在（P4）的整个证明中，我们假设我们在集合{Xt上-1=1}，我们将确定Φ（θ）t-1=1，通过显示不等式Jt-1（θ）<g（1）。与（P2）的证明类似，我们从ht+3（θ）开始≤ b和pt+3（θ）≥ 0并重复应用（5.10）、（5.13）、（5.12）和（5.15），以导出{Xt=2}上的以下界限：ht（θ）≤ 0.1δmax（δ，0.25bδ）+0.4bδ，pt（θ）≥ 0.89.然后，我们使用（5.6），（5.7），（P4）和（5.5）的假设来推导Jt-1（θ）=ht-1（θ）pt-1（θ）=δE[1{Xt=2}ht（θ）| Ft-1] E[1{Xt=2}pt（θ）| Ft-1] + 0.5≤0.5δ{0.1δmax（δ，0.25bδ）+0.4bδ}0.5·0.89+0.5=δ{max（δ，0.25bδ）+4b}18.9<a=g（1）。的pro已完成。备注5.5。如果我们关注在吸收态4中停止的平衡（或具有提前停止偏好的fo-cuson平衡），则示例5.3中的结果扩展到未贴现的情况δ=1。情况与状态3相同：如果不贴现，状态4的任何代理在持续和持续之间都是不变的，这导致平衡的不确定性。6斯奈尔对和平衡在这一节中，我们提供了一个理论，该理论扩展了经典最优停止的斯奈尔包络和有限视界酪蛋白定理3.1的递归。如第3节所述，值过程V（在经典情况下是G的斯内尔包络）需要与生存过程S互补，以提供一个有效的统计信息，用于代理的最优准则。通过说明屋顶中最常用的属性，我们介绍了实用主义定义6.1中的斯内尔对（V，S）。或者，这两个过程都可以通过更优雅的Snell包络特性（引理6.3）来描述，这是术语所在。本节的主要结果将是斯内尔对和平衡之间的对应关系；见定理6.5及其推论。在本节中，我们将重点讨论具有提前停止偏好的均衡。

可以考虑其他偏好，但会导致（甚至）更重的表示法。对于无限期情况T=∞, 我们假设∞= lim支持→∞燃气轮机。（6.1）我们还记得T={0，1，…}如果T=∞, 所以T∪ 当地平线包含在索引集中时，将使用{T}。定义6.1。由适配过程V=（Vt）t组成的一对（V，S）∈接地S=（St）t∈T∪如果以下条件成立，则称{T}为Snell对（具有提前停止偏好）：（i）0<St≤ 对于所有t，在dt上为1，在dct上为0∈ T、 对于所有T，Vt=GT≥ Te。（ii）给定S，V是支配G andrenders（SV）的最小适应过程·∧茶具。Vt=GT表示t的属性≥ TEI实际上与（iii）冗余。我们遵循通常的惯例，即除非明确提及，否则在T上理解超鞅性质、斯内尔包络等；即t=∞ 不包括在内。（iii）给定V，S是T上的最小非负上鞅∪ 满足Dt上St=1的{T}∩{Vt=Gt}对于所有t∈ T和S∞= 1{σ=∞}如果T=∞.（iv）对于所有t<t，过程（StV）·∧TEI是一个超鞅，其中stt：=1{t6=t}St+1{t=t}E[St+1 | Ft]。在我们将斯内尔对与均衡停止政策联系起来之前，对定义的一些评论是有序的。引理6.2。性质（i）–（iii）表示以下“远离障碍物的鞅性质”，（v）如果t<t且Vt>Gt，则当St=E【St+1 | Ft】且StVt=E【St+1Vt+1 | Ft】。证据如果第一个恒等式在某些t中失败，则用E代替St[St+1 | Ft]会产生具有所需属性的更大超马尔可夫，与（iii）相矛盾。如果第二个标识失败，则用E[St+1Vt+1 | Ft]/替换vt会使较小的进程具有所需的属性，这与（ii）相矛盾。引理6.3。

属性（i）–（iii）共同等同于以下内容：（i’）对于所有t，dt上的St>0∈ T和Vt=所有T的GT≥ Te。（ii’）（SV）·∧Teis（SG）的斯内尔包络线·∧Te。（iii’）S是1{t的斯内尔包络<∞}∩{Vt=Gt}∩Dt+1{t=σ=∞}在T上∪ {T}。证据显然（i）意味着（i’）。要看到相反的情况，假设St>0 onDt。那么S′t：=1Dt，t≤ T是非负上鞅。因此，（iii’）得出0≤ St公司≤ 1和（i）如下。给定（i’），（ii）和（ii’）的等价性是直接的。对于（iii）和（iii’）的等式U，请注意U∧ 只要你是超级艺人，你就是超级艺人。引理6.4。（a） 过程（SV）·∧Teand（StV）·∧（ii’）和（iv）中的Te是一致可积的。（b） 设T=∞ 设（V，S）为斯内尔对。Thenlimt公司→∞St=S∞= 1{σ=∞}, （6.2）限制→∞（SV）t∧Te=1{Teσ} GTe。（6.3）证明。（a） 回想一下，supt | Gt | 1Dt∈ 证明具有L-主元的任何过程的Snell包络一致可积。考虑到（ii），它遵循（SV）·∧Teis一致可积，然后so is（StV）·∧Te。（b） 我们从（i）和（iii）中得到，S是有界超鞅∞= 1D∞. 特别是St≥ E[秒∞|英尺]。通过极限，鞅收敛产生lim inftSt≥ S∞. 相反，（i）明确暗示LIM suptSt≤ 1且lim St=0开启∪tDct=直流∞. 因此，证明了（6.2）。第（a）、（ii）部分和Snell包络屈服极限的经典极限性质→∞（SV）t∧Te=lim支持→∞（SG）t∧Te。此外，使用（6.2）和（6.1），lim supt→∞（SG）t∧Te=1{Te<∞}DTeGTe+1{Te=∞}lim支持→∞Gt=1{Te<σ}GTe+1{Te=σ=∞}G∞= 1{Teσ} GTE，因此（6.3）如下。我们现在可以陈述将斯奈尔对与平衡点联系起来的主要结果，从而将经典的斯奈尔包络理论扩展到条件最优停止。定理6.5。（a） 设（V，S）为斯内尔对。那么，θ=1{G≥定义了具有提前停止偏好的非平衡停止策略。

此外，Vt=1{t<Te}max（Gt，Jt（θ））+1{t≥Te}Gt，t∈ T、 （6.4）St=1Dt{Vt=Gt}+1{Vt>Gt}P（Ltθ σ| Ft）, t型∈ T（6.5）和S∞= 限制→∞St=1{σ=∞}如果T=∞.（b） I fθ是一个具有提前停止偏好的均衡停止策略，则存在唯一的S-nell对（V，S），使得θ=1{G≥V}。该Snell对由（6.4）–（6.5）给出。如上所述，在经典情况下，斯奈尔对简化为通常的斯奈尔包络。推论6.6。假设Dt=Ohm f或所有t∈ T、 （i）任何平衡θ对应于经典意义上的最佳停止：E[gτT | Ft]=ess supτ≥对于τt=inf{s，tE[Gτ| Ft]≥ t：θs=1}。（ii）任何Snell对由S组成≡ 1和经典的Snell包络t=ess supτ≥tE【Gτ| Ft】。证据注意σ=∞. 设θ为平衡，且（V，S）为关联的斯内尔对。然后，VT=1{θt=1}Gt+1{θt=0}Jt（θ）=1{θt=1}Gt+1{θt=0}E[GLtθ| Ft]=E[1{θt=1}Gt+1{θt=0}GLtθ| Ft]=E[Gτt | Ft]。我们用（6.4）–（6.5）表示ST=1。因为S是由1支配的超鞅，所以对于所有t，我们必须有St=1∈ T、 因此，SV=V是SG=G的Snellenvelope；也就是说，Vt=ess supτ≥tE[Gτ| Ft]。在有限水平情况下，斯奈尔对对应于第3节中构造的过程。推论6.7。让T<∞. 然后存在唯一的Snell对（V，S），它由定理3.1的向后递归确定。证据设（V′，S′）和θ如定理3.1所示。根据定理6.5，存在θ=1{G的唯一Snell对（V，S）≥V}，完全由（6.4）–（6.5）决定。根据引理3.2和定理3.1中的定义，（V′，S′）也满足（6.4）–（6.5），因此（V′，S′）=（V，S）。我们注意到，在有限地平线的情况下，第5节中的示例表明，Snell对通常不是唯一的。定理6.5的证明。我们关注的是T=∞; Fine horizon案例类似，但更简单。（a） 设（V，S）为Snell对，θ=1{G≥V}；我们证明θ∈ Θ和Φ（θ）=θ。

如果t≥ Te，则（i）表示Vt=gt，因此θt=1，St=1Dt；见（iii）。让t<Te。注意，我们在dt中，t<Ltθ≤ Te公司≤ σ. IfLtθ=∞, 我们有SLtθ=S∞= 1{σ=∞}= 1，而如果Ltθ<∞, 我们有sltθ=1DLtθ。总之，SLtθ=1{Ltθ<∞}DLtθ+1{Ltθ=∞}= 1{Ltθσ}. （6.6）因此，对于Ltθ=∞,SLtθVLtθ=1{Ltθσ} GLtθ。（6.7）接下来，我们分别考虑两种情况。在θt=0的情况下：使用（v），可选采样定理（S的有界性和引理6.4中的一致可积性）以及（6.6）和（6.7），我们可以看到st=E[SLtθ| Ft]=P（Ltθ σ| Ft）（6.8）和stvt=E[SLtθVLtθ| Ft]=E[1{Ltθσ} GLtθ| Ft]。（6.9）鉴于（i），方程式（6.8）特别得出P（Ltθσ| Ft）=St>0，因为我们在Dt中，根据θ的容许性要求。此外，当θt=0时，（6.8）和（6.9）一起表示gt<Vt=StVtSt=E[1{Ltθσ} GLtθ| Ft]P（Ltθ σ| Ft）=Jt（θ）。情况θt=1：在这种情况下，S是从时间t+1到时间Ltθ的鞅，因此，与前一种情况类似，St+1=E[SLtθ| Ft+1]=E[1{Ltθσ} |英尺+1]。根据双方的条件期望，我们推断出stt=E[St+1 | Ft]=P（Ltθ σ| Ft）。鉴于t<Teand（i），我们有P（St+1>0 | Ft）=P（Dt+1 | Ft）>0，这意味着P（Ltθ σ| Ft）=E[St+1 | Ft]>0，并完成可接受性证明。此外，利用StV的上鞅性质，引理6.4和（6.7）中具有一致可积性的可选抽样定理，我们得到了STTVT≥ E[StLtθVLtθ| Ft]=E[SLtθVLtθ| Ft]=E[1{Ltθσ} GLtθ| Ft]=P（Ltθ σ| Ft）Jt（θ）=E[St+1 | Ft]Jt（θ）=SttJt（θ）。当Stt>0且θt=0时，我们得出结论，Gt=Vt≥ Jt（θ）。将这两种情况放在一起，并注明{θt=0} {t<Te} Dt，我们得出结论，（6.4）和（6.5）成立。我们还记得S上的条件∞已在（6.2）中建立。

最后，（6.4）表明Φ（θ）t=1{t<Te}∩{Gt≥Jt（θ）}+1{t≥Te}=θ，并且（a）的证明是完整的。（b） 设θ为具有提前停止偏好的均衡停止策略；我们表明，（6.4）和（6.5）定义的对（V，S）是斯奈尔对。首先，我们检查（6.5）是否意味着∞:= limtSt=1D∞. 实际上，我们有p（Ltθ σ| Ft）≥ P（σ=∞|Ft）=P（D∞|英尺）→ 1D∞. 因此，（6.5）意味着Limtst=1D∞根据需要。我们很容易看到（i’）成立，因此需要显示（ii’）、（iii’）和（iv）。注意，{θt=0}={Φ（θ）t=0}={t<Te}∩ {Jt（θ）>Gt}={Vt>Gt}。（6.10）设t<Te（这意味着我们在Dt中），则stt=E[St+1 | Ft]=E[1Dt+1{Vt+1=Gt+1}+1{Vt+1>Gt+1}P（Lt+1θ σ| Ft+1）|Ft]=E[1{Vt+1=Gt+1}∩Dt+1+1{Vt+1>Gt+1}∩{Lt+1θσ} | Ft]=E[1{θt+1=1}∩{t+1σ} +1{θt+1=0}∩{Lt+1θσ} | Ft]=E[1{θt+1=1}∩{Ltθσ} +1{θt+1=0}∩{Ltθσ} | Ft]=P（Ltθ σ| Ft）≤ 标准[St+1Vt+1 | Ft]=E[1Dt+1（1{Vt+1=Gt+1}Gt+1+1{Vt+1>Gt+1}P（Lt+1θ σ| Ft+1）Vt+1 | Ft]=E[1{θt+1=1}∩Dt+1Gt+1+1{θt+1=0}P（Lt+1θ σ| Ft+1）Jt+1（θ）| Ft]=E[1{θt+1=1}∩{t+1σ} Gt+1+1{θt+1=0}E[GLt+1θ{Lt+1θσ} | Ft+1]| Ft]=E[GLtθ{Ltθσ} | Ft]=P（Ltθ σ| Ft）Jt（θ）≤ SttVt公司≤ StVt。这表明·∧Te，（SV）·∧Teand（StV）·∧特别是T上的Teare supermartingales，（iv）保持。事实上，S是一个S到T的超鞅：对于任何有限的T≥ Te，我们有Vt=Gt和Vt+1=Gt+1，因此E[St+1 | Ft]=E[1Dt+1 | Ft]≤ 1Dt=St。S有界且S∞= lim St，supermartingale地产。接下来，让Y是1{t的Snell包络<∞}∩{Vt=Gt}∩Dt+1{t=σ=∞}. 一方面，S≥ Y，因为Y是支配{t<∞}∩{Vt=Gt}∩Dt+1{t=σ=∞}.

另一方面，让t∈ T和定义^τ：=t1{Vt=Gt}+Ltθ1{Vt>Gt}作为θ在T诱导的停止时间，然后斯内尔包络屈服的停止表示T=ess supτ≥tE[1{τ<∞}∩{Vτ=Gτ}∩Dτ+1{τ=σ=∞}|英尺]≥ E[1{τ}<∞}∩{V^τ=G^τ}∩D^τ+1{τ=σ=∞}|Ft]=1{Vt=Gt}∩Dt+1{Vt>Gt}E[1{Ltθ<∞}∩DLtθ+1{Ltθ=σ=∞}|Ft]=1{Vt=Gt}∩Dt+1{Vt>Gt}E[1{Ltθ<σ}+1{Ltθ=σ=∞}|Ft]=1{Vt=Gt}∩Dt+1{Vt>Gt}E[1{Ltθσ} | Ft]=St。因此，我们证明了S=Y和（iii’）是成立的。同样，设Z为（SG）的斯内尔包络·∧Te。我们有（SV）·∧Te公司≥ Z因为Z是最小的超级马丁格尔支配（SG）·∧Te。让t∈ T、 在集合{Vt=Gt}上，我们有Zt≥ （SG）t∧Te=（SV）t∧通过定义V。而在集合{Vt>Gt}上 {t<Te}，Zt=ess supτ≥tE[（SG）τ∧Te | Ft]≥ lim支持→∞E[（SG）Ltθ∧N | Ft]=E[（SG）Ltθ| Ft]=E[GLtθ{Ltθσ} | Ft]=StVt=（SV）t∧Te，其中我们使用了支配收敛定理（6.5）、（6.10）和Vt的定义，即Jt（θ）。我们的结论是（SV）·∧Te=Z；也就是说，（ii）成立。还有待观察其独特性。实际上，如果（V′，S′）是另一个snell对，θ=1{G≥V′}，然后通过（a）满足（V′，S′）（6.4）和（6.5）。但是（6.4）和（6.5）唯一地定义了这两个过程，因此我们必须（V′，S′）=（V，S）。参考文献【1】巴伯里斯。阿西诺赌博的一种模式。管理。Sci。，58(1):35–51, 2012.[2] S.Basak和G.Chabakauri。动态测量-差异资产分配。修订版。财务部。螺柱。，23(8):2970–3016, 2010.[3] T.Bj"ork、M.Khapko和A.Murgoci。连续时间上的时间不一致随机控制。财务Stoch。，21(2):331–360, 201 7.[4] T.Bj"ork和A.Murgoci。离散时间的马尔可夫时间不一致随机控制理论。财务Stoch。，18(3):545–592 , 2014.[5] T.Bj"ork、A.Murgoci和X.Y.Zhou。我提出了一种基于状态相关风险规避的方差投资组合优化。数学《金融》，24（1）：2014年1月至24日。[6] S.Christensen和K.Lindensj"o。

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