，ξn）+Rd-,其中，最小值协调应用于ξ的独立副本，而u（X）是支持函数由E min（hξi，vi，i=1，…，n）支配的最大凸集，v∈ Rd+。显然，min（hξi，vi，i=1，…，n）≥ hmin（ξ，…，ξn），Vi可能具有严格不等式。6.3超线性期望的最小扩张在任何非平凡情况下，不确定单态的超线性期望为空。确实，如果ξ∈ Lp（Rd），则（6.3）得到U（{ξ}）eU（{ξ}）\\v∈Sd公司-1.x:hx，vi≤ infγ∈Mv，Eγ=1Ehξ，γvi,仅ifsupγ不为空∈M-v、 Eγ=1Ehξ，γvi≤ infγ∈Mv，Eγ=1Ehξ，γVi，对于所有v∈ Sd公司-在例6.6的设置中，除非U（hξ，vi）+U，否则U（{ξ}）为空(-hξ，vi）≥0表示所有u。后者表示u（hξ，vi）=e（hξ，vi）表示实际值的精确对偶非线性期望。等效地，U（{ξ}）= 如果对于某些γ，E（γξ）6=E（γξ），γ∈ M、 如果这是所有ξ的情况∈ Lp（X），则U（X）的最小扩展是X的已执行点集，参见示例3.5。因此，如果C={0}，则不可能给出超线性期望的非平凡最小扩张。确保U（X）最小扩张非空的一种可能方法是将其应用于Lp（co F（C））的随机集，其中锥C具有内点，因此至少为h（X，v）和h（X，-v） 几乎可以肯定的是∈ Sd公司-1、U的最小伸长量由U（X）=cl[ξ]给出∈Lp（X）U（ξ+C）。（6.8）以下结果尤其表明，（6.8）右侧的并集是凸集，参见（4.1）。定理6.9。（6.8）给出的函数U是一个超线性期望。如果（6.8）中的U被导出为最大值且满足推论6.5的条件，则其最小扩张Uis定律不变且扩张单调。证据

让x和xbelong到（6.8）右侧的并集（不闭合）。然后是x∈ U（ξ+C）和x∈ U（ξ+C），U的超线性产生thattx+（1- t） x个∈ tU（ξ+C）+（1- t） U（ξ+C） U（tξ+（1- t） ξ+C）对于每个t∈ [0, 1]. 自tξ+（1- t） ξ是X的一个选择，U（X）的凸性如下。确定性单子的可加性、单调性和同质性从（6.8）中可以明显看出。如果F∈ co F（C）是确定性的，thenU（F） cl【x】∈FU（x+C） cl【x】∈F（x+C）=F。对于超加性性质，从（6.8）的非闭右侧分别考虑x和y。然后是x∈ U（ξ+C）和y∈ 对于某些ξ，U（η+C）∈ Lp（X）和η∈ Lp（Y）。因此，x+y∈ U（ξ+C）+U（η+C） U（ξ+η+C） U（X+Y）。现在假设U是最大值。设FX是X生成的σ-代数。X的凸性意味着E（ξ| FX）是X对任何ξ的选择∈ Lp（X）。根据推论6.5的膨胀单调性，可以替换ξ∈ （6.8）中的Lp（X）与X的FX可测p-可积选择族。这些族对于两个相同的分布集是一致的，请参见[20，Prop.1.4.5]。扩张单调性U（X）U（E（X | F））遵循推论6.5。下面我们建立最小扩张的上半连续性。定理6.10。假设p∈ (1, ∞], U是上半连续的，0/∈ 所有非平凡ξ的U（ξ+C）∈ Lp（C）。那么最小扩张U是标度上半连续的。证据建议省略（6.8）中的闭包，并考虑xn∈ U（Xn）使得Xn→ X和Xn→ X以σ为单位（Lp，Lq）。对于每个n≥ 1，存在ξn∈ Lp（Xn）使Xn∈ U（ξn+C）。首先假设p∈ (1, ∞) 和supnEkξnkp<∞. 然后{ξn，n≥ 1} σ（Lp，Lq）相对紧凑。在不丧失一般性的情况下，假设ξn→ ξ. 然后hξn，ζi≤h（Xn，ζ）表示所有ζ∈ Lq（G）。

接受期望，让n→ ∞ 使用收敛ξn→ ξ和Xn→ X产生Eh（ξ，ζ）≤ Eh（X，ζ）。根据引理2.4，ξ是X的选择。根据U的上半连续性，lim sup U（ξn+C） U（ξ+C）。因此，x∈ 对于某些ξ，U（ξ+C）∈ Lp（X），因此X∈ U（X）。现在假设kξnkpp=Ekξnkp→ ∞. 设ξn=ξn/kξnkp。该序列在Lp范数中有界，因此在不丧失一般性的情况下假设ξn→ ξinσ（Lp，Lq）。自Xn/kξnkp起∈ U（（ξn+C）/kξnkp）=U（ξn+C），U的上半连续性产生0∈ U（ξ+C）。对于每个ζ∈ Lq（G），我们有hξn，ζi≤ h（Xn，ζ）。除以kξnkp，取期望值，取n→ ∞ 产量thatEhξ，ζi≤ 因此，ξ∈ C几乎可以肯定。假设Ekξk=1，这与U（ξ+C）包含原点的事实相矛盾。如果p=∞, 分解supnkξnk本质有界且kxnk的本质上确界收敛于in单位的情形。U（X）的精确计算涉及X的所有p-可积选择，这是一个非常丰富的族，即使在简单的情况下，如X=ξ+C U（X），（6.9）超线性期望U（X）在U（X）上产生一个可计算的上界。示例6.11。假设ξ的X=ξ+F∈ Lp（Rd）和确定性凸闭下集F。假设（6.8）中的U减小，满足推论6.5的最大条件。ThenU（X）=[ξ∈Lp（F，Fξ）U（ξ+ξ+C），（6.10），其中Lp（F，Fξ）是F的选择族，可相对于ξ生成的σ-代数进行测量。实际上，U（ξ+ξ+C）是U（ξ+E（ξ| Fξ）+C）的一个子集，其推论为6.5。注意，最小扩张U不一定是最大超线性期望。下面的结果描述了它的最大扩展。定理6.12。假设U由（6.8）定义，其中U=eU是一个标度上的半连续约化最大超线性期望，表示为（6.6）。

ThenU（Hv（β））=所有v∈ Sd公司-1.∩ G和β∈ Lp（R），U的最大张力降低值与U一致。证据根据（6.3），U（Hv（β））=Hv（U（β））。鉴于（6.9），必须显示每个x∈Hv（u（β））也属于u（Hv（β））。设y是x在与v正交的子空间上的投影。它可以表示x- y∈ U（Hv（β）- y） 。注意Hv（β）- y=Hv（β），可以假设x=t的tv≤ u（β）。考虑ξ=βv。ThenU（βv+C）=\\w∈GHw（u（hβv，wi））=\\w∈GHw（hv，wiu（β））。自htv起，wi≤ hv，wiu（β），我们推导出x∈ U（ξ+C） U（Hv（β））。由于U和U在半空间上重合，U-iseU（X）=\\v的约化最大扩张∈Sd公司-1.∩GU（Hv（X））=\\v∈Sd公司-1.∩GU（Hv（X））=eU（X）=U（X）。鉴于（6.9），U（X）=U（X）ifh（U（X），v）≤ supξ∈Lp（X）h~u（ξ），vi，v∈ G、 （6.11）这当然适用于X=ξ+C，也适用于X是具有确定性法线的半空间。通常，U（X）可能是U（X）的严格子集，如以下示例所示，因此，即使在ξ+C型非常简单的随机集上，超线性期望也不精确。示例6.13。假设C=R-并考虑ξ∈ R平均取两个可能值：原点和a=（a，a）。设X=ξ+K，其中K是包含R的圆锥体-And带点（1，-π） 以及(-π、 1）在其边界上，使得π，π>1。设Mv=M为例5.14中的族，u为对应的超线性期望，表示每个β的集合M∈ L（R），u（β）等于t上β分位数的平均值∈ (0, α). 如果α∈ （0，1/2）和β取两个概率相等的值，那么u（β）是β的较小值。那么U（X）=K∩ （a+K），因此在这种情况下，U（X）与eu（X）重合，参见示例6.8。现在假设α∈ (1/2, 1). 如果β同样可能取两个值t和s，那么u（β）=max（t，s）- |t型- s |/（2α），andu（hξ，vi）=最大值（ha，vi，0）-2α| ha，vi |对于G=Ko的所有v。

由于K是一个Riesz锥，对于某些x，eU（ξ+K）=x+K，见示例6.7。对于v∈ G、 线性函数hx，vi由2αha，vi支配，如果ha，vi<0，则由（1-2α）ha，紫外。通过初等计算，x=2αa+α- 1.aπ+aππ- 1(-π, 1).考虑到示例6.11，有必要考虑K的选择，K可测量由ξ生成的σ-代数Fξ；这些选择从Kw的边界以相等的概率取两个值。最小延伸U（X）可以通过（6.10）找到，让ξ在边界上同样可能取两个值y=（y，y）和z=（z，z）K/K。Thenh（U（X），v）=supy，z∈KXi=1（最大值（yi，ai+zi）-2α| ai+zi- yi |）vi.图1显示π=π=2，a=（1，-1） ，α=0.7。结果表明，最小扩张可能确实是约化最大超线性期望的严格子集。-1-0.5 0.0 0.5 1.0-2-1.5-1-0.5 0.0图1：对于X=ξ+K.7应用程序，简化的最大超线性期望Eu（X）（较大的锥）和最小扩展U（X）（较小的阴影集）7.1深度修剪区域和异常值考虑了限制于p-可积单子族的次线性期望E，并设C={0}。地图ξ7→ E（{ξ}）满足了文献[3]中深度修剪区域的性质，这些区域是文献[27]中的那些被单调性和次可加性增强的区域。因此，次线性期望提供了与随机向量ξ相关的深度修剪区域的相当一般的构造∈ Lp（Rd）。在统计应用中，E（{ξ}）或其经验变量以外的点被视为异常值。次可加性属性（3.2）意味着，如果一个点不是两个样本卷积的异常值，那么有一种方法可以将该点作为原始样本的两个非异常值之和。示例7.1（Zonoid修剪区域）。固定α∈ (0, 1).

对于β∈ L（R），定义α（β）=α-1Z1-αqβ（s）ds，其中qβ（s）是β的s-分位数（在非唯一性的情况下，由于积分的原因，选择特定分位数并不重要）。风险度量r（β）=eα(-β） 被称为风险平均值。用Eα表示由（5.7）构造的相应的最小次线性期望，使得h（Eα（{ξ}），u）=所有u的Eα（hξ，ui）。集合Eα（{ξ}）是ξ在α级的分区修剪区域，参见[3]和[23]。该集合可由asEα（{ξ}）=cl获得E（γξ）：γ∈ Pα,其中Pα L（R+）由所有随机变量组成，其值为[0，α-1] 和预期1，参见示例5.14。此设置是定理5.12的特例，其中M={tγ：γ∈Pα，t≥ 0}. α的值控制深度修剪区域的大小，α=1 yieldsa单点，是ξ的期望值。Zonooid trimmedregions的次可加性特性首先被[4]注意到。示例7.2（提升预期）。设X为可积随机闭凸集。考虑由原点的凸包和{1}×X驱动的Rd+1中的随机集Y。选择期望ZX=EY称为X的升力期望，参见[6]。如果X={ξ}是一个单态，那么ZXis是ξ的升力Zonooid，参见【23】。通过定义选择期望，zxist是（E（β），E（βξ））集合的闭包，其中β穿过随机变量族，其值在[0，1]中。等效地，（α，x）属于ZXif，并且仅当x=αE（γξ）时，对于族Pα中的γ，参见示例7.1。因此，示例7.1中Eα的最小延伸EαisEα（X）=α-1{x：（α，x）∈ ZX}。7.2非线性期望的参数族考虑非线性期望的对偶对U和E，例如U（X） 前任 所有随机闭集X的E（X）∈ Lp（co F（C））。那么，将不在超线性和次线性期望之间的X的观测值视为异常值是很自然的。

对于每个F∈ co F，可以使用如下构造的非线性期望参数族来量化其相对于X分布的深度。让X，p-可积随机闭凸集X的Xnbe独立副本。对于次线性期望E，En（X）=E（co（X∪ · · · ∪ Xn）也是一个次线性期望。唯一稍微重要的特性是次可加性，它来自（X+Y）∪ · · · ∪ （Xn+Yn） （十）∪ · · · ∪ Xn）+（Y∪ · · · ∪ Yn）。如果X∩ · · · ∩ Xnis a.s.非空，则n（X）=U（X∩ · · · ∩ Xn）产生一个超线性期望，注意（X+Y）∩ · · · ∩ （Xn+Yn） （十）∩ · · · ∩ Xn）+（Y∩ · · · ∩ Yn）。可以始终让您∩λ（X）= 如果X∩ · · · ∩ XNis为空，具有正可能性。提案7.3。设N为几何随机变量，对于某些λ∈ （0，1），P{N=k}=λ（1- λ） k级-1，k≥ 1，独立于X，X，是X的i.i.d.副本。ThenE公司∪λ（X）=E（co（X∪ · · · ∪ XN）（7.1）是次线性期望，如果X∩ · · · ∩ Xn6= a、 s代表所有n，然后是U∩λ（X）=U（X）∩ · · · ∩ XN）（7.2）是取决于λ的超线性期望∈ （0，1）。示例7.4。在（7.1）和（7.2）中选择E（X）=U（X）=EX会产生一系列非线性期望，这取决于参数，也很容易计算。很容易看出，E∪λ（X）增加，U∩λ（X）随着λ的减小而减小。定义F的深度∈ co F（C）asdepth（F）=sup{λ∈ （0，1）：U∩λ（X） F E∪λ（X）}。很容易看出E∪（十） =E（X），U∩（十） =U（X）。此外，U∩λ（X）下降到X和E的固定点集∪λ（X）增加到X作为λ的支撑↓ 0，请参见示例3.5。因此，所有满足FX的闭凸集F F supp X具有正深度。为了处理基于样本X的这一概念的经验变量。

，Xnofindependent X的观测值，考虑一个随机闭集X，其概率相等，取其中一个值X，Xn。它的分布可以通过对其中一组样本进行可能的重复采样来模拟。然后，可以使用▄X的非线性期望来评估任何给定凸集的深度，包括来自样本的凸集。7.3集值组合或随机变量ξ的风险∈ Lp（R）被解释为财务结果或收益，价值e(-ξ） （相当于，-u（ξ））用于财务评估ξ的风险。通过假设风险是一个随机向量ξ的d维函数，可能很容易将其扩展到多变量设置∈ Lp（Rd），具有常规性质，可协调扩展。然而，在这种情况下，非线性预期（以及风险）被边缘化了，也就是说，ξ的风险被分割成一个非线性预期向量，应用于ξ的各个组成部分，见定理a.1。此外，如果不考虑可应用于其组成部分的汇率规则，就不可能评估向量ξ的财务风险。如果不允许交换且仅允许消耗，则到达的位置为X=ξ+Rd-.相反，如果ξ的组成部分以相同的货币表示，且资产的无限制交换和处置（消耗），则半空间x的每个位置={x:Pxi≤Pξi}可从ξ获得。使用随机集X也消除了在选择具有相同和的ξ时可能出现的非唯一性。有鉴于此，将多变量财务状况视为较低的随机闭凸集是很自然的，等价地，这些随机闭凸集来自Lp（co F（C）），C=Rd-. 如果0，则表示可以接受随机关闭集∈ U（X），X的风险定义为-U（X）。

超加性属性保证，如果X和Y都可以接受，那么X+Y就是可以接受的。这是在设定价值条件下形成的经典金融多元化优势。如果X∈ Lp（co F（C））和C=Rd-, 最小扩展（6.8）称为U的下集扩展。如果U减小到最大值，（6.6）得到U（ξ+Rd-) =\\γ∈M、 Eγ=1（E（γξ）+Rd-) = ~u（ξ）+Rd-, （7.3）式中~u（ξ）=（u（ξ），u（ξd））通过对ξ的每个分量应用表示集M的相同超线性期望uw来定义。ThenU（X）=cl[ξ∈Lp（X）~u（ξ）+Rd-（7.4）换言之，U（X）是由至少一个选择X的超线性期望协调控制的所有点集的闭合。在【21】中，原点反射集-U（X）被称为X的选择风险度量。对于集值投资组合X=ξ+C，作为单态ξ和（可能随机）凸锥C之和，最大超线性期望（在我们的术语中）仅被视为ξ的函数，而不是ξ+C的函数，由[9]和[10]研究。[21]研究了广义集值参数的情况。为了进行风险评估，可以使用任何超线性期望。然而，考虑到封闭形式的双重表示，合理的选择是最大超线性预期，以及考虑到其直接财务解释（通过其原始表示）的下集扩展，这意味着存在一个包含所有可接受成分的选择。

考虑到最小超线性期望可能是最大超线性期望的严格子集（参见示例6.13），在最大超线性期望下X的可接受性可能比在较低集合扩展下的可接受性要求更弱。附录向量值次线性函数的边缘化可能很容易考虑向量值函数~e:Lp（Rd）7→ Rd是次线性的，也就是说，对于所有x，e（x）=x∈ Rd，~e（ξ）≤ ~e（η）ifξ≤ ηa.s.，~e（cξ）=所有c的c~e（ξ）≥ 0和~e（ξ+η）≤ ~e（ξ）+~ e（η）。这样的函数可以看作是集合ξ+Rd族上的次线性集值期望的限制-设~e（ξ）为e（ξ+Rd）的协调上确界-).下面的结果表明，向量值的次线性期望是边缘化的，也就是说，它们分为应用于随机向量的每个分量的次线性期望。定理A.1。如果~e是σ（Lp，Lq）-下半连续向量值次线性期望，则~e（ξ）=（e（ξ），ed（ξd）），对于一组数值次线性期望e，教育证明。集合A={ξ：~ e（ξ）≤ 0}是Lp（Rd）中的σ（Lp，Lq）-闭凸锥。polarcone Ao是所有Rd值度量值u=（u，…，ud）的集合，使得zξdu=Zξdu，Zξddud≤ 0对于所有ξ∈ A、 很容易看出，每个u∈ A具有所有非负分量。双极性定理得出=ξ：Zξdu≤ 0表示所有u∈ Ao公司.由于~e是常数保持的，~e（ξ+x）- x个≤ ~e（ξ）=~ e（（ξ+x）- x）≤ ~e（ξ+x）- x、 所以对于所有确定性x，~e（ξ+x）=~e（ξ）+x∈ 因此，~e（ξ）=inf\\u∈纽约州∈ Rd:Zξdu≤Zyduo，（A.1），其中，最小值是协调的。考虑集合Cu={y∈ Rd:Rξdu≤Rydu}对于某些u=（u，…，ud）∈ 敖。LetaoidNote所有非平凡u的族∈ ao使uj0对所有j 6=i消失。注意如果u∈ Ao，然后（u，0。

, 0) ∈ Ao，也就是Ao和Ao的投影，每个成分都重合。如果u∈ Ao，thenCu=hZξdu，∞×R×····×R。假设u的两个组分不消失，例如u和u。ThenCu=ny:Zξdu+Zξdu≤Zydu+ZyduohZξdu，∞×hZξdu，∞×R×·····×R。因此，后一组Cu不影响（A.1）中的最大坐标，与通过以下方法获得的组相比∈ Ao公司∪ 敖。相同的参数适用于u∈ AO具有两个以上的非Anishing组件。因此，（A.1）中的交点可以超过u∈ Ao公司∪ · · · ∪ Aod，结果从哪里来。类似的结果适用于超线性向量值期望。AcknowlementSim感谢Ignacio Cascos就相关工作进行讨论和合作。2012年，在桑坦德银行的支持下，IM在马德里卡洛斯三世大学（Universidad Carlos III de Madrid）任职，这项工作得到了推动。IM还得到了瑞士国家科学基金会拨款200021 153597和IZ73Z0 152292的部分支持。参考文献[1]C,。Ararat和B.Rudloff。Aumann积分的一个特征定理。设置值DVAR。分析。，23:305–318, 2015.[2] R.J.奥曼。集值函数的积分。J、 数学。肛门。应用程序。，12:1–12, 1965.[3] 一、卡斯科斯。数据深度：多元统计和几何。在W.S.Kendall andI。Molchanov，《随机几何学的新视角》，编辑，第398-426页。牛津大学出版社，牛津，2010年。[4] I.Cascos和I.Molchanov。多元风险和深度修剪区域。《金融与随机》，11:373–3972007。[5] F.Delbaen。货币效用函数。大阪大学出版社，大阪，2012年。[6] M.-A.Diaye、G.A.Koshevoy和I.Molchanov。提升对随机集及其应用程序的期望。统计学家。概率。Lett。，145:110–117, 2018.[7] S.Drapeau、A.H.Hamel和M.Kupper。拟凸和凸集值函数的完全对偶性。集值变量分析。，24:253–275, 2016.[8] H·F¨ollmer和A·Schied。

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