基于核的谱风险测度估计

2022-6-14 06:37:51

基于核的光谱风险估计M ea suresSUPARNA BISWAS&RITUPARNA SENIndian Statistic Institute，Bangalore，IndiaAbstractSpectrum风险度量（SRM）属于相干风险度量家族。SRM类的自然建模器采用L-统计的形式。许多作者已经研究并推导了SRM经验估计的渐近性质。我们提出了一种基于核函数的SRM估计。我们研究了基于i.i.d和相依观测的一般L-统计量的大样本性质，并将其应用于我们的估计。我们证明了它的强相合性和渐近正态性。我们通过蒙特卡罗模拟，将我们提出的核估计量的有限样本性能与不同SRM的几种现有估计量的有限样本性能进行了比较。我们观察到，我们提出的核估计优于所有估计。基于我们的模拟研究，我们估计了四个未来指数的指数SRM，即日经225指数、Dax指数、富时100指数和恒生指数。我们还对SRM进行了测试。关键词：谱风险测度，相干风险测度，L统计量。1简介在金融市场中，风险度量用于确定保留的资本金额。这种暂停的原因是为了限制银行和保险机构等金融机构所承担的风险，以便监管机构能够接受。风险度量是一种函数，它将实数分配给随机金融量的可能结果，如保险索赔或对账单损失。近年来，人们的注意力转向了凸性和一致性风险度量，这种度量在金融、保险和其他与不确定性相关的领域越来越流行。Artzner等人提出了一致性风险度量的概念。

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2022-6-14 06:37:54

（Artzner（1997）、Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999））（见附录）。Acerbi（2002）提出的谱风险度量（SRM）是损失分布分位数的加权平均值，其权重取决于用户的风险厌恶。它属于一系列连贯的风险度量。SRM的一个很好的特性是，它们将风险度量与用户的风险规避联系起来（Dowd、Cotter和Sorwar（2008））。换句话说，如果两个投资者面临相同的潜在不幸分布，SRM表明风险厌恶程度越高的投资者面临的风险越高。此外，SRM还满足两个附加条件，即定律不变性和科摩诺音调（Henryk和Silvia（2008））。法律不变性对于应用来说是一个重要的属性，因为它是从理论数据中估计风险度量的必要属性（Henryk和Silvia（2008））。Overbeck（2004）讨论了如何将SRM用于资本配置，Cotter和Dowd（2006）建议，期货交易所可以使用SRM设定保证金要求，以反映其公司利率风险规避。定义1。Let，φ∈ L（[0,1]）是可接受的风险谱（见附录），X表示投资组合的价值。然后，根据Henryk和Silvia（2008），光谱风险测量值由mφ=-Zφ（u）F-1X（u）du，（1），其中φ称为风险规避函数，F-X的X轴分量（见附录）。风险规避函数为X分布左尾的不同置信水平分配了不同的权重。Henryk和Silvia（2008）提到，任何理性投资者都可以通过绘制不同的权重函数φ来表达其主观风险规避。可以看出，如果φ（u）=p0≤u≤p Mφ是一个光谱风险度量的预期差额。

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2022-6-14 06:37:58

但风险价值不是光谱风险度量，因为它不是一致的风险度量。我们对SRM的估计很感兴趣。一个相关的量是失真风险度量（DRM）。DRM的评估文献比SRM更丰富。定义2。（Tsukahara（2009））表示F-十、失真ris kmeasure（DRM）定义为ρDθ=Z[0,1]F-1.-X（u）dDθ（u）=ZRxdDθoF-给定畸变函数Dθ（见附录）和θ的X（X），（2）。比较（1）和（2）我们得到，Mφ（X）=ρDθ(-十） iff Dθ（u）=Zuφ（1-s） ds公司u、要使ρDθ相干，D必须是凸的。形式（2）的DRM表示可以用anL统计的形式书写的自然估计值。假设我们有独立的观测值X。。，Xnand让Xn1≤ ··· ≤ Xnnbe订单统计。如果我们用经验分布函数（df）代替F，则我们得到一个阶值的线性函数作为估计值或ρd，我们表示为ρρρ=n∑i=1cniXni，其中cni=D（i/n）-D（（i-1） /n）。许多作者研究并推导了^ρ的渐近性质。Shorack（1972）导出了i.i.d.情况下f^ρ的渐近性质。Wellner（1977b）建立了^fn及其左连续逆的近似线性界。Wellner（1977a）建立了统一经验df的Glivenko-Cantelli定理的一个强大版本，并用它建立了i.i.d.情况下^ρ的易符号性质。Sen（1978）还建立了i.i.d.情形下^ρ的渐近性质。Zwet（19 80）推广了Wellner（197 7a）和Sen（1978）consideringi的结果。i、 d案例。根据VanZwet，g和J上的所有平滑条件都是不必要的，Jn的点收敛可以放宽（关于g、J和Jn的定义，请参见第3.2节）。

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2022-6-14 06:38:01

Tsukahara（2014）建立了考虑平稳过程的^ρ的渐近性质。从以前的研究中，我们观察到，除了经验df之外，没有涉及df估计量的ρ估计量的结果。Swanepoel和Van Graan（20 05）介绍了基于数据非参数变换的akernel df估计。Dutta和Bis was（2017）使用Swanepoel和Graan的核df估计值来估计风险价值，并观察到其优于风险价值的经验估计值。本文的目的是在ρDθ的估计中考虑核DF估计，并建立其渐近性质。我们按照以下方式组织论文。在第2节中，我们使用常用的核df和Swanepoel以及Graan的df估计器提出了基于核的ρDθ估计器。在第3节和第4节中，我们建立了假设性质，并在附录中给出了我们结果的详细证明。在第5节中，我们使用蒙特卡罗模拟比较了基于核的估计器和经验估计器的单位样本性能。对不同的样本大小、风险度量和四种不同的模型重复进行比较。在第6节中，根据2004年1月2日至2008年12月31日和2009年1月2日至2019年1月22日期间的DailReturn数据，我们在模拟研究中估计了日经225指数、Dax指数、FTSE 100指数和恒生指数四种期货的指数RM。为了进行比较，我们还提供了早期的结果，即1991年1月1日至2003年12月31日，因为这是Cotter和Dowd（2006）考虑的时期。在第7节中，我们对SRM进行了回测。最后，在第8节中，我们讨论了这些发现。罗森布拉特（1956）提出的核方法在非参数估计中受到了广泛的关注。设，X。。，Xnbe i.i.d。

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2022-6-14 06:38:04

随机变量。核df估计量定义如下fn，b（x）=nbn∑i=1Zx-∞kt型-Xib公司dt=nn∑i=1Kx个-Xib公司.让我们考虑以下假设：假设1：核df K是可微的，有界核密度K的均值和有限方差为零。假设2：b是满足条件b的s光滑参数→0和nb→ ∞ 作为n→∞.Swanepoel和Van Graan（2005）提出了另一种基于数据非参数变换的核d f估计。他们表明，估计值的渐近b ias和均方误差远小于Fn、b.Swanepoel和Graan\'sdf估计值的t，其定义如下：eFn（x）=nn∑i=1KFn，b（x）-Fn，b（Xi）^b, （3）式中，^b=cbα，1≤α< 3. Swanepoel和Van Graan（2005）建议使用^b=b=h√πi1/7σ-4/7n-1/7，（4）其中c和α等于1，σ=min{S，IQR/1.349}，S和IQR分别是样本标准偏差和四分位间距。基于此，我们提出了以下ρD.eρD=Z[0,1]eF的估值器-1n（u）dD（u）=ZRxdDoeFn（x），（5），其中D是定义（9）中定义的畸变函数。Dutta和Biswas（2017）观察到，Swanepoel和Grann的df估计器提供了比p（分位数位置）接近零且样本量小于等于500的多个分位数估计器大幅改进的分位数估计。根据Dutta和Biswas（2017）的发现，我们预计我们提出的估值器的表现优于^ρ。为了进行比较，我们基于核分布函数估值器定义了另一个ρ估值器，即Fn，b（x）as^ρbD=Z[0,1]F-1n，b（u）dD（u）=ZRxdDoFn，b（x）。（6）这也将有助于作为一种中间手段来建立EρD的一致性和渐近正态性。3 Consisten cy我们的目标是建立EρD的一致性。我们将分两个步骤来完成。

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2022-6-14 06:38:07

首先，我们建立^ρbd的一致性，然后我们可以使用它来建立ρD的一致性。我们通过遵循Shorack（1972）和Wellner（1977a）使用的技术来建立^ρbd的一致性。设ξ，ξ。。是在[0，1]上具有df F（F（t）=t的独立同分布均匀（0，1）随机变量序列。虽然g h结果是针对均匀（0,1）得出的，但通过备注（1），它们适用于所有CDF。让我们记下如下定义的核df估计器。Fn，b（t）=nbn∑i=1Zt-∞kx个-ξibdx，0≤t型≤ 其中k是核密度函数，b是满足假设1-2的平滑参数。我们知道，扭曲风险度量可以写成L-统计的形式。因此，方程（6）可以写成L-统计量的形式。设，G表示（0，1）上的左连续函数集，这些函数在（δ，1）上有界变化-δ），对于所有δ∈ (0, 1/2); fix克∈ G让，cn1。。，CNN编号≥ 1，为已知常数。然后我们考虑一个一般的L-统计量，其形式为tn=nn∑i=1g（ξni）cni，其中0≤ξn1≤.. . ≤ξnn≤1表示n i.i.d均匀（0，1）随机变量的阶数。备注1。如果g=f（I-1），f∈G对于某些分布函数I，则tn具有相同的分布Sn=n∑ni=1cni（Xni），其中Xn1≤ . .. ≤ xn是大小为n fromI的样本的顺序统计信息。3.1独立观测在本节中，当观测值是独立的时，我们为TN建立了一个强大的定律。对于n≥ 1，让我们通过Jn（t）=cnifor（i）定义函数Jnon[0，1]-1） /n<t≤ 识别号，其中1≤ 我≤ n和jn（0）=cn1。

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2022-6-14 06:38:09

下一步，对于0≤t型≤ 1，我们定义ψn（t）=-RtJndF使Cnin=hψn在里面-ψn（一）-1） n个i、 Tn=Zg（F-1n，b）JndF（7）=n∑i=1g（ξni）ψn在里面-ψn（一）-1） n个.我们，设置un=ZgJndF。为了证明我们的两个重要结果，我们定义了某些函数并假设了某些性质来证明我们的结果。对于固定b、b>0和M>0，定义a“得分基础函数”b byB（t）=Mt-b（1-t）-b、 0<t<1。对于δ>0定义（t）=Mt-1+b+δ（1-t）-1+b+δ，0<t<1，h（t）=[t（1-t） ]1-δ/2，0<t<1。现在，让g是g中的固定函数。让我们将J表示为（0，1）上的固定可测函数，并设置u=ZJgdF。（8）假设（A）：（边界）。Let | g |≤ D、全部| gn |≤ D、 | J |≤ B和所有| Jn |≤ B在（0，1）上，假设RBHD | g |<∞.假设（B）：（Smoo-thness）。除了在| g |-度量值为0的一组t上，我们有两个J在t和Jn处都是连续的→ J在t为n的s o me小邻域中一致→ ∞.定理1。如果假设1、2和（A）成立，则LIMN→∞（Tn-un）=0 w.p.1。证明：证明见附录。如果J和g满足式（A），则|u|<∞. 我们陈述了一个与Wel lner（Wellner，1977a）的推论2相似的推论。推论1。如果limn→∞un=u∞存在（带|u∞| < ∞) 假设1、2和（A）保持s，然后保持limn→∞Tn=u∞w、第1页。证明：证明见附录。定理2。如果假设1、2、（A）和（B）成立，则LIMN→∞Tn=uw.p.1其中u是有限的。证明：证明见附录。从定理2我们可以说，在上述所有一般条件下，^ρbDin（6）证明具有强相合性。同样，我们可以证明我们的估计reρDin（5）在上述非常一般的条件下具有强相合性。3.2依赖Cas以太网3。设{ξn，n≥ 1} 是遍历平稳序列，如果假设1、2和（A）成立，则为极限→∞（Tn-un）=0 w.p.1。对于i.i.d.情况，上述定理在定理1中得到陈述和证明。

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2022-6-14 06:38:12

当{ξn，n时证明仍然成立≥ 1} 是一个遍历平稳序列，因为我们只需要强大数定律和分布函数估计的几乎确定的收敛性。因此，如果{ξn，n，定理2也是正确的≥ 1} 是一个遍历平稳s方程，因此我们得到以下结果。定理4。设{ξn，n≥ 1} 是遍历平稳序列，如果假设1，2，（A）和（B）成立，则为极限→∞Tn=uw.p.1其中u是有限的。从定理4我们可以说，在上述所有一般条件下，^ρbDin（6）证明具有强相合性。同样，我们可以证明我们的估计reρDin（5）在上述非常一般的条件下具有强相合性。4渐近t i c范数Alit在这一节中，我们建立了EρD的渐近正态性。该技术类似于Shorack（1972）和Tsukahara（2014）。为了建立eρD的渐近性质，首先我们需要建立变换核密度估计的一致中心极限定理。我们使用的技术是（Gin\'e和Nickl，2008）。我们引入了某些符号并定义了某些函数来证明我们的结果。设，X。。，Xnbe i.i.d随机变量，具有R上的普通定律P，且Ln=n∑ni=1δx对应的经验测量值。对于任意（非空）集M，l∞（M）将表示M上有界实值函数H的banach空间，赋范为| | H | M：=supm∈M | H（M）|。拓扑空间S的Borelσ-代数h:R的Wedenote B→R a Borel可测函数和R上的ua Borel测度，我们设置uh：=RRhdu和| h | p，u：=（RR | h | pdu）1/p，1≤ p≤ ∞. Wewrite Lp（R，u）表示所有Borel可测函数的空间h:R→满足| | h | | p时的R th，u<∞.符号λ表示R上的Lebesgue测度。符号ol C（R）表示R上有界实值连续函数的Banach空间，由通常的sup范数| |赋范||∞. 设，α=（α，。

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2022-6-14 06:38:15

..,αd）是非负整数αi的多指数，集|α|=∑di=1αi，letDα=|α|(x） α···(xd）αd注意α阶偏微分算子。对于任何非负整数s，Cs（R）表示所有有界连续实值函数的Banach空间，这些函数在R上是s次连续可微的，且具有范数| | f | | s，∞=∑0≤|α|≤s | | Dαf||∞.符号BV（R）表示可测函数R 7的空间→有界变差的R，配备总变差范数| | f | | TV=supnn∑i=1 | f（xi）- f（xi）-1） |：n∈ N-∞ < x<···<xn<+∞o、（9）定义3。内核k:R→ 实数阶R>0的R是一个Lebesgue可积函数，在原点对称，因此rrk（y）dy=1，RRyjk（y）dy=0，对于j=1。。。，{r} ，andRR | y | r | k（y）| dy<∞ 其中，[r]是严格小于r的最大整数。如果带宽序列^bn满足^bn=o（1）为n→∞, 然后给出了变换后的核密度估计量*k=n^bnn∑i=1kF^bn（x）-F^bn（Xi）^bn！（10）式中，F^bn=n∑ni=1Rt-∞k（x-Xi^bn）dx。条件1：设随机变量X。。，x根据R上的P定律，i.i.d.和dp（x）=P（x）dλ（x）。变量Xiare被视为单位产品概率空间（RN、BRN、PN）的坐标投影。定理5。设条件1小时，假设pis是有界函数，在这种情况下，我们在下面的条件中设置t=0，或者假设p∈Ct（R）对于某些实际t>0。设U是v（R）的有界子集。设k是o阶r=2t+1的核-l对于某些l，0≤ l<2t+1。如果^bn>0，则^b2t+2-LN1/2→ 0作为n→ ∞, 然后√n（Ln*k-P）l∞（U）G，其中G是由U索引的P-布朗桥。中随机元素定律的收敛性l∞（U）如Dudley（2014）所定义（见第94页），并表示为l∞（U）。证明：证明见附录。备注2。

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2022-6-14 06:38:18

（核的阶数和MISE最优速率）我们注意到≥ 0允许灵活选择内核的顺序。在最有趣的情况下n-1/（4t+3）（Swanepoel和Van Graan（2005）），其中变换后的核估计量同时在平方误差损失中达到最佳收敛速度，我们得到了^b2t+2-LN1/2→ 0 asn→ ∞ 如果0≤ l<1/2，因此内核的阶数必须为r>2t+1/2。我们统计了核估计量的累积分布函数的直接推论。推论2。设条件1成立，并假设pis是一个有界函数（t=0）或假设p∈Ct（R）对于某些实际t>0。设k是r＞2t+1/2阶的核。选择ord er^bn的^bn>0n-1/（4t+3）。定义累计分布函数fn（t）=Rt-∞（Ln）*k）（x）dx以及F（t）=Rt-∞p（x）dx。然后√n（eFn-F） d-→ G、其中G是P-布朗桥。也就是{G（t）：0≤ t<1}是一个具有零均值和协方差函数σ（s，t）=EG（s）G（t）=s的高斯过程∧t型-现在利用上述结果，我们建立了eρD的渐近性质。如果方程（7）是用ingefn写成的，那么我们可以写出Tnas wn=Zg（eF-1n）JndF。定理6。假设（A）和（B）成立。设k是r＞2t＋1／2阶的核，其实际值＞0。选择^b>0的顺序^b n-1/（4t+1）。然后√n（Wn-un）d-→ N（0，σ），其中σ=ZZ（s∧t型-st）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.证明：证明见附录。根据定理6，我们有以下推论。推论3。如果假设（A）和（B）成立。设k为r>2t+1/2阶的核，realt>0。选择^b>0的顺序^b n-1/（4t+1）。然后√n（eρD-ρ） d-→ N（0，σ），其中σ=ZZ（s∧t型-st）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.4.1依赖Cas元素，{Xn，n≥ 1} 是随机变量的严格平稳φ-混合序列。

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可人4

2022-6-14 06:38:21

根据定义，{Xn，n≥ 1} isφ-如果每个k>0和每个n混合≥ 1，A∈ MK和B∈ M∞k+n，| P（A∩（B）-P（A）P（B）|≤φ（n）P（A），其中φ是正整数的非负函数，mba表示由Xa，Xa+1，…，生成的σ-代数。。，Xb，用于≤ b（Degenhardt、Puri、Sun和van Zuijlen（1996））。Let，x∈ R是固定的，C[0,1]是[0,1]上所有连续函数的空间，赋予了一致度量，并引入了一些正则性条件。（Ax）（i）f在f的支撑上可与有界导数f′微分。f′在x的一个高阶上是连续的，f′（x）6=0。（ii）R∞-∞tk（t）dt=0 andR∞-∞tk（t）dt<∞.（Z）存在一个x′∈ 使得f和k满足Ax′（即Z=Sy∈射线）。我们的下一个结果给出了φ-混合过程下变换核分布函数估计的函数中心极限定理成立的必要和充分条件，这与Degenhardt等人（1996）证明的结果相似（见定理2.3）。定理7。允许∑∞n（φ（n））1/2<∞.（a）假设f和k满足（Z）。那么我们有√n（eFn-F） D-→U、（11）iff n1/4^bn→ 0，其中U是[0，1]上的高斯随机过程，其中EU（t）=0 a ndE U（s）U（t）=σ（s，t）=s∧t型-st公司+∞∑k=1Egs（U）gt（英国+1）+∞∑k=1Egs（英国+1）gt（英国）。式中，gt（x）=1[0，t]（x）-t、 SymbolD符号-→ 表示C[0，1]中的弱收敛。（b）假设| | f | |<∞. 然后（11）保持iffε> 0:p（n）su pxZ | t |>ε/√n | F（x-t）-F（x）| k（t）dt→ 0保留。证明：证明见附录。利用上述结果，我们建立了eρDunderφ混合过程的渐近性质。定理8。允许∑∞n（φ（n））1/2<∞ 假设（A）和（B）成立。假设f和k满足（Z）和n1/4^bn→ 0那么√n（Wn-un）d-→ N（0，σ），其中σ=ZZσ（s，t）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.证明：证明见附录。根据定理8，我们有以下推论。推论4。允许∑∞n（φ（n））1/2<∞ 假设（A）和（B）成立。假设f和k满足（Z）和n1/4^bn→ 0

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2022-6-14 06:38:24

然后√n（eρD-ρ） d-→ N（0，σ），其中σ=ZZσ（s，t）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.5模拟为了比较有限样本中不同估计器的行为，我们通过模拟多个模型的观测值来计算估计器的均方误差（MSE）。我们考虑三种模型。（i） {Xi}i=1,2，····是一个i.i.d.过程，边际分布GPDξ=1/3。（ii）{Xi}i=1,2，······································。（iii）{Xi}i=1,2，····是一个i.i.d.过程，边际分布N（0,1）。前两个模型的动机是Cont（2001）关于边际资产收益分布尾部权重范围的经验观察。为了研究对上述失真估计量的依赖性对ris k度量的影响，我们考虑以下GARCH（1,1）模型（iv）Xi=σiZi，σi=0.061Xi-1+0.932σi-1、模型（iv）为GARCH模型，适用于2009年1月1日至2019年1月1日期间的俏皮50日均统计数据。a处的数据来自国家证券交易所（NSE）网站（NSE（2019））。我们的数据中有2476个每日日志返回值（日志返回是根据指数的闭合值计算的）。即使数据生成过程完全指定，也很难计算这些估计器的MSE的准确值。因此，我们使用蒙特卡罗（MC）模拟来近似这些估计器的MSE。参数Θ的任何估计量Pn的均方误差的蒙特卡罗（MC）估计定义为∑Bj=1（Pn j-Θ），其中B是从给定过程中提取的每个大小为n的MCsamples的数量，Pn jis是基于jt h MCsample的估计，j=1，····，B。在我们的工作中，我们使用B=1000.5.1指数优势风险规避Cotter和Dowd（20 06）定义的风险规避函数d是φ（u）=βe-β(1-u） 1个-e-β（12），其中β∈ (0,∞) 是绝对风险规避的用户系数。

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2022-6-14 06:38:27

绝对风险规避系数β在光谱风险度量中起着重要作用，这与风险价值和预期缺口的置信水平所起的作用相似。Cotter和Dowd（2006）指出，β值越高，我们越关心相对于其他值的更高损失。我们考虑方程（1）中给出的表达式，并使用（12）中定义的风险规避函数，比较表1中DRM四个估计值的均方误差。最具想象力的是1。经验估计量^ρ2。使用Altman和Leger（1995）提出的插件bandwidt h估计的核估计量^ρb定义了ashAL=1/4bVbB1/3n-1/3，其中bv=ρ（k）n（n-1） n个∑i=1n∑j=1αkxi-xjαj 6=i，且bb=0.25bD（F）（u（k）），其中ρ（k）=2R+∞-∞xk（x）K（x）dx和bd=nαbn∑i=1n∑j=1n∑l=1k′bxi-xjαbk′bxi-xlαb.k′bis核函数kb的导数（不一定等于k）。在实践中，αb=α，kb=k。如果我们将核函数用作Epanechnikov核，Altman和Leger（1995）证明，通过取α=n可以做出最佳选择-0.3^σ（xi），其中^σ（xi）=minn^s，Q-Q1.349o，其中^s为样本标准偏差，Q、Qdenote分别为第一和第三个四分位数。我们使用kerdiest packagein R软件中的ALbw函数估计了HALbw。3、我们利用方程（4）中定义的带宽提出的核估计值ρd。核估计量^ρQDestimated usin g（2），是由Sheller和Marron（1990）提出的核分位数估计量。核分位数估计量定义如下：qu=n∑i=1“Z ini-1nkt型-乌兰巴托dt#X（i），并使用带宽hAL。在表1中，我们给出了四种模型下，对于β=1、5、1 0和20以及n=30、100和250，估计量^ρbD、eρ和^ρqd的均方误差与^ρ的均方误差之比。我们观察到，仅在模型（iii）的情况下，对于小样本和较高的β值，估计量^ρbd的性能优于经验估计量^ρ。

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2022-6-14 06:38:29

对于上述所有模型，估计值ρdoutp都表现为经验向量ρ。对于低β值和低样本尺寸，增益最高。此外，经验估计量^ρ优于估计量^ρQD。我们可以得出这样的结论：我们提出的估计量ρdout不仅表现为emp irical估计量，还表现为核估计量ρQD。除高β和低样本量的正态分布外，它在所有情况下都优于核估计量^ρbd。5.2比例赔率畸变Sukahara（2009）提出了一个单参数畸变族，该族产生了多种相关风险度量：o比例风险（PH）畸变：DPHθ（u）=1-(1-u） θ，其中θ>0且DPHθ为凸f 0<θ≤ 1.o比例比值（PO）失真：DPOθ（u）=θu/[1-(1 -θ） u]其中θ>0，如果0<θ，则DPOθ为凸≤ 1.o高斯失真（GA）：DGAθ（u）=Φ（Φ-1（u）+logθ），其中Φ是标准正态分布函数。Tsukahara提到，未发现ρθ为有限的θ清晰区域。Tsukahara（2009）得出结论，由于其财务可解释性和数值稳定性，PO失真是最有前景的。因此，我们使用经验估计器ρPODθ和核估计值ρPODθ来估计该失真函数的DRM。在表2中，我们给出了考虑到这四种模型，θ=0.005、0.025、0.05和0.10以及n=30、100和250时这两个估计值的均方误差比率。我们观察到，在上述所有模型以及所有参数值和样本量的情况下，估计值reρPODθ优于经验估计值ρPODθ。5.3预期空头我们要估计的风险的最终度量是在SP=1时定义的流行度量预期空头- pZpQ（u）du。我们提出的估计量基于Swanepoel和Van Graan（2005年）的估计量是definedascesp，h=1- pZpeF公司-1（u）du。Chen（200 8）提出了ES的另一个估计量，如下所示。

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2022-6-14 06:38:32

设K为核函数，它是对称概率密度函数，G（t）=R∞tK（u）du和Gh（t）=G（t/h），其中h是正平滑带宽。生存函数S（x）=1的核估计-F（x）isSh（z）=nn∑t=1Gh（z-Xt）。Qp的核估计量，表示为^Qp，h，是Sh（z）=p的解。Chen（2008）提出的核估计量为asChenp，h=npn∑t=1XtGh（^qp，h-Xt）。我们使用Chen和Tang（2005）提出的带宽，其定义如下，hopt=（2 f（Qp）bkσk（f（1）（Qp）））1/3n-1/3，其中bk=Ruw（u）H（u）du，σk=Ruw（u）du。H（·）是密度为w的分布的分布函数。H包括未知常数Qp，f及其在Qp处的导数f（1）。Chen和Tang（2005）建议通过相应的样本量来近似Qpin h。作者建议通过密度和广义帕累托分布的一阶导数来近似f和f（1）。在表3中，我们给出了四个模型的估计值r Chenp、hto的均方误差与估计值Csp的均方误差之比，hfor p=0.95、0.97和0.99，n=30、100和250。我们观察到，所有模型、参数值和样本量的比率都很高。6数据考虑到1991年1月1日至2003年12月31日期间的权重指数期货（即FTSE100、DAX、恒生和日经225期货）的日终价格，Analysiur数据集由负对数回报组成。为了将结果与Cotter和Dowd（2006）的结果进行比较，我们考虑了每日负对数回报。每天有3280个负日志返回值。此外，我们还考虑了2014年1月22日至2019年1月2日期间相同仪器的最新数据集。

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2022-6-14 06:38:35

2008年被认为是发生巨大金融危机的一年。因此，为了估计市场风险并观察金融危机对市场的影响，我需要从2004年1月2日至2008年12月31日和2009年1月2日至2019年1月22日的数据集中进行分析。每天有1250和2582个负日志返回值。这些数据来自宏观趋势网站（见宏观趋势（201 9））。第一个数据集与Cotter和Dowd（2006）考虑的数据集相似。英国《金融时报》股票交易所100指数，也称为东京证交所100指数，是伦敦证券交易所上市的100家市值最高的公司的股票指数。它被视为衡量英国公司法监管企业的繁荣程度。DAX是一个蓝筹股票市场指数，由在法兰克福证券交易所交易的30家主要德国公司组成。价格从Xetra交易场所获取。恒生指数是香港经自由浮动调整的市值加权股票市场指数。它用于记录和监测香港股市最大公司的每日变化，是香港整体市场表现的主要指标。这50家组成公司约占香港证券交易所总市值的5.8%。日经225指数，通常被称为日经指数、日经指数或日经股票平均指数，是东京证券交易所（TSE）的股票市场指数。自1950年以来，《日本经济新闻》（Nikkei）每天都在计算。这是一种以日元（JPU）为单位的价格加权指数，其组成部分每年审查一次。我们应用基于核的估计量，对FTSE100、DAX、恒生和日经225期货指数的指数SRM进行了三个时期的估计。我们还估计了密度区间。

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2022-6-14 06:38:39

我们运行了10000组蒙特卡罗模拟。我们从模拟中获得了10000个RM估计值，然后计算了置信区间。在表4中，我们报告了数据集的指数SRM，其中考虑了1991年1月1日至2003年12月31日期间，以及相应的SRM估计值的90%置信区间。在表5中，我们报告了从2004年1月2日至2008年12月31日期间数据集的指数SRM，以及相应的SRM估计的90%置信区间。在表6中，我们报告了指数SRM和数据集的标准偏差，其中考虑了2009年1月2日至2019年1月2日期间，以及相应的SRM估计的90%置信区间。在表4、5和6中，我们使用β值1、5、10、20、100和200估计了指数SRM。使用β值（即20、100和200）的主要目的是将结果与科特和多德（2006）的结果进行比较。从表4中我们观察到，在1991年1月1日至2003年12月31日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，恒生指数是风险最大的指数。Cotter和Dowd（2006）也有类似的观察结果。从表5可以看出，在2004年1月2日至2008年12月31日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，日经225指数是风险最大的指数。从表6中我们可以看出，在2009年1月2日至2019年1月2日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，恒生指数是风险最大的指数。从表4-6中可以看出，所有证券和所有风险厌恶值的风险从第一和第二阶段降低到第三阶段，并且变化也减少了。从表5可以看出，与第一和第三阶段相比，第二阶段的风险较高。

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2022-6-14 06:38:41

我们还观察到，若我们如Cotter和Dowd（2006）所述估计90%的置信区间，我们会得到类似的结果。7背景测试在本节中，我们对SRM进行了Z测试，该测试由Costanzino和Curran（2015）提出。设{ti}Ni=0为历史交易日序列，{Li}Ni=1相应的已实现交易损失。对于每个交易日，i=1。。，N、让VaRαide记录α级的风险值（VaR），X（i）VaR（α）：=KFn，b（VaRαi）-Fn，b（Li）b∈ [0，1]表示VaR失效，其中Fn，bis是核dfestimator。使用Dutta和Biswas（2017）提出的估计器以及截至第一天的可用数据估计VaRαiis-1、Dutta和Biswas（2017）提出的VaR估计值定义如下：f{x:eFn（x）≥ 1.-α} ，（13）式中，efn（x）的定义如式（3）所示。我们定义了VaR故障率XNVaR（α）∈ α级为[0，1]∈ N个交易日内的[0，1]asXNVaR（α）：=NN∑i=1X（i）VaR（α）=NN∑i=1KFn，b（VaRαi）-Fn，b（Li）b,其中KFn，b（VaRαi）-Fn，b（Li）b=hRVaRαi-∞kFn，b（x）-Fn，b（Li）bdx。同样，我们定义了频谱风险度量失败率XNSR。定义4。（谱风险度量失败率）对于容许风险谱φ，设X（i）SR（φ）∈[0，1]由x（i）SR（φ）=Zφ（p）K定义Fn，b（VaRpi）-Fn，b（Li）bd p，其中φ（p）在等式（12）中定义。我们确定了光谱风险测量失败率XNSR（φ）∈[0，1]对于容许风险谱φasXNSR（φ）：=NN∑i=1X（i）SR（φ）（14）=NN∑i=1Zφ（p）KFn，b（VaRpi）-Fn，b（Li）bd p.定义5。（覆盖测试的零假设）光谱风险度量覆盖测试的零假设：光谱风险度量失败，即在两个不同日期观察到的X（i）SR（φ）必须独立分布，即 i 6=j，P（Li≤VaRpi）=p p∈ 供应φ。提案1。（H下XNSR（φ）的均值和方差）我们考虑随机变量XNSR（φ）∈[0，1]由（14）定义。

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2022-6-14 06:38:44

然后在零假设下，uφ：=E[XNSR（φ）]=Zφ（p）pd p（15）和σφ：=V[XNSR（φ）]=NZZpφ（p）φ（q）qd pdq-Zφ（p）pd p（16）证明：有关证明，请参见附录。引理1。在零假设下，谱风险度量失效Rate Xnsr渐近正态，因此采用Z检验。证明：有关证明，请参见附录。定理9。（光谱风险度量的覆盖率测试）设uφ和σφ为在uφ=Zφ（p）pd pσφ=N的零假设下，光谱度量Fai诱惑率XNSR（φ）（在（14）中定义）的平均值和标准偏差ZZpφ（p）φ（q）qdpdq-Zφ（p）pd p然后znsr（φ）定义的Z分数znsr：=XNSR（φ）-uφσφ（17）定义了xnsr的Z测试和Mφ的覆盖率测试。证明：有关证明，请参见附录。7.1模拟用于评估回测的模拟数据与第5节中的数据相同。我们将估计学习期固定为一年（250次观察）。回溯测试周期等于1天，滚动窗口长度设置为250。因此，对于单个测试运行，我们需要500个后续观察来执行回溯测试练习。从每天251起，估计VaR。我们一直到第500天都这样做。设，x=（x，…，x）为500个观测值。对于i=1。。，250，第i个回溯测试日的VaR等于V aRαi（x）=VaRα（xi，…，xi+249），其中VaR估值器在等式（13）中定义。在我们的设置中，等式（17）中给出的检验统计量由zsr（φ）：=XSR（φ）给出-uφσφ，其中XSR（φ）=∑i=1Rφ（p）KFn，b（VaRαi（x））-Fn，b（xi+250）bd p和σφ=RRpφ（p）φ（q）qd pdq-Rφ（p）pd p.利用上述模拟数据，我们估计了β=1、5、10、20、100的不同值的ZSR（φ）。我们模拟了一个大小为1000的蒙特卡罗样本，其中每个样本对应250个观测值。在表7中，我们估算了不同β值和不同模拟数据的Z值。

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2022-6-14 06:38:47

从表中可以看出，如果模拟数据是GPD、Student\'st和N（0,1），那么对于β的所有值，我们都接受零假设，如果模拟数据是GARCH（1,1）模型，我们拒绝β=10、20和10 0的较高值。这种拒绝可能是由于假设独立的无效假设的一部分，因为数据生成机制会产生依赖数据a.8结论。在本文中，我们讨论了SRM及其与失真风险度量的等价关系。我们讨论了SRM的两种基于核的估计量，即基于常规核df的^ρbd和基于Swanepoel和Van Graan（2005）df估计量的ρDis。我们推导了SRM的两种基于核的估计量的渐近性质，这两种估计量的形式都是L统计量。渐近ic结果基于i.i.d.情况和平稳过程。基于核的目标函数具有强一致性和渐近正态分布。我们还导出了通常核df和Swanepoel及Van Graan（2005）df估计量的某些几乎确定的“近似线性”界，这在建立SRM基于核的估计量的强一致性方面起着重要作用。通过仿真研究，我们发现DRM中带宽的选择、βinSRM的选择和θ的选择起着重要的作用。我们观察到，我们提出的估计量ρdout表现出经验估计量和核估计量ρbd和ρQD。但对于较高的β值和小样本，对于模型（iii），ρbd优于所有估计量。此外，我们还将我们提出的基于PO distortion函数的核估计ρPODθ与empi-ri calestimatorρPODθ的核估计ρPODθ进行了比较，发现在模拟研究中考虑的所有模型、θ的所有值和样本量的情况下，EρPODθ都优于ρPODθ。

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2022-6-14 06:38:51

ES是DRM的一个特例，因此我们比较了ES的两个估计量，即我们提出的估计量Csp，hand the Chen\'s估计量Chenp，h。我们将C henp，h的均方误差比率与Csp的均方误差比率进行了比较，并表明在所有情况下，该比率都非常高。因此，我们可以说，我们提出的估计器优于我们在模拟研究中考虑的所有估计器。根据我们的模拟研究，我们估计了四个交易量较大的指数期货的指数SRM，即FTSE100、DAX、恒生指数和日经225期货，考虑1991年1月1日至2003年12月31日、2004年1月2日至2008年12月31日以及2009年1月2日至2019年1月2日期间。SRM估计，在1991年1月1日至2003年12月31日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，恒生指数是风险最大的指数。在Cotter和Dowd（2006）中也可以看到类似的观察结果，其中作者使用峰值阈值法估计了极端光谱风险度量。在2004年1月2日至2008年12月31日期间，我们看到FTSE100指数是风险最小的指数，日经225指数是风险最大的指数。2009年1月2日至2019年1月2日期间，我们发现FTSE100指数是风险最小的指数，日经225指数是风险最大的指数。还可以看出，所有证券和所有风险规避价值的风险从第一期（1991年1月1日至2003年12月31日）和第二期（2004年1月22日至2008年12月31日）下降至第三期（2009年1月2日至2019年12月31日），且变化也有所减少。此外，还使用Z测试对SRM进行了回溯测试。我们观察到，如果模拟数据是GARCH（1,1）模型，那么我们拒绝了β=10、20、100的较高值的无效假设，这意味着SRM不能通过β较高值的相应方法正确估计。

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