（11） 因此，单周期的条件方差返回，rt+1=pt+1- ptare：σt=Zt+1tσsds。（12） 这也称为t至t+1期间的综合波动率。假设按规则间隔的时间间隔对勾号数据进行采样的频率用f表示，以便在周期t之间- 1和t有f个连续复合收益，然后rt+1/f=pt+1/f- pt。因此，我们可以基于t+1期间的f日内收益率来估计实际波动率（RV），通常指的是短于一天的时间间隔内的收益率。这可能是几分钟、几秒钟甚至几毫秒。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3和t asRVt+1=fXi=1rt+i/f（13）这里的论点是，如果我们在足够频繁的时间步（f）取样，理论上可以从返回过程的样本路径观察挥发性，因此（Karatzas and Shreve（1991），Poon（2008））limf→∞Zt+1tσsds-fXi=1rt+i/f= 0（14），表示收益序列的RV渐近接近综合波动率，因此RV是当前波动率水平的合理估计。3、统计套利测试为了测试统计套利的整体交易策略，我们实施了一项新的统计测试，该测试最初由Hogan et al.（2004）提出，后来由Jarrow et al.（2012）修改，通过将其应用于整体策略的利润和损失损益。其思想是公理化地定义统计套利存在的条件，并假设增量交易利润的参数模型，以形成从多个子假设的联合中衍生出来的无效假设，这些子假设是为方便统计套利的实证检验而制定的。Jarrow等人提出的修正测试。

（2012），称为Min-t检验，源自对统计套利无效假设定义的参数施加的一系列限制，并应用于给定的交易策略，以检验统计套利。与Hogan等人（2004）使用的Bonferroni不等式相比，Min-t统计量可以提供更有效、更强大的统计检验。当子假设的数量增加时，统计能力的缺乏就会减少，因此，Bonferroni方法无法拒绝导致较大II型错误的错误零假设。要设置场景并引入统计套利的概念，请假设在someeconomy中，股票（投资组合）有一个货币市场账户BTA交易。让随机过程（x（t），y（t）：t≥ 0）表示一种零初始成本交易策略，该策略在给定时间t交易货币市场账户的某些投资组合备用y（t）单位的x（t）单位。用Vt表示时间t的累积交易利润。让交易策略产生的贴现累积交易利润的时间序列用ν（t），ν（t），ν（tT），其中ν（ti）=vTibti对于每个i=1，T、 表示每次贴现累计利润的增量iνi=ν（ti）- ν（ti-1). 然后，统计套利定义为：定义1（统计套利（Hogan et al.（2004），Jarrow et al.（2012）））统计套利是一种零成本、自我融资的交易策略（x（t）：t≥ 0）累计折扣交易利润ν（t），使得：（i）ν（0）=0，（ii）极限→∞EP[ν（t）]>0，（iii）极限→∞P[ν（t）<0]=0，和（iv）limt→∞V配置总成[ν（t）|ν（t）<0]=0。在我们的研究中，我们将考虑投资组合货币市场账户以货币的一个单位初始化，即。

B=1。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3换句话说，统计套利是一种交易策略，其1）初始成本为零，2）限额内的预期贴现累积利润为正，3）限额内的损失概率收敛为零，4）负增量交易利润（损失）方差收敛为零。显然，源自传统金融数学的确定性套利实际上是统计套利的特例（De Wit（2013））。为了测试统计套利，假设增量贴现交易利润根据过程随时间变化νi=uiθ+σiλzi（15），其中i=1，T创新需要考虑两种情况：1）zii。i、 满足z=0或2）zi的d N（0,1）正态不相关随机变量遵循MA（1）过程，由：zi=i+φ我-1（16）在这种情况下，创新是非正常且相关的。在这里iis是一个i.i.d.N（0,1）正态不相关随机变量。还假设ν=0，对于我们的算法，νtmin=0。我们将第一个模型（正态不相关创新）称为无约束均值（UM）模型，第二个模型（非正态和相关创新）称为无约束相关均值（UMC）模型。

此外，我们将θ=0的相应模型分别称为约束平均值（CM）和约束相关平均值（CMC），这两种模型假设随着时间的推移，其增量是恒定的，因此其增量过程如下所示：νi=u+σiλzi（17）由交易策略生成的UM模型在终端时间T的贴现累积交易利润，贴现回初始时间，由ν（T）=TXi=1给出νi~ NuTXi=1iθ，σTXi=1i2λ（18） 从方程式（18）可以直接看出，折扣增量交易利润的对数似然函数由以下公式得出：`（u，σ，λ，θ|ν） =ln L（u，σ，λ，θ|ν) = -TXi=1ln（σi2λ）-2σTXi=1 2λ(νi- uiθ）（19）交易策略在n个周期后产生损失的概率如下（Jarrow et al.（2012））Pr{n个周期后的损失}=Φ-uPni=1iθσ（1+φ）pPni=1i2λ！（20） 其中Φ（·）表示累积标准正态分布函数。对于CM模型，通过将φ和θ设置为零，可以轻松调整方程（20）。这种概率以比指数更快的速度收敛到零。如前所述，为了便于对定义1下的统计套利进行实证检验，制定了一组子假设，以对驱动贴现累积增量交易的基本过程的参数施加一组限制，如下所示：命题3.1（UM模型假设（Jarrow et al。

（2012）））根据定义1中定义的四个公理，如果2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3统计的增量交易利润共同满足以下四个子假设的交集，则交易策略会在UM模型下生成统计套利：i.）H：u>0，ii。）H:-λ>0或θ- λ>0，iii.）H：θ- λ+>0，H：θ+1>0。上述子假设的交叉定义了统计套利，正如de Morgan\'sLaws所述，无统计套利的无效假设由子假设的联合定义。因此，无统计套利无效假设是一组子假设，这些子假设是命题3.1：命题3.2（UM模型替代假设（Hogan et al.（2004），Jarrow et al.（2012））中每个子假设的补充，根据定义1中定义的四个公理，如果贴现增量交易利润满足以下四个子主题中的任何一个：i.）H:u，则交易策略不会产生统计利润率≤ 0，ii.）H:-λ ≤ 0或θ- λ ≤ 0，iii.）H：θ- λ +≤ 0和iv.）H：θ+1≤ 0如果单个子假设成立，则不会拒绝无效假设。然后，Min-t测试通过使用t-统计t（^u），t(-^λ），t（^θ-^λ），t（^θ-λ+0.5）和t（θ+1），其中hats表示参数的最大似然估计（MLE）。Min-t统计学家定义为（Jarrow et al.（2012））Min-t=Min{t（u），t（θ-^λ），t（^θ-^λ+0.5），最大值[t(-直觉是Min-t统计量返回最小的检验统计量，这是最接近被接受的子假设。如果Min-t>tc，则无统计套利无效，其中tc取决于测试的显著性水平，我们将其称为α。

由于拒绝的可能性不能超过显著水平α，因此我们有以下条件，即在α显著水平pr{Min-t>tc |u，λ，θ，σ}拒绝零的可能性≤ α（22）剩下的是计算临界值tc。我们将实施蒙特卡罗模拟程序来计算tc，我们将在下面的第3.1节步骤（v）中详细描述。3.1. 统计套利测试程序概述统计套利测试涉及的步骤概述如下：（i）交易增量νi：根据累积交易损益向量，计算增量(ν, . . . , νT）其中νi=ν（ti）- ν（ti-1).（ii）执行最大似然估计：计算公式（19）中给出的似然函数，并将其最大化，以确定四个参数的估计值，即^u、^σ、^θ和^λ。根据是否执行CM（θ=0）或UM测试，显然会调整对数似然函数。在本研究中，我们只考虑CM测试。由于MATLAB构建的无训练优化算法只执行最小化，因此我们最小化对数似然函数的负性，即最大化对数似然。（iii）标准误差：根据上述MLE步骤中的估计参数，计算在MLE估计中估计的负Hessian，这实际上是由I（Θ）表示的Fisher信息（FI）矩阵。为了计算Hessian，从方程（19）推导出分析偏导数。

由于Fisher信息矩阵的逆是协方差矩阵的渐近估计，因此标准误差被视为I（Θ）逆的对角元素的平方根。这说明集合交集的补数与其补数的并相同。在这里，我们参考了MATLAB的fmincon函数2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（iv）Min-t统计量：计算t（u），t(-^λ），t（^θ-^λ），t（^θ-^λ+0.5）和t（^θ+1），由此得到的Min-t统计由方程（21）给出。显然，t（^θ-^λ），t（^θ-CM测试不需要考虑λ+0.5）和t（θ+1）。（v） 临界值：使用MonteCarlo程序（不相关正态误差）和Bootstrapping（相关非正态误差）（a）CM模型计算α显著性水平的临界值。首先，使用方程式（17）（u，λ，σ）=（0，0，0.01）模拟5000个不同的过程。对于5000个pro-fit过程中的每一个，执行最大似然估计以获得估计参数、相关t统计数据以及最终的最小t统计数据。t取Min-t值的结果分布的1-α分位数。（vi）P值：利用前面步骤中的临界值和模拟的Min-t统计数据，使用方程（22）计算在α显著性水平上拒绝零假设的经验概率。（vii）n期损失概率：计算n期后的损失概率，每个n=1，T并观察无概率收敛到零（或文献中的5%以下）所需的交易周期数。这是通过计算向量的最大估计来实现的(ν, ν, . . . νn），并将这些估计值代入方程（20）。3.2. 反向测试过度拟合概率估计（PBO）Bailey等人。

（2014）强烈批评最近声称设计了可盈利投资或交易策略的研究，因为其中许多研究仅基于样本内（IS）统计数据，而没有评估样本外（OOS）绩效。我们通过使用Bailey et al.（2016）中概述的组合对称交叉验证（CSCV）程序计算回测过拟合概率（PBO）的估计值，迅速解决了这一问题。通常，投资者/研究人员会进行多次（N）回测测试，以选择优化算法性能的参数组合（通常基于一些性能评估标准，如夏普比率）。其思想是在长度为tblf的性能序列超时矩阵上执行CSCV，以便对该算法进行N次单独的试验模拟。在这里，我们必须清楚，当我们提到IS时，我们并不是指“训练集”，例如，在此期间计算了移动平均回溯参数。相反，werefer to IS是从后验试验中选择最佳策略时使用的观察数据子集。就本研究中提出的算法而言，由于大量的试验参数以专家的形式构成了学习算法的基础，我们无法观察不同参数设置对整体策略的影响，因为这些参数已经内置在基础算法中。相反，我们将在独立的历史数据子集上运行N次回溯测试模拟，以了解算法如何在不同的未看到数据子集上执行。然后，我们可以在试验产生的收益和损失矩阵上实施CSCV程序，以恢复PBO估计。

基本上，我们的模型中没有进行参数培训，因为考虑了所有参数组合，并且“学习”了与不同参数组合相关的专家策略的性能加权平均值的权重。更具体地说，我们为每个子集选择一个回测长度tblf，并将OHLCV数据的整个历史分割为该长度的子集。然后在每个子集上实现学习算法，以生成N=bT/TBLc利润和损失时间序列。注意，当u和λ为零时，子集将完全最大化。σ设置为0.01，以近似经验MLE估计（Jarrow et al.（2012））。下标BL代表背面测试长度2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3相互独立，因为每个单独的模拟运行的数据没有重叠。模拟结果见下表1。表1：。回测试验次数（N）、每次模拟的回测长度（TBL）以及每日和每日实施的结果PBO估计数。N TBLPBODaily 30 60天，每日1.4%，每日22 3天，每日11.4%。数据4.1。每日数据每日数据来源于汤森路透，包含与JSE前40名所列所有股票对应的数据。数据集包括2005年1月1日至2016年4月29日期间42只股票的数据，但我们将仅使用在此期间交易时间超过60%的股票。除去这些股票，我们总共有31支股票。数据包括开盘价（Po）、收盘价（Pc）、最低价（Pl）、最高价（Ph）和日交易量（V）（OHLCV）。除了这31支股票之外，我们还需要一种无风险资产来平衡投资组合。我们选择交易短期固定利率（STeFI）指数。

STeFIbenchmark是一个专有指数，用于衡量南非短期固定利率货币市场投资工具的表现。它由Alexander Forbes（前身为南非期货交易所（SAFEX））建造，现已成为短期现金等价物投资（最长12个月）的行业基准（“etfSA STeFI”（2011））。4.2. 日内每日数据Bloomberg是本文使用的所有滴答（日内）数据的来源。该数据集包括2018年1月2日至2018年6月29日JSE前40名股票中的30只。然后每隔5分钟对数据进行采样，以创建6个月期间所有5分钟间隔的OHLCV条目。我们取消了连续交易时段（9:00-16:50）的前10分钟和最后20分钟，因为在此期间市场相对缺乏流动性和波动性，这可能导致虚假的交易决策。因此，我们在任何一天为每只股票留下了88个OHLCV条目。除日内数据外，任何给定日期的最后一笔交易都需要特定期间的每日OHLCV数据。与日常数据一样，我们使用STeFI指数作为无风险资产，因此STeFI指数的日常条目包含在该数据集中。数据来自彭博终端，使用R Bloomberg API、Rblpapi，所有数据处理都在MATLAB中完成，以将数据转换为学习算法所需的形式。5、结果与分析5.1。每日数据在本节中，我们实现了上述各种算法，以便为每日JSE Top 40数据绘制一系列图形，如上文第4节所述。我们将绘制五个不同的图表：请参阅第6节中的补充材料，了解彭博资讯股票代码的全称。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3图1。

无交易成本的每日数据的总体累积投资组合财富（蓝色）和基准BCRP策略（橙色）。插图说明了该战略的相关损益（PL）。第一个是与上述STA相对应的总投资组合财富，第二个是累积利润和损失PLt，第三个是专家的相对人口财富与每个竞争财富的专家在算法中累积的财富相对应，策略的相对总体财富，该策略对每个给定交易策略的所有专家进行平均，以获得每个技术交易规则的累积财富路径。为了测试学习算法，我们将在活跃交易开始前一年确定15支流动性最强的股票。按流动性排名的股票如下：FSRJ。J、 OMLJ。J、 CFRJ。J、 MTNJ公司。J、 SLMJ。J、 NTCJ。J、 比尔日。J、 SBKJ。J、 WHLJ。J、 AGLJ。J、 索尔杰。J、 GRTJ。J、 INPJ。J、 MNDJ。J和RMHJ。J、 5.1.1。无交易成本。除交易成本外，很明显，投资组合在六年内取得了可避免的累计股本回报，如图1所示。在线学习算法（蓝色）的性能与基准BCRPstrategy（橙色）的性能相似，因为原始文献证明，从长远来看，该算法应该跟踪这样一个基准。图1中的插图说明了总体战略在整个交易周期内提供了一致的积极交易利益。图2（a）显示了所有人的专家财富Ohm 专家和图2（b）显示了每种策略的平均专家财富。

这些数据表明，与总体战略相比，基础专家的平均表现相当差，但有证据表明，一些专家在这段时间内取得了令人满意的回报。表2和表3分别提供了专家在整个交易周期内的最终财富以及专家的利润和损失的集团汇总统计数据，其中专家根据其基本策略ω（i）进行分组。在线Z-反冲突算法产生了最好的专家（最大终端财富），紧随其后的是慢随机规则，而ZAnticor也产生了在所有专家中平均终端财富最大的专家（第2列）。此外，Z-Anticor生产的专家财富变化最大（标准偏差最高）。威廉姆斯在很大程度上造就了最差的专家（最低终端财富）。有关表2和表3中提到的各种交易规则的详细说明，请参阅附录A和附录B。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（a）（b）图2。图2（a）说明了所有人的专家财富（Sh）Ohm 无交易费用的日常数据专家。图2（b）显示了在没有交易成本的日常数据下，每个交易策略（ω（i））的所有专家的平均专家财富。平均终端财富最低和平均排名最差的交易规则分别为SAR和slowstochastic。关于专家的利润和损失（表3），momentumrule（MOM）产生的专家在单个时期内的利润最大。SAR和AntiZ BCRP分别在每个交易期产生最差和第二差的平均利润/损失，而Z-Anticor和Z-BCRP在每个交易期获得最佳的平均利润/损失。表2：。按基本策略分组的专家总体排名的组汇总统计数据（ω（i），其中i=1，17） 用于每日交易。

括号中的下一个平均值是专家组中专家的平均总体排名。策略平均值（平均秩）圣德维敏马克西马X-超过0.8739（673.6343）0.1767 0.5216 1.4493一莫库基军森0.9508（623.3194）0.2313 0.5424 1.5427MACD 0.9504（657.7639）0.1750 0.5601 1.6065移动平均值X-超过0.8895（632.6944）0.1930 0 0.5206 1.4505ACC 1.0994（736.5833）0.3131 0.5283 1.9921BOLL 1.0499（569.1944）0.3536 0.6076 1.7746快速随机0.9995（778.6111）0.3699 0.6006 1.8555MARSI 1.0723（639.3611）0.2081 0.6947 1.6917MOM 1.0403（681.4444）0.1353 0.7349 1.3595在线抗Z-BCRP 0.7579（731.9444）0.1935 0.4649 1.0924在线抗Z-Anticor 1.3155（694.5278）0.4388 0.6363 2.3886在线抗Z-BCRP 1.2818（652.8611）0.2637 0.8561 1.8341过程0.8963（718.0833）0.631 05 1.2161RSI 1.1339（757.3889）0.2544 0.6440 1.7059SAR 0.7314（654.1111）0.0619 0.6683 0.8683慢随机1.1135（793.2222）0.3302 0.6955 2.1023威廉姆斯百分比R 0.9416（728.6944）0.3150 0.4662 1.5131表3。专家每个周期的损益汇总统计数据，按其基本策略分组（ω（i），其中i=1，17).战略意味着圣德夫。

Min MaxEMA X-over-0.00010 0.00633-0.09745 0.08074Ichimoku Kijun Sen-0.00004 0.00723-0.10467 0.06157MACD-0.00003 0.00725-0.15993 0.08074移动平均X-over-0.00009 0.00644-0.15993 0.11482ACC 0.00007 0.00760-0.15993 0.08028 BOLL 0.00002 0.00711-0.06457 0.064800快速随机-0.00001 0.47-0.00847 06469 0.06279MARSI 0.00006 0.00612-0.06788 0.06527MOM 0.00004 0.00603-0.06051 0.15820在线Anti-Z-BCRP-0.00022 0.00773-0.09847 0.09336在线Z-Anticor 0.00021 0.00759-0.06475 0.09773在线Z-BCRP 0.00021 0.00771-0.09336 0.09847过程-0.00007 0.00733-0.10467 0.09745RSI 0.00010 0.00666-0.06460 0.09745SAR-0.00023 0.00724-0.10467 0.08724慢随机0.00009 00809-0.06480 0.06820Williams%R-0.00006 0.00815-0.06820 0.06317 2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（a）（b）图3。图3（a）和图3（b）显示了在Python中使用Keras实现的专家财富的时间序列上变分自动编码器的潜在空间。在图3（a）中，专家根据他们交易的4个对象集群中的哪一个来着色，而在图3（b）中，专家根据他们的成熟交易策略ω（i）来着色。图3（a）显示了所有专家财富时间序列的变分自动编码器（VAE）潜在空间的二维图，其中专家由对象聚类着色。不足为奇的是，专家的财富时间序列显示出专家在其投资组合中交易的股票非常明确的集群，因为每个专家交易的股票将与他们在给定的传入数据下做出的决策直接相关，从而与他们获得的相应回报（财富）直接相关。为了进行某种比较，在图3（b）中，我们绘制了与上述相同的结果，但这一次我们根据专家的基本策略ω（i）给他们着色。

VAE似乎能够根据他们交易的股票与他们使用的策略相比较，找出专家之间更明确的相似之处（不同之处），提供证据表明，所获得的财富更依赖于股票选择，而不是所选择的策略。这可能是一个需要考虑的重要问题，并表明可能值得考虑更复杂的方式来选择股票进行交易，而不是制定更复杂的/可支持的策略。Samo和Hendricks（2018）对定量投资经理在讨论资产有用性时应考虑的特征进行了讨论。接下来，我们对无交易成本的策略的每日累计盈亏（PL）进行CM测试，以进行统计套利。为了得到与Jarrow et al.（2012）同义的结果，我们选择了400天的时间来测试我们的策略。我们测试了从第30个交易日到第430个交易日的400天期间的实际利润和损失。这是为了让算法能够启动，并为大多数专家留出足够的时间来获得足够的数据，以便开始做出交易决策。如第3.1节第（v）（a）步所述，利用方程式（17）中的预测过程模拟5000个不同的造币厂统计数据，图4显示了Min-t值的直方图。然后将临界值tc计算为模拟分布的0.95分位数，该分位数表示α=5%的显著水平，并用红色垂直线表示。得出的临界值为tc=0.7263。总体战略的实际增量收益和损失产生的最小t为3.0183（垂直绿线）。通过方程式（22），我们恢复了零的p值。

因此，我们可以得出结论，在5%的显著性水平上，有明显的证据可以拒绝无统计套利的无效性。除了测试统计套利，我们还报告了2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3所需的天数图4。在方程式（17）中给出的模拟增量过程中，CM测试产生的5000个模拟Min-t统计数据的柱状图，以及从第30个交易日到第430个交易日的400天期间整体策略利润和损失序列的Min-t统计数据（绿色），不考虑任何交易成本。图1显示了前30个交易日的损失概率，我们计算了从第一个交易期到第n个交易期的损失概率和损失过程，每n=1，25.使用根据CM模型情况调整的方程式（22），策略损失概率下降到5%以下。如第3.1节步骤（vii）所述，对于每个n=1，T，我们执行MLEforν1：获取参数估计。然后，我们将这些估计值替换为方程式（22），以获得第n个周期的损失概率估计值。这都是根据CMmodel完成的。图4的插图说明了前25个交易日中每个交易日的损失概率，其中我们计算了从第一个交易期到第n个交易期的损失概率和损失过程，每个n=1，25、从插图中可以明显看出，损失概率需要10个周期才能收敛到5%以下。5.1.2. 交易成本。在本节中，我们复制了上述结果，但这次包括了第2.5节中讨论的日常交易的交易成本。

一旦计算出直接和间接（方程式（11））成本，我们的想法是从每天的损益中减去交易成本，并将所得价值复合到-1获取t期的财富。将这些每日收益和损失相加，以获得累积收益和损失损益。从图5（a）的插图中可以清楚地看出，图5（a）说明了总体策略的收益和损失（PL）减去每个期间的交易成本，在合并交易成本时会产生一致的损失。此外，没有证据拒绝无统计性比特率无效假设，因为总体策略产生的最小t统计量远低于直方图第95百分位的临界值，如图5（b）所示。除此之外，虽然包含交易成本的策略的损失概率最初收敛为零，但最终确定为1。图5（b）的插图对此进行了说明。考虑到图5（a）、图5（b）及其相关插图中包含的上述证据，在考虑交易成本的情况下，整体策略在可支持性方面无法通过历史回溯测试，对于利用每日数据并有足够时间进行充分支持的投资者来说，整体策略可能不太合适。这与Schulmeister（2009）的观点一致，因为股价和成交量趋势很有可能已经转向比随着时间的推移，交易策略的收益在2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（a）每日数据和交易成本的总体累积投资组合财富逐渐减少。

插图说明了每日数据交易成本总体策略的损益（PL）。（b） CM模型产生的5000个模拟Min-t统计数据的柱状图和方程式（17）中给出的增量过程，以及400天期间（从第30个交易日到第430个交易日）整体策略利润和损失序列的Min-t统计数据（绿色），其中包含交易成本。还显示了5%显著水平（红色）的临界值。插图显示了整体交易策略在前400个交易日中产生亏损的概率。图5：。算法的性能（图5（a））和统计套利测试的结果（图5（b））对包含交易成本的每日数据的影响。时间尺度。5.2. 日间每日数据下面，我们报告了日间和每日JSE数据组合的算法实现结果，如第2.3节所述。我们在JSE前40名中30只股票的15只最具流动性股票的OHLCV数据上运行了该算法。流动性根据2018年1月2日至2018年3月9日前4天的平均每日交易量计算。这组15只股票如下：FSR:SJ、GRT:SJ、SLM:SJ、BGA:SJ、SBK:SJ、WHL:SJ、CFR:SJ、MTN:SJ、DSY:SJ、IMP:SJ、APN:SJ、RMH:SJ、AGL:SJ、VOD:SJ和BIL:SJ。上述期间剩余的40天数据用于运行学习算法。正如在每日数据实现中一样，我们再次分析了有交易成本和无交易成本的两种交易案例，我们在下面的两个小节中报告了这两种情况。5.2.1. 无交易成本。如图6（a）所示，在没有交易成本的情况下，总体战略实现的累积财富的演变类似于指数函数。

相关的盈亏情况如图6（a）的插图所示。与每日数据案例相比，增量利润和损失显然要小得多，因此与每日数据案例相比，函数更加平滑（图1）。表4是表2的日内模拟值。在这种情况下，指数移动交叉策略（EMA X-over）产生财富最大的专家，加速（ACC）产生终端财富最小的专家。指数移动交叉还产生了2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3终端财富变化最大的专家。在所有其他策略中，价格变化率（PROC）为所有专家提供了最好的平均排名专家，然而，Z-BCRP产生的终端财富平均值最高的专家。同样，对于每日数据案例，我们使用日内收益和损失序列（PL），从第二个交易日的第6个时间段开始，对400个交易周期的日内每日交易进行统计套利测试，无交易成本。图6（b）用模拟分布的0.95%表示模拟Min-t值的直方图，表示学习算法导致的总体策略增量收益和损失所产生的临界值tc（红色）和Min-t（绿色）。得出的临界值为0.7234，最小t值为4.2052。因此，有强有力的证据可以拒绝无统计套利的零假设，因为结果p值等于零。表4：。按基本策略分组的专家总体排名的组汇总统计数据（ω（i），其中i=1，17） 用于日内交易。Inbrackets是使用每种策略的专家的平均总体排名。策略平均值（meanrank）St.Dev。

Min MaxEMA X-over 1.0024（662.7639）0.0094 0.9801 1.0375Ichimoku Kijun Sen 0.9989（710.3750）0.0085 0.9663 1.0303MACD 0.9995（684.8704）0.0067 0.9720 1.0202移动平均X-over 1.0012（708.7824）0.0058 0.9766 1.0204ACC 0.9953（831.3333）0.0079 0.9646 1.0048BOLL 0.9974（712.9722）0.0069 0.9787 1.0089快速随机0.9991（711.4167）0.0040 0.9871 1.0085MARSI 0.9973（736.2500）0.0062 0.9824 1.0094MOM0.9982（723.1389）0.0087 0.9700 1.0082在线抗Z-BCRP 0.9980（597.3056）0.0062 0.9828 1.0103在线抗Z-Anticor 1.0015（655.7778）0.0058 0.9896 1.0180在线抗Z-BCRP 1.0031（566.5833）0.0069 0.9898 1.0149过程0.9980（445.1389）0.0064 0.9814 1.0140RSI 0.9997（535.5833）0.0065 0.9861 1.0171SAR 0.9945（499.7222）0.0053 0.9790 1.0005慢随机1.0007（508.5278）0.0048 0.9927 1.0173Williams%R1.0020（536）0.0034 0.9957 1.0133图6（b）的插图说明了上述400个期间中前25个期间的损失概率。损失概率收敛到零大约需要一个小时（13个周期）。5.2.2. 交易成本。我们现在报告在上述小节中相同的Intraday每日数据上运行的算法的结果，但这一次包含了交易成本（参见第2.5节）。图7（a）和插图分别说明了日内交易的总累积投资组合财富和损益（PL），交易成本为交易成本。出于比较原因，将轴设置为与无交易成本情况下的轴等效（图7（a）和插图）。令人惊讶的是，即使每日总交易成本（直接和间接）约为130个基点，这是一种相当保守的方法，该算法也能够获得令人满意的回报，这与每日交易情况形成对比（图5（a））。

此外，图7（b）提供了拒绝无统计套利无效假设的重要证据，这与做出第一个交易决策的交易期相对应。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（a）无交易成本的日间数据的总累积投资组合财富。插图说明了相关的损益。（b） CM模型产生的5000个模拟Min-t统计数据的柱状图，以及方程式（17）中给出的前400个交易周期的日内收益和损失的增量过程，不考虑交易成本以及总体策略的Min-t统计数据（绿色）和5%显著水平的临界值（红色）。插图显示了整体交易策略在n个周期后产生损失的概率，每个n=5，从活跃交易开始第二天的第5个时间段中提取的每日盈亏过程（PL）的25。图6：。算法的性能（图6（a））和统计套利测试的结果（图6（b））在不考虑交易成本的情况下对日内数据进行计算。返回与无交易成本情况下几乎相同的Min-t统计（交易成本情况下为4.32，而无交易成本情况下为3.87）（图6（b））。

更令人欣慰的是，即使考虑到交易成本，每个交易期的损失概率也趋于零，尽管比没有交易成本的情况（如图6（b）所示，大约1小时或13个交易期）稍慢（大约2小时或31个交易期）。上述日内每日交易的结果与交易成本每日交易的结果完全相反，无统计套利无效不能被拒绝，损失概率没有收敛到零并保持不变，交易利润在交易期内稳步下降。这表明所提出的算法可能更适合在更高频率下进行交易。这并不奇怪，与Schulmeister（2009）的观点完全一致，Schulmeister认为技术交易策略的可行性自1960年以来有所下降，在从20世纪90年代变得不可预测之前，大量的技术交易策略都是在30分钟的数据上实施的，有证据表明，1983年至2007年间，这些策略的回报率达到了相当高的水平，但与20世纪80年代和90年代相比，2000年至2007年间，回报率略有下降。这表明市场可能已经变得更加高效和成熟股票价格和成交量趋势的变化频率甚至超过30分钟的可能性（Schulmeister（2009））。这支持了在至少5分钟OHLCV数据上交易本文提出的算法的选择，并加强了我们的结论，即最终，该算法最理想的实现将是在交易量时间内，这最适合高频交易。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（a）包含交易成本的日间数据的总累积投资组合财富。

插图显示了相关的利润和损失。（b） CM模型产生的5000个模拟Min-t统计数据的柱状图，以及前400个交易期内每日利润和损失减去交易成本的增量过程，以及总体策略的Min-t统计数据（绿色）和5%显著水平的临界值（红色）。图7：。该算法的性能（图7（a））和统计套利测试的结果（图7（b））在包含交易成本的日内数据上。6、结论我们开发了一种基于技术交易策略的学习算法，用于在JSE上进行股票交易，该算法能够在忽略交易成本的情况下，在每日和日内交易条件下提供有利的回报。当在每日设置中考虑交易成本时，回报会降低，但有充分的证据表明，所提出的算法非常适合日内交易。事实证明，即使对日内交易成本持合理的渐进观点，也存在有意义的证据，可以拒绝总体交易策略中无统计套利的精心定义的无效假设。我们还能够证明，在日常和日内的日常数据实现中，损失概率相对快速地下降到5%以下，这强烈表明该算法非常适合偏好或要求在短期内获得足够回报的交易员。很有可能，我们在当天确定的统计数据是来自“价格扭曲者”（Mo fft（2017））的人工制品，而不是相对于交易少数群体的多数观点意义上的合法错误定价，Hencec无法轻易从利润中交易出去。

这表明，重要的是尝试解开与统计套利相关的结构性错误定价之间的差异，这超出了当前工作的范围，并且无法使用本工作中实施的测试来确定。日内交易算法的优越性能与Schulmeister（2009）的结论一致，Schulmeister认为，虽然一大套技术交易策略的日收益率自1960年以来稳步下降，自20世纪90年代初以来一直无法实现，1983年至2007年间，在30分钟（盘中）数据上交易相同的策略产生了可观的平均总回报。然而，自2000年初以来，此类回报率已缓慢下降。总之，所提出的算法更适合在更高的频率进行交易；但我们也意识到，随着时间的推移，本质上非结构性的交易策略会通过过度拥挤慢慢套利。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3我们还认识到，日内交易将需要累积交易利润的很大一部分来为摩擦融资，具体来说是为直接、间接和商业模式成本融资（Loonat和Gebbie（2018））。因此，当在实时交易环境中使用真实货币进行交易时，我们谨慎地对这类算法的长期性能持怀疑态度。目前的算法设计尚未准备好在实时市场数据上进行交易，然而，考虑到算法的顺序性及其接收和适应新传入数据的固有能力，同时根据新数据做出适当的交易决策，通过一些功能，它很容易转移到此类用例中。

具体来说，该算法应该部署在批量时间交易的上下文中，而不是本文考虑的日历时间上下文中。未来可能的工作包括在体积时间内实现该算法，鉴于顺序流的间歇性，该算法最适合处理拟议算法的高频实现。我们还建议将学习算法替换为在线（自适应）神经网络，该网络能够预测股票的最佳持有时间。考虑的另一项有趣的工作是对在捕食-被捕食环境中竞争的贸易专家群体进行建模（Farmer（2000），Johnson等人（2013））。这是该研究项目的一个初始关键动机，旨在发现哪些技术交易策略集合可以集体分组，以及它们如何相互作用。这可以包括根据他们的相似性和差异，对小组或单独的交易专家进行聚类分析，从而对他们在集体和紧急动态层面的互动和行为作出适当的推断。这反过来可以用于基于集群的投资组合控制方法。致谢NM和TG感谢统计科学部的统计金融研究小组就这项工作进行了各种有益的讨论。特别是，我们要感谢Etienne Pienaar、Lionel Yelibi和Duncan Sa ffy。我们感谢Michael Gant帮助我们制定了一些策略，并就统计套利测试进行了大量有价值的讨论。FundingTG感谢UCT FRC的资助（UCT基金459282）。补充材料请访问Murphy（2019）的补充材料。参考Algoet，P.H。

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