随机集的非线性期望

2022-6-14 07:03:58

随机集的非线性期望Silya Molchanov和Anja M¨uhlemannUniversity of Bern，Institute of Mathematics Statistics and精算科学，Alpeneggstrasse 22，CH-3012 Bern，SwitzerlandMarch 13，2019年抽象随机变量的次线性函数称为次线性期望；它们是有限维线性空间上的凸齐次泛函。我们将此概念推广到可测集值函数（形成非线性空间）上定义的集值泛函，等价地，推广到随机闭集上。这就需要对次线性和超线性期望进行单独研究，因为在集值设置中，符号的变化不会将一个转换为另一个。我们将极端期望确定为它们的原始和双重表示所产生的期望。给出了非线性期望的几种一般构造方法，并得到了相应的对偶表示结果。在应用方面，次线性预期自然与多变量样本的深度调整相关，而超线性预期可用于评估多资产投资组合的效用。1简介修复概率空间(Ohm, F、 P）。次线性期望是定义在p-可积随机变量空间Lp（R）上的实值函数（p∈ [1, ∞]), 这样，对于每个确定性a，e（ξ+a）=e（ξ）+a（1.1），函数e是单调的，e（ξ）≤ e（η）ifξ≤ ηa.s.，均质（cξ）=ce（ξ），c≥ 0和次加性（ξ+η）≤ e（ξ）+e（η），（1.2）参见【24】，他将次线性期望引入概率论领域，并建立了它们与倒向随机微分方程解的密切关系。用u（ξ+η）代替（1.2），超线性期望u满足相同的性质≥ u（ξ）+u（η）。

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2022-6-14 07:04:01

（1.3）在许多研究中，e的凸性和u的凹性取代了同质性和亚（超）可加性。这些非线性预期可能基于一个比Lpor更大的家族，而不是其亚家族；有必要假设定义域包含所有常数，并且在正常数的加法和乘法下闭合。值的范围可以扩展到(-∞, ∞] 对于子线预期和[-∞, ∞) 对于超线性的。符号e和u的选择可以通过以下事实来解释：超线性期望可以被视为一个效用函数，与两个随机变量各自的效用之和相比，它为两个随机变量的和分配了更高的效用值，参见【5】。如果随机变量ξ为财务收益建模，则r（ξ）=-u（ξ）被称为一致风险度量。然后，属性（1.1）被称为现金不变性，由于符号的变化，超加性属性变为次加性。风险的次加性是指两个随机变量之和至多承担与其风险之和相同的风险；这正是多元化的经济原则。很容易看出，e是次线性期望，当且仅当ifu（ξ）=-e类(-ξ）（1.4）是超线性的，在这种情况下，e和u被称为形成一个精确的对偶对。公共性性质产生e（ξ）+e(-ξ) ≥ e（0）=0，因此-e类(-ξ) ≤ e（ξ）。由一对精确的非线性期望产生的区间[u（ξ），e（ξ）]表征了ξ期望值确定的不确定性。在金融方面，这些区间决定了非流动市场的价格范围，见【19】。基于Lp和lq1/p+1/q=1的标准配对，我们将空间Lp配置为σ（Lp，Lq）-拓扑。通常假设σ（Lp，Lq）-拓扑中e是下半连续的，uis是上半连续的。

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2022-6-14 07:04:04

假设e和u取有限值，关于线性空间上凸函数的泛函分析的一般结果表明，如果p∈ [1, ∞) （见【15】）；如果p=∞. 如果在相同分布的随机变量上取相同的值，则称非线性期望为定律不变性（更准确地说，是由定律确定的），参见[8，第4.5节]。关于几种概率度量，传统（线性）期望的上限提供了次线性期望的丰富来源。假设σ（Lp，Lq）下半连续性，双极性定理得出这是唯一可能的情况，见[5]和[15]。Thene（ξ）=supγ∈M、 Eγ=1E（γξ）（1.5）是Lq（R+）中凸σ（Lq，Lp）-闭锥M上期望E（γξ）的上确界；通过将上确界替换为内确界来获得超线性期望。在下文中，我们假设（1.5）成立，并且表示集M的选择方式确保相应的次线性和超线性期望是定律不变的，也就是说，对于每个γ，M包含与γ相同分布的所有随机变量。欧几里德空间中的随机闭集X是一个随机元素，其值在Rd中的闭集族f中，使得{X∩ K 6=} 是Rd中所有紧凑设置的可测量事件，请参见【20】。换句话说，随机闭集是一个可测的集值函数。如果X几乎肯定属于Rd中的闭凸集族，则称随机闭集X为凸集。对于欧几里德空间中的凸随机集，可测性条件等价于X的支持函数（见（2.2））是Rd上的随机函数，其值为(-∞, ∞].在集值设置中，很自然地会将不等式（1.2）和（1.3）替换为包含。

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2022-6-14 07:04:07

对于集合，减号对应于相对于原点的反射；它不会改变包含的方向，因此设定值发布和超线性期望之间没有直接联系。集合包含始终被认为是非严格的，例如 B允许A=B。本文旨在系统地探讨非线性集值期望。第2节回顾了随机闭集的（线性）选择期望的经典概念，参见[2]和[20，第2.1节]。随机向量ξ称为X的选择，如果ξ∈ 几乎可以肯定。选择期望值EX定义为X的所有可积选择的期望值集的闭合（原始表示）或通过考虑预期支持函数（双重表示）。在本节中，我们将基于应用于支持函数的线性泛函，为（可能是无界的）随机凸集引入一个合适的收敛概念。第3节介绍了随机凸集的非线性期望。定义定义了【20，第2.2.7节】中所述非线性预期的性质。这些期望和更复杂的结构的基本例子被考虑，特别注意随机单态和半空间的期望。文中还解释了集值期望如何应用于随机凸函数，以及如何消除齐次性并将集值期望推广到凸/凹函数。在各种各样的非线性期望中，有可能识别极值：X的最小次线性期望是某个族中所有集的非线性期望的凸包，这些集合产生X作为它们的并集。

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能者818

2022-6-14 07:04:10

在选择的情况下，这成为选择期望的原始表示的直接推广。最大超线性扩张是包含随机集的所有半空间的非线性期望的交集。而在线性情况下，两者重合，并提供了选择期望的两个等效定义，一般来说，这两种结构不同。文献[4，9]研究了p-可积随机向量族Lp（Rd）的非线性映射，综合对偶结果见文献[7]。在我们的框架中，这些研究涉及超线性期望的参数是随机向量和凸锥的和的情况。然而，对于一般的集值参数，不可能依赖于[9，7]的方法，因为集值优化理论的已知技术（参见，例如，[16]）不适用。适用于处理非线性期望的关键技术依赖于双极性定理。将该定理直接推广到随机凸集的泛函是不可行的，因为随机凸集不形成线性空间。第5节给出了次线性期望的对偶结果，第6节给出了超线性期望的对偶结果。具体而言，确定了恒常保持的最小次线性期望。对于超线性期望，随机闭凸集族，使得次线性期望包含的定理是凸锥。然而，使用分离结果是相当棘手的，正弦函数（如选择期望）可能在无界可积随机集上具有平凡的值。例如，具有不确定法线的随机半空间的选择期望是整个空间；在这种情况下，超线性期望不受任何非平凡线性期望的支配。

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2022-6-14 07:04:13

为了处理这种情况，证明了最大超线性期望的对偶结果。结果表明，单态子的超线性期望通常为空；为了得到一个非平凡的最小扩展，最小扩展定义中的单态被转换锥所取代。第7节概述了一些应用。为了识别随机集样本中的异常值，次线性期望可用作深度函数。此类样本通常出现在计量经济学中的部分识别模型中，见【22】。超线性预期与衡量多元金融风险和多元效用密切相关。SuperlinearExpections对描述效用很有用，因为由随机集描述的两个Portfolios之和的效用“支配”了它们各自效用的总和。我们证明了超线性期望的最小扩张与[21]中考虑的低随机集的选择风险测度密切相关。附录提供了一个完整的证据，证明随机向量的向量值次线性期望必然分解为应用于向量每个分量的次线性期望。

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mingdashike22

2022-6-14 07:04:17

这一事实再次表明，集值设置对于定义随机向量的非线性期望至关重要。注意以下符号约定：X，Y表示随机闭凸集，Fis表示确定性闭凸集，ξ和β是p-可积随机向量和随机变量，ζ和γ是q-可积向量和1/p+1/q=1的变量，η通常是单位球面Sd的arandom向量-1、u和v是Sd的确定点-1.2选择期望2.1可积随机集和选择期望设X是Rd中的随机闭集，通常假设X几乎肯定是非空的。随机向量ξ称为X的选择，如果ξ∈ 几乎可以肯定。设Lp（X）表示p的X的p-可积选择族∈ [1, ∞), p=∞, 如果p=0，则显示所有选项。如果Lp（X）不为空，则X称为p-可积，如果p=1，则称为短可积。如果X是p-可积有界的，即kXk=sup{kXk:X，则是这种情况∈ 十} isp可积（如果p=∞).如果X是可积的，则其选择期望由ex=cl{Eξ：ξ定义∈ L（X）}，（2.1），这是X的所有可积选择的期望集的闭包，参见[20，第2.1.2节]。如果X是可积有界的，则不需要右侧的闭包，EX是紧的，如果X是凸的或下面的概率空间是非原子的，则几乎肯定也是凸的。从现在起，我们假设所有随机闭集几乎都是凸的。RDI中非空集F的支持函数由h（F，u）=sup{hx，ui:x定义∈ F}，u∈ Rd，（2.2）如果F没有界，则考虑可能的有限值，其中hu，xi表示scalarproduct。

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2022-6-14 07:04:21

由于同质性，支持函数由其在unitsphere Sd上的值确定-1、如果X是一个可积随机闭集，则其期望支持函数是EX的支持函数，即Eh（X，u）=h（EX，u），u∈ Rd，（2.3）见【20，第2.1.38条】。因此，EX=\\u∈Sd公司-1{x:hx，ui≤ Eh（X，u）}，这可以看作是选择期望的对偶表示，（2.1）是它的原始表示。[1] 提供一个不言自明的Daniell–Stone类型的选择期望特征。性质（2.3）也可表示为supξ∈L（X）hξ，ui=supξ∈L（X）Ehξ，ui，（2.4）意味着在这种情况下，可以交换期望值和上确界。如果X是一个可积随机闭集，H是F的子σ-代数，则条件期望E（X | H）由其支持函数确定，即X的支持函数的条件期望，请参见[12]和[20，第2.1.6节]。闭集F的膨胀（缩放）定义为cF={cx:x∈ F}表示c∈ R、对于两个闭集Fand F，其闭Minkowski和由F+F=cl{x+y:x定义∈ F、 y型∈ F} ，如果至少有一个summand为空，则sum为空。如果至少有一个Fand Fiscompact，则不需要右侧的封口。对于a，我们用F＋{a}代替F＋{a}写一个简短的F＋a∈ Rd.如果X和Y是随机闭凸集，那么X+Y是随机闭凸集，参见[20，Th.1.3.25]。选择期望在可积随机闭集上是线性的，即E（X+Y）=EX+EY，参见，例如，[20，Prop.2.1.32]。设C是RDS中的一个确定性闭凸锥，它不同于整个空间。如果F=F+C，则称F为C-闭。由于右侧的闭合Minkowski和，F也是拓扑闭合的。

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2022-6-14 07:04:24

设co F（C）表示Rd中所有C-闭凸集的族（包括空集），设Lp（co F（C））是所有p-可积随机集的族，其值在co F（C）中。Lp（co F（C））中的任何随机集都必须是非空的。ByG=Co={u∈ Rd:h（C，u）≤ 0}我们将极锥表示为C。示例2.1。如果C={0}，则co F（{0}）是Rd中所有凸闭集的族。IfC=Rd-, 然后co F（Rd-) 是下凸闭集族，在该族中实现的随机闭凸集称为随机下集。示例2.2。设C是Rd中的凸闭锥，它与整体空间不重合。如果X=ξ+C表示ξ∈ Lp（Rd），那么X属于空间Lp（co F（C））。对于每个ζ∈ Lq（G），我们有h（X，ζ）=hξ，ζi.2.2随机方向上的支持函数lethu（t）={X∈ Rd:hx，ui≤ t} ，u 6=0，（2.5）表示Rd中的半个空间，并让Hu(∞) = Rd.处理无界随机闭集时的特殊困难是由于任何确定性变元的支持函数可能与概率1有限这一事实造成的。示例2.3。设X=Hη（0）是法向量η具有非原子分布的随机半空间。那么EX就是整个空间。X的支持函数完全在随机射线{cη：c上≥ 0}.如【17，Cor.3.5】所示，每个随机闭凸集满足esX=\\η∈L（Sd-1） Hη（X），（2.6），其中Hη（X）=Hη（H（X，η））是包含X的外法线η的最小半空间。如果X是a.s.C-闭合，（2.6）保持不变，η贯穿Sd的选择族-1.∩ G、对于每个ζ∈ Lq（Rd），支持函数h（X，ζ）是一个随机变量，其值为(-∞, ∞], 参见[17，引理3.1]。虽然h（X，ζ）不一定是可积的，但如果X是p-可积的，则其负部分总是可积的。

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kedemingshi

2022-6-14 07:04:27

实际上，选择任何ξ∈ Lp（X）和writeh（X，ζ）=h（X- ξ、 ζ）+hξ，ζi。右侧的第二个和是可积的，而第一个和是非负的。引理2.4。设X，Y∈ Lp（co F（C））。如果Eh（Y，ζ）≤ 所有ζ的Eh（X，ζ）∈ Lq（G），然后 X a.s.证明。对于每个可测量事件A，用ζ1A代替ζ，得到e[h（Y，ζ）1A]≤ E[h（X，ζ）1A]，其中h（Y，ζ）≤ h（X，ζ）a.s.对于一般ζ，同样适用∈ Lq（Rd），将其拆分为ζ∈ G和ζ/∈ G、对于一般ζ∈ L（Rd），我们有h（Y，ζn）≤ h（X，ζn）a.s.，ζn=ζ1{kζk≤n} ，n≥ 1.因此，h（Y，ζ）≤ 所有ζ的h（X，ζ）a.s∈ L（Rd），该陈述源自【17，Cor.3.6】。推论2.5。X的分布∈ Lp（co F（C））由Eh（X，ζ）为ζ唯一确定∈ Lq（G）。证据将引理2.4应用于Y={ξ}，以便Eh（X，ζ）的值识别X的所有p-可积选择，并注意X等于其p-可积选择族的闭包，请参见[20，Prop.2.1.4]。如果一个随机闭集X看起来是随机闭集的hausdorff度量中的几乎确定极限，则称其为hausdorff可逼近集X，该随机闭集的值最多为有限个。众所周知【20，Th.1.3.18】所有随机紧集都是Hausdorff可逼近的，以及那些作为随机紧集和随机闭集之和出现的，可能值最多为有限个。示例2.3中的随机闭集X不可逼近。hausdorff可逼近p-可积随机闭凸集Xis的分布由所有γ的选择期望E（γX）唯一确定∈ Lq（R+），实际上，它的作用是让γ成为所有可测量的指标，见[11]和[20，第2.1.33条]。如果X是Hausdor ff可逼近的，则其选择ξ由条件E（ξ1A）确定∈ E（X1A）用于所有事件A。

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2022-6-14 07:04:31

通过传递支持函数，我们得到了引理2.4的一个变体，对于所有u∈ Sd公司-1和A∈ F、 2.3随机闭凸集的收敛随机闭凸集的收敛通常在概率中考虑，几乎可以肯定，orin分布。在下文中，我们需要定义适合处理无界随机凸集的Lp型收敛概念。空间Lp（Rd）具有σ（Lp，Lq）-拓扑，即ξn→ ξ表示ehξ，ζi→ Ehξ，所有ζ的ζi∈ Lq（Rd）。引理2.6。如果X是p-可积随机C-闭凸集，则Lp（X）是Lp（Rd）的非空凸σ（Lp，Lq）-闭和Lp（C）-闭子集。证据如果ξn∈ Lp（X）和ξn→ ξ ∈ Lp（Rd）inσ（Lp，Lq），thenEhξ，ζi=lim Ehξn，ζi≤ 所有ζ的Eh（X，ζ）∈ Lq（Rd）。因此，ξ是引理2.4对X的选择。关于亲密的说法是显而易见的。A序列Xn∈ Lp（co F（C）），n≥ 1，称为收敛于X∈ Lp（co F（C））标度inσ（Lp，Lq）（短，标度）如果Eh（Xn，ζ）→ 所有ζ的Eh（X，ζ）∈ Lq（G），其中在扩展线中理解收敛性(-∞, ∞]. 由于Eh（Xn，ζ）等于Lp（Xn）在ζ方向上的支持函数，因此该收敛是标量收敛Lp（Xn）→ Lp（X）作为Lp（Rd）中的凸集，参见[26]。3一般非线性集值期望3.1定义Fix p∈ [1, ∞] 和一个不同于整个空间的凸闭锥C。定义3.1。

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mingdashike22

2022-6-14 07:04:34

次线性集值期望是一个函数E:Lp（co F（C））7→ co f例如：i）对于每个确定性a∈ Rd，E（X+a）=E（X）+a（3.1）（确定性单态的可加性）；ii）E（F） F表示所有确定性F∈ co F（C）；iii）E（X） E（Y）如果X Y几乎肯定（单调性）；iv）E（cX）=cE（X），对于所有c>0（同质性）；v） E是次可加的，即E（X+Y） E（X）+E（Y）（3.2）对于所有p-可积随机闭凸集X和Y。超线性集值期望U满足相同的性质，但i）被U（F）取代 F和（3.2）替换为超加性性质yu（X+Y） U（X）+U（Y）。（3.3）如果非线性期望E和U在同分布随机闭凸集上保持其值，则称其为定律不变。提案3.2。Lp（co F（C））上的非线性期望值取自co F（C）。证据如果a∈ C、然后X+a X a.s.，E（X）+a从哪里来 E（X）。因此，E（X）∈co F（C）。虽然非线性期望的参数X为a.s.非空，但U（X）可能为空，那么（3.3）的右侧也为空。然而，如果某些X的E（X）为空，则E（ξ+C）= 对于ξ∈ Lp（X），henceE（Y）=E（Y+C）=E（Y- ξ+ξ+C） E（Y- ξ） +E（ξ+C）=对于所有p-可积随机集Y为空。有鉴于此，假设sublinearexpections取非空值。当E（X）=rD或U（X）=时，我们总是排除平凡的情况对于所有X，同质性性质立即意味着，如果X几乎肯定是一个圆锥体，那么E（X）和U（X）是圆锥体，也就是说，对于所有的c>0，cX=X a.s。因此，只能得出结论，E（C）是一个闭凸锥，它可能严格大于C。根据命题3.2，U（C）要么是C，要么是空的。如果E（C）=C（分别，U（C）=C），则称次线性（分别，超线性）期望为归一化。

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2022-6-14 07:04:36

我们总是有E（Rd）=Rdby属性ii），还有U（Rd）=Rd，因为U（Rd）=U（Rd）+a表示所有a∈ Rd和U不是相同的空。非线性期望的性质并不意味着它们保持确定性凸闭集。家族{F∈ 不变集的co F（C）：E（F）=F}在平移、正实扩张和Minkowski和下是闭合的，因为如果E（F）=F和E（F）=F，则F+F E（F+F） E（F）+E（F）=F+F。如果来自co F（C）的所有非空确定性集都是不变的，则称非线性期望为常数保持。如果U（X），超线性和次线性期望形成对偶对 E（X）对于每个可积随机闭凸集X。与单变量设置不同，精确对偶关系（1.4）是无用的；如果C={0}，则-E类(-十）也是次线性期望，其中-X={-x：x∈ 十} 是X相对于原点的反射。对于序列{Fn，n≥ 1} 闭集的下限lim-inf-Fn是所有收敛序列xn的极限集∈ Fn，n≥ 1，其上限lim sup Fn是所有收敛子序列xnk的极限集∈ Fnk，k≥ 次线性期望E称为下半连续ifh（E（X），u） lim inf h（E（Xn），u），u∈ Rd，（3.4），U为上半连续ifU（X）随机闭凸集序列{Xn，n）的lim sup U（Xn）≥ 1} 在chosentopology中收敛到X，例如，如果Xnscally收敛到X，则为比例低半连续。请注意，低半连续性定义弱于集值函数的标准变量，这将要求e是lim inf e（Xn）的子集，请参见[14，Prop.2.35]。备注3.3。可以考虑仅在某些特殊随机集上定义的非线性期望，例如单态空间或半空间。

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2022-6-14 07:04:39

只要求这类集合的族在平移、正实扩张和Minkowski和下是封闭的。族co-F通常按逆包含排序；然后相应地调整终端，例如，超线性期望变为次线性。然而，我们系统地考虑了传统的包含顺序。备注3.4。出于金融应用的动机，可以用凸性或凹性代替均匀性和次（超）可加性，例如U（λX+（1- λ） Y） λU（X）+（1- λ） U（Y），λ∈ [0, 1].然而，通过lettingU（{t}×X）={t}×tu（t-1X），t>0。Uare随机闭凸集的自变量Y={t}×X；它们形成了一个用于膨胀、Minkowski和以及由R+×Rd的单子平移的家族循环。注意，{t}×X的选择由（t，ξ）给出，其中ξ是X的选择。有鉴于此，如果维数增加1，则齐次情况下的所有结果都适用于凸情况。3.2示例最简单的示例是选择期望，它在所有可积随机凸集上都是线性和法律不变性的。示例3.5（固定点和支架）。LetFX公司=x:P{x∈ 十} =1表示随机闭集X的固定点集。如果X几乎肯定是凸的，那么FX也几乎肯定是凸的，如果X是正概率紧的，那么FX是紧的。很容易看到FX+Y FX+FY，其中U（X）=FX是一个法律不变的超线性期望。根据类似的想法，可以定义子线预期E（X）=支持X作为X的支持，这是点X的集合，使得X以正概率表示X的任何开放邻域。

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2022-6-14 07:04:42

根据单调性，{x}=U（{x}）任意X的U（X）∈ FX，其中U（X）=FX是任何其他归一化超线性期望X的子集。通过类似的参数，E（X）=supp X支配任何其他保持常数的次线性期望。示例3.6（半行）。固定C={0}，设X=[ξ，∞) R、然后U（X）=[e（ξ），∞) issuperlinear当且仅当e（ξ）是（1.2）通常意义下的次线性。对于Y型随机集=(-∞, ξ] ，U（Y）=(-∞, u（ξ）]对应于u（ξ）的单变量超线性。因此，集值非线性期望的性质不仅取决于背景数值期望，还取决于相关随机集的构造。在高维情况下，情况变得更加复杂，其中凸集的补码不一定是凸的，并且补码的Minkowski和不等于和的补码。示例3.7（随机间隔）。设X=[η，ξ]是ξ，η直线上的随机区间∈ Lp（R），设C={0}。那么E（X）=[u（η），E（ξ）]是由η的数值超线性期望和ξ的数值次线性期望形成的区间，使得u（ξ）≤ e（ξ）表示所有ξ，例如，如果u和e是精确的对偶对。超线性期望u（X）=[e（η），u（ξ）]可能为空。3.3单粒子和半空间的期望确定性单粒子的可加性性质立即产生以下有用的事实。引理3.8。我们有E（X）={X∈ Rd:E（X- x） 3 0}，对于超线性期望也是如此。修复C={0}。仅限于单态，次线性期望是齐次映射：Lp（Rd）7→ 满足（{ξ+η}）的系数 E（{ξ}）+E（{η}），ξ，η∈ Lp（Rd）。注意，E（{ξ}）不一定是一个单态。如果E（{ξ}）是每个ξ的单态∈ Lp（Rd），则E在Lp（Rd）上是线性的。假设它的下半连续性，它就变成了通常的（线性）期望值。

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2022-6-14 07:04:45

以下结果涉及单态的超线性期望。对于一般锥C，用集合ξ+C代替单子也有类似的结果。命题3.9。设C={0}。对于每个ξ∈ Lp（Rd）和任何正规化的超线性期望U，集合U（{ξ}）要么是空的，要么是单态的，并且U是所有单态族上非空U（{ξ}）的加法。证据By（3.3）应用于X={ξ}和Y={-ξ} ，我们有{0}=U（{0}） U（{ξ}）+U({-ξ} ，其中U（{ξ}）要么为空，要么为单态，然后U({-ξ}) = -U（{ξ}）。如果U（{ξ}）和U（{ξ}）是ξ的单态（因此是非空的），ξ∈ Lp（Rd），thenU（{ξ+ξ}） U（{ξ}）+U（{ξ}），从中包含变成相等。考虑到命题3.9并将上半连续性性质强加于超线性期望，对于每个p-可积ξ，U（{ξ}）等于{Eξ}或为空。ξ家族∈ Lp（Rd）使得U（{ξ}）6= 是Lp（Rd）中的凸锥。提案3.10。如果X+X=Rda。s、对于X是X的独立副本，则对于每个定律不变的次线性期望E，ne（X）=rde。证据根据次可加性和定律不变性，Rd=E（Rd）=E（X+X） E（X）+E（X）=2E（X）。如果X=Hη（0）是具有非原子η的半空间，则命题3.10适用，因此此类随机集上的每一个HLAW不变次线性期望取平凡值。示例3.11。设C=Rd-. 如果E（ξ+Rd-) = ~e（ξ）+Rd-对于向量值函数~e:Lp（Rd）7→ Rd，然后~e（ξ）分解为应用于ξ=（ξ，…，ξd）成分的超线性期望向量，见定理A.1.3.4随机凸函数的非线性期望下半连续凸函数f:Rd7→ [0, ∞] 在Rd+1中产生一个凸集tfh（Tf，（t，x））=（Tf（x/t），t>0,0，否则。获得的支持函数称为f的透视变换，参见[13]。

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mingdashike22

2022-6-14 07:04:48

请注意，可以通过在Tf的支持函数中设置t=1来恢复f。如果ξ（x），x∈ Rd是一个随机的非负下半连续凸函数，则其次线性期望可以定义为E（ξ）（x）=h（E（Tξ），（1，x）），超线性期望也可以类似定义。根据这一定义，本文中的所有结构都适用于随机函数。4非线性期望的扩展4.1最小扩展Lp（co F（C））随机集上次线性集值期望E的最小扩展定义为（X）=co[ξ∈Lp（X）E（ξ+C），（4.1），其中co表示闭凸包运算。它将次线性期望定义的集ξ+C扩展到所有p-可积随机闭集X，使得X=X+C a.s。在支持函数方面，最小扩展由h（E（X），u）=supξ给出∈Lp（X）h（E（ξ+C），u），u∈ G、（4.2）提案4.1。如果E是在ξ的随机集ξ+C上定义的次线性期望∈ Lp（Rd），则其最小扩张（4.1）是次线性期望。证据E在确定性单态上的可加性源于E的这个性质。Fora确定性F∈ co co F（C），E（F） co[x∈FE（x+C） co[x∈F（x+C）=F。E的同质性和单调性很明显。次可加性源自Lp（X+Y）是Lp（X）+Lp（Y）之和的Lp闭包这一事实，参见【20，Prop.2.1.6】。4.2最大延伸将超线性期望U从其值延伸到半空间上，得到其最大延伸U（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（X）），（4.3）是随机半空间Hη（X）=Hη（H（X，η））几乎肯定包含X的超线性期望的交点∈ Lp（co F（C））。回想一下G=Co.命题4.2。

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2022-6-14 07:04:51

如果U在具有相同法线的半空间上是超线性的，即U（Hη（β+β）） U（Hη（β））+U（Hη（β））（4.4）表示β，β∈ Lp（R）和η∈ L（Sd-1.∩ G），且在具有相同法线的半空间上是标度上半连续的，即U（Hη（β）） lim sup U（Hη（βn））如果βn→ β在σ（Lp，Lq）中，则（4.3）给出的最大扩张U（X）对于随机闭凸集的标量收敛是超线性和上半连续的。如果U在半空间上是定律不变的，那么U是定律不变的。证据确定性单态的可加性源于以下事实：对于所有a，Hη（X+a）=Hη（X）+a∈ 如果为F，则为Rd∈ co F（C）是确定性的，thenU（F）\\u∈Sd公司-1.∩顾（胡（F））\\u∈Sd公司-1GHu（F）=F。扩张的同质性和单调性很明显。对于两个可积随机闭凸集X和Y，（4.4）得到u（X+Y）=\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（H（X，η）+H（Y，η）））\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（X））+U（Hη（Y））\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（X））+\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（Y））=U（X）+U（Y）。假设Xnscalarly收敛到X。让xnk∈ U（Xnk）和Xnk→ x代表一些x。然后是xnk∈ U（Hη（Xnk））表示所有η∈ L（Sd-1.∩ G）。自h（Xnk，η）→ h（X，η）在σ（Lp，Lq）中，半空间上的上半连续性得到U（hη（X）） lim sup U（Hη（Xnk）），whencex∈ U（Hη（X））表示所有η。因此，x∈ U（X），确定最大扩张的上半连续性。定律不变性的性质很简单。可以让（4.3）中的η具有确定性，并且定义u（X）=\\u∈Sd公司-1.∩顾（胡（X））。（4.5）通过这种简化的最大扩张，将超线性期望从其值扩展到具有确定性法向量的半空间上。请注意，缩减后的最大延伸可能等于整个空间，例如，对于X=Hη（0），它是具有不确定法线的半空间。很明显，U（X） U（X）eU（X）andeU是常数保持的。

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能者818

2022-6-14 07:04:54

减少的最大扩张对于Hausdorff可逼近随机闭集特别有用。4.3精确非线性期望可以对次线性期望应用最大延拓，对超线性期望应用最小延拓，从而得到E和U。对于每个p-可积随机闭集X，E（X），单调性 E（X） E（X）eE（X）。（4.6）很容易看出，每个扩展都是一个幂等运算，例如，e的最小扩展与e重合。如果非线性次线性期望与其最小（分别，最大）扩展重合，则称其为最小（分别，最大）。如果U与eu重合，则超线性期望值最大。由于随机凸闭集既可以表示为其选择的族，也可以表示为半空间的交集，因此最小表示可以被视为精确非线性期望的原始表示，而最大表示则成为对偶表示。若（4.6）在等式中成立，则称E为精确值。这同样适用于超线性预期。注意，选择期望在所有可积随机闭凸集上都是精确的，其最小值对应于（2.1），最大值变为（2.3）。5次线性集值期望5.1最小次线性期望的对偶最小次线性期望由其对随机集ξ+C的限制决定；以下结果是此类限制的特征。引理5.1。

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2022-6-14 07:04:57

A图（ξ+C）7→ E（ξ+C）∈ ξ的co F∈ Lp（Rd）是σ（Lp，Lq）-下连续正规化次线性期望当且仅当h（E（ξ+C），u）=∞ 对于u/∈G=Co，和H（E（ξ+C），u）=supζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξi，u∈ G、（5.1）其中Zu，u∈ G、是凸σ（Lq，Lp）-在Lq（G）中的闭锥，使得{Eζ：ζ∈ Zu}={tu:t≥ 0}表示所有u 6=0，Zcu=ZU表示所有c>0，Z={0}，ZU+v Zu+Zv、u、v∈ G、（5.2）证明。效率。对于线性独立的u和v，每个ζ∈ Zu+V饱和度ζ=ζ+ζ，其中Eζ=tu，Eζ=tv。因此，只有当t=t=t时，Eζ=t（u+v）。因此，h（E（ξ+C），u+v）=supζ∈Zu+v，Eζ=u+vEhζ，ξi≤ supζ∈Zu+Zv，Eζ=u+vEhζ，ξi≤ supζ∈Zu，ζ∈Zv，Eζ=u，Eζ=vEhζ+ζ，ξi≤ h（E（ξ+C），u）+h（E（ξ+C），v）。由于任何c>0时，Zcu=Zu=Czuf，h（E（ξ+c），cu）=supζ∈Zcu，Eζ=cuEhζ，ξi=supζ∈Zu，Eζ=uEhcζ，ξi=ch（E（ξ+C），u），其中函数h（E（ξ+C），u）在u中是次线性的，因此是一个支持函数。单子上的可加性性质来自于构造，sincesupζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξ+ai=supζ∈对于每个确定性a，Zu，Eζ=uEhζ，ξi+ha，ui∈ 此外，h（E（C），u）=h（C，u），其中E（C）=C。同质性很明显。函数E是次可加的，因为（E（ξ+η+C），u）=supζ∈Zu，Eζ=uhu，ξ+ηi≤ h（E（ξ+C），u）+h（E（η+C），u）。对于u∈ G、集合{ζ∈ Zu:Eζ=u}在σ（Lq，Lp）中闭合。确实，如果ζn→ ζ、然后在Ehζn，ξi中→ Ehζ，ξi设ξ为基向量之一，以确定Eζ=u。因为（E（ξ+C），u）是闭集{ζ）的支持函数∈ Zu:Eζ=u}在ξ方向，作为ξ的函数是下半连续的∈ Lp（Rd），因此（3.4）保持不变。必然性根据命题3.2，支持函数为u/∈ G、对于u∈ G、设Aube为ξ的集合∈ Lp（Rd）使得h（E（ξ+C），u）≤ 0、映射ξ7→ h（E（ξ+C），u）是从Lp（Rd）到(-∞, ∞]. 根据次线性，Au是Lp（Rd）中的凸锥，对于所有c>0的情况，andAcu=Au。

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2022-6-14 07:05:00

此外，Au对于标量收敛ξn+C是闭合的→ ξ+C，假定E的下半连续性。因此，它对于收敛ξn是闭合的→ ξinσ（Lp，Lq）。请注意，0∈ Au和letZu={ζ∈ Lq（Rd）：Ehζ，ξi≤ 0表示所有ξ∈ Au}是Au的极锥。对于u=0，我们有A=Lp（Rd）和Z={0}。考虑u 6=0。设ξ=a1h为事件H，确定性a为ha，ui≤ 0，我们得到一个Au的成员，其中每个ζ∈ Zusatis fies hEζ，a1Hi≤ 0每当ha、ui≤ 因此，ζ∈ G a.s.，让H=Ohm 对于某些t，得出Eζ=tu≥ 0和所有ζ∈ 祖。E（ξ+C）支撑函数的次可加性性质得出Au+v （澳大利亚）∩ Av）适用于u、v∈ G、 Bya Banach空间模拟[25，Th.1.6.9]，极性到Au∩ Avis是两极的闭合和Zu+Zv，其中（5.2）成立。根据Au的定义，h（E（ξ+C），u）=infhx，ui：ξ- x个∈ 澳大利亚.由于Auis凸且σ（Lp，Lq）-闭，双极性定理得出h（E（ξ+C），u）=inf{hx，ui:ξ- x个∈ Au}=infhx，ui:Ehζ，ξ- xi≤ 0表示所有ζ∈ 祖= supζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξi。定理5.2。p-可积随机闭凸集上的函数E是标度低连续的最小正规化次线性期望当且仅当E接受表示h（E（X），u）=supζ∈Zu，Eζ=uEh（X，ζ），u∈ G、（5.3）和h（E（X），u）=∞ 对于u/∈ G、其中{Zu，u∈ Rd}满足引理5.1的条件。证据必然性引理5.1适用于E对随机集ξ+C的限制。根据最小假设，E与其最小扩张（4.2）一致。引理5.1，foru∈ G、 h（E（X），u）=supξ∈Lp（X）supζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξi=supζ∈Zu，Eζ=uE supξ∈Lp（X）hζ，ξi=supζ∈Zu，Eζ=uEh（X，ζ），其中使用了（2.4）。效率。（5.3）的右侧是u中的次线性，因此是一个支持函数。E的单态可加性、单调性、次可加性和齐次性都很明显。

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2022-6-14 07:05:03

对于确定性F∈ co F（C），支持函数的次线性Yieldsthas（E（F），u）=supζ∈Zu，Eζ=uEh（F，ζ）≥ supζ∈Zu，Eζ=uh（F，Eζ）=h（F，u），其中E（F） FE的最小值遵循E（X）=supξ∈Lp（X）supζ∈Zu，Eζ=uEhξ，ζi=supζ∈Zu，Eζ=uEh（X，ζ）=E（X）。由于（5.3）给出的E（X）的支持函数是X的标度连续函数的上确界，因此最小次线性期望是标度下半连续的。推论5.3。如果u∈ Zufor所有u∈ Rd，然后EX E（X）对于所有p-可积X和任意下半连续正规化最小次线性期望E.Proof。By（5.3），h（E（X），u）≤ Eh（X，u）=h（EX，u）表示所有u∈ G、备注5.4。（5.3）给出的次线性期望是定律不变的，当且仅当setsZuare定律完备，即每个ζ∈ Zu，集合Zu包含与ζ共享分布的所有随机向量。示例5.5。设Z为随机矩阵，EZ为单位矩阵，Zu={Zi>：t≥ 0}，u∈ G=Rd。然后（5.3）变成h（E（X），u）=Eh（Z>X，u），此时E（X）=E（Z>X）。可以让Z属于这样的矩阵族；那么，E（X）是所有这些Z的E（Z>X）的并集的闭凸包。在这个例子中，h（E（X），u）不仅仅由h（X，u）确定。这种次线性期望不一定是恒常保留的。示例5.6（随机半空间）。设X=Hη（β）和β∈ Lp（R）和η∈ L（Sd-1.∩ G）。根据（5.3），h（E（X），u）是u的定义∈ Sd公司-1.∩ G仅当各ζ∈ Zuwith Eζ=u满意度ζ=γηa.s.withγ∈ Lq（R+）。Thenh（E（Hη（β）），u）=supγ∈Lq（R+），γη∈Zu，E（γη）=uE（γβ）。如果法线η=u是确定性的，则为zu {γu：γ∈ Lq（R+）}，（5.4）然后E（Hu（β））=Hu（t），t=supγu∈Zu，Eγ=1E（γβ）。否则，E（Hu（β））=Rd.5.2精确次线性期望现在考虑这样一种情况，即对于每个u，h（E（X），u）的值仅由h（X，u）的分布决定。

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2022-6-14 07:05:06

如果（5.3）中的上确界仅涉及ζ，因此对于某些γ，ζ=γu，则为这种情况∈ Lq（R+）。下面的结果表明，这个条件的特征是恒量保持最小的次线性期望，然后必然成为精确期望。定理5.7。Lp（co F（C））中p-可积随机闭凸集上的函数E是保持最小次线性期望的标度下半连续常数，当且仅当h（E（X），u）=∞ 对于u/∈ G、 andh（E（X），u）=supγ∈Mu，Eγ=1E（γh（X，u）），u∈ G、（5.5）其中Mu，u∈ G、是凸σ（Lq，Lp）-在Lq（R+）中的闭锥，使得Mcu=Muforall c>0，和Mu+v 亩∩ MVU适用于所有u、v∈ Rd证明。效率。如果Mu，u∈ Rd，满足所施加的条件，则Zu={γu：γ∈Mu}，u∈ G、满足引理5.1的条件。实际上，对于所有c>0，Zcu=Zu，并且Zu+v={γ（u+v）：γ∈ Mu+v} {γ（u+v）：γ∈ 亩∩ Mv} 所有u、v的Zu+ZV∈ G、如果F∈ co F（C）是确定性的，那么h（E（F），u）=supγ∈Mu，Eγ=1Eh（F，γu）=h（F，u），u∈ G、 E是常数保持的。必然性由于E是最小值，E（X）的支持函数由（5.3）给出。constantpreserving性质得出，对于所有半空间Hu（t）和u，E（Hu（t））=Hu（t）∈ G、根据例5.6的论证，只有当（5.4）成立时，半空间Hu（t）的最小次线性期望才与整个空间不同。zu的性质意味着Mu={γ：γu的强制性质∈ 祖}。实际上，假设γ∈ Mu+v，所以γ（u+v）∈ 因此，γ（u+v）∈ （Zu+Zv），表示γ（u+v）是γ1nu的γ1nu+γ2nv的范数极限∈ Zu和γ2nv∈ Zv，n≥ 1、u和v的线性依赖性得出γ1n→ γ和γ2n→ γ、 γ从何而来∈ （亩）∩ Mv）。可以将（5.5）ash（E（X，u）=eu（h（X，u）），u重新表述为∈ G、（5.6）对于数值次线性期望seu（β）=supγ∈Mu，Eγ=1E（γβ），u∈ G、 β∈ Lp（R），由（1.5）的类似物定义。

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2022-6-14 07:05:09

因为h（X，u）的负部分是p-可积的，所以可以一致地让e（h（X，u））=∞ 在（5.7）中，如果h（X，u）不是p-可积的。推论5.8。每个保持最小次线性期望的标度下半连续常数都是精确的。证据由于（5.5）得出E（Hη（X））=Rdifη是随机的，因此（4.3）的类似物Eby的最大延伸减少到确定性η，因此E=eE是减少的最大张力。对于u∈ Sd公司-1.∩G和β∈ Lp（R），我们有E（Hu（β））=Hu（eu（β）），参见示例5.6。因此，E的约化最大扩张由ee（X）=\\u给出∈Sd公司-1.∩GHu（eu（h（X，u）））。与（5.6）相比，我们可以看到ee（X） E（X）。相反的夹杂很明显，当EE（X）=E（X）=E（X）时。推论5.9。如果E是一个保持最小正规化次线性期望的标度下半连续常数，则对于每个确定性F，E（X+F）=E（X）+F∈co F（C）。推论5.10。假设E是标度下半连续常数保持最小律不变的次线性期望。然后E（E（X | H）） E（X）表示所有X∈ Lp（co F（C））和F的任何子σ-代数H。特别是，EX E（X）。证据E的定律不变性意味着euis定律不变性。次线性期望eu是扩张单调的，这意味着eu（E（β| H））≤ 所有β的eu（β）∈ Lp（R），参见【8，Cor.4.59】，了解风险度量得出的事实。声明如下（5.6）。对于p-可积随机闭凸集X，其Firey p-期望由H（EpX，u）=（Eh（X，u）p）1/p定义。下一个结果来自（5.5）中应用的H¨older不等式toE（γH（X，u））。推论5.11。如果E接受表示（5.5），则E（X）（EpX）supu∈G、 γ∈Mu，Eγ=1（Eγq）1/q。下面的结果确定了一个特别重要的情况，当族Mu=Mdo不依赖于u时。这个性质本质上意味着次线性期望保留了Tred balls。

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2022-6-14 07:05:12

由Br表示以原点为中心的半径为r的球。定理5.12。保持最小超线性的标度下半连续常数满足E（Bβ+C）=Br+C所有β∈ Lp（R+）和R≥ 0（取决于β）当且仅当（5.5）在所有u 6=0的情况下，Mu=M成立。然后h（E（X，u）=E（h（X，u）），u∈ G、（5.7）其中e接受陈述（1.5）。此外，E（X）=co[γ∈M、 Eγ=1E（γX）。（5.8）证明。假设mu是按照定理5.7的证明构造的，因此对于每个u∈ G、 h（E（Bβ+C），u）=supγ的右侧∈Mu，Eγ=1E（γβ）。不依赖于u∈ Sd公司-1.∩ G当且仅当所有u的Mu=M∈ G、表示（5.7）遵循（5.6），Mu=M。鉴于（1.5），supγ∈M、 Eγ=1Eh（γX，u）=supγ∈M、 Eγ=1Eh（γX，u）=supγ∈M、 Eγ=1E（γh（X，u））=E（h（X，u））。根据（5.7），（5.8）两侧的支持功能相同。如果X={ξ}是单态，则无需在（5.8）的右侧取凸包。示例5.13。对于可积X和n≥ 1、考虑次线性期望∪n（X）=E co（X∪ · · · ∪ Xn），很容易看出∪n（X）是一个保持最小常数的次线性期望；（5.7）给出了相应的数值次线性期望e（β），是βn i.i.d.副本的期望最大值∈ L（R）。根据推论5.8，这种次线性期望是正确的。示例5.14。对于α∈ （0，1），设Pα为随机变量γ族，其值为[0，α-1] 使得Eγ=1。此外，设M是由Pα生成的锥，即isM={tγ：γ∈ Pα，t≥ 0}. 在金融中，集合Pα生成平均风险值，这是作为平均分位数获得的风险度量，见【8】。类似地，由该集合M生成的数字公共e和超线性u期望被表示为平均分位数。

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2022-6-14 07:05:15

也就是说，e（β）是t级β分位数的平均值∈ (1 - α、 1），u（β）是t级分位数的平均值∈ (0, α). 对应的集值子线性预期满足EX E（X） α-1EX。6超线性集值期望6.1最大超线性期望的对偶性考虑Lp（co F（C））上定义的超线性期望。如果C={0}，我们处理所有P可积随机闭凸集。回想一下，G=COI是C的极锥。定理6.1。A映射U:Lp（co F（C））7→ co F是尺度上半连续归一化最大超线性期望当且仅当ifU（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G） \\γ∈Mηx:hx，E（γη）i≤ Eh（X，γη）（6.1）对于凸σ（Lq，Lp）集合-闭锥Mη Lq（R+）由η参数化∈ L（Sd-1.∩G）对于每个确定性η=u，mu严格大于{0}∈ Sd公司-1.∩ G、证明。必然性固定η∈ L（Sd-1.∩ G），设Aη为β的集合∈ Lp（R）使得u（Hη（β））包含原点。自U（Hη（0）） U（C）=C，我们有0∈ Aη。自CEU（Hu（t）） Hu（t），当t<0和u时，家族中不包含β=t∈ Sd公司-1.∩ G、如果βn→ βinσ（Lp，Lq），然后Eh（Hη（βn），γη）→ 所有γ的Eh（Hη（β），γη）∈ Lq（R），whenceHη（βn）→ Hη（β）以σ（Lp，Lq）为单位。因此，U（Hη（β）） lim sup U（Hη（βn））由假定的U的上半连续性确定。因此，Aη是凸σ（Lp，Lq）-闭锥inLp（R）。考虑其正对偶coneMη=γ ∈ Lq（R）：E（γβ）≥ 0表示所有β∈ Aη.由于U（C）=C，每当C X a.s.鉴于此，如果β是a.s.非负，则Hη（β）a.s.包含零，因此β∈ Aη。因此，Mη中的每个γ都是非负的。双极性定理得出aη=β ∈ Lp（R）：E（γβ）≥ 所有γ为0∈ Mη. （6.2）自(-t）/∈ Au，（6.2）得出锥μ严格大于{0}。

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2022-6-14 07:05:18

由于U被假定为最大值，（4.3）意味着U（X）=U（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G）x:U（Hη（x）- x） 3 0=\\η∈L（Sd-1.∩G）x:h（x，η）- hx，ηi∈ Aη=\\η∈L（Sd-1.∩G） \\γ∈Mηx:Ehx，γηi≤ Eh（X，γη）}。效率。很容易检查（6.1）给出的U在确定性单态、齐次和单调上是可加的。如果F∈ co F（C）是确定性的，那么让（6.1）中的η=u是确定性的，并使用mu的非平凡性得出u（F） F此外，U（C）=C，因为U（C）包含原点，因此不为空。U的超加性来自以下事实：x:hx，E（γη）i≤ Eh（X，γη）+Eh（Y，γη）x:hx，E（γη）i≤ Eh（X，γη）+x:hx，E（γη）i≤ Eh（Y，γη）.很容易看出U与其最大延伸重合。注意，（6.1）等效为asU（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G） \\γ∈Mηx：Eh（x- x、 γη）≥ 0.如果Xnscalarly收敛到X和xnk→ x代表xnk∈ U（Xnk），k≥ 1，然后Eh（Xn- xn，γη）收敛于Eh（X-x、 γη）适用于所有γ∈ Lq（R+）和η∈ L（Sd-1.∩G）。因此，Eh（X-x、 γη）≥ 0，x所在位置∈ U（X），然后是U的上半连续性。与次线性情况不同（见定理5.2），定理6.1中的锥Mη不需要满足引理5.1中规定的附加条件。推论6.2。如果1∈ Mη表示所有η，然后是U（X）所有p-可积X和任意阶上半连续最大正规化超线性期望U的EX。证据将（6.1）中的交点限制为确定性η=u和γ=1，以便（6.1）的右侧变为示例6.3。设X=Hη（β）为法向η的半空间∈ L（Sd-1）和β∈ Lp（R）。

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