渐近Glosten-Milgrom平衡

2022-5-5 03:13:54

渐近GLOSTEN-MILGROM平衡李成和郝兴义摘要。本文研究的是Milanargrom的离散资产价值分布模型。与内部人模型的现有结果相比，该模型中的内部人选择意象策略（如果存在）不属于反馈类型。因此，提出了一个弱平衡公式。在这个较弱的公式中，不显眼的交易定理仍然成立，但内幕策略的最优性没有得到实施。然而，当订单规模较小时，内部人员可以采用一些反馈策略，其相关预期利润接近最优值。此外，当订单规模减小时，这种差异收敛到零。当订单量为零时，内部人的策略收敛到Kyle最优策略，从而证明了这种弱平衡的存在性。1.导言在市场微观结构理论中，由Kyle[16]和Glosten及Milgrom[13]提出的两个模型特别有用。在Kyle模型中，买卖订单由amarket m aker进行批量处理，他在每个拍卖日设定一个唯一的价格。在Glosten-Milgrom模型中，买卖订单分别由市场制造商执行，因此买卖价格自然出现。在这两种模型中，知情代理人（内幕人士）利用其关于资产基本价值的私人信息进行交易，以最大化其预期收益，而另一组噪音交易者则独立于基金基本价值进行交易。这些噪声交易者的累积需求由凯尔模型中的布朗运动建模，cf。

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2022-5-5 03:13:58

[2] 在Glosten-Milgrom模型中，通过两个独立的泊松过程的差异，其跳跃大小按订单大小进行缩放。当由随机变量v描述的基本值具有任意的连续分布时，Back[2]在内幕人士和市场决策者之间建立了一个均衡。此外，均衡中的累积需求过程与过滤扩大理论完美地联系在一起，参见[18]。然而，对于GlostenMilgrom模型中的平衡知之甚少。Back和Baruch[3]考虑了一个伯努利分布的v。在这种情况下，内幕人士的临时策略在[10]中构造。正如C ho[11]所说，v的一般分布平衡“将是一个需要考虑的巨大挑战”。在本文中，我们考虑了Glosten-Milgrom模型，其风险资产价值v具有离散分布：（1.1）P（~v=vn）=pn，n=1，··，n，其中n∈ N∪{∞}, （vn）n=1，··，是一个递增序列和d pn∈ （0,1）pnn=1pn=1。这推广了[3]w中的设置，其中考虑了N=2，即∧v具有伯努利分布。关键词和短语。Glosten-Milgrom模型，Kyle模型，不存在，占用时间，弱收敛。作者感谢Lu ciano Campi、Umut C,etin以及匿名副主编和两位推荐人的宝贵意见，这些意见有助于我们改进本文。[3]中的Glosten-Milgrom模型引入了利益最大化的知情代理。与[2]类似，可以研究d离散分布的模型。2.内部交易的渐进GLOSTEN-MILGROM均衡模型，通常可以观察到不明显的交易定理，参见[16]，[2]，[4]，[3]，[8]和[9]Kyle类型的均衡，以及[10]f关于具有伯努利分布基本值的GLOSTEN-MILGROM均衡。

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mingdashike22

2022-5-5 03:14:01

不显著交易理论指出，当内幕交易处于最优均衡状态时，内幕交易和噪声交易的累积净订单与噪声交易的净订单具有相同的分布，即内幕交易能够隐藏噪声交易中的交易。因此，这允许做市商仅考虑当前累积噪声交易来设定交易价格。此外，在上述所有研究中，内部人的最优策略是反馈形式的，这只取决于当前的累积总阶数。该函数形式与内部优化问题的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的优化器相关联。然而，在Glosten-Milgrom模型中，N in（1.1）至少为3时，情况却截然不同。下面的定理2.6表明，鉴于前述的定价机制，内部人的最优策略（如果存在）不符合HJB方程的优化。这一结果源于Glosten-Milgrom模型中买卖价格之间的差异，这与凯尔模型中的独特价格形成了对比。因此，为了在这些Glosten-Milgrom模型中建立均衡，我们在定义2.11中提出了一个弱的均衡公式，其动机是随着订单规模减少和交易强度增加到一致性，Glosten-Milgrom均衡收敛到Kyle均衡，参见[3]和[10]。在这个较弱的公式中，内幕人士通过交易强制执行不显眼的交易定理，但内幕人士的策略可能不是最优的。然而，供应商可以采用一些反馈策略，以便在较小的订单规模下，对其预期利润（与最佳值相比）的损失较小。此外，当有序度消失时，这个间隙变为零。

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何人来此

2022-5-5 03:14:04

我们称这种弱形式为渐近Glosten-Milgrom平衡，并在定理2.12中证明了它的存在性。在渐近Glosten-Milgrom均衡中，内部人的策略是在第5节中明确构造的，使用了与[10]中类似的构造。利用这一策略，内部人向中间水平的区间交易，在终端日期将总需求过程推入该区间。上述关于内幕交易的研究中广泛观察到了这种过桥行为。另一方面，参与者的策略是反馈形式的。因此，使用者只能使用当前的累计总需求来确定其贸易强度。此外，随着订单规模的减小，次优策略家族收敛到Kyle模型中的最优策略，参见定理2.13。在这种渐近Glosten-Milgrom均衡中，内部人损失了一些预期收益。这种收益损失的表达在数学上非常有趣：它是两个随机积分关于（标度）泊松占据时间的差异。随着阶数的消失，两个积分都会收敛为关于布朗局部时间的相同随机积分，因此它们的差异消失。本文的组织结构如下。主要结果见第2节。第3节证明了Sider的最优策略和HJB方程的优化器之间的不匹配。然后在第4节和第5节中描述并构建了一系列次优策略。最后，在第6节中建立了渐近平衡的存在性，并在附录中验证了一个技术结果。2.主要结果2。1.模式l.我们考虑一个风险资产和一个风险资产的连续时间市场。无风险利率标准化为0，即无风险资产被视为数字。

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何人来此

2022-5-5 03:14:07

Weasoptotic GLOSTEN-MILGROM均衡3假设风险资产的基本价值v具有（1.1）类型的离散分布。这一基本价值将在一个特定的时间范围内（比如1）向所有市场参与者披露，届时市场将终止。市场的微观结构和市场参与者之间的相互作用与我们在下文回顾的[3]类似。他们有三种类型的经纪人：不知情/噪音交易者、知情交易者和做市商，他们都是风险中性的。这些代理人对未来市场的随机性有着相同的看法，但他们拥有不同的信息。因此，概率sp ace(Ohm, P）不同的过滤过程包括以下过程：o噪音交易者出于流动性或套期保值的原因进行交易，这与基本价值v无关。累积需求Z通过两个独立的跳跃过程zb和zs的差异来描述，这两个过程分别是累积买入和卖出订单。因此Z=ZB- Z并且它独立于v。噪音交易者每次交易时只提交固定大小的δ订单。与[3]一样，ZB/δ和ZS/δ被假定为具有恒定强度β的独立泊松过程。让（FZt）t∈[0,1]是由Z产生并满足通常条件的最小过滤。然后（FZt）t∈[0,1]描述了噪音交易者的信息结构内幕人士知道时间0时的基本价值v，并观察时间0到1之间风险资产的市场价格。客户还提交了每个交易日的订单，订单大小为xδ，并试图最大化其预期利润。客户的累计需求用x:=XB表示-X其中XB和X分别为累计买卖订单。当内幕人士观察到风险资产的市场价格时，她可以反驳噪音订单的动态，参见。

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mingdashike22

2022-5-5 03:14:11

定义2.1后的讨论。因此，对于任何t，内部fit的信息结构包括fzt和σ（~v）∈ [0, 1].o 竞争性做市商只观察知情交易和噪声交易的集合，因此他无法区分知情交易和噪声交易。假设Y:=X+Z，做市商的信息为（FYt）t∈[0,1]由Y生成并满足通常条件。由于做市商是风险中性的，竞争将迫使他将市场价格设定为E[~v|FYt]，t∈ [0, 1].为了确定市场的均衡，让我们首先描述做市商和内部人可以采取的行动。做市商寻求一种马尔可夫定价机制，在该机制中，时间t的风险资产价格是使用累计订单Yt和定价ru le p.definition 2.1设定的。函数p：δZ×[0,1]→ R是定价规则ifi）y 7→ p（y，t）严格地随着t的增加而增加∈ [0,1]；ii）石灰→-∞p（y，t）=范德利米→∞p（y，t）=每t的Vn∈ [0, 1];iii）t 7→ p（y，t）对于每个y都是连续的∈ δZ.y7的单调性→ i）中的p（y，t）是自然的。这意味着需求越高，市场价格就越高。此外，由于单调性，内幕人士通过反转价格过程和从totalorders中执行其指令的subtr，充分观察到未通知的订单Z。第ii）项意味着定价规则的范围足够宽，可以对基本价值的所有可能性进行定价。内幕交易旨在最大化其预期收益。她的可接受策略定义如下：定义2.2。

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2022-5-5 03:14:14

策略（XB，XS；FI）是可容许的，如果4渐近GLOSTEN-MILGROM-equiremiumi）FI是满足一般条件的过滤，由σ（~v）、FZ和H生成，其中（Ht）t∈[0,1]是一种独立于v和FZ的过滤；ii）XB=XS=0时，XB和XS是FI适应的可积增长点过程，具有jum p sizeδ；iii）xB和xS的（FI，P）-双重可预测预测预测相对于时间是绝对连续的，因此xB和xSFI-强度分别为θ带θS；iv）EhR | p（Yt，t）| dXit- Δθitdt|i<∞, 因为我∈ {B，S}和市场庄家制定的定价规则。这里| Xi-R·△θidt |是补偿点过程的变化。这组可接受的策略类似于[10，定义2.2]。第i）项假设调查者被允许拥有额外的信息H，独立于/v和FZ，她使用这些信息来生成她的混合策略。第iv）项m应用δE[R|p（Yt，t）|θitdt]<∞, 因此，内幕人士的预期利益是有限的。第ii）项不排除与n名OISEtrader同时进行的内幕交易。当内部人在统一指令到达的同时提交指令，但方向相反时，假设做市商仅观察到净需求，则做市商不会注意到这对交易。这对相反的指令将在不需要做市商的情况下执行。因此，做市商只有在需要时才知道交易。从今往后，当内幕人士同时与不知情的交易员进行交易，但方向相反时，我们称内幕人士取消了噪音交易。另一方面，第ii）项也允许内幕人士同时与同一方向的噪音交易者进行交易。在这种情况下，我们称之为内幕人士追加噪音订单。

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能者818

2022-5-5 03:14:17

然而，即使平衡定义的意义很弱，买方也不会提交此类平衡订单，参见下面的备注4.6。允许内幕人士与噪声传播者同时交易的假设与凯尔模型的假设不同，后者的策略是可预测的。insider的附加自由不是下面定理2.6的来源，定理2.6指出内部HJB方程的优化器不符合最优策略；见下文备注2.8。如前一段所述，内幕人士的累计购买订单可能由三部分组成：XB，与ZB不同时间的限制，XB，同时与ZB的一些订单相同的Tarrives，以及XB，扫描ZS的一些订单。销售订单的定义与此类似。因此，XB=XB，B+XB，T+XB，Sand XS=XS，S+XS，T+XS，B。如前所述，内幕人士的目标是最大限度地提高其预期收益。给定可接受的交易策略X=XB- XS内幕人士在时间1的相关利益由ZXT给出-dp（Yt，t）+（v）- p（Y，1））X.最后一项出现是由于市场价格和清算价值之间的潜在差异。由于X为有限变量，且X=0，应用程序通过部件集成重写了专业asZ（~v- p（Yt，t））dXBt-Z（~v）- p（Yt，t））dXSt=Z（~v- p（Yt）-+ δ、 t）dXB，Bt+Z（~v- p（Yt）-+ 2δ，t）dXB，t+Z（~v- p（Yt）-, t））dXB，圣-Z（~v）- p（Yt）-- δ、 t）圣路易斯-Z（~v）- p（Yt）-- 2δ，t）dXS，t-Z（~v）- p（Yt）-, t））dXS，Bt，即E[XB]和E[XS]都是有限的。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡5，其中当XB，B（resp.XS，S）ju-mps为δ时Y增加（或减少）δ，当XB，T（resp.XS，T）ju-mps与ZB（resp.ZS）同时跳时Y增加（或减少）2δ，当XS，B（resp.XB，S）与ZB（resp.ZS）同时跳时Y不变。定义（y，t）：=p（y+δ，t）和b（y，t）：=p（y- δ、 t），可分别视为要价和出价。

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2022-5-5 03:14:20

然后，内部条件对其信息的预期收益可以用Z（~v）- a（Yt）-, t） dXB，Bt+Z（~v）- a（Yt）-+ δ、 t）dXB，Tt+Z（~v- p（Yt）-, t））dXB，圣-Z（~v）- b（Yt）-, t））dXS，圣-Z（~v）- b（Yt）-- δ、 t）dXS，Tt-Z（~v）- p（Yt）-, t））英国电信~v.（2.1）在描述了市场结构之后，做市商和内部人士之间的平衡定义见[3]：定义2.3。Glosten-M-ilgrom均衡是一个qu-ad-ruplet（p，XB，XS，FI），使得i）给定（XB，XS；FI），p是一个理性的定价规则，即p（Yt，t）=e[~v | FYt]表示t∈ [0, 1];ii）给定p，（XB，XS；FI）是一个可容许的最大化策略（2.1）。当N=2时，[10]建立了Glosten-Milgrom平衡的存在。在平衡状态下，定价规则是（2.2）p（y，t）=EPy[p（Z1-t），（y，t）∈ δZ×[0,1]。这里Py是一个概率度量，其中Z是两个独立泊松过程的差，Py（Z=y）=1。P是一个非减量函数，使得P（Z）的分布与v相同。此外，跳跃过程Xi，j，i给出了内部人的最优策略∈{B，S}和j∈ {B，T，S}，强度δθi，j（Yt-, t），t∈ [0, 1]. 这些意图是状态变量Y的确定函数，因此该控制策略是反馈控制，它对应于insider的HJ B方程的优化器。然而，当N≥ 3.下面的定理2.6表明，在给定定价规则（2.2）的情况下，最优策略与HJBequation中的优化器不对应，因为有些值为v。这个结果令人惊讶，因为它与Kyle和Glosten-Milgrom均衡中的现有结果相反；参见[16]、[2]、[4]、[3]、[8]、[9]和[10]。这种不匹配反映在Glosten-Milgrom模型中需求过程的离散状态空间中。离散空间产生不同的买卖价格，这与Kylemodel中的独特价格形成对比。

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2022-5-5 03:14:23

更多讨论请参见下面的备注2.7。2.2. 不存在反馈最优控制。为了说明上述结果，我们引入了几个额外的符号。对于每个δ>0，让Ohmδ=D（[0,1]，δZ）是[0,1]上δZ值c`adl`agfunctions与坐标过程Zδ，（FZ，δt）t的空间∈[0,1]是由Zδ生成的最小右连续完全过滤，Pδ是概率测度，在此概率测度下，Zδ是从0开始的两个独立泊松过程的差异，具有相同的跳跃大小δ和强度βδ。我们用Pδ表示，Zδ=y a.s.的概率测度。。从今以后，超级脚本δ表示Glosten Milgrom模型中的交易规模。对于基本值vδ，让我们首先考虑以下分布族。6渐近GLOSTEN-MILGROM平衡质量计算2.4。给定ty-pe（1.1）的vδ，存在δZ∪ {-∞, ∞}-值严格递增序列（aδn）n=1，··，n+1，aδ=-∞, aδN+1=∞, 和∪Nn=1[aδn，aδn+1）=δZ∪ {-∞}, 使得（2.3）P（~vδ=vn）=PδZδ∈ [aδn，aδn+1）, n=1，··，n.对于离散分布（1.1）的任何v，下面的引理6.1表明存在一个序列（vδ）δ>0，每个满足假设2.4，并收敛到v定律中的δ↓ 因此，任何类型（1.1）的v都可以用满足假设2.4的vδ来表示。假设vδ满足假设2.4，定义（2.4）hδn（y，t）：=Pδ，yZδ1-T∈ [aδn，aδn+1）, Y∈ δZ，t∈ [0,1]，n∈ {1，···，N}，和（2.5）pδ（y，t）：=NXn=1vnhδN（y，t）=Eδ，yhP（Zδ1-t） i，其中在Pδ下取期望值，yand（2.6）P（y）=vn，当y∈ [aδn，aδn+1）。然后（2.3）意味着vδ和P（Zδ）具有相同的分布。如果Pδ作为定价规则，则其形式与（2.2）中的形式相同。最后，我们对Pδ施加一个技术条件。当n不确定时，这一假设显然得到满足。假设2.5。

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2022-5-5 03:14:26

存在正常数C和n，使得| pδ（y，t）|≤ C（1+| y | n）表示任何（y，t）∈ δZ×[0,1]。考虑到定价规则（2.5），让我们首先研究内部人的优化问题，并通过启发式论证推导出关联的HJB方程。在本文中，省略了上标δ以简化符号。定义2.2 iii）意味着Xi，j- δR·θi，jrdr定义了i的FI鞅∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}。另一方面，定义2.2 iv）和[7，第一章，T6]的结合意味着R·（~v-p（年）-+ δ、 r））（dXB，Br-ΔθB，Brdr）=R·（~v- p（年，r））（dXB，Br-ΔθB，Brdr）是FI鞅。适用于其他术语的类似论点允许我们将（2.1）改写为δEhZ（~v）- p（年）-+ δ、 r）θB，Brdr+Z（~v）- p（年）-+ 2δ，r）θB，Trdr+Z（~v- p（年）-, r））θB，Srdr-Z（~v）- p（年）-- δ、 r）θS，Srdr-Z（~v）- p（年）-- 2δ，r）θS，Trdr-Z（~v）- p（年）-, r））θS，Brdr~vi.这促使我们为内部人士定义以下价值函数：Vδ（~V，y，t）：=supθi，j；我∈{B，S}，j∈{B，T，S}δEhZt（~v- p（年）-+ δ、 r）θB，Brdr+Zt（~v）- p（年）-+ 2δ，r）θB，Trdr+Zt（~v- p（年）-, r））θB，Srdr-Zt（~v）- p（年）-- δ、 r）θS，Srdr-Zt（~v）- p（年）--2δ，r）θS，Trdr-Zt（~v）- p（年）-, r））θS，Brdr当N=∞, N+1=∞.~v={v，··，vN}，y的渐近GLOSTEN-MILGROM平衡7∈ δZ，t∈ [0，1）。Vδ的终端值定义为Vδ（~V，y，1）=limt→1Vδ（~v，y，t）。下面的引理3.2和命题4.4表明，优化问题（2.7）定义良好且非平凡，即0<Vδ<∞, 对于每个δ>0。现在，让我们通过一个启发式参数推导出Vδ满足的HJB方程。因为Y的正（负）部分是YB:=XB，B+XB，T+ZB- XS，B（分别为YS:=XS，S+XS，T+ZS- XB，S）。亨西- δR·（β）- θS，Br- θB，Tr）dr- δR·θB，Brdr- 2δR·θB，Trdr（分别为。

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2022-5-5 03:14:31

Y- δR·（β）- θB，Sr- θS，Tr）dr-δR·θS，Srdr- 2δRtθS，Trdr）是FI鞅。然后将It^o公式应用于Vδ（~V，Yr，r），并使用标准的动态规划参数，得到Vδ的以下形式HJB方程：（2.8）- Vt（vn，y，t）- H（vn，y，t，V）=0，n∈ {1，··，N}，（y，t）∈ δZ×[0，1），其中汉密尔顿H定义为（H中省略了v参数以简化符号）H（vn，y，t，v）：=（v（y+δ，t）- 2V（y，t）+V（y）- δ、 t）β+supθB，B≥0V（y+δ，t）- V（y，t）+（vn- p（y+δ，t））δθB，B+supθB，T≥0V（y+2δ，t）- V（y+δ，t）+（vn- p（y+2δ，t））δθB，T+supθB，S≥0V（y，t）-V（y）- δ、 t）+（vn- p（y，t））δθB，S+supθS，S≥0V（y）- δ、（t）- V（y，t）- （越南）- p（y）- δ、 t）δS，S+θ≥0V（y）- 2δ，t）- V（y）- δ、（t）- （越南）- p（y）- 2δ，t）δθS，T+supθS，B≥0V（y，t）- V（y+δ，t）- （越南）- p（y，t））δθS，B.（2.9）优化器θi，j，i∈ {B，S}和j∈ （2.9）中的{B，T，S}是vn，y和T的确定函数，因此它们是反馈形式。预计它们是（2.7）的最佳控制强度。在Ky-le模型和Glosten-Milgrom模型（n=2）中，比较[16]、[2]、[4]、[3]和[10]的许多现有结果时，情况确实如此。然而，当N≥ 3在Glosten-Milgrom模型中，以下定理表明，当v为neithervn或vN时，（2.9）中的任何优化器都不是最佳强度。定理2.6。让N≥ 3和vδ满足假设2.4。设（2.5）中的pδ为定价规则，并满足假设2.5。然后任何优化器θi，j（y，t），i∈ {B，S}，j∈ {B，T，S}和（y，T）∈δZ×[0，1），因为（2.9）不是（2.7）的最佳策略，当vδ=vnfor1<n<n时。备注2.7。当＠vδ=v（resp.vN）时，内幕人士知道风险资产总是定价过高（或定价过低）。因此，她总是在均衡状态下出售（或购买）。这种情况与[10]完全相同。

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2022-5-5 03:14:34

当vδ既不是最小值，也不是最大值时，让我们简要描述一下定理的证明。由于容许控制集是无界的，与（2.7）相关的HJB方程通常允许一个边界层，即limt→即使（2.1）中没有端子特性，1Vδ（~v，y，t）也不等于零。凯尔模型中也出现了这种现象，见[2]。正如定义2.2之后所讨论的，XB，Sand XS，T（分别为XS，Band XB，T）的一组跳跃与ZS（分别为ZB）的一些跳跃到达同一时间，那么我们必然有θB，S+θS，T≤ β（分别为θS，B+θB，T≤ β） .8渐近GLOSTEN-MILGROM平衡2。6在这里。为了确保（2.8）处于良好的姿势，H必须是所有人的固定值（y，t）∈ δZ×[0，1）。因此（2.10）（p（y，t）-vn）δ≤ V（y+δ，t）- V（y，t）≤ （p（y+δ，t）- vn）δ，对于所有（y，t）∈ δZ×[0，1），其中第二个不等式来自（2.9）中的前三个最大化，第一个不等式来自后三个。由于V>0，θi，j≡ 0，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，in（2.9）不符合最优策略。因此，必须存在（y，t），使得（2.10）中的e不平等，比如第一个，是一个平等。然而，在这种情况下，离散状态空间迫使第一个不等式成为所有等式（y，t）∈ δZ×[0，1]，这意味着（2.10）中的第二个不等式对所有（y，t）都是严格的，因为p（y+δ，t）>p（y，t）。因此（2.9）中前三个最大化中的运算限制器必须为相同的零，这意味着相关的点过程X没有正跳变s。另一方面，动态规划原理和（2.8）在t=1力y=Z+X时的边界层∈ [aδn+δ，aδn+1]a.s。。当X没有正跳跃时，这永远不会发生。因此，定理2.6是离散状态空间和HJB方程边界层的联合作用。备注2.8。

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2022-5-5 03:14:37

当禁止内幕人士同时与噪声交易者交易时，定理2.6的陈述仍然有效；i、例如，XB，T，XB，S，XS，T，XS，全部为零。在这种情况下，第二次、第三次、第五次和第六次最大化没有出现在（2.9）中。然而，其中的第一次和第四次最大化仍然导致（2.10）。因此，与前一句话相同的论点仍然适用。备注2.9。没有最优反馈控制的控制问题的例子存在于最优控制理论的文献中，参见[21，第3章，246页]和[17，例子1.1]。在这些情况下，采用放松控制的概念来证明放松最优控制的存在性，参见[17]及其参考文献。对于内部人的优化问题，代替{θ：δZ×[0,1]→ {θ}→ M（R+）}，其中M（R+）是R+中所有概率测度的集合。研究w（2.7）在这个放松的集合中是否承认最优控制是有趣的。我们把这个话题留给未来的研究。2.3. 渐近Glosten-Milgrom平衡。当风险资产v具有一般离散d分布（1.1）和N时，建立Glosten-Milgromtype均衡≥ 3，我们在下面介绍一种平衡形式。为了推动这一定义，我们回顾了Glosten-Milgrom均衡的收敛性，即订单规模减小到零，噪声交易强度增加到完整性，参见[3，定理3]和[10，定理5.3]：命题2.10。对于任何伯努利分布v（即。

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2022-5-5 03:14:40

N=2在（1.1）中，存在一系列伯努利分布的随机变量vδ，使得ivδ收敛为vδ↓ 0;ii）对于每个δ>0，以vδ作为风险资产基本价值的模型允许一个全局均衡（pδ，XB，δ，XS，δ，FI，δ）；iii）当泊松过程的强度由βδ给出时：=（2δ）-1，XB，δ-XS，δL-→ 十、 asδ↓ 0，其中Xis是凯尔模型中的最优策略，l-→ 表示随机过程的弱收敛性。这一结果促使我们定义以下弱形式的格洛斯滕-米尔格罗姆平衡：关于随机过程弱收敛的定义，请参考[5]或[14]。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡定义2.11。对于具有离散分布（1.1）的任何v，渐近Glosten-Milgrom平衡是一个序列（~vδ，pδ，XB，δ，XS，δ，FI，δ）δ>0，使得i）~vδ收敛到v定律中的δ↓ 0;ii）对于每个δ>0，给定（~vδ，XB，δ，XS，δ，FI，δ）并设置Yδ：=Zδ+XB，δ- XS，δ，pδ是一个理性定价规则，即pδ（Yδt，t）=e[~vδ| FYδt]∈ [0, 1];iii）给定（~vδ，pδ）和βδ=（2δ）-1.假设Jδ（XB，XS）是与允许的s策略（XB，XS）相关联的内部人的预期收益。然后SUP（XB，XS）可容许jδ（XB，XS）- Jδ（XB，δ，XS，δ）→ 0，作为δ↓ 0.在上述定义中，定价机制的合理性不会受到影响。然而，内部人策略的最优性并未得到实施。相反，第iii）项要求，当订单规模较小时，与最优值相比，采用策略（XB，δ，XS，δ；Fδ，I）的客户预期利润损失较小。此外，当订单大小消失时，这种差异收敛到零。因此，如果内幕人士愿意放弃少量的预期利润，则可以采用策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ）来建立次优均衡。

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2022-5-5 03:14:44

下面的结果证明了上述弱意义下平衡的存在性：定理2.12。假设N<∞. 然后，存在渐近Glosten平衡。在这个渐近均衡中，定价规则由（2.5）给出。当订单大小为δ时，供应商采用策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ），FI，δ强度δβδNXn=1I{vδ=vn}”hδn（Yδt-+ δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#++ΔβδNXn=1I{vδ=vn}“hδn（Yδt-- δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#-,ΔβδNXn=1I{vδ=vn}”hδn（Yδt--δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#++ΔβδNXn=1I{vδ=vn}“hδn（Yδt-+ δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#-,分别为（2.11）。特别是，当基本面价值为vn时，内部人向中间水平mδn:=（aδn+aδn+1）交易- δ）区间[aδn，aδn+1]的/2：当总需求小于mδn时，内幕人士仅通过补充噪音购买订单或取消一些噪音销售订单的方式下订单，当总需求大于mδn时，内幕人士的行为正好相反。更具体地说，下面的引理5.2表明y 7→ 当y<mδ时，hδn（y，t）严格增大，当y>mδn时，hδn（y，t）严格减小-< mδn，（2.11）意味着：XB，B，δ有强度2δhδn（Yδt）-+δ、 t）hδn（Yδt-,（t）-1., XB，S，δ的强度为2δ1.-hδn（Yδt）--δ、 t）hδn（Yδt-,（t）, 同时，δ和强度都是。当Yδr-> mδn，强度可以类似地读出fr om（2.11）。尽管定理2.6在禁止内幕人士与噪声交易者同时交易时仍然有效，但上述策略取决于取消订单的可能性。然而，在这种策略中，内幕人士从不追加噪音订单，即XB，T=XS，T≡ 0.这允许做市商采用合理的定价机制，以满足定义2.11 ii），参见下面的备注4.6。强度为（2.11）的过程（XB，δ，XS，δ；FI，δ）将在第5节中明确构造。

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2022-5-5 03:14:47

内幕人士利用[0,1]上均匀分布的独立随机变量序列来构造她的混合策略。这一随机变量序列也是Zδ和vδ的独立渐近GLOSTEN-MILGROM平衡。这种结构是[10]的自然延伸。在这种结构中，每当发出取消命令时，内部人员使用一个统一的d分布随机变量来决定是否提交相反的取消命令。因此，该策略适用于InSider的过滤，而不是像Ky-le模型那样可预测。这种取消策略被称为输入调节，在排队论文献中得到了广泛的研究，参见[7，第七章，第3节]。当基本价值为VN且内部人士遵循上述策略时，时间1的总需求将在间隔内结束[aδn，aδn+1）。在此之前，内幕人士的私人信息被充分地（尽管是逐渐地）披露给公众，这样当基础价值被公布时，交易价格不会上涨。另一方面，总需求在其自身的过滤中，与噪音交易者的需求具有相同的分布，也就是说，内幕人士能够在噪音交易中隐藏交易。这是一个内幕交易文献中常见的不显眼交易定理的其他表现形式（参见[16]、[2]、[4]等）。上述内部人士的策略是反馈形式的。内幕人士可以仅使用当前的总累积需求（以及iid均匀分布随机变量序列中的一些额外随机性，这些变量也独立于基本价值和噪音交易）来确定自己的交易。尽管这种策略不是最优的，但当订单规模较小时，其相关预期利润接近最优值。

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能者818

2022-5-5 03:14:50

此外，随着订单规模的减小，差异收敛到零。下面的数值示例说明了随着订单规模降至零，内部人预期利润损失的上限收敛。在这个例子中，v取{1,2,3}中的值，概率分别为0.55,0.35和0.1。凯尔后平衡的预期收益为0.512。与此相比，以下图表显示，内幕人士的预期利润损失很小。00.050.10.150.2-0.04-0.0200.020.040.060.080.1 ELTA（订单规模）价值潜在利润损失标准偏差图1。内部人预期利润损失上限的平均值和标准差。该图由10条路径的蒙特卡罗模拟生成。渐近GLOSTEN-MILGROM均衡11最后，与P Proposition 2.10 iii）类似，随着阶数d变为零，渐进GLOSTEN-MILGROM均衡中的内部净阶收敛到Kyle模型中的最优策略。定理2.13。设（XB，δ，XS，δ，FI，δ）δ>0为定理2.12中的内幕策略序列。那么xb，δ- XS，δL-→ Xasδ↓ 0，其中Xis是凯尔模型中的最优策略。3.HJB方程中的优化器不是最优控制。本节将证明定理2.6。L et us首先利用动态规划原理和粘性解的标准参数，对HJB方程进行启发式论证。为此，回想一下Hamilton的域：dom（H）：={（vn，y，t，V）∈ {v，··，vN}×δZ×[0,1]×R- 值函数| H（vn，y，t，V）<∞}.注意控制变量f或（2.9）在[0]中选择，∞).

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2022-5-5 03:14:54

因此（vn，y，t，V）∈ d om（H）ifV（y+δ，t）- V（y，t）+（vn- p（y+δ，t））δ≤ 0，（3.1）V（y）- δ、（t）- V（y，t）- （越南）- p（y）- δ、 t）δ≤ 此外，当（vn，y，t，V）∈ dom（H），将Hamilton约化为（3.3）H（vn，y，t，V）=（V（y+δ，t）- 2V（y，t）+V（y）- δ、 t）β。因此（2.8）改为（3.4）- 及物动词-（V（y+δ，t）- 2V（y，t）+V（y）- δ、 t）在dom（H）中β=0。提议3.1。下面的陈述保持f或Vδ，δ>0:i）Vδ是（2.8）的粘度溶液；ii）（vn，y，t，Vδ）∈ 任意n的dom（H）∈ {1，··，N}和（y，t）∈ δZ×[0，1）。因此Vδ满足（3.1）、（3.2），是（3.4）的粘度溶液；iii）t7→ Vδ（y，t）i在[0,1]上是连续的；Vδ（y，t）=EPδ，yVδ（Zs）-t、（s）对任何人来说∈ δZ和0≤ T≤ s≤ 1.证明推迟到附录A，其中回顾了动态规划原理以及粘度溶液的定义。定理2.6的证明还需要以下结果。引理3.2。对于任何δ>0，n∈ {1，··，N}，和（y，t）∈ δZ×[0,1），Vδ（vn，y，t）>0.Proof.在不丧失一般性的情况下，我们对一些n∈ {1，··，N}，和（y，t）=（0，0）。在整个证明过程中，省略了su-perscriptδ。当n>1时，让我们构建一个策略，一旦资产定价过低，内部人就会购买。Cons iderτ：=inf{r:p（Zr）-+ 1，r）<vn）}∧ 1和σ：=inf{r>τ：Yr6=0}∧ 1.这里τ是资产首次被低估的时间，σ是τ之后第一个词的到达时间。内幕人士采用的策略强度为θB，Br=I{τ≤R≤σ} 所有其他强度为零。然后是相关的预期利润Z（vn）- a（年）-, r））I{τ≤R≤σ} 博士= EZστ（vn）- p（Zr）-+ 1，r）博士> 0,12渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，其中，由于τ的定义，以及由于定义2，P（τ<1）>0的事实，导致了不等式。1 ii）。当n=1时，设置τ：=inf{t:p（Zt--1，t）>v}∧1和θS，St=I{τ≤T≤σ }.

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2022-5-5 03:14:57

上述类似论点表明，这种销售策略也会带来积极的预期收益。因此，在这两种情况下，V>0是正确的。定理2.6的证明。在不丧失一般性的情况下，我们将δ设为1，并通过证明省略上标δ。第一步：对于任何n∈ {1，···，N}，下列任一情况成立：·（3.1）作为一个等式成立，（3.2）是一个严格的不等式（y，t）∈ Z×[0，1）；o（3.2）作为一个等式成立，（3.1）是一个严格的不等式（y，t）∈ Z×[0，1）。要证明该断言，请从（3.1）和（3.2）中观察p（y，t）- 越南≤ V（y+1，t）- V（y，t）≤ p（y+1，t）-vn，（y，t）∈ Z×[0,1）.自y7以来→ 对于任何t，p（y，t）都严格增加∈ [0，1），存在η（y，t）∈ [0，1]使得v（y+1，t）- V（y，t）=p（y，t）+η（y，t）（p（y+1，t）- p（y，t））- vn，（y，t）∈ Z×[0，1）。假设（3.1）或（3.2）在某一点上等于一个等式。如果这样的假设失败，那么（3.1）和（3.2）中的不等式在Z×[0，1]的所有点上都是严格的。那么（2.9）中的所有运算限制器都是相同的零，相关的预期p为零。由于V>0，参考引理3.2，这些平凡的优化器不是（2.7）的最优策略因此，在这种琐碎的情况下，定理的陈述已经得到证实。现在我们假设（3.2）在（y+1，t）处作为等式成立，我们将证明（3.2）是恒等式。另一方面，结合（3.2）中的恒等式和y7的严格单调性→ p（y，t），我们得到v（y+1，t）- V（y，t）=p（y，t）- vn<p（y+1，t）- vn，（y，t）∈ Z×[0，1），因此不等式（3.1）总是严格的。

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2022-5-5 03:15:00

（3.1）是恒等式，d（3.2）是严格恒等式的另一种情况可以类似地证明。既然（3.2）在（y+1，t）处作为等式成立，那么，对于任何s∈ （t，1），Ey[p（Zs-t、（s）]-vn=p（y，t）-vn=V（y+1，t）-V（y，t）=Ey[V（Zs-t+1，s）- V（Zs）-t、 s）]，其中第一个恒等式来自（2.5）和Z的马尔可夫性质，第三个恒等式在应用位置3.1（iv）两次后得到。另一方面，η（y，t）yieldsEy[V（Zs）的定义-t+1，s）- V（Zs）-t、 s）]=Ey[p（Zs-t、 s）+η（Zs）-t、 s）（p（Zs）-t+1，s）- p（Zs）-t、 [s]]-越南。最后两个恒等式组合表示（3.5）Ey[η（Zs-t、 s）（p（Zs）-t+1，s）- p（Zs）-t、 [s]）]=0。还记得η吗≥ 0，p（·+1，s）- p（·，s）>0表示任何s<1，以及Zs的分布-在Z的每一点上都有正质量。然后我们从（3.5）中得出结论，对于任何y，η（y，s）=0∈ Z.因为s是任意选择的，（3.6）η（y，s）=0，对于任何y∈ Z、 t<s<1。现在，对于任何t<s和y，前一个恒等式产生fix s∈ Z、 V（y+1，t）-V（y，t）=Ey[V（Zs-t+1，s）- V（Zs）-t、 s）]=Ey[p（Zs-t、（s）]- vn=p（y，t）- vn，渐近GLOSTEN-MILGROM平衡13，其中命题3.1 iv）再次应用两次，以获得第一个恒等式。因此η（y，t）=0对于任何y∈ Z和t≤ s、与（3.6）相结合，意味着（3.2）是一个身份。第2步：修正1<n<n。当（3.2）是一个恒等式时，（2.9）中的任何优化器都不是（2.7）的最优策略。当（3.1）是一个id实体时，类似的参数会导致相同的结论。结合第一步的结果，证实了定理的陈述。当（3.2）是一个身份时，发送t→ 1，V（y，1），定义为极限→1V（y，t），满意度（y- 1, 1) -V（y，1）=vn-P（y）- 1).前面的恒等式和（2.6）的组合意味着，当y<an+1时，V（y，1）严格递减，当y<an+1时，V（y，1）不变∈ [an+1，an+1+1），并且当y≥ A+1+1。

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2022-5-5 03:15:03

因此y 7→ V（y，1）在y时达到其最小值∈ [安+1，安+1]。设（^XB，^XS）为点过程，其目标是优化器^θi，j，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，in（2.9），和集合^Y=Z+^XB-^XS。假设（^XB，^XS）是附录A中（2.7），DPP i）的最佳策略≥Y，thV（^Y，1）+Zt（vn- p（^Yr）-+ 1，r）d^XB，Br+Zt（vn- p（^Yr）-+ 2，r）d^XB，Tr+Zt（vn- p（^Yr）-, r））d^XB，Sr-Zt（vn）- p（^Yr）--1，r）d^XS，Sr-Zt（vn）- p（^Yr）-- 2，r）d^XS，Tr-Zt（vn）- p（^Yr）-, r））d^XS，Br,其中，期望值取Py，twith Py，t（^Yt=y）=1。然而，当内幕人士采用最优策略（^XB，^XS）时，价值函数V（y，t）正是预期收益。因此，先前的恒等式yieldsEy，t[V（^Y，1）]=0。回想一下，V（·，1），作为正函数的极限，是非负的，它在[an+1，an+1]达到最小值。前一个恒等式意味着当y时V（y，1）=0∈ [an+1，an+1]和（3.7）^Y∈ [an+1，an+1]，Py，t- a、 s。。然而，当（3.2）是恒等式且（3.1）是严格不等式时，（2.9）的任何优化器都满足^θB，B=^θB，S≡ 0，即^XB≡ 因此，^Y=ZB-ZS-^xs仅带负控跳线，从^xs来的^xs无法补偿zs以满足（3.7），其中[an+1，an+1]是当n1<n<n时Z的有限间隔。4.次优策略我们从这一节开始准备定理2.12。在本文的其余部分，N<∞, 除非另有说明，否则假设定理2.12是强制执行的。在本节中，我们将在订单大小为δ的GlostenMilgrom模型中描述反馈形式的次优策略，这样定价规则（2.5）是合理的。为了简化表示，我们将在本节中取δ=1，而省略所有上标δ。

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2022-5-5 03:15:06

当ord er大小为δ时，按δ缩放所有进程可以得到所需的进程。本节将强制执行以下关于v分布的长期假设：假设4.1。存在一个严格递增序列（an）n=1，··，n+1，使得14个渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点∈ Z∪ {-∞, ∞}, a=-∞, aN+1=∞, 和∪Nn=1[an，an+1）=Z∪ {-∞};ii）P（Z）∈ [an，an+1]）=P（~v=vn），n=1，·n；iii）中间层mn=（an+an+1）- 1）区间[an，an+1]的/2不是整数。假设2.4中已经假设了第i）项和第ii）项。第iii）项是一个技术假设，有助于构建次优策略。在下一节中，当考虑分布（1.1）的任意v且订单大小δ收敛到零时，序列（aδn）n=1，··，n+1，δ>0以及一系列随机变量（~vδ）δ>0将被构造，这样每个δ满足假设4.1，~vδ收敛到定律中的~v。为了简化符号，我们用mn表示：（安+安+1）- 1)/2 小于mn和bymn的最大整数：=（安+安+1）- 1)/2 大于mn的最小整数。假设4.1 iii）意味着≤ mn<mn<mn<an+1和mn- 当A和+1均为有限值时，mn=1。现在让我们定义一个函数U，它与次优策略的预期收益有关，并且主导着价值函数V。首先，马尔可夫性质Z意味着p在时间变量上是连续可微的，并且满足espt+（p（y+1，t）- 2p（y，t）+p（y）- 1，t）β=0，（y，t）∈ Z×[0,1），p（y，1）=p（y）。（4.1）定义（4.2）U（vn，y，1）：=an-1Xj=y（vn- A（j））I{y≤mn}+yXj=an+1（B（j）- vn）I{y≥mn}，y∈ Z、一,≤ N≤ N、其中A（y）：=P（y+1）和B（y）：=P（y）- 1）可被视为在时间1之前的询问和出价定价功能。

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能者818

2022-5-5 03:15:09

由于（vn）n=1，···，Nis增加，U（·，·，1）是非负的，（4.3）U（vn，y，1）=0<==> Y∈ [an- 1，an+1+1）。假设U（·，·，1）如上所述，U被扩展到t∈ [0,1]如下：U（vn，y，t）：=U（vn，y，1）+βZt（p（y，r）- p（y）- 1，r）dr，y≥mn，（4.4）U（vn，y，t）：=U（vn，y，1）+βZt（p（y+1，r）- p（y，r））dr，y≤ mn（4.5）表示t∈ [0,1）和n=1，··，n。由于n是有限的，p是有界的，因此U取有限值。命题4.2。假设假设4.1成立。假设做市商选择（2.5）中的p作为定价规则。然后对于任何内部人的可接受策略（XB，XS；FI），FI强度θi，j，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，相关预期收益函数J（vn，y，T；XB，XS）满足（4.6）J（vn，y，T；XB，XS）≤ U（vn，y，t）- L（vn，y，t），n∈ {1，··，N}，（y，t）∈ Z×[0,1]。这与[10，脚注4]中的论点相同。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡15l（vn，y，t）：=EyZt（vn）- p（mn，r））β - θB，Sr+θS，Sr我{Yr}-=mn}+θS，TrI{Yr-=mn+1}博士~v=vn- 嗯Zt（vn）- p（mn，r））β - θS，Br+θB，Br我{Yr}-=mn}+θB，TrI{Yr-=锰-1}博士~v=vn.（4.7）此外，当满足以下条件时，（4.6）是一个恒等式：i）Y∈ [an- 1、~v=vn时的+1+1）a.s；ii）XS，St=XS，Bt≡ Yt时为0-≤ mn，XB，Bt=XB，St≡ Yt时为0-≥mn，θB，T≡ y时为0≥ mn和θS，T≡ y时为0≤明尼苏达州。在证明这个结果之前，让我们先推导出满足要求的方程式。下面的结果显示，除了y=mn和y=mn之外，U满足（3.4），并且U满足（3.1）或（3.2）中的身份，这取决于y≤ mnor y≥明尼苏达州。引理4.3。

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2022-5-5 03:15:14

函数U满足以下方程：（Hv=v是固定的，U中省略了对v的依赖。）Ut+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=0，y>mn或y<mn，（4.8）Ut+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=（p（mn，t）- vn）β，y=mn，（4.9）Ut+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=（vn- p（mn，t））β，y=mn，（4.10）U（y，t）- U（y+1，t）- （越南）- p（y，t））=0，y≥mn，（4.11）U（y，t）- U（y）- 1，t）+（vn- p（y，t））=0，y≤ mn，（4.12）证明。我们将只在y时验证这些方程≥明尼苏达州。剩下的方程可以用类似的方法证明。第一（4.2）意味着u（y+1，1）- U（y，1）=B（y+1）- vn=P（y）- vn，y≥明尼苏达州。将之前的身份与（4.4）、U（y+1，t）结合起来- U（y，t）=U（y+1，1）- U（y，1）+βZt（p（y+1，r）- 2p（y，r）+p（y）- 1，r）dr=p（y，t）- vn，其中（4.1）用于获取第二个id实体。该验证（4.11）。当y>mn时，在y和y+1处取（4.11），在（4.4）处取时间导数，yieldUt+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=-β（p（y，t）- p（y）- 1，t）＋β（p（y，t）- p（y）- 1，t））=0,16渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，当y>mn时，其符合（4.8）。当y=mn时，从（4.2）、（4.4）和（4.5）观察U（mn，·）=U（mn，·）。ThenUt+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=-β（p（mn，t）- p（mn，t））+β（U（mn+1，t）- U（mn，t））=-β（p（mn，t）- p（mn，t））- β（vn）- p（mn，t））=β（p（mn，t）- vn），其中第二个标识来自（4.11）。命题4.2的证明。在整个证明过程中，v=vnis fix和对v的依赖性在U中给出。让YB=ZB+XB，B+XB，T-XS，频带YS=ZS+XS，S+XS，T-分别是Y的XB、Sbe阳性部分和阴性部分。然后YB-R·（β）- θS，Br- θB，Tr）dr-R·θB，Brdr- 2R·θB，trdRandys-R·（β）-θB，Sr-θS，Tr）dr-R·θS，Srdr-2R·θS，Trdr是FI鞅。

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2022-5-5 03:15:18

将它的公式应用于U（Y·，·），我们得到U（Y，1）=U（Y，t）+ZtUt（Yr-, r） dr+Zt[U（年，右）- U（年）-, r）年[Zt]- U（年）-, r） [dYSr=U（y，t）+Zt[Ut（Yr-, r） +（年）-+ 1，r）- 2U（年）-, r） +U（年）-- 1，r）β]dr+Zt[U（年）-+ 1，r）- U（年）-, r） ]θB，Br- θS，Brdr+Zt[U（年）-+ 2，r）- U（年）-+ 1，r）]θB，Trdr+Zt[U（年）-- 1，r）- U（年）-, r） ]θS，Sr- θB，Srdr+Zt[U（年）-- 2，r）- U（年）-- 1，r）]θS，Trdr+M- Mt，（4.13），其中m=Z·[U（Yr，r）- U（年）-, r） ]dYBr-锆β - θS，Bu+θB，Bu+θB，Tu杜+Z·[U（年，右）- U（年）-, r） ]dYSr-锆β - θB，Su+θS，Su+θS，Tu杜.因为（4.11）和（4.12）意味着U（y+1，t）-U（y，t）是p（y，t）-vnor p（y+1，t）-vn，两者都由v从下方限定-vN从上往下看-vn，因此M是FI鞅（参见[7，第一章，T6]）。

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mingdashike22

2022-5-5 03:15:22

在（4.13）的右边，在{Yr上拆分第二个积分-≥mn}，{Yr-= mn}和{Yr-< mn}，在{Yr上分裂第四个积分->mn}，{Yr-= mn}和{Yr-≤ mn}，利用U（mn，·）=U（mn，·），以及引理4.3中的不同方程，在不同的症状性GLOSTEN-MILGROM平衡区，我们得到U（Y，1）=U（Y，t）+Zt（p（mn，r）- vn）βI{Yr-=mn}dr+Zt（vn- p（mn，r））βI{Yr-=mn}dr-Zt（vn）- p（年）-, r）我{Yr}-≥mn}（θB，Br）- θS，Br）dr-Zt（vn）- p（年）-+ 1，r）I{Yr-<mn}（θB，Br）- θS，Br）dr-Zt（vn）- p（年）-+ 1，r）I{Yr-≥mn}θB，Trdr-Zt（vn）- p（年）-+ 2，r）I{Yr-<锰-1} θB，Trdr+Zt（vn- p（年）-- 1，r）I{Yr->mn}（θS，Sr）- θB，Sr）dr+Zt（vn）- p（年）-, r）我{Yr}-≤mn}（θS，Sr）- θB，Sr）dr+Zt（vn）- p（年）-- 2，r）I{Yr->mn+1}θS，Trdr+Zt（vn- p（年）-- 1，r）I{Yr-≤mn}θS，Trdr+M- Mt.通过将（XB，XS）的属性放在左手边，重新排列之前的身份，我们得到了ZT（vn）- p（年）-+ 1，r）θB，Brdr+Zt（vn- p（年）-+ 2，r）θB，Trdr+Zt（vn-p（年）-, r））θB，Srdr-Zt（vn）- p（年）-- 1，r）θS，Srdr-Zt（vn）- p（年）-- 2，r）θS，Trdr-Zt（vn）- p（年）-, r））θS，Brdr=U（y，t）- U（Y，1）- K- L+M- Mt，（4.14），其中k=Zt（p（年）-+ 1，r）- p（年）-, r）我{Yr}-≥mn}θB，Brdr+Zt（p（Yr）-, r）- p（年）-- 1，r）I{Yr-≥mn}θB，SrdrZt（p（Yr-+ 2，r）- p（年）-+ 1，r）I{Yr-≥mn}θB，Trdr+Zt（p（Yr-, r）- p（年）-- 1，r）I{Yr-≤mn}θS，Srdr+Zt（p（Yr）-+ 1，u）- p（年）-, r）我{Yr}-≤mn}θS，Brdr+Zt（p（Yr）-- 1，r）- p（年）-- 2，r）I{Yr-≤mn}θS，Trdr，L=Zt[vn-p（mn，r）](β - θB，Sr+θS，Sr）I{Yr-=mn}+θS，TrI{Yr-=mn+1}博士-Zt[vn- p（mn，r）](β - θS，Br+θB，Br）I{Yr-=mn}+θB，TrI{Yr-=锰-1}dr.在（4.14）的两侧取条件期望E[·|拟合，Yt=y]，左手侧为预期的概率J（XB，XS），而在右手侧，U（·，1）和K均为非负（参见定义2.1 i））。因此（4.6）得到了验证。为了获得（4.6）中的身份，我们需要∈ [an- 1，an+1+1）a.s.，因此U（Y，1）=0 a.s。

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