因为V=G在D中，它直接遵循-xV（t，b（t））=-因此，平滑条件成立。（iv）注意到，由于（i）原因，与（8）、（2）和（14）一起，并回顾x 7→ V（t，x）是凸的（因此十五≥ 0），我们明白了电视（t，x）≤ λV（t，x）-T- t型- xT公司- t型xV（t，x）=-Ee-λτ*（十）- S） T型- t型- τ*T- t型λ+x- 装货单- t型.因此电视≤ 集合CS上的0：=[0，T）×S，∞)  C、 对于一些小ε>0，用（X[t，t]s）t表示-t+εs≥0a流程，对于∈ [0，T- t] ，它表现为布朗桥X[t，t]，其余部分在值S处保持不变，即X[t，t]S=S∈ [T- t、 t型- t+ε]。设u【t，t】为其漂移，并确定过程（X【t-ε、 T]s）T-t+εs≥0=X[t-ε、 T]带漂移u[T-ε、 T）]。

自u【t，t】（t，x）起≥ u[吨-ε、 T]每当x≤ S、 池田和渡边（1977）的定理1.1保证X[t，t]S≥ X【t】-ε、 T]sPt，x-a.s.，适用于所有（T，x）和所有s≤ τS，其中τS：=inf{S∈ [0，T- t] ：X[t，t]s>s}。现在假设两个进程都从x开始≤ S、 考虑停车时间τ*= τ*（t，x）。因此，由于V（t+s∧τ*, X[t，t]s∧τ*) 和V（t+s，X[t-ε、 T]s）是鞅和超鞅（分别参见Peskir和Shiryaev（2006）的第2.2节），我们有：V（T，x）- V（t- ε、 x）≤ 超高压（t+τS∧ τ*, X[t，t]τS∧τ*) - V（t- ε+τS∧ τ*, X【t】-ε、 T]τS∧τ*)我≤ EhI（τ*≤ τS，τ*< T- t） e类-λτ*（X[吨-ε、 T]τ*- X[t，t]τ*)+i+EhI（τ*∧ τS=T- t） e类-λτ*（X[吨-ε、 T]T-t型- X[t，t]t-t） +i+EhI（τS≤ τ*, τS<T- t） V（t+τS，X[t，t]τS）- V（t- ε+τS，X[t-ε、 T]τS）i≤ EhI（τS≤ τ*, τS<T- t） V（t-ε+τS，S）- V（t- ε+τS，X[t-ε、 T]τS）i≤ 第二个不等式出现在注意到τ之后*不是X[t]的最佳值-ε、 T]和使用（22）；自X[t]以来的第三个质量保持不变-ε、 T]τ*≤ X[t，t]τ*对于τ*≤ τS，X[t-ε、 T]T-t型≤ X[t，t]t-twheneverτ*∧ τS=T- t、 事实上电视≤ 设置CS时为0；最后一个不等式依赖于x 7的增长行为→ V（t，x）。最后除以ε取ε→ 0，我们得到声明的结果。这种比较从不同时间和相同空间值开始的过程的技术是基于最近在De Angelis和Milazzo（2019）中出现的不同增益函数的类似论点。（v） 设（X[ti，T]ti+s）[0，T-ti]s≥对于任意x，0是从Xti=x到XT=S的布朗桥∈ R、 i=1，2。注意，根据（2），以下公式成立：X[t，t]t+sd=r1/2X[t，t]t+s+（1- r1/2）（S- x） sT公司- t、 （25）其中r=t-tT-t、 s∈ [0，T- t] ，s=sr∈ [0，T-t] 。获取0≤ t<t<t，考虑τ：=τ*（t，x），并设置τ：=τr。

自t 7起→ V（t，x）正在减少外汇∈ R、 然后0≤ V（t，x）- V（t，x）≤ Et，xhe-λτGX[t，t]t+τ我- Et，xhe-λτGX[t，t]t+τ我≤ Ehe公司-λτGX[t，t]t+τ- GX[t，t]t+τ我≤ EX[t，t]t+τ- X[t，t]t+τ+= E“r1/2- 1.X[t，t]t+τ+（S- x） τT- t型+#≤r1/2- 1.（S+I（x≤ S） （S）- x） （）+,其中，第一个等式出现在应用（25）之后，最后一个等式出现在r<1和x[t，t]t+τ之后≤ S、 因此，V（t，x）- V（t，x）→ 0作为t→ t、 即t 7→ V（t，x）对于每个x是连续的∈ R、 因此，为了解决V的连续性，有必要证明，对于固定的t，x 7→ V（t，x）在t的一个邻域内是一致连续的。后者出现在以下不等式之后，这些不等式是在应用了（21）中使用的类似参数之后出现的：0≤ V（t，x）- V（t，x）≤ （十）- x） E类e-λτ*T- t型- τ*T- t型≤ x个- x、 其中x，x∈ R等于x≤ X和τ*= τ*（t，x）。命题3的证明。我们已经证明了命题1中b的右连续性，所以这个证明致力于证明它的左连续性。假设b不是连续的。

因此，由于b是非递减的，我们可以确保点t的存在*∈ （0，T）使得b（T-*) < b（t*), 这允许我们取xin的间隔（b（t-*), b（t*)) 考虑右开矩形R=[t，t*) ×[b（t-*), x] C（见图9），带t∈ （0，t*).txoot*t0b（t-*)b（t*)x0yrd图9：b左连续性证明的图解。使用（t，b（t））的事实，两次应用微积分基本定理∈ D代表所有t∈ [0，T]、光滑fit条件（iii）以及x 7→ V（t，x）是conc，我们得到V（t，x）- G（x）=Zxb（t）Zub（t）(xV（t，v）- xG（v））dv du，（26）对于所有（t，x）∈ R、 另一方面，如果我们设置m：=-sup（t，x）∈RxV（t，x），那么我们很容易从（14）中得到thatm>0（见引理1），它与C上的tV+LXV=λV，且电视≤ 关于C的0（命题2中的（i）和（iv），以及V（t，x）≥ 0表示所有容许对（t，x），给出xV（t，x）=σλV（t，x）-S- xT公司- t型xV（t，x）- 电视（t，x）≥2mσS- xT公司- t> 0，（27）表示所有（t，x）∈ R、 因此，注意到xG（x）=0表示所有x∈ （b（t-*), x） 将（27）插入（26），我们得到v（t，x）- G（x）≥Zxb（t）Zub（t）2mσS- xT公司- tdv du≥2mσS- xT公司- tZxb（t-*)Zub（t-*)dv du=2mσS- xT公司- t（x- b（t-*)).最后，在服用t→ t型*在上述方程的两侧，我们得到V（t*, x）- 所有x的G（x）>0∈ （b（t-*), b（t*)), 这与（t*, x）∈ D、 命题4的证明。假设我们有一个函数c：[0，T]→ 求解（9）和definevc（t，x）：=ZTte的R-λ（u-t）T- u+λEt，x[（S- Xu）（Xu≤ c（u））]du（28）=ZTtKσ，λ（t，x，u，c（u））du，其中x=（Xs）Ts=0是一个布朗桥，σ波动率在XT=S处结束，Kσ，λ在（11）处定义。

结果是x 7→ Kσ，λ（t，x，u，c（u））是两次连续可微分的，因此在（28）收益率下积分符号内部可微分xVc（t，x）和xVc（t，x）进一步确保了它们在[0，t）×R上的连续性t+lx作用于函数Vc，tVc+LXVc（t，x）=limh↓0Et，x[Vc（t+h，Xt+h）]- Vc（t，x）h.定义函数i（t，u，x，x）：=e-λ（u-t）T- u+λ（S）- x） （十）≤ x） （29）注意，Et，x[Vc（t+h，Xt+h）]=Et，xEt+h，Xt+hZTt+hI（t+h，u，Xu，c（u））du= Et，xEt，xZTt+hI（t+h，u，Xu，c（u））du英尺+小时= Et，xZTt+hI（t+h，u，Xu，c（u））du,其中（Fs）Ts=0是X的自然过滤。因此，tVc+LXVc（t，x）=limh↓0Et，xhRTt+hI（t+h，u，Xu，c（u））对- Et，xhRTtI（t，u，Xu，c（u））duih=limh↓0hEt，xZTt+heλh- 1.I（t，u，Xu，c（u））du- 林氏↓0hEt，xZt+htI（t，u，Xu，c（u））du= λV（t，x）- （S）- x）T- t+λ（十）≤ c（t））。从这个结果来看，再加上（8）和Vc，xVc，以及xvc在[0，T）×R上是连续的，我们得到tVcon C∪ C、 其中C：={（t，x）∈ [0，T）×R:x>c（T）}，c：={（T，x）∈ [0，T）×R:x<c（T）}。现在，定义函数F（T）（s，x）：=e-λsVc（t+s，x）带s∈ [0，T- t） ，x∈ R、 并考虑：={（s，x）∈ C： t型≤ s<T}，Ct：={（s，x）∈ C： t型≤ s<T}。我们声称，F（t）满足引理2假设的（iii-b）版本，其中C=CtandDo= 计算机断层扫描。

确实：F（t），xF（t），和xF（t）在[0，t）×R上是连续的；已经证明f（t）在Ct和Ct上是C1,2o；我们假设c是有界变差的连续函数；并且(tF（t）+LXF（t））（s，x）=-e-λs（s-x）T-t型-s+λ（十）≤ c（t+s））在Ct上是局部有界的∪计算机断层扫描。因此，我们可以使用引理2的（iii-b）版本来获得变量公式的以下变化，由于Fxon[0，T）×R:e的连续性，该变量公式缺少局部时间项-λsVc（t+s，Xt+s）=Vc（t，x）-Zt+ste-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ c（u））du+M（1）s，（30），M（1）s=Rt+ste-λ（u-t） σxVc（u，Xu）dBu。注意（M（1）s）T-ts=0是Pt，x下的鞅。同样，我们可以使用函数F（s，x）=e应用引理2的（iii-b）版本-λsG（Xt+s），取C={（s，x）∈ [0，T- t） ×R:x>S}和Do= {（s，x）∈ [0，T- t） ×R:x<S}，从而得到-λsG（Xt+s）=G（x）-Zt+ste-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐）杜（31）- M（2）s+Zt+ste-λ（u-t） （Xu=S）dlSs（X），其中M（2）S=σRt+ste-λ（u-t） （Xu<S）dBu，0≤ s≤ T- t、 是Pt，x下的鞅。考虑（t，x）的下列停止时间，使得x≤ c（t）：ρc：=inf{0≤ s≤ T- t:Xt+s≥ c（t+s）| Xt=x}。（32）以这种方式，连同所有t的假设c（t）<S∈ （0，T），我们可以确保（Xt+s≤ c（t+s））=（Xt+s≤ S） =所有S为1∈ [0，ρc），以及RT+ste-λ（u-t） （Xu=S）dlSs（X）=0。回想一下，对于所有t，vc（t，c（t））=G（c（t））∈ [c，T），因为c解（9）。此外，Vc（T，S）=0=G（S）。因此，Vc（T+ρc，Xt+ρc）=G（Xt+ρc）。因此，我们现在可以从方程（30）和（31）推导出以下关系：Vc（T，x）=Et，x[e-λρcVc（t+ρc，Xt+ρc）]+Et，xZt+ρcte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ c（u））du= Et，xhe-λρcG（Xt+ρc）i+Et，xZt+ρcte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ S） 杜邦= G（x）。使用可选停止定理后鞅M（1）ρcand M（2）ρccomes的消失（参见Peskir和Shiryaev（2006）的第3.2节）。

因此，我们刚刚证明了Vc=Gon C。现在，定义停止时间τC：=inf{0≤ u≤ T-t:Xt+u≤ c（t+u）| Xt=x}并将其插入（30）以获得表达式vc（t，x）=e-λτcVc（t+τc，Xt+τc）+Zt+τcte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ c（u））du-M（1）τc。注意，由于τc的定义，（Xt+u≤ 对于所有0，c（t+u））=0≤ u<τcwheneverτc>0（τc=0的情况微不足道）。此外，可选采样定理确保Et，x[M（1）τc]=0。因此，以下公式是在上述等式中取Pt，x-期望值，并考虑到Vc=G on C:Vc（t，x）=Et，x[e-λτcVc（t+τc，Xt+τc）]=Et，xhe-λτcG（Xt+τc）i，对于所有（t，x）∈ [0，T）×R。回顾（3）中V的定义，上述等式导致Vc（T，x）≤ V（t，x），（33）表示所有（t，x）∈ [0，T）×R.取（T，x）∈ c满足x<min{b（t），c（t）}，其中b是（3）的OSB，并考虑定义为ρb的停止时间ρcde：=inf{0≤ s≤ T- t:Xt+s≥ b（t+s）| Xt=x}。由于V=G on D，由于（34）和注意到（Xt+u），以下等式成立≤b（t+u））=1表示所有0≤ u<ρb:Et，x[e-λρbV（t+ρb，Xt+ρb）]=G（x）- Et，xZt+ρbte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ杜邦.另一方面，我们在用s代替ρbat（30）并回顾C:Et，x[e上的v=G后，得到下一个方程-λρbV（t+ρb，Xt+ρb）]=G（x）- Et，xZt+ρcte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ c（u））du.因此，我们可以使用（33）将前面的两个等式合并为et，xZt+ρbte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u- λ（徐≤ c（u））du≥ Et，xZt+ρbte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u- λ杜邦,意味着b（t）≤ 所有t的c（t）∈ [0，T]因为c是连续的。假设存在一个点t∈ （0，T）使得b（T）<c（T）和fix∈ （b（t），c（t））。考虑停止时间τb：=inf{0≤ u≤ T-t:Xt+u≤ b（t+u）| Xt=x}并将其插入（34）和（30）中，在获取Pt，x预期值之前替换s。

我们得到，x[e-λτbVc（t+τb，Xt+τb）]=Et，x[e-λτbG（Xt+τb）]=Vc（t，x）- Et，xZt+τbte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ c（u））du安第斯，x[e-λτbV（t+τb，Xt+τb）]=Et，x[e-λτbG（Xt+τb）]=V（t，x）。因此，从（33）中，我们得到，xZt+τbte-λ（u-t） （S）- 徐）T- u+λ（徐≤ c（u））du≤ 利用x>b（t）的事实和过程x的时间连续性，我们可以说明τb>0。因此，只有当（Xs≤ c（s））=所有t的0≤ s≤ t+τb，表示b（s）≥ 所有t的c（s）≤ s≤ t+τb，这与假设b（t）<c（t）相矛盾。定理1的证明。命题1-3给出了应用函数F（s，x）=e的补充中暴露的It^o公式扩展所需的条件-λsV（t+s，x），从这里我们得到-λsV（t+s，Xt+s）=V（t，Xt）+Zse-λu(电视+LXV- λV）（t+u，Xt+u）du（34）+Zsσe-λuxV（t+u，Xt+u）dBu。请注意，由于x 7的连续性，上述公式缺少本地时间项→ xV（t，x）表示所有t∈ [0，T]。回顾C上的tV+LXV=λV，且(电视+LXV- λV）（t，x）=-（S）- x）T-t+λ对于所有（t，x）∈ D、 取Pt，x-期望（导致鞅项消失），设置s=T-t、 对积分中的变量进行简单的改变，我们从（34）中得到美式看跌期权的以下定价公式：V（t，x）=ZTte-λ（u-t）T- u+λEt，x[（S- Xu）（Xu≤ b（u））]du。（35）我们从（2）中知道∈ [t，t]，X[t，t]u~ Nu（t，x，u），νσ（t，u）在Pt，x下，其中u和νσ分别在（12）和（13）中给出。对于任何随机变量Y，我们都有E[Y（Y≤ a） ]=P[Y≤ a] E[Y | Y≤ a] 。此外，如果Y~ N（u，ν），然后E[Y | Y≤ a] =u-νφ（z）Φ（z），其中z=a-uν、φ和Φ分别表示密度和分布函数。

然后，V的更易于处理的表示（10）如下。因为V（t，x）=S-x代表全部（t，x）∈ D、 我们可以选择x↑ 为了得到OSB b的二型Volterra非线性积分方程（9），在（10）中的两边都有b（t）。最后，根据命题4，我们得到方程（9）的解在定理1考虑的正则条件下是唯一的。B辅助引理1。让（Xt+s）T-ts=0是从XT到XT=S的布朗桥，波动率σ，其中t∈[0，T）.设b为与OSPV（T，x）=sup0关联的OSB≤τ≤T-tEt，xhe-λτG（Xt+τ）i，其中G（x）=（G-x） +、和λ≥ 0。然后，sup（t，x）∈RxV（t，x）<0，其中R是命题3顶部定义的集合。证据取0<ε<1，取τ*= τ*（t，x）和definep（t，x）：=P[τ*≤ （T- t） （1）- ε)] .注意p（t，x）=Pt，x最小0≤s≤（T-t） （1）-ε） {Xt+s- b（s）}<0≥ Pt，x最小0≤s≤（T-t） （1）-ε） Xt+s<b（t）= P“最小0≤s≤（T-t） （1）-ε） （（S）- x） sT公司- t+σrT- t型- sT公司- tWs）<b（t）-x个#≥ P“最小0≤s≤（T-t） （1）-ε） （rT- t型- sT公司- tWs）<σ-1（b（t）- max{x，S}）#=P最小0≤s≤（T-t） （1）-ε） {Ws}<ε-1/2σ-1（b（t）- 最大值{x，S}）= 2PW（T-t） （1）-ε)< ε-1/2σ-1（b（t）- max{x，S}i，其中第一个不等式是公正的，因为b是非递减的（见命题1），而最后一个等式是在应用反射原理之后得出的。因此，M：=inf（t，x）∈Rp（t，x）>0。最后，通过使用（14），我们得到了所有（t，x）的以下关系∈ R:xV（t，x）≤ -e-λ（T-t） E类T- t型- τ*T- t（τ*≤ （T- t） （1）- ε))≤ -e-λ（T-t） εp（t，x）≤ -e-λ（T-t） εM<0。为了完整性，我们采用Peskir（2005a）的定理3.1，并根据Peskir（2005a）的备注3.2改变其假设，从而得出变量结果的以下变化。具体而言，引理2的（iii-a）版本在Peskir（2005a），（3.27）和（3.28）中对（3.26），（3.35）和（3.36）的联合作用进行了更改。

（iii-b）版本将Peskir（2005a）中的条件（3.35）放宽为（3.37）。引理2。设X=（Xt）Tt=0是一个微分过程，求解SDEdXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dBt，0≤ t型≤ T、 在这个意义上。Let b：[0，T]→ R是有界变差的连续函数，设F:[0，T]×R→ R是连续函数，满足F是C上的C1,2，F是D上的C1,2o,其中C={（t，x）∈ [0，T]×R:x>b（T）}和Do= {（t，x）∈ [0，T]×R:x<b（T）}。假设存在t∈ [0，T]以满足以下条件：（i）tF+uxF+（σ/2）xF在C上局部有界∪ Do;（ii）功能s 7→ xF（s，b（s）±：=xF（s，林）→0+b（s）±h）在[0，t]上连续；（iii）和（iii-a）x 7→ F（s，x）在b（s）上是凸的- δ、 b（s）]，且每个s在[b（s），b（s）+δ]上凸∈ [0，t]，某些δ>0，或（iii-b）xF=G+Gon C∪ Do, 其中，Gis非负（或非正）且Giscontinuous在“C”和“D”上o.然后，变量公式的以下变化保持不变：F（t，Xt）=F（0，X）+Zt(tF+uxF+（σ/2）xF）（s，Xs）（Xs6=b（s））ds+Zt（σxF）（s，Xs）（Xs6=b（s））dBs+Zt(xF（s、X+s）- xF（s、X-s） ）（Xs=b（s））dlbs（X），其中dlbs（X）是曲线b到时间t处X的本地时间，即lbs（X）=limε→0Zt（b（s）- ε ≤ Xs型≤ b（s）+ε）dhX，Xis，（36），其中hX，Xi是X的可预测二次变化，上述限值是指概率。参考Amendinger，J.、Becherer，D.和Schweizer，M.（2003）。投资组合优化中初始信息的货币价值。财务部。Stoch。，7(1):29–46.Avellanda，M.、Kasyan，G.和Lipkin，M.D.（2012）。期权到期日附近股票钉住的数学模型。Comm.Pure公司。应用程序。数学65:949–974.Avellanda，M.和Lipkin，M.D.（2003）。股票钉扎的市场诱导机制。数量。《金融》，3:417–425。Baurdoux，E.J.、Chen，N.、Surya，B.A.和Yamazaki，K.（2015）。aBrownian bridge的最佳双停车。高级应用程序。

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