有保证金风险和召回风险的卖空

2022-6-14 09:18:43

带保证金风险和召回风险的卖空KristoferGlover和HardyHulleyAbstract。在教科书式的资产定价理论中，卖空被视为负买入。然而，在现实中，买入和卖空之间的对称性是由后者特有的各种成本和风险所打破的。我们构建了一个最优止损模型，其中，弥补空头头寸的决定受到两个卖空定价、保证金风险和召回风险的影响。保证金风险是指卖空是抵押交易，这意味着卖空者如果不能为追加保证金提供资金，可能会被迫非自愿平仓。召回风险是指股票借贷市场的盲目性，允许放款人随时召回借入的股票，再次引发非自愿停业。我们研究了这些摩擦对最优收尾策略的影响，并量化了每种策略的价值损失。我们的研究结果表明，现实的卖空约束对卖空者的最佳行为有着巨大的影响，并导致相对于没有卖空约束的第一个最佳情况的价值损失。这对许多家庭无套利身份都有影响，这些身份是基于无约束卖空的假设。1、介绍卖空有利于金融证券的负风险敞口。股票市场卖空的显著特征可以总结如下。首先，前瞻性卖空者确定所需股票的意愿贷款人。然后，他借入股票，在市场上出售，并张贴等于其市场价值加上贷款人r的折减额的抵押品。抵押品每天按市价计价，因此股价上涨会促使追加保证金，以获得更多抵押品，而卖空者有权撤回一些抵押品。

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2022-6-14 09:18:47

贷款人按照现行利率对抵押品进行投资，并以negotiatedrebate的形式将由此产生的收入的一部分支付给卖空者。作为回报，卖空者补偿贷款人在贷款期限内放弃的份额。为了完成交易，卖空者回购股票，并将其返还给贷款人。尽管这可能由卖空者自行决定，但股票贷款合同通常包括一项召回条款，允许贷款人强制卖空者非自愿地平仓。前一篇综述强调了与卖空相关的若干成本和风险，这些成本和风险在购买股票时没有对应的成本和风险。首先，卖空者可能会产生搜索成本，因为识别有意愿的贷款人的过程可能很昂贵。第二，与股票贷款相关的期末费用对卖空者施加了一种成本，这种成本可以持续到2019年3月29日。2010年数学科目分类。初级：91G80；次要：60G40、60J60、35R35。关键词和短语。卖空；保证金风险；召回风险；最优停车；自由边界问题；局部时空公式。有关卖空过程和股权借贷市场的全面评论，请参见Cohen et al.（2004）、D\'Avolio（2002）和Reed（2013）。折减通常设定为股票市值的2%。利率和回扣率之间的差异代表着借贷fe e.2 Kristofer GLOVER和HARDY Hulley相当显著。第三，卖空者面临保证金风险，因为借入股票价格的连续上涨可能会产生追加保证金通知，最终耗尽他们的抵押品预算。最后，卖空者面临召回风险，因为卖空者可能随时召回借入的股票。

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2022-6-14 09:18:51

这些摩擦统称为卖空约束。由于套利组合总是包含多头和空头头寸，卖空约束对教科书中的无套利关系可能会有巨大的影响。例如，L amont和Thaler（2003）强调了卖空约束在防止纠正定价错误的股权分割方面的作用，而Mitchell等人（2002）则指出了当一家公司以相对于其子公司的折扣进行交易时，卖空约束的影响。Fung和Draper（1999）提出的股票指数期货定价错误以及Ofek等人（2004）提出的看跌期权平价波动也与卖空约束有关。我们关注保证金风险和赎回风险。Shleifer和Vishny（1997）首先揭示了保证金风险作为套利限制的重要性，证明了如果中期亏损导致投资者退出以损害基金满足其追加保证金要求的能力，对冲基金可能会被迫以亏损头寸结束理论上有利的套利交易。Liu和Longstaff（2004）进一步强化了保证金风险会削弱套利吸引力的观点，他们指出，抵押品受限的风险交易员会对套利机会投资不足，因为中期亏损产生的保证金催缴可能会在他意识到召回风险的影响之前耗尽他的抵押品预算，Chuprinin和Ruf（2017）的实证研究发现，召回导致卖空者和股票出借人之间的利益分享，迫使前者提前清算原本可盈利的空头头寸。他们估计，知情卖空者因赎回损失了约20%的第一笔最佳利润，这表明召回风险是一个具有重大经济意义的卖空约束。Engelberg等人。

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2022-6-14 09:18:54

（2 018）通过证明即期和看跌期权平价之间的偏差隐含的股票价格随期权到期日的增加而增加，提供了有关召回风险的mp法案的进一步隐含证据。这表明，随着涉及空头头寸的交易策略的时间范围的增加，卖空约束会加剧，这与召回风险的性质一致。为了理解保证金风险和召回风险对卖空的影响，我们制定了一个最优止损问题，其中交易者必须决定何时平仓时间为零的空头头寸。为了获得保证金风险的影响，我们假设交易方有有限的抵押品预算来为保证金催缴提供资金，而召回风险是通过假设股票召回导致的强制平仓发生在某个独立的时间来建模的。在抵押品预算确定的水平上，共同约束为初始股票价格引入了一个淘汰壁垒。当股票价格达到这一关口时，就会立即平仓，因为届时可用的抵押品将全部用完。其位置由初始股价决定的淘汰障碍的存在是本文研究的最优停止问题的一个新特征。通过在相关的自由边界问题中插入一个非齐次项，早期召回的可能性进一步使分析复杂化。这些特性共同产生了一个本身就很有趣的最优停止问题。我们的经济分析证实，保证金风险和召回风险对卖空价值和最佳平仓策略有着巨大的影响，有效地在有保证金风险和召回风险的受限卖空和无约束卖空的解决方案之间形成了一个楔子。

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2022-6-14 09:18:57

影响的大小对stoc k价格的漂移非常敏感，由于难以准确估计该参数，这带来了实际挑战。这些摩擦也造成了其他令人惊讶的影响。例如，与无约束卖空的情况不同，考虑到股价的波动性，约束卖空的价值是非单调的。当stoc k价格具有正漂移时，这也是贴现率的一个递增函数，而无约束空头头寸的值总是相对于贴现率单调递增。这些反直觉效应背后的深刻直觉相当微妙，在我们的经济分析中有详细讨论。本文属于相关最优融资融券问题最优停止模型的已建立模型范围（参见蔡和孙2014、戴和徐2011、Ekstrom和Wanntorp 2008、格拉塞利和戈麦斯201 3、梁等人2010、刘和徐2010、萧等人2016、黄和黄2013、夏和周2007、徐和易2019、严等人2019、张和周2 009）。在保证金贷款（也称为阿斯托克贷款）的情况下，投资者从银行借款购买股票，然后银行将其作为抵押品持有。股价下跌会降低抵押品的价值，引发追加保证金通知。如果投资者未能满足追加保证金要求，银行将出售股票以支付贷款。投资者的问题是选择最佳的时间出售股票和偿还贷款。卖空和保证金贷款之间的相似之处在于，两者都是抵押交易，其中保证金风险扮演着重要角色。

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2022-6-14 09:19:00

然而，与卖空相比，保证金贷款不存在赎回风险和其他卖空限制。与融资融券问题相比，最优卖空很少受到关注，Chung和Tanaka（2015）和Chung（2016）最近的研究似乎是唯一的例外。这些条款考虑了交易员的情况，他们必须根据贷款费用、赎回风险和流动性风险选择何时平仓。我们的模型不同于那些研究中提出的模型，在这些模型中考虑了约束条件。具体而言，虽然他们忽略了保证金风险（这是一个重要的卖空特殊约束），但我们不关心流动性风险（这不是卖空特殊摩擦）。因此，我们的分析提供了不同的经济前景。本文的其余部分结构如下。第2节将无股息支付stoc k的价格建模为几何布朗运动，并回顾了关于这类过程的几个事实。在存在保证金风险和召回风险的情况下，何时平仓股票空头头寸的问题被表述为最优止损问题。第3节推导并解决了一个简单最优停止问题的自由边界问题，并使用自由边界方程确定了七个不同的定性参数区域。本节的分析围绕着确定复杂非线性函数的根展开，其行为高度依赖于参数状态（见图3.1）。第4节介绍了在每个参数状态下，简单问题的公平atevalue函数和最优停止策略，并验证了它们确实解决了问题。在第5节中，这些解被用来构造原始最优卖空问题的解。

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2022-6-14 09:19:04

最后，第6节通过考察最优关闭政策和价值函数对模型参数的依赖性，提供了一些经济见解。4克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利2。卖空作为最佳止损问题2.1。模拟非股息支付股票的价格。设B=（Bt）t≥0是完全过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F，F，P），其过滤系数F=（Ft）t≥0通过F的空集满足右连续性和完成的通常条件。我们考虑一种无股息支付的股票，其价格X=（Xt）t≥0被建模为随机微分方程的唯一强解dxt=uXtdt+σXtdBt，（2.1）对于所有t≥ 0，其中X∈ (0, ∞), u ∈ R和σ∈ (0, ∞). 也就是说，我们将股票价格建模为几何布朗运动。该过程的特点是其缩放功能和速度测量（x）：=-x个-如果ν6=0，则为2ν2ν；ln x如果ν=0和m（dx）：=σx2ν-1dx，（2.2）适用于所有x∈ (0, ∞), 式中，ν：=u/σ-/2（见Borodin和Salminen 2002，附录1.20）。给定α>0，设φα，ψα∈ C（0，∞) 分别表示第二阶普通微分方程lxu（x）：=σxu′（x）+uxu′（x）=αu（x），（2.3）的唯一（直到正标量相乘）递减解和递增解∈ (0, ∞). 这些解由φα（x）：=x明确给出-√ν+2α/σ-ν和ψα（x）：=x√ν+2α/σ-ν、（2.4）对于所有x∈ (0, ∞). 区分这些表达式得出φ′α（x）=-Cν+2ασ+νaφα（x）x和ψ′α（x）=μν+2ασ-νaψα（x）x，（2.5）对于所有x∈ (0, ∞). 从（2.2）、（2.4）和（2.5）可以看出，Wronskianwα：=φα（x）ψ′α（x）- φ′α（x）ψα（x）s′（x）=2ν+2ασ（2.6）与x无关∈ (0, ∞) （见Borodin和Salminen 2002，附录1.20）。让我们看看所有F停止时间的族。

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2022-6-14 09:19:07

其中包括首次退出时间^τz：=inf{t≥ 0 | Xt≥ z} 和ˇτz：=inf{t≥ 0 | Xt≤ z} ，对于所有z∈ (0, ∞) , 其拉普拉斯变换为giv en byEx"Ae-α^τz"a=ψα（x）ψα（z）如果x≤ z1如果x≥ z、（2.7a）安第斯山脉-αˇτz"a=1如果x≤ zφα（x）φα（z）如果x≥ z、（2.7b）对于所有α>0和al l x，z∈ (0, ∞) （见Borodin和Salminen 2002，第二节10）。通常，Ex（·）表示概率测度Px的预期价值运算符，其中X=X。有保证金风险和召回风险的卖空52.2。完成卖空交易的最佳时机。我们考虑一个具有抵押品预算c的交易员≥ 0，在时间零点卖空股票。当股票价格超过其初始价格超过其预算抵押品时，会因抵押品耗尽而被迫平仓。我们用ζ表示该停止时间：=inf{t≥ 0 | Xt=X+c}。（2.8）换句话说，在时间ζ，stoc k价格将足够高，以确保贸易商将其全部抵押品预算用于追加保证金。股票召回导致的卖空非自愿平仓发生在指数分布的随机时间ρ~ Exp（λ），其中λ>0是回忆强度。重新校准时间被假定为F-可测量且独立于F∞:=Wt公司≥0Ft，表示召回事件与股价无关。因此，调用时间的分布由px（ρ）给出∈ dt）=λe-λtdt，对于所有t≥ 0和所有x∈ (0, ∞). 我们将召回建模为一个独立的随机事件，以捕捉贷款人可能随时召回股票的直觉。为了简化分析（并且因为它对应于特定利息的情况），我们将注意力限制在股票贷款的回扣率为零的情况。

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2022-6-14 09:19:11

这就是说，我们假设股票借贷费用与现行利率r一致≥ 这意味着交易员的保证金账户余额没有获得回报，保证金账户最初包含借入股票并在市场上出售股票的收益。因此，如果交易者在时间0开始卖空，并在时间t结束≥ 0，其资产的现值-rt（X- Xt）。他的目标是在当前条件下，根据上文所述的摩擦，在最大化其资产预期价值的时间回购股票。这就产生了以下最优停止问题：V（x）：=supτ∈SExAe-r（τ∧ζ∧ρ） "Ax- Xτ∧ζ∧ρ"a，（2.9）对于所有x∈ (0, ∞). 图2.1举例说明了问题（2.9），其中给出了交易员以最佳方式平仓的股票价格路径，以及由于抵押品耗尽和收回而非自愿平仓的路径。一个更简单的最优停止问题3.1。固定抵押品耗尽水平。微分的最优停止问题通常通过将其重新表述为自由边界问题来解决。然而，这种方法并不直接适用于问题（2.9），因为抵押品耗尽时间（2.8）取决于初始s-toc k价格。为了克服这一困难，我们模拟了一个更简单的问题，即当股票价格超过抵押品预算的某个固定水平κ>0时，而不是当股票价格首次超过抵押品预算的初始价格时，由于抵押品耗尽而发生强制清算。形式上，我们将问题（2.9）修改如下：媫V（x）：=supτ∈SJ（x，τ），（3.1a）在股票借贷市场中，具有高借贷价值的股票被称为特殊股票。

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2022-6-14 09:19:14

一些所谓极为特殊的股票的贷款费用如此之高，以至于其回扣率可以忽略不计，甚至为负（见D\'Avolio 2002）。6克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利τ*ζρ0zxx+CTX图2.1。卖空问题的三种可能结果（2.9）。下（绿色）路径说明了卖空在时间τ最佳收盘的情况*, 这是股票价格首次达到假定的最优clos e-out阈值z*. （在这个阶段，我们不知道最佳收尾策略是阈值策略，但我们应该证明事实确实如此。）上方（红色）路径说明了在时间ζ，股票价格首次超过其初始值x，超过抵押品预算c，导致卖空结束的情况。中间（蓝色）路径说明了在随机时间ρ，由于股票召回导致卖空结束的情况。对于所有x∈ (0, ∞), 其中j（x，τ）：=ExAe-r（τ∧^τκ+c∧ρ)"Aκ -Xτ∧^τκ+c∧ρ"a~a=ExAExA{ρ≤τ∧^τκ+c}e-rρ（κ- Xρ）Fτ∧^τκ+c~a+e-r（τ∧^τκ+c）"Aκ-Xτ∧τκ+c"aPxρ>τ∧ ^τκ+c | Fτ∧^τκ+c"a~a=ExCZτ∧^τκ+ce-rt（κ- Xt）λe-λtdt+e-r（τ∧^τκ+c）"Aκ- Xτ∧^τκ+c"aZ∞τ∧^τκ+cλe-λtdta=ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）t（κ- Xt）dt+e-（λ+r）（τ∧^τκ+c）"Aκ- Xτ∧对于所有τ，τκ+ca，（3.1b）∈ S、注意，对于所有x，V（x）=媫V（x）|κ=x∈ (0, ∞), 由于ζ=^τx+cPx-a.s.因此，可以从问题（3.1）的解构造问题（2.9）的解。3.2. 相关的自由边界问题。问题（3.1）的时间同质性使我们推测该问题的最佳停止时间是阈值时间。也就是说，这是第一次τˇz*股价超过某个阈值Z*∈ （0，κ+c）来自上面。

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2022-6-14 09:19:18

如果这是真的，我们可以通过解决以下z的自由边界问题来解决问题（3.1）*∈ （0，κ+c）和“V”∈ C（0，∞) ∩ C（z*, κ+c）（见Peskir和Shiryaev 200 6，第三章）：LX“V（x）- （λ+r）“V（x）+λ（κ- x） =0，（3.2a）对于所有x∈ （z）*, κ+c）；“V（x）=κ- x、（3.2b）具有保证金风险和召回风险的卖空7所有x∈ （0，z*] ∪ [κ+c，∞); 和V′（z*+) = -1.（3.2c）换句话说，z*∈ （0，κ+c）和“V”∈ C（0，∞) ∩C（z*, κ+c）必须满足连续区域（z）中的有序微分方程（3.2a*, k+c），停止区域（0，z）中的瞬时停止条件（3.2b*] ∪ [κ+c，∞), 自由边界z处的平滑粘贴条件（3.2c）*.为了分析问题（3.2），我们首先假设它允许一个由大量z组成的解决方案*∈ （0，κ+c）和函数“V∈ C（0，∞) ∩ C（z*, κ+c）。后者可以表示为齐次方程（2.3）的通解，α=λ+r，以及一个特定的解bv∈ C（0，∞) 对于非齐次方程（3.2a），如下所示：“V（x）=Aφλ+r（x）+Bψλ+r（x）+bv（x），（3.3）对于所有x∈ （z）*, κ+c），其中A，B∈ R是常数。出租x↓ z*和x↑ （3.3）中的κ+c，并将结果表达式替换为“V（z*) 和“V（κ+c）i nto（3.2b），产生方程aφλ+r（z*) + Bψλ+r（z）*) +bv（z*) = κ - z*andAφλ+r（κ+c）+Bψλ+r（κ+c）+bv（κ+c）=-c、这可以解为giveA="Aκ- z*-bv（z*)"aψλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aψλ+r（z*)φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）- φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*)andB="Aκ- z*-bv（z*)"aφλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aφλ+r（z*)φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）。当这些表达式插入（3.3）中时，我们得到“V（x）="Aκ-z*-bv（z*)"aφλ+r（κ+c）ψλ+r（x）- φλ+r（x）ψλ+r（κ+c）φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aφλ+r（z*)ψλ+r（x）-φλ+r（x）ψλ+r（z*)φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) -φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+bv（x），（3.4）对于所有x∈ （z）*, κ+c）。

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2022-6-14 09:19:21

将该表达式的导数代入（3.2c）产生自由边界z的以下隐式特征*∈ （0，κ+c）："Aκ- z*-bv（z*)"aφλ+r（κ+c）ψ′λ+r（z*) - φ′λ+r（z*)ψλ+r（κ+c）φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aφλ+r（z*)ψ′λ+r（z*) - φ′λ+r（z*)ψλ+r（z*)φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+bv′（z*) = -1.（3.5）最后，给定α>0，回想一下预解算子Rα作用于合适的函数sg：（0，∞) → R如下：（Rαg）（x）：=ExCZ∞e-αtg（Xt）dta，8 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEYfor all x∈ (0, ∞) （见Borodin和Salminen 2002，第I.7节）。此外，Rαg满足普通微分方程lx（Rαg）（x）- α（Rαg）（x）+g（x）=0，对于所有x∈ (0, ∞). 通过将该方程与（3.2a）进行比较，我们可以看到后一个方程的特殊解由bv（x）：="ARλ+Rλ（κ- ·)"a（x）=ExCZ∞e-（λ+r）tλ（κ- Xt）dta=λκλ+r-Z∞λe-（λ+r）tEx（Xt）dt=λκλ+r-Z∞λe-（λ+r）txeutdt=λκλ+r-λxλ+r- u，（3.6）对于所有x∈ (0, ∞).3.3. 确定参数状态。前面的分析证明了解z的存在性*∈ （0，κ+c）到（3.5）是问题（3.2）加入溶液所必需的。相反，f函数“V”∈ C（0，∞)∩C（z*, （3.4）定义的κ+c）满足普通微分方程（3.2a）以及边界条件（3.2b）和（3.2c），如果z*∈ （0，κ+c）满意度（3.5）。因此，当且仅当自由边界方程（3.5）允许唯一解z时，问题（3.2）才允许唯一解*∈ （0，κ+c）。现在我们将详细研究这个方程的解。首先，考虑函数H∈ C（0，∞), 给定byH（z）：=F′（z）G（z）- F（z）G′（z）wλ+rs′（z）+F（κ+c），对于所有z∈ (0, ∞) , 式中，wλ+ris为Wronskian（2.6）和F，G∈ C（0，∞) 由f（z）给出：=bv（z）- (κ - z） =r- uλ+r- uz-rκλ+randG（z）：=φλ+r（κ+c）ψλ+r（z）- φλ+r（z）ψλ+r（κ+c），对于所有z∈ ( 0, ∞).

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2022-6-14 09:19:25

因此z*∈ （0，κ+c）满足（3.5）i f且仅当H（z*) = 0，根据恒等式wλ+rs′（z）=φλ+r（z）ψ′λ+r（z）- φ′λ+r（z）ψλ+r（z），所有z的带保证金风险和召回风险的卖空9∈ (0, ∞) . 现在，观察h′（z）=F′（z）G（z）- F（z）G′（z）+2uzσz"AF′（z）G（z）- F（z）G′（z）"awλ+rs′（z）=F′（z）G（z）-σzF（z）"A（λ+r）G（z）-uzG′（z）"a+2uzσz"AF′（z）G（z）- F（z）G′（z）"awλ+rs′（z）=σzLXF（z）- （λ+r）F（z）wλ+rs′（z）G（z）=σzLXbv（z）- （λ+r）bv（z）+uz+（λ+r）（κ- z） wλ+rs′（z）G（z）=σzrκ+（u- r） zwλ+rs′（z）G（z），对于所有z∈ (0, ∞), 其中，第一个等式来自于恒等式s′（z）=-2uσzs′（z）（见Borodin和Salminen 2002，第二节9），第二个等式源自于α=λ+r时G满足（2.3）的事实，最终等式源自于满足（3.2a）。注意，G（κ+c）=0意味着H′（κ+c）=0。还要注意，G（κ+c）=0，G′（κ+c）=wλ+rs′（κ+c）意味着H（κ+c）=0。也就是说，H在κ+c上有一个根，这也是一个固定点。然而，κ+c不是（3.5）的解，因为如果z*= 其次，由于φλ+randψλ+rare严格地分别递减和递增，因此G严格递增。因此，对于所有z，G（z）<0∈ （0，κ+c）；G（κ+c）=0；对于所有z，G（z）>0∈ （κ+c，∞). 最后，请注意，对于所有z，s′（z）>0∈ (0, ∞).下一个命题使用之前的观察结果对H的根进行了完整描述。通过这样做，它确定了七个参数区域，这将有助于组织第4节中问题（3.1）的解决方案。提案3.1。

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2022-6-14 09:19:29

H的根取决于模型参数，如下所示。（a）如果参数满足u<rcκ+cand r>0，（3.7a），则κ+c处的根是H的局部最大点，函数在某个点z处有一个次根∈第0节，rκr- ua （0，κ+c）。（b）如果参数满足u=rcκ+c且r>0，（3.7b），则κ+c处的根是唯一的，也是H的反射点。（c）如果参数满足rcκ+c<u<r且r>0，（3.7c），则κ+c处的根是H的局部最小点，并且函数在某些点z处具有次根∈圣尔κr- u, ∞a （κ+c，∞).10 KRISTOFFER GLOVER和HARDY HULLEY（d），如果参数满足u≥ r和r>0，（3.7d）则κ+c处的根是唯一的，也是H的全局最小点。（e）如果参数满足u<0且r=0，（3.7e）则κ+c处的根是唯一的，也是H的全局最大点。（f）如果参数满足u=0且r=0，（3.7f），则H为相同的零。（g）如果参数满足u>0且r=0，（3.7g），则κ+c处的根是唯一的，也是H证明的全局最小点。（a）：假设条件（3.7a）成立，在这种情况下0<r-rcκ+c=rκ+c<r- u，因此点'z：=rκ/（r- u）满意度∈ （0，κ+c）。观察rκ+（u- r） z>0，对于所有z∈ （0，’z）；rκ+（u-r） \'z=0；和rκ+（u- r） z<0，对于所有z∈ （(R)z，∞). 结合前面描述的G和s′的性质，这意味着H′（z）<0，f或allz∈ （0，’z）；H′（\'z）=0；H′（z）>0，对于所有z∈ （\'z，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （κ+c，∞). 特别是，H在'z和κ+c处有固定点，前者为局部最小值，后者为局部最大值。由于H（κ+c）=0且H严格地在（\'z，κ+c）上增加，因此H（\'z）<0。

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2022-6-14 09:19:32

此外，H（κ+c）=0排除了区间（(R)z，κ+c）和（κ+c）中根的存在，∞),因为H在前一个区间上严格增大，在后一个区间上严格减小。最后，我们使用（2.5）来写eh（z）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）ψλ+r（z）- φλ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+ρrκλ+r-r- uλ+r- uzaφλ+r（κ+c）ψ′λ+r（z）- φ′λ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+F（κ+c）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）wλ+r尼zqν+2（λ+r）σ-ν+rκλ+rλ+r- ur- u- zψ′λ+r（z）s′（z）+r- uλ+r- uψλ+r（κ+c）wλ+r~nzqν+2（λ+r）σ+ν-rκλ+rλ+r- ur- u+zа′λ+r（z）s′（z）+F（κ+c），对于所有z∈ (0, ∞) . 现在sincelimz↓0φ′λ+r（z）s′（z）=limz↓0~N-sν+2（λ+r）σ-νéz-√ν+2（λ+r）/σ+ν=-∞带保证金风险和召回风险的卖空11andlimz↓0ψ′λ+r（z）s′（z）=limz↓0~nsν+2（λ+r）σ- νéz√ν+2（λ+r）/σ+ν=0，根据（2.2）和（2.4），得出H（0+）=∞.这反过来又确保了唯一根z的存在∈ （0，’z），因为H在（0，’z）上严格递减，H（’z）<0。（b）：假设条件（3.7b）成立，在这种情况下，r-u=rκ/（κ+c）>0。因此，rκ+（u- r） z>0，对于所有z∈ （0，κ+c）；rκ+（u- r）（κ+c）=0；和rκ+（u- r） z<0，对于所有z∈ （κ+c，∞). 结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）<0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H严格地降低了OVER（0，κ+c）和（κ+c），∞),在κ+c处有一个反射点。由于H（κ+c）=0，因此κ+c是H.（c）的唯一值：假设条件（3.7c）成立，在这种情况下，0<r- u<r-rcκ+c=rκκ+c，因此点z：=rκ/（r- u）满意度∈ （κ+c，∞). 观察rκ+（u- r） z>0，对于所有z∈ （0，’z）；rκ+（u-r） \'z=0；和rκ+（u-r） z<0，对于所有z∈ （(R)z，∞).

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2022-6-14 09:19:36

结合前面描述的G和s′的性质，这意味着H′（z）<0，f或allz∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；H′（z）>0，对于所有z∈ （κ+c，’z）；H′（\'z）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （(R)z，∞). 特别是，H在κ+c和'z处有固定点，前者为局部最小值，后者为局部最大值。由于H（κ+c）=0，且H严格地在（κ+c，\'z）上增加，因此H（\'z）>0。此外，H（κ+c）=0排除了区间（0，κ+c）和（κ+c，(R)z）中根的存在，因为H在前一个区间上严格递减，在后一个区间上严格递增。最后，我们使用（2.5）来写eh（z）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）ψλ+r（z）- φλ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+ρrκλ+r-r- uλ+r- uzaφλ+r（κ+c）ψ′λ+r（z）- φ′λ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+F（κ+c）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）wλ+r×尼1+尼sν+2（λ+r）σ- νааrκλ+rλ+r- ur- uz- 1aψλ+r（z）s′（z）-r- uλ+r- uψλ+r（κ+c）wλ+r× 1/2 1-νsν+2（λ+r）σ+ν整整rκλ+rλ+r- ur- uz- 注意，上述两个极限的值也可以从原点是X的自然边界这一事实推断出来（见Borodin和Salminen 2002，第II.10节）。12克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利∈ (0, ∞) . 注意（ν+1）- ν=2ν+1=2uσ<2（λ+r）σ，因为u<r<λ+r，由此得出sν+2（λ+r）σ>ν+1。（3.8）因此，limz↑∞νsν+2（λ+r）σ- νааrκλ+rλ+r- ur- uz-1a< -此外，（2.2）和（2.4）givelimz↑∞φλ+r（z）s′（z）=limz↑∞z-√ν+2（λ+r）/σ+ν+1=0andlimz↑∞ψλ+r（z）s′（z）=limz↑∞z√ν+2（λ+r）/σ+ν+1=∞,其中，第一个限值如下（3.8）。将所有这些结合在一起会得到H(∞-) = -∞.这又确保了唯一根z的存在∈ （(R)z，∞), s i nce H在（(R)z）上严格递减，∞) H（(R)z）>0时。（d）假设条件（3.7d）成立。

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2022-6-14 09:19:39

然后rκ+（u- r） z≥ rκ>0，对于所有z∈ (0, ∞).结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）<0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）>0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H在κ+c处达到唯一的全局最小值。此外，由于H（κ+c）=0，因此对于所有z，H（z）>0∈ （0，κ+c）∪ （κ+c，∞). 换句话说，H在k+c.（e）处有一个唯一的根，假设条件（3.7e）成立。然后rκ+（u- r） z=uz<0，对于所有z∈ (0, ∞).结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）>0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H在κ+c处达到唯一的全局最大值。由于H（κ+c）=0，因此κ+cis是H.（f）的唯一根：假设条件（3.7f）成立。那么F（z）=0，对于所有z∈ (0, ∞). 因此，对于所有z，H（z）=0∈ (0, ∞).（g）假设条件（3.7g）保持不变。然后rκ+（u- r） z=uz>0，对于所有z∈ (0, ∞).结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）<0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）>0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H在κ+c处达到唯一的全局最小值。由于H（κ+c）=0，因此κ+cis是H的唯一根。图3.1在命题3.1中确定的七个参数状态下绘制H。图3.1（a）显示H在κc/（r）处有一个局部最小值- u) ∈ （0，κ+c）和κ+c处的局部最大值，如果条件（3.7a）成立。后一点也是根，在某个点z上有第二根∈ （0，rκ/（r- u)). 图3.1（b）显示，如果条件（3.7b）成立，H在κ+c处具有唯一根，而H也是一个反射点。图3.1（c）说明了条件（3.7c）成立时的情况，在这种情况下，h有一个局部卖空，保证金风险和召回风险13最小值为κ+c，局部最大值为atrκ/（r- u) ∈ （κ+c，∞).

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2022-6-14 09:19:42

前一个点也是根，函数在某个点z有第二个根∈ （rκ/（r- u), ∞).图3.1（d）显示，如果条件（3.7d）成立，H在κ+c处有一个全局最小值，在这种情况下，该点是唯一的根。在图3.1（e）中，我们看到，如果条件（3.7e）成立，H在κ+c处有一个全局最大值，该点也是唯一的根。接下来，图3.1（f）显示，如果条件（3.7f）成立，H等于零。最后，图3.1（g）说明了条件（3.7g）下的情况，其中c aseκ+c是H的全局最小点，也是函数的唯一根。4、简单问题的解决和验证4.1。构建候选解决方案。通过分析命题3.1，我们可以猜测问题（3.1）在每个参数区域下的最优停止策略。基于这些猜测，我们可以推导出每个区域的候选值函数的表达式。首先，如果条件（3.7a）成立，问题（3.2）允许一个唯一的解，包括一个自由边界z*∈ （0，κ+c）和“V”上的一个函数∈ C（0，∞)∩C（z*, κ+c）。详细说明，z*:= z表示自由边界方程（3.5），其中z∈ （0，rκ/（r- u)) （0，κ+c）是H的根，其存在由命题3.1（a）确定，而“V由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）：=κ- x、对于所有x∈ （0，z*] ∪ [κ+c，∞). 我们推测z*是问题（3.1）的最佳停止阈值，“V是相应的函数值。这在经济上是可行的，因为这意味着当股票价格漂移率小于阈值rc/（κ+c）时，问题（3.1）有一个唯一的非平凡解贴现率为正。较低的漂移率可确保在平仓前等待库存价格下跌可能有一定的价值（即。

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2022-6-14 09:19:45

即时止损并不总是最佳的），而正贴现率确保空头不会永远等待。下面的引理导出了上述候选值函数的下界。它将被用来证明定理4。3（a），确定候选值函数和相关候选最优停止阈值确实解决了条件（3.7 a）下的问题（3.1）。引理4.1。假设条件（3.7a）为旧。让z*:= z∈ （0，rκ/（r- u)) （0，κ+c）是（3.5）的唯一解，其存在性由位置3.1（a）确定，并设“V∈ C（0，∞) ∩C（z*, κ+c）由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）：=κ-x、对于所有x∈ （0，z*] ∪ [κ+c，∞). 然后“V（x）>κ- x、对于所有x∈ （z）*, κ+c）。证据定义函数U∈ C（0，∞)∩C（z*, κ+c），通过设置U（x）：=“V（x）-(κ-x），对于所有x∈ (0 , ∞). 我们将证明，对于所有x，U（x）>0∈ （z）*, κ+c）。首先，观察lxu（x）- （λ+r）U（x）=LX“V（x）- （λ+r）“V（x）+ux+（λ+r）（κ- x） =-λ(κ - x） +ux+（λ+r）（κ- x） =rκ-（r）- u）x，（4.1）对于所有x∈ （z）*, κ+c），根据（3.2a）。特别是σz*U′（z*+) =σz*U′（z*+) + uz*U′（z*+) - （λ+r）U（z*+)= LXU（z*+) - （λ+r）U（z*+) = rκ-（r）- u）z*> 0，（4.2）14 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEY0 z0rκr-μκ+c0zH（z）（a）0κ+c0zH（z）（b）0 z0rκr-μκ+c0zH（z）（c）0κ+c0zH（z）（d）0κ+c0zH（z）（e）00zH（z）（f）0κ+c0zH（z）（g）图3.1。命题3.1中七个参数区域下的H图。带保证金风险和召回风险的卖空150 z*rκr-μκ+c0xU（x）图4.1。引理4.1中定义的函数，在条件（3.7a）下。自U（z*+) = U（z*) = 0和U′（z*+) = 0，由于（3.2b），（3.2c）和“V”的连续性，以及z*<rκ/（r）- u).

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2022-6-14 09:19:48

所以，U′（z*+) > 0，与U′（z*+) = U（z*+) = 0，确保某些ε>0的存在，使得U（x）>U（z*) = 0，对于所有x∈ （z）*, z*+ε).特别是，给定任何x∈ （z）*,rκ/（r）- u）]，然后是maxξ∈[z]*,x] U（ξ）>U（z*) = 0，其中U在[z]上有一个正最大值*, x] ，可在间隔的内部点或右端点实现。但是，如果给定任何x∈ （z）*,rκ/（r）- u）]，（4.1）yieldsLXU（ξ）- （λ+r）U（ξ）=rκ- （r）- u）ξ>0，对于所有ξ∈ （z）*, x）（z）*,rκ/（r）- u)). 基于这种差异，最大原则（见Protter and Weinberger 1967，定理1.3）断言，U不能在[z]的内部实现其最大值*, x] ，对于任意x∈ （z）*,rκ/（r）- u）]，因为它是一个非恒常函数，在整个时间间隔内具有非负的最大值。因此，U（x）=maxξ∈[z]*,x] U（ξ）>U（z*) = 0，对于所有x∈ （z）*,rκ/（r）- u)]. 接下来，观察Maxx∈[rκr-u，κ+c]-U（x）≥ -U（κ+c）=0，根据（3.2b）。也就是说，-U在rκr上有一个非负的最大值-u，κ+c），这可以在区间的内点或右端点实现，因为我们已经建立了-U（rκ/（r- u)) < 0. （4.1）givesLX的另一个应用(-U）（十）- （λ+r）(-U）（x）=-"ALXU（x）- （λ+r）U（x）"a=（r- u）x- 对于所有x，rκ>0∈ （rκ/（r- u），κ+c）。最大原则再次确保-U不能在[rκ/（r）的内部达到最大值- u），κ+c]，因为它是一个非常数函数，在区间内具有非负的最大值。因此-U必须在区间的右端点有唯一的最大值，这意味着对于所有x，U（x）>U（κ+c）=0∈ [rκ/（r- u），κ+c）。图4.1使用满足条件（3.7a）的参数值绘制引理4.1中定义的函数U。我们观察到U（x）≥ 0，对于所有x∈ (0, ∞) , 也就是16克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫利说的“V（x）≥ κ - x。

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2022-6-14 09:19:51

此外，我们看到“V（x）>κ- x、对于所有x∈ （z）*, κ+c），由引理4.1建立。图4.1还说明了z处U′的连续性*,这是因为（3.2c）确保了“V”在那里的连续性。相比之下，问题（3.2）并没有指定“V”在κ+c处的连续性，这从当时的扭结inU中可以明显看出。具体来说，U′（（κ+c）-) < U′（（κ+c）+）=0，这意味着“V′（（κ+c））-) <“V（（κ+c）+）=-最后，请注意，U′在z处不是连续的*, 因为（4.2）意味着U′（z*+) > 0=U′（z*-). 这转化为“V′（z*+) > 0=“V′（z*-),这并不意外，因为问题（3.2）并没有对z处的“V′”施加连续性要求*.如果条件（3.7b）成立，根据命题3.1（b），H在κ+c处有一个单根。这意味着自由边界方程（3.5）不允许有解，而问题（3.2）也不允许有解。然而，根z的上限∈ （0，rκ/（r- u)) （0，κ+c），在条件（3.7a）下存在，满足esrκ/（r- u) ↑ κ+c为u↑rc/（κ+c），对于任何给定的r>0。这表明根本身可能满足z↑ κ+c为u↑rc/（κ+c）。由于该根是问题（3.1）的候选最优停止阈值，在条件（3.7a）下，z*:= 在条件（3.7b）下，κ+c是自然候选的最佳停止阈值。cand i日期值函数“V∈ C（0，∞) 然后由“V（x）：=κ确定- x、为了al l x∈ (0, ∞). 经济解释是，如果股票价格的赎回率等于阈值rc/（κ+c），且贴现率为正，卖空者应立即平仓。在这种情况下，等待股价下跌是不理想的，因为预计股价会上涨得太快。接下来，支持条件（3.7c）保持不变。

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能者818

2022-6-14 09:19:54

在这种情况下，命题3.1（c）确定Hpossesses a root z∈ （rκ/（r- u), ∞) （κ+c，∞), 这也是自由边界方程（3.5）的唯一解。自ˇτz∧^τκ+c=0 Px-a.s.，对于所有x∈ (0, ∞), 我们推测问题（3.1）可以通过立即停止来解决，在这种情况下，z*:= κ+c是最佳停止阈值的自然候选。候选值函数“V∈ C（0，∞) 然后由“V（x）：=κ确定- x、对于所有x∈ (0, ∞). 这似乎在经济上是合理的，因为它表明，如果股价相对于贴现率的漂移率足够大，并且贴现率是积极的，那么短期卖方应该立即平仓。换言之，如果预计股价将以足够高的速度升值，那么等待股价下跌就会破坏价值。同样的经济逻辑适用于条件（3.7d）成立的情况，在这种情况下，股票价格的漂移率相对于贴现率更高。我们再次推测，最佳停止阈值为z*:= κ+c和值函数“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）：=κ给出- x、对于所有x∈ (0, ∞).接下来，fixu<0，观察rκ/（r- u) ↓ 0作为r↓ 0，表示z↓ 0as r↓ 0，其中z∈ （0，rκ/（r- u））是命题3.1（a）中H的根。根据对条件（3.7a）成立时情况的讨论，这表明最佳停止阈值为z*:= 当条件（3.7e）保持时为0，在这种情况下为ˇτz*= ∞, 因为原点是X的自然边界。

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2022-6-14 09:19:57

从经济上讲，这抓住了这样一种直觉，即当股票价格漂移率为负且贴现率为零时，卖空者自愿平仓从来都不是最优的，因为预计股票价格会随着时间的推移而下跌，而不实现早期盈利的机会成本为零。带保证金风险和召回风险的卖空17基于上述论点，我们得到候选价值函数“V”的以下表达式∈ C（0，∞) ∩ C（0，κ+C）和er条件（3.7e）：“V（x）：=J（x，ˇτ）=Ex（κ- X^τκ+c∧ρ) = κ -Ex"A{^τκ+c≤ρ} X^τκ+c"a- Ex"A{τκ+c>ρ}Xρ"a=κ- （κ+c）Ex"APx（^τκ+c）≤ ρ| F^τκ+c）"a- Ex（Xρ）+ExAEx"A{710;τκ+c≤ρ} Xρ| F^τκ+c"a~a=κ- （κ+c）ExCZ∞^τκ+cλe-λtdta-Z∞λe-λtEx（Xt）dt+ExCZ∞^τκ+cλe-λtXtdta=κ- （κ+c）Ex"Ae-λ^τκ+c"a-Z∞λxe-(λ-u）tdt+ExCZ∞λe-λ（^τκ+c+s）X^τκ+c+sdsa=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+ExC-λ^τκ+cZ∞λe-λsEx^τκ+c+s | F^τκ+c"adsa=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+ExC-λ^τκ+cZ∞λe-λsEX^τκ+c（Xs）dsa=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+μZ∞λ（κ+c）e-(λ-u）sdsaEx"Ae-λ^τκ+c"a=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+λ（κ+c）λ- uψλ（x）ψλ（κ+c）=κ-λxλ- u+u（κ+c）λ- 对于所有x，uψλ（x）ψλ（κ+c），（4.3）∈ （0，κ+c）和“V（x）=κ- x、对于所有x∈ [κ+c，∞). 上述第三个等式来自于一个事实，即经验随机变量是有限的，这意味着1{τκ+c≤ρ} X^τκ+c=1{τκ+c≤ρ} （κ+c），对于所有x∈ （0，κ+c）。还请注意，表达式X^τκ+c+s≥ 0，第四至第六行定义良好，自-λ{τκ+c=1{τκ+c<∞}e-λ^τκ+c。最后，第六个和第九个等式采用拉普拉斯变换恒等式（2.7b）。下面的引理导出了上述候选值函数的下界。在定理4.3（e）的证明中，证明了在条件（3.7e）下，c andidate value函数和相关的候选最优停止阈值解决了问题（3.1）。引理4.2。

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能者818

2022-6-14 09:20:00

假设条件（3.7e）保持不变，并让“V∈ C（0，∞) ∩ C（0，κ+C）由（4.3）除以（0，κ+C）和“V（x）：=κ- x、对于所有x∈ [κ+c，∞). 然后“V（x）>κ- x、对于所有x∈ （0，κ+c）。证据定义函数U∈ C（0，∞) ∩C（0，κ+C），通过设置U（x）：=“V（x）-(κ -x），对于所有x∈ (0, ∞). 我们将证明，对于所有x，U（x）>0∈ （0，κ+c）。注意，u<0可确保ν<-/2、因此，ν+2λσ- ν - 1 > |ν| - ν -1 > 0. （4.4）因此，ddxψλ（x）x=xψ′λ（x）- ψλ（x）x=μν+2λσ- ν - 1aψλ（x）x>0,18 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEY0κ+c0xU（x）图4.2。引理4.2中定义的函数，在条件（3.7e）下。对于所有x∈ (0, ∞), 根据（2.5）。也就是说，函数（0，∞) x 7→ψλ（x）/x是单调递增的。最后，应用（4.3）givesU（x）=μλ- u玟（κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）- xa=uxλ- u玟ψλ（x）xκ+cψλ（κ+c）- 1a>0，对于所有x∈ （0，κ+c），因为u<0且ψλ（x）/x<ψλ（κ+c）/（κ+c）。图4.2使用满足条件（3.7e）的参数值绘制引理4.2中定义的函数U。我们观察到U（x）≥ 0，对于所有x∈ (0, ∞), 也就是说，候选值函数满足“V（x）≥ κ - x、对于所有x∈ (0, ∞). 此外，根据引理4.2，我们可以看到“V（x）>κ-x、对于所有x∈ （0，κ+c）。κ+c处的kinkin U表示“V在该点上是不可区分的。这可以通过区分（4.3）得到“V”（κ+c）-) = -λλ - u+u（κ+c）λ- uψ′λ（κ+c）ψλ（κ+c）=-λλ - u+uλ - uCν+2λσ-νa< -λλ - u+uλ - u= -1=“V′（（κ+c）+），根据（4.4）和s i nceu<0。根据命题3.1（f），如果条件（3.7f）成立，H等于零，这表明问题3.1不允许在这种情况下唯一确定的最佳停止阈值。

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2022-6-14 09:20:04

事实上，从（3.6）可以看出bv（x）=κ-x、对于所有x∈ (0 , ∞),在条件（3.7f）下，（0，κ+c）中的每个点满足自由边界方程（3.5）。这表明任何停车时间都可以解决问题3.1，在这种情况下，选择即时停车最为方便。因此，候选最佳停止阈值为z*= κ+c，在条件（3.7f）下，以及候选值函数“V∈ C（0，∞) 定义为“V（x）：=κ- x、对于所有x∈ ( 0, ∞). 经济学解释是，当股票价格漂移率和波动率均为零时，卖空者对何时平仓不感兴趣。特别是，等待没有任何优势，因为预计股价不会下跌，但由于零贴现率，waiti ngalso没有实施任何优惠。带保证金风险和召回风险的卖空19最后，请注意条件（3.7g）是条件（3.7d）的极限情况，如r↓ 因此，由于条件（3.7d）下的候选最佳停止阈值为z*:= κ+c和候选值函数“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）：=κ给出-x、对于所有x∈ (0, ∞), 我们推测，如果条件（3.7g）成立，情况也是如此。经济学的解释是，如果股票价格的漂移率为正，贴现率为零，那么立即平仓是最佳的，因为预计股票价格会随着时间的推移而升值。4.2. 验证候选解决方案。下一个结果证实了上述候选最优停止策略和候选值函数在其相关参数制度下确实解决了问题（3.1）。定理4.3。

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2022-6-14 09:20:08

最佳停车时间τ*∈ S和值函数媫V∈ C（0，∞) 对于问题（3.1），由τ给出*= ˇτz*和媫V=“V，其中（a）z*∈ （0，rκ/（r- u)) （0，κ+c）是（3.5）和“V”的解∈ C（0，∞) ∩C（z*, κ+c）由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）=κ- x、对于所有x∈ （0，z*] ∪[κ+c，∞),如果条件（3.7a）成立；（b） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7b）成立；（c） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7c）成立；（d） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7d）成立；（e） z*= 0和“V”∈ C（0，∞) ∩ C（0，κ+C）由（4.3）除以（0，κ+C）和“V（x）=κ确定- x、对于所有x∈ [κ+c，∞), 如果条件（3.7e）保持不变。（f） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7f）成立；和（g）z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7g）保持不变。证据（a）：假设条件（3.7a）成立，在这种情况下z*∈ （0，κ+c）是（3.5）和“V”的唯一解∈ C（0，∞) ∩ C（z*, κ+c）由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）=κ-x、对于所有x∈ （0，z*] ∪[κ+c，∞). 注意“V∈ C（0，κ+C），因为（3.2c）确保“V′在z处连续*和|“V′（（κ+c））-)| < ∞, 通过检查（3.4）。另一方面，“V/∈ C（0，κ+C），sinc e“V′（z*+) > 0=“V′（z*-), 正如下面引理4.1讨论中所述。因此，标准It^o公式不能应用于工艺R+ t 7→ e-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧τκ+c）。然而，“V∈ C（0，z*] ∩C【z】*, κ+c]，自|“V′（z*+)| < ∞ 和|“V′”（（κ+c）-)| < ∞, 通过检查（3.4）。

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2022-6-14 09:20:11

因此，我们可以将Peskir（2005）20 Kristofer GLOVER和HARDY Hulley的局部时空公式应用于上述过程，以获得-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+c（λ+r）e-（λ+r）s“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）s“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+c{Xs6=z*}e-（λ+r）s“V′（Xs）dhXis+Zt∧^τκ+c{Xs=z*}e-（λ+r）s"A“V′（Xs+）-“V′（Xs-)"adlz*s（X），对于所有t≥ 0，其中本地时间进程lz*（十）量化X在z附近花费的时间*（见Peskir和Shiryaev 2006，第3.5节）。请注意，上面的最后一项为零，因为（3.2c）确保“V′（z*+) =“V′（z*-), 而恒等式“V（Xs）=1{Xs≤z*}(κ - Xs）+1{Xs>z*}“V（Xs），“V′（Xs）=-1{Xs≤z*}+ 1{Xs>z*}“V′（Xs），且{Xs6=z*}“V′（Xs）=1{Xs>z*}“V′（Xs），适用于所有s≥ 0，遵循“V”的定义。因此，我们获得-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）+Zt∧^τκ+c{Xs≤z*}e-（λ+r）s"A-uXs- （λ+r）（κ- Xs）"ads+Zt∧τκ+c{Xs>z*}e-（λ+r）s玟Xs“V′（Xs）+σXs“V′（Xs）-（λ+r）“V（Xs）ads+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）sσXs“V′（Xs）dBs=“V（X）+Zt∧^τκ+c{Xs≤z*}e-（λ+r）s"A（r- u）Xs-rκ- λ(κ - Xs）"ads+Zt∧τκ+c{Xs>z*}e-（λ+r）s"ALX“V（Xs）- （λ+r）“V（Xs）"ads+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）sσXs“V′（Xs）dBs≤“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ- Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）sσXs“V′（Xs）dBs，对于所有t≥ 0，其中不等式遵循{Xs≤z*}"A（r- u）Xs- rκ- λ(κ - Xs）"a≤ -1{Xs≤z*}λ(κ - Xs），适用于所有s≥ 0，因为命题3.1（a）确定z*<rκ/（r）- u），以及{Xs>z*}"ALX“V（Xs）- （λ+r）“V（Xs）"a=-1{Xs>z*}λ(κ - Xs），适用于所有s≥ 0，自“V满足度（3.2a）超过（z*, κ+c）。接下来，观察“V′的边界大于（0，κ+c）”，因为“V”∈ C（0，κ+C）和“V′（0+）”-这足以确保局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-具有保证金风险和召回风险的（λ+r）sσXs“V′（Xs）dbs卖空实际上是一个一致可积鞅。

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大多数88

2022-6-14 09:20:14

给定任意停止时间τ∈ S、然后应用可选采样定理得到“V（x）≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ- Xs）ds+e-（λ+r）（τ∧^τκ+c）“V"AXτ∧τκ+ca≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）t（κ- Xt）dt+e-（λ+r）（τ∧^τκ+c）"Aκ-Xτ∧^τκ+ca=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞), 因为引理4.1建立了“V（x）≥ κ - x、这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ ( 0, ∞). 另一方面，函数（0，∞) x 7→ J（x，ˇτz*)是具有数据（3.2a）和（3.2b）的Dirichlet问题的唯一解决方案，这是由于Dirichlet问题解决方案的托氏表示定理（有关适用于我们的设置的相关结果的精确公式，请参见Vigo Aguiar et al.2005，定理1）。因此，“V（x）=J（x，ˇτz*) ≤<V（x），对于所有x∈ (0, ∞), 自“V”满足（3.2a）和（3.2b）的构造。（b）：假设条件（3.7b）成立，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、对于所有x∈ (0, ∞). 然后给出了It^o公式-（λ+r）（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）=e-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+c（λ+r）e-（λ+r）s“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）s“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）s“V′（Xs）dhXis=“V（X）-Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）s"ALX“V（Xs）- （λ+r）“V（Xs）"ads-Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）sσXsdBs≤“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ- Xs）ds-Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）sσXsdBs，（4.5）对于所有t≥ 要证明上述不等式，请注意0<r- u=r-rcκ+c=rκ+c，因为假设0<rc/（κ+c）=u<r。因此，LX“V（x）- （λ+r）“V（x）=-ux- （λ+r）（κ- x） =（r- u）x- rκ- λ(κ -x）≤ （r）- u）（κ+c）- rκ- λ(κ - x） =-λ(κ - x），对于所有x∈ （0，κ+c）。请注意+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）sσxsdbs是一致可积鞅。给定任意停止时间τ∈ S、选择停止定理的应用给出了“V（x）≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ-Xs）ds+e-（λ+r）（τ∧τκ+c）（κ- Xτ∧^τκ+c）a=J（x，τ），22 Kristofer GLOVER和HARDY Hulley，对于所有x∈ (0, ∞).

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