随机因素风险模型的最优超额损失再保险

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收藏 2022-06-14

英文标题：
《Optimal excess-of-loss reinsurance for stochastic factor risk models》
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作者：
Matteo Brachetta and Claudia Ceci
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
We study the optimal excess-of-loss reinsurance problem when both the intensity of the claims arrival process and the claim size distribution are influenced by an exogenous stochastic factor. We assume that the insurer\'s surplus is governed by a marked point process with dual-predictable projection affected by an environmental factor and that the insurance company can borrow and invest money at a constant real-valued risk-free interest rate $r$. Our model allows for stochastic risk premia, which take into account risk fluctuations. Using stochastic control theory based on the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we analyze the optimal reinsurance strategy under the criterion of maximizing the expected exponential utility of the terminal wealth. A verification theorem for the value function in terms of classical solutions of a backward partial differential equation is provided. Finally, some numerical results are discussed.
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中文摘要：
研究了当理赔到达过程的强度和理赔规模分布都受到外生随机因素影响时的最优超额损失再保险问题。我们假设，保险公司的盈余由一个标记点过程控制，该过程具有受环境因素影响的双重可预测预测预测，并且保险公司可以以不变的实值无风险利率（r$）借款和投资。我们的模型考虑了考虑风险波动的随机风险溢价。利用基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机控制理论，分析了终端财富期望指数效用最大化准则下的最优再保险策略。给出了一个关于倒向偏微分方程经典解的值函数的检验定理。最后，讨论了一些数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Optimal_excess-of-loss_reinsurance_for_stochastic_factor_risk_models.pdf
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可人4

2022-6-14 11:32:12

随机因素风险模型的最优超额损失再保险。*马特奥。brachetta@unich.itCeciC*cceci@unich.itAbstractWe研究当索赔过程的强度和索赔额分布都受到外生随机因素的影响时，最优超额损失再保险问题。我们假设，保险公司的盈余由一个标记点过程控制，该过程具有受环境因素影响的双重可预测预测预测，并且保险公司可以以恒定的实值无风险利率r借款和投资。我们的模型考虑了随机风险溢价，其中考虑了风险波动。利用基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机控制理论，分析了以终端财富的期望指数效用最大为准则下的最优再保险策略。提供了一个关于后向偏微分方程经典解的值函数验证定理。最后，讨论了一些数值结果。关键词：最优再保险、超额损失再保险、汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程、随机因素模型、随机控制。JEL分类代码：G220、C610。MSC分类代码：93E20、91B30、60G57、60J75.1。本文从保险人的角度出发，以终端财富的期望效用最大化为准则，分析了最优超额损失再保险问题。众所周知，再保险保单是非常有效的风险管理工具。事实上，通过风险分担协议，他们允许保险公司减少意外损失，稳定经营业绩，提高业务能力等。在最常见的安排中，比例损失和超额损失合同引起了人们极大的兴趣。

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kedemingshi

2022-6-14 11:32:15

前者在【Irgens和Paulsen，2004年】【Liu和Ma，2009年】【Liang等人，2011年】【Liang和Bayraktar，2014年】【Zhu等人，2015年】【Brachetta和Ceci，2019年】以及其中的参考文献中进行了深入研究。这些文章对后者进行了研究：【Zhang等人，2007年】和【Meng和Zhang，2010年】中，作者证明了在破产概率最小化的标准下，超额损失政策的最优性，剩余过程由带漂移的布朗运动描述；在【Zhao等人，2013年】中，盈余过程采用Cram'er-Lundberg模型，有可能投资于Heston模型所代表的金融市场；在【Sheng等人，2014年】和【Li和Gu，2013年】中，风险资产由恒定方差弹性（CEV）模型描述，而盈余则分别由Cram'er-Lundberg模型及其差异近似值建模；最后，在【Li等人，2018年】中，作者研究了在剩余过程的离散近似下的稳健最优策略。所引用著作的共同点是潜在风险模型，即克拉姆·隆伯格模型（或其差分近似值）。在精算文献中，这是非常重要的*意大利基耶蒂佩斯卡拉大学经济系。参见【Lundberg，1903年】，【Schmidli，2018年】。重要性，因为它足够简单，可以执行计算。事实上，索赔到达过程是由具有恒定强度的泊松过程（或扩散模型中的布朗运动）描述的。然而，正如许多作者所注意到的那样（例如【Grandell，1991】，【Hipp，2004】），它需要推广，以便考虑所谓的规模波动和风险波动，即。

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能者818

2022-6-14 11:32:18

保单持有人数量的变化和潜在风险的修正。我们工作的主要目标是扩展经典风险模型，将索赔到达过程建模为一个标记点过程，该过程具有双重可预测投影，受外源性随机过程的影响。更准确地说，索赔到达过程的强度和索赔规模分布都受到Y的影响。由于这种环境因素，我们实现了对任何风险运动的合理现实描述。例如，在汽车保险中，我可以描述天气状况、路况、交通量等。所有这些因素通常都会影响事故概率和损坏大小。在【Liang和Bayraktar，2014】和【Brachetta和Ceci，2019】中，作者研究了最佳比例再保险，在这方面做出了一些值得注意的尝试。在前者中，作者考虑了一个马尔可夫调制的复合泊松过程，其（不可观测）

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可人4

2022-6-14 11:32:21

例如，自2016年6月以来，欧洲中央银行（ECB）确定了负存款利率，即银行在ECB内隔夜存款的利息。现在是-0.4%. 因此，在我们的框架中，r∈ R、我们指出，不存在由于缺乏风险资产而导致的一般性损失，因为只要保险和金融市场是独立的（这是非寿险的标准假设），最优再保险策略就只取决于无风险资产（见【Brachetta和Ceci，2019】及其参考文献）。因此，根据文献中的现有结果，最终可以获得最优投资策略。本文的组织结构如下：在第二节中，我们建立了模型假设并描述了最大化问题；在第三节中，我们推导了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程；在第四节中，我们研究了HJB推导所建议的候选最优策略；在第5节中，我们为验证参数提供了值函数的概率表示；最后，在第6节中，我们进行了一些数值模拟。2、模型制定网(Ohm, F、 P，{Ft}t∈[0，T]）是一个具有满足通常条件的过滤的完整概率空间，其中T>0是保险人的时间范围。我们通过一个标记点过程{（Tn，Zn）}n来模拟保险损失≥1具有受环境

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kedemingshi

2022-6-14 11:32:24

，Zn是可测量的。

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mingdashike22

2022-6-14 11:32:27

索赔到达过程Nt=m（（0，t）×[0+∞)) =n≥1{Tn≤t} 是一个具有{λ（t，Yt）}t的点过程∈[0，T]。现在我们将F（z，Yt）解释为索赔额的条件分布。有关标记点过程理论的详细信息，请参见[Br'emaud，1981]。该结果是[Ceci和Gerardi，2006]中命题2.4的扩展。提案2.1。n=1。和A.∈ B（[0+∞))P[锌]∈ A |英尺-] =AdF（z，Yt）dt×dP- a、 s。。特别是，这意味着P[Zn∈ A |英尺-n] =P[锌∈ A | FYTn]=AdF（z，YTn）a.s.，其中FT-nis由停止时间Tn:FT生成的σ-代数的严格过去-n： =σ{A∩ {t<τn}，A∈ 英尺，吨∈ [0，T]}。证据参见附录A。这意味着在我们的模型中，索赔到达强度和索赔规模分布都受到随机因素Y的影响。这是一个合理的假设；例如，不动产保险Y可以描述天气、路况、交通量等。有关该主题的详细讨论，另请参见【Brachetta和Ceci，2019年】。备注2.1。让我们观察一下，对于任何{Ft}t∈[0，T]-可预测和[0，D]-索引进程{H（T，z）}T∈[0，T]这样T+∞|H（t，z）|λ（t，Yt）dF（z，Yt）dt< ∞,流程MT=t型+∞H（s，z）m（ds、dz）- ν（ds，dz）t型∈ [0，T]原来是一个{Ft}T∈[0，T]-鞅。如果在附加项中T+∞|H（t，z）|λ（t，Yt）dF（z，Yt）dt< ∞,然后{Mt}t∈[0，T]是平方可积{Ft}T∈[0，T]-鞅和[Mt]=Et型+∞|H（s，z）|λ（s，Ys）dF（z，Ys）dst型∈ [0，T]。此外，{Mt}t的可预测协变量过程∈[0，T]的计算公式为Mt型=t型D | H（s，z）|λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds，即{Mt- Mt} t型∈[0，T]是{Ft}T∈[0，T]-鞅。在此框架中，我们定义了截至时间t的累计索赔额∈ [0，T]如下所示=n≥1Zn{Tn≤t}=t型+∞zm（ds，dz），保险准备金过程用t=R描述+TCSD- Ct，有关这些结果和其他相关主题，请参见。

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能者818

2022-6-14 11:32:30

[巴斯，2004年]。其中，R>0是初始财富和{ct}t∈[0，T]是非负{Ft}T∈[0，T]-表示总保险风险保费的适配流程。在后半部分中，我们假设ct=c（t，Yt），对于可测函数c（t，y），ETc（t，Yt）dt< +∞.现在我们允许保险人购买超额损失再保险合同。通过本协议，保险人选择α保留水平∈ [0, +∞) 对于任何未来的索赔，保险人应对超过该阈值α的所有金额负责（例如，α=0表示完全再保险）。对于任何动态再保险策略{αt}t∈[0，T]，保险人的盈余过程由RαT=R给出+t（cs- qαs）ds-t型+∞（z）∧ αs）m（ds，dz），其中{qαt}t∈[0，T]是非负{Ft}T∈[0，T]-表示再保险费率的自适应流程。此外，我们假设以下假设成立。假设2.1。（超额损失再保险保费）让我们假设对于任何再保险策略{αt}t∈[0，T]相应的再保险保费过程{qαT}T∈[0，T]允许以下表示：qαT=q（T，Yt，αT）ω ∈ Ohm, t型∈ [0，T]，其中q（T，y，α）：[0，T]×R×[0+∞) → [0, +∞) 是α中的连续函数，具有连续的偏导数q（t，y，α）α,q（t，y，α）α中的α∈ [0, +∞), 这样1。q（t，y，α）α≤ 0表示所有（t，y，α）∈ [0，T]×R×[0+∞), 由于保险费相对于保护水平不断增加；2、q（t，y，0）>c（t，y）（t，y）∈ [0，T]×R，因为不允许分出额获得无风险的收益。在论文的其余部分，q（t，y，0）α应作为右导数。假设2.1形式化了过程{qαt}t的最低要求∈[0，T]为再保险保费。在接下来的示例中，我们简要回顾了最著名的保费计算原则，因为它们广泛用于解决最优再保险问题。

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kedemingshi

2022-6-14 11:32:33

在附录B中，读者可以找到以下公式（2.9）和（2.10）的严格推导。示例2.1。最著名的保费计算原则是期望值原则（简称EVP）。基本推测是，再保险人评估其保费是为了弥补预期损失加上取决于预期损失的负荷。在我们的框架中，根据EVP，再保险保费由以下表达式给出：q（t，y，α）=（1+θ）λ（t，y）+∞（z）- z∧ α） dF（z，y），（2.9），对于某些安全荷载θ>0。示例2.2。另一个重要的保费计算原则是差异保费原则（缩写VP）。在这种情况下，再保险人的负担与损失的方差成比例。更正式地说，再保险保费接受以下表示：q（t，y，α）=λ（t，y）+∞（z）- z∧ α） dF（z，y）+θλ（t，y）+∞（z）- z∧ α） dF（z，y），（2.10），对于某些安全荷载θ>0。见【Young，2006年】。从现在起，我们假设以下条件：Eeη∫Ter（T-s） q（s，Ys，0）ds< +∞ （2.11）此外，保险人可以以固定利率r借贷资金∈ R、更准确地说，每次盈余为正值时，保险人都会将其借出，并在R>0时获得利息收入（或在R<0时支付利息费用）；相反，当盈余为负时，保险人借款并支付利息费用（如果r<0，则获得利息收入）。在这些假设下，与给定策略α相关的总财富动态由以下SDE描述：dXαt=dRαt+rXαtdt，Xα=R.（2.12）。可以验证（2.12）的解由以下表达式给出：Xαt=Rert+ter（t-s）c（s，Ys）- q（s，Ys，αs）ds公司-t型+∞er（t-s）（z）∧ αs）m（ds，dz）。

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mingdashike22

2022-6-14 11:32:38

（2.13）我们的目标是找到最佳策略α，以最大化终端财富的预期指数效用，即发行Pα∈AE1.- e-ηXαT= 1.- infα∈AEe-ηXαT,其中η>0是风险规避参数，A是所有可接受策略的集合，如下所述。定义2.1。我们用所有可容许策略的集合表示，即所有非负{Ft}t的类∈[0，T]-可预测过程αT。用符号Atwe表示同一类，仅限于从T开始的策略∈ [0，T]。备注2.2。观察条件（2.11）是否暗示Ee-ηXαT< +∞ α ∈ A、事实上我们有e-ηXαT= Ee-ηRerT-η∫Ter（T-s）c（s，Ys）-q（s，Ys，αs）ds公司-η∫T∫+∞er（T-s）（z）∧αs）m（ds，dz）≤ Eeη∫Ter（T-s） q（s，Ys，0）ds.与通常的随机控制问题一样，我们关注相应的动力学问题：ess infα∈吃了e-ηXαt，X（t）| Ft, t型∈ [0，T]，（2.14），其中XαT，X（T）表示保险人从（T，X）开始的财富过程∈ [0，T]×R在T时评估。3、HJB公式为了解决优化问题（2.14），我们引入了值函数v:[0，T]×R→(0, +∞) 与之相关的isv（t，x，y）。=infα∈吃了e-ηXαt，X（t）| Yt=y. （3.1）该函数预计可解Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：infα∈[0,+∞)Lαv（t，x，y）=0（t，x，y）∈ [0，T]×Rv（T，x，y）=e-ηx（x，y）∈ R、（3.2）其中，Lα表示与常数控制α相关联的偶（Xαt，Yt）的马尔可夫发生器。在下面的内容中，我们用C1,2b表示所有有界函数f（t，x，…，xn）的类，其中n≥ 1，有界一阶导数ft，fx、，f与空间变量相关的有界二阶导数fx、，fxn。引理3.1。设f:[0，T]×R→ R是C1,2b中的函数。

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nandehutu2022

2022-6-14 11:32:40

所有常数策略α的随机过程（Xαt，Yt）的马尔可夫发生器∈ [0, +∞) 由以下表达式给出：Lαf（t，x，y）=ft（t，x，y）+fx（t，x，y）rx+c（t，y）- q（t，y，α）+ b（t，y）fy（t，x，y）+γ（t，y）fy（t，x，y）++∞f（t，x- z∧ α、 y）- f（t，x，y）λ（t，y）dF（z，y）。（3.3）证明。对于任何f∈ C1,2b，将It^o公式应用于随机过程f（t，Xαt，Yt），我们得到如下表达式：f（t，Xαt，Yt）=f（0，Xα，Y）+tLαf（s，Xαs，Ys）ds+Mt，其中Lα在（3.3）和Mt中定义=tγ（s，Ys）fy（s，Xαs，Ys）dW（y）s+t型+∞f（s，Xαs- z∧ α、 Ys）- f（s，Xαs，Ys）m（ds、dz）- ν（ds，dz）.为了完成证明，我们必须证明{Mt}t∈[0，T]是{Ft}T∈[0，T]-鞅。第一学期，我们观察到tγ（s，Ys）fy（s，Xαs，Ys）ds公司< ∞,因为偏导数是有界的，并且使用假设（2.2）。对于第二项，可以使用f的有界性和条件（2.6）。备注3.1。由于偶（Xαt，Yt）是一个马尔可夫过程，所以任何马尔可夫控制的形式都是αt=α（t，Xαt，Yt），其中α（t，X，y）表示一个合适的函数。通过用αtin（3.3）替换α，可以很容易地获得与一般马尔可夫策略相关的生成器Lαf（t，x，y）。为了简化优化问题，我们给出了一个初步结果。备注3.2。让g：R→ [0, +∞) 是g（0）=0的可积函数。对于任何α∈ [0, +∞), 以下等式成立：+∞g（z∧ α） dF（z，y）=αg′（z）’F（z，y）dzy∈ R、其中'F（z，y）。=1.- F（z，y）。事实上，通过部件集成，我们可以得到+∞g（z∧ α） dF（z，y）=αg（z）dF（z，y）++∞αg（α）dF（z，y）=g（α）F（α，y）- g（0）F（0，y）-αg′（z）F（z，y）dz+g（α）[1- F（α，y）]=-αg′（z）F（z，y）dz+αg′（z）dz=αg′（z）（1- F（z，y））dz。（3.4）现在让我们考虑ansatz v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） φ（t，y），这是由以下命题驱动的。提案3.1。

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可人4

2022-6-14 11:32:43

假设存在一个函数φ：[0，T]×R→ (0, +∞) 以下柯西问题的解决方案：φt（t，y）+b（t，y）φy（t，y）+γ（t，y）φy（t，y）+ηer（t-t） φ（t，y）-c（t，y）+infα∈[0,+∞)ψα（t，y）= 0，（3.5），最终条件φ（T，y）=1，y∈ R、式中ψα（t，y）。=q（t，y，α）+λ（t，y）αeηzer（T-t） \'F（z，y）dz，α∈ [0, +∞). （3.6）然后函数v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） φ（t，y）（3.7）解决了（3.2）中给出的HJB问题。证据从表达式（3.7）我们可以很容易地验证eηxer（T-t） Lαv（t，x，y）=φt（t，y）- ηer（T-t） φ（t，y）c（t，y）- q（t，y，α）+ b（t，y）φy（t，y）+γ（t，y）φy（t，y）++∞eη（z∧α） er（T-t） φ（t，y）- φ（t，y）λ（t，y）dF（z，y）。根据备注3.2，取g（z）=eηzer（T-t）- 1，我们可以用更方便的方式重写最后一个积分：φ（t，y）λ（t，y）+∞eη（z∧α） er（T-t）- 1.dF（z，y）=φ（t，y）λ（t，y）αηer（T-t） eηzer（t-t） \'F（z，y）dz。现在，我们通过方程（3.6）定义ψα（t，y），得到以下等效表达式：eηxer（t-t） Lαv（t，x，y）=φt（t，y）- ηer（T-t） φ（t，y）c（t，y）+b（t，y）φy（t，y）+γ（t，y）φy（t，y）+ηer（t-t） φ（t，y）ψα（t，y）。以α为界∈ [0, +∞), 根据（3.5），我们在（3.2）中找到了PDE。（3.2）中的最终条件紧接着定义。前面的结果建议关注函数（3.6）的最小化，这是下一节的重点。最优再保险策略在本节中，我们研究以下最小化问题：infα∈[0,+∞)ψα（t，y），（4.1），其中ψα（t，y）：[0，t]×R→ (0, +∞) 定义见（3.6）。特别是，我们提供了最优再保险策略的完整特征。在续集中，我们假设0≤ F（z，y）<1（z，y）∈ [0, +∞) ×R.提案4.1。假设ψα（t，y）在α中是严格凸的∈ [0, +∞) 让我们定义一下 [0，T]×R如下：A=（t，y）∈ [0，T]×R |-q（t，y，0）α≤ λ（t，y）.

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能者818

2022-6-14 11:32:51

（4.2）如果方程式-q（t，y，α）α=λ（t，y）eηαer（t-t） \'\'F（α，y）（4.3）允许（0+∞) 对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A，用α（T，y）表示，那么最小化问题（4.1）允许唯一解α*（t，y）∈ [0, +∞) 由α给出*（t，y）=0（t，y）∈ A^α（t，y）（t，y）∈ [0，T]×R\\A.（4.4）证明。函数ψα（t，y）在α中是连续的∈ [0, +∞) 定义（见假设2.1）和任何（t，y）∈ [0，T]×R其导数由以下表达式给出：ψα（t，y）α=q（t，y，α）α+λ（t，y）eηαer（t-t） \'F（α，y）。（4.5）由于ψα（t，y）在α中是凸的∈ [0, +∞) 根据假设，if（t，y）∈ 雅典娜ψ（t，y）α≥ 0，然后是α*（t，y）=0，因为导数ψα（t，y）α在α中增加，在（0+∞). 否则，如果（t，y）∈ [0，T]×R\\n然后ψ（t，y）α<0和α*（t，y）与ψα（t，y）的唯一驻点重合，即^α（t，y）∈ (0, +∞). 让我们注意到它是通过假设存在的，并且它是唯一的，因为ψα（t，y）是严格凸的。根据前面的命题，我们观察到λ（t，y）是保险人的一个重要阈值：只要完全再保险的边际成本在区间（0，λ（t，y）]内，最佳选择就是完全再保险。不幸的是，检验ψα（t，y）在α中是否严格凸并不总是容易的∈ [0, +∞)或者不是。在下一个结果中，这样的假设被放宽，而需要（4.3）的解的唯一性。提案4.2。假设方程（4.3）允许唯一解^α（t，y）∈ (0, +∞)对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A.此外，让我们假设q（t，y，^α（t，y））α> -λ（t，y）eη^α（t，y）er（t-t）\'F（α（t，y），y）z（t，y）∈ [0，T]×R\\A.（4.6）那么最小化问题（4.1）允许唯一解α*（t，y）∈ [0, +∞) 由（4.4）给出。证据回顾命题4.1的证明，如果（t，y）∈ 雅典娜ψ（t，y）α≥ 0和α*（t，y）=0。

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能者818

2022-6-14 11:32:54

对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A，假设存在唯一的驻点α（T，y）∈ (0, +∞).通过简单计算，使用（4.6），我们注意到ψ^α（t，y）α> 0，因此^α（t，y）是唯一的极小值，这就完成了证明。下一个结果涉及（4.3）解的存在性。特别是，有必要要求索赔额分布为重尾分布，这是非人寿保险中的一个相关案例（见【Rolski等人，1999年，第2章】），再加上再保险费的技术条件。提案4.3。假设再保险保费q（t，y，α）等于limα→+∞q（t，y，α）α=l∈ 兰德从这个意义上讲，索赔规模分布是重尾的：+∞ekzdF（z，y）=+∞ k>0，y∈ R、然后，对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A，方程（4.3）至少允许（0+∞).证据重尾分布的以下性质是我们假设的一个众所周知的含义：limz→+∞ekz？F（z，y）=+∞ k>0，y∈ R、因此，根据方程式（4.5），对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\Alimα→+∞ψα（t，y）α=limα→+∞q（t，y，α）α+λ（t，y）eηαer（t-t） \'F（α，y）= +∞.另一方面，我们知道ψ（t，y）α< 0 （t，y）∈ [0，T]×R\\A.因此，ψα（t，y）α在α中连续∈ [0, +∞), 存在^α（t，y）∈ (0, +∞) 诸如此类ψ^α（t，y）α= 0.现在我们将注意力转向命题4.1的另一个重要假设，即ψα（t，y）的凸性。读者可以很容易地看到，再保险保费凸性起着核心作用。提案4.4。假设再保险保费q（t，y，α）在α中是凸的∈ [0, +∞) andF（z，y）=（1- e-ζ（y）z{z>0}对于某些函数ζ（y），使得0<ζ（y）<ηmin{erT，1}y∈ R、那么（3.6）中定义的函数ψα（t，y）在α中是严格凸的∈ [0, +∞).证据

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能者818

2022-6-14 11:32:58

回顾表达式（3.6），有必要证明以下项的凸性：αeηzer（T-t） \'F（z，y）dz。为此，让我们计算它的二阶导数：eηαer（T-t）ηer（T-t） \'F（α，y）+\'F（α，y）z.现在括号中的术语是ηer（T-t） e类-ζ（y）α- ζ（y）e-ζ（y）α>0t型∈ [0，T]。证明是完整的。根据命题2.1，上述索赔规模分布的假设可以理解为假设索赔呈指数形式有条件地分布到Y。E、 g.如果q在α中是凸的。4.1. 期望值原理现在我们研究示例2.1中引入的期望值原理的特例。提案4.5。在EVP（见等式（2.9））下，最优再保险策略α*（t）∈[0, +∞) 由α给出*（t） =e-r（T-t）对数（1+θ）η，t∈ [0，T]。（4.7）证明。使用备注3.2，我们可以将方程（2.9）改写如下：q（t，y，α）=（1+θ）λ（t，y）+∞z dF（z，y）-α′F（z，y）dz.因此，我们有q（t，y，α）α= -（1+θ）λ（t，y）(R)F（α，y）α ∈ [0, +∞).对于α=0，我们有ψ（t，y）α=q（t，y，0）α+λ（t，y）<0（t，y）∈ [0，T]×R，因此A= 根据命题4.1，极小值属于（0+∞). 现在我们寻找静态点，即方程（4.3）的解，在这种情况下如下：（1+θ）λ（t，y）(R)F（α，y）=λ（t，y）eηαer（t-t） \'F（α，y）。（4.8）通过求解该方程，我们得到了（4.7）给出的唯一解。为了证明它与（4.1）的唯一极小值一致，有必要证明Ψα*（t）（t，y）α> 0.为此，请注意Ψα*（t）（t，y）α=q（t，y，α*（t）（）α+λ（t，y）eηα*（t） er（t-t）ηer（T-t） \'\'F（α*（t），y）+\'\'F（α*（t），y）z> -（1+θ）λ（t，y）\'\'F（α*（t），y）z+λ（t，y）eηα*（t） er（t-t）\'\'F（α*（t），y）z=0。证明是完整的。备注4.1。公式（4.7）由【Zhao等人，2013年】发现（见方程式3.31，第508页）。我们指出，这是一种完全确定的策略。

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nandehutu2022

2022-6-14 11:33:02

这一事实与执行副总裁的使用而非基础模型的使用密切相关；事实上，在【Zhao等人，2013年】中，作者考虑了EVP下的Cram'er-Lundberg模型。从经济学的角度来看，通过等式（4.7）可以很容易地表明，最优留存水平随着利率和风险规避而降低；相反，再保险人的安全负荷在增加。此外，到期时间的敏感性取决于r的符号。（4.7）的另一个相关方面是，它独立于索赔规模分布。在作者看来，这个结果似乎很不现实。事实上，任何超额损失合同的认购人都强烈担心可能发生的极端事件，因此预计索赔分配将发挥重要作用。事实上，在【Brachetta和Ceci，2019年】以及其中的参考文献中，EVP下的最佳比例保险证明是确定性的4.2，这并不奇怪。方差溢价原则本小节旨在推导方差溢价原则下的最优策略（参见示例2.2）。提案4.6。假设ψα（t，y）在α中是严格凸的∈ [0, +∞) 安德利姆兹→+∞eηmin{erT，1}z'F（z，y）=l，（4.9），对于某些l>0（最终l=+∞).在VP（见等式（2.10））下，最优再保险策略α*（t，y）是以下方程式的唯一解：eηαer（T-t） +2θα- 1.\'F（α，y）=2θ+∞αz dF（z，y）。（4.10）证明。证明基于命题（4.1）。通过方程式（2.10），我们得到其导数：q（t，y，α）α=λ（t，y）(R)F（α，y）（2θα- 1) - 2θλ（t，y）+∞αz dF（z，y）。很明显，（4.2）中定义的集合是空的，因为对于任何（t，y）∈ [0，T]×R-q（t，y，0）α=λ（t，y）(R)F（0，y）+2θλ（t，y）+∞z dF（z，y）>λ（t，y）。因此，极小值应与ψα（t，y）的唯一驻点重合，即。

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能者818

2022-6-14 11:33:05

（4.10）的解决方案。为了证明这一点，我们需要确保（4.10）的解的存在。为此，我们注意到ψ（t，y）α= -2θλ（t，y）+∞z dF（z，y）<0。另一方面，对于α→ +∞, 通过（4.9），我们得到limα→+∞ψα（t，y）α=λ（t，y）limα→+∞eηαer（T-t） +2θα- 1.\'F（α，y）- 2θ+∞αz dF（z，y）> 因此，通过ψα（t，y）的连续性，存在一个点α*∈ (0, +∞) 因此Ψα*（t，y）α= 0. 这样的解是唯一的，因为根据假设，ψα（t，y）是严格凸的。与命题4.5相反，命题4.6中给出的最佳保留水平仍然取决于

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kedemingshi

2022-6-14 11:33:13

此时α*（t，y），函数ψα（t，y）是严格凸的，因为Ψα*（t，y）α= -ζ（y）Ψα*（t，y）α+λ（t，y）e-ζ（y）α*ηer（T-t） eηα*er（T-t） =λ（t，y）e-ζ（y）α*ηer（T-t） eηα*er（T-t） >0。因此α*（t，y）是命题4.4中唯一的极小化子。与方程（4.7）相反，显式公式（4.11）保持对托氏因子Y的依赖性。此外，以下结果是正确的。备注4.3。假设F（z，y）=（1- e-ζ（y）z{z>0}对于某些函数ζ（y），使得ζ（y）>0y∈ R、我们考虑两种不同的再保险安全负荷θEVP，θVP>0，分别参考EVP和VP。此外，让我们用α表示*EVP（t）和α*VP（t，y）EVP和VP下的最佳保留水平，分别在方程（4.7）和（4.11）中给出。这很容易证明t型∈ [0，T]α*VP（t，y）> α*执行副总裁（t）y：ζ（y）<2θVPθEVP≤ α*EVP（t）另有规定。从实际角度来看，只要随机因素波动导致比率参数ζ（y）高于阈值2θVPθEVP，通过预期值原则评估的最佳保留水平就会大于方差原则。验证定理定理5.1（验证定理）。假设φ：[0，T]×R→ (0, +∞) 是有界经典解φ∈ C1,2（（0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）到柯西问题（3.5），这样φy（t，y）≤ C（1+| y |β）（t，y）∈ [0，T]×R，（5.1）对于某些常数β，C>0。那么函数v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） φ（t，y）（见方程式（3.7））是方程式（3.1）中的值函数。作为副产品，战略α*t、 =α*建议4.1中描述的（t，Yt）是一种最优控制。证据根据命题3.1，方程式（3.7）中定义的函数v（t，x，y）解决了HJB问题（3.2）。

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大多数88

2022-6-14 11:33:17

因此，对于任何（t，x，y）∈ [0，T]×RLαv（s，XαT，X（s），Yt，y（s））≥ 0s∈ [t，t]，α∈ At，其中{Xαt，X（s）}s∈[t，t]和{Yt，y（s）}s∈[t，t]表示时间s时（2.12）和（2.1）的解∈[t，t]，从（t，x）开始∈ [0，T]×R和（T，y）∈ 分别为[0，T]×R。根据It^o的公式，我们得到v（T，XαT，X（T），Yt，y（T））=v（T，X，y）+TtLαv（s，Xαt，X（s），Ys）ds+MT，（5.2）带{Mr}r∈[t，t]由Mr定义=rtγ（s，Ys）vy（s，Xαt，X（s），Ys）dW（y）s+rt公司+∞v（s，Xαt，X（s）- z∧ α、 Ys）- v（s，Xαt，X（s），Ys）m（ds、dz）- ν（ds，dz）. （5.3）为了证明{Mr}r∈[t，t]是{Ft}t∈[0，T]-局部鞅，我们使用局部化参数，取τn.=inf{s∈ [t，t]| Xαt，X（s）<-n∨ |Ys |>n}，n∈ N、读者可以很容易地检查{τN}N∈Nis是一个非递减的停止时间序列，如limn→+∞τn=+∞. 对于Mr的扩散项，使用假设（5.1）和（2.2），我们注意到T∧τntγ（s，Ys）vy（s，Xαt，X（s），Ys）ds公司= ET∧τntγ（s，Ys）e-2ηXαt，X（s）er（t-t）φy（s，Ys）ds公司≤ CnE公司T∧τntγ（s，Ys）ds< ∞ n∈ N、其中Cn>0是一个常数，取决于N。对于跳跃项，根据条件（2.7）和2.1，我们得到T∧τnt+∞|v（s，Xαt，X（s）- z∧ α、 Ys）- v（s，Xαt，X（s），Ys）|ν（ds，dz）= ET∧τnt+∞e-ηXαt，X（s）（ez∧α- 1） φ（s，Ys）ν（ds，dz）≤CnET∧τnt+∞ezν（ds，dz）< ∞,其中▄Cn表示依赖于n的正常数。因此{Mr}r∈[t，t]原来是一个{Ft}t∈[0，T]-局部鞅与{τn}n∈Nis是它的本地化序列。现在，用T取（5.2）的期望值∧ τ在T的位置，我们得到e[v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T∧ τn））| Ft]≥ v（t，x，y）（t，x，y）∈ [0, ∧τn]×R，α∈ At，n∈ N、让我们注意到e[v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T∧ τn））]≤Ce-2ηner（T-t）≤C，其中▄C>0是一个常数。因此，{v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T）∧ τn））}n∈Nis一致可积随机变量序列。

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能者818

2022-6-14 11:33:20

根据概率论的经典结果，它几乎肯定会收敛。利用{τn}n的单调性和有界性∈N、连同{Xαt，X（s）}s的非爆炸∈[t，t]和{Yt，y（s）}s∈[t，t]（见（2.13）和（2.3）），取n的限值→ +∞ 我们得出结论，e[v（T，XαT，X（T），Yt，y（T））| Ft]=limn→+∞E[v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T∧ τn））| Ft]≥ v（t，x，y）t型∈ [0，T]，α∈ 在作为副产品，自α*（t，y）在命题4.1中给出，实现了（4.1）中的最大值，我们得到了Lα*v（t，x，y）=0，重复上述计算，我们得到等式infα∈吃了e-ηXαt，X（t）| Yt=y= v（t，x，y），即α*t、 =α*（t，Yt）是最优控制。根据定理5.1，值函数（3.1）可以描述为解到偏微分方程（PDE）（3.5）的变换。然而，除了非常特殊的情况外，没有明确的表现主义。下面的结果通过费曼-卡克定理提供了概率表示。提案5.1。假设φ：[0，T]×R→ (0, +∞) 是有界经典解φ∈C1,2（（0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）到柯西问题（3.5），使得条件（5.1）完全满足。然后值函数（3.1）接受以下表示：v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） E类e∫TtηeR（T-s）infα∈[0,+∞)ψα（s，Ys）-c（s，Ys）ds | Yt=y, （5.4）式中，ψα（t，y）是（3.6）中定义的函数。证据紧接着是定理5.1和φ（t，y）的Feynman-Kac表示。备注5.1。我们参考【Heath和Schweizer，2000】了解偏微分方程（3.5）解的存在性和唯一性。6、数值结果在本节中，我们展示了一些数值结果，主要基于命题4.5和4.7。

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能者818

2022-6-14 11:33:23

我们对

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kedemingshi

2022-6-14 11:33:32

然而，即使对于无风险利率的正值，距离也不容忽视（见上图，r=0.05）。图4:EVP（红色）和VP（蓝色）下无风险利率对最优策略的影响。在图5中，我们研究了最优策略对时间范围变化的响应。这两个案例表现出相同的行为，这受到利率符号的强烈影响。事实上，如果r<0，保留水平会随着时间的推移而增加，而如果r>0，最佳策略会随着时间的推移而降低。图5:EVP（红色）和VP（蓝色）下的时间范围对最优策略的影响。最后，由于命题5.1，我们能够通过模拟Y的轨迹来数值近似值函数。图形结果（在VP下）如下图6所示。图6：初始时间的值函数v（0，x，y）。A、附录命题2.1的证明。根据方程式（2.8），对于任何H（t，z）=HtA（z），且{Ht}t∈[0，T]任意非负{Ft}T∈[0，T]-可预测的过程和A.∈ B（[0+∞)) 我们得到了T+∞HtA（z）m（dt，dz）= En≥1HTn{Zn∈A} {Tn≤T}= ETHtλ（t，Yt）AdF（z，Yt）dt.自HTn{Tn≤T}是FT-n-可测量的随机变量（见[Br'emaud，1981]中的附录2，T4），用ut（A）=P[Zn]表示∈ A |英尺-] znft的条件分布-, 我们有T+∞HtA（z）m（dt，dz）= En≥1HTn{Tn≤T}P[Zn∈ A |英尺-n]=ETHtut（A）dNt= ETHtut（A）λ（t，Yt）dt.因此，以下等式成立THtut（A）λ（t，Yt）dt= ETHtλ（t，Yt）AdF（z，Yt）dt通过{Ht}t的任意性∈[0，T]和λ（T，Yt）的严格正性，我们最终得到A.∈ B（[0+∞)), ut（A）=AdF（z，Yt），dt×dP- a、 s。。B、附录在本节中，我们推导公式（2.9）和（2.10）。

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mingdashike22

2022-6-14 11:33:35

让我们用{Cαt}t表示∈[0，T]再保险人在T时的累积损失：CαT=t型+∞（z）- z∧ αs）m（ds，dz），t∈ [0，T]。回顾（2.5），通过示例2.1中的等式（2.9），我们可以很容易地检查任何策略{αt}t∈EVPE下的[0，T]tq（s，Ys，αs）ds= （1+θ）Et型+∞（z）- z∧ αs）λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds= （1+θ）Et型+∞（z）- z∧ αs）m（ds，dz）= （1+θ）E[Cαt]，对于一些安全荷载θ>0，即任何时间t∈ [0，T]预期保费包括预期损失加上额外（成比例）期限，即预期净收入。现在让我们关注示例2.2。根据VP，再保险保费应满足以下等式：Etq（s，Ys，αs）ds= E【Cαt】+θvar【Cαt】，（B.1）对于一些安全荷载θ>0。我们需要计算方差项。让我们介绍以下随机过程：Mαt=t型+∞（z）- αs）+m（ds、dz）- ν（ds，dz）, t型∈ [0，T]，表示（x- y） +=x- x个∧ y、我们有thatvar[Cαt]=E[（Cαt）]- E【Cαt】=E|Mαt|+ Et型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds+ 2E类Mαtt型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds- E[Cαt]。表示方式Mαt Mαt的可预测协方差过程，使用备注2.1，我们最终得出Var[Cαt]=E[Mαt] +vart型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds= Et型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds+ 风险值t型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds.在特殊情况下λ（t，y）=λ（t）和F（z，y）=F（z）（例如在Cram'er-Lundbergmodel下），对于任何常数策略α∈ [0, +∞) 上一个方程式将Var[Cαt]=Et型+∞（z）- α） +λ（s）dF（z）ds.将该公式推广到第2节中的模型，我们得到了表达式（2.10）。当然，会有一个近似误差，因为在我们的一般模型中，强度和粒度分布取决于随机因素。然而，这是精算文献中常见的程序。参考文献【Bass，2004】Bass，R.F.（2004）。带跳跃的随机微分方程。

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何人来此

2022-6-14 11:33:38

概率。调查，1:1–19。【Brachetta和Ceci，2019年】Brachetta，M.和Ceci，C.（2019年）。随机因素模型的最优比例再保险和投资。保险：数学和经济学。[Br\'emaud，1981]Br\'emaud，P.（1981）。点进程和队列。鞅动力学。Springer Verlag。【Ceci和Gerardi，2006年】Ceci，C.和Gerardi，A.（2006年）。部分信息下的高频数据模型：过滤方法。《国际理论与应用金融杂志》，9（4）：555–576。[Grandell，1991]Grandell，J.（1991）。风险理论方面。Springer Verlag。【Heath和Schweizer，2000年】Heath，D.和Schweizer，M.（2000年）。鞅与偏微分方程在金融领域的比较：一个与示例等价的结果。应用概率杂志，（37）：947–957。[Hipp，2004]Hipp，C.（2004）。随机控制及其在保险中的应用。《金融中的随机方法》，第3章，第127-164页。斯普林格。【Irgens和Paulsen，2004】Irgens，C.和Paulsen，J.（2004）。风险敞口、再保险和保险组合投资的最优控制。保险：数学与经济学，35:21–51。【Li等人，2018年】Li，D.，Zeng，Y.，和Yang，H.（2018年）。跳跃模型中保险人的稳健最优超额损失再保险与投资策略。斯堪的纳维亚精算杂志，（2）：145–171。[李和顾，2013]李，Q.和顾，M.（2013）。cev模型下超额损失再保险与投资的优化问题。ISRN数学分析，第10页。【Liang和Bayraktar，2014】Liang，Z.和Bayraktar，E.（2014）。具有不可观察索赔规模和强度的最优再保险和投资。保险：数学与经济学，55:156–166。【Liang等人，2011年】Liang，Z.，Yuen，K.，和Guo，J.（2011年）。具有ornsteinuhlenbeck过程的股票市场最优比例再保险和投资。

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何人来此

2022-6-14 11:33:42

保险：数学与经济学，49:207–215。[刘和马，2009]刘，B.和马，J.（2009）。一般保险模型的最优再保险/投资问题。《应用概率年鉴》，19:14951528。[Lundberg，1903]Lundberg，F.（1903）。近似值为framst–allning av sannolikehetsfunktionen，terf–ors–akering av kollektivrisker。Almqvist和Wiksell。【孟和张，2010】孟，H.和张，X.（2010）。超额损失再保险单的最优风险控制。ASTIN公告，40（1）：179197。【Rolski等人，1999年】Rolski，T.，Schmidli，H.，V.，S.，和Teugels，J.（1999年）。保险和金融的随机过程。威利。【Schmidli，2018】Schmidli，H.（2018）。风险理论。Springer精算师。斯普林格国际出版公司。【Sheng等人，2014年】Sheng，D.，Rong，X.，和Zhao，H.（2014年）。跳变风险过程保险人投资再保险问题的最优控制：布朗运动的独立性。摘要与应用分析，第1-19页。【Young，2006】Young，V.R.（2006）。溢价原则。精算学百科全书，（3）。【Zhang等人，2007】Zhang，X.，Zhou，M.，和Guo，J.（2007）。动态环境下的最优组合报价和超额损失再保险政策。商业和工业中的应用随机模型，23:63–71。【Zhao等人，2013年】Zhao，H.，Rong，X.，和Zhao，Y.（2013年）。heston模型下具有跳变风险过程的保险人最优超额损失再保险和投资问题。保险：数学与经济学，53（3）：504–514。[朱等人，2015年]朱，H.，邓，C.，岳，S.，和邓，Y.（2015年）。具有交易对手风险的保险人的最优再保险和投资问题。保险：数学与经济学，61:242–254。

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