因此，次优策略确实对合同和无合同制度中所有可能的参考值产生影响。5福利政策、产出、利润和工资水平在本节中，我们探讨了模型变量对实施的福利水平、产出以及代理人和委托人利益的影响。为此，我们定义并计算了瞬时预期产出xt、代理人瞬时预期工资wt，他的瞬时预期净工资与委托人的瞬时预期利润类似（见方程式（1））。为了简化语言，在下面的内容中，我们通常会忽略这些量的瞬时值和预期分类值。所有结果将在假设更有趣的单声劳动力市场的情况下呈现。5.1参考值依赖性在本小节中，我们显示了我们的模型隐含的利息数量，作为代理参考值的函数。由于参考值是代理人实际净工资的运行平均值，因此这些曲线也可以被视为代表模型中的路径依赖性。图5中的四个面板比较了近视和远视，以及第一和第二最佳维度。在我们所有的模型变体中，瞬时预期输出Xt始终等于代理的输出级别a*, 因此，它们都显示为实心曲线。da shed曲线和虚线曲线分别显示了工资和净工资。产出和工资曲线之间的差距代表了委托人的利益，而工资和净wag eis之间的差距则是劳动力成本。阈值参考值显示为一个垂直上限f或指定函数的域。

为了便于比较前瞻性净工资和后向平均净工资（这是参考值本身），我们还在每个面板上用细实线标出身份函数。比较前两个面板（图5a、5b），我们发现近视最佳解决方案和远视最佳解决方案之间的唯一区别在于阈值参考值。根据我们之前的讨论，对于近视的校长来说，阈值是由她的非负亲条件设定的。然而，有远见的校长强制降低了员工的工资水平，从而确保了自己的积极利益，即使是在（低得多的）门槛上。正如在第一个最佳情况下，参考值是固定的，净工资曲线与身份曲线一致。在考虑第二个最佳解决方案时，委托人需要提供一部分产出来激励公司。在这种情况下，我们的模型的收益率为合同份额*= 一*= 因此，在底部面板中，实心曲线也表示共享函数。非零份额意味着厌恶风险的代理人工资的不确定性，这有几个后果。与（a）近视委托人、第一最佳案例（b）远视委托人、第一最佳案例（c）近视委托人、第二最佳案例（d）远视委托人、第二最佳案例（d）代理人在（预期产出xt）、预期工资wt、，并预计在垄断的劳动力市场中实现净收入。参数为σ=0.2，γ=4，κ=0.2，ρ=0。1、最佳对应项（图5a、5b）。我们认为这些价值递减是由于委托人需要提供的激励成本造成的。

另一方面，净工资现在高于参考值（参见图5c和5d中的标识线和上面的虚线）。这意味着前瞻性的预期净工资要大于实际净工资的前瞻性平均值。这种差异是工资不确定性的代价，委托人必须赔偿代理人。比较次优案例中的福利政策，我们观察到，与近视案例相比，原则性实施在远视案例中的福利水平较低，阈值较低。这两种差异都表明，有远见的委托人有能力通过设定预期产出，进而降低预期净工资，来调节代理人未来的工资预期。在远见卓识的次优面板（图5d）上，与其他面板不同，产出和工资曲线呈现凸性。这是因为f认为这是唯一的情况，当参考值动态是随机的时，校长可以控制其波动性，她关心参考值与阈值的距离。我们提供了一种直觉来解释共享函数的凸性。接近阈值参考值，主要受益于增加工资波动，她可以通过提高股份合同参数来实现。无论接下来发生什么，都对她有利。如果参考值向下移动，代理人的未来工资需求将降低。如果参考值向上移动，这意味着输出和她的利润都会很高，如果参考值达到阈值，她无论如何都不会工作。

远见卓识的次优情况下的递增效应政策意味着共享参数和诱导效应水平取决于路径。5.2工人的脆弱性和自我剥削在这里，我们研究了工人的脆弱性参数κ如何影响产出、工人的福利和工资水平。当我们在分析中关注工人的最佳情况时，我们计算了“Rhreshold”的利益数量。本小节给出的结果涉及一个单音劳动力市场和一个有远见的原则。首先，我们展示了一个agent的脆弱性参数与委托人的贴现参数（ρ=0.1和κ）类似的结果∈ [0, 0.3]). 在第一种情况下，我们可以给出感兴趣的数量的解析表达式。当r=ρ2（κ+ρ）（见方程式（32）），我们得到了产出、工资和净工资的XT=at=1，wt=\'r+=2ρ+κ2（ρ+κ）~wt=\'r=ρ2（κ+ρ）。在次优情况下，我们无法获得这些量的解析公式，因此我们使用上述数值方法来确定它们。图6：代理人的脆弱性参数κ对产出xt、工资WT和净工资wtfor Rt=(R)r的影响。劳动力市场是单声道的，委托人是有远见的，参数为σ=0.2，γ=4，κ=0。2, ρ = 0.1. 代理人的脆弱性参数κ与委托人的贴现参数ρ具有相同的数量级。输出XT等于代理的效率，在次优情况下，也等于份额st。在图6中，虚线显示了我们在第一个最佳情况下的结果，次优结果显示为实线。顶部粗曲线表示输出xt。它们也代表了药剂的作用，实心顶厚曲线也代表了次优情况下的作用（见方程式（8））。中间的曲线显示代理的工资。

这是实际交给工人的总工资。底部细曲线代表净工资；这些曲线低于各自的中间曲线，因为总wag e中减去了出口成本。换句话说，中间曲线和底部曲线之间的差距代表了代理商的出口成本。在第一种最佳情况下，委托人直接控制代理人的工作；因此，他实施了一个恒定的高效力水平（at=1）。这也会导致恒定的高电平输出（xt=1）。随着代理的脆弱性参数κ的增长，他的总工资和净工资都会下降，并且两者之间的差距成本不变。脆弱性反映在这样一个事实上，即通过增加κ，代理的工作量相同，但无收益且更少。第二种情况更为复杂。委托人对该机构没有直接控制权；因此，她需要激励代理人。这导致了高股票价值st，这给风险厌恶型代理人的工资带来了不确定性。由于这种激励与风险规避的交易效应已经形成，与第一种最佳情况相比，代理人的收益和产出都会变得更小。总工资变小，而净工资变高，两者之间的福利成本差距变小。虽然经纪人的收入现在减少了，但他也必须减少工作，因此他的网络，也就是他的效用，变得更高了。这两个数量仍然随着代理的脆弱性增加而减少，但与第一个最佳情况相比，它们的衰减不太明显。这些都以某种方式有利于代理人的差异可以用委托人控制水平的降低来解释。现在考虑一下工人极度脆弱的情况。

图7显示了与图6相同的数量，但现在脆弱性参数κ可以比雇主的贴现参数ρ高出一个数量级。代表第一个最佳情况的虚线曲线未显示新现象。产出（和工人的福利）是不变的，工人的工资和净工资仍在稳步下降。第二个最好的情况更有趣（参见图7中的实心曲线）。在上述下降阶段（见图6）之后，产出、工资和净工资都有增加的趋势。在某个κ以上，随着雇主提供越来越多的产出份额，激励的效果变得非常明显。事实上，这一份额甚至大于一，这意味着雇主不仅向工人提供所有产出，而且还以产出比例溢价作为补充。随着激励的增加，工人选择投资越来越多的劳动力，因此产量和总工资也会增加。另一方面，工人的净工资只会在不久的将来适度增长。这个政权中工人的相对弱势以一种新的方式表现出来：随着他的脆弱性增加，他工作更加努力和艰苦，但他的净工资（基本上是他的效用）几乎保持不变。这种现象在我们的模型中代表了自我剥削。6结论在全球信息栅格工作的新世界中，集体行动的作用越来越小，个人策略变得越来越重要。我们引入了一个动态委托人模型，该模型捕捉了员工面临的心理和财务挑战。我们的图7：代理人的脆弱性参数κ对产出xt、工资WT和净工资wtfor Rt=(R)r的影响。劳动力市场是单声道的，委托人是有远见的，参数为σ=0.2，γ=4，κ=0。2, ρ = 0.1.

代理人的脆弱性参数κ比委托人的贴现参数ρ大一个数量级。输出XT等于代理的输出，在次优情况下，也等于共享。st模型的中心思想是自尊作为员工的应对机制。他以员工的生活经验为基础的自尊驱动行为代表了一种个人启发式策略，即使在不利的劳动力市场情况下，也能让员工处于更好的谈判地位。由于雇主无法满足工人看似夸大的工资需求，这种策略有时可能导致停工。卢林的这种生产方式也伤害了雇主，而雇主是工人讨价还价的源泉。在临时工经济中，快速变化的环境要求参与者具有灵活性，但这种情况经常发生，对工人不利。他的工资需求是基于他的生活经验，这确保了他在面对不断变化的工作条件时收入的稳定性。在我们的模型中，工人可以采用这种启发式策略的程度以脆弱性参数为特征。一个健康的工人从事同样的工作会得到更低的工资，在极端情况下，我们会看到自我剥削——他为了略高的收入而越来越多地工作，并被迫承担极高的风险。有许多可能性需要进一步研究。我们观察到，与近视患者相比，远视患者的principalimplements降低和增加了功能水平，阈值较低。隐含的路径依赖可以解释gig经济中存在的模式。我们可以用失业福利扩展我们的模型，并计算代理人在其参考值的RGODIC分布上失业的平均时间。

我们推测，正如新古典主义模型所预测的那样，在这样的环境下，失业会增加就业，而不是减少就业。人们还可以调整我们框架的构建块，以适应或有工作的特定应用，从而获得更多见解。例如，我们的框架与2000年代高管薪酬中的管理权力理论有关，Seebbchuk和Fried【2003年】。大多数口头表述的理论broa dly指出，代理经理可以将其薪酬要求强加给公司负责人。在我们的设置中，我们可以将这种关系形式化如下：代理经理根据我们的参考值给出的他过去的经验形成他的补偿需求，并且我们的漏洞参数捕获了施加他的需求的能力。因此，我们的框架为管理权力理论提供了一个正式模型的基础，该模型允许进行理论预测和随后的实证分析。参考文献Abel，A.B.1990。资产价格处于习惯形成和攀比中。《美国经济评论》80:38–42。https://www.jstor.org/stable/2006539.AllonG.、M.Cohen和W.P.Sinchaisri。2018年，行为和经济驱动因素对gig经济工作者的影响。SSRN 3274628提供https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3274628.Ashford、S.J.、B.B.Caza和E.M.Reid。2018年，《在gigeconomy中从生存到繁荣：新工作世界中个人的研究议程》。研究非组织行为38:23–41。https://doi.org/10.1016/j.riob.2018.11.001.Battigalli，P.和M.Dufwenberg。2009。动态心理游戏。《经济理论杂志》1 44:1–35。https://doi.org/10.1016/j.jet.2008.01.004.Bebchuk，L.A.和J.M.Fried。2003年，高管薪酬作为代理问题。《经济展望杂志》17:71–92。Bergvall-Kareborn，B.和D.Howcroft。2014

亚马逊土耳其机械公司和劳工委员会。新技术、工作和就业29:213–23。https://doi.org/10.1111/ntwe.12038.Bester，H.1989年。激励相容的长期合同和工作配给。《劳动经济学杂志》7:238–55。https://doi.org/10.1086/298207.Bolton，P.和M.Dewatripont。2005年，《合同理论》。美国马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院出版社。ISBN 978-0-262-02576-8。A.布劳顿、R.格洛斯特、R.马维尔、M.格林、J.兰利、安达。马丁。2018年，个人在gig经济中的经历。商业、能源和工业战略部。https://www.gov.uk/government/publications/gig-economy-research.Butler，N.和D.Stoyanova Russell。2018年，《没有搞笑的行业：单口喜剧中的不稳定工作和情感拉布》。《人际关系》71:1666–86。https://doi.org/10.1177%2F0018726718758880.Cachon，G.P.，K。M、 Daniels和R.Lobel。2017年，激增定价在具有自调度能力的服务平台上的作用。制造与服务运营管理19:368–84。https://doi.org/10.1287/msom.2017.0618.Carre尼诺，B.，和J.福斯。2021，西班牙的gig经济将劳工权利难题定位为监管的焦点。路透社。3月3日。https://www.reuters.com/article/us-spain-tech-labour-rights-idUSKBN2AV10P.Retrieved:2021 3月28日。Cave，G.19 83。就业配给、失业和沮丧的工人。《劳动经济学杂志》1:286–307。https://doi.org/10.1086/298014.Conger，K.2020年。加州的优步和Lyft司机仍将是承包商。《纽约时报》。11月4日。https://www.nytimes.com/2020/11/04/technology/california-uber-lyft-prop-22.html.Retrieved:2021 3月28日。Cvitani'c，J.，和J.Zhang。2012，《连续时间模型中的契约理论》，斯普林格斯科学与商业媒体。ISBN 978-3-642-14199-7。10.1007/978-3-642-14200-0.DellaVigna，S.、A.Lindner、B.Reizer和J.F.Schmieder。2017

参考依赖性求职：匈牙利的证据。《经济学季刊》132:1969-2018。https://doi.org/10.1093/qje/qjx015.DeMarzo，P.M.，a和Y.桑尼科夫。连续时间代理模型中的最优安全设计和动态资本结构。《金融杂志》61:2681–724。https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.2006.01002.x.Dixit，A.K.1993年。平滑粘贴的艺术，第55卷。瑞士丘尔：HarwoodAcademic出版社。ISBN 3-7186-5384-2。Doucette、M.H.和W.D.Bradford。2019年。双重就业和全球就业岗位经济：初级和全球就业岗位之间的劳动力分配。《南方经济杂志》85:1217–42。https://doi.org/10.1002/soej.12338.Dube，A.，J.Jacobs，S.Naidu，A和S.Suri。2020年，在线劳动力市场的垄断。《美国经济评论》：Insights 2:33–46。https://doi.org/10.1257/aeri.20180150.EngelbertH.-J.和G.Peskir。粘性布朗运动的随机微分方程。《概率与随机过程》国际期刊86:993–1021。https://doi.org/10.1080/17442508.2014.899600.Fleming，第2017页。人力资本骗局：优步化时代的工作、债务和不安全感。组织研究38:691–709。https://doi.org/10.1080/17442508.2014.899600.FordM.和V.Honan。2019年，《互助的极限：印尼基于app的运输工人中新兴的集体形式》。《工业评论杂志》61:528–48。https://doi.org/10.1177%2F0022185619839428.Fox，M.A.、K.Spicer、L.C.Chosewood、P.Susi、D.O.Johns和G.S.Dotson。2018年。将累积风险评估应用于工作场所的影响。环境国际115:230–8。https://doi.org/10.1016/j.envint.2018.03.026.Gandhi，A.、A.N.Hidayanto、Y.G.Sucahyo和Y.Ruldeviyani。2018年，探索人们成为基于平台的gig工作者的意愿：一项实证定性研究。

2018年信息技术系统与创新国际会议（ICITSI），266–71。IEEE。https://doi.org/10.1109/ICITSI.2018.8696017.Geanakoplos，J.、D.Pearce和E.Stacchetti。心理游戏与顺序理性。游戏与经济行为1:60–79。https://doi.org/10.1016/0899-8256(89)90005-5.Goods，C.、A.Veen和T.Barratt。2019年，“你的演出好吗？”分析澳大利亚基于平台的食品配送部门的jo b质量。《劳资关系杂志》61:502-27。https://doi.org/10.1177%2F0022185618817069.Harrison、J.M.和A.J.Lemoine。1981 . 作为存储过程极限的粘性布朗运动。应用概率杂志18:216–26。https://doi.org/10.2307/3213181.Holmstr"om，B.和P.Milgrom。1987年，跨期激励措施提供的聚合和线性。计量经济学：计量经济学学会杂志303–28。https://doi.org/10.2307/1913238.Huws，N.Spencer，M.Coates，D.Sverre Syrdal和K.Holts。2019年，欧洲工作平台化：来自13个欧洲国家的研究成果。赫特福德大学。https://doi.org/10.18745/ds.21600.Jacobs，J.A.、A.M.Kolb和C.R.Taylor。2 017. 平台的最佳信誉系统。杜克大学工作文件。https://faculty.fuqua.duke.edu/ioconference/papers/2017/2%20Aaron%20Kolb__JKTplatforms.pdf.———. 2018年，《社区、合作社和俱乐部：大型集体组织中的社会资本和激励措施》。工作论文，凯利商学院研究论文。https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3155391.Johnston，H.，a和C.兰德卡兹劳斯卡斯。2018年，《按需组织：gig经济中的代表、声音和集体谈判》。工作条件和就业系列，国际劳工局-日内瓦。Josserand，E.和S.Kaine。2019

不同的方向或相同的路线？乘车共享司机的不同身份。《劳资关系杂志》61:5 49–73。https://doi.org/10.1177%2F0022185619848461.Katz，L.F.和A.B.克鲁格。2019年。1995年至2015年，美国替代性工作风险的兴起和性质。ILR审查72:382–416。https://doi.org/10.1177%2F0019793918820008.K"oszegi，B.和M.Rabin。参考依赖参考模型。《经济学季刊》121:1133–65。https://doi.org/10.1093/qje/121.4.1133.KundaG.、S.R.Barley和J.Evans。2002年。为什么承包商签订合同？高技能专业技术人员在持续劳动力市场的经验。ILR Review55:234–61。https://doi.org/10.1177%2F001979390205500203.Lee，C.，G.-H.Huang和S.J.Ashford。2 018. 工作不安全感与工作场所的变化：工作不安全感研究的最新发展和未来趋势。《组织心理学与组织行为年鉴》5:335–59。https://doi.org/10.1146/annurev-orgpsych-032117-104651.Lundesgaard，J.20 01。Holmstr"om–Milgrom模型：一个简化和说明的版本。斯堪的纳维亚管理杂志17:287–303。https://doi.org/10.1016/S0956-5221(99)00039-1.MacDonald，R.和A.Giazitzoglu。2019年。青年、企业和不稳定：或者，“吉格经济”有什么问题？《社会学杂志》55:724–40。https://doi.org/10.1177%2F1440783319837604.Macera，R.2018a。损失厌恶下的短期激励。《经济理论杂志》178:551–94。https://doi.org/10.1016/j.jet.2018.10.003.———. 2018b。当前或未来的激励措施？道德风险下固定工资的最优性。《经济行为与组织杂志》147:129–44。https://doi.org/10.1016/j.jebo.2017.12.004.Mortensen，D.T.1986年。求职和劳动力市场分析。在O.Ashenfelter和D。

Card编辑，《劳动经济学手册》，第2卷，第15章，849-919。爱思唯尔。https://doi.org/10.1016/S1573-4463(86)02005-9.Petriglieri，G.、S.J.Ashford和A.Wrzesniewski。2019年，《临时工经济中的痛苦与狂喜：为不稳定和个性化的工作身份营造容纳环境》。行政科学季刊64:124–70。https://doi.org/10.1177%2F0001839218759646.Piskorski，T.和M.M.Westerfield。2 016. 具有道德风险和成本监控的最优动态契约。经济理论杂志166:242–81。https://doi.org/10.1016/j.jet.2016.08.003.Pollak，R.A.1970年。习惯形成和动态需求函数。《政治经济杂志》78:745–63。https://doi.org/10.1086/259667.Poon，T.S.-C.2019年。《独立工作者：新兴gig经济中的增长趋势、类别和员工关系影响》。员工责任和权利法院31:63–9。https://doi.org/10.1007/s10672-018-9318-8.Reilly，第2017页。小丑的层次：文化生产行业的职业发展。管理发现学会3:145–64。https://doi.org/10.5465/amd.2015.0160.Reuters.2020年，西班牙最高法院规定，食品递送骑手是雇员，而不是自由职业者。路透社。9月23日。https://www.reuters.com/article/spain-glovo-ruling/spains-supreme-court-rules-food-delivery-riders-are-employees-not-freelancers-idINL5N2GK40O.Retrieved:2021 3月28日。Rogerson，W.P.1985年。重复的道德风险。经济计量学：计量经济学学会杂志69–76。桑尼科夫，Y.2008。principalagent问题的连续时间版本。《经济研究评论》75:957–84。https://doi.org/10.1111/j.1467-937X.2008.00486.x.Santib亚涅斯、N.H、D.波萨马伊和C.周。2020年。道德风险和逆向选择下的银行监管激励。优化理论与应用杂志184:988–1035。

https://doi.org/10.1007/s10957-019-01621-9.SchiekD.和A.Gideon。2018年，通过集体谈判超越gig经济——欧盟竞争法成为智能城市的障碍？《国际法律、计算机与技术评论》32:275–94。https://doi.org/10.1080/13600869.2018.1457001.Spreitzer，G.M.，L.Cameron和L.Garrett。2017年，《另类工作安排：新工作世界的两幅图像》。《组织心理学和组织行为年鉴》4:473–99。https://doi.org/10.1146/annurev-orgpsych-032516-113332.Stewart，A.和J.斯坦福。2017年，调整gig经济中的工作：有什么选择？《经济与劳动关系评论》28:420–37。https://doi.org/10.1177%2F1035304617722461.Vanden Berg，G.J.1990年。求职理论中的非平稳性。《经济学研究评论》57:255–77。https://doi.org/10.2307/2297381.Veen、A.、T.Barratt和C.货物。2020年，Platfo r m-capital的“应用程序”控制：澳大利亚食品交付工作的阿拉伯尔过程分析。工作、就业与社会34:388–406。https://doi.org/10.1177%2F0950017019836911.Wang、C.和Y.Yang。2019年。最佳自我执行和终止。《经济动力与控制杂志》101:161–86。https://doi.org/10.1016/j.jedc.2018.12.010.Wood，A.J.2018年。强大时代：灵活的纪律和在工作中安排礼物。《工作、就业和社会》32:1061–77。https://doi.org/10.1177%2F0950017017719839.Wood，A.J.、M.Graham、V.Lehdonvirta和I.Hjorth。20 19. 网络化但通用化：数字劳动力在小型企业经济中的（非）嵌入性。社会学53:931–50。https://doi.org/10.1177%2F0038038519828906.Woodcock，J.2020年。Deliveroo的算法全景图：测量、预测和控制错觉。

《星历：组织20中的理论与政治》。http://www.ephemerajournal.org/sites/default/files/pdfs/contribution/20-3Woodcock.pdf.Wu、Q.、H.Zhang、Z.Li和K.Liu。2019年，《gig经济中的劳动控制：优步在中国的证据》。《劳资关系杂志》61:574–96。https://doi.org/10.1177%2F0022185619854472.Zhu，J.Y.2012。逃避的最佳合同。经济研究回顾80:812–39。https://doi.org/10.1093/restud/rds038.A对于第2节中规定的模型，我们现在分别对代理和委托人的策略A和（s，f）施加条件，以保证相关随机过程的存在。我们的模型是带有有效状态过程R的马尔可夫模型，因此我们关注反馈策略。代理人的福利水平是一个随机过程a={at，0≤ t<∞}由R的非负有界函数给出，即对于某些可测函数a，at=a（Rt），使得0≤ a（r）≤ Ca，适用于所有r∈ R和一些Ca>0。共享是一个存储进程s={st，0≤ t<∞} 由R的有界函数给出，即对于一些可测函数s，st=s（Rt），使得| s（R）|≤ Cs，适用于所有r∈ R和一些Cs>0。

固定分量是一个随机过程f={ft，0≤ t<∞} 由R的函数给出，即对于某些可测函数f，ft=f（Rt），使得| f（R）|≤ cf+cf | r |，适用于所有r∈ R和一些cf，cf>0。A、 1远见卓识的原则：第一个最佳方案问题的表述以及第3节中的结果表明，没有合同ct超过阈值r，这有待确定。与方程（2）中的值函数V相对应的HJB方程（4）中的动态R为ρV（R）=-κrV′（r），对于r≥ \'r，max{a，s，f}ρ ((1 - s） a- f） +κ（s a+f-一- r） V′（r）+κσsV′（r）, 对于r<r，在无合同制度下，我们得到了其解的形式为V（r）=V（\'r）r'r-ρκ，对于r≥ 在合同制度中，根据f和t，HJB中的术语必须最大化为- ρf+κfV′（r）。因为值函数是非递减的，即V′（r）≤ 0，最优f是签订合同的最小选择（ut≥ Rt）。换句话说f*= r- sa+a+sγσ，另见方程式（10）。因此，对于r<r，我们可以将简化的HJB方程仅以a和s作为控制变量ρV（r）=max{a，s}ρa+a+γσs- r+κγσsV′（r）+κσsV′（r）.对a和s进行优化，得到了最优控制*= 1秒*= 0，通过反代换，我们得到了值函数v（r）的方程=- r、 对于r<r，我们仍然需要确定阈值r和V（\'r），以完全描述溶液的特性。后者源于V的连续性，这是（28）中规定的直接结果，导致V（(R)r）=- \'r.对于任何给定的阈值\'r，规定的函数值满足HJB。

用r′表示任意阈值和定义（r；r′）=(- r、 对于r<r′- r′（r/r′）-ρκ，对于r≥ r′。将最优性条件“r”固定为相关区域r上r\'的一阶条件≥ r′，这是0=r′V（r；’r）=-（r/(R)r）-ρκ+ρκ- \'\'r（r/(R)r）-ρκ′r-1溶液r=ρ2（κ+ρ）。由此得出limr′rV′（r）=-1=limr′rV′（r），即值函数v是连续可微的。A、 2远见卓识的原则：在无合同制度下，次优的，即r≥ 公式（21）中给出的r=1/（2（1+γσ）），Kolmogorov方程f或值函数及其解的形式与之前的情况相同ρV（sub）（r）=-κrV（sub）′（r），对于r>’rV（sub）（r）=V（sub）（’r）r'r-r的ρκ≥ r。与前一种情况相比，阈值r是先验的，但与之前一样，值V（sub）（\'r）仍有待确定。在合同制度中，也就是说，对于r<\'r而言*, 股份s*和Fix wagef*由近视策略决定（见方程式（17）–（19））。Kolmogorovequation读取ρV（sub）（r）=ρs*- r+κγσs*2V（sub）′（r）+κσs*2V（sub）′（r），（37）为二阶线性常微分方程。我们用v（sub）（r）=-r+c·exp{b·r}+c，其中c，c∈ R和b>0是常数。边界条件limr的严格不等式b＞0-∞V（sub）（r）=c- r、 对于某些常数c，函数V（sub）（r）的导数的形式为V（sub）′（r）=-1+c·b·exp{b·r}，V（sub）′（r）=c·b·exp{b·r}。将这些代入方程（37），我们得到了xp{b·r}1.-2ρκγσs*· b-2ρκσs*· b-s*+2ρκγσs*+ c=0。（38）括号中的表达式是指数部分的系数，而r估计为常数。为了使方程式（38）适用于所有r，两个分量必须分别为bezero。

从中我们得到C=1+ρ-κργσ2（1+γσ）和二次B的正解=2κrγ+8ρ（1+γσ）σ- γ!.这就给我们留下了V（sub）（\'r）和cto有待确定。根据（34）中的定义，我们看到V（sub）是连续可区分的。使用“r（limr”rV（sub）（r）=limrrV（sub）（r））中的连续性-\'r+cexp{b·\'r}+c=V（sub）（\'r），且\'r中的平滑度（limr\'rV（sub）\'（r）=limr\'rV（sub）\'（r））-1+c·b·exp{b·'r}=-ρκV（sub）（\'r）\'r-1我们得到v（sub）（\'r）=1- （(R)r- c） bρκ′r-1+波段C=1-ρκV（sub）（\'r）\'r-1b exp{b·'r}。A、 3有远见的原则：第二最佳方案1。考虑（35）中的最优控制问题，参考点动力学g i ven by（4）和at=st。相应的值函数V为i n C（R），满足普通微分方程0=1+γσ-κργσV′（r）-κρσV′（r）- r- V（r），开(-∞, 其中，r是自由边界，边界条件0=limr-∞V′（r），0=limr′r-κr V′（r）- ρV（r），0=limr′r-κrV′（r）- [ρ+κ]V′（r）。在（(R)r，∞), v值满足普通微分方程0=-κr V′（r）- ρV（r），溶液V（r）=V（\'r）（r/\'r）-ρ/κ，对于r≥ r和V（\'r）=limrrV（r）。相应的最优控制由A给出*t=s*t、 f级*t=1Rt<rRt公司- （s）*t） /2+γσ（s*t） /2个,s*t=1Rt<r1+γσ-κργσV′（Rt）-κρσV′（Rt）。证据方程（35）中最优控制问题对应的HJB方程reads0=max{s，f}-κr V′+χκf+sV′＋κσsV′＋ρs- s- f- ρV。我们最大化当χ=1时变为活动的表达式，即在集D={（r，f，s）：f+s/2上- γσs/2≥ r} 我们分析g（r；f，s，V′，V′）=κf+sV′＋κσsV′＋ρs- s- f.函数G在固定工资率f中是线性的，系数为κV′- ρ. 通过支付的结构，我们可以看到v在r中是不递增的，也就是v′≤ 0，因此我们直接得到κV′- ρ ≤ -ρ < 0.

因此，最佳选择是取f满足集D给出的约束的最小可能值，即f*（r；s，V′，V′）=r- s/2+γσs/2。插头f*（r；s）in G和writeG（r；s，V′，V′）=κr+γσs/2V′＋κσsV′＋ρs- r- 序号/2- γσs/2.一阶条件为sG（r；s，V′，V′）=κγσs V′+κσs V′+ρ1.- s- γσs.对于κγσV′+κσV′- ρ - ργσ<0，s的最佳选择由s给出*（r，V′，V′）=1+γσ-κργσV′-κρσV′。另一种情况是κγσV′+κσV′- ρ - ρ γ σ≥ 0表示最佳策略*| = ∞. 作为f*和a*都已确定，状态进程r具有以下动态：rt=κγσstdt+κσstdBt。对于| st |∞, 过程R立即向上推，直到到达下边界，例如R。在r处，我们有κγσV′+κσV′- ρ - ρ γ σ= 0. 然而，边界与V（sub）给出的V的线性下界是矛盾的。对于χ=1，HJB简化为0=ρs*（r，V′，V′）- ρr- ρV，或，0=1+γσ-κργσV′-κρσV′\'- r- 五、接下来，考虑χ=0和HJB reads0=-κr V′- ρV。委托人在向代理人提供可接受合同的制度χ=1和不提供可接受合同的制度（即χ=0）之间进行最佳选择。HJB结果为0=最大值（ρ1+γσ-κργσV′-κρσV′\'- ρr；-κr V′）- ρV。这是一个变分不等式公式。用“r”表示分隔两个状态的阈值，即“r=inf（r∈ R：ρ1+γσ-κργσV′（r）-κρσV′（r）- ρr=-κr V′（r））。关注委托人向代理人提供可接受合同的制度(-∞, \'r），则0=ρ1+γσ-κργσV′（r）-κρσV′（r）- ρr- ρV（r），对于r<r0=limr-κr V′（r）- ρV（r），0=limr-∞V′（r）。第二行中的第一个边界条件是HJB变量不等式公式的直接结果。

第三行中的第二个边界条件由线性上界（第一个最佳情况）和下界（次优第二个最佳情况）产生。上边界r是一个自由边界，我们需要在其位置上下附加一个边界条件。应用r的最优性，可以区分一阶导数边界条件，以获得所需的附加边界条件；这有时被称为超级接触状态，见第。4.6在Dixit[1 993]中，针对相关情况。下面将导出此条件。在r，反映了状态过程。这种反映在经济方面代价高昂，参见Dixit【1993年】。对于R=(R)R，我们有Dr=-κr dt，χ=0。非合同点r的价值由当状态过程在代理行接受可接受合同的区域漂移时的贴现未来收入的价值给出。不允许dR为负写EV（(R)r+dR）=Ee-ρdtV（(R)r）= V（(R)r）- ρV（(R)r）dt和0=-κ'rV（'r+dR）- V（(R)r）dR- ρV（(R)r）dt，giving0=limr′r-κr V′（r）- ρV（r）。该边界条件适用于任何外生特定的ba rr ier r′分离收缩区域和无收缩区域，即χt=1Rt<r′。用V（·；r′）表示具有该约束的原始问题的解决方案，即，当r<r′，that是，χt=1Rt<r′时，可接受的一个潜在次优的OFFERINGA契约选择。然后V（·；r′）在(-∞, r′）乘以0=ρ1+γσ-κργσV′（r；r′）-κρσV′（r；r′）- ρr- ρV（r；r′），对于r<r′0=limrr′-κr V′（r；r′）- ρV（r；r′），0=limr-∞V′（r；r′），带符号V′（r；r′）=rV（r；r′）和V′（r；r′）=rrV（r；r′）。函数V（·；r′）扩展到（r′，∞) by0=-κr V′（r；r′）- ρV（r；r′），对于r>r′，或V（r；r′）=V（r′；r′）（r/r′）-ρ/κ，对于r>r′。

由0=r′V（r；’r），表示r∈ R在变量r gives0=r r′V（r；’r）=r′V′（r；’r），对于r∈ R，我们假设有足够的规律性来交换差异的顺序。接下来，我们指定函数W byW（r′）=-κr′V′（r′）-; r′）- ρV（r′）-; r′），对于r′∈ R，根据R′处的边界条件为零，并计算其导数0=r′W（r′）=-κV′（r′）-; r′）- κr′（V′）（r′）-; r′）+r′V′（r′）-; r′））-ρ（V′（r′）-; r′）+r′V（r′）-; r′）。在r处，我们应用最优性条件及其不同版本，即0=r′V（r；’r）和0=r′V′（r；’r），见0=-κ‘‘rV’’（’r-; (R)r）- [ρ+κ]V′（\'r-; \'\'r）。我们还可以检查V（·；’r）的一阶和二阶导数在‘r’处是连续的。因此，V∈ C（R）。A、 4远见卓识原则：次优（数值解技术）在无合约制度下，价值函数的HJB方程仍然与前几种情况相同ρV（r）=-κrV′（r）。（39）在合同制度中，最佳固定工资f*确定为b efo r e（见方程式（10））。因此，我们可以将简化的HJB方程仅用s表示为控制变量ρV（r）=maxsρs-s1 + γσ- r+κγσsV′（r）+κσsV′（r）. （40）对s进行优化，得到最优控制ass*（r） =ρρ（1+γσ）- γκσV′（r）- κσV′（r），（41），通过反代换，我们得到了值函数V（r）=·ρρ（1+γσ）的微分方程- γκσV′（r）- κσV′（r）- r、 （42）比较等式（41）和（42），我们可以写出值函数和最优份额函数之间的简单关系：V（r）=·s*（r）- r、 （43）方程（42）是一个二阶非线性常微分方程，具有一个特定解^V（r）=·ρρ（1+γσ）+γκσ- r、 （44）虽然我们有解析特解，但我们无法以最一般的形式求解常微分方程。我们在一个有限离散网格上使用隐式迭代法作为参考估价师。

我们从一个合理的初值函数V开始，它跨越了合同和无合同两种制度。在无约束条件下，我们使用隐式离散近似V′（r）=V（r）- V（r- r）r、 （45）在合同制度中，我们使用隐式离散近似V′（r）=V（r+r）- V（r- r） 2r（46）V′（r）=V（r+r） +V（r- r）- 2V（r）(r） 。（47）将方程（45）插入方程（39），我们得到v（r）=κrκr+ρrV（右- r） 。利用方程（43），我们从V（r）确定函数s（r）。如果迭代接近收敛，这是一个很好的近似值。这也意味着我们使用方程（40）而不考虑s的最大化，我们只是假设从v（r）计算出的s（r）接近最优s*（r） 功能。将（46）和（47）插入（40）（无最大化），我们得到v（r）=ρ(r） +κσs（r）“ρ(r）s（r）-s（r）1 + γσ- r++γκσs（r）(r） （V（r+r）- V（r- r） ）+κσs（r）（V（r+r） +V（r- r） ）#。接下来，我们计算更新后的值函数asV（new）（r）=max{V（r），V（r）}。我们重复这个迭代，直到V（new）（r）非常接近V（r）。对于较小的r值，我们使用从方程（4-4）导出的边界条件，对于较大的值，我们假设边界处的曲率为零。