在本节中，我们将在概率空间上构造点过程Xb和Xs(Ohm, FI，（FIt）t∈[0,1]，P）使得XB，T=XS，T≡ 0，由于备注4.6，且满足y）YB=ZB+XB，B- XS，频带YS=ZS+XS，频带S-XB是一个依赖于FY的泊松过程，具有共同的强度β；ii）XB，Bt=XB，St≡ Yt时为0-≥mn，XS，St=XS，Bt≡ Yt时为0-≤ 锰；iii）[Y]∈ [an，an+1]=[v=vn]P-a.s.对于n=1，··，n.该结构是[10]的自然延伸，其中考虑了n=2。与[10]一样，Xb和Xs是使用两个独立的iid随机变量序列（ηi）i构建的≥1和（ζi）i≥1在[0,1]上均匀分布，而且它们独立于Z和v。内部人使用（ηi）i≥1随机贡献购买或出售订单，并使用（ζi）i≥1随机取消噪音指令。在本节中，假设4.1是强制性的。此外，我们设置δ=1，因此抑制超级脚本δ。否则，Xb和Xs可以按δ进行缩放，以获得所需的过程。在下面的构造中，我们将定义一个概率空间(Ohm , FI，（FIt）t∈[0,1]，P），其形式为（5.1）Y=Z+NXn=1IAn（XB- XS）。这里Z是两个强度为β的独立FI适应泊松过程的差异∈ P（An）=P（Z∈ [an，an+1]）对于每一个n=1，··，n。在构造满足所需属性的Xb和Xs之前，让我们从过滤放大理论中得出一些直觉。让我们定义（D（[0,1]，Z），F，（Ft）t∈[0,1]，P）是正则空间，其中D（[0,1]，Z）是Z值c`adl`ag函数，P是一个概率测度，在此概率测度下，zb和zs是强度为β（Ft）t的独立泊松过程∈[0,1]是ZB和Z在通常条件下产生的最小过滤，F=∨T∈[0,1]英尺。

让我们用（Gt）t表示∈[0,1]过滤（Ft）t∈[0,1]用一系列随机变量（I{Z）放大∈[an，an+1）}）n=1，··，n.为了确定ZB和ZS的G强度，我们使用了过滤参数的标准放大，如[18]中所示。为此，回想一下hn（y，t）=P[Z∈ [an，an+1）|Zt=y]。注：命题4.5 ii）暗示命题4.2 i）。20渐近GLOSTEN-MILGROM平衡注意Hn在Z×[0，1]上严格正。此外，Z的马尔可夫性质暗示Hn在时间变量和满足度上是连续可微的thn+（hn（y+1，t）- 2hn（y，t）+hn（y）- 1，t）β=0，（y，t）∈ Z×[0，1），hn（y，1）=I{y∈（5.2）引理5.1.ZBand ZSat t的G强度∈ [0，1）由nxn=1I{Z给出∈[an，an+1）}hn（Zt-+ 1，t）hn（Zt）-, t） β和nxn=1I{Z∈[an，an+1）}hn（Zt-- 1，t）hn（Zt）-, t） β，分别为。证据我们只计算ZB的强度。可以简单地获得ZSS的强度。在整个证明过程中，所有的期望都得到了证实。对于s≤ t<1，取任意的E∈ Fsand表示MBt:=ZBt- βt.MBimplyE的hnand-off鞅性质的定义（百万吨）- MBs）IEI{Z∈[an，an+1）]= E（百万吨）- MBs）IEhn（Zt，t）= EIE（hMB，hn（Z·，·）it- hMB，hn（Z·，·）is）= EIEZtsβ（hn（Zr-+ 1，r）- hn（Zr）-, r） ）博士= EIEZtsβI{Z∈[an，an+1）}hn（Zr-+ 1，r）- hn（Zr）-, r） hn（Zr）-, r） 博士.每n=1，··，n的这些计算意味着-Z·sβNXn=1I{Z∈[an，an+1）}hn（Zr-+ 1，r）- hn（Zr）-, r） hn（Zr）-, r） 定义了一个G-鞅。因此，ZBt的G-强度由ZBt=MBt+βt得出。为了更好地理解前面引理中的强度，让我们收集hn:lemma 5.2的一些性质。让假设4.1保持不变。以下性质适用于每个hn，n=1，··，n:i）hn（·，·）=hn（2mn-·, ·); 特别地，hn（mn，·）=hn（mn，·）。ii）y 7→ 当y≤ 当y≥明尼苏达州。这里，当n=1（分别为。

n=n），mn=mn=-∞ （分别为mn=mn=∞).证据回想一下，an+an+1- 1=2mn。thenn（y，t）=P[Z∈ [an，an+1）|Zt=y]=P[y+Z1-T∈ [an，an+1）]=P[2mn- Y- Z1-T∈ （200万）- an+1，2mn- an]]=P[2mn- Y- Z1-T∈ [an，an+1）]=hn（2mn- y、 t），自Z和-Z具有相同的分布。这验证了我）。改写hn（y，t）=P[Z1-T∈ [an-y、 安+1-y） ]。然后陈述ii）来自于以下事实→ P（Z1-当y≤ 0，并且当y≥ 0在s之后，给定∈ P（An）=P（Z∈ an上的[an，an+1]，（XB，XS；FI）将被构造，以便YB（resp.YS）在an上的FI强度与ZB（resp.ZS）在[Z]上的G强度相匹配∈ [an，an+1）]。匹配这些强度可确保（XB，XS；FI）满足预期性能，参见下面的5.5条建议。回忆YB=ZB+XB，B-XS，频带YS=ZS+XS，频带S-从引理5.1中ZB（和ZS）的G-强度中减去β，我们可以读出XB，B的强度- XS，B（分别为XS，S- XB，S）。因为本节开头的属性ii）意味着θ带θ永远不会同时为正。因此，当XB，B的强度-XS，B为正，内幕人士以如此高的强度提交购买订单XB，B，否则内幕人士以相同的强度提交销售订单XS，B，以取消ZB发出的一些噪音购买订单。将同样的策略应用于XS，S- 利用引理5.2，我们读出了Xi，j，i，j的FI意图∈ {B，S}：推论5.3。

假设Yb和YSmatch的FI强度分别与Zb和Zs的G强度匹配，而且XB，Bt=XB，St≡ Yt时为0-≥mn和XS，St=XS，Bt≡ Yt时为0-≤ 明尼苏达州。然后是Xi，j，i，j的FI强度∈ {B，S}，在Anyt上有以下形式-= y:θB，B（y，t）=hn（y+1，t）hn（y，t）- 1.+β、 θB，S（y，t）=hn（y）- 1，t）hn（y，t）-1.-β、 θS，S（y，t）=hn（y）- 1，t）hn（y，t）-1.+β、 θS，B（y，t）=hn（y+1，t）hn（y，t）-1.-β.特别是θi，j，i，j∈ 满足以下性质：i）θB，B（y，·）=θB，S（y，·）≡ 0，θS，S（y，·）>0和θS，B（y，·）>0，当y≥锰；θS，S（y，·）=θS，B（y，·）≡ 当y时，θB，B（y，·）>0，θB，S（y，·）>0≤ 锰；ii）θB，B（·，·）=θS，S（2mn）- ·, ·), θB，S（·，·）=θS，B（2mn-·, ·);iii）θB，B（mn，·）=θS，S（mn，·）≡ 0.如推论5.3所述，当∈首先，状态空间被划分为两个域：={y∈ Z:y≥mn}和B:={y∈ Z:y≤ mn}。当Y进入这两个领域时，XS或XBY都处于活动状态。在下面的构造中，我们将关注域B，构造Xby的诱导跳跃，直到Y离开B。当Y在S中穿行时，可以类似地构造XS。当Y在B中时，XB的目标之一是在中场休息时让你的身体恢复健康[an，an+1）。为了实现这个目标，XB将在ZB的跳跃之外增加一些跳跃。然而，这本身是不够的，因为Y也会因Z而向下跳跃。因此，XB需要取消ZS的一些向下跳跃。之前的XB由两个组件XB组成，带XB，S，其中XB，B组件ZB的跳跃和XB，扫描ZS的一些跳跃。让我们用（τi）i表示≥1 Y的跳转时间顺序。这些停车时间将按如下方式进行构造。

给定τi-1<1和Yτi-1.≤ mn，下一跳时间τi出现在以下三个随机时间的最小值处：o下一跳ZB，o下一跳XB，B，o下一跳zs，其未被跳XB，s抵消。此处，XB，带XB，需要构造为其强度θB，B（Yt-, t） θB，S（Yt）-, t） 匹配推论5.3中的形式。这一目标是通过采用iid随机变量（ηi）i的两个独立序列来实现的≥1和（ζi）i≥1在[0,1]上具有均匀分布。它们也是独立的ofF和（An）n=1，··，n。这两个序列将用于生成一个随机变量νi22渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点和另一个伯努利随机变量序列（ξj，i）j≥1在{0,1}中获取值。设（σ+i）i≥1和（σ）-i） 我≥1分别为ZB和ZS的跳跃时间。然后，在τi之后-1，ZBis在σ+ZBτi处的下一跳-1+1，下一跳XB，Bis在νi处，下一跳zs未被τ处的跳XB，Sis取消-i=min{σ-j> τi-1:ξj，i=1}。那么Y的下一个跳跃是在τi=σ+ZBτi处-1+1∧ νi∧ τ-i、 νi和（ξj，i）j的构造≥1使用（ηi）i≥1和（ζi）i≥1与[10，第4节]中的完全相同，仅将其中的h替换为hn。上述所有构造都是在过滤概率空间中进行的(Ohm, FI，（FIt）t∈[0,1]，P）使得存在（An）n=1，··，n∈ FIP（An）=hn（0，0）和两个独立的iidFI可测随机变量序列（ηi）i≥1和（ζi）i≥1在[0,1]上均匀分布时，这两个序列更多地独立于Z和（An）n=1，··，n。通过将F（resp.F）扩展到FI（resp.FI），可以满足这些要求。至于过滤（FIt）t∈[0,1]，我们要求t在P下是完全连续的，而且Z，作为强度为β的两个独立泊松过程的差，适用于（拟合）t∈[0,1]. 因此Z独立于（An）n=1，···，n，因为Z有独立的增量。

最后，我们还假设（FIt）t∈[0,1]足够富有以至于（νi）i≥1和（τ）-i） 我≥1以上讨论的是FI停止时间。一个类似于[10，引理4.3]的论点产生了：引理5.4。给定上面构造的点过程（XB，XS；FI），YBandYSat t的FI强度∈ [0,1]是gi ven byNXn=1英寸（Yt-+ 1，t）hn（Yt）-, t） β和NxN=1inHn（Yt--1，t）hn（Yt）-, t） β，分别为。现在我们已经准备好验证我们的施工是否符合要求。提议5.5。如上所述的过程Y满足以下性质：i）[Y∈ 安娜。s、 对于n=1，··，n；ii）相对于自然过滤（FYt）t，Yb和Y是强度为β的独立泊松过程∈[0,1]个Y；iii）（XB，XS；FI）在定义2.2的意义上是可接受的。证据为了验证Y是否满足所需特性，让我们引入一个辅助过程(lt） t∈[0,1):lt:=NXn=1IAnhn（0，0）hn（Yt，t）t∈ [0,1）.当n=2时，n-1.几乎可以肯定的是，在Any上只有一定数量的正（负）jum psof Y·≥mn（分别为Y）·≤ mn）。因此，当t<1固定时，对这些参数进行定义。当n=1（分别为n=n）时，在t之前有一定数量的正（分别为负）Yon A（分别为AN）ju mps。因此Yt<∞ 在A（分别为Yt>-∞ 在一台计算机上）。该分析表明，对于每个n=1、····、n和t<1，ANF的Hn（Yt，t）>0。所以(lt） t∈[0,1]是明确的积极过程l= 1.渐近GLOSTEN-MILGROM平衡23证明i），我们首先证明l 是[0，1]上的一个正函数鞅。对于这个en d，它的公式产生了th atdlt=NXn=1IAnlT-hn（Yt）-, （t）- hn（Yt）-+ 1，t）hn（Yt）-+ 1，t）dMBt+hn（Yt）-, （t）- hn（Yt）-- 1，t）hn（Yt）-- 1，t）dMSt, T∈ [0,1）.此处mb=YB- βZ·NXn=1英寸（年）-+ 1，r）hn（年）-, r） dr，MS=YS- βZ·NXn=1英寸（年）-- 1，r）hn（年）-, r） 都是FI-lo-cal鞅。定义ζ+m=inf{t∈ [0,1]：Yt=m}和ζ-m=inf{t∈ [0,1]：Yt=-m} 。

考虑停车时间（ηm）m的顺序≥1：ηm：=我∪N-1n=2Anζ+m∧ ζ-m+IAζ+m+IANζ-M∧ (1 - 1/m）。从hn的定义可以看出，Anis上的每个hn（Yt，t）都远离零统一整数∈ [0，ηm]。这意味着lη有界，因此lηmis是FI鞅。Yyields limm的构建→∞ηm=1。因此l 是一个正定域鞅，同时也是一个超鞅，在[0,1]上。定义l:= 极限→1.lt、 由于Doob的超鞅收敛定理，它是存在的且是有限的。这个小鬼躺在hn（Y1）上-, 1） 在一次测试中>0。另一方面，Y yieldsYS（分别为YB）的构造不会在时间1 P-a.s.时跳跃，而Y1-≤ mn（分别为Y1）-≥mn）。因此，n（Y，1）>0。然而，定义的hn（·，1）只能是0或1。因此，我很高兴∈ [an，an+1）在an上，对于每个n=1，··，n，陈述i）是确定的。对于陈述ii），我们将证明Yb是一个FY适应的泊松过程。类似的参数也可以应用于Yas。鉴于在Lemma5.4中计算的Yb的强度，对于每个i，一个h≥ 1，YB·∧τi∧1.- βZ·∧τi∧1NXn=1inhn（Yu-+ 1，u）hn（Yu）-, u） 杜！是一个FI鞅，其中τ是Y的跳跃时间。我们将在下一段中展示，当在τi处停止时∧ 1，Fy中的YBis泊松过程，通过显示（YBτi∧T-β（τi）∧ t） ）t∈[0,1]是anFY鞅。（这里注意τiis是FY停止时间。）这反过来又意味着YBisa泊松过程的强度β在[0，τ]上∧ 1） 式中τ=limi→∞τ是爆炸时间。SincePoisson过程不会爆发，这将进一步暗示YBτ∧1< ∞ 因此，τ≥ 1，P-a.s。。我们继续把上面的鞅投射到FYB中去看- βZ·NXn=1P（An | FYr）hn（Yr）-+ 1，r）hn（年）-, r） 当停在τi时是FY鞅∧ 1.

因此，它仍然表明，几乎所有∈ [0,1]，在[t]上≤ τi]，（5.3）NXn=1P（An | FYt）hn（Yt-+ 1，t）hn（Yt）-, t） =1，P-a.s。。对于这个END，我们将在[t]上显示≤ τi]，（5.4）P（An | FYt）=hn（Yt，t），对于t∈ [0,1.24渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，然后（5.3）从Yt6=Yt开始-只有无数次。我们已经看到了这一点(lU∧τi）u∈[0，t]是每个i的严格正FI鞅。定义一个概率测度Qi~ FItvia dQi/dP上的P | FIt=lτi∧t、 根据Girsanov定理，YBisa Poisson过程在τi处停止∧ t和强度β在气下。因此，它们独立于自然之气。然后，对于t<1，我们从Bayes公式中得到f，即i{r≤τi∧t} P（An | FYr）=I{r≤τi∧t} EQi[IAnl-1r | FYr]EQi[l-1r | FYr]=I{r≤τi∧t} EQi[IAnhn（Yr，r）hn（0,0）| FYr]EQi[PNn=1IAnhn（Yr，r）hn（0,0）|FYr]=I{r≤τi∧t} hn（Yr，r），（5.5），其中，第ird恒等式源自上述Y和Anunder Qialong的独立性，且QI不会改变五个可测量事件的概率，因此QI（An）=P（An）=hn（0，0）。因此，在发送i之后，（5.4）遵循（5.5）→ ∞.由于YBand是FY Poisson过程，并且它们的结构不会同时跳跃，因此它们是独立的。为了证明构造的策略（XB，XS；FI）是可接受的，仍然需要证明E[XBIAn]和E[XSIAn]对于每个n=1，····，n都是有限的。为此，对于每个n，E[XBIAn]=E[XB，BIAn]+E[XB，SIAn]，其中E[XB，SIAn]≤ E[ZS]<∞ 安第斯[XB，卞]≤ E[YBIAn]+E[XS，BIAn]≤ E[ZB | Z∈ [an，an+1]+E[ZS]<∞. 类似的论证也意味着E[XSIAn]<∞. 最后，因为∞, p是有界的，定义2.2 iv）用[XBIAn]，E[XSIAn]验证∞ 每n∈ {1，…，N}。6.

收敛收集前几节的结果，我们将在本节中证明定理2.12和2.13。首先，让我们构造一个随机变量序列（~vδ）δ>0，每个变量都将是阶数δ为的Glosten-Milgrom模型中的基本值。添加到正则空间序列中(Ohmδ、 FZ，δ，（FZ，δt）t∈[0,1]，Pδ），在第2.2节开头定义，我们介绍(Ohm, F、 （Ft）t∈[0,1]，P），其中Ohm= D（[0,1]，R）是[0,1]上具有坐标过程Z的R-valuedc`adl`ag函数的空间，Pis是维纳测度。用P0表示Z=y a.s.下的维纳测度。。现在让我们定义一个R∪ {-∞, ∞}-值序列（an）n=1，·n+1viaa=-∞, 安=Φ-1（p+··+pn）-1） ，n=2，··，n+1，其中Φ（·）=Z·-∞√2πe-x/2dx。使用这个序列，可以按照（2.5）中的相同配方定义定价规则：p（y，t）：=NXn=1vnhn（y，t），y∈ R、 t∈ [0,1]，n∈ {1，··，N}，（6.1）其中hn（y，t）：=P0，yZ1-T∈ [an，an+1）= Φ（an+1）- y）- Φ（安）- y） 。正如我们稍后将看到的，这正是凯尔反向均衡中的定价规则。此外，序列（aδn）n=1，··，n+1，与下文构造的（~vδ）δ>0相关，收敛到（an）n=1，··，n+1asδ↓ 0，有助于验证定义2.11 i）。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡25引理6.1。对于任何分布为（1.1）且N可能不确定的)v，存在一系列随机变量（)vδ）δ>0，每个变量取{v，···，vN}中的值，因此i）当其中的)v替换为每个)vδ时，假设4.1是满足的；ii）定律（vδ）==> 定律（~v），如δ↓ 0.这里==> 表示概率测度s证明的弱收敛性。对于每一个δ>0，将通过调整tin g pnin（1.1）来构造vδ到一些pδn，n=1，··，n。从[~v=v]开始，选择一个δ=-∞, aδ=inf{y∈ δZ:Pδ（Zδ≤ y）≥ p} ，并设置pδ（~vδ=v）=pδ（Zδ∈ [aδ，aδ]）。

继续移动到[~vδ=v]，选择δ=inf{y∈ δZ:Pδ（Zδ≤ y）≥p+pand（aδ+y）- δ)/2 /∈ δZ}并设置Pδ（~vδ=v）=Pδ（Zδ∈ [aδ，aδ]。在这一步之后，我们可以直观地定义aδ。当N<∞, 我们设置δN+1=∞. 这个结构给出了一个随机变量序列（~vδ）δ>0，在{v，···，vN}中取值，使得Pδ（~vδ=vN）=Pδn:=Pδ（Zδ∈[aδn，aδn+1]），其中pnn=1pδn=1，此外，每个序列（aδn）n=1，··，n+1满足假设4.1。仍需显示规律（~vδ）==> 定律（v）为δ↓ 0.为此，注意aδ为（Pn-1i=1pi）Zδ或δ在该分位数以上的分布的分位数。当βδ被选为1/（2δ）时，从[12，第6章，定理5.4]可以得出Pδ==> P、 特别是定律（Zδ）==> 法律（Z）。因此，（6.2）limδ↓0aδn=an，n=1，··，n+1。对于任何>0和n∈ {1，····，N}，先前的收敛产生了一个有效的对称函数Δ，N，such[an+，an+1]- )  [aδn，aδn+1） [an- ，an+1+）表示任何δ≤ Δ，n.亨塞普δZδ∈ [aδn，aδn+1）≤ PδZδ∈ [an-，an+1+）→ PZ∈ [an- an+1- ),PδZδ∈ [aδn，aδn+1）≥ PδZδ∈ [an+，an+1]- ）→ PZ∈ [an+，an+1]- ), asδ↓ 0，其中两个收敛都遵循定律（Zδ）==> 定律（Z）和Zi的分布是连续的这一事实。由于是任意选择的，利用Zagain分布的连续性，我们从前两个不等式Limδ中得到↓0PδZδ∈ [aδn，aδn+1）= PZ∈ [an，an+1）.因此limδ↓0pδn=pn每n∈ {1，···N}与定律（~vδ）=> 法律（v）。构造（~vδ）δ>0后，从第4节和第5节可以看出，存在一系列策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ）δ>0，每个策略都满足第4.5节的条件。因此，（2.5）中的pδ对于每个δ>0是合理的。然后，仍需验证定义2.11 iii）以建立一个渐进的glosten-Milgrom平衡。在此之前，我们首先证明定理2.13。让我们回忆一下凯尔的回归平衡。

根据[16]和[2]中的参数，平衡定价规则由（6.1）给出，平衡需求满足SDEY=Z+NXn=1I{v=vn}Z·yhn（Yr，r）hn（Yr，r）dr，当订单大小为δ时，假设4.1 iii）读取（aδn+aδn+1- δ)/2 /∈ δZ.26渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点，其中Zis是一个P-布朗运动，用于模拟噪声交易者的需求。因此，内部人在凯尔后均衡中的策略由x=NXn=1I{v=vn}Z给出·yhn（Yr，r）hn（Yr，r）博士定理2.13的证明。正如我们在引理6.1中所看到的，假设4.1满足了每个vδ。根据命题5.5 i）和ii），Yδ在[~vδ=vn]上的分布与Zδ在Zδ上的分布相同∈ [aδn，aδn+1）。当fun-damental值为vn时，表示Y0，n=YI{v=vn}为凯尔后平衡中的累积需求。与[10，引理5.4]中的引理相同∈ [aδn，aδn+1））==> 定律（Y0，n），如δ↓ 0，每n∈ {1，··，N}。然后它遵循（6.3）定律（Yδ；FI，δ）==> 定律（Y；FI，0），如δ↓ 0，其中过滤系数FI，0最终放大了v。回想一下（5.1）中的Yδ=Zδ+XB，δ-X，δ，而且Y=Z+X。结合（6.3）和定律（Zδ）==> 定律（Z），我们从[14，命题VI.1.23]得出结论，定律（XB，δ- XS，δ）==> 定律（X）为δ↓ 0在本节的其余部分，定义2.11 iii）针对策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ）δ>0进行了验证，包括定理2.12的证明。

我们在命题4.2中看到，第5节中构建的策略预期收益（XB，δ，XS，δ；FI，δ）满足δ（vn，0，0；XB，δ，XS，δ）=Uδ（vn，0，0）- Lδ（vn，0，0），n∈ {1，···，N}，其中lδ（vn，0，0）=ΔβδEδ，0Z（vn）- pδ（mδn，r））I{Yδr-=mδn}dr~vδ=vn- ΔβδEδ，0Z（vn）- pδ（mδn，r））I{Yδr-=mδn}dr~vδ=vn.（6.4）Lδ的表达式源自将（4.7）中的订单大小从1改为δ，并利用θB，S，δ（mδn，·）=θS，S，δ（mδn，·）=θS，B，δ（mδn，·）=θB，B，δ（mδn，·）=0（来自推论5.3 i）和iii），θB，T，δ=θS，T，δ≡ 注释4.6中的0，期望值取Pδ，0。这里mδn:=δ（安+安+1）-δ)/2δ δ小于mδ与mδn的最大整数倍：=δ（安+安+1）-δ)/2δδ的最小整数倍大于mδn。为了证明eorem 2.13，让我们首先显示（6.5）limδ↓0Lδ（vn，0，0）=0，n∈ {1，··，N}。在剩下的开发中，我们将vn乘以并表示Lδ=Lδ（vn，0，0）。在给出（6.5）的技术证明之前，让我们首先介绍一个启发性论点。首先，由于βδ=1/（2δ），（6.4）可以重写为（6.6）Lδ=Eδ，0hIδ，n~vδ=vni- Eδ，0hIδ，n~vδ=vni，其中iδ，n·=Z·（vn- pδ（Yδr）-- δ、 r）dLδ，mδnr，Iδ，n·=Z·（vn- pδ（Yδr）-+ δ、 r）dLδ，mδnr，渐近GLOSTEN-MILGROM平衡27和Lδ，y·=2δr·I{yδr-=y} dr是yδ在水平y上的标度占据时间。在自然过滤中，yδ是两个独立泊松YB、δ和YS的差异，δ具有跳跃大小δ和强度βδ，参见命题5.5 ii）。对于被积函数inIδ和Iδ，n，我们期望vn-pδ（Yδ·±δ，·）L-→越南-p（Y·，·），其中Y是一个p-布朗运动。

对于积分器，我们将讨论Lδ，mδn·和Lδ，mδn·如何弱收敛到Lmn·，即mn:=（an+an+1）/2级的布朗局域时间。然后证明了被积函数和积分器的弱收敛性-→ I0，n·：=Z·（vn）- p（Yr，r））dLmnr，asδ↓ 0.最后将之前的收敛传递到条件期望，在极限中（6.6）右侧的两项相互抵消。为了使这一启发性论证更加严谨，让我们首先准备几个结果。提议6.2。关于过滤（FY，δt）t族∈[0,1],δ≥0，由（Yδ）δ生成≥0，pδ（Yδ·±δ，·）L-→ D[0,1）上的p（Y·，·）作为δ↓ 0.证明。为了简化演示，我们将证明（6.7）pδ（Yδ·，·）L-→ p（Y·，·）asδ↓ 0.带有±δ的断言可以通过用Yδ±δ替换Yδ来验证。首先，应用It^o公式，利用（4.1）yieldpδ（Yδ·，·）=pδ（0,0）+Zδpδ（Yδr）-+ δ、 r）- pδ（Yδr）-, r）dYB，δr+Z·δpδ（Yδr）-- δ、 r）- pδ（Yδr）-, r）dYS，δr，（6.8），其中YB，δ·=YB，δ·-Δβδ和YS，δ=YS，δ·-Δβδ是补偿跳变过程。对于右边的pδ（0，0），引理6.1中的相同参数产生limδ↓0pδ（0，0）=p（0，0）。至于另外两个随机积分，我们将证明它们弱收敛于√Z·yp（Yr，r）dWBrand-√Z·分别为yp（Yr，r）dWSr，其中WB和WSSR是两个独立的布朗运动。这些估计意味着（6.8）的右侧收敛于弱顶（0，0）+Z·yp（Yr，r）dWr，其中W=WB/√2.- WS/√2是另一个布朗运动。自普萨蒂斯以来总磷+y yp=0，前一个过程与p（y·，·）具有相同的规律。因此（6.7）得到证实。28渐近GLOSTEN-MILGROM平衡为了证明上述随机积分的收敛性，让我们首先推导（pδ（·+δ，·）的收敛性- R×[0,1）上的pδ（·，·））/δ。

为此，由（2.5）得出δ（pδ（y+δ，t）- pδ（y，t））=δNXn=1vnhPδ，y+δ（Zδ1-T∈ [aδn，aδn+1））- Pδ，y（Zδ1-T∈ [aδn，aδn+1]）i=δNXn=1vnhPδ，y（Zδ1-t=aδn- δ) -Pδ，y（Zδ1-t=aδn+1- δ） i=δNXn=1vn“P1,0Z1-t=aδn-δ - yδ- P1,0Z1-t=aδn+1- δ - yδ#=NXn=1vnδe-1.-tδIaδn-δ-yδ1.- tδ-δe-1.-tδIaδn+1-δ-yδ1.- tδ→NXn=1vn“p2π（1- t） 经验值-（安）- y） 2（1）- （t）-p2π（1）- t） 经验值-（安+1）- y） 2（1）- （t）#= yp（y，t），asδ↓ 0.这里是Z1-这是两个独立的泊松随机变量与公共参数（1）的差异-t） βδ=（1）-t） （2δ）-1根据P1,0。因此，上面的第四个恒等式来自Skellam分布的概率分布函数：P1,0（Z1-t=k=e-2uI | k |（2u），其中I |k |（·）是第二类修正贝塞尔函数，u=（1）- t） （2δ）-1，参考[20]。根据[1，定理2]，上述收敛性在R×[0，1]中是局部一致的。上面的最后一个恒等式是从y-d-ivative到p（y，t）=PNn=1Φ安+1-Y√1.-T- Φ一-Y√1.-T, 参见（6.1）。结合（pδ（·+δ，·）的前一个局部一致收敛性-弱收敛的pδ（·，·））/δYδL-→ 在自然过滤中，我们从[5，第1章，定理5.5]：δpδ（Yδ·+δ，·）- pδ（Yδ·，·）L-→ D[0,1）asδ上的yp（Y·，·）↓ 对于（6.8）中的积分器，YB，δL-→ WB/√2和YS，δL-→ WS/√2.此外，（YB，δ）δ>0和（YS，δ）δ>0都是可预测的均匀tig ht（P-UT），因为对于任何δ>0，hYB，δit=hYS，δit=t/2，参见[14，第六章，定理6.13（iii）]。然后结合二者的弱收敛性和积分器，我们从[14，第六章，定理6.22]得到z·△pδ（Yδr-+ δ、 r）- pδ（Yδr）-, r） ）dYB，δrL-→√Z·yp（Yr，r）dWBron D[0，1）asδ↓ （6.8）中的另一个随机积分也有类似的弱收敛性。因此，在（6.8）的右边，证明了s-tochastic积分的弱收敛性。

在研究了被积函数inIδ，nand Iδ，n的弱收敛性之后，让我们把注意力转移到积分器Lδ，mδ和Lδ，mδn上。关于过滤（FY，δt）t族∈[0,1],δ≥0表示任何n∈ {1，··，N}，Lδ，mδnL-→ 与Lδ，mδnL-→ Lmnon D[0，1]asδ↓ 0.0.渐近GLOSTEN-MILGROM平衡证明。为了简单起见，我们将证明（6.9）Lδ，0L-→ 拉斯δ↓ 0.自limδ↓0mδn=limδ↓0mδn=mn根据（6.2），p位置的陈述根据Yδ替换Yδ-mδn（或Yδ- mδn）和Yby- 在剩下的证据中。为了证明（6.9），将其^o公式应用于|Yδ·|产生|Yδ·|=Xr≤·|Yδr|- |Yδr-|=Z·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|d（YB，δr/δ）- βδr）+Z·|Yδr-- δ| - |Yδr-|d（YS，δr/δ）- βδr）+Z·|Yδr-+ δ|+| Yδr-- δ| - 2 | Yδr-|βδdr=Z·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|dYB，δr/δ+Z·|Yδr-- δ| -|Yδr-|dYS，δr/δ+Z·δI{Yδr-=0}dr，（6.10），其中第三个恒等式从| y+δ|+y开始-δ|-2 | y |=2δI{y=0}对于任何y∈ R.另一方面，布朗运动的田中公式是（6.11）|Y·|=Z·sgn（Yr）dYr+2L·，其中当x>0或-x时为1≤ 0.然后通过比较（6.10）和（6.11）的两侧来确认收敛性（6.9）。为此，自从YδL-→ 绝对值是一个连续函数，那么| Yδ| L-→ |Y |来自[5，第1章，第5.1]的后续内容。然后，只要我们证明（6.10）右侧的鞅项弱收敛于（6.11）中的鞅项，就证明了（6.9），我们在下一个结果中证明了这一点。引理6.4。设Mδ：=R·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|dYB，δr/δ+r·|Yδr-- δ| - |Yδr-|dYS，δr/δ和M:=r·sgn（Yr）dYr。那么MδL-→ mond[0,1]为δ↓ 0.证明。定义fδ（y）：=δ（|y+δ|- |y代表y∈ R和observefδ（y）=1年≥ 02y/δ+1-δ<y<0-1年≤ -δ.显然，fδ在R\\{0}上局部一致收敛于sgn（·）。另一方面，YδL-→ 我的法律还在继续。

然后从[5，第1章，定理5.5]得出fδ（Yδ）L-→sgn（Y）。至于积分器（YB，δ）δ>0，正如我们在命题6.2的证明中所看到的，它们弱地收敛于WB/√2和是P-UT。然后[14，第六章，定理6.22]将·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|dYB，δr/δL-→√Z·sgn（年）dWBr。类似的论点yieldsZ·|Yδr-- δ| - |Yδr-|dYS，δr/δL-→ -√Z·sgn（年）dWSr。30渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点和wse是独立的布朗运动。定义W=WB/√2.-WS/√2.我们从前面的两个收敛性中得到了mδL-→Z·sgn（Yr）DWR具有与M相同的定律。命题6.2和命题6.3的结合产生了（Iδ，n）δ>0和（Iδ，n）δ>0的弱收敛性。此外，命题6.3中的局部时间序列也在预期中收敛。推论6.5。关于过滤家族（FY，δt）t∈[0,1],δ≥0表示任何n∈ {1，···，N}，Iδ，与Iδ，nL-→ I0，非D[0，1）asδ↓ 0.证明。该陈述源自于将命题6.2和6.3结合起来，并引用[14，第六章，定理6.22]。为了应用前面的结果，我们需要证明（Lδ，mδn）δ>0和（Lδ，mδn）δ>0都是P-UT。当（Lδ，mδn）δ>0时，将验证该特性。对于（Lδ，mδn）δ>0，同样的参数也适用。为此，由于Lδ，mδ是一个非减量过程，（Lδ，mδn）δ>0是P-UTas，只要（V ar（Lδ，mδn））δ>0是紧的，其中V ar（X）是过程X的变化，参见[14，第六章，6.6]。注V ar（Lδ，mδn）=Lδ，mδn，因为Lδ，mδn不是递减的。命题6.3暗示了（var（Lδ，mδn））δ>0的紧密性。推论6.6。对任何人来说∈ {1，··，N}和t∈ [0,1]，limδ↓0Eδ，0hLδ，mδnti=limδ↓0Eδ，0hLδ，mδnti=E0,0[Lmnt]。证据为了表示简单，我们将证明limδ↓0Eδ，0[Lδ，0t]=E0,0[Lt]。用Yδt代替Yδt得出推论-mδ或Yδt- 其余的证据都在这里。

因为（6.10）中的随机积分是Pδ，0-鞅，2Eδ，0[Lδ，0t]=Eδ，0[|Yδt |]。由于E[（Yδt）]=t对于任何δ>0，（|Yδt | Pδ，0）δ>0是一致可积的。然后根据[12，Ap pendix，命题2.3]和定律（|Yδt |）==> limδ↓0Eδ，0[| Yδt |]=E0,0[| Yt |]。因此，由于E0,0[|Yt |]=2E0,0[Lt]cf.（6.11），因此该权利要求如下。收集之前的结果，以下结果证实（6.5）。提案6.7。对于策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ），δ>0，如第5节limδ所述↓0Lδ（vn，0，0）=0，n∈ {1，··，N}。证据解决任何问题∈ (0, 1). 推论6.5意味着定律（Iδ，n1-; FY，δ）==> 定律（I0，n1）-; F） 。RecallLaw（~vδ）==> 引理6.1中的定律（~v）。然后它遵循法律Iδ，n1-I{vδ=vn}；FY，δ==> 法律I0，n1-I{v=vn}；F.另一方面，由于N是有限的，pδ被均匀地束缚在δ中。然后存在常数| Iδ，n1-I{vδ=vn}≤ CLδ，mδn1-，当上界的期望收敛时，参见渐进GLOSTEN-MILGROM平衡31推论6.6。因此，参考[12，附录定理1.2]并利用limδ↓从引理6.1中，我们得到（6.12）Eδ，0hIδ，n1-| vδ=vni=Eδ，0hIδ，n1-I{vδ=vn}iPδ（~vδ=vn）→E0,0hI0，n1-I{v=vn}iP（~v=vn）=E0,0hI0，n1-| v=vni，作为δ↓ 0.另一方面，s ince limδ↓0Pδ（~vδ）=P（~v=vn）>0，存在一个常数，如δ，0h | Iδ，n- Iδ，n1-|~vδ=vni≤ ceδ，0hLδ，mδn- Lδ，mδn1-i→ cE0,0Lmn- Lmn1-, asδ↓ 0，其中两次应用g推论6.6的收敛性如下。由于当地时间的不同，列维的结果（参见[15，第3章，定理6.17]）yieldsE0,0Lmn- Lmn1-= E0，-锰L- L1-=E0，-锰苏普≤1年- 苏普≤1.-年=rπ（1）-√1.- ），其中yi是P-布朗运动，E0，y[supr≤tYr]=p2t/π+y用于获得第三实体。

现在，前两次估计的综合收益率（6.13）lim supδ↓0Eδ，0h | Iδ，n-Iδ，n1-|~vδ=vni≤ C（1）-√1.- （6.12）和（6.13）中的估计也成立，当Iδ，nis替换为Iδ，n时。这些估计然后是yieldEδ，0hIδ，n- Iδ，n | vδ=vni≤ Eδ，0hIδ，n1-- Iδ，n1-| vδ=vni+Eδ，0h | Iδ，n- Iδ，n1-|~vδ=vni+Eδ，0h | Iδ，n- Iδ，n1-|~vδ=vni。发送δ↓ 0在上一个不等式中，右边的第一项在极限中消失，因为两个条件期望收敛到同一极限，第二项和第三项的极限都小于C（1）-√1.- ). 现在既然是任意选择的，发送→ 1产量超薄↓0Eδ，0hIδ，n- Iδ，n | vδ=vni≤ 0.类似的参数导致lim infδ↓0Eδ，0hIδ，n- Iδ，n | vδ=vni≥0，这就是证明。最后给出了定理2.12的证明。定理2.12的证明。仍需验证定义2.11 iii）。通过证明修正vnand（y，t）=（0，0）。我们已经从第4.4命题Vδ中看到≤ 我们，δ。另一方面，P位置4.2产生J（XB，δ，XS，δ）=Uδ- Lδ。因此（XB，XS）可容许jδ（XB，XS）- Jδ（XB，δ，XS，δ）≤ 我们，δ-Uδ+Lδ。自limδ↓命题6.7证明了0Lδ=0，它必须表示limδ↓0US，δ- Uδ=0。为此，从我们的定义，δ，（6.14）US，δ（0,0）- Uδ（0，0）=（Uδ(-δ, 0) - Uδ（0，0））I{0≤mδn}=δ（vn- pδ（0，0））I{0≤mδn}。上面的第二个恒等式来自（4.12），读作Uδ（y，t）-Uδ（y）-1，t）+δ（vn）-对于y，pδ（y，t））=0≤ 当订单大小为δ时，mδn。因此limδ↓0US，δ-发送δ后确认Uδ=0↓ 0英寸（6.14英寸）。32渐近GLOSTEN-MILGROM平衡A.粘度解命题3.1将在本节中得到证明。为了简化表示法，δ=1和v=vn贯穿本节。首先让我们回顾一下（不连续）粘度溶液对（2.8）的定义。

给定一个局部有界函数v:Z×[0,1]→ R、 它的上半连续包络v*和下半连续包络v*定义为（A.1）v*（y，t）：=lim su pt\'→电视（y，t′），v*（y，t）：=lim inft\'→电视（y，t′，（y，t）∈ Z×[0,1]。定义A.1。设v:Z×[0,1]→ R是局部有界的。i） v是（2.8）的（不连续）粘度亚溶液，如果-~nt（y，t）- H（y，t，v）*) ≤ 0，尽管如此∈ Z、 t∈ [0,1）和任何函数：Z×[0,1]→ R在第二个变量中连续可微，因此（y，t）是v的m最大点*- φ.ii）v是（2.8）的（不连续）粘度上解，如果-~nt（y，t）- H（y，t，v）*) ≥ 0，尽管如此∈ Z、 t∈ [0,1）和任何函数：Z×[0,1]→ R在第二个变量中连续可微，因此（y，t）是v的最小点*- φ.iii）如果v是（2.8）的（不连续）粘性解，那么它既是次解又是超解。对于内部人员的优化问题，让我们回顾一下动态规划原理（参见[19，备注3.3.3]）。给定一个可容许策略（XB，XS），任意[t，1]-取值的停止时间τ和基本值vn表示相关的函数byInt，τ：=Zτt（vn- p（年）-+ 1，r）dXB，Br+Zτt（vn- p（年）-+ 2，r）dXB，Tr+Zτt（vn- p（年）-, r） ）dXB，Sr-Zτt（vn）- p（年）-- 1，r）dXS，Sr-Zτt（vn）- p（年）-- 2，r）dXS，Tr-Zτt（vn）- p（年）-, r） ）dXS，Br，其中Y=Z+XB- XS。然后，动态规划原理是：对于任何容许的策略（XB，XS）和任何[t，1]值的停止时间τ，V（y，t），DPP i）≥ Ey，t[V（τ，Yτ）+Int，τ]。DPP ii）对于任何>0，存在一个容许策略（XB，XS），使得对于所有[t，1]-值停止时间τ，V（y，t）-  ≤ Ey，t[V（τ，Yτ）+Int，τ]。值函数V的粘度解性质遵循动态规划原理和粘度解中的标准参数（参见。

[19，提案4.3.1和4.3.2]。）因此，命题3.1 i）得到验证。由于状态空间Z是离散的，如果v（y，·）在任意有界邻域和任意固定y上有界，则v是局部有界的∈ Z.其中，停止时间τmca可以选择为Y的第一跳变时间，其中对于序列（tm）m，Ytm=Y→Tasympotic GLOSTEN MILGROM A.2。DPP ii的证明利用了可测选择定理。为了避免这种技术结果，可以使用[6]中的弱动态规划原理。对于内部人的优化问题，弱动态规划原理是：对于任何[t，1]值的停止时间τ，V（y，t），WDPP i）≤ 高级（XB，XS）Ey，t五、*（τ，Yτ）+Int，τ.WDPP ii）对于任何[t，1]值的停止时间τ和Z×[0，1]上的任何上半连续函数φ，使得V≥ ν，然后v（y，t）≥ 高级（XB，XS）Ey，tν（τ，Yτ）+Int，τ.[6]中假设A的条件A1、A2和A3在当前情况下明显满足。假设A中的条件A4可以按照[6，命题5.4]中的相同论点进行验证。因此上述弱动态规划原理成立。因此，值函数是（2.8）的粘度解，其参数类似于[6，第5.2节]。现在给出了位置3.1（ii）的证明。证明（vn，y，t，V）∈ dom（H），从V的粘度上解性质观察H（vn，y，t，V*) < ∞, 因此（vn，y，t，V*) ∈ dom（H）。另一方面，对于任何可积强度θi，j，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，由于定义2.2 iv），可以证明Ey，T[Int，1]是T中的连续函数。作为连续函数族（参见（2.7））的上确界，V在T中是下半连续的。因此V*≡ V，whichipmlies（vn，y，t，V）∈ 对于任何vn，dom（H）（y，t）∈ Z×[0,1）。

然后从（3.1）和（3.2）得出（A.2）V（y）-1，t）+p（y）-1.t）-越南≤ V（y，t）≤ V（y）-1，t）+p（y，t）-vn，对于任何（y，t）∈ Z×[0，1）.在前面的不等式中取t的极限上确界，并利用t 7的连续性→ p（y，t），当V被V取代时，前面的不等式仍然成立*, 这意味着（vn，y，t，V*) ∈对于任何vn，dom（H）（y，t）∈ Z×[0，1）。因此，H（vn，y，t，V*) 和H（vn，y，t，V*) 将红色ucedform（3.3）中的V替换为V*和V*, 分别地因此，定义A.1意味着V是（3.4）的粘度溶液。为了证明命题3.1（iii）和iv），让我们首先得出（3.4）的比较结果。函数v:Z×[0,1]→ 如果存在C和n这样的| v（y，t）|，R的第一个变量最多有多项式增长≤ C（1+| y | n），对于任何（y，t）∈ Z×[0,1]。引理A.3。假设u（分别为v）最多有多项式增长，并且它是上半连续v粘性子解（分别为下半连续上解）到（3.4）。如果u（·，1）≤v（·，1），然后u≤ 假设这个比较结果一会儿。不等式（a.2）和假设2.5结合起来，表明v最多是多项式增长的。然后引理a.3和（a.1）结合起来，得到v*≤五、*≤ 五、*, 这意味着t7的连续性→ V（y，t），因此命题3.1 iii）已经过验证。另一方面，我们可以证明V（y，t）：=Ey，t[V（Z，1）]最多是多项式增长，是（3.4）的另一个粘性解。然后引理A.3 y ieldsV（y，t）=V（y，t）=Ey，t[V（Z，1）]，写＠V（y，t）=E[V（Z1-t+y，1）]。我们可以利用Z的马尔可夫性质来证明V是连续可微的，并且V是（3.4）的经典解。34通过Z的马尔可夫性质证明命题3.1 iv）的渐近GLOSTEN-MILGROM平衡。引理a.3的证明。对于λ>0，定义u=eλtu和v=eλtv。在e上可以检查u（分别。

v）是（A.3）的粘度亚解（分别为上解）-wt+λw- （w（y+1，t）- 2w（y，t）+w（y）- 1，t）β=0。由于（A.3）的比较结果意味着（2.8）的比较结果，因此有必要将U（分别为v）视为（A.3）的粘度亚溶液（分别为上溶液）。设C和n为常数，如| u |，v |≤ Z×[0,1]上的C（1+| y | n）。考虑ψ（y，t）=e-αt（y2n+~C）对于某些常数α和~C，它如下-ψt+λψ+（ψ（y+1，t）- 2ψ（y，t）+ψ（y）- 1，t）β>e-αt（α+λ）（y2n+~C）- 2βy2n> 0，当α+λ>2β时。选择满足上述不等式的α，然后选择v+ξψ，对于任何ξ>0，都是（A.3）的粘性上解。一旦我们向你展示≤ v+ξψ，在发送ξ之后，引理的s陈述随后出现↓ 0.因为u和v最多都有线性增长（A.4）lim | y|→∞（u）- 五、- ξψ）（y，t）=-∞.将v替换为v+ξψ，我们可以假设u（分别为v）是（a.3）的粘度亚解（分别为上解）到dsupZ×[0,1]（u）- v） =supO×[0,1]（u）- v） ，对于一些紧凑的集合O Z.然后是u≤ v源自粘度溶液中的标准参数（参见[19，定理4.4.4]），我们在下面简要回顾。假设M:=supZ×[0,1]（u）- v） =supO×[0,1]（u）-v） 大于0且在（x，t）处达到最大值∈O×[0,1]。对于任何>0，定义（x，y，t，s）：=u（x，t）- v（y，s）- φ（x，y，t，s），其中φ（x，y，t，s）：=[|x- y |+| t- s |]。上半连续函数Φ在（x，y，t，s）处达到其最大值，用M表示。我们可以用[19，定理4.4.4]中的相同论证来证明，M→ M和（x，y，t，s）→ （x，x，t，t）∈ O×[0,1]as↓ 0.这里（x，y，t，s）∈ O×[0，1]表示充分的s mall。

现在观察o（x，t）是（x，t）7的局部最大值→ u（x，t）- φ（x，y，t，s）o（y，s）是（y，t）7的局部最小值→ v（y，s）+φ（x，y，t，s）。然后u的粘度上解性质和v的上解性质分别暗示，-（t）- s）+λu（x，t）- （u（x+1，t）- 2u（x，t）+u（x，t））β≤ 0,-（t）- s）+λv（y，s）- （u（y+1，s）- 2v（y，s）+v（y，s））β≥ 0.取之前不等式的差异得到（λ+2β）（u（x，t）- v（y，s）≤ β（u（x+1，t）+u（x）- 1，t）- β（v（y+1，s）+v（y）- 1，s）。发送↓ 在两边0，我们得到（λ+2β）M=（λ+2β）u（x，t）≤ βu（x+1，t）- v（x+1，t）+ βu（x）- 1.t）- v（x）- 1.t）≤ 2βM，渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，它与λM>0的w相矛盾。参考文献[1]K.Athreya，通过概率修正贝塞尔函数渐近性，统计概率B。莱特。，5（1987），pp。325–327.[2] K.B ack，连续时间内幕交易，修订版。财务部。螺柱。，5（1992），第387-409页。[3] K.Back和S.Baruch，《证券市场信息：凯尔会见格洛斯滕和米尔格罗姆》，计量经济学，72（2004），第433-465页。[4] K.Back和H.Pedersen，《长期信息和日内模式》，J.Financ。《市场》（1998年），第385-402页。[5] P.Billingsley，《概率测度的收敛》，约翰·威利父子公司，纽约，1968年。[6] B.Bouchard和N.Touzi，《粘性解的弱动态规划原理》，暹罗J.ControlOptim。，49（2011），第948-962页。[7] P.Br’emaud，《点过程和队列》，斯普林格·维拉格，纽约，1981年。鞅动力学，统计学中的普林格斯级数。[8] L.Campi和U.C,etin，《违约均衡模型中的内幕交易：从简化形式到结构模型的过程》，金融斯托克出版社。，11（2007），第591-602页。[9] L.Campi，U.C,etin和A.Danilova，具有违约和动态内幕信息的Equil-ibrium模型，Finance Stoch。，17（2013），pp。

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瓦尔加，《微分方程和泛函方程的最优控制》，学术出版社，纽约，1972年。（程莉和郝星）英国伦敦霍顿街10号伦敦经济与政治学院统计系，邮编：c。li25@lse.ac.ukHxing@lse.ac.uk