山崎λ1 2 4 6 12 52 365∞^P 53.5721 53.2700 53.1036 53.0457 52.9877 52.9419 52.9312 52.9297^ρ0.08643 0.08799 0.08892 0.08926 0.08960 0.08987 0.08994 0.08996^VB53.6339 52.8191 51.9905 51.5509 50.9127 50.0097 49.4447 49.0871 L=50λ1 2 4 6 12 12 52 365的情况A∞^P 68.3632 66.8541 66.0011 65.7013 65.3961 65.1581 65.0978 65.0879^ρ0.11814 0.12462 0.1286 0.13006 0.13159 0.13281 0.13312 0.13318^VB77.6117 76.3951 75.2 74.5702 73.656 72.3608 71.5453 71.0280案例A，L=75λ1 2 4 6 12 52 365∞^P 53.0411 52.7344 52.5543 52.4887 52.4216 52.3682 52.3529 52.3499^ρ0.10075 0.10459 0.10697 0.10785 0.10878 0.10953 0.10974 0.10977^VB52.6127 51.8489 51.0405 50.6053 49.9712 49.0748.5135 48.1608案例B，L=50λ1 2 4 6 12 52 365∞^P 69.3832 67.8467 66.9418 66.6138 66.2712 65.9958 65.9225 65.9103^ρ0.1311 0.14061 0.14677 0.14911 0.15163 0.15372 0.15428 0.15438^VB76.6621 75.5312 74.3924 73.7837 72.8906 71.6139 70.8058 70.2938案例B，L=75表1。^P、^ρ和^vb的值满足D（V；^V*（B）≡ D（V；^V*B^P，^ρ）=^P，L=^P/V（V；^VB）≡^P/V（V；^VB；^P，^ρ）对于L=50，对于每个λ（λ=∞ 对应于经典情况）。通过负跳跃的指数L'evy过程，我们明确获得了最优破产策略和相应的权益/债务/企业价值。这些分析结果能够有效地进行数值实验，并进一步分析观察率对最优杠杆率和信贷利差的影响。未来的研究有多种渠道。首先，考虑资产价值过程包含正跳跃和负跳跃的情况是一个自然的研究方向。由于正跳跃对默认模型没有直接影响，因此预期会有类似的结果，例如，最佳屏障可能由VB给出，使得E（VB；VB）=0。

虽然本文中使用的尺度函数技术不能直接应用于双边跳跃情况，但有几种潜在的替代方法。一种方法是通过流体嵌入将相位型向上跳跃添加到频谱负L'evy过程中，并根据马尔可夫加性过程构造具有双边跳跃的L'evy过程。为此，可以用单位斜率的线性延伸代替L'evy过程的相位类型跳跃。这个过程需要考虑添加一个补充的背景马尔可夫链；详见例[30]。另一种方法是关注具有双边相位型分布跳跃的L'evy过程，并使用它们来近似一般情况。结合Asmussen等人[4]和Albrecher等人[1]的结果，这可能是可能的。其次，考虑第1.1节（1）中描述的恒定宽限期情况很重要。如前所述，本文的结果具有指数宽限期，可用于近似泊松观测下LELAND-TOFT最优资本结构模型宽限期较短的常数情况。然而，当时间较长时，需要另一种方法。一种可能的方法是使用Carr的随机化方法[18]，以Erlang随机变量或i.i.d.指数随机变量之和来近似恒定周期。如【41】所述，可以构造递归算法来计算所需的函数恒等式。致谢作者感谢匿名推荐人和联合编辑仔细阅读了论文，并提出了建设性的意见和建议。他们还感谢陈楠、塞巴斯蒂安·格里格维奇和王德源的有益评论和讨论。K、 山崎由MEXT KAKENHI第17K05377号拨款支持。

本论文得到了国家科学中心2016/23/B/HS4/00566（2017-2020）的资助。当Z.Palmowski应K.Yamazaki的邀请访问关西大学和京都大学时，部分工作已经完成。Z、 Palmowski非常感谢山崎和俊、Yano Kouji和Kumashikumagai的热情款待。附录A.破产模型（1.1）与巴黎废墟之间的关系。设G表示移位过程（Vt）负偏移的起点集- VB）t≥0，考虑一组相互独立的指数随机变量{egλ：g∈ G} ，独立于（Vt）t≥0以及gt：=sup{s≤ t:Vs≥ VB}是t之前资产价值达到或高于VB的最后一次（即偏移的起始点）。然后将具有指数宽限期的巴黎破产定义为{t>0:Vt<VBand t>gt+egtλ}。（A.1）对于换档过程（Vt）的开始时间g，在每次负偏移中，可以轻松验证（1.1）的等效性- VB）t≥0在两个泊松观测时间之间，例如Ti（g）和Ti（g）+1对于某些i（g）≥ 0，我们考虑到下一次观测的等待时间Ti（g）+1- g、 由于指数分布缺乏记忆性和强马尔可夫性，这些等待时间在分布上等于一组相互独立的指数分布随机变量。因此，（1.1）可以写成（A.1），用这些独立的指数随机变量替换EGTλ。事实上，已经在【10】中的备注1.1中表明，破产时间（1.1）和X的对应位置的联合分布与（A.1）和X的对应位置的联合分布相同（相关文献参见【50，9】。值得投资的是宽限期的随机性的影响。

为此，在表2中，我们比较了宽限期为常数且呈指数分布的情况下破产时的预期贴现资产价值（使用公共平均值λ-1). 当λ较低时，随机（指数）情况往往高估资产价值，但随着λ变大（即观察更频繁），差异变小。这意味着，当观察频繁时，我们的模型可以合理地近似恒定宽限期情况。附录B.命题证明3.1为简洁起见，在整个附录中，我们将使用符号ZT：=z- 记录VT，z∈ R、 （B.1）26 Z.PALMOWSKI，J.L.P'EREZ，B.A.SURYA，和K.YAMAZAKIλ常数指数1 4.710（4.674，4.747）6.219（6.176，6.261）2 5.795（5.753，5.838）7.014（6.964，7.064）4 6.717（6.674，6.760）7.639（7.593，7.685）6 7.125（7.070，7.179）7.929（7.872，7.985）12 7.727（7.668，7.785 5）8.289（8.229，8.349）52 8.543（8.492，8.595）8.819（8.766，8.871）365 8.886（8.824，8.947）9.025（8.964，9.087）λ常数指数1 6.238（6.192，6.283）7.749（7.692，7.807）27.434（7.388，7.480）8.589（8.537，8.642）4 8.472（8.417，8.528）9.395（9.338，9.451）6 8.825（8.770，8.880）9.584（9.530，9.638）12 9.436（9.376，9.496）9.976（9.914，10.037）52 10.184（10.125，10.242）10.444（10.385，10.503 365 10.726（10.673，10.778）10.820（10.766，10.873）案例A案例B表2。破产时的贴现资产价值-rτ-VBVτ-VB{τ-VB<∞}] 当τ-Vb是平均λ为常数和指数宽限期的破产时间-1、通过蒙特卡罗模拟显示的近似值及其95%置信区间。我们设定r=7.5%，并使用第6节规定的情况A（无跳跃）和B（有负跳跃）中给出的L'evy过程，以便（e-（r）-δ） tVt）t≥0是δ=7%的鞅。

流程的初始值为100，破产级别VB40。我们首先获得了谱负L'evy过程（Xt）t的q预解测度≥0根据（3.5）中的函数H（q+λ）（·；θ）和（B.2）I（q，λ）（x，y）：=W（q+λ）（x+y）- λZxW（q）（x- z） W（q+λ）（z+y）dz- Z（q）（x；Φ（q+λ））W（q+λ）（y），q>0，x，y∈ R、 附录D定理B.1给出了以下证明。对于任何有界可测函数h:R→ R带紧凑型支架，Ex“ZT-ze公司-qth（Xt）dt#=ZRh（y+z）R（q，λ）（x- z、 y）dy，x，z∈ R、 其中R（q，λ）（x，y）：=Z（q）（x；Φ（q+λ））Φ（q+λ）- Φ（q）λH（q+λ）(-yΦ（q））- I（q，λ）（x，-y） 。（B.3）利用定理B.1，我们给出命题3.1。VT=0的情况很简单，因此我们假设VT>0表示剩余值。通过积分定理B.1中的密度并使用（B.1），我们可以将（3.9）写成∧（r，λ）（x，z）=z（r）（x- zΦ（r+λ））Φ（r+λ）- Φ（r）λH（z）- I（x，z），（B.4），其中我们定义（z）：=ZzT-∞H（r+λ）（y；Φ（r））dy和I（x，z）：=ZzT-∞I（r，λ）（x- z、 y）dy，（B.5）泊松观测值27下的LELAND-TOFT最优资本结构模型，如下所示。命题3.1的其余证明致力于积分H和I的简化。引理B.1。对于所有y∈ R、 我们有W（R+λ）（y）- λRyW（r）（y- z） W（r+λ）（z）dz=W（r）（y）。证据我们有yW（r+λ）（y）- λZyW（r）（y- z） W（r+λ）（z）dz=yW（r+λ）（y）- λZyW（r）（z）W（r+λ）（y- z） dz公司= W（r+λ）（y）- λZyW（r）（z）W（r+λ）（y- z） dz=W（r）（y），其中最后一个等式由[43]的恒等式（6）确定。将其积分，由于W（r+λ）（0）=W（r）（0）=0，则该阻力是完整的。引理B.2。我们有，对于x，z∈ R、 I（x，z）=W（R+λ）（x- 对数VT）1{zT>0}+W（r）（x- 日志VT）1{zT≤0}- λZx-zW（r）（x）- z- u） W（r+λ）（u+zT）du1{zT>0}- Z（r）（x）- zΦ（r+λ））W（r+λ）（zT）。证据

对于zT>0，我们有zzti（r，λ）（x- z、 y）dy=ZzTW（r+λ）（x- z+y）dy- λZx-zW（r）（x）- z- u） ZzTW（r+λ）（u+y）dydu- Z（r）（x）- zΦ（r+λ）ZzTW（r+λ）（y）dy=W（r+λ）（x- 日志VT）- W（r+λ）（x- z）- λZx-zW（r）（x）- z- u） （W（r+λ）（u+zT）- W（r+λ）（u））du- Z（r）（x）- zΦ（r+λ））W（r+λ）（zT）=W（r+λ）（x- 日志VT）- W（r）（x）- z）- λZx-zW（r）（x）- z- u） W（r+λ）（u+zT）du- Z（r）（x）- zΦ（r+λ））W（r+λ）（zT），其中我们使用x- z+zT=x- 在第二个等式中记录VT（见（B.1）），在最后一个等式中记录引理B.1。另一方面，因为如[52]中的备注4.3（ii），I（r，λ）（x，y）=W（r）（x+y），y<0，（B.6）我们有z0∧zT公司-∞I（r，λ）（x- z、 y）dy=Z0∧zT公司-∞W（r）（x）- z+y）dy=W（r）（x）- z+（0∧ zT））。现在，通过将两个积分求和并使用（再次参见（B.1））W（r）（x），结果立即得到- z+（0∧ zT））=（W（r）（x- z） 如果zT>0，W（r）（x- 记录VT）如果zT≤ 0.28 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKI 我们注意到，（B.4）和引理B.2一起意味着（B.7）∧（r，λ）（z，z）=Φ（r+λ）- Φ（r）λZzT-∞H（r+λ）（y；Φ（r））dy，z∈ R、 引理B.3。对于z∈ R、 我们有h（z）=Φ（R）Z（r+λ）（zT；Φ（r））- λΦ（r+λ）Φ（r+λ）- Φ（r）W（r+λ）（zT）.（B.8）证明。首先，通过（3.5），我们得到h（r+λ）（y；Φ（r））=eΦ（r）y1+λZye-Φ（r）uW（r+λ）（u）du-λΦ（r+λ）- Φ（r）W（r+λ）（y），y∈ R、 其中，对于y<0，H（R+λ）（y；Φ（R））=eΦ（R）yf。对于zT>0，ZzTeΦ（r）yZye-Φ（r）uW（r+λ）（u）dudy=zztztueΦ（r）ye-Φ（r）uW（r+λ）（u）dydu=ZzTeΦ（r）zT- eΦ（r）uΦ（r）e-Φ（r）uW（r+λ）（u）du=Φ（r）hZzTeΦ（r）（zT-u） W（r+λ）（u）du- W（r+λ）（zT）i，henceZzTH（r+λ）（y；Φ（r））dy=ZzTeΦ（r）y1+λZye-Φ（r）uW（r+λ）（u）du-λΦ（r+λ）- Φ（r）W（r+λ）（y）dy=Φ（r）heΦ（r）zT- 1+λZzTeΦ（r）（zT-u） W（r+λ）（u）du- λΦ（r+λ）Φ（r+λ）- Φ（r）W（r+λ）（zT）i=Φ（r）hZ（r+λ）（zT；Φ（r））- 1.- λΦ（r+λ）Φ（r+λ）- Φ（r）W（r+λ）（zT）i.另一方面，对于zT∈ R、 RzT公司∧0-∞H（r+λ）（y；Φ（r））dy=RzT∧0-∞eΦ（r）ydy=eΦ（r）（zT∧0）/Φ（r）。通过对积分求和，我们得到（B.8）。 现在应用（B.4）中的引理B.2和B.3，我们得到命题3.1。附录C。

其他证明C。引理4.1的证明。对于VT>0的情况，∧（r，λ）（z，z）=EzZT-ze公司-rt{Xt≥日志VT}dt= EZT-e-rt{Xt≥记录VT-z} dt公司在z上显然是非递减的，通过有界收敛，limz↓-∞∧（r，λ）（z，z）=0。另一方面，如果VT=0，则根据命题3.1和备注3.1（1），∧（r，λ）（z，z）=r（1- J（r，λ）（0；0））=λ+rΦ（r+λ）Φ（r）。泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型29C。2、命题4.3的证明。我们从几个关键的介绍性身份开始。修复q>0。因为θzZ（q）（x- zθ） =eθx1+（q- ψ（θ））Zx-ze公司-θuW（q）（u）du,对于x 6=z，z[eθzZ（q）（x- zθ)] = -eθz（q- ψ（θ））W（q）（x- z） ，则，xZ（q）（x）- zθ) =xheθ（x-z）1+（q- ψ（θ））Zx-ze公司-θuW（q）（u）dui=θZ（q）（x- zθ） +（q- ψ（θ））W（q）（x- z） 。特别地，xZ（q）（x）- zΦ（r+λ））=Φ（r+λ）Z（q）（x- zΦ（r+λ））- λW（q）（x- z） 。（C.1）此外，对于x 6=z，xJ（q，λ）（x- zθ） =λλ+q- ψ(θ)xZ（q）（x）- zθ) -ψ(θ) - qλ+q- ψ（θ）Φ（q+λ）- Φ（q）θ- Φ（q）xZ（q）（x）- zΦ（q+λ））=λ+q- ψ（θ）θZ（q）（x）- zθ) -ψ(θ) - qλ+q- ψ（θ）Φ（q+λ）- Φ（q）θ- Φ（q）Φ（q+λ）Z（q）（x- zΦ（q+λ））+ψ（θ）- qλ+q- ψ（θ）Φ（q+λ）- θθ - Φ（q）λW（q）（x- z） 。（C.2）通过设置θ=0，我们得到以下结果。引理C.1。对于x 6=z，q>0，zJ（q，λ）（x- z0) = -xJ（q，λ）（x- z0）=qλ+qΦ（q+λ）- Φ（q）Φ（q）Φ（q+λ）H（q）（x- zΦ（q+λ））。（C.3）注意到z[ezJ（q，λ）（x- z1） ]=ezJ（q，λ）（x- z1) - ez公司xJ（q，λ）（x- z1） ，使用θ=1的（C.2），我们得到以下结果。引理C.2。对于x 6=z，q>0，z[ezJ（q，λ）（x- z1)] =ψ(1) - qλ+q- ψ（1）Φ（q+λ）- Φ（q）1- Φ（q）（Φ（q+λ）- 1） ezH（q）（x）- zΦ（q+λ））。我们还需要以下观察。引理C.3。对于zT6=0，x>z，z∧（r，λ）（x，z）=-（Φ（r+λ）- Φ（r））λH（r）（x- zΦ（r+λ））H（z）。（C.4）30 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKIProof。

通过区分引理B.2中的恒等式，对于zT6=0，通过（C.1），zI（x，z）=-λzZx公司-zW（r）（w）w（r+λ）（x- w- 日志VT）dw1{zT>0}+xZ（r）（x）- zΦ（r+λ））W（r+λ）（zT）- Z（r）（x）- zΦ（r+λ））zW（r+λ）（zT）=λW（r）（x- z） W（r+λ）（zT）+[Φ（r+λ）z（r）（x- zΦ（r+λ））- λW（r）（x- z） ]W（r+λ）（zT）- Z（r）（x）- zΦ（r+λ））W（r+λ）（zT）=Z（r）（x- zΦ（r+λ））[Φ（r+λ）W（r+λ）（zT）- W（r+λ）（zT）]。（C.5）通过（3.5）和（C.1），我们可以写出（C.6）xZ（r）（x）- zΦ（r+λ））=（Φ（r+λ）- Φ（r））H（r）（x- zΦ（r+λ））+Φ（r）Z（r）（x- zΦ（r+λ））。使用（B.5），我们得到，对于x>z和zT6=0，（C.7）zZ（r）（x）- zΦ（r+λ））H（z）= -xZ（r）（x）- zΦ（r+λ））H（z）+z（r）（x- zΦ（r+λ））H（r+λ）（zT；Φ（r））。通过（B.8）和（C.6），这等于- （Φ（r+λ）- Φ（r））H（r）（x- zΦ（r+λ））H（z）+z（r）（x- zΦ（r+λ））H（r+λ）（zT；Φ（r））- Φ（r）H（z）.此外，通过（B.8），H（r+λ）（zT；Φ（r））- Φ（r）H（z）=H（r+λ）（zT；Φ（r））- Z（r+λ）（zT；Φ（r））+λΦ（r+λ）Φ（r+λ）- Φ（r）W（r+λ）（zT）=λΦ（r+λ）- Φ（r）（Φ（r+λ）W（r+λ）（zT）- W（r+λ）（zT））。总之，我们有zZ（r）（x）- zΦ（r+λ））H（z）= -（Φ（r+λ）- Φ（r））H（r）（x- zΦ（r+λ））H（z）+λΦ（r+λ）- Φ（r）Z（r）（x）- zΦ（r+λ））（Φ（r+λ）W（r+λ）（zT）- W（r+λ）（zT））。（C.8）通过应用（B.4）中的（C.5）和（C.8），证明是完整的。 泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型31我们现在证明命题4.3。区分（3.11）并使用引理C.1、C.2和C.3给出VBE（V；VB）=-五、-1B“αψ（1）- rλ+r- ψ（1）Φ（r+λ）- Φ（r）1- Φ（r）（Φ（r+λ）- 1） VB+Pκρ（Φ（r+λ）- Φ（r））λZlog（VB/VT）-∞H（r+λ）（y；Φ（r））dy#H（r）logVVB；Φ（r+λ）- 五、-1B“（1- α)ψ(1) - r- mλ+r+m- ψ（1）Φ（r+m+λ）- Φ（r+m）1- Φ（r+m）（Φ（r+m+λ）- 1） VB-Pρ+pr+mr+mλ+r+mΦ（r+m+λ）- Φ（r+m）Φ（r+m）Φ（r+m+λ）#H（r+m）logVVB；Φ（r+m+λ）,在使用备注3.1（1）进行简化后，其减少至（4.5）。C、 3。命题4.4的证明。

根据概率表达式（3.5），q 7→ H（q）（x）- z对于x，z，Φ（q+λ））不增加∈ R、 和henceH（R）（x）- zΦ（r+λ））H（r+m）（x- zΦ（r+m+λ））≥ 1，对于x，z∈ R、 另一方面，由于ψ是严格凸的，并且在Φ（0）上严格递增，∞), 它的右逆Φ是严格凹的，即Φ（r+λ+x）- 对于x，Φ（r+x）<0，λ>0。因此，Φ（r+λ）- Φ（r）Φ（r+m+λ）- λ>0时，Φ（r+m）>1。组合这些，Φ（r+λ）- Φ（r）Φ（r+m+λ）- Φ（r+m）H（r）（x）- zΦ（r+λ））H（r+m）（x- zΦ（r+m+λ））>1。（C.9）通过注释3.1（2），并且由于（3.5）暗示H（r+λ）一致非负，我们有α（1- J（r，λ）（0；1））ez+PκρΦ（r+λ）- Φ（r）λH（z）≥ 因此，通过前面的不等式以及（B.7）、（C.9）和（4.2），L（log V，log VB）=H（r）（log V- 日志VB；Φ（r+λ））H（r+m）（对数V- 日志VB；Φ（r+m+λ））Φ（r+λ）- Φ（r）Φ（r+m+λ）- Φ（r+m）×α（1）- J（r，λ）（0；1））VB+PκρΦ（r+λ）- Φ（r）λZlog VB-记录VT-∞H（r+λ）（y；Φ（r））dy！+(1 - α)(1 - J（r+m，λ）（0；1））VB-Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））>α（1- J（r，λ）（0；1））VB+Pκρ∧（r，λ）（log VB，log VB）+（1- α)(1 - J（r+m，λ）（0；1））VB-Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））=E（VB；VB）。32 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.Yamazaki此外，因为VB≥ 五、*B、 根据命题4.1中的单调性，我们得到了E（VB；VB）≥ 0、注意*B=0表示E（VB；VB）≥ 根据命题4.1，0表示所有VB>0。现在，根据命题4.3并回顾H（r+m）是正的，VBE（V；VB）<-（Φ（r+m+λ）- Φ（r+m））H（r+m）logVVB；Φ（r+m+λ）E（VB；VB）VB≤ 0C、 4。命题4.5的证明。

将引理B.2与（C.1）和（C.5）一起使用，对于x 6=log vt和z∈ 例如zT6=0，xI（x，z）=W（r+λ）（x- 对数VT）1{zT>0}+W（r）（x- log VT）1{zT<0}-xλZx-zW（r）（w）w（r+λ）（x- z- w+zT）dw1{zT>0}-xZ（r）（x）- zΦ（r+λ））W（r+λ）（zT）=W（r+λ）（x- 对数VT）1{zT>0}+W（r）（x- log VT）1{zT<0}- λZx-zW（r）（w）w（r+λ）（x- z- w+zT）dw1{zT>0}- λW（r）（x- z） W（r+λ）（zT）- （Φ（r+λ）Z（r）（x）- zΦ（r+λ））- λW（r）（x- z） ）W（r+λ）（zT）=I（r，λ）（x- z、 zT）-zI（x，z），（C.10），其中我们使用（B.6）表示zT<0的情况。因此，在（B.4）和（B.3）中使用（C.7）和（C.10），x∧（r，λ）（x，z）=-z∧（r，λ）（x，z）+r（r，λ）（x- z-zT）。（C.11）现在我们写（3.11）asE（V；VB）=A（log V，log VB）+Pκρ∧（r，λ）（log V，log VB），（C.12），其中（x，z）：=ex- αezJ（r，λ）（x- z1) -Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（x- z0)) - (1 - α） ezJ（r+m，λ）（x- z1).将其与x和z区分开来，我们得到xA（x，z）=ex- αezxJ（r，λ）（x- z1） +Pρ+pr+mxJ（r+m，λ）（x- z0) - (1 - α） ez公司xJ（r+m，λ）（x- z1),zA（x，z）=-αezJ（r，λ）（x- z1） +αezxJ（r，λ）（x- z1)-Pρ+pr+mxJ（r+m，λ）（x- z0) - (1 - α） ezJ（r+m，λ）（x- z1) + (1 - α） ez公司xJ（r+m，λ）（x- z1） ，因此xA（x，z）=ex-zA（x，z）- αezJ（r，λ）（x- z1) - (1 - α） ezJ（r+m，λ）（x- z1).（C.13）泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型33最后，利用（C.12）中的（C.11）和（C.13），我们得出VE（V；VB）=VxhA（x，log VB）+Pκρ∧（r，λ）（x，log VB）ix=对数V=VhV-zA（对数V，z）| z=对数VB- αVBJ（r，λ）（logVVB；1）- (1 - α） VBJ（r+m，λ）（logVVB；1）- Pκρz∧（r，λ）（log V，z）| z=log VB+Pκρr（r，λ）logVVB、logVTVB我注意到（C.12）给出了VBE（V；VB）=VBhzA（对数V，z）| z=对数VB+Pκρz∧（r，λ）（对数V，z）| z=对数VBi。C、 5。引理4.2的证明。

首先我们注意到定理VII。[11]中的4，表示q≥ 0limλ→∞Φ（λ+r+m）Φ（λ+q）=1。（C.14）另一方面，恒等式（B.7）表示，对于VB>0，λΦ（r+λ）- Φ（r）∧（r，λ）（对数VB，对数VB）=Φ（r）VBVT如果VB/VT<1，Φ（r）+Rlog（VB/VT）H（r+λ）（y；Φ（r））dy如果VB/VT≥ 1，其中我们使用H（r+λ）（y；Φ（r））=exp（Φ（r）y）表示y≤ 此外，通过（3.5）中给出的H（r+λ）概率表达式的概率表达式，并使用支配收敛，我们得到了limλ→∞Zlog（VB/VT）H（r+λ）（y；Φ（r））dy=0。这与（C.14）一起给出了slimλ→∞λ+r+mΦ（λ+r+m）∧（r，λ）（log VB，log VB）=Φ（r）”VBVTΦ（r）∧ 1#.从备注3.1（1）和（C.14），我们可以得出结论，对于q≥ 0，λ+r+mΦ（λ+r+m）（1）- J（q，λ）（0；1））=λ+r+mΦ（λ+r+m）ψ（1）- qλ+q- ψ（1）Φ（q+λ）- 11- Φ（q）λ↑∞---→ψ(1) - 第一季度- Φ（q）。将这些与（4.2）相结合，我们得到（4.8）。C、 6。命题6.1的证明。修复t>0。让我们定义事件：={Nλt=1}={tλ≤ t、 tλ>t}={tλ≤ t、 S>t- Tλ}其中S：=Tλ- Tλ与参数λ呈指数分布。请注意E∩ {T-VB<t}={tλ≤ t、 VTλ<VB，S>t- Tλ}。（C.15）我们从分析（6.2）的分子开始。我们将其分解如下：f（t）：=EhP- (1 - α） VT公司-VBe-rT公司-VB{T-VB≤t} i=f（t）+f（t），（C.16）34 Z.PALMOWSKI，J.L.P'EREZ，B.A.SURYA和K。

YAMAZAKIwheref（t）：=EhP- (1 - α） VT公司-VBe-rT公司-VB{T-VB≤t} Ei，f（t）：=EhP- (1 - α） VT公司-VBe-rT公司-VB{T-VB≤t} Eci。这里，由（C.15）得出，因为S是一个独立的指数随机变量，参数λ，f（t）=EhP- (1 - α） VTλe-rTλ{Tλ≤t、 VTλ<VB，S>t-Tλ}i=EhP- (1 - α） VTλe-rTλe-λ（t-Tλ{Tλ≤t、 VTλ<VB}i=EhZtλe-λsP- (1 - α） Vs公司e-rse公司-λ（t-s） {Vs<VB}dsi=λe-λtEhZtP- (1 - α） Vs公司e-rs{Vs<VB}dsi和| f（t）|≤ （| P |+（1- α） VB）P{Nλt≥ 2} =o（t）as t↓ 求和，f（t）=λe-λtEhZtP- (1 - α） Vs公司e-rs{Vs<VB}dsi+o（t）。（C.17）另一方面，我们将（6.2）的分母变换如下：g（t）：=E1.- e-r（t∧T-VB）= 1.- e-rt+g（t）+g（t），其中g（t）：=E（e）-rt公司- e-rT公司-VB）1{T-VB≤t} E类和g（t）：=E（e）-rt公司- e-rT公司-VB）1{T-VB≤t} 欧共体.与f（t）和f（t）的计算类似，通过（C.15），g（t）=E（e）-rt公司- e-rTλ）1{Tλ≤t、 VTλ<VB，S>t-Tλ}= Ee-λ（t-Tλ）（e-rt公司- e-rTλ）1{Tλ≤t、 VTλ<VB}= λe-λtE中兴通讯（e-rt公司- e-rs）1{Vs<VB}ds,和g（t）≤ P{Nλt≥ 2} =o（t）。因此，把所有的部分放在一起，我们得到g（t）=1- e-rt+λe-λtE中兴通讯（e-rt公司- e-rs）1{Vs<VB}ds+ o（t）。（C.18）现在，从（C.17），（C.18），和中值定理，limt→0f（t）t=极限→0吨λe-λtEZt公司P- (1 - α） Vs公司e-rs{Vs<VB}ds+ o（t）= λP- (1 - α） 五{V<VB}，极限→0g（t）t=极限→0吨1.- e-rt+λe-λtE中兴通讯（e-rt公司- e-rs）1{Vs<VB}ds+ o（t）= r、 通过将前者除以后者，我们得到了索赔。泊松观测下的LELAND-TOFT最优资本结构模型35C。命题6.2的证明。

通过（3.5）和（3.7），我们可以写出，对于任何θ≥ 0和q≥ 0，J（q，λ）（y；θ）=λ+q- ψ(θ)H（q）（y；θ）-ψ(θ) - qλΦ（q+λ）- Φ（q）θ- Φ（q）H（q）（y；Φ（q+λ））.对于y 6=0，我们现在注意如下：（1）对于（i）y<0或（ii）y>0且X没有扩散分量的情况，我们有h（q）（y；Φ（q+λ））λ↑∞---→ 0（因为过程不会像[37]的练习7.6中那样向下爬行）和Φ（q+λ）-Φ（q）λ在λ>0截止点处有界（可通过ψ的凸性验证）。（2） 对于y>0且X具有扩散分量的情况，H（q）（y；Φ（q+λ））λ↑∞---→ Ey[e-qτ-{Xτ-=0}]和Φ（q+λ）-Φ（q）λλ↑∞---→ 0（因为ψ（θ）~σθasθ→ ∞ 其中σ是X的扩散系数）。因此，前面的参数暗示，对于y 6=0，limλ→∞J（q，λ）（y；θ）=H（q）（y；θ），θ≥ 假设J（q，λ）（y；θ）是随机向量（~T）的拉普拉斯变换-（λ） ，X~T-（λ） ）（其中我们用（λ）来说明对λ的依赖关系），通过L'evy连续性定理，我们得到了（▄T-（λ） ，X▄T-（λ） ）在分布上收敛到（τ-, Xτ-). 因此，使用Skorohod的表示定理（见[12]中的定理6.7）以及支配收敛，我们得到，对于V 6=VB，limλ→∞CSλ（t）=rPlimλ→∞Elog（V/VB）hP- (1 - α） VBeXT-(λ)e-rT-（λ） {T-(λ)≤t} iElog（V/VB）1.- e-r（t∧T-(λ))=rPElog（V/VB）hP- (1 - α） VBeXτ-e-rτ-{τ-≤t} iElog（V/VB）1.- e-r（t∧τ-)= CS（t）。附录D。

从[35]的定理2.7证明定理B.1，对于[0]上的任何Borel集A，∞), 在R上，和(-∞, 0]分别为ExhZτ-e-qt{Xt∈A} dti=扎赫-Φ（q）yW（q）（x）- W（q）（x）- y） idy，x≥ 0，（D.1）ExZ∞e-（q+λ）t{Xt∈A} dt公司=ZA“eΦ（q+λ）（x-y） ψ（Φ（q+λ））- W（q+λ）（x- y） #dy，x∈ R、 （D.2）ExhZτ+e-（q+λ）t{Xt∈A} dti=ZAeΦ（q+λ）xW（q+λ）(-y）- W（q+λ）（x- y）dy，x≤ 0（D.3），其中τ-定义于（3.4）和τ+：=inf{t≥ 0:Xt>0}。我们将证明z=0和computeg（x）：=ExhZT的结果-e-qth（Xt）dti，x∈ R、 一般情况如下，因为L'evy过程的空间同质性意味着RT-ze公司-qth（Xt）dt=前任-zRT-e-qth（Xt+z）dt对于x，z∈ R、 36 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKIFor x∈ R、 根据强马尔可夫性质，g（x）=ExhZτ-e-qth（Xt）dti+Exhe-qτ-g（Xτ-)1{τ-<∞}i、 （D.4）特别是，对于x<0，再次通过强马尔可夫性质，g（x）=A（x）g（0）+B（x），其中，对于x≤ 0，A（x）：=Exhe-qτ+{τ+<Tλ}i=Exhe-（q+λ）τ+i=eΦ（q+λ）x，B（x）：=ExhZτ+e-qt{t<tλ}h（Xt）dti=Z-∞h（y）eΦ（q+λ）xW（q+λ）(-y）- W（q+λ）（x- y）dy.在这里，前者的第一个等式成立，因为Tλ是一个具有参数λ的独立指数随机变量，并且符合[37]的定理3.12。后者的第二个等式是（D.3）的结果。现在，到（3.5），Exhe-qτ-A（Xτ-)1{τ-<∞}i=H（q）（x；Φ（q+λ）），x∈ R、 对于（3.5）中定义的函数H（q）。此外，通过[52]中定理4.1的证明，我们得到了-qτ-B（Xτ-)1{τ-<∞}i=W（q）（x）Z-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy-Z-∞h（y）I（q，λ）（x，-y） dy.将这些替换为（D.4），然后应用（D.1）和[52]中的备注4.3，我们得到，对于所有x∈ R、 （D.5）g（x）=g（0）H（q）（x；Φ（q+λ））+W（q）（x）Z∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy-Z∞-∞h（y）I（q，λ）（x，-y） 另一方面，利用强马尔可夫性质，我们还可以写出eg（0）=E“E”ZTλE-qth（Xt）dt+1{Xtλ>0}Z▄T-Tλe-qth（Xt）dtTλ，（Xu）0≤u≤Tλ##=γ+γ，其中γ：=E“ZTλE-qth（Xt）dt#和γ：=E“E-qTλg（XTλ）1{XTλ>0}#。（D.6）我们将在下面计算γ和γ。

首先，观察γ=EZ∞{t<tλ}e-qth（Xt）dt= EZ∞e-（q+λ）th（Xt）dt.对于γ，通过（D.2），我们可以写出γ=λEhZ∞e-（q+λ）sg（Xs）1{Xs>0}dsi=λψ（Φ（q+λ））Z∞e-Φ（q+λ）yg（y）dy，（D.7），我们将使用（D.5）中的g表达式来计算。首先，根据[52]中的身份（A.8），我们有∞e-Φ（q+λ）yZ（q）（y；Φ（q+λ））dy=ψ（Φ（q+λ））λ，（D.8）泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型37，而（3.3）给出了∞e-Φ（q+λ）yW（q）（y）dy=λ-1和henceZ∞e-Φ（q+λ）yH（q）（y；Φ（q+λ））dy=ψ（Φ（q+λ））λ-Φ（q+λ）- Φ（q）。同样，通过[52]中定理4.1的证明，我们得到了∞e-Φ（q+λ）yZ∞-∞h（z）I（q，λ）（y，-z） dzdy=ψ（Φ（q+λ））λEZ∞e-（q+λ）th（Xt）dt.在（D.7）中替换这些，并借助（D.5），γ=g（0）λψ（Φ（q+λ））hψ（Φ（q+λ））λ-Φ（q+λ）- Φ（q）i- EZ∞e-（q+λ）th（Xt）dt+ψ（Φ（q+λ））Z∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy。现在将γ的计算值代入（D.6）中，我们得到（0）=g（0）-λΦ（q+λ）- Φ（q）g（0）ψ（Φ（q+λ））+ψ（Φ（q+λ））Z∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy，因此，求解g（0），我们得到g（0）=Φ（q+λ）- Φ（q）λZ∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy。将其替换回（D.5），我们得到g（x）=Z（q）（x；Φ（q+λ））Φ（q+λ）- Φ（q）λZ∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy-Z∞-∞h（y）I（q，λ）（x，-y） dy.因此，根据需要，预解密度由（B.3）给出。参考文献[1]Albrecher，H.，Ivanovs，J.，Zhou，X.：在泊松到达时间观察到的L'evy过程的出口恒等式。Bernoulli 221364–1382（2016）[2]Albrecher，H.，Ivanovs，J.：与连续andPoisson观测下的L'evy过程的退出问题相关的非常简单的恒等式。斯托赫。过程应用程序。127（2），643–656（2017）[3]Alili，L.，Kyprianou，A.E.：关于L'evy过程的第一段、美国放置和粘贴原则的一些评论。安。应用程序。概率。15（3），2062–2080（2005）[4]Asmussen，S.，Avram，F.，Pistorius，M.R.：指数阶段类型L’evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。斯托赫。过程应用程序。

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