鲁棒数学公式和概率描述

2022-6-14 10:54:19

基于Agent的计算经济市场模型的稳健数学公式和概率描述Maximilian Beikirch*+, Simon Cramer+、Martin Frank§、Philipp OtteP+、Emma Pabich‖+、Torsten Trimborn**+++2021年3月15日抽象科学，尤其是在经济学中，基于agent的建模已成为一种广泛使用的建模方法。这些模型通常表示为一个大型差分方程组。在这项研究中，我们从两个方面讨论了基于代理的计算经济市场模型：Levy-Levy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型的数值建模和概率描述。我们推导了这两个模型的时间连续公式，并特别讨论了时间尺度对Levy-Levy-Solomon模型行为的影响。对于Franke-Westerhoff模型，我们证明了原始模型中所需的约束对于时间连续模型的稳定性不是必需的。结果表明，时间连续系统的半隐式离散化保持了这种无条件稳定性。此外，这种半隐式离散化可以按照与原始模型相当的成本进行计算。此外，我们还讨论了基于时间连续代理的计算经济市场模型的可能概率描述。特别是，我们提出了动力学理论的潜在优势，以推导基于agent模型的介观描述。例如，我们展示了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的两种概率描述。关键词：基于agent的模型、蒙特卡罗模拟、时间尺度、连续公式、介观描述、动力学理论1简介基于agent的计算经济市场（ABCEM）模型已成为经济研究中一种流行的建模工具。

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2022-6-14 10:54:22

它们可以看作是一个大的动力系统*RWTH亚琛大学，Templergraben 55，52056 Aachen，Germany+ORCiD ID:Maximilian Beikirch:0000-0001-6055-4089，Simon Cramer:0000-0002-6342-8157，PhilippOtte:0000-0002-1586-2274，Emma Pabich:0000-0002-0514-7402，Torsten Trimborn:0000-0001-5134-7643RWTH亚琛大学卡尔斯鲁厄理工学院WZL生产计量和质量管理主席，Steinbuch计算中心，Hermann von Helmholtz Platz 176344 Eggenstein Leopoldshafen，GermanyPForschungscentrum J¨ulich GmbH，Institute for Advanced Simulation，J¨ulich Supercomputing Centre，52425 J¨ulich，GermanyPRWTH亚琛大学机械工程数据科学研究所**NRW。银行，Kavalleriestrasse 22，40213 D¨usseldorf，Germany++通讯作者：torsten。trimborn@nrwbank.deas差异方程。Stigler[66]的模型可能被视为第一个ABCEM模型，但Kim和Markowitz[42，63]的模型通常被称为第一个现代ABCEM模型。ABCEM模型是经济物理学研究领域的一个著名类别。ABCEM模型的总体目标是再现世界各地金融数据中存在的持久性统计特征，即所谓的程式化事实。可能的研究问题包括：评估微观主体动力学创建的类型化事实；并估计监管对金融市场的影响。由于蒙特卡罗模拟，可以研究统计量的时间演化，例如财富分布或股票收益率分布。一些作者强调了基于agent的建模在经济学中的重要性[29、39、67]。这种方法的缺点是，这些经验结果完全依赖于计算实验。此外，许多ABCEM模型的灵敏度均为w.r.t。

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2022-6-14 10:54:31

他们的参数，在模型参数的特定选择中观察到的爆破倾向，激发了这项工作。对这些现象的深入研究表明，这种行为起源于微分方程的时间步格式，可以将其视为标准化时间步为1的显式Euler离散。众所周知，显式Euler方法在Stiff微分方程中表现不佳。在这里，如果应用显式Euler型离散化（对于ODE，显式Euler，对于SDE，显式Euler Maruyama）强制执行非常小的时间步，使时间步稳定，则我们考虑ODE/SDE Stiff。因此，我们认为差分方程的时间连续公式有助于理解几个数值问题。尽管如此，我们必须认识到，从差异方程开始，连续公式（分别为连续极限）并不是唯一定义的。据我们所知，这种方法是BCEM社区解决这一重要问题的第一项工作。在一般的经济文献中，Nelson[57]在金融波动率模型的背景下研究了时间连续模型和时间离散模型之间的联系，Turnovsky[73]在宏观经济模型的背景下研究了时间连续模型和时间离散模型之间的联系。因此，本文的目标是研究ABCEM模型的连续公式，并为ABCEM模型的稳健数学公式提出策略。此外，我们强调，时间连续动力系统可以转化为使用偏微分方程（PDE）建模的介观描述【45，60】。通过概率描述，我们指的是一个偏微分方程（PDE），其解是概率定律的密度函数。

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mingdashike22

2022-6-14 10:54:34

从微观动力学到介观描述的极限过程是动力学理论的核心，过去已成功应用于多个ABCEM模型[1、2、53、69、70、72]。与大型动力系统相比，偏微分方程解的维数通常较低，可以方便地用数学工具进行分析。显然，前面讨论的这些方面适用于更广泛的基于代理的模型。在这项工作中，我们分析了以下问题：1。连续公式和极限：我们讨论微分方程和微分方程之间的联系。我们特别强调，差分方程的连续体公式不是唯一的。此外，我们声称，连续模型，如随机和普通微分方程，与微分方程相比有几个优点。首先，数值方法可以方便地应用。此外，连续公式能够传递到概率描述。2、数值离散化和求解：数值离散化包括随机方程和常方程的时间离散化格式，以及公式中发生的微分的离散化。数值解算器包括非线性方程的数值解算器。我们强调，数值离散和求解器的选择至关重要，例如，对于Stiff普通微分方程的解，隐式方法是有益的。概率描述：从时间连续的ABCEM模型开始，我们讨论了从微观动力学开始推导介观PDE模型的几种技术。我们提出了经典的费曼-卡克公式，并介绍了动力学理论。

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nandehutu2022

2022-6-14 10:54:37

特别是，我们想指出，介观模型能够研究长时间行为，甚至可以计算解。选择连续制定ABCEM模型或作为差异方程是一个建模问题。差异方程能够模拟具有固定时滞的量的时间演化。相比之下，时间连续模型，例如普通微分方程（ODE）或随机微分方程（SDE），可以使用不同的时间步长进行离散，因此适合于建模相同数量的不同时间尺度。任何微分方程都可以解释为时间连续微分方程的缩放Euler型离散化。请注意，从差异方程开始，时间连续公式不是唯一的。此外，时间连续公式的优点是，它可以用来解释差异方程水平上的不稳定性，从而指导选择适当的离散化方案。正如前面所指出的，时间连续动力系统能够导出偏微分方程模型。这些介观模型可能只是对原始微观模型的不同描述，也可能是原始系统的近似。然而，PDE模型的优点是，它可以进行严格的分析，例如可以证明代理的建模和序列化事实的出现之间的相互联系。在本研究中，我们举例讨论了Levy-Levy-Solomon模型[48]和Franke-Westerhoff模型[31]的连续公式、连续极限和介观描述。Levy-Levy-Solomon模型是最具影响力的ABCEM模型之一，也是ABCEM模型的早期范例【63】。Levy-Levy-Solomon模型考虑了代理人的财富演化和股价演化。

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2022-6-14 10:54:40

此外，每个代理必须在每个时间步骤中决定股票和资产类别债券之间的最佳资产配置。股票价格在每一个时间步骤中都是由完全匹配供需的清算机制确定的，因此可以被视为一个理性的市场。作者声称，他们的模型能够再现金融市场中的几个典型事实，例如资产回报率的厚尾。zschichang和Lux【79】已经证明，股票价格回报率是正态分布的，模型显示出有限的规模效应。与Levy-Levy-Solomon模型相比，Franke-Westerhoff模型是最近才引入的，于2009年首次引入[31]。该模型跟踪两个代理组的时间演化，而不像Levy-Levy-Solomon模型那样跟踪单个代理的时间演化。股票价格被建模为随机差异方程，因此被建模为不平衡模型。Franke-Westerhoff模型完全由三个微分方程系统描述。据文献记载，Franke Westerhoff模型能够复制几种风格化的行为。在本研究中选择Franke Westerhoff模型的原因一方面是该模型的含蓄性，另一方面是该模型的原型性质，尤其是w.r.t.股票价格更新机制。选择Levy-Levy-Solomon模型不仅是因为受欢迎，而且是因为代理人的财富演变。ABCEM模型的关键是agent之间的相互作用。Levy-Levy Solomon考虑了代理人之间的直接互动，这些互动隐藏在股票价格的定义中。Franke-Westerhoff模型考虑了两个代表性代理，它们通过股票价格方程和转换概率进行隐式交互。本文的结构如下。

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2022-6-14 10:54:43

在下一节中，我们将在非均衡金融市场模型的背景下讨论差分方程和时间连续差分方程之间的联系。此外，我们还讨论了从ABCEM模型到偏微分方程的途径。在这里，我们特别关注动力学理论对这一极限过程的观点。在第三节中，我们介绍了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的连续公式和连续极限。我们专门讨论了Levy-Levy-Solomon模型中不同时间尺度的影响。此外，我们还表明，对时间连续的Franke-Westerhoff模型进行简单的数值离散会导致爆破。因此，我们引入了时间连续Franke-Westerhoff模型的半隐式离散化，并表明定性输出与原始模型一致。在第四节中，我们推导了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的介观描述。此外，我们将简要讨论分析结果，如稳态和显式解。我们以一个简短的结论来完成这项工作。2 ABCEM模型的数学观点我们介绍了ABCEM模型与时间连续动力系统的联系。特别是，我们陈述了时间连续模型与微分方程相比的优势。如前所述，ABCEM模型可解释为离散化动力系统。文献中的许多模型忽略了时间依赖性，分别将时间步长标准化为1[31，38，40]。事实上，许多模型都是通过微分方程来表述的。在本节中，我们阐述了微分方程和离散微分方程之间的联系。此外，我们还介绍了文献中广泛使用的非均衡市场的一般模型。

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2022-6-14 10:54:51

最后，我们讨论了从ABCEM模型到偏微分方程的过程。在这里，我们将重点放在运动学理论和介观描述的推导上。一般来说，如果固定股票价格S（t+k），则可以将市场称为非理性市场t）在每个时间步t+kt，t>0，t≥ 0，k∈ N不清除所有买入或卖出订单。这与总超额需求不为零的情况相对应。超额需求通常可以定义为代理商需求之和减去代理商供应之和。有关总超额需求的详细讨论，请参阅[54，64]。不平衡模型的一个早期示例是Beja和Goldman模型[6]。事实上，Beja和Goldman模型可以从一个理性市场模型中推导出来，其中供给等于需求，D（S）！=0。（1）代数供需关系的松弛（1）导致时间连续有序微分方程（ODE）ddtS=λD，（2）市场深度λ>0。关于Beja和Goldman模型的详细讨论，我们参考了原始论文【6】和Trimborn等人最近的出版物【46，71】。在许多型号中【3、16、24、50】的价格调整规则为：Sk+1=Sk+t Dk。（3）这里，我们对Sk使用Skas简写符号：=S（t+kt）。通常是时间步长t被归一化为1，因此我们面临一个差异方程。之前的更新规则（3）可以解释为ODE（2）的显式Euler离散化，前提是聚合超额需求是确定性的。过度需求的随机性通常是指不确定的外部影响，如新闻流或微观多样性。在Franke-Westerhoff模型[33]的情况下，总超额需求是随机的，因此这种定价机制不能被视为ODE的近似值。Franke-Westerhoff模型的原理可以解释为离散化SDE。

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可人4

2022-6-14 10:54:54

有关此特定案例的详细信息，请参阅附录A.2。Trimborn等人在[71]中介绍了一个非常普遍的非理性市场模型。由以下SDEdS=F（S，D）dt+G（S，D）dW，（4）Wiener过程W和任意函数F和G得出。扩散函数G在股价和过剩需求对噪声水平的影响范围内建模。函数F模拟了袜子价格变化对过剩需求和股票价格本身的影响。请注意，（2）是模型（4）的特例。我们对It^o随机微分方程使用通常的符号。ABCEM模型的许多市场机制都是模型（4）的特例，例如[3、4、12、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、27、30、38、41、50、51、52、59、65、78]中提出的模型。这种SDE（5）最简单的离散化是Euler-Maruyama方法。将海勒丸山方法应用于方程（4），我们得到：Sk+1=Sk+t F（Sk、Dk）+√t G（Sk，Dk）η，η~ N（0，1）。（5）在完全确定性模型的情况下，数值格式（5）与标准Euler方法相同。从数学角度来看，我们强调存在更复杂的方程（4）数值方法，这可能会显著提高逼近质量，正如Haier和Wanner所讨论的那样【37，75】。特别是对于STIFFE SDE或ODE，应考虑隐式解算器以防止稳定性问题。我们参考Kloeden和Wanner的经典参考文献【43，76】，以获取关于差异方程主题的详细介绍。在ABCEM文献中，大多数模型依赖于显式Euler（确定性动力学）或Euler Maruyama（随机动力学）离散化。通常，会重新调整和固定数值近似值，以便将时间步长设置为1。

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2022-6-14 10:54:57

因此，在ABCEM文献中，我们面临的是以下类型的微分方程Sk+1=Sk+(R)F（Sk，Dk）+G（Sk，Dk）η，（6），而不是微分方程。模型（6）代表了模型（4）的离散化版本，带有函数F、G的离散化“F、”G。最后，我们想强调的是，时间连续模型不仅从数值角度来看是有利的，而且允许用户通过简单地调整数值方案中的时间步长，在不同的粗略时间水平上模拟模型。2.1与偏微分方程的联系时间连续ODE或SDE模型的另一个优点是有可能通过介观PDE模型。与微观模型相比，我们失去了信息，因为我们没有单独跟踪每个代理。在介观层面上，一个Rather考虑了对主体的概率解释，因为PDE的解是微观定律的概率密度函数。因此，考虑每个代理人的财富，我们只知道代理人拥有一定财富的概率。质量是PDE模型的一个守恒量，这一点至关重要，否则无法将该解识别为概率密度函数。这种概率描述的优点是可以使用多种数学工具分析偏微分方程。例如，研究系统的长时间动力学、计算状态分布或推导收敛速度可能很有意义。此外，还可以从PDE模型中导出宏观描述。宏观模型的未知数是概率密度函数的矩，因此这种模型也被称为矩模型。通过测试微观偏微分方程模型的弱形式，可以直接导出力矩模型。

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2022-6-14 10:55:00

在许多情况下，此类力矩模型无法闭合，其中一个面临所谓的闭合问题【47】。矩模型的一般优点是可以快速计算聚集量，这是在ABCEM模型SE的背景下实现的。g、平均股价或平均财富。为了给出一个简单的例子，我们考虑具有财富≥ 0，i=1。。。，N我们可以假设，所有代理人的财富都投资于利率r>0的债券。因此，第i个代理的财富动态读取，ddtwi（t）=r wi（t），wi（0）=wi。（7）正如我们所看到的，除了初始条件wi之外，每个代理的动态是否相同。（7）型常微分方程的微观描述称为刘维尔方程。对于足够数量的代理人和适定的初始数据，可以直接将初始财富解释为概率函数f（w），w≥ 0，由以下Liouville型PDE传输，tf（t，w）+w（r w f（t，w））=0，f（0，w）=f（w）。（8）注意，（8）是一个简单的输运方程，（7）是微分方程（8）的特征方程。一个简单的计算表明，massRf（t，w）dw是守恒的。这是保证给定概率分布函数f（0，w）在任何时间t>0时保持概率定律的必要条件。f，m（t）：=ZR+w f（t，w）dw的第一个矩是平均财富，相应的矩模型显示：ddtm（t）=r m（t），m（0）=ZR+w f（w）dw。在这种简单的情况下，力矩模型是闭合的，可以立即计算出解。这意味着平均财富（第一时刻）独立于任何更高的动量，如第二动量矩+wf（t，w）dw，因此可以独立于任何更高阶的动量进行计算。在SDE定义的随机过程的情况下，介观模型不是输运方程，而是福克-普朗克型偏微分方程。

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2022-6-14 10:55:03

这段从SDEsto到介观的描述，被称为费曼-卡克公式（Feynman-Kac formula）[45]所充分理解。我们假设满足SDE（4）所需的所有正则性假设。然后，SDE（5）对应的福克-普朗克方程如下：，th（t，s）+s（F（s，D）h（t，s））=ss（G（s，D）h（t，s）），h（0，s）=h（s）。因此，h（t，s），s∈ R、 t>0表示（4）中定义的随机过程的概率密度。h的相空间的维数与DE系统的维数直接相关（4）。我们在一维中给出了一个简单的例子，在多维股价动态的情况下，概率密度函数的相空间变为sh（t，s），s∈ 因此，大维动力系统可以转化为高维福克-普朗克方程。大尺寸偏微分方程的缺点是计算成本高，因此对于大尺寸，与原始模型相比，没有计算优势。动力学理论动力学理论将气体描述为一个由相互作用的原子组成的大系统。这一理论可以追溯到丹尼尔·伯努利或詹姆斯·麦克斯韦的早期作品。动力学理论的核心思想是考虑大粒子系统的介观描述。前面提出的方法可以看作是粒子系统的特例，可以用动力学理论来描述。刘维尔方程是在无粒子相互作用的情况下从牛顿方程推导出来的。因此，如我们的示例（7）所示，粒子仅在其初始构型中发生变化。Feynman-Kac方法可以应用于任意维SDE系统，但得到的Fokker-Planck方程的相空间可能会变得太大且不可行。

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2022-6-14 10:55:07

存在两个著名的动力学极限，它们避免了量纲问题，并描述了从微观动力学到介观描述的过程，即玻耳兹曼梯度极限和平均场极限。这两个极限都已进行了深入分析，目前仍需进行研究[9、28、44、55]。在Boltzmann梯度极限中，考虑了粒子的二元相互作用，由此产生的介观模型是Boltzmann于1871年首次提出的气体动力学Boltzmannequation【10，14】。在平均场设置中，我们更愿意考虑一个粒子与所有其他粒子场的相互作用。平均场方程的经典例子是弗拉索夫-泊松方程，由弗拉索夫于1938年推导【74】。弗拉索夫-泊松方程模拟了等离子体中的带电粒子。这些动力学极限需要被理解为微观粒子动力学的近似值，并且仅在大量粒子的情况下有效【35】。只要给出微观动力学的某种对称结构，就可以应用这些极限。由于动力学模型的相空间与一个粒子的动力学维度一致，因此计算成本的降低是巨大的。还有一个从动力学方程到宏观模型的链接，如Euler或Navier-Stokes方程。这些联系可以通过玻耳兹曼方程的矩模型获得，该模型具有相应的渐近极限[26，36，62]。在过去的十年里，动力学理论已经应用于各种生物和社会经济系统[7、8、56、60]。在这种情况下，我们谈论的是代理，而不是物理粒子。另一方面，基于agent的系统对生命科学和社会经济现象的建模迅速增加[11、34、61]。

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2022-6-14 10:55:10

有几个动力学模型的例子是从现有的基于代理的模型中衍生出来的【1、2、60、70、72】。我们的目的是给出一个微观财富相互作用的玩具例子，这个例子可以方便地用动力学理论来研究。与之前一样，我们考虑配备财富保险的金融代理人≥ 0和动态，ddtwi=NNXk=1wk- wi，wi（0）=wi。（9） Bouchaud、M'ezard【13】和Pareschi【60】之前已经对这种动态进行了研究。为了推导微观ODE系统（9）的平均场极限，可以方便地引入以下工具。定义1。给定向量x：=（x，…，xN）T∈ RdN，xi：=（xi，…，xdi）∈ Rd，i=1。。。，n然后，经验度量（或原子概率度量）uNx定义为，uNx（x，…，xd）=NNXi=1δ（x- xiδ（xd- xdi）。经验测量能够将微观ODE系统（9）的解与相应平均场方程的解联系起来。Picard-Lindel¨of定理保证了（9）的唯一解的存在性，我们将其表示为w（t）=（w，…，wN）∈ （R+）N。然后我们测试相应的经验测量值uNw（t，w），w∈ R+使用测试函数φ（w）和计算，ddtZR+φ（w）uNw（t，w）dw=NNXk=1ddtφ（wk（t））=NNXk=1wφ（wk（t））ddtwk（t）=NNXk=1wφ（wk（t））NNXj=1wj（t）- wk（t）=NNXk=1wφ（wk（t））ZR+wuNw（t，w）dw- wk（t）=ZR+wφ（w）ZR+wuNw（t，w）dw- wuNw（t，w）dw。在这种概率设置中，测试函数可以理解为随机变量的可观察数量，例如，在恒等式φ（w）=w的情况下，我们获得概率定律的期望值。请注意，经验度量w.r.t w的导数并不直接适用。将经验测度与测试函数φ（w）相乘并进行积分后，可以通过部分积分将导数w.r.t.w移到测试函数上。

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2022-6-14 10:55:14

变分微积分中的这个标准方法允许我们将一点明智地声明的经验度量与一个积分方程联系起来。因此，经验测量unw是平均场PDE的aweak解，tf（t，w）+wZR+wf（t，w）dw- wf（t，w）= 0，（10），初始条件f（0，w）=NNPk=1δ（w- 工作）。平均场PDE（10）是一个积分微分方程，它在许多因素的限制下模拟系统（9）的行为。根据Dobrushin或Neunzert的理论，可以严格证明微观系统与平均场方程的收敛性【28，58】。第4节针对Levy-Levy Solomonmodel对平均场方程进行了严格推导。3连续极限和稳健公式在本节中，我们将借助LevyLevy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型讨论ABCEM模型的稳健公式。正如引言中所指出的，这两种模型在结构上非常不同。Levy-Levy-Solomon模型考虑了纳根人，而Franke-Westerhoff模型可以看作是一个双主体模型。我们介绍了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的可能连续公式。此外，我们在Levy-Levy-Solomon模型中展示了不同连续公式对财富演变的影响。此外，我们还讨论了不同数值方法对Franke-Westerhoff模型行为的影响。所有呈现的结果都是使用SABCEMM模拟器生成的，该模拟器可在GitHub上免费获得【68】。对于用于获得结果的所用伪随机数生成器，请参见表4.3.1连续统限制。在本节中，我们介绍了Levy-Levy-Solomon和Frankewesterhoff模型的时间连续版本。与ABCEM文献中的通常情况一样，这些模型最初被公式化为差异方程。

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2022-6-14 10:55:17

显然，这种连续极限并不是唯一定义的，在Levy-Levy-Solomon模型的情况下，我们讨论了代理动力学中的几种不同时间离散化。因此，我们关注Levy-Levy-Solomon模型中不同时间离散化的影响，并推导Franke-Weserho ff模型的连续极限，该模型在显式Euler离散化的情况下表现出稳定性问题。附录A.2中详细讨论了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的连续版本。Levy-Levy-Solomon模型在下面，我们分别介绍了时间尺度时间步长t>0，以便在第二步中执行连续极限。将原始Levy-Levy-Solomon模型解释为显式Euler离散化的结果，其中t设为1，财富演化的一般时间离散化版本由：w（t+t） =w（t）+t“（1- γ（t））r+γ（t）S（t+t）-S（t）t+Z（t）S（t）#w（t）。（11）有关所有参数和功能的正确定义，请参阅附录a.2。注意债券收益率r和股票收益率（t+t）-S（t）t+Z（t）S（t）是速率，因此在时间上具有比例。方程（11）表示ODE的显式Euler离散化，ddtw（t）=“（1- γ（t））r+γ（t）滴滴涕（t）+Z（t）S（t）#w（t），其中时间差dTs（t）近似于前向差异商（t+t）-S（t）t、为了研究模型的时间连续版本，我们需要适当确定投资者的时间尺度。我们想强调的是，存在着几个合理的时间表。

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可人4

2022-6-14 10:55:20

首先，我们研究了代理在其决策中考虑的最近时间步数（由变量mi表示）随时间变化的情况，即：(R)mi：=bmitc。使用显式Euler离散化的不同时间步的结果如图1所示。正如文献[5]所指出的，原始模型中约90%的最优投资决策γiin位于文献[0.01，0.99]中区间的边界。有趣的是，在之前引入的内存变量时间缩放的情况下，该模型特征发生了变化。对于足够小的t最优投资决策（γi）都位于（0.01，0.99）中，而不是在边界上。这可以用非常小的优化范围和大回报历史的平滑效果来解释。对于t=0.1极端决策的百分比减少到72%，对于t=0.01所有最优投资决策都位于内部。请注意，这些陈述是基于100多次运行的平均结果。或者，我们可以假设投资者的记忆不随时间扩展，即对应于代理人记忆的时间步数始终是恒定的。模拟表明，使用非缩放内存，即使用固定时间步数的内存，可以在所有选定的时间步中观察到显式Euler离散化的振荡价格（参见图2）。平均运行100次以上还表明，对于任何选定的时间离散化，极端决策的百分比保持在大约90%左右。Levy-Levy-Solomon模型进一步研究的可能性有待于未来的研究。Franke-Westerhoff模型与Levy-Levy-Solomon模型类似，我们将Franke-Westerhoff模型解释为一个具有t=1。

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nandehutu2022

2022-6-14 10:55:24

在这种假设下，我们在Franke-Westerhoff模型中引入了代理人动力学的以下重标度版本，作为迈向时间连续模型的第一步(t>0），nf（t+t） =nf（t）+t nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））- t nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc）），nc（t+t） =常闭（t）+t nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc））- t nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））。（12） 0 50 100 150 200 250 300 350 400时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（a）t=0.50 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（b）t=0.10 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（c）t=0.050 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 200000时间步长101102103104105价格（对数刻度）（d）t=0.01图1：具有缩放记忆变量和不同时间离散化的时间连续Levy-Levy-Solomon模型的模拟。其他参数如表1所示，σγ=0.2。有关模型的详细定义，请参阅附录a.2。动力学（12）的相应常微分方程（ODE）由下式给出，ddtnf（t）=nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））- nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc）），ddtnc（t）=nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc））- nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））。（13）由于股票价格动态包含随机项，我们将原始模型解释为一个统一的Mayurama离散化。因此，我们得到以下重新标度的股价动态，P（t）=P（t- t） +ut DF W（t）+√tu（nf（t）σf+nc（t）σc）η，η~ N（0，1）。（14）有关DF Wwe的详细定义，请参阅附录a.2。方程式（14）对应的SDE为，dP=uDF W（t）dt+u（nf（t）σf+nc（t）σc）dW。

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2022-6-14 10:55:28

（15） 0 50 100 150 200 250 300 350 400时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（a）t=0.50 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000时间步长100101102103104105价格（对数刻度）（b）t=0.10 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000时间步长100101102103104105价格（对数刻度）（c）t=0.050 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 200000时间步长101100101102103104价格（对数刻度）（d）t=0.01图2：具有固定记忆变量和不同时间离散化的时间连续Levy-Levy-Solomon模型的模拟。其他参数如表1所示，σγ=0.2。SDE按照It^o的意义进行解释，并使用SDE的常用符号。因此，时间连续的Franke-Westerhoff模型读取，dP（t）=uDF W（t）dt+u（nf（t）σf+nc（t）σc）dW，ddtnf（t）=nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））- nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc）），ddtnc（t）=nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc））- nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））。（16）我们通过缩放ODE系统（12）和SDE（15）从原始Franke Westerhoff模型推导出ODE-SDE系统（16）。有关FrankeWesterho FFF模型的详细介绍，请参阅附录a.2。为了阐明导出的连续介质极限的有效性，我们进行了数值试验。我们首先使用Franke和Westerhoff提出的参数运行模型，并选择时间步长t待定t=1。定性结果与原始模型相同（见图3）。如果我们将原教旨主义者的噪声级改为σf=1.15，我们就会得到动力学的放大（见图4）。我们所说的爆破是指方程的数值解在特定时间趋于一致。这是一个不受欢迎的模型特征，因为模型参数的微小变化导致模型不可行。这是预期的，因为唯一的区别是缺少切换概率的附加约束（17）（参见。

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2022-6-14 10:55:40

附录A.2中的备注1）。02468价格0 200 400 600 800 1000 1400 1600 1800 200000.51倍股份基金会图表图3：带有显式Euler离散化的Franke Westerhoff模型。表3.02468Price0 200 400 600 800 1000 120000.51 TimesharesFundementalistChartistFigure 4:Franke-Westerhoff模型动力学中的爆破与显式Euler离散化。参数如表3所示，σf=1.15。人们可能会认为，大的时间步长t=1可能是数值不稳定的原因。图5显示，即使对于时间步长，我们仍然会得到爆破t=0.1。爆炸的原因可见于图6。nf（t）和nc（t）的值保留[0，1]的区间，同时保持关系nf（t）+nc（t）=1。随后，这导致价格计算失败。Franke和Westerhoff似乎已经意识到了这种模型行为，因为他们在[32，33]中陈述了以下附加约束，πcf（a（tk-1））=最小值{1，νexp（a（tk-1））}，πfc（a（tk-1） =最小值{1，νexp(-a（tk-1））），（17）到2009年推出的原始模型。这一附加约束明确保证了宪章派和原教旨主义者nf，nc分数的界限[0，1]。因此，这一额外的02468价格0 100 200 300 400 500 600 70000.51倍股票基金会图表图5：采用显式Euler离散化的Franke-Westerhoff模型的动力学放大。参数如表3所示，σf=1.15和t=0.1.02468价格1140 1145 1150 1155 1160 1165 1170 117500.51分时基金会图表图6：使用显式Euler离散化放大Franke Westerhoff模型的不稳定性。完整图见图4。参数如表3所示，σf=1.15。约束可防止动力学崩溃。

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2022-6-14 10:55:43

我们将在下一节3.2中说明，通过应用改进的时间离散化，该约束可以变得多余。3.2 Franke-Westerho ff模型的稳健公式在本节中，我们进一步分析了Franke-Westerho ff模型在未实施附加约束（17）的情况下的稳定性问题。我们首先表明，连续SDE ODEsystem（16）是稳定的，没有约束（17）。基于这一结果，我们证明了在应用改进的半隐式时间离散化时，连续系统对所有参数集都保持了稳定性。在上一节中，我们已经用数值方法证明了动力学的爆破是由于违反了代理分数的界限[0，1]引起的。命题1表明，这些违规行为是由数值格式引起的，并不是从连续动力学本身继承来的。提案1。SDE-ODE系统（16）的任何解都保留在集合V中：=R×U，U：={（x，x）T∈ R | x≥ 0，x≥ 0，x+x≤ 1}.有关证明，请参阅附录A.1。命题1表明，观测到的爆破是通过SDE-ODE系统的离散化引入的（16）。为了避免不稳定性，我们引入了以下半隐式Euler离散化，P（t+t） =P（t）+tuDF W（t）+√tu（nf（t）σf+nc（t）σc）η，η~ N（0，1），nf（t+t） =nf（t）+t[常闭（t+t） πcf（a（t，P，nf，nc））- nf（t+t） πfc（a（t，P，nf，nc））]，nc（t+t） =常闭（t）+t[nf（t+t） πfc（a（t，P，nf，nc））- nc（t+t） πcf（a（t，P，nf，nc））]。（18）在附录A.2中，我们展示了半隐式格式（18）可以用显式格式重写（见等式（37））。因此，显式格式和半隐式格式的计算成本具有可比性。该方案满足一阶收敛速度。这个半隐式格式（18）保留了系统（16）的不变性质，这是一个很强的稳定性结果。提案2。

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2022-6-14 10:55:47

对于所有人t>0并纠正初始条件（P（t）、nf（t）、nc（t））∈ V数值解（P（t+kt），nf（t+k）t），nc（t+kt）（）∈ 五、 k=0，1。。。，由（18）中的方案定义的N对于任意数量的N保留在集合V中∈ N和步长t>0。有关证明，请参阅附录A.1。这表明，改进的数值离散化方法可以保持SDE-ODE系统在任何时间步的不变性t>0和常数的任意选择。与原始模型相比，这是一个巨大的优势，原始模型是由微分方程组成的。特别是，半隐式离散化使得Franke Westerhoff在[32]中引入的附加约束（17）变得多余。我们以半隐式离散化的数值示例（18）作为结论，该示例显示了半隐式时间离散化的有效性。02468价格0 200 400 600 800 1000 1400 1600 1800 200000.51倍股份基金会图表图7：具有半隐式离散化的Franke Westerhoff模型。参数如表3所示，σf=1.15.4概率描述在本节中，我们从时间连续动力系统出发，推导出相应的介观描述。更准确地说，我们推导了Levy-Levy-Solomon模型简化版本的平均场极限。此外，我们利用费曼-卡克公式给出了弗兰克-韦斯特霍夫模型的概率描述。02468价格0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200000.51倍股份基金会图表图8：具有半隐式离散化的Franke Westerhoff模型。参数如表3所示，σf=1.15和t=0.1.4.1 Levy-Levy-Solomon模型在本节中，我们要推导LevyLevy-Solomon模型简化版本的平均场限。

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2022-6-14 10:55:53

我们假设投资倾向γ是常数，微分Z:R→ R≥0连续可微且导数|˙Z |≤ B、 B>0是有界的。此外，我们假设股息不是随机的。因此，N个代理的时间连续Levy-Levy-Solomon模型变成，˙wi（t）=（1- γi）r wi（t）+γiwi（t）˙S（t）+Z（t）S（t），wi（0）=wi，S（t）=NNPk=1γkwk（t），i=1。。。，N、到目前为止，我们还没有明确的ODE系统，因为我们微分方程的右侧取决于股票价格的微分。财富动态可以用矩阵形式重写为，我- diag（γ）w（t）γtγTw（t）˙w（t）=诊断（e）- γ） rw（t）+NγTw（t）诊断Z（t）γw（t），其中w（t）∈ RN×1>0，γ=（γ，…，γN）T∈ （0，1）N，e：=（1，…，1）T∈ RNand I公司∈ RN×Nis身份矩阵。我们定义，∑（w（t））：=我- diag（γ）w（t）γtγTw（t）.为了导出显式ODE系统，我们需要反转矩阵∑（w（t））。注意，∑（w（t））=I- P（w（t）），与保持，P（w（t））：=γw（t）γTw（t）。。。γnwn（t）γTw（t）γγ. . . γn.逆∑-1（w（t））可以通过Neumann级数展开计算，因为| | P（w（t））| |<1成立。我们得到，∑-1（w（t））=我- P（w（t））-1=∞Xk=0Pk（w（t））=I+1- αP（w（t）），其中α：=迹线P（w（t））=γTw（t）NPi=1γiwi（t）。因此，我们的显式ODE系统读取，（˙w（t）=∑-1（w（t））诊断（e）- γ） rw（t）+NγTw（t）∑-1（w（t））诊断Z（t）γw（t），w（0）=w，（19），对于我们得到的第i个代理，˙wi（t）=rwi（t）+γiwi（t）Z（t）NNPj=1（1- γj）γjwj（t），wi（0）=wi。提案3。我们假设股息Z:R→ R≥0连续可微且导数|˙Z |≤ B、 B>0是有界的。那么ODE系统（19）有一个唯一的解决方案[0，∞|).有关详细证明，请参阅附录a.1.4.1.1简化Levy-Levy-Solomon模型的平均场强极限。我们采用经验方法推导了ODE系统的平均场强极限方程（19）。

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2022-6-14 10:55:57

其想法是将系统（19）的解与平均方程的解联系起来。与解决方案xn相关的经验度量：=w（t），γ，w（t），γ，wN（t），γN, t型∈ [0, ∞) is，uNXN：[0，∞) → P（R>0×（0，1）），uNXN（t）：=uNXN（t，w，γ）=NNXk=1δ（w- wk（t））δ（γ- γk），其中P（R>0×（0，1））表示R>0×（0，1）上的概率测度空间。我们考虑测试函数φ∈ Cc（R>0×（0，1））并计算，ddthuNXN（t），φ（w，γ）i=NNXk=1ddtφ（wk（t），γk）=NNXk=1wφ（wk（t），γk）·˙wk（t）=NNXk=1wφ（wk（t），γk）·r wk（t）+γkwk（t）Z（t）NNPj=1（1- γj）γjwj（t）=uNXN（t），wφ（w，γ）·r w+*uNXN（t），wφ（w，γ）·γw Z（t）NNPj=1（1- γj）γjwj（t）+。这里，我们使用h·i作为R>0×（0，1）上Linner乘积的简写符号。Wede FINE，F[uNXN]（t）：=NNXk=1（1- γk）γkwk（t）=huNXN（t），（1- γ） γwi=ZR>0Zwγ（1-γ） uNXN（γ，w，t）dγdw，因此我们得到，ddthuNXN（t），φ（γ，w）i=*uNXN（t），wφ（w，γ）“r w+γw Z（t）F[uNXN]（t）#+。然后，我们通过分段积分得到*uNXNt型+w“r w+γw Z（t）F[uNXN]（t）#uNXN！，φ+=0。（20）方程（20）是平均场PDE的弱形式，tf（t，w，γ）+wr w f（t，w，γ）+γw Z（t）Rwγ（1- γ） f（t，w，γ）dwdγf（t，w，γ）= 0。（21）为了严格证明平均场极限，我们采用了Dobrushin最初使用的方法【28】。关键思想是推导出一个稳定性估计，该估计能够证明ODE系统（19）收敛于平均场方程（21）。我们遵循Golse的陈述【35】。收敛性是在概率测度P空间中得到的，我们使用了wasserstein距离。出于我们的目的，我们只需要1-Wasserstein距离，定义如下2。设u和ν是R>0×（0，1）上的两个概率测度。

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2022-6-14 10:56:00

然后，度量值ν和u之间的1-wassersteindinance distW（ν，u）由distW（ν，u）：=infπ定义∈∏（ν，u）ZR×R | x- y |π（dxdy），其中∏（ν，u）是R>0×（0，1）×R>0×（0，1）上的概率测度空间，使得π的边缘分别为u和ν，即Rdπ（·，y）=du（·）和Rdπ（x，·）=dν（·）。此外，我们还引入了可测映射Φ：R>0×（0，1）的前推概念→ R> 0×（0，1）并测量u∈ P（R>0×（0，1））。度量值ν∈ 如果ν（B）=u（Φ），则P（R>0×（0，1））由ν=Φ#u表示-1（B）），适用于任何集合B R> 0×（0，1）。请注意，平均场方程（21）可以重写为概率度量，并且需要从分布的意义上理解解。我们准备用平均场方程（21）证明ODE系统（19）的平均场极限。定理1。设fbe为R>0×（0，1）上的概率密度，使得0<ZR×（0，1）wγ（1- γ） f（w，γ）dwdγ<∞.然后是平均场偏微分方程的柯西问题(tf（t，w，γ）+wr w f（t，w，γ）+γw Z（t）Rwγ（1-γ） f（t，w，γ）dwdγf（t，w，γ）= 0，f（0，w，γ）=f，w∈ R> 0，γ∈ （0，1），t∈ [0，T]，T∈ R> 0，在C（R>0×（0，1），L（R>0×（0，1））中有唯一的弱解。然后，初始条件为XN=（w，γ，…，wN，γN）的ODE系统˙wi（t）=rwi（t）+γiwi（t）Z（t）NNPj=1（1-γj）γjwj（t），wi（0）=wi，其中γi∈ （0，1），wi∈ R> 0有一个唯一的解，表示为XN=（w（t），γ。。。，wN（t），γN），t∈[0，T]。如果经验测量值，uXN=NNXi=1δ（w- wi（0））δ（γ- γi），饱和度，偏差（uXN，f）→ 0，作为N→ ∞,然后，uXN*f（t，·）L，作为N→ ∞,在概率测度的弱拓扑中，其中L表示R>0×（0，1）上的Lebesgue测度。此外，收敛速度由distW（uTtXN，f（t，·）L）给出≤ eM tdistW（uXN，f）→ 0，作为N→ ∞ 对于每个t∈ [0，T]。我们的目的是展示这种介观描述与微观试剂动力学相比的优势。

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2022-6-14 10:56:03

作为一个简短的例子，我们提出了推导平均场方程21显式解的可能性。显式解显式解可以用以下公式导出，f（t，w，γ）=cwexp{-（ln（w）- B（t，γ））}。这里，c>0表示归一化常数，通过在方程（21）中插入ansatz，可以很容易地获得函数B（t，γ）。因此，B由，B（t，γ，A）=tZ给出r+γZ（s）A（s）ds+~c，~c∈ R、注意，B通过操作符A（t）：=Z Zwγ（1）隐式依赖于函数f- γ） f（t，γ，w）dwdγ。因此，为了获得固定点方程的显式解，A（t）：=Z Zwγ（1- γ） cwexp公司{-（ln（w）- B（t，γ，A））}dwdγ，需要对每个时间t进行求解。因此，我们可以推断该解为alog正态概率分布的类型。4.2 Franke Westerho ff模型我们考虑以下时间连续的SDE-ODE模型，dP=unfφ（F- P）1- uncχdt+unfσf+ncσc1- uncχdW，ddtnf=ncπcf（a）- nfπfc（a），ddtnc=nfπfc（a）- ncπcf（a）。（22）请注意，我们已经将天真的时间连续限制重新格式化为显式ODE SDEsystem。为了确保适配性，我们假设χ∈ （0，1）保持不变。正如第3.1节中Levy-Levy-Solomon模型所讨论的，我们强调，我们对时间标度的选择是几种可能的方法中的一种。为了简单起见，我们通过定义n=nf来减少系统的尺寸- nc。然后可以立即将动力学重写为dP=u1+nφ（F- P）1- u1-nχdt+u1+nσf+1-nσc1- u1-nχdW，ddtn=（1-n） πcf（a（P，n））- （n+1）πfc（a（P，n））。（23）SDE-ODE系统（23）的右侧是连续可区分的，因此是Lipschitz连续的。这立即给出了有限时间间隔上唯一解的存在性。以下命题是著名的费曼卡克公式的简单应用【45】。提案4。

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2022-6-14 10:56:06

我们假设微分系统（23）定义的随机过程有一个概率分布函数，它是一个C函数。我们用f（t，p，n），p，n表示相应的概率分布函数∈ R、然后满足以下福克·普朗克型方程，tf（t，p，n）+phu1+nφ（F- p） 1个- u1-nχif（t，p，n）+ nh（1- n） πcf（a（p，n））- （n+1）πfc（a（p，n））if（t，p，n）=u（1+nσf+1-nσc）（1- u1-nχ）ppf（t，p，n）。（24）PDE（24）可根据稳态、收敛速度或相位转换进行分析。我们研究了可观测量的稳态行为。我们考虑方程（24）的弱形式，并用函数ψ（n）=δ（n）进行检验。因此，我们得到函数g（t，p）=f（t，p，n=0）的弱形式，满足，tg（t，p）+phuφ（F- p） 1个-uχig（t，p）=u（σf+σc）（1-uχ)ppg（t，p）。（25）为简单起见，我们定义了常数bφ：=uφ1-uχ，σ：=u（σf+σc）（1-uχ），相应的稳态方程如下：，phbφ（F- p） ig公司∞（p）=σppg公司∞（p）。稳态解为高斯型，由g给出∞= bc exp公司(-bφσ（p- p F）），归一化常数bc>0.5。结论在本研究中，我们推导了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型中使用的差异方程的时间连续公式。以LevyLevy-Solomon模型为例，我们证明了这些连续公式不是唯一的。然后，我们表明，标准Franke-Westerhoff模型中存在的数值不稳定性不存在于时间连续的SDE-ODE系统中，而是源于显式欧拉离散化，并且可以通过应用适当的半隐式欧拉离散化来缓解。在这篇手稿中，我们展示了正确选择数值分离对模型行为的内在重要性。

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2022-6-14 10:56:10

因此，我们强烈建议在连续水平上建模ABCEM模型，因为这允许研究不同的时间尺度和不同时间离散化的影响，其中一些可能适合克服额外的稳定性约束。此外，连续公式允许推导DE模型，该模型可能比原始ABCEM模型更易于分析。此外，我们还介绍了动力学理论，并给出了平均场极限。我们推导了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型变体的介观描述。特别是，我们能够描述介观Levy-Levy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型的稳态分布的解的形状。这些例子已经揭示了获得介观模型分析结果的机会。此外，我们可以预期，与微观系统相比，介观描述通常会显著降低成本。根据德国卓越战略——EXC-2023生产互联网——390621612，由德意志基金会（DFG，德国研究基金会）资助。这项研究得到了RWTH启动计划的支持。T、特里姆伯恩感谢汉斯·博克勒·斯蒂夫通的支持。附录A。1分析命题1的证明如下：证明。由于我们考虑了一个随机It^o积分，很明显P仍然存在于R中。它仍然表明U：{（x，x）T∈ R | x≥ 0，x≥ 0，x+x≤ 1} 是方程（13）的不变集。我们定义f（x，x）：=xπcf- xπfc，f（x，x）：=xπfc- xπcf，并显示U+：={（x，x）T的不变性∈ R | x≥ 0，x≥ 0}.

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