从Glosten Milgrom到整个限额订单和应用程序

2022-6-14 05:32:30

在统计模型中，代理订单流遵循适当的随机过程。在这种类型的方法中，目标是再现重要的市场风格化事实并在实践中有用，使从业者能够计算相关数量，如误入歧途成本、市场影响或执行概率。大多数统计模型被称为Dzero智能模型，因为订单流是由独立的泊松过程驱动的，例如参见[1、7、8、23、31]。[5、17、19]放松了这一假设，通过引入订单状态与市场参与者行为之间的依赖关系，获得了更现实的动态。在均衡模型中，例如参见【10、11、28、30】，LOB动态源于理性主体之间的相互作用，理性主体以最佳方式行事：主体选择其交易决策作为个体效用最大化问题的解决方案。例如，在[28]中，作者研究了一个简单的模型，其中交易者根据市场条件选择提交的订单类型（市场订单或限制订单），并考虑到他们的决策会影响其他交易者这一事实。在这个框架中，可以准确地分析市场均衡。然而，利差是外生的，资产的基本价值没有不对称信息，因此没有考虑不利选择影响。[30]的订单驱动模型也是如此，交易员也可以在市场订单和限价订单之间进行选择。在这种方法中，所有信息都是常识，等待成本是驱动力。该模型对交易流量、市场影响和LOB形状之间的联系做出了一些非常相关的预测。本文介绍了一个平衡型模型。

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2022-6-14 05:32:33

这是一个简单的基于代理的订单模型，我们考虑了三种类型的市场参与者，如[22]中所述：信息交易者、噪音交易者和做市商。知情交易者接收市场信息，如有效价格的跳跃，这对噪音交易者来说是隐藏的。然后，他利用这些信息通过发送市场订单获得利益。做市商也会收到相同的信息，但会有一定的延迟，只要这些订单的预期收益为正（他们被假定为风险中性），他们就会下限价订单。informedtrader和做市商代表了交易活动中的战略部分，而随机部分则包括噪声交易者，他们被假定根据复合泊松过程发送市场订单。有趣的是，上述简单框架允许我们推断出有效价格动态、噪声交易者交易比例、交易量、买卖价差和LOB平衡状态之间的联系。它使我们能够从代理之间的交互中得出整个订单簿形状（出价askspread和每种价格下的数量）。买卖价差是如何从市场参与者的行为中产生的，这一问题在许多著作中都得到了讨论。一般认为，由于存在三种类型的成本，买卖价差是非零的：订单处理成本，见【16，30】；库存成本，见【14，33】；逆向选择成本，见【11】。在已经提到的论文【30】中，该分布是订单处理成本的结果：为了补偿等待成本，贸易商将其限价订单放在不同的价格水平上（例如，较高水平的限价订单比较低水平的限价订单获得更好的预期价格，但需要更长的执行时间）。

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2022-6-14 05:32:36

因此，可以考虑两个订单导致相同预期效用的情况）。相比之下，我们的模型受到了[11]的启发。流动性仅由做市商提供，他们面临逆向选择问题，因为同意以做市商的askor出价进行交易的参与者可能是在知情的情况下进行交易的。不考虑订单处理和库存成本，我们认为买卖价差是一种纯粹的信息现象：由于流动性提供商必须保护自己不受具有高级信息的交易员的影响，有限的订单被放置在不同的级别。在这个框架中，以与[11]非常相似的方式，买卖价差自然产生于这样一个事实，即在执行时，与有效价格太接近的限价订单具有负的预期回报：informedtrader的存在和有效价格的潜在大幅跳升阻止了做市商发布与有效价格太接近的限价订单。我们还发现，买卖价差是tick值和内在买卖价差的总和，这与最小tick大小下的买卖价差的理论值相对应。我们要强调的是，有几个模型研究了LOB，假设我们有三种类型的市场参与者，并且像我们将要做的那样，强加了一个零利润型条件，即只有当相对于效率的预期回报为非负时，才能在LOB中下限额订单。例如，论文[11]和[4]与我们的论文有许多相似之处。与[11]相比，有两个主要区别。首先，在[11]中，零利润假设仅适用于两个最佳利润限制：每笔交易的买入价和卖出价设定为对做市商产生零利润，时间优先权不起作用。

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2022-6-14 05:32:38

在我们的模型中，我们提出了一种零利润条件的广义版本，在这种情况下，快速做市商仍然可以由于时间优先而获得利润。其次，在[11]中，我们假设只发生单元交易扫描，这是非常严格的。在我们的模型中，我们放松了这一假设，它允许我们检索整个LOB形状，而不仅仅是买卖价差。除此之外，我们还处理刻度大小为非零的情况，而在[11]中假设它为零。在[4]中，作者研究了零利润条件在每个做市商提供的整个流动性供给曲线水平上的后果。这是一个复杂的情况，无法达到标准均衡，因为任何做市商的有利偏差（从纳什均衡）都会以略高的价格出售股票，如[6]所述。在这项工作中，我们假设做市商在计算其预期利润时，会考虑其他做市商提交的订单。零利润条件仅适用于LOB中每个队列的最后一个订单，这是可以做到的。这尤其意味着做市商仍然可以获得正利润。这使我们能够获得一个非常可操作且易于处理的框架，在这个框架中，我们可以推断出整个大叶形状，计算各种重要数量，如限价单的优先级值，并对监管变化的后果进行预测，例如对刻度大小的预测。请注意，我们模型中的一个重要点是，我们还考虑了ticksize非零的情况。这使我们能够分析其在LOB动态中的作用。例如，我们在刻度大小和价差之间建立了一种新的非常有用的关系。

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2022-6-14 05:32:41

我们在市场数据上验证了这种关系，并展示了如何将其用于监管目的，特别是在刻度大小变化后预测新的价差值。可用价格水平的离散性也使我们能够以定量的方式评估限额订单的排队位置。LOB对以相同价格提交的限额订单使用优先级系统。可以采用多种优先级规则，如价格-时间优先级或价格-大小优先级，请参见【12】。我们在此考虑广泛使用的价格-时间机制，该机制以先进先出的方式优先考虑限价订单。因此，它鼓励贸易商尽早提交LimitOrder。我们的模型是唯一能够准确量化处于队列顶端相对于处于队列末端的优势的方法之一。一个值得注意的例外是这篇论文。在这项工作中，作者在考虑价格影响和一些逆向选择的排队模型中，对largetick资产在最佳水平上的排队位置进行了估值。在我们的环境中，我们能够计算市场参与者之间的战略互动对排队位置估值的影响。此外，我们并不局限于大型tick资产的最佳水平。然而，正如我们的实证结果所示，我们的发现与[27]的结果一致。我们的模型再现了其他著名的程式化事实。例如，当有效价格跳跃的绝对值遵循帕累托分布时，我们检索到了文献[25]中证明的利差与每笔交易波动率之间的经典线性关系，另见文献[33]。这将特别有助于校准我们的模型，以便将其用作分析监管措施的市场模拟器。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了具有零刻度值的基于代理的LOB模型。

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mingdashike22

2022-6-14 05:32:44

基于对知情交易者行为的贪婪假设，推导了成交量、有效价格跳跃分布和LOB形状之间的alink。然后为做市商添加零利润条件，这使我们能够明确计算买卖价差以及LOB形状。在第3节中，考虑了非零刻度值的情况。我们证明了买卖价差实际上等于内部买卖价差（不受勾号值约束）和勾号值之和。推导了LOB形次正勾号大小，给出了极限阶queueposition值的显式公式。在第4节中，根据模型的结果，我们对因新的MiFID II法规而改变了刻度大小的CAC 40资产进行了新息差值预测。第5节致力于模型的校准和CAC 40指数小刻度资产的队列位置值的计算。最后，这些屋顶被归入附录。2模型和假设在我们的模型中，我们假设存在一个由复合泊松过程建模的有效价格，并且存在三种不同类型的市场参与者：知情交易者、噪声交易者和几个做市商。在我们的方法中，做市商通过计算不同价格水平下潜在限价订单的预期收益来选择其买入报价。这是在知情者和喧闹者之间关于有效价格的信息不对称的情况下完成的（有效价格实际上被用作实现信息对称的工具）。该框架使我们能够获得每个交易的展开、LOB形状和方差的显式公式。

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2022-6-14 05:32:48

这些数量基本上取决于有效价格跳跃定律、噪音交易者订单大小的分布，以及与噪音交易者发送的订单相比价格跳跃的数量。请注意，与大多数只处理最佳买入/卖出限制下的动态或假设价差为常数的TLOB模型相反，我们的模型允许价差变化并适用于整个LOB形状。我们在本节中介绍了假设刻度大小等于零的情况。获得的结果将帮助我们理解第3节中我们认为是正刻度大小的内容。2.1有效价格建模我们为市场基础有效价格编写P（t），其动态描述如下：P（t）=P+Y（t），其中Y（t）=PNtj=1Bjis是一个复合泊松过程，P>0。此处{Nt:t≥ 0}是强度λi＞0的aPoisson过程，{Bj:j≥ 1} 是独立且同分布的平方可积随机变量，R上密度为正对称fψ，累积分布函数为fψ。因此，我们认为新信息在强度为λi的泊松过程给出的离散时间到达市场。因此，我们假设在信息到达时间j，有效价格P（t）由随机大小的跳跃j修改。此外，由于E[Bj]=0，我们得到P（t）是鞅。因此，E[P（t）]=PandVar[P（t）]=λitE[Bj]。我们将λiE【Bj】视为我们资产的宏观波动性。在这个问题中，为了简单起见，我们在不可能混淆的情况下为bj写B。2.2市场参与者我们假设有三种类型的市场参与者：o一个知情的交易者：这个术语的意思是，我们的交易者经历了较低的延迟，能够比其他参与者更快地访问市场数据和评估有效的价格跳升，从而在市场中产生不对称信息。

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大多数88

2022-6-14 05:32:50

例如，他可以分析外部信息或使用资产或平台之间的超前-滞后关系来评估有效价格（有关超前-滞后的详细信息，请参见[13、15、20]）。因此，我们假设知情交易者在价格上涨幅度B（和有效价格p（t））发生之前收到了价格上涨幅度B的值。然后，他将基于此信息的交易发送给gainpro fit。除了价格上涨的时间外，他不会在其他时间发送订单，我们会为他的订单规模写下QI，这将在以后进行战略性选择。请注意，如果他认为此类行动不可行，他可能不会在价格上涨时发出订单一个噪音交易者：他以零情报随机方式发送市场指令。假设这些交易遵循强度为λu的复合泊松过程。Wedenote为{Quj:j≥ 1} 噪声交易者的订单大小是独立的、均匀分布的可积随机变量。我们为quj的密度写fκuf，该密度在R上是正对称的（正体积代表买入订单，负体积代表卖出订单），并为其累积分布函数写fκuf。请注意，r=λiλi+λu与市场上发生的事件总数（有效的价格上涨和噪音交易者的交易）相比，与价格上涨的平均比例相关。回想一下，只有当价格上涨时，才能进行知情交易。我们将在本文中假设r>0。我们通过独立于订单发行人（噪音或知情交易者）的Q theorder大小来表示做市商：他们在价格上涨幅度B（和有效价格P（t））发生后立即获得其价值。我们假设他们是风险中性的。实际上，做市商通常是高频交易者，也被认为是知情者。

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2022-6-14 05:32:54

然而，与我们的知情交易者概念相反，他们的分析通常依赖于订单流（不包括差价和失衡）来提取有效价格，而不是外部信息。这是因为定向交易不是造市算法的核心。我们认为，如[11]中所述，做市商知道价格上涨与市场上发生的事件总数的比例，他们相互竞争，并且在价格上涨或交易后，他们可以随时修改限价指令。做市商根据其相对于有效价格的潜在利润和损失下订单（此处不考虑库存方面）。因此，他们只会在高于有效价格的价格水平下发送销售订单，而在低于有效价格的价格水平下发送购买订单。我们在此假设没有刻度大小（此假设将在第3节中放宽）。该订单由做市商在有效价格P（t）附近下达的限价订单组成。Wedenote P（t）和P（t）+x之间的累积可用流动性乘以L（x）。当L（x）时≥ 0（分别为L（x）≤ 0），表示价格小于（或大于）P（t）+x的卖出（或买入）限价订单的总数量。此函数L称为累积LOBshape函数。2.3假设我们不会对累积LOB形状函数L施加任何条件，该函数可能具有矩形部分和不连续性。我们定义其逆L-1签字人：L-1（q）=argminx{x | L（x）≥ q} 。给定函数L，我们现在在下一个假设中指定知情交易者的行为。该假设将知情交易者QI的交易量与LOBcumulative shape L和知情交易者收到的价格跳跃B的大小联系起来。假设1。让t成为有效价格的跳跃时间。

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2022-6-14 05:32:57

根据做市商提供的累计LOB形状函数L，知情的交易员以贪婪的方式进行交易，以消除LOB中的所有可用流动性，直到P（t）+B级。因此，他的交易规模合格指数为：合格指数=L（B-).知情交易者根据未来有效价格计算收益。如果他知道价格将上涨（或下跌），这对应于一个正（或负）跳跃b，他会消耗所有的卖出（或买入）订单，从而产生正的事后利润。在这两种情况下，他的利润等于未来有效价格与他买入或卖出的每股价格之差的绝对值乘以消耗量。请注意，本着这项工作的精神，知情交易者不会在日内累积头寸。我们的想法是，他被动地解除自己的立场。举例来说，如果在某一时刻，有效价格等于10欧元，而未来价格涨幅等于0.05欧元，知情交易者将以10至10.05欧元的价格消费所有卖出订单。然后，他可以以等于或高于新有效价格的价格提交被动卖出订单，从而潜在地平仓。知道他们的潜在利润是根据有效价格计算的，他可以提交接近新有效价格的利润，从而使其很有可能执行。这个量实际上取决于时间t，但为了简单起见，我们只写L（x）。备注2.1。对于由知情交易者发起的给定规模Qi订单和给定数量q，交易规模Qi小于q的概率满足：P[Qi<q]=P[L（B-) < q] =P【B<L】-1（q）]=Fψ（L-1（q））。在下面，我们的目标是计算扩展和LOB形状。

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2022-6-14 05:33:00

我们分两步进行。首先，我们推导出做市商潜在限价指令的预期收益。其次，我们考虑做市商的零利润假设（由于竞争）。基于这两种成分，我们展示了扩散和LOB形状是如何出现的。2.4做市商预期收益的计算这部分是我们方法的第一步。我们在此关注被动销售订单的收益。被动购买订单的收益也可以用同样的方法推断出来。让我成为订单的形状。我们的目标是，如果在价格水平为x的情况下提交，并且知道Q>L（x），并且没有关于交易发起人的任何信息，则计算新的最小订单的条件平均利润。对于这个量，我们写G（x）。我们考虑总订单量ε>0，位于P（t）+x之间的新订单的利润-对于某些x>0和δp>0，如果这些命令完全执行，则δp和p（t）+x。体积ε提交的订单由一个额外的累积LOB形状函数表示，该函数由▄L（x）表示。请注意，我们处理x之间提交的订单- δp和x考虑了两种情况：L（x）在x处连续，L（x）在x处有质量。函数L（x）定义如下：o对于s<x- δp，~L（s）=0，LOB中可用的流动性在s之前等于L（s）。o对于x- δp≤ s≤ x、可用流动性为L（s）+L（s），其中▄L（x- δp）=0，且￠L（x）=ε对于s≥ x、 LOB中可用的流动性达到s等于L（s）+ε。此外，我们假设对于任何s<x，~L（s）<ε。

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2022-6-14 05:33:03

让我们写下：oν对于一个随机变量，如果交易是由知情交易者发起的，那么它等于1；如果交易是由噪声交易者发起的，那么它等于0Gnoise（x-δp，x）用于获得新订单，总数量ε在x之间提交-δpand x，如果噪声交易者知道Qu≥ L（x）+L（x）。oGinf（x- δp，x）用于获得新订单，总数量ε在x之间提交- δpand x，如果交易是由知情交易者在了解Qi的情况下发起的≥ L（x）+L（x）。oG（x- δp，x）表示新订单的预期条件收益，总数量ε在x之间提交- δp和x知道Q≥ L（x）+L（x），没有任何关于交易发起人的信息。注意，增益取决于时间t，但在不可能混淆的情况下，我们保留符号G（x）。数量G（x- δp，x）等于：Ginf（x- δp，x）p[ν=1 | Q≥ L（x）+L（x）]+Gnoise（x- δp，x）p[ν=0 | Q≥ L（x）+L（x）]。我们的目标是计算以价格水平x提交的新的最小订单的预期收益，我们使δp和ε趋于0。因此，我们定义（x）=limε→0limδp→0G（x- δp，x）ε.我们在附录A.1中证明了以下命题。提案2.1。对于x≥ 0，如果以x级价格提交，则新的最小订单的平均利润：G（x）=x-rE[B1B>x]rP[B>x]+（1- r） P[Qu>L（x）]和x≤ 0G（x）=-x+rE[B1B<x]rP[B<x]+（1- r） P[Qu<L（x）]。请注意，即使当L（x）=0时，上述平均利润G（x）也很明确。事实上，当L（x）=0时，G（x）表示在清空订单簿中提交的最小订单在x的预期收益。请注意，对于给定的x，当L（x）变大时，limitorders的预期收益变为负值。现在，我们描述了通过零利润类型条件构建LOB的方式。让我们把高球抛到一边。对于任何点x，做市商首先考虑是否应该在0和x之间存在可信赖度。

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2022-6-14 05:33:07

为此，他们计算出值^L（x），这使得我们在命题2.1的表达式中得到（x）=0。如果^L（x）为正，则市场制造商之间发生竞争，并调整累积订单，使L（x）=^L（x），以获得G（x）=0。如果^L（x）=0，则0和x之间没有流动性。如果^L（x）为负，我们推断0和x之间没有流动性，因为该流动性应为正。这种机制是有意义的，因为正如我们将在下面看到的那样，^L（x）是x的非减量函数，这意味着两件事。首先，不可能遇到x<x的情况，做市商应该在P（t）和P（t）+x之间增加流动性，而不是在P（t）和P（t）+x之间增加流动性。其次，LOB的累积形状函数实际上是不递减的。我们得到G（x）=0等于：x=rE[B1B>x]rP[B>x]+（1-r） P[Qu>^L（x）]如果x≥ 0 RE[B1B<x]rP[B<x]+（1-r） P【Qu<^L（x）】如果x≤ 这意味着：^L（x）=（F-1κu1.-r-r1级-rE[最大值（Bx，1）]如果x≥ 0F-1κu-r1级-r+r1-rE[最大值（Bx，1）]如果x≤ 附录A.2给出了^L（x）的计算细节。我们现在正式确定了上述零利润假设。这是我们方法的第二步，以便最终计算利差和LOB形状。假设2。对于每x>0（分别x<0），做市商计算^L（x）。If^L（x）≤ 0（分别为^L（x）≥ 0），做市商不向LOB添加流动性：L（x）=0。如果^L（x）>0（分别为^L（x）<0），由于竞争，累积订单簿会进行调整，使G（x）=0。Wethen获得L（x）=^L（x）。上述零利润假设可视为[11]中提出的零利润条件的广义版本，其中零利润仅考虑两个最佳效益限值。

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2022-6-14 05:33:10

有意思的是，在这种更现实的环境下，那些速度非常快的做市商仍然可以盈利，因为他们的订单在LOB中提前下达。在这种情况下，如果刻度大小为零，似乎很难想象不同做市商之间的竞争是如何发生的。可以认为，每个做市商都指定了自己的L（x）（他提供的累积流动性）。那么，假设2意味着，当x（G（x）>0时仍有未来收益的空间时，其他做市商将进入市场，增加LOB中的流动性，直到G（x）变为零。请再次注意，我们在此认为做市商可以在LOB中插入微量。这些想法将在第3节中更加清晰，其中刻度大小不再为零。2.5买卖价差和业务线形状的出现基于做市商的预期收益，见命题2.1和零利润条件（假设2），我们可以得出买卖价差和业务线形状。我们在附录A.2中证明了以下定理。定理2.1。累积LOB形状满意度L（x）=-L(-x）对于任何x∈ R、对于x，L（x）=0∈ [-u，u]和L在x>u时连续严格增加，其中u是以下等式的唯一解：1+r2r=E[最大值（Bu，1）]。（1）对于x>u，L（x）>0，L（x）=F-1κu1.- r-r1级- rE[最大值（Bx，1）]. （2）对于x<-u，L（x）<0，L（x）=F-1κu-r1级- r+r1- rE[最大值（Bx，1）]. （3）特别是，买卖价差等于2u。方程（1）表明利差是r的一个递增函数。这意味着，当价格跳跃次数增加时，做市商意识到他们面临的逆向选择风险。因此，他们扩大价差，以避免因知情交易者在价格上涨前发布的交易而产生的这种影响。

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2022-6-14 05:33:13

特别是，如果市场上有非噪声交易者，则r=1，利差趋于一致。相反，当噪音交易者的交易数量增加时，做市商会减少价差，因为他们较少受到逆向选择的影响。所有这些结果与[11]中的发现一致。方程式（2）和（3）表明，做市商提交的流动性是r的递减函数。实际上，让我们取x>u，定义h（r）=1-r-r1级-rE[最大值（Bx，1）]。我们有h类r（r）=1- E[最大值（Bx，1）]（1- r）≤ 这意味着h是r的递减函数。函数F-1κU增加时，我们推断L（x）是r的递减函数。当价格跳跃次数增加时，做市商减少提交的被动订单数量。相反，当噪音交易者的交易数量很大时，市场就会变得非常流动。这与[26]中的实证结果一致，其中表明，就在某些公告之前，为了避免逆向选择，做市商降低了深度，增加了价差。最后，我们回忆起，在我们的设置中，我们没有先验地对L（x）施加任何条件。方程（1）、（2）和（3）表明，我们获得的累积LOB是连续的，并且严格增加，超出了价差。还请注意，L（x）趋于完整，因为x趋于完整。这意味着噪音交易者总是可以在LOB中找到流动性，无论其市场秩序有多大。2.6每笔交易的差异每笔交易的差异是两笔交易之间有效价格增量的差异。它可以被视为所考虑时期内累计方差与交易次数之间的比率。

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2022-6-14 05:33:16

文献中对这一概念非常感兴趣，尤其是因为它与价差和不确定区参数η有关，见[9，25，33]。在这项工作中，这个数量还有助于我们估计有效价格定律。用交易时间和交易后有效价格权的P表示。我们在附录A.3中证明了以下结果。定理2.2。每笔交易的方差σtrsaties：σtr=E[（Pτi+1- Pτi）]=E[B]uE[| B | 1 | B |>u]。我们知道，对于小型tick资产，我们应该获得波动性交易与利差之间的线性关系，斜率系数在1和2之间，请参见【25，33】。如果我们考虑这样的资产，那么我们必须有：E[B]E[| B | 1 | B |>u]~ u.使我们能够满足上述关系的一个经典选择是，考虑有效价格跳跃绝对值的帕累托分布，参数k（形状）和x（尺度），k>2，以获得有限的方差。在这种情况下，每笔交易的方差等于：σtr=x2个-k（k-1） ukk-2如果x≤ u（k-1） uxk-2如果x≥ u.为了确保每笔交易的方差与价差的平方成比例，我们应该将比例设为u。实际上，为了匹配上述公式中两种情况下的常数，我们自然取x=u。这意味着，在均衡状态下，价差会适应最小的跳跃大小，或者说，市场参与者认为只有在价差大于一半的情况下，有效价格的调整才是重要的。在这种情况下，方差pertrade变为：σtr=k- 1公里- 2u.知道每笔交易的波动率与利差之间的斜率系数介于1和2之间，我们预计标度参数k大于2.3。请注意，当k趋于完整时，斜率系数趋于1。

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2022-6-14 05:33:19

这些结果将在第5.3节中大量使用。在非零刻度大小的情况下，在本节中，我们研究引入刻度大小（用α表示）的影响，该刻度大小限制了LOB中的价格水平。与前一节中描述的相同的有效价格动态仍然适用，但累积LOB形状现在变成了一个分段常数函数。由于价格离散性，L（x）的不连续点将取决于有效价格P（t）相对于刻度网格的位置。3.1符号和假设为了处理L（x）的不连续点，后续将使用以下符号。让我们用▄P（t）表示大于或等于当前有效价格P（t）的最小容许价格水平，并用d表示其距离：=▄P（t）-P（t），其中∈ [0，α）。累积LOB形状函数L（x）现在由Ld（i）：Ld（i）定义=L（d+（i- 1） α）对于i>0L（d+iα），对于i<0。（4）指数i=1（分别为i=-1）对应于大于（或小于）P（t）或等于P（t）的最近价格水平。当Ld（i）>0（分别Ld（i）<0）时，它表示价格小于（分别大于）ithlimit的卖出（分别买入）被动订单总量。我们将ld（i）写入ithlimit下的数量：ld（i）=（ld（i）- Ld（i- 1）对于i>0Ld（i）- 对于i<0，Ld（i+1）。当ld（i）>0（分别ld（i）<0）时，它表示在ithlimit下的卖出（分别买入）限额订单的数量。回想一下ld（i）≥ 0（分别为ld（i）≤ 0）对于i>0（分别为i<0）。假设我们将假设1调整为刻度大小设置。我们再次假设，当他收到新信息时，知情交易者以贪婪的方式发送交易，从而在价格低于新效率价格的限制下耗尽所有可用流动性。这可以翻译如下。假设3。

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2022-6-14 05:33:22

当知情交易者发送市场指令时，对于某些i，QI等于Ld（i）∈ Z*. 我们有Qi=Ld（i）当且仅当B∈ [d+（i- 1） α，d+iα]。备注3.1。在实践中，一笔交易消耗的LOB限额很少超过一个。在我们的模型中，这种交易在实践中应该被解释为一系列交易，每个交易都消耗一个限额。3.2做市商预期收益的计算在上一节中，让我们计算在ithlimit提交的新的独立主被动订单的条件平均收益，知道Q>Ld（i），并且没有关于交易发起人的任何信息。该数量用Gd（i）表示，并以与第2.4节中G（x）类似的方式定义。Gd（i）的计算可与G（x）的计算相比较，而且实际上更容易，因为我们现在知道，在ithlimit的体积不能是极小的。这意味着，不同的订单可以按照其在队列中的位置以相同的价格提交，但其收益存在差异。例如，放置在队列顶部的订单具有最高的预期收益，而我们稍后将强制要求在队列后部提交的新订单的收益为空。我们在附录A.4中证明了以下命题。提案3.1。根据假设3，对于i∈ Z*, 如果执行了新的ithlevel内单位主订单，则其预期收益满足：对于i>0:Gd（i）=G（d+（i- 1） α）=d+（i- 1)α -rE[B1B>d+（i-1） α]rP[B>d+（i- 1)α] + (1 - r） P[Qu>Ld（i）]，对于i<0:Gd（i）=G（d+iα）=d+iα-rE[B1B<d+iα]rP[B<d+iα]+（1- r） P[Qu<Ld（i）]。数量Gd（i）可以理解为在ithlimit下新插入的有限小限制订单的预期收益，前提是该订单是针对某些市场订单执行的。对于非零刻度大小的情况，我们遵循与零刻度大小情况相同的推理。

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2022-6-14 05:33:25

的确，尽管我∈ Z*, 做市商计算^Ld（i），使Gd（i）=0在比例3.1中。等式Gd（i）=0等于：如果i>0:d+（i- 1） α=rE[B1B>d+（i-1） α]rP[B>d+（i- 1)α] + (1 - r） P[Qu>^Ld（i）]，如果i<0:d+iα=rE[B1B<d+iα]rP[B<d+iα]+（1- r） P[Qu<Ld（i）]。这相当于：^Ld（i）=（F-1κu1.-r-r1级-rE[最大值（Bd+（i-1)α, 1)]如果i>0F-1κu-r1级-r+r1-rE[最大值（Bd+iα，1）]如果我≤ 0.与无刻度大小的情况一样，这导致以下零利润假设。假设4。每一个我∈ Z+（分别为i∈ Z-), 做市商计算^Ld（i）。If^Ld（i）≤ 0（分别为1）≥ 0），做市商不向LOB增加流动性：Ld（i）=0。如果^Ld（i）>0（分别为^Ld（i）<0），由于竞争，累积订单会进行调整，以便Gd（i）=0。Wethen get then Ld（i）=^Ld（i）。零利润条件仅适用于在队列底部提交的新订单。其他订单的预期利润为非零，队列顶部的订单将获得最大收益。3.3买卖价差和业务线形成基于做市商的预期收益，见命题3.1和零利润条件（假设4），如前所述，我们推断买卖价差和业务线形状。我们在附录A.5中证明了以下定理。定理3.1。LOB形状函数满足ld（i）=0-kdl<i<kdr，其中kdland kdrare由以下等式确定的两个正整数：kdr=1+du- dαe，kdl=du+dαe，其中u由（1）定义，其中dxe表示大于x的最小整数（可以等于0）。此外，对于我≥ kdr:Ld（i）=F-1κu1.- r-r1级- rE[最大值（Bd+（i- 1)α, 1)]对于我来说≤ -kdl:Ld（i）=F-1κu(-r1级- r+r1- rE[最大值（Bd+iα，1）]）。对于给定的d，买卖价差φdα满足度：φdα=αdu- dαe+du+dαe.让我们考虑d均匀分布在[0，α]上的近似值（这是合理的，请参见[21，29，32]）。

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2022-6-14 05:33:28

在这种情况下，我们得到了附录A中证明的以下推论。推论3.1。平均分布φα满足：φα=2u+α。（5）当刻度大小消失时，我们在定理2.1中看到，扩散等于2u。否则，由于刻度大小应变，排列不一定等于2u。特别有趣的是，即使α≤ 2u，平衡分布不是2u。始终存在一个刻度大小的处理成本，导致价差值为2u+α。方程式（5）将用于第4节中的实际应用。为了便于说明，我们现在提供了一个限额订单簿的数字示例。如第2.6节所述，让我们考虑价格跳跃的绝对值遵循帕累托分布，形状和尺度参数分别等于3和0.005，r=2/3，α=0.01和d=0.0075。此外，我们假设qu遵循标准正态分布（这里，标准偏差的值1仅代表一个合适的单位）。在所考虑的参数下，利差等于2个刻度，我们得到了图1中给出的LOB。图1：LOB的数字图示。3.4每笔交易的差异如果勾号大小不为空，我们在此提供每笔交易的差异（之前在第2.6节中定义）。这个结果是以与定理2.2相似的方式得到的。定理3.2。每笔交易的方差σtrsaties：σtr=E[（Pτi+1- Pτi）]=E[B]（u+α/2）E[| B | 1 | B |>u+α/2]。（6）正如在零刻度大小的情况下（见第2.6节），我们认为价格跳跃的绝对值遵循帕累托分布，并将xequal取为半扩散u+α/2。

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mingdashike22

2022-6-14 05:33:31

每次交易的方差变为：σtr=k- 1公里- 2(u + α/2).我们将在第5.3.5节队列位置评估中根据此关系估计比例参数k。在我们的建模中引入刻度大小，使我们能够研究队列中限制订单位置的值。我们可以量化放置在队列顶部的订单相对于放置在队列底部的订单的优势。队列中头寸值的差异是交易算法的关键参数。这实际上导致了高频交易者和其他自动化市场参与者之间的技术专家竞赛，以在队列中建立早期（因此是有利的）位置，参见[2，27]。出于不同的原因，在队列前面放置限额订单非常有价值。它保证了早期执行和更少的等待时间。此外，它还降低了逆向选择风险。事实上，如【27】所述，当限额指令放在队列末尾时，很可能会针对大型交易执行。相反，排在（最佳）队列前面的限价订单将针对下一笔交易执行，与交易规模无关。大型交易通常由知情交易者进行，目的是消费所有限价订单，从而为他们创造利润。这样，在队列前面提交的限价单就不太可能进行重载选择。有鉴于此，为了优化其执行，从业者需要以相关方式下达限额指令。这需要根据限制指令在队列中的位置来估计其值。[27]中研究了大型tickassets在最佳限制下的队列的这一问题。

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2022-6-14 05:33:34

我们在这里补充了这项出色的工作，提供了适用于任何大型或小型tick资产队列的公式，并考虑了市场参与者之间的战略互动。假设4告诉我们，放置在非空队列底部的新的最小限额订单的预期利润等于零。然而，在我们的零利润条件下，如果做市商的订单提前下达，他们仍然可以盈利。ithlevel的queueposition值，用▄Gd（i）表示，可以在该模型中表示为放置在顶部的订单的预期利润与放置在ithqueue底部的新订单的预期利润之间的差异。计算这个量与推导命题3.1中的方程非常相似。不同之处在于，现在我们不再认为交易量完全耗尽了限额，而是认为交易量消耗了iThone之前的所有限额。这导致了以下定理。定理3.3。对于i≥ kdr，我们有▄Gd（i）=d+（i- 1)α -rE[B1B>d+（i-1)α]1 - rFψ（d+（i- 1)α) - (1 - r） FκuLd（i- 1).i的公式≤ -kdlis显然是推断出来的。我们将面对定理3.3中的公式，以获得第5.4节第一个实际应用中的数据：利差预测Gor模型（特别是方程（5））允许我们预测如果勾号大小被修改，利差的新值。在下文中，我们预测由于最近的欧洲监管MiFID II下的新勾号制度而导致的利差变化，并将我们的结果与有效传播值进行比较。我们希望我们的模型与流动性较高的资产相关，因为它是基于有竞争力的做市商的存在。因此，我们将自己限制在这一类。

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2022-6-14 05:33:37

请注意，文献中还有其他模型使从业者能够预测利差，值得注意的是，在文献[9]中，作者提出了一种针对大型tick资产的方法。例如，该方法在[18]中应用于日本数据，在[24]中比较了MiFID II前后的SpreadValue。我们的设备的优点是，它可以应用于小型和大型tick资产。4.1交易量问题和MiFID II监管近年来，交易平台竞相减少交易量，以提高价格和市场份额。这一大趋势对整体市场质量产生了不利影响：太小的价格波动会导致LOB不稳定和价格形成机制退化。然而，根据市场参与者的观点，过大的涨价阻碍了价格的自由波动。因此，找到合适的刻度值对于金融市场的流动性至关重要。为了解决这个问题，一些监管机构尝试使用试点项目，例如日本和美国的情况，参见示例【18】。这是一种昂贵的做法，并不真正依赖于理论基础。我们相信，使用本研究中提出的量化结果可以产生更有效的方法。在欧洲，MiFID II（金融工具市场指令II）条例引入了一个统一的勾号制度（第49条），该制度基于两项表：价格和流动性（以每天的交易数量表示）。请注意，监管机构的目标之一是获得1.5至2个刻度之间的流动资产利差，请参见【3】。4.2数据我们的数据由法国监管机构Autorit’e des March’s金融家提供。

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2022-6-14 05:33:40

我们研究了MiFID II实施前后六个月内的CAC 40股票：2017年10月至2017年12月（变动前）和2018年1月至2018年3月（变动后）。我们考虑在实施MiFID II法规后，其刻度大小发生变化的资产。CAC 40指数还有14只股票。我们注意到，对于所有这些资产，刻度大小都增加了。对于每项资产，我们计算两个利差：第一个利差是MiFID II之前三个月LOB中发生的所有事件（交易、插入新订单、取消或修改现有订单）的平均值，第二个利差是MiFID II之前三个月的平均值。我们排除了三种因价格变化而在日内波动的资产。股票ticksizebeforeif。IITicksizeunderMiF。IIAveragespreadbeforeMiF。II（欧元）MIF之前的平均分摊额。II（刻度）MIF下的平均分布。II（欧元）MIF下的平均分摊额。II（滴答声）基于我们的ModelRelativeErrorsFan 0.01 0.02 0.019 1.892 0.031 1.556 0.029 7%Accor 0.005 0.01 0.011 2.266 0.016 1.586 0.016 3%Bouygues 0.005 0.01 0.011 2.277 0.017 1.734 0.016 5%Kering 0.05 0.1 0.090 1.797 0.141 1.407 0.140 1%Schneider Electric 0.01 0.02 0.016 1.579 0.025 1.235 0.026 4%威立雅环境0.005 0.01 0.007 1.440 0.012 1.189 0.012 3%芬奇0.01 0.02 0.0171.668 0.026 1.280 0.027 4%Vivendi 0.005 0.01 0.007 1.408 0.012 1.162 0.012 4%Publicis 0.01 0.02 0.019 1.904 0.030 1.520 0.029 4%Legrand 0.02 0.016 1.643 0.029 1.471 0.026 10%Valeo 0.01 0.02 0.018 1.845 0.031 1 1.568 0.028 10%TechnipFMC 0.005 0.01 0.010 2.056 0.017 1.677 0.015 10%表1：预测MiFID II下的CAC 40资产利差。4.3 MiFID II下的利差预测和最佳利差我们现在根据MiFID II前的数据，预测由于新的利差制度，我们14项资产的新利差。

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2022-6-14 05:33:43

我们使用两种不同的预测因子。首先，我们认为利差（ineuros）保持不变。其次，我们根据公式（5）计算价差的新值，其中u是在2017年10月至2017年12月期间估计的。我们将预测的准确性与表1中的有效价差值进行比较。基于我们模型的预测非常准确：平均相对误差为5%，而其他预测值的相对误差为43%。还要注意的是，根据我们的方法得出的误差总是小于初始刻度大小，如果仅假设欧元利差是恒定的，则几乎不会出现这种情况。5秒实际应用：队列位置评估正如我们在第3.5节中看到的，我们的方法使我们能够根据定理3.3定量测量队列位置的值。为了使用这个结果，我们需要知道B的分布。为了估计它，我们使用第3.4节的帕累托参数化。我们将根据方程式（6）估计参数k，并使用方程式（1）计算r。然后将推导队列位置的值。5.1数据为了补充[27]的结果，我们在本节中考虑了CAC 40指数所有小股票的排队位置值（即平均价差大于2个股票）。我们在MiFID II下研究该数量。这些资产在三个月内进行调查：2018年1月至2018年3月。这给我们留下了五只股票。

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大多数88

2022-6-14 05:33:46

我们每天计算每个股票在LOB中发生的所有事件的平均价差和每笔交易的方差。5.2帕累托参数估计方法在我们的参数化下，每笔交易的方差由σtr=（k）给出- 1）（u+α/2）k- 我们通过最小化每种股票的二次误差来估计k:Xjσtr- （fσtr）j,其中σtris是在我们的模型中获得的每笔交易的方差，（fσtr）jis是在第j天的数据上测量的每笔交易的方差（基于5分钟价格抽样除以交易数的实现方差）。我们在2.001和20之间搜索最优k。请注意，对于每个股票，考虑的利差等于研究期间的平均实现利差。5.3队列位置评估我们首先在表2中报告了根据tod的最佳ask限制下的队列位置值。我们认为d可以等于0.25α、0.5α或0.75α。股票价差（欧元）价差（ticks）k r PriorityValue for d=0.25α（欧元）PriorityValue for d=0.25α（价差）PriorityValue for d=0.5α（欧元）PriorityValue for d=0.5α（价差）PriorityValue for d=0.75α（欧元）PriorityValue for d=0.75α（价差）雷诺0.025 2.476 2.866 65%0.010 41%0.011 45%0.012 50%Lafarge Holcim 0.026 2.438 3.316 70%0.010 39%0.011 42%0.012 48%Airbus 0.020 2.040 3.478 71%0.01153%0.012 61%0.014 68%Saint Gobain 0.010 2.035 4.776 79%0.006 55%0.007 65%0.008 76%Soci'et'e Generale 0.010 2.012 9.910 90%0.006 60%0.007 73%0.009 86%表2：根据d，在最佳ask条件下的队列位置值。我们发现队列位置值与投标报价具有相同的数量级。这与[27]中的发现一致。此外，我们还发现它随着时间的推移而增加。

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mingdashike22

2022-6-14 05:33:50

此外，请注意，如第2.6节所述，k值大于2.3。现在，我们在表3中计算了当d=0.5α时，四个最佳极限下的队列位置值。股票价差（欧元）价差（刻度）k r Firstlimitpriorityvalue（欧元）Firstlimitpriorityvalue（价差）Secondlimitpriorityvalue（欧元）Secondlimitpriorityvalue（价差）Thirdlimitpriorityvalue（欧元）Thirdlimitpriorityvalue（价差）Fourthlimitpriorityvalue（欧元）Fourthlimitpriorityvalue（价差）雷诺0.025 2.476 2.866 65%-0.007-30%0.011 45%0.013 54%0.013 51%Lafarge Holcim 0.026 2.438 3.316 70%-0.008-31%0.011 42%0.014 55%0.013 52%Airbus 0.020 2.040 3.478 71%-0.005-25%0.012 61%0.015 72%0.014 67%Saint Gobain 0.010 2.035 4.776 79%-0.003-25%0.007 65%0.009 84%0.008 78%Soci\'e Generale 0.010 2.012 9.910 90%-0.003-25%0.007 73%0.012 117%0.013 127%Table 3：在d=0.5α的四个最佳限值下的队列位置值。请注意，第一个限制的队列位置值不一定对应于最佳任务。例如，如果第一个限制的优先级值为负，第二个限制的优先级值为正，则最好的ask是第二个限制。我们观察到，队列位置的值随着限制的等级而增加，达到某种程度后会减少。结论在本文中，我们为LOB引入了一个基于agent的模型。受格罗斯滕（Glosten）和米尔格罗姆（Milgrom）[11]的启发，我们对做市商使用零利润条件，这使我们能够得出噪声交易者事件比例、买卖价差、有效价格动态和平衡LOB状态之间的联系。然后讨论了引入ticksize的影响。我们特别指出，受限的买卖价差等于tick值和对应于尾迹大小情况的内在买卖价差之和。

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