)>, （3.16）其中，由于（3.7）-（3.8），u=Et公司Atτ, Et公司Xt，x，Θτ（3.17）∑=Var（Atτ）tCov（Atτ，Xt，x，Θτ）tCov（Atτ，Xt，x，Θτ）tVar（Xt，x，Θτ）t！。（3.18）仍然通过（3.7）-（3.8），我们看到只有EthXt，x，Θτide依赖于x。因此我们得到：f（t，0，log（x），s，a，y）x=∑-11,2a+∑-12,2×对数（y/x）-Rτtαt，Θrdr+σ（τ- t）xf（t，0，log（x），s，a，y）。（3.19）将这个等式重新注入（3.15）并根据期望重写结果，我们最终得到了结果。功能（ti，·）使用（3.12）中给出的蒙特卡罗估值器计算，如（3.9）中所示，其中我们还模拟了与利率曲线相关的权重H.敏感性。我们现在考虑与利率曲线相关的衍生品。对于i=1、2、3，我们要计算：`θi（t，x，Θ）=θiEQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i，i=1，2，3。提案3.3。对于所有（t，x，Θ）∈ [0, 1] × (0, ∞) ×Rand all i=1，2，3，我们有以下等式（其中我们设置了τ=t）：`θi（t，x，Θ）=等式-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）Hx，Θi（ξtτl，e-Rτlτl-1ξtudu，St，x，Θτl）l=1，。。。，κi、（3.20）HT，x，Θi（（r`，a`，s`）`=1，。。。，κ) = -Zτκtht，isds+κX`=1Zτ\'τ`-1ht，isds！(Στ`-1,τ`)-11,3（r`- uτ`-1,τ`)+ (Στ`-1,τ`)-12,3（a`- uτ`-1,τ`)+ (Στ`-1,τ`)-13,3（对数）- uτ`-1,τ`), （3.21）式中，us，uand∑s，uar是高斯向量（ξtu，Atu，Xt，x，Θ）的平均值和协方差矩阵，条件为Fs。证据执行与上述分析类似的分析，`θi（t，x，Θ）=e-RTtαt，ΘsdsθiEQhe-RTtξtsdsG（St，x，Θ）i+e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）pΘ（t，0，log（x），1，a，x）。pΘ（tκ-1，aκ-1，xκ-1，tκ，aκ，xκ）θida··daκdx··dxκ。

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2022-6-14 03:11:35

（3.22）这里，计算更加复杂，因为每个密度都取决于ai，i=1，2，3，但IDEA与之前相同。唯一的区别是，当我们使用（3.7）-（3.8）进行区分时，我们看到短期本身出现在公式中。这不是问题，因为我们可以将之前的积分重写为R3κ上的积分，在时间τl，l=1，…，采用短速率过程，κ、作为新的变量进行集成。数量`θi（i=1，2，3）使用公式（3.20）的蒙特卡罗估计量计算。然后求解系统（2.18）可以得到系数ρ，ρ，ρ。这种计算导数的方法允许我们仅用一次蒙特卡罗模拟计算函数`（t，x，Θ）及其四个导数。此外，在风险中性的情况下，公式（3.13）和（3.21）中涉及的每个数量都可以通过对初等函数ht、iand进行积分，并通过反转大小为3×3的实对称矩阵来精确计算。因此，权重函数Ht，x，Θ，Ht，x，Θ易于准确计算。3.3稀疏网格法嵌套模拟法要求函数及其导数的近似值`x，`θi，i=1，2，3，对于每条路径（\'Sjt，\'jt）t∈Γ的市场参数。这些值是根据非常耗时的流量计算的。我们在此建议另一种方法，即预先计算兴趣量（`及其导数）并存储它们。然后通过插值程序获得给定市场参数的请求值。第一种简单的方法是考虑域A的等距网格：=Qdl=1[mp，mp]，这是X的支持度（在我们的设置中，Rd，d=4）。然后可以使用多重线性插值在整个空间中重建函数。

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2022-6-14 03:11:39

如果在一个维度中设置2个点，则在给定时间内，一个函数的总点数将为2dp，并且总体（n+1）2dpto存储（此处d=4）。这将迅速变得太大，尤其是如果允许市场参数数量增长的话。这是数值分析在处理高维问题时遇到的“维数灾难”的典型例子。我们不考虑使用规则网格，而是使用稀疏网格，这样可以减少存储函数数值近似所需的点数。现在，我们快速介绍了与稀疏网格相关的主要概念，请参见[2]以了解全面的调查。在我们的数值示例中，请参见第4节，稀疏网格将使用StOpt C++库计算[5]。对于每个多索引k≤ l、我们定义网格hk=2-kand网格点ˇyk，i=（m+i（m- m）香港，md+id（md- md）港币），0≤ 我≤ 2k。使用hat函数，y∈ R 7→ φ（y）：=（1- |y |如果y∈ [-1，1]0，否则（3.23），我们可以将一组节点基函数关联到前面的网格：y∈ Rd7→ φk，i（y；A）=dYl=1φ（yl- 伊尔克，我-il）。当使用“全”线性插值时，该函数在最底层使用一整套节点基函数进行近似。相反，我们考虑由vκ定义的p阶稀疏网格节点空间：=span{φl，j；（l，j）∈ Ip（A）}，其中iκ：=（l，j）：0≤dXi=1li≤ p0≤ j≤ 2l；（li>0且jiis奇数）或（li=0），对于i=1，d.

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2022-6-14 03:11:41

（3.24）对于函数ψ：a→ R在A的支持下，我们通过πAVκ[ψ]（y）：=X（l，j）定义其相关的Vκ内插子∈Iκ（A）θl，j（ψ；A）φl，j（y；A）（3.25），其中算子θl，jc可以根据r，l的维数递归定义：θl，j（ψ；A）=ψ（ˇyl，j）；r=0θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr）；A.-); lr=0θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr）；A.-) -θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr-1); A.-)-θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr+1）；A.-); lr>0（3.26），其中，对于超立方体a=Qdl=1【ml，ml】，a- :=Qd公司-1l=1【ml，ml】，对于带维数的多指数k≥ 1，k- = （k，…，kr）-1).现在让我们介绍一下我们用来计算损失分布的近似值，即` S（·）：=πVκ[` N]（·），`x（t，·）S： =πVκ[`x（t，·）N] （·）（3.27）和`θi（t，·）S： =πVκ[`θi（t，·）N] （·）i∈ {1，2，3}，t∈ Γ .这些函数是通过计算（3.25）中出现的系数来构建的，这些系数随后存储在内存中。对于“Ssay”，这相当于计算稀疏网格vp上的函数，这是通过蒙特卡罗模拟完成的，与前面的方法一样，回忆一下“Nin”的定义（3.9）。复杂性此方法的主要限制是内存使用量和预计算函数的时间。这与栅格中的点数成比例。这个数字可以估计为ofO（2κ-d+1（κ-d+1）d-1（d-1)!), 参见【2】中的命题4.1。让我们坚持这样一个事实，即与嵌套模拟方法相比，这是“o峈ine”完成的。对于“在线”计算，主要作用是评估函数，该函数比线性插值稍微进化，为O（κ），其中κ是选择的最大水平。备注3.1。

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2022-6-14 03:11:44

每个点的计算都是独立的，这种稀疏网格方法可以容易地并行化，从而进一步提高第4.1.3.4小节收敛性研究中观察到的时间增益。目标是以有效的方式获得与资产负债表损失分布相关的风险的合理近似值。在本节中，我们将解释为什么上述方法确实是风险指标的良好近似值。我们还从理论上研究了这两种方法在内存和时间消耗方面的数值复杂性。3.4.1误差分析对于风险估计，我们将研究以下形式的均方根误差（rMSE）υ： =E|%（p]η）- %（pД]ηN）|, 对于ν∈ {N，S}。期望算子E[·]作用于PN QM、也就是说，它在用于校准的真实世界度量下的市场参数模拟和定价度量下的市场模型风险中性演化上均取平均值。第一个观察结果是，在对风险指标中使用的风险度量进行合理假设的情况下，数值模拟中执行的错误可分为两个主要贡献：来自市场参数抽样的损失分布抽样误差和近似不同定价和对冲函数时产生的误差。引理3.2。假设%具有单调且现金不变的升力<，则υ≤ E|%（p]η）- %（p]ηN）|+ E“sup1≤j≤N | p（Xj）- pν（Xj）|#。证据我们用分布为ηN（ω）的随机变量bxn（ω）表示。

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