接下来，观测值（4.3）给出“V′（0+）=-λ/(λ - u），因为ψ′λ（0+）=0来自（2.4）和（2.5）。带保证金风险和召回风险的卖空23以及之前制定的f法案∈ C（0，κ+C），这确保“V”在（0，κ+C）上有界，由此得出局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-λsσXs“V′（Xs）dbs实际上是一个一致可积鞅∈ S、 然后，应用可选采样定理得出“V（x）=ExCZτ”∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds+e-λ(τ∧^τκ+c）“V"AXτ∧τκ+ca≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-λs（κ-Xs）ds+e-λ(τ∧^τκ+c）"Aκ-Xτ∧^τκ+ca=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞), 因为引理4.2建立了“V（x）≥ κ - x、 这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，“V（x）：=J（x，ˇτ）≤<V（x），表示所有x∈ (0, ∞).（f） ：假设条件（3.7f）保持s，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞). 然后给出了It^o公式-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）=e-λ（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dhXis=“V（X）-Zt公司∧^τκ+ce-λs"ALX“V（Xs）- λ“V（Xs）"ads-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs（κ-Xs）ds-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs，对于所有t≥ 0，因为LX“V（x）=-ux=0，f或所有x∈ (0, ∞), 根据u=0的假设。注意，局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-λsσxsdbs实际上是一个一致可积鞅。给定任意停止时间τ∈ S、 然后，应用可选采样定理得出“V（x）=ExCZt∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds+e-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）a=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞). 这确保“V（x）=媫V（x），对于所有x∈ (0, ∞).（g） ：假设条件（3.7g）保持不变，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) is24克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利由“V（x）=κ确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞).

然后给出了It^o公式-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）=e-λ（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dhXis=“V（X）-Zt公司∧^τκ+ce-λs"ALX“V（Xs）- λ“V（Xs）"ads-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs≤“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs，对于所有t≥ 0，因为LX“V（x）=-ux<0，f或所有x∈ (0, ∞), 根据u>0的假设。注意，局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-λsσxsdbs实际上是一个一致可积鞅。给定任意停止时间τ∈ S、 然后应用可选采样定理得到“V（x）≤ ExCZt公司∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds+e-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）a=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞). 这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，“V（x）：=J（x，ˇτκ+c）≤<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 5、卖空问题的解决方案5.1。贴现率非零的情况。如第3节中观察到的d，最佳脱盐时间τ*∈ S和值函数V∈ C（0，∞) 对于原始卖空问题（2.9），由问题（3.1）的解决定，κ集等于初始股价。定理4.3给出了该问题的解决方案。我们首先考虑r>0的情况。给定x∈ (0, ∞), 假设（3.5），κ：=x，在区间（0，x）中有一个解。也就是说，自由边界方程"Ax- z*-bv（z*)|κ=x"aφλ+r（x+c）ψ′λ+r（z*) - φ′λ+r（z*)ψλ+r（x+c）φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+"Ac+bv（x+c）|κ=x"aφλ+r（z*)ψ′λ+r（z*) -φ′λ+r（z*)ψλ+r（z*)φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) -φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+bv′（z*)|κ=x=-1.（5.1）具有保证金风险和召回风险的卖空25允许解决方案z*∈ （0，x）。最佳收尾时间为τ*= ˇτz*值函数满足（3.4），其中κ：=x。

换句话说，V（x）=“V（x）|κ=x="Ax- z*-bv（z*)|κ=x"aφλ+r（x+c）ψλ+r（x）- φλ+r（x）ψλ+r（x+c）φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+"Abv（x+c）|κ=x+c"aφλ+r（z*)ψλ+r（x）- φλ+r（x）ψλ+r（z*)φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+bv（x）|κ=x.（5.2）另一方面，如果（5.1）在区间（0，x）内没有解，则最优回购价格为z*:= x、 这意味着最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= 0和值函数s atis fies V（x）=0.5.2。贴现率为零的情况。接下来，我们考虑nr=0的情况。如果u<0，则最优回购价格为z*:= 0，这意味着最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= ∞ 从（4.3）中获得值函数，如下所示：V（x）=“V（x）|κ=x=u（x+c）λ- uψλ（x）ψλ（x+c）-uxλ- u，（5.3）对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，如果u≥ 0，最优回购价格为z*:= x、 对于所有x∈ (0, ∞), 在这种情况下，最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= 值函数满足V（x）=0.5.3。贴现率非零时的无约束问题。为了评估抵押品约束和召回可能性对问题（2.9）的影响，将该问题的最优退出时间和价值函数与无约束卖空问题的相应数据进行比较是有用的。通过让c↑ ∞ 和λ↓ 0，因此ζ=∞ 和ρ=∞ Px-a.s.，适用于所有x∈ (0, ∞).然后，问题（2.9）减少到v（x）：=supτ∈性"Ae-rτ（x- Xτ）"a，（5.4）对于所有X∈ (0, ∞).我们首先考虑r>0的情况。出租c↑ ∞ 和λ↓ 0英寸（5.1）给出（x- z*)φ′r（z*)φ（z*)= 1，对于所有x∈ (0, ∞), 通过limitslimλ↓0^v（x）|κ=x=0，极限↑∞limλ↓0φλ+r（x+c）=0和limc↑∞limλ↓0cψλ+r（x+c）=0，（5.5），根据（3.6）和（2.4）进行检查。

再次使用这些限制，前面的恒等式为无约束卖空问题的最优卖空价格提供了以下显式公式：z*=>>ν+2rσ+ν1+>>ν+2rσ+νx，（5.6）对于所有x∈ (0, ∞). 请注意，z*∈ （0，x），对于所有x∈ (0, ∞), 这意味着最佳收尾时间τ*= ˇτz*严格意义上是积极的和有限的。换言之，如果贴现率不为零，对于无约束卖空问题，克里斯托弗·格洛弗（KristoferGlover）和哈迪·赫尔利（HardyHulley26）的即时平仓和永远等待都是次优的。最后，让c↑ ∞ 和λ↓ （5.2）中的0给出了无约束卖空问题的值函数的以下表达式：V（x）=（x- z*)φr（x）φr（z*), （5.7）对于所有x∈ (0, ∞), 根据（5.5）中的限制，w此处为z*由（5.6）确定。5.4. 贴现率为零时的无约束问题。为了在r=0的情况下分析无约束卖空问题（5.4），我们首先回顾（2.1）确定的几何布朗运动的以下事实：如果u<σ，则X∞-= 0和supt≥0Xt<∞,如果u=σ，则输入≥0Xt=0和supt≥0Xt=∞,andifu>σ然后X∞-= ∞ 和输入≥0Xt>0（见Karatzas和Shreve 1991，练习5.5.31）。因此，如果u<σ/2，则得出最优回购价格为z*= 0，这意味着最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= ∞ 对于所有x，值函数由V（x）=x给出∈ (0, ∞). 换句话说，在这种情况下，由于stoc k价格最终会收敛到零，并且没有等待的余地，所以最好永远保持不变。另一方面，如果u=σ/2，则ˇτε<∞, 对于所有ε>0。在这种情况下，对于allx，值函数由V（x）=x给出∈ (0, ∞), 自V（x）起≥ supε>0Ex（x- Xˇτε）=supε>0（X- ε） =x，而V（x）≤ x紧跟在（5.4）之后。然而，在这种情况下，不存在最佳的近距离输出政策。

也就是说，由于股票价格任意接近于零，但并不收敛于零，因此可以改进每一种平仓策略。最后，我们考虑u>σ/2的情况，在这种情况下，X是具有终端值X的子鞅∞:= 十、∞-= ∞. 根据可选采样定理，Ex（Xτ）≥ x、 对于所有x∈ (0, ∞) 和每个τ∈ S、 Henc e，给定初始库存价格x∈ (0, ∞), 最优回购价格为z*= x，最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= 0，而V（x）=0给出了所有x的值函数∈ (0, ∞). 在这种情况下，股票价格的漂移率很高，足以使即时平仓成为最佳选择。比较静态分析6.1。方法和参数值。本节分析了约束卖空问题（2.9）的最优回购价格和价值函数对模型参数的依赖性。为了评估保证金风险和召回风险的影响，我们将约束问题的解决方案与无约束问题的解决方案进行比较（5.4）。下图中的实心红色曲线显示了受约束卖空问题的最优回购价格和价值函数对一个特定参数的依赖性，其余参数为固定默认值。蓝色虚线绘制了无约束问题的最优回购价格和价值函数对相同参数的依赖关系。带保证金风险和召回风险的卖空27默认参数值为u=±0.02，σ=0.3，r=0.05，λ=0.01，c=50.00美元，x=1.00美元，时间以年为单位。正如我们将看到的，受限卖空问题的解决方案对股票价格漂移率的迹象非常敏感，这就是为什么我们认为适度的负向和正向d裂谷情景u=-0.02和u=0.02。

违约波动率σ=0.3是观测隐含波动率的合理替代，而违约贴现率r=0.0 5大致相当于发达市场的借贷成本。违约召回率λ=0.01意味着平均每年召回1%的股票贷款，这远远低于观察到的频率。最后，抵押品预算和初始股价的默认值c=50.00美元和x=1.00美元意味着在以1.00美元的价格出售股票后，交易员最终在股价达到51.00美元时耗尽抵押品。违约召回强度和抵押品预算被选择为保守的，以避免夸大保证金风险和召回风险对卖空者问题的影响。在详细分析以下图表之前，我们观察到，在每种情况下，约束卖空问题的最优回购价格都超过了无约束问题的最优回购价格。换言之，当面临抵押品耗尽或提前召回导致的非自愿平仓可能性时，交易者总是选择提前平仓。这是因为对约束问题采取更为保守的策略可以降低强制退出的可能性，这通常会导致损失。同样，我们观察到，在每种情况下，无约束卖空问题的价值函数都支配有约束问题的价值函数。由于卖空限制，两条曲线之间的垂直距离表示价值损失。6.2. 股票价格漂移率变化的影响。图6.1绘制了约束和非约束短期融资问题的最优资源价格和价值函数，作为股票价格漂移率的函数。

在图6.1（a）中，我们观察到，当漂移率为负值时，约束和非约束的最优回购价格非常相似，如果预计股票价格会随时间下降，则不太可能因抵押品耗尽而被迫平仓。然而，当股价漂移率超过零时，约束卖空问题和无约束卖空问题的最优平仓政策迅速变化。特别是，立即回购是最优的（z*= $1.00=x）当nu>0.03时，在约束问题的情况下（这意味着交易者不会在第一个交易场所卖空股票），而立即平仓对于无约束问题m来说从来都不是最优的。这是因为约束交易者很可能会耗尽抵押品，被迫在亏损头寸中平仓，如果股价的漂移率如此之高，而无约束的交易者则可以奢侈地等待股价下跌。为了说明当股价漂移率为正时，约束和非约束平仓策略之间的差异有多大，我们观察到约束问题的最优回购价格为*= $当u=0.05时为1.0 0，而无约束问题的最优回购价格约为z*= $0.53.正如预期的那样，图6.1（b）显示，当股价漂移率为负值时，保证金风险和再赎回风险导致的价值损失相对较小。

由于在这种情况下，预计股价会随着时间的推移而下跌，因此抵押品约束不太可能存在。注意，在无约束的情况下，c和λ的值不相关。在D\'Avolio（2002）研究的经纪人数据中，每月约有2%的借出股票被召回。28 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEY-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.20.40.60.81.0μz*（μ）（a）-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.00.10.20.30.40.5μV（μ）（b）图6.1。对于有约束（实心红曲线）和无约束（蓝色虚线）卖空问题，最优平仓价格和价值函数对股票价格漂移率的依赖性。绑定。因此，唯一真正的影响是回忆的可能性（不取决于漂移率）。相比之下，当股票价格漂移率增加到零以上，导致相对于无约束问题的巨大价值损失时，由于抵押物耗尽而导致的强制c损失的可能性对约束价值函数有着实质性的影响。特别是，当u>0.03时，受限卖空的价值为零，因为交易员首先不会卖空股票，而无约束卖空的价值总是严格为正。例如，当u=0.05时，限制性卖空没有价值，而无限制卖空的价值约为0.23美元。图6.1表明，约束卖空问题比unc约束卖空问题对股价漂移率更为敏感。例如，图6.1（a）中约束问题的最优回购价格在0.24美元到1.00美元之间，而无约束问题的最优回购价格在0.24美元到0.65美元之间。

类似地，图6.1（b）中约束卖空的价值在0.00美元到0.46美元之间，而无约束卖空的价值在0.16美元到0.49美元之间。受限卖空问题的解决方案对s-toc-k价格漂移率的敏感性增强，这是脆弱性的一个来源。由于漂移率的估计伴随着巨大的标准误差，在实践中，交易者很可能会错误地估计它的子项，从而导致他采取实质上次优的平仓策略。具体来说，假设交易者观察到n的股价∈ N周期[0，T]上的规则间隔，对于某些T>0。因此，观察价格的顺序为（Sit） 0个≤我≤n、 在哪里t： =t/n。根据这些观察结果，漂移率的最大相似l i hood估计值由^u确定-σ=ntnXi=1lnSitS（i-1)t=TnXi=1玟u-σat+σ"ABit型-B（一）-1)t"aa=u-σ+σTBT有保证金风险和召回风险的短期销售29（见Campbell e t al.1997，第9.3.2节），其中u=u+σTBT~ Nu，σTa。因此，如果s-toc k价格的漂移率和波动率为u=0.04，σ=0。如果交易者拥有100年的价格数据，他估计非正漂移率isP的概率≤ 0）=Pμ+σ√TZ公司≤ 0a=PCZ≤ -uσ√Ta=PcZ≤ -a≈ 0.0912，其中Z~ N（0，1）。参考图6.1（a），这意味着交易者有9%的机会卖空股票并维持头寸，直到其价格达到低于0.45美元的某个水平（当u=0时，受限卖空的最佳回购价格），而不是正确认识到漂移率太高，无法在一开始卖空。6.3. 股票价格波动变化的影响。

在股票价格负漂移的情况下，有约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数对股票价格波动的依赖性如图6.2所示。图6.2（a）表明，这两个问题的最优回购价格与波动率呈负相关。本质上，高杠杆率增加了交易者等待股价在收盘前达到较低水平的动机，因为它增加了很快达到较低水平的可能性。这类似于美式看跌期权的情况，即高收益率对应较低的早期行使边界。然而，随着股价波动性的增加，这两个问题的最优回购价格会出现分歧，因为在受限的情况下，较高的波动性会增加在卖空可适当平仓之前，抵押品边界被突破的可能性。在图6.2（b）中，我们看到无约束卖空问题的值函数随着股价波动性的增加而单调增加。这类似于美国期权价格对其基础资产波动性的正依赖性（见E kstr–om 2004）。相比之下，受限卖空问题的价值函数最初随着股票价格波动性的增加而增加，然后逐渐减小。这反映了一种交易效应，即高可用性增加了快速达到最佳回购价格的可能性，同时增加了交易风险耗尽抵押品的可能性。当股价波动性较低时，前者起主导作用，而当股价波动性较高时，后者起主导作用。

淘汰障碍期权的价格显示，我们模型的一个可能的补充是将参数不确定性和学习纳入交易者的平仓决策，遵循Ekstrom和Lu（2011）的思路。他们考虑了一位投资者，该投资者对何时清算现有股票的选择被股价漂移率的不确定性所迷惑。在他们的模型中，投资者通过观察股票价格随时间的变化来更新其先前对赎回率的看法。他们表明，投资者的最佳策略是，一旦股价下跌到某个时间相关边界以下，就立即变现。为了证明这种类比的合理性，请注意，约束卖空问题（2.9）类似于货币永续美国看跌期权的定价问题，而无约束卖空问题（5.4）类似于货币永续美国看跌期权的定价问题。30克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.10.20.30.40.50.60.7σz*（σ）（a）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.10.20.30.40.50.60.7σ（σ） （b）图6.2。对于有约束（实心红曲线）和无约束（das hed蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为负时，最优平仓价格和价值函数对股票价格波动率的依赖性。出于同样的原因，对其基础资产波动率的类似非单调依赖性（见Derman和Kani 1996）。图6.3说明了当股票价格漂移率为正时，对于有约束和无约束卖空问题，最优回购价格和价值函数对股票价格波动的依赖性。正如图6.3（a）所示，这两个问题的最优回购价格再一次随着波动性而降低。

然而，与漂移率为负的情况相比，波动性在这两个问题的最佳收尾策略之间造成了更大的分歧。例如，约束和非约束最优回购价格之间的差异约为0.26美元- $当σ=0.5时，0.22=0.04美元，在负漂移情况下，而它大约为0.52美元- $0.25=积极漂移情景下的0.27美元。这表明，相对于d裂谷率为负值的情况，高波动率水平使受约束的交易者更有可能耗尽单边资金，从而加剧了正漂移的影响。因此，当漂移率为正时，约束卖空问题的最优平仓策略相对于无约束问题的最优平仓策略更为保守。在受限卖空问题的情况下，图6.3（a）表明头寸应立即平仓（z*= $1.00=x）当股票价格漂移率为正且波动率较小时。如果在这些情况下股票被卖空，积极漂移率将主导小波动，导致很大一部分股票价格路径在仓位被提前平仓前达到抵押品壁垒。另一方面，在无约束的情况下，在平仓前等待总是最佳的，即使漂移率为正且波动性很小。然而，随着波动率的降低，最优回购价格收敛于初始股票价格，在零波动限制下，即时平仓是最优的。

这是因为在这种情况下，股价将决定性地升值，排除了任何可盈利平仓的可能性。Derman和Kani（1996）很好地解释了这一点，他们观察到“障碍期权的所有者是罢工时的长期波动性[…]短期波动率处于一个出局关口。”带保证金风险和召回风险的卖空310.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0σz*（σ）（a）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.6σ（σ） （b）图6.3。对于有约束（实心红曲线）和无约束（das hed蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为正时，最优平仓价格和价值函数对股票价格波动的依赖性。在图6.3（b）中，我们看到，当股价漂移率为正时，约束卖空问题的值函数继续表现出对波动率的非单调依赖性。然而，我们观察到，当漂移率为负时，受限卖空的价值相对于其价值而言很小，这是因为在正向漂移情景下，抵押品耗尽的可能性更大。相比之下，当负漂移情景与正漂移情景相比较时，无约束s短期抛售问题m在所有波动性中显示出适度的价值下降。正如我们对有约束和无约束卖空问题的最优平仓策略的分析所预期的那样，我们发现，当漂移率为正时，波动率会在其价值函数之间产生更大的楔子，而不是负时。例如，约束问题和非约束问题的值差异约为0.51美元- $在负漂移情况下，σ=0.5时，0.32=0.19美元，而在0.47美元左右- $0.07=正漂移情况下的0.40美元。6.4. 贴现率变化的影响。

在图6.4中，我们看到了在股票价格漂移率为负的情况下，对于有约束和无约束卖空问题，最优回购价格和价值函数如何依赖于贴现率。图6.4（a）显示，无论违约率如何，这两个问题的最佳收尾策略之间都存在微小差异。在这两种情况下，最优回购价格相对于贴现率单调增加，因为较高的贴现率会对等待施加更大的惩罚。图6.4（b）表明，当贴现率较低时，无约束卖空比约束卖空更具可行性，但随着贴现率的增加，差异变小。例如，值函数之间的差值约为1.00美元-$当r=0时，0.60=0.40美元，但降低至约0.26美元- $当r=0.1时，0.23=0.03美元。原因是，按现值计算，当贴现率较低时，抵押物耗竭造成的损失比贴现率较高时更为昂贵。鉴于股票价格通常需要很长时间才能达到共同壁垒，较高的贴现率意味着最终达到抵押品壁垒时所产生的损失在现值方面并不显著。32克里斯托弗·格罗弗和哈迪·赫尔利0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00.10.20.30.40.5rz*（r）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.20.40.60.81.0r（r） （b）图6.4。

对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为负时，最优平仓价格和价值函数对贴现率的依赖性。图6.5说明了在股票价格漂移率为正的情况下，对于有约束和无约束卖空问题，最优回购价格和价值函数对贴现率的依赖性。图6.5（a）显示，无约束问题的最优回购价格随贴现率呈指数增长，当stoc k价格出现负漂移时也是如此。然而，当漂移率为正时，约束问题的最优回购价格的行为更有趣。当r≤ 0.03，即时收尾最佳（z*= $1.00=x），但当r>0时，等待是最佳的。此外，随着贴现率的进一步提高，约束卖空和无约束卖空问题的最优回购价格似乎趋于收敛。例如，这两个问题的最优回购价格之差为1.00美元- $ 当r=0时，0.00=1.00美元，但仅约为0.60美元- $0.55 = $0 .05当r=0.1时。为了解释这些特征，请注意，正的d裂谷率确保了在受限的空头s al e可被适当平仓之前，很可能会耗尽套管，从而导致实质性损失。当贴现率较低时，按现值计算，损失非常大。然而，随着贴现率的增加，其现值变得越来越小，因为股价基因反弹需要很长时间才能达到抵押品壁垒。

Ul timatel，从现值来看，由于抵押品耗尽而造成的损失变得如此之小，以至于它在确定约束卖空问题的最优退出策略方面没有起到任何作用。在无约束卖空问题的情况下，图6.5（b）表明，当股票价格漂移率为正时，价值对贴现率的依赖性变化不大。然而，在正漂移的情况下，约束卖空问题的价值函数相对于贴现率的表现非常不同。特别是，由于当贴现率较小时，即时平仓是最优的，因此约束问题和非约束问题的值函数与n有显著差异。但由于这两个问题的最优平仓政策显然随着贴现率的增加而收敛，其值函数似乎也收敛。例如，有保证金风险的卖空和召回风险的值之间的差异330.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00.20.40.60.81.0rz*（r）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00.20.40.60.81.0rV（r）（b）图6.5。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为正时，最优平仓价格和价值函数对贴现率的依赖性。约束和非约束卖空问题为1.00美元- $当NR=0时，0.00=1.00美元，但仅为0.21美元左右- $当r=0.1.6.5时，0.15=0.06美元。回忆强度变化的影响。在股价漂移率为负的情况下，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和v al u e函数显示为召回强度的函数，如图6.6所示。

如图6.6（a）所示，unc约束问题的最优回购价格自然不受召回强度的影响。然而，约束问题的最优采购价格随着需求强度的增加而增加。从本质上讲，较高的回忆强度会增加在不适当的时候回忆的可能性。因此，随着召回强度的增加，约束卖空问题的最优回购价格变得更加保守，这就在这两个问题的最优平仓策略之间产生了一个楔子。例如，这两个问题的最优回购价格之差约为0.36美元- $0.36=0.00美元，当λ=0时，b但增加到约0.45美元- $λ=0.1时，0.36=0.09美元。在图6.6（b）中，我们看到，在负漂移情况下，无约束卖空问题的值函数不受回忆强度的影响，正如预期的那样。然而，约束问题的值函数是单调递减的，与召回强度有关。这反映了一个事实，即较高的召回强度迫使交易方r采用与无约束问题相关的较低的最优回购价格，并导致相应的价值损失。为了量化召回可能性造成的损失，当股价漂移率为负时，我们观察到这两个问题的价值函数之间的差异约为0.36美元-$λ=0时，0.35=0.01美元，增加至约0.36美元- $λ=0.1时，0.13=0.23美元。图6.7绘制了在股价漂移率为正的情况下，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数，作为召回强度的函数。

正如预期的那样，图6.7（a）表明，无约束问题的最优回购价格对于召回强度的变化是不变的，而有约束问题的最优回购价格随着召回强度的增加而单调增加。34克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.3600.400.420.44λz*（λ）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.150.200.250.300.35λV（λ）（b）图6.6。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为负时，最优平仓价格和价值函数对召回强度的依赖性。0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.50.60.70.8λz*（λ）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.000.050.100.150.200.250.30λV（λ）（b）图6.7。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为正时，最优平仓价格和价值函数对召回强度的依赖性。这两个问题的最优回购价格之间的差异约为0.58美元-$λ=0时，0.45=0.13美元，增加到0.90美元左右-$λ=0.1时，0.45=0.45美元。由于λ=0时不可能召回，因此这种情况下的差异完全取决于保证金风险的影响。图6.7（b）证实，当漂移率为正时，无约束问题的值函数不依赖于回忆强度，而约束问题的值函数在该参数中单调递减。为了量化召回可能性造成的价值损失，我们观察到两个价值函数之间的差异约为0.29美元- $当λ=0时，0.11=0.1美元8，将s增加到约0.2美元9- $λ=0.1时，0.00=0.29美元。

由于在前一种情况下召回是不可能的，因此价值损失完全是由于可能会耗尽抵押品。带保证金风险和召回风险的卖空350 20 40 60 80 1000.350.400.450.500.550.60cz*（c）（a）0 20 40 60 80 1000.00.10.20.3cV（c）（b）图6.8。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线蓝色曲线）卖空问题，当股票价格的赎回率为负时，最优平仓价格和价值函数对抵押品预算的依赖性。6.6. 抵押品预算变更的影响。图6.8说明了当股价漂移率为负值时，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数对抵押品可用性的依赖性。图6.8（a）证实，抵押品预算对无约束问题的最优clos e-out策略没有影响，但我们观察到对约束问题的最优收尾策略有显著影响。特别是，当股价达到z时，最好立即结束受限卖空*= $0.61，如果因未来股价上涨而产生的追加保证金要求根本无法解决，但随着抵押品预算的增加，最优回购价格迅速下降。这两个问题的最优回购价格相差约0.61美元- $当c=0.00美元时，0.36=0.25美元，但它会迅速下降，最终稳定在0.37美元- $0.36=0.01美元，c=100.0美元。

有了这么多抵押品，保证金风险就不重要了，这两个问题的最优回购价格之间的差异完全可以归因于提前召回的可能性。正如预期的那样，图6.8（b）显示，保证金风险对无约束卖空的价值没有影响，而对约束卖空的价值的影响是巨大的。特别是，当没有共同融资追加保证金通知时，受限空头头寸是没有价值的，但其价值会随着抵押品预算的增加而迅速增加。我们可以通过检查不同级别抵押品预算的约束和非约束价值函数之间的差异，量化抵押品对卖空约束造成的价值损失的影响。例如，价值函数之间的差异约为0.36美元-$0.00=0.36美元，而NC=0.00美元，但它迅速下降，最终稳定在0.36美元- $当c=100美元时，0.31=0.05美元。由于在这种情况下，保证金风险基本上是无关的，因此这两个问题的价值函数之间的差异完全是由于回购风险的影响。在图6.9中，我们观察到在股票价格漂移率为正的情况下，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数如何依赖于抵押品预算。再次，36克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利0 20 40 60 80 1000.50.60.70.81.cz*（c）（a）0 20 40 60 80 1000.000.050.100.150.200.250.30cV（c）（b）图6.9。

对于有约束（红色实线）和无约束（蓝色虚线）卖空问题，当股票价格的赎回率为正时，最优平仓价格和价值函数对抵押品预算的依赖性。无约束问题的最优回购价格不受抵押品可用性的影响，如图6.9（a）所示，而约束问题的最优回购价格对抵押品预算非常敏感。如果是c≤ $4.00，我们看到立即关闭（z*= $1.00=x）的受限卖空是最佳的，因为抵押品预算不足以为在头寸可适当平仓之前可能发生的追加保证金通知提供资金。然而，当可用的单边回购金额在c=4.00美元之后增加时，受约束卖空问题的最佳回购价格会迅速下降，然后趋于稳定。为了评估抵押品可用性对有约束和无约束卖空问题的最优平仓策略的影响，我们发现，最优回购价格之间的差异最初为1.00美元-$0.45=0.55美元，c=0.00美元。然而，它很快下降，最终价值约为0.60美元- $0.45 = $0 .15小时=100.00美元。由于获得了这么多抵押品，保证金风险实际上无关紧要，这意味着最佳平仓策略之间的差异几乎完全取决于召回风险的影响。图6.9（b）显示，当股票价格漂移率为正时，约束卖空问题的价值函数相对于抵押品预算单调增加，就像在负漂移情景中一样。

我们观察到，当c≤ $4.00，因为在这种情况下，immed i ate close Out是最佳的，但随着可用抵押品数量增加，超过c=4.00美元，它会逐渐增加。相比之下，无约束卖空问题的价值函数对于抵押债券的变化是不变的。为了了解在正漂移情况下，可用抵押品的数量如何影响保证金风险和召回风险造成的损失，我们使用抵押品预算的不同值，计算受限和无约束短期服务问题的价值函数之间的差异。例如，valuefunctions之间的差异为0.29美元- $ 当c=0.00时，0.00=0.29美元，之后缓慢下跌，最终价值约为0.29美元- $0.10=0.19美元，c=100.00美元。在这种情况下，抵押品预算足够大，保证金风险不重要，这意味着有保证金风险和召回风险的短期抛售37意味着由于早期召回的可能性，受限和无约束卖空之间的价值损失是完全可能的。参考Borodin、A.N.和P.Salminen（2002年）。布朗运动手册（第二版）。巴塞尔：Birkhauser。Cai，N.和L.Sun（2014）。具有跳跃风险的股票贷款估值。J、 经济。发电机。控件40213–241。坎贝尔、J.Y.、A.W.洛和A.C.麦金莱（1997）。金融市场的计量经济学。普林斯顿：普林斯顿大学出版社。Chung，T.-K.（2016）。具有状态切换的最优短覆盖。M.Kijima、Y.Muromachi和T.Shibata（编辑），《2014年金融工程最新进展：2014年TMU金融研讨会论文集》，第75-93页。《世界科学》Chung，T.-K.和K.Tanaka（2015）。非流动性证券空头回补的最佳时机。J、 操作。Soc决议。日本58（2），165–183。Chuprinin，O.和T.Ruf（2017年）。

让熊市当心：是什么推动了股票召回。工作文件。Cohen，J.、D.Haushalter和A.V.Reed（2004年）。股票借贷市场的机制。F.J.Fabozzi（编辑），《卖空：策略、风险和回报》，第2章，第9-16页。新泽西州霍博肯：约翰·威利父子。Dai，M.和Z.Q.Xu（2011）。具有不成熟度的库存贷款的最优再融资策略。数学财务21（4），775–793。D\'Avolio，G.（20 02）。借贷市场s toc k.J.Finan。经济。66(2–3), 271–3 06.Derman，E.和I.Kani（1996年）。屏障选项的输入和输出：第1部分。导数夸脱。3 ( 2), 55–67.Ekstrom，E.（2004年）。美式期权价格的性质。随机过程。应用程序。1 14(2), 26 5–278.Ekstr–om，E。和B.Lu（2011）。不完全信息下资产的最优选择。内景J.Stoch。肛门。2011, 1–17. 物品编号543590。Ekstr–om，E。和H.Wanntorp（2008年）。保证金所有股票贷款。工作文件。Engelberg、J.E.、A.V.Reed和M.C.Ringgenberg（2018年）。卖空风险。J、 财务73（2），755–786。冯，J.K.W.和P.Draper（1999年）。指数合约和卖空限制的错误定价。J、 期货市场19（6），695–715。Grasselli，M.R.和C.G'omez（2013年）。不完全市场中的股票贷款。附录l.数学。财务20（2），118–136。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分（附后）。纽约：斯普林格。Lamont，O.A.和R.H.Thaler（2003年）。市场能加减吗？股票分割定价错误。J、 波尔。经济。111(2), 227–268.Liang，Z.、W.Wu和S.Jiang（2010）。具有自动终止条款、上限和保证金的股票贷款。计算机。数学一个ppl。60 ( 12), 3160–3176.Liu，G.和Y.Xu（2010）。上限股票贷款。计算机。数学应用程序。59(11), 3548–3558 .Liu，J.和F.A.Longstaff（2004年）。套利亏损：有套利机会的市场中的最优动态组合选择。

修订版。财务部。螺柱。17（3），611–6 41.38克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利·米切尔，M.，T.Pulvino和E.Strafford（2002年）。股票市场的有限套利。J、 财务57（2），551–584。Ofek，E.、M.Richardson和R.F.Whitelaw（2004年）。有限套利和卖空限制：来自期权市场的证据。J、 芬南。经济。74(2), 305–342.Peskir，G.（20 05）。在曲线上随当地时间变化的变量公式。J、 Theoret。概率。18(3), 499–535.Peskir，G.和A.Shiryaev（2006年）。最优停止和自由边界问题。数学讲座ETH Z¨urich。巴塞尔：Birkhauser。Protter、M.H.和H.F.Weinberger（1967年）。微分方程中的最大值原理。新泽西州恩格尔伍德市：普伦蒂斯大厅。Reed，A.V.（2013年2月）。简短的会话。一个nnu。修订版。财务部。经济。5, 245–258 .Shleifer，A.和R.W.Vishny（1997年）。套利的限制。J、 财务52（1），35–55。Siu，C.C.、S.C.P.Yam和W.Zhou（2016）。可赎回股票贷款。M.Kijima、Y.Muromachi和T.Shibata（编辑），《2014年金融工程最新进展：2014年TMU金融研讨会论文集》，第161-197页。世界科学。Vigo Aguiar，J.、R.Ardanuy Albajar和B.A.Wade（2005年）。虹膜问题的随机方法。J、 数学。模型算法4（3），317–330。Wong，T.W.和H.Y.Wong（2013）。使用指数phasetype l'evy模型评估股票贷款。应用程序。数学计算机。222, 275–28 9.夏，J.和X.Y.周（2007）。股票贷款。数学财务17（2），307–317。Xu，Z.Q.和F.Yi（2019年）。漂移不确定性下stoc k贷款的最优赎回策略。工作文件。Yan，L.、X.Qinb和H.Li（201 9）。v变量恒常波动模型下的有限期限股票贷款。应用程序。经济。字母2 6（4），316–320。Zhang，Q.和X.Y.Zhou（2009）。制度转换下的股票贷款估值。西亚姆杰。控制Optim。

48(3), 1229–1250.Kristofer Glover，悉尼理工大学金融学科组，新南威尔士州百老汇123号邮政信箱，2007年，澳大利亚邮箱：Kristofer。glover@uts.edu.auHardy悉尼理工大学金融学科组Hulley，新南威尔士州百老汇123号邮箱，澳大利亚邮箱：hardy。hulley@uts.edu.au