使用此表达式，我们可以获得以下估计值zth类σ1，s- h（θ）Eσ，CZR+v0，x（s，x）vd，（t，x）dxds公司≤Zt公司h类σ1，s- h（θ）v0，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+×vd，（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds≤ ku（·）kL(Ohm×R+）sZth类σ1，s- h（θ）ds×sZtkvd，（s，·）kLσ，C(Ohm×R+）ds≤ku（·）kL(Ohm×R+）Zth类σ1，s- h（θ）ds+Ztvd，（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds，（5.3）和相同方式ZTh类σ1，s- h（θ）Eσ，CZR+v0，x（s，x）vd，x（t，x）dxds公司≤ ku（·）kL(Ohm×R+）sZth类σ1，s- h（θ）ds×sZtvd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds≤2ηku（·）kL(Ohm×R+）Zth类σ1，s- h（θ）ds+ηZtvd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds（5.4）和ZTh类σ1，s- h（θ）Eσ，CZR+v0，x（s，x）vd，x（t，x）dxds公司≤ ku（·）kL(Ohm×R+）sZth类σ1，s- h（θ）ds×sZtvd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds≤2ηku（·）kL(Ohm×R+）Zth类σ1，s- h（θ）ds+ηZtvd，x（s，·）Lσ，C(Ohm对于某些η>0的情况，x R+，ds（5.5）。此外，我们还有估算值σ，CZR+vd，x（s，x）vd，（t，x）dxds公司≤Zt公司vd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）vd，（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds≤Zt公司vd，（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds1/2Zt公司vd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds1/2≤2ηZtvd，（s，·）Lσ，C(Ohm×R++ds+ηZtvd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds（5.6），并使用kv0，x（s，·）kLσ，C(Ohm×R+）≤ ku（·）kL(Ohm再次，我们还获得了ZTh类σ1，s- h（θ）Eσ，C锆+v0，x（s，x）dx公司ds公司≤ ku（·）kL(Ohm×R+）Zth类σ1，s- h（θ）ds。（5.7）使用（5.2）中的（5.3）、（5.4）、（5.5）、（5.6）和（5.7），然后取η非常小，我们得到估计值vd，（t，·）Lσ，C(Ohm×R++mZtvd，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+）ds≤ MZt公司vd，（s，·）Lσ，C(Ohm×R++ds+N（t，）+MH（）（5.8），适用于所有t∈ [0，T]，其中w（）=ZTh类σ1，s- h（θ）ds+ZTh类σ1，s- h（θ）dsand，其中M，M>0是独立于固定波动路径的常数。

将（5.8）中的预期值与所有波动路径的平均值进行比较，我们发现vd，（t，·）L(Ohm×R++mZtvd，x（s，·）L(Ohm×R+）ds≤ MZt公司vd，（s，·）L(Ohm×R++ds+ME[H（）]，并使用上面的Gronwall不等式，我们最终得到vd，（t，·）L(Ohm×R++mZtvd，x（s，·）L(Ohm×R+）ds≤ 对于某些M′>0的M′E[H（）]，E[H（）]=O（→ 0+. 最后一个结果为▄h∈ {h，h}我们可以使用中值定理来发现zt小时σ1，s-h（θ）ds=ZT▄h′σ1，s，*σ1，s- θds（5.9），对于某些σ1，s，*位于θ和σ1之间，s，带~h′（σ1，s，*)≤ λ+ λσ1，s，*m级≤ λ+ λσ1，s+ |θ|m级≤ λ+ λσ1，s- θ+ 2 |θ|m对于某些λ，λ>0和s ome m∈ N、 这允许我们通过形式kσ1，的线性组合来约束（5.9）的RHS·-θkpLp(Ohm×[0，T]），均为O（）as→ 0+提案3.1。定理的证明现已完成。推论3.3。设Et，={ω∈ Ohm : P[X1，t>0 | W，B，G]>x}对于>0，Et，0={ω∈Ohm : P[X1，*t> 0 | W，G]>x}，观察e（x，t）=ZTP【Et，】- P【Et，0】dt，=ZTPEt，∩ Ect，0- PEt，0∩ Ect，dt，≤ZTP公司Et，∩ Ect，0dt+ZTPEt，0∩ Ect，dt。

（5.10）接下来，对于任何η>0的情况，我们将Et，∩ Ect，0= PPhX1，t>0W、 B，Gi>x≥ PhX1，*t> 0个W、 Gi公司= PPhX1，t>0W、 B，Gi>x>x- η>PhX1，*t> 0个W、 Gi公司+PPhX1，t>0W、 B，Gi>x≥ PhX1，*t> 0个W、 Gi公司≥ x个- η≤ PPhX1，t>0W、 B、Gi- PhX1，*t> 0个W、 Gi公司> η+Px个≥ PhX1，*t> 0个W、 Gi公司≥ x个- η≤ηE“PhX1，t>0W、 B、Gi- PhX1，*t> 0个W、 Gi公司#+Px个≥ PhX1，*t型≥ 0W、 Gi公司≥ x个- η（5.11）如果我们用S表示波动路径生成的σ-代数，自X1起，*t独立于S和B的路径，通过使用Cauchy-Schwarz不等式，我们发现中兴通讯“PhX1，t>0W、 B、Gi- PhX1，*t> 0个W、 Gi公司#dt=中兴通讯“EPhX1，t>0W、 C′、S、Gi-PhX1，*t> 0个W、 C′，GiW、 B、G#dt公司≤中兴通讯“E”PhX1，t>0W、 C′、S、Gi-PhX1，*t> 0个W、 C′，GiW、 B、G#dt=中兴通讯“PhX1，t>0W、 C′、S、Gi- PhX1，*t> 0个W、 C′，Gi#dt公司=v0，（·，0）- v（·，0）L(Ohm×[0，T]）=O（），其中最后一个紧随其后，使用维1中的莫雷不等式（参见Evans[10]）和定理3.2。另一方面，由于P[X1，*t> 0 | W，G]在x附近有一个有界密度，在t中均匀∈ [0，T]，我们有ZTPx个≥ PhX1，*t> 0个W、 Gi公司≥ x个- ηdt=O（η）。因此，（5.11）给出了SRTP【Et，】∩Ect，0]dt≤ηO（）+O（η），对于任何η>0的情况，同样我们可以得到rtp[Et，0∩ Ect，]dt≤ηO（）+O（η）。使用（5.10）中的这两个表达式，并取η=p对于一些p>0，我们最终得出（x，T）≤ O（p）+O1-2p级,作为→ 0+当1-2p=p<=> p=。这使得E（x，T）=O（）为→ 0+.附录：肯定再验证结果的证明在本附录中，我们证明了命题2.2和命题2.3。

这两种证明都基于Bhattacharya和Ramasub-ramanian的定理2.5，该定理给出了n维Markov过程X的有效条件，其中最小生成元t=nXi，j=1ai，j（t，X）xixj+nXi=1bi（t，x）xito be positive reccurent，即在RnsuchthatlimT上具有不变的概率分布v→+∞对于任何v-可积函数f，TZTf（Xs）ds=ZRnf·dv。该定理涉及函数Az（s，x）：=nXi，j=1ai，j（s，x）（xi- zi）（xj- zj）| x- z | B（s，x）：=nXi=1ai，i（s，x）Cz（s，x）：=2nXi，j=1bi（s，x）（xi- zi）αz（r）：=infs≥0，| x-z |=rAz（s，x）β（r；z，t）：=sups≥t、 | x-z |=rB（s，x）- Az（s，x）+Cz（s，x）Az（s，x）Iz，r（r）：=Zrrβ（u；z，0）u，表示正电流的条件如下：1。ai，j（·，·）和bi（·，·）在[0，T]×r上是Borel可测的，在紧集上是有界的。2、对于每个N>0，存在一个δN（r）↓ 0作为r↓ 0，这样对于所有t≥ 0和x，y∈ Rn带t，| x |，| y|≤ N我们有a·，·（t，x）- a·，·（t，y）k≤ δN（| x- y |），其中k·k表示矩阵2-范数。3、对于任何紧凑型K R每z′一次∈ Rk，函数B+Cz′Az′从+∞ 在[0+∞] ×K.4。存在z∈ r和r>0，以便：Z+∞重新-Iz，r（r）dr=+∞andZ公司+∞rαz（r）eIz，r（r）dr<+∞我们现在开始证明，通过证明上述条件满足，我们将建立积极的再验证结果。命题2.2。证明了二维连续马尔可夫过程（σ1,1，σ2,1）是正递归的。为此，我们设置Hi（x）=Rxvig（y）dy，which从R到自身严格增加双射，然后Zi=Hi（σi，1），对于i∈ {1, 2}. 证明了二维过程Z=（Z，Z）是正循环的。

在微元生成器中，LZof Z映射任何光滑函数F:R→ R托尔兹夫（x，y）=V（x）Fx（x，y）+V（y）Fy（x，y）+Fxx（x，y）+Fy y（x，y）+ λ=ρ2,1ρ2,2<1和Vi（x）=κi（θi）时的λFxy（x，y）-（您好）-1（x））vig（（高）-1（x））-vig′（（高）-1（x）），对于i，Vi是一个连续且严格递减的双射∈ {1, 2}.我们可以计算（z，w）s、 （x，y）=+ λ（x- z） （y）- w） （十）- z） +（y- w）≥+ λ-（十）- z） +（y- w）（十）- z） +（y- w） =（1）- λ） >0且B（s，（x，y））=1和c（z，w）s、 （x，y）= 2.V（x）（x）- z） +V（y）（y）- w）对于所有（x，y），（z，w）∈ R、 由于LZare系数是连续的，高阶系数是常数，我们可以很容易地验证条件1。和2。此外，由于带C（z，w）在t中是常数，在（x，y）中是连续的，而A（z，w）的下界是（1- λ） >0，我们有3个，它紧随其后。也接下来，我们选择z和w分别作为V（x）和V（y）的唯一根，我们得到α（z，w）（r）=inf（x-z） +（y-w） =rA（z，w）s、 （x，y）≥(1 - λ） >0（A.1）和βr（z，w），0= sup（x-z） +（y-w） =rBs、 （x，y）- A（z，w）s、 （x，y）+ C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）≤1.- λ- 1+1+λsup（x-z） +（y-w） =rC（z，w）s、 （x，y）（A.2）由于C（z，w）（s，（x，y））从不大于零，且A（z，w）s、 （x，y）=+ λ（x- z） （y）- w） （十）- z） +（y- w）≤+ λ（十）- z） +（y- w）（十）- z） +（y- w） =（1+λ）。现在，对于C（z，w）（s，（x，y））的上确界为en（x- z） +（y- w） =r，对于某个角度φr，我们有x=z+r cos（φr）和y=w+r sin（φr）。然后，我们有| cos（φr）|≥√或| sin（φr）|≥√. If cos（φr）≥√保持，我们可以估计（z，w）s、 （x，y）= 2r cos（φr）Vz+r cos（φr）+2r sin（φr）Vw+r s英寸（φr）≤ 2r cos（φr）Vz+r cos（φr）≤ CRC带c=√2V（z+r√) < 0

以类似的方式，通过使用两个Vand变量都急剧递减的事实，我们可以找到常数c，c，c<0，这样c（z，w）（s，（x，y））<cr，c（z，w）（s，（x，y））<cr，d c（z，w）（s，（x，y））<cr，当cos（φr）时≤ -√, sin（φr）≥√和sin（φr）≤ -√分别地因此，对于c*= max{c，c，c，c}<0我们有c（z，w）（s，（x，y））<c*r、 可在（A.2）中使用，以给出估计值βr（z，w），0≤1.-λ- 1+2c*所有r的1+λRf≥ r、 这意味着对于足够大的空间，我们有i（z，w），r（r）≤Zrrr′型1.- λ- 1+2c*1+λr′dr′博士≤ c**（r）- r） 对于一些c**< 0和所有r≥ r、 这意味着Z+∞重新-I（z，w），r（r）dr=+∞并结合（A.1），给出了+∞rα（z，w）（r）eI（z，w），r（r）dr≤1.- λZ+∞rec公司**rdr<∞.因此，我们得出，过程Z=（Z，Z）满足所有要求的条件，这意味着（Z，Z）是一个正的循环微分，因此（σ1,1，σ2,1）也是正的循环微分。提案2.3。我们将首先表明，每个波动过程都不会达到零。回顾σ1,1的标度函数S（x）的标准性质（参见Rogers and Williams[26]），我们得到了S（x）=Zxθe-Ryθ2κ（θ-z） 我们需要证明limn→+∞S（n）=-∞. 自上止点∈Rg（x）≤ 1严格小于2κθv，对于n≥θ我们有n= -ZθneRθy2κ（θ-z） vzg（z）dzdy≤ -ZθneRθy（θ-z） θzdzdy≤ -ZθneRθyzdz-Rθyθdzdy≤ -eZθnθydy=-θe（ln n+lnθ），倾向于-∞ 作为n→ +∞. 这表明我们的波动过程在未来仍然是积极的。由于我们的波动过程是严格正的，因此我们可以设置Zi=lnσi，1 for i∈ {1，2}，我们需要证明（Z，Z）是一个正的复发性差异。

同样，我们可以很容易地确定微型生成器LZof Z=（Z，Z），这一次它映射了任何光滑函数F:R→ R托尔兹夫（x，y）=V（x）Fx（x，y）+V（y）Fy（x，y）+ve-xg（ex）Fxx（x，y）+ve-yg（ey）Fy y（x，y）+λvve-λ=ρ2,1ρ2,2<1且Vi（x）=e时，x+y▄g（ey）▄g（ey）Fxy（x，y）-x（κiθi-vig（ex））-κi因子∈ {1，2}，这是两个从R到自身的连续且严格递减的双射。这一点可以通过▄g增加且上限为1的事实来说明。使用不等式ab≥ -a+B获得a（z，w）s、 （x，y）=ve公司-xg（ex）（x- z） （十）- z） +（y- w） +ve-yg（ey）（y- w） （十）- z） +（y- w）+λvve-x+yg（ex）g（ey）（x- z） （y）- w） （十）- z） +（y- w）≥1.- λve公司-xg（ex）（x-z） （十）- z） +（y- w） +ve-yg（ey）（y- w） （十）- z） +（y- w）≥(1 - λ） 最小{v，v}最小{e-xg（ex），e-y▄g（ey）}，它是严格正的。此外，我们可以计算s、 （x，y）=ve公司-xg（ex）+ve-yg（ey）和C（z，w）s、 （x，y）= 2.V（x）（x）- z） +V（y）（y）- w）对于所有（x，y），（z，w）∈ R、 由于LZare连续和A（z，w）（s，（x，y））的系数是严格正的，因此条件1如下。和3。满足验证2的要求。，我们选择N>0和x，y，\'x，\'y∈ [- N、 N]，我们设置m（x，y）=ve公司-xg（ex）λvve-x+yg（ex）g（ey）λvve-x+y▄g（ex）▄g（ey）ve-yg（ey）我们计算m（x，y）- M（\'x，\'y）k=ve公司-x▄g（ex）-ve公司-\'x▄g（e'x）+ve公司-yg（ey）-ve公司-“y”g（e“y”）+λvve-x+yg（ex）g（ey）-λvve-\'x+\'y▄g（e'x）▄g（e'y）！≤ CNk（x，y）- （\'x，\'y）kR，其中我们对三项中的每一项都使用了二维中值定理，并且所有涉及的函数在[-N、 N]（因为g具有连续导数）。因此，如果我们取δN（r）=CNr，我们有2。

也接下来，对于一些r>0和所有r≥ r、 我们计算βr（z，w），0= sup（x-z） +（y-w） =rBs、 （x，y）- A（z，w）s、 （x，y）+ C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）= -1+sup（x-z） +（y-w） =rBs、 （x，y）+ C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）（A.3）这里我们再次选择z和w分别作为V（x）和V（y）的单根。然后，通过设置x=z+r cos（φr）和y=w+r sin（φr）和φr∈ [0，2π]对于达到上确界以上的（x，y），由于▄g增加，我们有c（z，w）s、 （x，y）= 2e类-x个κθ-vg（ex）- κ!（十）- z） +2e-yκθ-vg（ey）- κ!（y）- w）≤ 2e类-x个κθ-vg（ez）- κ!（十）- z） +2e-yκθ-vg（ew）- κ!（y）- w） =2κez公司-x个- 1.（十）- z） +2κ电子战-y- 1.（y）- w）≤ 2分钟{κ，κ}ez公司-x个- 1.（十）- z）+电子战-y- 1.（y）- w）= κre-r cos（φr）- 1.cos（φr）+e-r sin（φr）- 1.sin（φr）（A.4）对于κ=2 min{κ，κ}，由于▄g有界，对于ξ=max{v，v}supx∈我们也可以表示a（z，w）s、 （x，y）= ξe-x（x- z） （十）- z） +（y- w） +e-y（y- w） （十）- z） +（y- w）= ξe-z-r cos（φr）cos（φr）+e-w-r sin（φr）sin（φr）= ξe-ze-r cos（φr）- 1.cos（φr）+e-we-r sin（φr）- 1.sin（φr）+ξe-zcos（φr）+e-wsin（φr）≤ -ξe-ze-r cos（φr）- 1.cos（φr）+e-we-r sin（φr）- 1.sin（φr）+ξe-z+e-w, （A.5）其中我们还使用了初等不等式（eab- 1） a≤ -（eab- 1） a代表| a |≤ 1和b<0。使用（A.4）和（A.5）我们得到C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）≤ -rκξl（r）l（r） +ξ（e-z+e-w） （A.6）其中l（r） =-ξe-ze-r cos（φr）- 1.cos（φr）+e-we-r sin（φr）- 1.sin（φr）≥ -ξe-ze-r cos（φr）- 1.cos（φr）=ξe-ze-r cos（φr）- 1.|cos（φr）|≥ ξmin{e-z、 e类-w}√最小值e-r√- 1.,呃√- 1.（A.7）由于我们采用了r≥ r、 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设| cos（φr）|≥√.因此，（A.6）意味着有一个普遍的c*< 0使得C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）≤ c*r当r≥ r

将最后一个插入（A.3），我们得到βr（z，w），0= -1+sup（x-z） +（y-w） =rBs、 （x，y）+ C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）≤ -1台以上*r+sup（x-z） +（y-w） =rBs、 （x，y）+ (1 - p） C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）（A.8）对于所有r≥ 兰特a p∈ [0，1]稍后将选择。现在我们将看到，上面（A.8）的RHS中的最后一项为负≥ R足够大（取决于p）。事实上，通过使用g（A.4）、b（s，（x，y））的定义以及g是上界的事实，我们可以得到估计值sup（x-z） +（y-w） =rBs、 （x，y）+ (1 -p） C（z，w）s、 （x，y）A（z，w）s、 （x，y）≤ sup（x-z） +（y-w） =r（κ*（ez-x个- 1） （十）- z） +（ew-y- 1） （y）- w）A（z，w）s、 （x，y）+ξ（e-x+e-y） A（z，w）s、 （x，y）)（A.9）式中，与前面一样，我们有ξ=max{v，v}supx∈Rg（x）和κ*= (1 - p） κ。最后一个前提的数字可以很容易地-∞ 当x或y趋于±∞,当r→ +∞. 因此，对于r≥ R如果R足够大，则（A.9）的R HS为负值。最后一个可以用在（A.8）中给出βr（z，w），0≤ -1+p c*r（A.10）表示所有r≥ r、 带c*< 另一方面，我们也可以计算α（z，w）（r）=inf（x-z） +（y-w） =rA（z，w）s、 （x，y）≥(1 - λ） 最小值{v，v}e-最大值{z，w}-rgemax{z，w}+r（A.11）从（A.10）可以看出，对于足够大的r，我们有i（z，w），r（r）≤Zrrr′型-1台以上*r′dr′博士≤ pc机*（r）- r） （A.12）带c*< 0，对于所有r≥ r、 这意味着+∞重新-I（z，w），r（r）dr=+∞,虽然我们可以使用（A.12），（A.11）和▄g由某个g正函数下界这一事实，但发现z+∞rαr（z，w），0eI（z，w），r（r）dr<Cαz+∞re（1台以上）*)rdr。对于某些Cα>0，仍需证明上述RHS是有限的。最后一种情况是pc*< -1，这是通过取η足够小和rbig足够大来实现的。事实上，这迫使e-魔杖e-zto be arb itrary close to arb itrary elo there，and the lower bound ofl （由（A.7）给出）任意接近√2ξe-z

这带来了c*（在（A.6）中获得）任意接近-κξ√√2 + 4= -min{κ，κ}max{v，v}supx∈Rg（x）√√2+4小于-1根据我们的初始假设。因此，如果p被选择为与1有效循环，则我们有pc*< -1，这就完成了证明。参考文献[1]Aldous，D.《可交换性和相关主题》（1985），Ecole D\'Ete St Four 1983，Springer数学讲稿，1117，1–198[2]Bhattacharya，R.和Ramasubramanian，S.《差异的重复性和遍历性》，J.《多元分析》。，12(1) (1982), 95–122.[3] Br’ezis，H.《泛函分析、Sobolev空间s和偏微分方程》。取消iversitext。纽约伦敦：Springer（2011）[4]Bujok，K.和Reisinger，C.《结构性货币政策差异模型中一揽子信贷衍生品的数值估值》，J.Comput。《金融》，15（2012），115–158。[5] 布什，N。；Hambly，B.M。；霍沃斯，H。；Jin，L.，和Reisinger，C.《投资组合信贷建模中的随机演化方程》，暹罗J.金融数学。，2 (2011), 627–664.[6] Cvitanic，J。；Ma，J.和Zhang，J.自激相关缺省的大数定律，随机过程。应用程序。，122(8) (2012), 2781–2810.[7] Dai Pra，P。；Runggaldier，W。；Sartori，E.和Tolotti，M.《大型投资组合损失：动态传染模式》，Ann。应用程序。概率。，19(1) (2009), 347–394.[8] Dai Pra，P.和Tolotti，M.《异质信贷组合与集合损失的动态，随机过程》。应用程序。，119(9) (2009), 2913–2944.[9] Ethier，S.和Kurtz，T.《马尔可夫过程：特征和收敛》。概率统计中的Wileyseries。Hoboken，N.J.：Wiley Interscience（2005）[10]Evans，L.偏微分方程。数学研究生课程；v、 19。普罗维登斯，罗德岛：美国数学学会（2015）[11]Fouque，J。；Papanicolaou，G.和Sircar，K.金融市场中具有仓促波动的衍生品。

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