减持2.1，G（x）=0等于：P[Qu>L（x）]=r1- rE[BxB>x]- P[B>x]=r1级- rE[BxB>x]- 1+P[B<x]=r1级- r- 1+E[最大值（Bx，1）].我们推导出^L（x）=F-1κu（1- r-r1级- rE[最大值（Bx，1）]）。我们现在证明利差是正的和有限的，并推断出整个LOB的形状。回想一下，上面计算的^L（x）是一个理论值，只有当^L（x）>0时，做市商才会增加流动性。当（1）时，我们有^L（x）>0-r-r1级-rE[最大值（Bx，1）]）>。这适用于所有x，使得e[最大值（Bx，1）]<1+r2r。等价地，满足任何x的不等式，使得x>u，其中u是以下方程的唯一解：E[最大值（Bu，1）]=1+r2r。通过假设2，我们推导出对于任何x≤ u，L（x）=0。此外，对于任何x>u，L（x）=F-1κu1.- r-r1级- rE[最大值（Bx，1）].我们推断u是传播的一半。我们得到的累积LOB是唯一的、连续的，并且严格地增加，超出了范围（因为B和Q定律在R上具有正密度）。A、 3定理2.2的证明我们用ν表示随机变量，如果信息交易者发起ithtrade，则该随机变量等于1，如果噪声交易者发起ithtrade，则该随机变量等于0。我们用ω表示两次连续交易之间的交易数量。我们有：σtr=E[（Pτi+1- Pτi）]=∞Xj=1P[ω=j]E[（Pτi+1- Pτi）|ω=j]。带e[（Pτi+1- Pτi）|ω=j]=P[ντi+1=0 |ω=j]E[（Pτi+1- Pτi）|ω=j，ντi+1=0）+P[ντi+1=1 |ω=j]E[（Pτi+1- Pτi）|ω=j，ντi+1=1]。知道ω=j，jthevent可以是噪音交易者发起的交易，也可以是知情交易者发起的交易。

我们有[（Pτi+1- Pτi）|ω=j，ντi+1=1]=E[（j-1Xk=1Bk+Bj）| Bk |<u，| Bj |>u]=（j- 1） E【Bk | | Bk |<u】+E【Bj | | Bj |>u】。andE[（Pτi+1- Pτi）|ω=j，ντi+1=0]=E[（j-1Xk=1Bk）| | Bk |<u]=（j- 1） E[黑色| |黑色|<u]。我们计算概率：事件可以是噪声交易者发送的交易（在这种情况下，它必然触发新的交易），也可以是信息更新B，它可能触发交易，也可能不触发交易，这取决于| B |>u。P[ντi+1=1 |ω=j]=rP[| B |>u]1- rP[| B |<u]和p[ντi+1=0 |ω=j]=1- r1级- rP[| B |<u]。因此，σtr=E[B | | B |≤ u]∞Xj=1（j- 1） P[ω=j]+E[B | | B |>u]rP[| B |>u]1- rP[| B |<u]。我们有：∞Xj=1P[ω=j]（j- 1) = (1 - rP[| B |<u]）∞Xj=1（j- 1） （rP[| B |<u]）j-1= (1 - rP[| B |<u]）∞Xj=0j（rP[| B |<u]）j=rP[| B |<u]1.- rP[| B |<u].我们推断：σtr=rE[B | B |<u]+rE[B | B |>u]1- rP[| B |≤ u]=rE[B]1- rP[| B |≤ u].回想等式（1）：1+r2r=E[最大值（Bu，1）]=E[BuB>u]+P[B≤ u].这意味着1+rr- 1=E|B |u| B |>u+ P[| B |≤ u].因此，我们得出结论，σtr=E[B]uE[| B | 1 | B |>u]。A、 4命题3.1的证明由于计算与命题2.1的证明基本相同，我们在此仅给出一个证明的草图。特别地，我们没有引入极限阶的体积ε，而是直接在ε趋于零的渐近区域中工作。我们考虑被动销售订单的收益。

被动购买订单的收益可以这样推断。首先，我们计算由知情交易者发起交易时，在ithlimit下的新订单的收益，知道Qi>Ld（i），由Gdinf（i）表示：Gdinf（i）=d+（i- 1)α - E[B | B>d+（i- 1)α].其次，当交易由噪声交易发起时，我们计算在ithlimit下的新订单的收益，知道Qi>Ld（i），由Gdnoise（i）表示：Gdnoise（i）=d+（i- 1)α.现在，Gd（i）满足：Gd（i）=Gdinf（i）P[ν=1 | Q>Ld（i）]+Gdnoise（i）P[ν=0 | Q>Ld（i）]=d+（i- 1)α -rE[B1B>d+（i-1） α]P[Q>L（d+（i- 1） α]=d+（i- 1)α -rE[B1B>d+（i-1） α]rP[B>d+（i- 1)α] + (1 - r） P[Qu>L（d+（i- 1)α)].A、 5定理3.1的证明我们考虑ask端。首先，我们表明利差是正的和有限的。然后我们证明，在价差之外，做市商会在所有可能的限价上插入限价指令。我们表明，在勾号大小为空的情况下，存在u，因此对于所有x≤u，L（x）=0，对于所有x>u，L（x）>0。LOB现在是离散的，之前的发现对Kdrins来说是真的，而不是u，其中kdrsatis:kdr=min{k∈ N+| d+（k- 1)α > u}.所以我们有：kdr=1+du- dαe。类似地，对于投标方的第一个非空限值，我们得到：kdl=du+dαe。从方程（4）中，价差等于（kdr+kdl）α- α. 因此，条件约束的买卖价差φdα，给定d的值，满足：φdα=α（du- dαe+du+dαe）。在假设4下，对于任何i≥ kdr：L（d+（i- 1） α）=F-1κu（1- r-r1级- rE[最大值（Bd+（i- 1)α, 1)]).我们推断，累积LOB是唯一的，并且在超出价差的情况下不断增加。A、 6推论的证明3.1参数d近似均匀分布在[0，α]之间，我们可以通过积分φdα来计算受约束的买卖价差的平均值：φα=Zαdu- sαe+du+sαeds。表示u：=uα。

我们有：φu=αZdu- xe+du+xedx。我们分解u，使得u=ui+uf，其中ui代表u的整数部分。我们得到：φα=αZdui+uf- xe+dui+uf+xedx。φα= αZuf（ui+1）dx+Zufuidx+Z1-uf（ui+1）dx+Z（1-uf）（ui+2）dx.φα= αuf（ui+1）+（1）- uf）ui+（1- uf）（ui+1）+uf（ui+2）.φα=α（2ui+2uf+1）=α+2u=α+φ。致谢我们感谢亚历山德拉·吉夫里、菲利普·吉洛特、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒、朱利安·莱布伦和奥奈德·罗素的宝贵意见。作者非常感谢ERC赠款679836 Staqamof和监管分析和模型主席的财政支持。参考文献【1】Fr“ed”eric Abergel和Aymen Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（05）：13500252013。[2] 埃里克·阿伯格尔神父、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒神父和马修·罗森鲍姆神父。了解高频交易的风险。《交易杂志》，9（4）：49–732014。[3] Autorit’e des March’s金融家。MiFID II：新蜱虫大小制度的影响。AMFreport，2018年。[4] Shmuel Baruch和Lawrence R Glosten。尾部预期、不完全竞争和限价订单市场中的竞价现象。犹他大学David Eccles商学院未出版的手册，2017年。[5] 克里斯蒂安·拜耳、乌尔里希·霍斯特和金鸟球。具有状态相关价格动态的limitorder图书的一个泛函极限定理。《应用概率年鉴》，27（5）：2753–28062017。[6] Dan Bernhardt和Eric Hughson。拆分订单。《金融研究评论》，10（1）：69–101，1997年。[7] Rama Cont和Adrien De Larrard。马尔可夫限价订单市场中的价格动态。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：1-252013年。[8] Rama Cont、Sasha Stoikov和Rishi Talreja。订单动态的随机模型。运筹学，58（3）：549–56320010。[9] Khalil Dayri和Mathieu Rosenbaum。

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