这种选择的好处是，x步包括约束，并且可以显式计算，而z步需要计算函数Γ（x）：z（k+1）=arg min的近似运算符g（z）+Дx（k+1）- z+u（k）缩放双变量的更新为：u（k+1）=u（k）+x（k+1）- z（k+1）当p 6=1和Ohm 是一组更复杂的约束。第50–59页的附录A.7和A.8包含解决以下优化问题的所有信息：x？=arg minkAx公司- bk+%pkΓp（x- x） kpp+%kΓ（x- x） 堪萨斯州。t、 x个∈ Ohm哪里Ohm 可能是等式、不等式、有界和Lqnorm约束。3.6正则化因子的最佳选择要选择最佳正则化参数，我们首先必须确定一个优化准则。例如，%或%的最佳值通常通过交叉验证技术获得。遗漏交叉验证（LpOCV）或遗漏交叉验证（LOOCV）等穷举方法需要大量计算。这就是为什么最好使用非穷举方法，如k倍交叉验证或样本外测试。然而，在Tikhonov正则化的情况下，已知一个显式公式。事实上，选择%的广义交叉验证程序并不依赖于双变量或约束。对于Lpenalty，没有明确的公式，必须使用蛮力算法来确定%的最佳值。我们有x（k+1）=arg minf（x）+Дx+z（k）u（k）Robo-Advisors3.6.1交叉验证和新闻统计的稳健资产配置让我们考虑数据矩阵X=x> ，x> T型∈ RT×Kwhere xt∈ RK和响应因子Y=（Y，…，yT）∈ RTwhere yt∈ R、 由于Tikhonov正则化问题定义如下：^β=arg minkY- Xβk+%kΓβkwe具有：^β=S（%）X>y其中：S（%）=十> X+%ΓΓ>-因此，^β是%的函数。

因此，根本的想法是找到最佳值^%。为了准确估计模型的超参数并避免过度设置问题，交叉验证（CV）方法包括以下几个步骤：1。将样本数据划分为两个集，即训练集和测试（或验证）集；2、模型在培训集中进行了设置；3、在验证集上对模型进行了测试。为了减少可变性，使用数据样本的不同分区执行步骤2和3（步骤1）。根据Measureoffit，将验证结果进行组合，以估计模型的预测性能。然后选择超参数，以最大化该拟合优度度量。可以执行两种类型的CV：穷举和非穷举交叉验证。对于第一种类型，对模型进行了估计，并以所有可能的方式对模型进行了测试，以将原始样本划分为训练/测试集。这种类型的CV包括遗漏交叉验证（LpOCV）。在这种方法中，pobservations用于测试集，其余观察值用于训练集。这需要对模型进行培训和验证Tp时间，如果T很大，即使p=1，也可能非常昂贵。然而，在Tikhonov回归的情况下，已知误差平方和的显式表达式。此公式可能导致O（T）运算。因此，非穷举交叉验证在实践中可能是首选，如k倍CV、保持法、重复

我们重复这个过程k次，这样每个组只测试一次。k倍交叉验证误差通常计算为：Ecv=txj=1Xt∈Gk公司年初至今- x> tβ（k）其中t∈ gk表示KTH组的观察值，β（k）表示通过省略KTH组得到的β估计值。即使在简单的情况下，也不能保证函数ECVH是唯一的最小值。简单的网格搜索方法可能是最好的方法。留一交叉验证（LOOCV）程序对应于特殊情况p=1。Robo Advisors的稳健资产分配当k等于数据集的大小时，彻底的遗漏交叉验证（LOOCV）是一种特殊情况。LOOCV渐近等价于统计中常用的Akaike信息准则（AIC）（Stone，1977）。有趣的是，ForTikhonov回归，交叉验证误差ECVH是一个显式表达式，称为预测平方和（或压力）统计（Allen，1971&1974）。我们注意到Y-坦德X-T（T- 1） 向量和（T- 1） X K矩阵，省去对向量Y和矩阵X的观测。我们有：^β-t型=X>-tXt+%-1X>-泰-t LOOCV程序的显式表达式为：按（%）=TXt=1年初至今- x> t^β-t型=TXt=11.- x> tS（%）xt-2.年初至今- x> t^β=TXt=1[升（%）Y]t[升（%）]t，t！其中，L（%）是投影矩阵，定义为：L（%）=IT- XS（%）X>=IT- 十、十> X+%ΓΓ>-1X>如果S（%）是带矩阵，这是样条线模型的情况，由于Hutchinson De Hoogalgorithm（Hutchinson and De Hoog，1985），系数[L（%）]t，tand[L（%）Y]t可以在O（t）运算中计算。3.6.2中心数据的GCV作为选择标准广义交叉验证（GCV）方法是LOOCV的旋转不变版本（Craven和Wahba，1978）。

即使这不是它的主要目的，这种方法也会用平均值t来代替系数[L（%）]t-1跟踪L（%）：GCV（%）=TtraceL（%）TXt=1年初至今- x> t^β（20） 我们推断GCV准则取决于L（%）和平方SPTT的剩余和=1年初至今- x> t^β. 我们记得H（%）=它- L（%）是帽子矩阵。值【H（%）】t称为杠杆值（Craven和Wahba，1978），并确定预测值^yt=x>t^β受yt影响的数量。我们还知道迹线L（%）=T- K、 根据伍德伯里公式，我们得到：L（%）=它- 十、十> X+%ΓΓ>-1X>=IT+X%ΓΓ>-1X>-1第59页附录A.9给出了相关说明。Woodbury矩阵恒等式为：（A+BCD）-1=A-1.- A.-1B级C-1+DA-1B级-1DA-1 Robo AdvisorsLet的可靠资产分配λt对称实矩阵X的特征值ΓΓ>-1X>。我们有：trace L（%）=TXt=11+λt%-1此公式允许跟踪值-对于%的每个值，计算2L（%）。与压力统计一样，通过最小化等式（20）给出的GCV函数，可以获得%的最佳值。4机器人咨询的应用在构建战略资产配置（SAA）、趋势跟踪战略或更普遍的均值方差多元化投资组合时，前面的技术对于投资组合优化特别有意义。根据方法的不同，他们可以分散或集中投资组合。通过混合不同的方法，我们还可以获得一些选定股票的多元化配置。在这种情况下，组合正则化和组合稀疏性结合在一起。在实施战术资产定位（TAA）时，也可以使用前面的技术。在这种情况下，相对于基准或当前投资组合，以相对的方式施加正则化和稀疏性。

在本节中，我们将展示在基于automatedallocation引擎构建机器人顾问时为什么需要这些技术。4.1机器人咨询和投资组合优化的秘诀投资组合优化是一个简单的数学问题的想法是错误的。这是一个需要人工干预的过程，可能需要相当长的时间才能找到解决方案。这种人为干预与数值算法几乎没有共同之处。事实上，定量人士知道，投资组合优化的秘诀在于炼金术，即确定正确的约束条件，以获得一个可接受的有意义的解决方案。让我们考虑一下几乎每年都由机构投资者进行的传统战略资产配置活动。我们假设SAA团队已经产生了两个输入：预期回报的向量u和资产回报的协方差∑。我们可以认为，这项艰巨的工作已经完成，计算SAA PortfolioW只需几秒钟，因为我们只需运行Markowitz优化。实际上，解决一个马科维茨优化问题通常会产生一个糟糕的解决方案，而且效率不高。这就是为什么Quants将使用基于此优化程序的迭代过程：x？（k） =arg minx>∑x- γx>u（21）s.t。>x=10 6 x 6 1x∈ Ohm（k） 在哪里Ohm（0）=RN，k为阶跃。他们将首先解决具有长约束的传统Markowitz问题，并将找到初始解决方案x？(0). 然后，他们将分析该解决方案并确定一组新的约束条件Ohm（1） 这可能会产生一个更可接受的解决方案。“可接受的解决方案”的概念尚不清楚，但它意味着首席投资官可以接受的解决方案。一旦Ohm（1） 确定后，Quants将运行优化问题（21）并获得新的解决方案x？(1).

接下来，他们将计算X的特征值ΓΓ>-1X>可在O中完成T操作。Robo Advisors的稳健资产配置分析此新解决方案并确定一组新的约束条件Ohm（2） 这可能会产生一个更可接受的解决方案。他们将多次迭代此过程。因此，这个迭代过程可以用序列P表示，定义如下：P=nx？(0), Ohm（1） ，x？(1), Ohm（2） ，x？(2), Ohm（3） ，x？(3), . . .使用此工具，我们可以评估量化并得出一些结论：o好的量化是指能够在有限的步骤中“关闭”此序列的人。o坏数量是指产生一个有限序列的人，并且不能结束该过程Quant QI比Quant Qif更有效：卡片P（Q）<卡片P（Q）让我们用一个例子来说明前面的过程。我们考虑九大类：（1）美国10年期债券，（2）欧洲10年期债券，（3）投资级债券，（4）高收益债券，（5）美国股票，（6）欧元股票，（7）日本股票，（8）新兴市场股票和（9）商品。在表12和表13中，我们指出了用于计算最优分配的统计数据。目标是为大约7%的事前波动找到最佳配置。表12：预期收益和风险（单位%）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）ui4.2 3.8 5.3 10.4 9.2 8.6 5.3 11.0 8.8σi5.0 5.0 7.0 10.0 15.0 15.0 18.0 30.0表13：资产收益相关矩阵（单位%）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（1）100（2）80 100（3）60 40 100（4）-20-20 50 100(5) -10-20 30 60 100(6) -20-10 20 60 90 100(7) -20-20 20 50 70 60 100(8) -20-20 30 60 70 70 70 100（9）0 0 10 20 20 30 30 100使用这些图表，我们获得初始分配x？（0）如表14所示。最优投资组合仅投资于四种资产类别。美国10Y债券的配置为28%，而高收益债券的配置为70%。

很明显，这个portfolioThis示例摘自Roncalli（2013）第287页。权重和风险/回报统计数据以%表示。机器人顾问的稳健资产配置不能成为SAA政策。这就是为什么Quant会添加一些约束，以获得更好的解决方案。我们可以规定一个资产类别的权重不能超过25%。使用此新约束集Ohm（1） ，我们获得投资组合x？（1） 这比投资组合x更集中？(0). 美国10年期债券和高收益债券的配置达到25%的上限。该投资组合目前投资于欧元10年期债券（15.90%）、美国股票（10.70%）和电子股票（21.27%）。这种解决方案的缺点可能是在股票上的分配太少。这就是为什么Quant将添加另一个约束，以获得大于40%的equityallocation。在第三次迭代中，我们得到了投资组合x？(3). 如果我们假设SAA对欧洲机构投资者来说已经完成，那么这种解决方案是不可接受的，因为它包含许多美国资产，而欧洲资产太少。这就是Quant将添加两个新约束的原因。他可以要求在欧洲10年期债券中的配置大于在美国10年期债券中的配置，并且在欧洲股票中的配置大于在美国股票中的配置。通过使用这组新的约束Ohm（4） ，我们得到以下解决方案：美国10年期债券的权重为12.13%，欧元10年期债券的权重为22.13%，IG债券的权重为15.00%，等等。同样，这种解决方案可能不可接受，因为在日本股票中没有配置。因此，《定量报告》可能会规定，该资产类别至少有5%的投资。

经过几次额外迭代后，表14中最后一列给出了解决方案。表14：迭代试错法解决方案步骤k#0#1#2#3#4···············································································.00 5.00美国股票（5）0.00 10.70 20.86 25.00 10.00 10.00欧元股票（6）0.00 0.00 3.16 5.00 20.00 20.00日本股票（7）0.000.00 0.00 0.00 0.00 5.00新兴市场股票（8）1.17 21.27 15.98 10.00 10.00 8.00商品（9）0.79 2.13 0.00 3.64 0.73 2.00u（x）8.63 7.77 7.41 7.12 6.99 6.57σ（x）7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 6.84SR（x | r）80.49 68.08 63.03 58.93 57.00 52.17我们注意到之前的迭代过程满足以下要求：Ohm（k+1） Ohm（k） ···  Ohm(2) Ohm（1） 其基本思想是确定一个日益受限的投资领域。例如，我们验证了有效边界是有序的，并且它们越来越受到约束（见图9）。备注6定量可使用问题（21）的变体。当他们还负责生成u和∑时，他们还可以考虑具有以下优化问题的迭代过程：x？（k） =arg minx>∑（k）x- γx>u（k）在这种情况下，序列P定义如下：P=nx？(0), Ohm（1） ，∑（1），u（1），x？(1), Ohm（2） ，∑（2），u（2），x？(2), . . .机器人顾问的Orobast资产配置图9：投资组合优化的秘诀是什么？4 6 8 10 1245678910很明显，确定最佳投资组合的迭代过程与自动化和算法驱动的机器人顾问相冲突。首先，这不是机器人顾问的意图，除非我们将机器人顾问的概念简化为数字应用程序或数据可视化工具，这意味着分配决策是在机器人顾问之外做出的。

其次，roboadvisor应该能够在工业规模上管理许多投资组合。如果我们考虑基于三个投资组合（防御型、平衡型和动态型）的传统生活方式，这三个投资组合在每个月底重新平衡，很明显，机器人顾问可以每月手动加载。同样，这种方法与roboadvisory概念不符。事实上，机器人顾问声称，通过考虑投资者的限制因素和更细粒度，他们可以更好地满足投资者的期望。随着以目标为基础的财富管理投资的出现，情况尤其如此：“很久以前，通过引入共同基金和最近推出的交易所交易基金，投资管理领域已经实现了大规模生产，但目前正在进行一场新的工业革命，这场革命涉及大规模定制，这是一种生产和分销技术，将允许个人投资者获得可扩展且成本高效的基于目标的投资形式解决方案”（Martellini，2016年，第5页）。最后，迭代过程无助于改善科学规划中的投资组合管理。事实上，这是一种视而不见的做法，因为很难解释投资组合的表现。我们不知道它是来自预期回报步骤（或主动赌注）还是投资组合优化步骤。在机器人咨询中，这两个步骤必须易于识别和区分。实际上，投资组合优化引擎是roboadvisor的一部分，而预期回报可能在robo advisor之外设计。通常情况下是这样的，因为它们可以由最终投资者自己强加，可以从一个第三方分销商变为另一个，一些投资者希望引入以下趋势：为机器人咨询模式（Robo Advisorspatterns）进行稳健的资产配置。

与优化方法相反，预期回报的引擎不一定由生产机器人顾问的工程师决定。这就是为什么这两个步骤必须完全不同。4.2优化问题的公式我们注意到x参考投资组合和x当前投资组合。下一阶段的优化组合是这个综合优化程序的解决方案：x？t+1=arg最小值f（x）+]%Γ（x- x）+~%Γ（x- x）+ （22）+%kΓ（x- xt）k+%kΓ（x- xt）ks。t。>x=10 6 x 6 1x∈ Ohm哪里Ohm 是一组预先确定的约束。该问题考虑了参考投资组合和当前投资组合的土地增值功能。关于f（x），我们可以使用马科维茨函数：f（x）=x>∑x- γx>u然而，考虑与参考组合相关的跟踪误差函数肯定更好：f（x）=（x- x）>∑（x- x）- γ（x- x）>u=x>∑x- γx>u+γ∑x+ CWC是一个不依赖于变量x的常数。问题（22）的目的是多方面的：1。第一个目标自然是优化传统的风险/回报交易。2、第二个目标是控制参考投资组合x和新优化投资组合x之间的主动下注？t+1在不同级别：（a）第一层是通过使用TE目标函数代替MVO目标函数来瞄准跟踪误差；（b） 第二层是Lpenalty %Γ（x- x）这有助于理顺与战略分配相关的实际分配。这一层意味着收缩协方差矩阵∑；（c） 第三层是Lpenalty %Γ（x- x）这有助于分散投资组合x的相关赌注；3.

第三个目标是控制当前投资组合xt的营业额（Lpenalty）和二次成本（Lpenalty）。也称为战略投资组合或基准投资组合。机器人顾问稳健的资产配置通过所有这些保障措施，我们能够为机器人顾问执行稳定而稳健的动态配置。然而，有三个问题尚未解决：预期回报的规格、跟踪误差水平的选择和正则化参数的校准。下一节的想法不是给出解决方案或公布我们对这些主题的诀窍（Malongo et al.，2016）。然而，我们将指出需要避免的缺点。4.3实际考虑4.3.1结合主动管理观点在某些情况下，机器人顾问是封闭系统，但大多数情况下，他们是开放系统。通常，开发机器人顾问技术的互联网公司与第三方分销商（资产管理公司、私人银行、财富管理公司、保险公司、零售分销商等）达成双边协议。在这种情况下，机器人顾问平台适用于考虑分销商的特定要求、约束和目标。例如，robo advisor平台可能与分销商的风险/回报预测系统相连。基金数量和投资范围从一个分销商变为另一个分销商。产生预期回报的引擎是一大特色。分销商很少使用Intech提供的默认引擎。例如，一些投资者希望结合动量模式，其他投资者更喜欢使用其经济专家产生的预期回报等。在实践中，很难用绝对回报来表示押注。投资组合经理更喜欢使用不同等级的评级量表S。

典型评级量表包括7个等级：等级定义- - - 强烈看跌-- 看跌的- 弱看跌0中性+弱看涨++看涨++强看涨然后挑战是将这些等级转换为预期回报。最常见的经验方法是基于Black-Litterman模型，该模型在第60页附录B中描述。给定一个战略投资组合x，我们根据CAPM方程计算资产的隐含预期回报uios：ui=r+SR（x | r）（∑x）i√x>∑x（23）我们假设信号sion资产i与夏普比率相同。特别是，我们有： SRi=δs，其中NSI是评级等级的范围指数，δ是表示主动战术管理灵活性的等级。然后，我们推导出投资组合的预期收益等于：ns=-1+卡通常，δ设置为1。Robo Advisorsmanager的稳健资产配置等于：ui=（SRi+ SRi）·σi=|ui+δsinsσi，其中SRi=（|ui- r） /σi是指资产i相对于战略投资组合x的隐含夏普比率，σii是指资产i的估计波动率。最后一步是使用黑色Litterman框架将|ui和|ui结合起来：ui=ττ+1|ui+1.-ττ + 1ui其中τ是衡量活跃赌注信心的参数。例如，当τ→ ∞, 不考虑管理者的观点，而当τ→ 表15：资产类别协方差矩阵（2016年1月-12月）。

2016）波动率（in%）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）9.2 7.0 9.4 7.6 10.1 7.6 16.1 20.5 24.3 17.8相关矩阵（in%）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（1）100.0（2）17.7 100.0（3）98.1 19.4 100.0（4）16.5 99.5 18.1 100.0（5）71.1 2.4 76.3 2.1 100.0（6）85.9 12.7 87.6 11.8 89.1 100.0（7）34.5 0.7 38.1 1.3 68.8 57.8 100.0（8）-13.2 2.8-4.0 3.6 41.0 18.2 59.5 100.0（9）20.3 2.0 27.6 0.821.6 25.3 8.0 15.6 100.0（10）16.6 10.2 26.0 10.5 57.2 44.6 54.3 67.7 42.9 100.0我们以10种资产类别为例：（1）美国主权债券，（2）欧洲主权债券，（3）美国投资级债券，（4）欧洲货币联盟投资级债券，（5）美国高收益债券，（6）新兴市场债券，（7）美国股票，（8）欧洲股票，（9）日本股票和（10）新兴市场股票。在表15中，我们报告了2016年1月至2016年12月期间的估计协方差矩阵。我们考虑一个同等权重的投资组合x，对应于40/60的战略分配。通过假设r=0，SR（x | r）=0.5，我们使用方程（23）计算隐含预期收益向量。结果见表16第二列。例如，美国主权债券的隐含预期回报率为2.57%。我们现在考虑一组经理的观点。第一种情况与股市的弱熊市情况相对应。因此，等级设置为- 四种权益资产类别和两种主权债券资产类别。在表16中，我们计算了这些视图所隐含的预期回报率u，以及最终的预期回报率u。例如，对于美国主权债券，ui和ui分别等于5.46%和4.10%。我们验证了主权债券的预期回报率增加，股票的预期回报率下降，其他资产类别的预期回报率为中性。Robo Advisors的稳健资产配置表16：预计回报率（%情景1）资产类别▄uisi▄uiuiUS Sov。债券2.57+5.64 4.10欧元Sov。

债券0.96+3.29 2.12美国IG债券3.02 0 3.02 3.02 EMU IG债券1.02 0 1.02 1.02美国HY债券4.09 0 4.09 4.09EM债券2.88 0 2.88 2.88美国股票5.76- 0.40 3.08欧洲股市6.35- -0.48 2.94日本股市6.76- -1.34 2.71新兴市场股票7.18- 1.24 4.21表17：场景#2资产类别▄uisi▄uiuiUS Sov。债券2.57 0 2.57 2.57欧元Sov。债券0.96 0.96 0.96美国IG债券3.02 0 3.02 3.02欧洲货币联盟IG债券1.02 0 1.02 1.02美国HY债券4.09 0 4.09新兴市场债券2.88 0 2.88 2.88美国股票5.76+11.13 8.45欧洲股票6.35++26.85 16.60日本股票6.76+14.86 10.81新兴市场股票7.18+13.11 10.14表18：情景3资产类别uisiuiUS Sov。债券2.57 0 2.57 2.57欧元Sov。债券0.96 0 0.96 0.96美国IG债券3.02 0 3.02 3.02 EMU IG债券1.02 0 1.02 1.02美国HY债券4.09 0 4.09 4.09EM债券2.88-- - -4.72-2.18美国股市5.76 0 5.76 5.76欧洲股市6.35 0 6.35 6.35日本股市6.76 0 6.76 6.76新兴市场股市7.18- - - -10.62-4.69机器人顾问的稳健资产配置我们考虑第二种更利于股票市场的情况，尤其是欧洲股票（见表17）。通过构造，隐含的预期收益不会改变，因为我们考虑相同的战略分配。然而，由于我们改变了情景，预期回报与预期回报有所不同。最后，我们考虑表18中的第三个场景，这是新兴市场的不利情景。4.3.2选择正确的跟踪误差水平波动率目标策略在量化投资者中非常流行（Hallerbach，2012；Hocquard et al.，2013）。这解释了为什么许多机器人顾问都基于波动性或跟踪错误定位。如前所述，我们更喜欢TE目标函数而不是MVO目标函数。在这种情况下，投资组合波动率没有约束，这与参考投资组合的波动率σ（~x）有关。然而，TE水平的问题仍然悬而未决。

我们提供了一些方法来设置正确的跟踪误差水平。让x和▄x成为战术和战略组合。我们有：σ（x |x）=σ（Rt（x）- Rt（￠x））=σ（x）+σ（￠x）- 2ρ（x，～x）σ（x）σ（～x），其中ρ（x，～x）是投资组合x和基准～x之间的相关性。通常，我们有σ（x）≈ σ（￠x），意味着：σ（x￠x）=p2（1- ρ（x，~x））·σ（~x）（24）在图10中，我们报告了战略投资组合的波动性与投资组合跟踪误差之间的关系。我们注意到，它取决于相关水平。因此，如果战略投资组合的波动率较低（小于5%），我们就无法将跟踪误差波动率定为较高水平。1%的水平当然是最大值。当波动率介于5%-10%之间时，我们可以将目标值设定在1%-2%之间。只有当投资组合的波动性较高时，我们才能实现更高的跟踪误差。之前的结果非常重要，因为它表明战术投资组合的跟踪误差水平必须与战略投资组合的波动性相关。实际上，波动率是时变的，这意味着使用恒定跟踪误差策略不是最优的。考虑时变跟踪误差水平还有第二个原因，因为另一个问题涉及跟踪误差与主动下注之间的关系。我们可以证明（Grinold，1994）：u（x |  x）=σ（x | x）·TC·IC·√其中TC是传输系数，IC是信息系数，n是资产数量。这种关系被称为“主动管理的基本法则”。

如果我们假设对于给定的主动经理人和给定的投资组合，TC和IC是常数，那么超额回报与跟踪误差波动率成正比：u（x | | x）∝ σ（x | x）然而，α生成也与主动下注的数量和强度有关：u（x | x）=gu（s，…，sn）我们假设δ=1，τ=1。τ被设置为0.5，以反映在这种情况下更强的可信度。机器人咨询的稳健资产配置图10：波动性与跟踪误差水平之间的关系0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000.511.522.533.544.55我们推断跟踪误差必须是分数si的函数：σ（x | | x）=gσ（s，…，sn）（25）。在考虑战术配置时，这种关系至关重要。事实上，如果所有分数都等于零，就没有有效的赌注，这意味着我们必须以零跟踪错误级别为目标。如果所有的分数都相等，那么我们的处境是一样的。事实上，由于我们看好所有资产类别，因此没有理由偏离战略投资组合。为了承担高跟踪错误风险，我们需要赌注呈现高分散度：si#1#2#3#4s0++++++++++s0++- + + +s0+++- - -s0+++- - -σ（x |x）零零中高由于函数gu未知且难以估计，因此函数gσ也未知。然而，我们可以使用以下经验法则：σ（x |x）≈ c类·σ（s）+mad（s）· σ+（26）其中σ（s）是分数的标准差，mad（s）是分数的平均绝对差值，σ+是最大跟踪误差。σ+的值可以从关系式（24）中推导出来。按构造，我们有：0≤σ（s）+mad（s）≤ 3.6213 Robo Advisorsand的稳健资产配置：0≤ 画→∞σ（s）+mad（s）≤ 3其中n是资产数量。因此，比例因子c近似等于。方程（26）是设定跟踪误差水平的初步方法。

然而，这种经验法则有一个主要缺点。它不取决于资产类别及其核心。让我们考虑一下第35页上描述的前一个示例。我们假设信号分别为+、0、+、0、+、0、+、0、0、+、0和+。在图11中，我们报告了针对跟踪错误级别的战术分配。对于欧洲股票，我们有一个信号等式为+，并且我们验证了分配相对于跟踪误差是增加的。对于主权债券和IG债券，我们也有一个等于+的信号，但分配和跟踪误差之间的关系不是单调递增的。一旦我们考虑问题（22），而不是简单的跟踪误差优化，我们IGBonds的情况将很容易解决。美国主权债券的问题更大。事实上，在跟踪误差较低的初始阶段，这种关系正在增加。然而，当跟踪误差增加太多时，我们会得到相反的结果。原因是，与其他资产类别（股票、投资级和高收益率）相比，美国主权债券的波动性较低。如果我们增加跟踪误差，则存在一个阈值，超过该阈值，最好只对风险最大的资产进行主动下注。事实上，在低风险资产上积极下注不会导致高跟踪误差预算。这就是优化器从低风险资产切换到高风险资产的原因。

这意味着跟踪误差水平的选择取决于一组参数：最大跟踪误差取决于战略投资组合、得分或主动下注以及构成战术投资组合的资产的波动性。图11：主动下注与跟踪误差之间的关系0 1 2 3051015202530机器人咨询的稳健资产配置图12：岭参数对收缩相关性的影响-100-75-50-25 50 75 100-100-75-50-252550751004.3.3如前所述，校准正则化参数，正则化参数的选择并不简单，需要扎实的专业知识和经验。然而，我们将提供一些有助于校准模型的提示。首先要注意的是%和%。在第17页，我们已经看到，如果Γ=diag∑，正则化的相关性为：ρi，j=ρi，j1+%，在图12中，我们报告了初始相关性ρi，Jandt与收缩相关性ρi，j之间的关系。当%等于零时，ρi，j=ρi，j。当%→ ∞, 收缩相关性趋于零。然后，我们得到了一个具有相等波动率的对角矩阵。因此，在考虑初始协方差矩阵和忽略资产之间的依赖性之间存在权衡。选择%的一个好方法是减少套利因素的影响，同时保持常见风险因素的重要性。如果我们现在考虑Lpenalty%kΓ（x- xt）k如果我们设置Γ=In，则Lnorm测量投资组合的双向营业额：k（x- xt）k=nXi=1 | xi- xi，t |然后可以使用参数%来控制营业额。如果Γ是一个包含单位交易成本的非负分录矩阵，则Lnorm衡量投资组合的交易成本（Scherer，2007）。这意味着，如果Γ是单位矩阵，则%是平均交易成本。

因此，￠%的数量级与%的数量级不可比。在第一种情况下，它以百分比表示（例如，我们还可以实施第26页第3.6节中提出的交叉验证方法，机器人顾问的稳健资产配置%=25%），而在套索问题中，它以基点表示（例如，%=5bps）。这与实践相符，实践表明，lRegulation的最优值高于lRegulation的最优值。第二件需要注意的事情涉及正则化矩阵Γ、Γ、Γ和Γ的具体情况。大多数情况下，它们对应于对角矩阵，因为考虑正则化的交叉效应并不容易。最简单的方法是考虑单位矩阵，这意味着正则化模式减少了toridge和lasso方法。如果我们使用相同的参数%=]%和%=]%，就相当于认为这两个投资组合扮演着对称的角色。然而，事实并非如此。投资组合XT用于限制营业额和平滑动态定位。投资组合x用于控制相对活跃的赌注。这就是为什么对于实施主动管理而言，xis比XT更重要。最后但并非最不重要的一点是，参数的校准在很大程度上取决于投资利润。如果基金由股票组成，我们需要使用更积极的参数，以便比多资产基金更活跃。这意味着没有神奇的公式，而校准阶段需要进行大量的实证研究和测试，以了解投资组合优化问题不同术语之间的相互联系。5结论根据Fisch et al.（2017），机器人顾问是“提供投资组合咨询并管理这些投资组合的计算机算法”。

由于它们是基于数字的工具，通常以网络在线服务的形式实施，因此，为了更好的定制、数据可视化、分析、过程自动化等，互联网竞争激烈。当我们看到机器人顾问的演示时，艺术智能、大数据和机器学习的概念从未远离。大多数时候，互联网公司倾向于坚持应用程序的人机工程学和功能，而对robo-advisor\'sraison d\'^etre（一种自动投资组合分配引擎）几乎没有深入了解。其中一个原因可能是，投资组合分配更多的是基于人的，而不是基于计算机的。投资组合优化中的自动化确实是一个大问题。事实上，portfoliooptimization是一项艰巨的任务，并不总能产生预期的结果。这是因为当我们想要获得稀疏、主动和动态的分配时，数学问题不一定很明确。在本文中，我们回到传统的均值-方差优化，并找出问题的原因。我们已经证明，它主要对应于alpha优化器，而不是beta优化器。然后，我们介绍了正则化和稀疏性理论，并演示了它如何改进投资组合优化。最后，将该方法应用于构建自动化机器人咨询系统。机器人咨询稳健资产配置参考文献【1】Allen，D.M.（1971），《预测均方误差作为选择变量的标准》，技术计量学，13（3），第469-475页。[2] Allen，D.M.（1974），《变量选择与数据扩充之间的关系及预测方法》，技术计量学，16（1），第125-127页。[3] Beck，A.（2017），《优化中的一阶方法》，MOS-SIAM优化系列，25，SIAM。[4] 布莱克，F.和利特曼，R.B。

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通过注意Dw=diag（w），协方差矩阵的表达式变为：^∑=TXt=1wtRtR>t- ^^u>=TXt=1wtRtR>t-TXt=1wtRt！TXt=1wtRt！>=R> DwR公司- R> wR> w>= R>数据仓库- ww>机器人顾问的资产配置备选形式为：^∑=TXt=1wt（Rt- ^u）（Rt- ^u)>=R- 1^u>>数据仓库R- 1^u>=R- 1w>R>数据仓库R- 1w>R= R>C> TDwCT公司R此处CT=IT- 1w>是（加权）定心矩阵。在均布重量Swt=1/T的情况下，CTis等于-T> 。我们观察到它是对称且幂等的。我们得出：∑=TR>CTR。A、 3条件正态分布和线性回归之间的关系让我们考虑定义如下的高斯随机向量：XY型~ Nuxuy,∑xx∑xy∑yx∑yy给定X=X的Y的条件分布是多元正态分布：Y | X=X~ Nuy | x，∑yy | x式中：uy | x=E[y | x=x]=uy+∑yx∑-1xx（x- ux）和：∑yy | x=σ[Y | x=x]=∑yy- ∑yx∑-1xx∑xy由此得出Y=uY | x+U，其中U是一个中心高斯随机变量，方差=∑yy | x。我们认识到Y在x上的线性回归：Y=uY+∑yx∑-1xx（x- ux）+U=uy- ∑yx∑-1xxux+ ∑yx∑-1xx+U=α+β>x+U，其中α=uy- ∑yx∑-1xxux和β=∑yx∑-1xx。此外，我们有：R=1-var（U）var（Y）=1-s∑yy=∑yx∑-1xx∑xy∑yy我们验证：C>TDwCT=信息技术- 1w>>数据仓库信息技术- 1w>= 数据仓库- w1>Dw- Dw1w>+w1>Dw1w>=Dw- ww>因为Dw1=w和1>Dw1=1。Robo AdvisorsRemark 7在随机向量（X，Y）的相关矩阵为常数的情况下–C=Cn+1（ρ），Maillard等人（2010）证明：-1xx=ρ11>- （（n- 1） ρ+1）In（n- 1) ρ- （n）- 2) ρ - 1我们推断：β=∑-1xx∑xy=σxσy C-1xxx，y=σxσyρ11>- （（n- 1） ρ+1）In（n- 1) ρ- （n）- 2) ρ - 1.ρ1和：βi=ρ（ρ- 1） （n）- 1) ρ- （n）- 2) ρ - 1·∑yσxi其中σyandσX是随机向量y和X的标准偏差。确定系数为：R=∑yx∑-1xx∑xy∑yy=nρnρ- (ρ - 1） 在双资产情况下，我们得到了著名的结果：R=ρ。

当资产数量非常大时，确定系数等于一致相关性：limn→∞R=如果ρ<0ρ，如果ρ>0A，则为1。4 Tikhonov正则化我们考虑以下优化问题：x？=arg minkAx公司- bk+%kΓ（x- x） k（27）s.t.Ax=B此处A∈ RT×n，b∈ RT×1，%>0，Γ∈ Rn×n，A∈ Rm×n，b∈ Rm×1和d∈ Rm×1。我们假设AHA是全等级的。Tikhonov矩阵Γ使解具有理想的性质，而%表示正则化的强度。xis是初始解决方案。在投资组合优化的情况下，可以是启发式投资组合（如EW投资组合）或当前分配，以控制营业额（Scherer，2007）。拉格朗日函数等于：L（x，λ）=kAx- bk+%kΓ（x- x） k+λ>（Ax- b） 梯度计算得出：xL（x，λ）=A>（Ax- b） +%Γ>Γ（x- x） +A>λ机器人咨询的稳健资产配置xL（x，λ）=0，Ax=b，最优投资组合x？是线性系统的x坐标解：A> A+%Γ>ΓA>Axλ=A> b+%Γ>Γxb（28）该线性系统给出了原始变量和对偶变量。A、 5 Lp-L调节的极限解，如%固定和%趋于+∞, 问题（18）的形式极限为：x？=arg最小kΓ（x- x） 堪萨斯州。t、 Ax=基本%已固定，%P终止于+∞, 问题（18）的形式极限为：x？=arg最小kΓp（x- x） KPP。t、 Ax=bIf%和%两者都倾向于+∞, 问题（18）的形式限制取决于制度%p/%。A、 6增广QP算法二次规划（QP）问题是一个具有二次目标函数和线性约束的优化问题：x？=arg minx>Ax- x> b（29）s.t.Ax>b通过不等式约束，我们可以轻松地管理等式约束和边界。

如果引入Lpenalization，优化程序将变为：(*) =x> Ax- x> b+%kΓ（x- x） k=x>Ax- x> b+%x>Γx- %x> Γx+%x>Γx我们推断正则化程序可以被转换成一个QP问题：x？=arg minx>A（%）x- x> b（%）（30）s.t.Ax>b其中A（%）=A+%和b（%）=b+%x。现在让我们介绍一个Lpenalization。我们有：x？=参数最小值f（x）s.t.Ax>b其中：f（x）=x>Ax- x> b+%kΓ（x- x） kAn等式约束Ax=bis相当于两个不等式约束Ax>带Ax 6 b。相同的结果适用于边界x-6 x 6 x+，可写为x>x-和-x>-x+。Robo AdvisorsandΓ的稳健资产分配是一个具有非负项的矩阵。如果我们使用以下形式的分解：x=x+δ+- δ-（31）带δ-=δ-, . . . , δ-n, δ+=δ+, . . . , δ+n, δ-i> 0且δ+i>0，我们推断：kΓ（x- x） k级=Γδ+- δ-= 1>Γδ++ δ-目标函数变为：f（x）=x>Ax- x> b+1>Γδ++1>Γδ-设y=（x，δ-, δ+）是未知变量的向量。我们得到了一个维数为3×n:y？=arg miny>是- y> b（32）s.t.▄Ay>▄b此处：▄A=A0 00 0 00 0 0和：▄b=b-Γ>-Γ>我们可以将方程（31）写成如下：Inx+Inδ-- 在δ+=x中，因为δ+>0和δ-> 0，我们推断：~A=A0 0英寸-在里面-在里面-InIn0 In0 0 In和：▄b=bx公司-x个A、 7 ADMM算法。7.1乘法器的双上升原理和方法交替方向乘法器法（ADMM）是Gabay和Mercier（1976）提出的一种算法，用于解决以下问题：{x？，z？}=arg min f（x）+g（z）（33）s.t.Ax+Bz=cWe遵循Boyd et al.（2011）关于ADMM的标准陈述。机器人咨询的稳健资产配置，其中∈ Rp×n，B∈ Rp×m，c∈ Rp和函数f:Rn→ R∪ {+∞} 和g:Rm→R∪ {+∞} 是真闭凸函数。增广拉格朗日函数的表达式为：LД（x，z，λ）=f（x）+g（z）+λ>（Ax+Bz- c） +^1kAx+Bz- ck其中Д>0。

ADMM算法使用目标函数可分离的特性，并由以下迭代组成：x（k+1）=arg min LДx、 z（k），λ（k）= 参数最小值f（x）+λ（k）>Ax+Bz（k）- c+φAx+Bz（k）- c和：z（k+1）=arg min LДx（k+1），z，λ（k）= 参数最小值g（z）+λ（k）>Ax（k+1）+Bz- c+φAx（k+1）+Bz- c然后，双变量λ的更新为：λ（k+1）=λ（k）+ДAx（k+1）+Bz（k+1）- c我们重复迭代直到收敛。Boyd等人（2011）注意到，前面的算法可以简化。让r=Ax+Bz- c是（原始）残差。通过组合线性项和二次项，我们得到：λ>r+Дr=Дkr+uk-^1kukwhere u=Д-1λ是缩放双变量。然后，我们可以将拉格朗日函数（33）写成如下：LД（x，z，u）=f（x）+g（z）+ДkAx+Bz- c+英国-2Дkλk（34）由于最后一项是常数，我们推断x和z更新变为：x（k+1）=arg min LДx、 z（k），u（k）= 参数最小值f（x）+ДAx+Bz（k）- c+u（k）（35）和：z（k+1）=arg min LДx（k+1），z，u（k）= 参数最小值g（z）+ДAx（k+1）+Bz- c+u（k）（36）对于缩放双变量u（k），我们有：u（k+1）=u（k）+r（k+1）=u（k）+Ax（k+1）+Bz（k+1）- c（37）机器人咨询的稳健资产配置，其中r（k+1）=Ax（k+1）+Bz（k+1）- c是迭代k+1时的原始残差。Boyd等人（2011年）还定义了变量s（k+1）=ДA>Bz（k+1）- z（k）并将s（k+1）称为迭代k+1的双剩余。该算法得益于双重上升原理和乘法器方法。与后者不同的是，x和z更新是以交替方式执行的。