加密货币利率理论

nandehutu2022

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收藏 2022-06-14

英文标题：
《Theory of Cryptocurrency Interest Rates》
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作者：
Dorje C. Brody, Lane P. Hughston and Bernhard K. Meister
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
A term structure model in which the short rate is zero is developed as a candidate for a theory of cryptocurrency interest rates. The price processes of crypto discount bonds are worked out, along with expressions for the instantaneous forward rates and the prices of interest-rate derivatives. The model admits functional degrees of freedom that can be calibrated to the initial yield curve and other market data. Our analysis suggests that strict local martingales can be used for modelling the pricing kernels associated with virtual currencies based on distributed ledger technologies.
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中文摘要：
将短期利率为零的期限结构模型作为加密货币利率理论的候选模型。计算了加密贴现债券的价格过程，以及瞬时远期利率和利率衍生品价格的表达式。该模型允许根据初始收益率曲线和其他市场数据校准功能自由度。我们的分析表明，基于分布式账本技术，可以使用严格的局部鞅来建模与虚拟货币相关的定价核。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Theory_of_Cryptocurrency_Interest_Rates.pdf
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大多数88

2022-6-14 11:35:20

加密货币利率理论萨里大学数学系Dorje C.Brody、Lane P.Hughston和Bernhard K.Meister，Guildford GU2 7XH，英国计算系，伦敦大学戈德史密斯学院，新十字，伦敦SE14 6NW，英国管理学院，斯旺西大学，斯旺西SA1 8EN，英国（日期：2019年12月18日）开发了一个短期利率为零的期限结构模型，作为加密货币利率理论的候选对象。计算了加密贴现债券的价格过程，以及瞬时远期利率和利率衍生品价格的表达式。该模型允许根据初始收益率曲线和其他市场数据校准功能自由度。我们的分析表明，严格的局部鞅可以用于基于分布式账本技术对与虚拟货币相关的定价货币进行建模。关键词：加密货币、分布式账本技术、区块链、利率模型、定价核心、外汇、衍生品。自《建立比特币的白皮书》发布以来，十多年过去了，比特币是新兴的开源加密货币运动的推动者。在这几年中，数字货币在没有主权国家支持的情况下，以十亿美元的市场资本流动的能力已被广泛宣传。

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可人4

2022-6-14 11:35:23

迄今为止，阻碍加密货币进入主流并扩展到边缘应用之外，以显著方式与实体经济联系的一个关键因素是，尽管进行了多次初步尝试，但受监管的交易财团无法为加密货币衍生品和结构化产品开发广泛的平台，更广泛地说，是为了建立支持金融市场所需的强大基础设施，类似于我们认为与主权货币相关的理所当然的金融市场。基于成熟主权货币的不经济，利率衍生品是金融市场运作的核心。总部位于巴塞尔的国际结算银行（Bank of International Settlement）于2018年12月发布的一份统计公报显示，固定收益衍生产品的名义金额是如何以五倍或五倍以上的倍数超过其他所有类别的【2】。为了让利率衍生品市场发挥作用，需要对产品进行定价，需要复制支付，需要对冲头寸——对于定价、复制和对冲，金融机构、监管机构、，而其他市场参与者应拥有各种各样的可用利率模型，这些模型应能很好地适应交易工具所基于货币的特点。谈到加密货币，这一要求立即带来了挑战，因为加密货币本质上不提供短期利息，而且似乎不可能初步建立一个短期利率为零的利率模型。就比特币而言，定期更新的区块链代表分布式账本，因此代表加密货币的持有量。

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大多数88

2022-6-14 11:35:26

更新过程的技术细节涉及面很广，但并不影响分类账中记录的比特币持有量不会产生利息的一般声明。没有中央银行。新硬币不会发行给现有的硬币持有人，而是颁发给成功解决区块链更新所需的数字难题的“矿工”。其他著名的货币提供了不同于一般主题的货币，即不通过调节附加功能来支付。例如，第二大加密货币以太坊（ethereum）采用了分布式计算。利率建模的含义是什么？首先，如果我们回顾一下“传统”利率模型的一般含义，可能会有所帮助。这将使我们能够确定加密货币所需的传统理论和利率理论之间的一些差异。此类传统模型大量存在，例如，包括[3，4]中提到的大多数示例。人们通常假设概率空间的存在(Ohm, F、 P）相关过滤{Ft}t≥0满足通常条件，在此条件下，自适应的短速率进程{rt}t≥0已定义。这里，时间0表示现在。单位贴现债券指的是一种金融工具，它在时间T时提供一单位货币的单一现金流，其价值完全来自该现金流。然后，T<T时的T-到期单位贴现债券的价格由形式为ptt=EQ的条件期望给出经验值-ZTtrsds公司英尺, （1）在适当指定的风险中性度量Q下进行，该度量Q与物理度量P相等（在同意零集的意义上）。浏览等式（1），可以得出结论，如果所有t的rt=0，则不可能有非平凡的贴现债券系统≥ 0，在“传统”模型中确实如此。

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可人4

2022-6-14 11:35:29

例如，在HJM模型[5]中，瞬时远期利率通过关系ptt=exp确定贴现债券价格-ZTFTUDU公司, （2）对于t<t，由ftt=PtTEQ给出rTexp-ZTtrsds公司英尺. （3）因此，Ft是在时间t购买权利的每单位名义远期价格，现金流为时间t每单位名义现金流的金额。因此，如果短期利率消失，那么瞬时远期利率也会消失，在这种情况下，贴现债券系统会变得平庸，并且对于所有t<t，其形式为PtT=1。同样的结论直接来自（1）。因此，如果短期利率在传统利率模型中消失，那么所有定期利率也会随之消失。然而，仅仅因为短期利率消失了，我们就不一定被迫得出贴现债券系统微不足道的结论。从君士坦丁尼德斯（Constantinides）[6]的工作开始，金融理论家们已经学会了从所谓的定价内核的角度，以更一般的方式思考利率建模。定价核心方法避免了引入风险中性度量和选择货币市场账户形式的优先计价资产所产生的一些技术性问题，同时也带来了有趣的新类别利率模型（例如，参见[7–11]和本文引用）。所谓定价核，我们指的是一个{Ft}适应的c\'adl\'ag半鞅{πt}t≥0对于t，满足（a）πt>0≥ 0，（b）E[πt]<∞ 对于t≥ 0和（c）lim inft→∞E[πt]=0，其性质是如果具有值的资产处理{St}t≥0在时间T提供有界FT可测量的现金流hT，并完全从该现金流得出其值，然后st=1{T<T}πtE[πTHT | FT]。（4）在这里，我们用E表示P下的期望值。我们采用这样的惯例，即在现金流发生的瞬间，此类资产的价值降至零。

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能者818

2022-6-14 11:35:32

因此限制→TSt=HT，其中t=0≥ T这与股票除息时通常的股价分析相一致，并遵守了价格过程应为c\'adl\'ag的要求。我们的假设暗示πTHTis可积且{πtSt+1{t≥T}πTHT}T≥0是一个统一的整数鞅。在广义上，一个既定定价核心的存在等同于我们所说的市场均衡和无套利。事实上，在相当普遍的条件下[12]可以表明，在一些合理的假设下，任何未定权益的定价公式都采用（4）的形式。然后，如果HT=1，我们得到了在t时支付一单位货币的债券在t时的价格表达式，由ptt=1{t<t}πtE[πt | Ft]给出。（5）可以肯定的是，公式（1）所表示类型的模型可以作为公式（5）所表示类型的模型的实例获得，但并非所有利率模型都是类型（1）。正如我们将要证明的那样，可以构建类型（5）的模型，其中传统货币的单位被加密货币的单位所取代，并且通过这种方式，我们得出了一个非平凡的利率模型，其中加密货币条件rt=0对于所有≥ 0，但期限利率不为零。本文通过将加密pricingkernel定义为严格的局部鞅，研究了一类这样的模型。这项提议背后的理由如下。定价核方法要求非分红资产的价格{St}应具有乘积{πtSt}应为鞅的性质。现在，假设市场允许一个单位初始化绝对连续的货币市场账户，其valueprocess{Bt}为formBt=expZtrsds公司.

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nandehutu2022

2022-6-14 11:35:36

（6）然后∧t=πtb定义的过程{∧t}是一个鞅，定价核作为一个序列，由πt=exp给出-Ztrsds公司∧t.（7）在这种情况下，如果我们引入由DQDP定义的氡Nikodym导数Ft=∧t，（8）我们可以更改（4）中的度量值，我们得到了著名的风险中性估值公式st=1{t<t}EQ经验值-ZTtrsds公司HT公司英尺. （9）然后，如果我们将HT设置为1，我们将恢复由形式（1）的债券价格以及货币市场账户（6）定义的“传统”利率模型。在我们考虑的加密利率模型类别中（将在第2节中介绍），我们从模型中完全排除了瞬时货币市场资产的存在。这可以通过选择定价核为严格的局部鞅来实现。这意味着短速率消失，因此（6）定义的过程{Bt}是常数。但是，如果{Bt}是常数，那么{πtBt}不是鞅，因此它们不是货币市场资产。我们考虑一个模型，其中定价核由三阶贝塞尔过程的倒数给出。[13]中介绍的这个倒数过程是严格局部鞅的一个著名例子[14-17]，其优点是易于处理。这一过程可以用作定价核心的想法出现在【10】中，人们认识到，由此产生的利率模型不允许以（1）的形式呈现债券价格。在这里，我们在加密货币债券的背景下开发了一个这种类型的详细模型。在第3节中，我们推导了贴现债券系统和各种相关利率的显式表达式。将结果应用于第4节，以获得贴现债券上数字期权的定价公式，以及基于简单加密率的Caplet。

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大多数88

2022-6-14 11:35:39

在第5节中，我们介绍了一类基于贝塞尔（n）过程的相关模型≥ 4，详细推导了四阶模型。在第6节中，我们介绍了一类基于贝塞尔（3）过程复杂性的模型。我们在第7节中总结了一些关于加密汇率选项的评论。2、无息模型定价核形式主义允许我们确定加密货币理论偏离传统理论的地方：即没有货币市场账户。但是，如果没有货币市场账户，如何构建利率模型呢？尽管如此，在定价核心框架下，在传统利率理论的背景下，这种明显的可能性仍然是可能的。论点如下。首先，我们观察到，根据（5），债券价格是任何固定t的tf递减函数的一个必要且有效的条件，使得t<t是{πt}应该是一个超鞅。这意味着与{πt}相关的利率体系是非负的。现在，加密货币本质上是可存储的资产，存储成本可以忽略不计，因此根据标准的套利，不能以负利率借入。因此，有理由假设加密定价核是一个超鞅。无论如何，在接下来的情况下，我们应该做出这样的假设。我们还记得，对于停止时间{τn}n的任何递增序列，半鞅是局部鞅∈N带limn→∞τn=∞, 停止的过程是n的每个值的鞅。然后，严格局部鞅是不是真鞅的局部鞅。现在，众所周知，一个正的局部鞅必然是一个鞅。

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nandehutu2022

2022-6-14 11:35:43

因此，如果我们考虑定价核是严格局部鞅的可能性，那么定价核的正性意味着它是具有消失漂移的超鞅。这表明，通过让定价核为严格的局部鞅，可以对加密货币的利率期限结构进行建模。作为一个例子，我们检验了一个基于定价核的利率模型，该定价核由三阶贝塞尔过程的倒数给出。具体而言，定价核心结构如下所示。设{W（1）t，W（2）t，W（3）t}t≥0be概率空间上的三个独立标准布朗运动(Ohm, F、 P）过滤{Ft}t≥0，定义=ZtσsdW（1）s，Yt=ZtσsdW（2）s，Zt=ZtσsdW（3）s，（10）其中{σt}t≥0是一个确定性函数，我们认为它是有界的、严格正的、左连续的。然后，我们通过设置πt=p（Xt）来定义定价核的模型- a） +（Yt- b） +（Zt- c），（11）式中，a、b、c为常数，并非全部等于零。初始条件π=1要求a+b+c=1，旋转对称性意味着向量（a，b，c）可以位于R中单位球面上的任何点上。我们注意到函数u：R→ R+∪ ∞ 定义为u（x，y，z）=p（x- a） +（y- b） +（z- c）（12）是拉普拉斯方程的解xu（x、y、z）+yu（x，y，z）+zu（x，y，z）=R \\（a，b，c）上的0（13）。我们可以把{u（x，y，z）}看作是位于（a，b，c）点的单位电荷产生的库仑势。然后我们得到πt=u（Xt，Yt，Zt），利用三个布朗运动是独立的这一事实，我们发现{πt}的漂移消失，{πt}满足动力学方程dπt=-σtπtdWt，（14）其中过程{Wt}t≥0由关系定义dwt=πth（Xt- a） dW（1）t+（Yt- b） dW（2）t+（Zt- c） dW（3）ti（15）是标准的布朗运动。（14）的解释如下。

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nandehutu2022

2022-6-14 11:35:46

假设我们考虑一个一般市场模型，其中定价核是由布朗运动{Wt}驱动的严格正Ito过程，并满足形式为dπt=αtπtdt+βtπtdWt的动力学方程。（16）设{St}为由相同布朗运动驱动的非分红资产的价格。对于由{Wt}驱动的正鞅{Mt}，πtSt=Mt。设{Mt}的动力学由dMt=νtMtdWt给出。使用伊藤公式的计算结果表明，DST=[-αt- βt（νt- βt）]Stdt+（νt- βt）StdWt。（17）因此，如果写入rt=-αt，λt=-βtandσt=νt- βt，因此资产价格的动态采用熟悉的形式dst=（rt+λtσt）Stdt+σtStdWt。（18）我们发现rtis是短期利率，λ是风险的市场价格，σ是资产的波动性，定价核心满意度πt=-rtπtdt- λtπtdWt。（19）结合（14）和（19），我们推断，在定价核的贝塞尔（3）模型中，所有t≥ 0，风险的市场价格由λt=σtπt给出。然而，短期利率的消失并不意味着净利率的消失，如伦敦银行同业拆借利率和掉期利率，我们将在下文中看到。贴现债券和收益为了计算债券价格过程，我们将使用定价公式（5）：PtT=πtEt“p（XT- a） +（YT- b） +（ZT- c） #，（20）式中，Et[·]：=E[·| Ft]。正在写入XT- a=（XT- Xt）+（Xt- a），与YT类似- ZT波段-c、我们观察到，增量XT-Xt，YT-Yt和ZT-Ztare独立于Ft，而Xt- a、年初至今- b、和Zt- c是Ft可测量的。因此，定义X=XT- a、 Y=YT- b、 Z=ZT- c、然后有条件地在Ftwe上有X~ N（Xt- a、 ∑tT），Y~ N（Yt- b、 ∑tT）和Z~ N（Zt- c、 ∑tT），其中∑tT=ZTtσsds（21）是随机变量X、Y和Z的条件方差。

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kedemingshi

2022-6-14 11:35:50

如果我们定义向量sr=（x，y，z）和ξt=（Xt- a、年初至今- b、 Zt公司- c），以及它们的平方范数R=R·R和ξt=ξt·ξt，那么债券价格由ptt=πt给出(√2π∑tT）ZRRe-Σ-1tT | R-ξt | dR。（22）因此，对于Rwe中的体积元素，使用球面表示dR=RsinθdR dθdφ（23），推断出ptt=πt√2π∑3/2tTZ∞RRZπsinθe-Σ-1tT（右-2Rξtcosθ+ξt）dθdR=πt√2π∑3/2tTe-Σ-1tTξtZ∞R e公司-Σ-1tTRZπsinθeRξtcosθ/∑tTdθdR=πt√2π∑3/2tTe-Σ-1tTξtZ∞R e公司-Σ-1tTR-eRξtcosθ/σtTRξt/σtTπdR公司=√2π∑tTe-Σ-1tTξtZ∞e-Σ-1tTReRξt∑tT- e-Rξt∑tTdR，（24）0.5 1.0 1.5 2.0t0.20.40.60.81.0图。1：贴现债券价格过程{PtT}，选择σt=0.75，t=2。显示了六条样本路径，说明了当波动率函数{σt}为常数时，贝塞尔（3）模型中债券价格过程的定性行为。其中，我们利用了ξt=1/πt这一事实。我们注意到，过程{ξt}appearingher是所谓的自然计价或“基准”资产的价格【18，21】。完成（24）中指数的平方，我们得到了PTT=√2π∑tTZ∞e-Σ-1tT（右-ξt）- e-Σ-1tT（R+ξt）dR公司=√πZξt/√2∑tT-ξt/√2∑tTe-udu。（25）现在让我们像往常一样通过设置ERF（z）来定义误差函数=√πZz-ze公司-udu=√π∞Xn=0(-1） nn！（2n+1）z2n+1，（26）是复平面上的整函数。因此，erf（z）=N(√2 z）- N个(-√2 z），其中N（x）是正态分布函数。然后我们得到债券价格的以下表达式：PtT=erfs（Xt- a） +（Yt- b） +（Zt- c） 2∑tT. （27）等效地，我们有PTT=erfξt√2∑tT, （28）其中{ξt}是自然数字。为了便于说明，我们在图1中显示了债券价格的一些样本路径。作为资产的价格过程，贴现债券满足{πtPtT}是鞅的条件，这一条件从条件期望的塔式性质出发：es[πtPtT]=es[Et[πT]]=es[πT]=πsPsT。

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mingdashike22

2022-6-14 11:35:53

（29）或者，如果我们利用恒等式，可以直接从债券价格的表达式（27）中检查鞅条件√πα∞Ze-α(ξ-x）- e-α（ξ+x）erf公司ξ√βdξ=erfx个√α + β. （30）我们已经看到，由于定价核的漂移在本质上为零，因此该模型没有引起任何兴趣。然而，债券价格会导致贴现；换句话说，对于每一个T<T，ptt是T的递减函数，因为∑tti是T<T时T的增加。因此，如果采用byrt=-PtT公司TT=T.（31）这很容易检查。我们有T=σT√2π∑3/2tTexp-ξt2∑tTT=T.（32）自极限→T∑tT=0，指数项抑制右侧，使所有T的rt=0≥ 或者，通过使用（27），计算表明dptt=λtOhmtTPtTdt+OhmtTPtTdWt，（33），其中λt=σtπ是风险的市场价格，其中OhmtT=2σtPtT√2π∑tTexp-2∑tTπt（34）是贴现债券波动率。我们注意到limt→TOhmtT=0。（33）的形式证明，通常由漂移中的短期利率产生的贡献RTPTT不存在。但短期利率为零的事实并不意味着需要其他利率。例如，由于定义FTT=- 记录PtTT、（35）计算表明，瞬时远期利率由ftt=σTexp给出(-ξt/2∑tT）√2π∑3/2terfξt/√2∑tT, （36）我们看到→TftT=0。类似地，对于屈服曲线{Y（T）}，我们得到以下结果：Y（T）=-Tlogerf公司√2∑0T. （37）5 10 15 20 25 30T0.050.100.150.200.250.30YFIG。2：初始屈服曲线Y（T）T≥0对于常数σt。由于r=0，t=0时的屈服消失。σt=σ时，对于常数σ，屈服曲线达到峰值，然后衰减到零，其中Y（t）~ -对数（p2/πσT）/T asT→ ∞.

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大多数88

2022-6-14 11:35:56

我们绘制了σ=0.3（蓝色）、σ=0.6（橙色）和σ=0.9（绿色）的{Y（T）}。因此，初始屈服曲线数据可用于校准函数{σt}中的自由度。我们的校准方案本质上等同于[10]中所建议的使用时变技术的校准方案。由常数{σt}产生的一组典型屈服曲线如图2.4所示。债券期权让我们考虑贴现债券的期权定价。首先，我们来看一个欧洲风格的数字看涨期权，到期日为t，贴现债券的行权为K，到期日为t。因此，如果PtT>K，期权在时间t提供一个单位的加密货币。期权支付是指标函数HT=1{PtT>K}，（38），因此数字看涨期权的价格由byD=E给出ξterf公司ξt√2∑tT> K, （39）式中ξt=π-1吨。误差函数的参数在增加，因此我们发现存在一个临界值ξ*如果ξt>ξ，期权在货币中到期*, ξ给出*=p2∑tTerf-1（K）。（40）因此，如果我们切换到R中体积元素的球形表示，类似于（24）中给出的计算表明，数字呼叫的价格为isD=erf公司ξ*+ 1.√2∑0t- erf公司ξ*- 1.√2∑0t. （41）更一般地，让我们考虑数字看涨期权的价格过程{Ds}，由以下表达式给出：Ds=1{0≤s<t}πsEs[πtHt]。（42）注意到以Fswe为条件的Xt~ N（Xs- a、 ∑st），Yt~ N（Ys- b、 ∑st）和ZT~ N（Zs- c、 ∑st），我们发现，与（24）中考虑的计算类似的计算导致公式=2ξserf公司ξ*+ ξs√2∑st- erf公司ξ*- ξs√2∑st. （43）我们现在来看拖欠caplet的定价，对于该caplet，在时间t的支付由ht=X（LtT）给出- R） +，（44），其中R为上限，X为名义值。此处的加密速率lttapearing由tt=T定义- t型PtT公司- 1..

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mingdashike22

2022-6-14 11:35:59

（45）由于caplet是“拖欠”支付的，这意味着支付在较早的时间t设定并在t支付，并且由于在时间t已知LTIts，我们可以将caplet视为一种衍生工具，有效地支付较早时间t的折现值Ht=PTTTH。通过替代和安排，可以看到在时间t的有效支付形式为Ht=N（K- PtT）+，其中K和N由K=1+R（T）给出- t） N=X[1+R（t- t） ]t- t、（46）因此，我们可以看到，拖欠的caplet中的头寸相当于贴现债券中N个看跌期权的头寸，其中看跌期权上的行权K是具有简单收益率R的贴现债券的价值。利用（4），我们推导出caplet的价格isC=N Eπt（K- PtT）+= N E“ξtK- erf公司ξt√2∑tT+#. （47）如果我们切换到R中体积元素的球形表示，与（24）中给出的计算分析表明，期权价格可以用以下高斯积分表示：C=√2π∑0tZξ*K- erf公司R√2∑tTe-2∑0t（R-1)- e-2∑0t（R+1）dR公司=√πZξ*+1.√2∑tT√2∑0te-uerf公司√2∑0tu-1.√2∑tT杜邦-√πZξ*-1.√2∑tT-1.√2∑0te-uerf公司√2∑0tu+1√2∑tTdu+Kherf√2∑0t-erf公司ξ*+1.√2∑0t- erf公司ξ*-1.√2∑0ti、（48）虽然高斯积分似乎没有更简单的表示形式，但数值计算很简单。基于高阶贝塞尔过程的模型四阶或四阶以上的贝塞尔过程也会产生密码键模型，类似于我们已经研究过的模型。特别是，如果我们考虑a=1，2，…，的高斯过程{Xat}集合，尺寸n中（10）给出的类型n≥ 3，然后我们可以通过设置πt来建模定价核=（Xt）+··+（Xnt）(2-n） /2。

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可人4

2022-6-14 11:36:02

（49）一个简短的计算表明，dπt=-（n）- 2） σtπ（n-1） /（n-2） tdWt，（50），根据[19，20]中讨论的检验，{πt}是所有n的严格局部鞅≥ 3.作为一个例子，我们提出了一个基于贝塞尔过程四维互易性的加密货币定价核模型。有关贝塞尔（4）过程的特性，请参见参考文献[21]。对于我们的模型，我们取πt=（Xt- a） +（Xt- b） +（Xt- c） +（Xt- d），（51）其中{Xkt}k=1，。。。，4是形式（10）的四个独立高斯过程，常数a、b、c、d的选择应确保a+b+c+d=1。计算表明，定价核的动力学方程为dπt=-2σtπ3/2tdWt，（52），对应于n=4时的（50）。我们希望计算该模型中的贴现债券价格，该模型遵循（22）的逻辑，ξt=（Xt-a、 Xt公司-b、 Xt公司-c、 Xt公司-d），是给定的typt=πt(√2π∑tT）ZRRe-Σ-1tT | R-ξt | dR。（53）我们切换到球形表示。在四维空间中，我们设置x=R sinθsinνcosφ，y=R sinθsinνsinφ，z=R sinθcosφ，w=R cosθ，体积元素dR=RsinθsinνdR dθdДdφ。（54）注意θ，Д∈ [0，π]和φ∈ [0, 2π]. 由于矢量ξ是固定的，并且由于球对称性，我们可以在不丧失一般性的情况下选择ξt位于w轴方向。在（24）中的三维情况下，也做出了类似的假设，其中ξtwa取z方向。然后我们得到R·ξt=Rξtcosθ，这个选择在某种程度上简化了计算。φ上的积分得到2π，其中srπsinИdД=2，因此在对这些变量进行积分后，我们得到ptt=πt2π∑tTZ∞RZπsinθe-Σ-1tT（右-2Rξtcosθ+ξt）dθdR，（55），其中{ξt}表示四维贝塞尔过程，因此πt=ξ-2吨。要继续，请注意恒等式zπsinθeνcosθdθ=πνI（ν）。

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nandehutu2022

2022-6-14 11:36:05

（56）如果我们观察到sinθeνcosθ=（sinθ）（sinθeνcosθ），并且sinθeνcosθ=-ν-1.θeνcosθ，这表明我们可以通过分段积分将被积函数减少到cosθeνcosθ。但我们注意到cosθeνcosθ=νeνcosθ，所以移动在积分之外，我们看到被积函数进一步减少到eνcosθ。但这会产生阿贝塞尔函数，我们有rπeνcosθdθ=πI（ν）。差异化和使用差异化νI（ν）=I（ν），我们得出结论。或者，如果我们回顾第一类广义贝塞尔函数的定义n（ν）=πZπeνcosθcos（nθ）dθ（57），我们可以更方便地得出相同的结论。在任何情况下，我们推导出zπsinθeRξt∑-1tTcosθdθ=π∑tTRξtIRξt∑tT. （58）因此使用（πtξt）-1=ξtwe获得ptt=ξt∑tTZ∞e-Σ-1tT（R+ξt）IRξt∑tTdR.（59）如果我们定义u=R/√∑t和ηt=ξt/√∑tT，表达式简化为toPtT=ηte-ηtZ∞e-uI（ηtu）du。（60）现在我们使用identityZ∞e-uI（ηu）du=eη- 1η，（61），可使用贝塞尔函数（ν）的泰勒级数展开式建立=∞Xk=02k+nk！Γ（n+k+1）ν2k+n（62）以及表达式Z∞e-uu2k+ndu=2（2k+n-1)/2Γ2k+n+1（63）对于高斯矩。具体而言，用（62）代替（61）左侧的n=1和ν=ηu，用（63）代替n=1，我们得到z∞e-uI（ηu）du=∞Xk=0η2k+12k+1k！Γ（k+2）kΓ（k+1）=∞Xk=0（η/2）k+1（k+1）=η∞Xk=0（η/2）kk！- 1.（64）0.5 1.0 1.5 2.00.20.40.60.81.0图。3： σt=0.6和t=2的贴现债券价格过程。显示了六条样本路径，说明了基于贝塞尔（4）过程的模型中债券价格的定性行为。这就建立了（61）。

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能者818

2022-6-14 11:36:09

把这些放在一起，我们得出债券价格ptt=1- e-Σ-1tTξt，（65），结果非常简单。为了便于说明，我们在图3中显示了债券价格过程的一些示例路径。请注意，limt→TPtT=1；然而，假设所有t的σt>0≥ 0，我们有限制→∞∑tT=∞, 从这个极限开始→∞PtT公司→ 0、初始债券价格由p0t=1给出- 经验值-2∑0T, （66）由此我们推断，初始收益率曲线采用公式y（T）=-Tlog1.- 经验值-2∑0T. （67）该关系可用于根据市场数据校准波动率函数。具体而言，我们有σT=-（Y（T）+T Y（T））e-T Y（T）2（1- e-T Y（T））（日志（1- e-它允许我们确定函数{σT}T的形式≥0从任何初始屈服曲线{Y（t）}t≥0满足约束Y（0）=0。接下来，我们研究债券价格的动态。如果我们从dξt=3σt2ξtdt+σtdWt开始，（69）伊藤公式的应用给出了ptt=λtOhmtTPtTdt+OhmtTPtTdWt，（70），其中λt=2σtξ-1和OhmtT=σtξtPtT∑tTe-Σ-1tTξt.（71）该结果独立证实了所有t的rt=0这一事实≥ 当前模型中的0。现在让我们考虑贴现债券上看涨期权的估值。支付形式为Ht=（PtT-K） +，其中K是期权的执行价格，t是期权的到期日，t>t是债券的到期日。我们假设0<K<1。由于债券价格是ξt的递增函数，我们发现存在一个临界值ξ*=p-2∑tTlog（1- K）（72）如果ξt，则Ht=0≤ ξ*. 在对（φ，Д）变量进行积分后，我们发现期权的初始价格由积分c=π∑0t决定∞Zξ*R(1 - K）- e-2∑tTRe-2∑0t（R+1）πZsinθeR∑0tcosθdθdR。（73）执行θ积分，我们得到c=∑0tZ∞ξ*(1 - K）- e-2∑tTR我R∑0te-2∑0t（R+1）dR。

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何人来此

2022-6-14 11:36:12

（74）类似地，对于带支付（K）的看跌期权- PtT）+，我们得到p=∑0tZξ*（K）- 1） +e-2∑tTR我R∑0te-2∑0t（R+1）dR，（75），从中我们观察到- P=∑0tZ∞（K）- 1） +e-2∑tTR我R∑0te-2∑0t（R+1）dR。（76）使用（61），我们可以显式地积分（76）的右侧，以获得put调用对等关系：C- P=（1- K）1.- e-2∑0t+ e-2∑0t- e-2∑0th1-∑tT∑0Ti=P0T- KP0t，（77），其中我们利用了∑0t+∑tT=∑0t这一事实。期权价格的贝塞尔函数的不确定高斯积分必须进行数值评估。有趣的是，尽管债券价格模型简单，但期权价格不能用已知函数的封闭形式表示。然而，快速的数值估值是很简单的。为了看到这一点，我们使用贝塞尔函数的泰勒级数展开式（62）来获得c=∑0te-2∑0t∞Xk=0（1/2∑0t）2k+1k！（k+1）！Z∞ξ*R2k+1h（1- K）- e-2∑tTRie-2∑0tRdR。（78）然后，通过设置u=R来改变积分变量，我们发现积分减少到不完全伽马函数Γ（a，z）=z的积分∞zua公司-1e级-udu，（79），因此我们得到了系列形式的期权价格：C=e-2∑0t∞Xk=0（1/2∑0t）k+1k！（k+1）！(1 - K） Γk+1，-∑tT∑0tlog（1- K）-∑tT∑0Tk+1Γk+1，-∑0T∑0tlog（1- K）#.

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可人4

2022-6-14 11:36:15

（80）由于在上述表达式的和中分母中出现了双阶乘，级数迅速收敛，使其成为期权价格数值计算的有用表达式。特别是，在k=20时截断总和，我们可以使用标准的数值工具非常快速地获得期权价格；由此获得的结果与积分（78）的标准数值计算结果的差异为10级-更一般地，在更高的维度中，很明显，通过使用球面表示来计算期望值Et【πT】，始终可以设置向量ξtsuch的方向，即R·ξT=Rξtcosθ。因此，唯一的非平凡积分涉及变量θ和R。如果贝塞尔过程的维数n为偶数，则执行θ积分我们得到贝塞尔函数的线性组合，然后必须根据高斯测度进行积分，以获得债券价格的表达式；然而，如果n是奇数，θ积分会产生指数函数的线性组合，必须再次与高斯测度进行积分，以获得债券价格的表达式。因此，根据n是偶数还是奇数，对于n≥ 3我们获得了两种不同类型的加密货币利率模型。模型的复杂扩展与三维贝塞尔过程倒数相关的模型可以以另一种方式扩展，以允许合并参数自由度。如果我们允许（11）中出现的参数a、b和c是复数，就可以实现这一点。由此产生的复杂过程的真实部分{πCt}为定价核定义了一个可接受的模型，短期利率为零。

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mingdashike22

2022-6-14 11:36:18

这是因为当参数a、b和c为复数时，函数u（x、y、z）的实部和虚部都满足拉普拉斯方程，且实部严格为正。例如，由此产生的额外自由度可以用来校准模型，不仅可以根据收益率曲线，还可以根据期权价格。为了继续，让我们写出a=a+ia，b=b+IB和c=c+ic。此外，让我们写▄x=x- a、 y=y- 频带▄z=z- c、那么我们有u（x，y，z）=s▄x+▄y+▄z- 一- b- c+2i（￠xa+￠yb+￠zc）（￠x+￠y+￠z- 一- b- c） +4（▄xa+▄yb+▄zc）。（81）该函数是拉普拉斯方程的解，该解远离“环形”奇点，该奇点由位于点（a，b，c）中心的两个半径为a+b+c的球体∑和两个由ax+by+cz=aa+bb+CC定义的平面∏的交点定义，该球面∑穿过点（a，b，c），因此在赤道圆中切割∑。我们回忆起公式√A+iB=sA+√A+B+iB | B | s-A+√A+B（82）表示B 6=0的复数主平方根的实部和虚部。因此，R{∑上的Re（u）>0∩在∏{∑上，Im（u）=0∩Π}.根据这些结果，我们通过设置πt=Re引入了一个新的密码速率模型πCt. （83）然后写入▄Xt=Xt-a、 Yt=Yt-b、和▄Zt=Zt-c、我们得到了定价核的以下表达式：πt=vuuuuut▄Xt+▄Yt+▄Zt-一-b-c+s（▄Xt+▄Yt+▄Zt-一-b-c） +4（▄Xta+▄Ytb+▄Ztc）Xt+▄Yt+▄Zt- 一- b- c+ 4.Xta+▄Ytb+▄Ztc. （84）归一化π=1施加了一个约束，而旋转对称可以用来消除另外两个参数。因此，我们得到了一个具有三个外生特殊参数的模型，可用于确定期权价格。为了得到债券价格的表达式，我们需要计算出条件期望Et[πT]。

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nandehutu2022

2022-6-14 11:36:21

与使用表达式（84）作为定价内核（这使得计算有些繁琐）不同，我们可以利用以下事实重新πCt= 重新Et公司πCT. （85）然后我们可以对定价核使用更简单的公式（11），带有复杂的参数a、b和c，并计算其期望值，取结果的真实部分。使用spherecalrepresentation，我们得到了[πCT]=(√2π∑tT）ZRRe-2∑tT | R-（ξt-iδ）| RsinθdR dθdφ，（86），其中ξt=（Xt- a、年初至今- b、 Zt公司- c） δ=（a，b，c）。结果表明，导致（27）的计算适用于复杂参数a、b和c。为了了解这一点，我们明确地执行了积分。回想一下，在δ=0的实际情况下，我们有一个固定的向量ξtin，即被积函数的指数，因此通过使用球对称性，我们选择该向量指向z方向，从而得到简单的表达式R·ξt=Rξtcosθ，该表达式用于计算（27）。在本例中，我们有两个固定向量ξ和δ，因此我们可以使用旋转对称性使两个向量位于x-y平面上，围绕x轴对称放置。我们让2αt表示两个向量ξtandδ之间的角度。换句话说，我们有ξt·δ=ξtδcos（2αt），其中ξt=ξt·ξtandδ=δ·δ。因此，ξ与x轴之间的角度为αt，类似地，δ与x轴之间的角度为-αt。通过坐标的选择，我们得到r·（ξt- iδ）=R（ξt- iδ）sinθcosαtcosφ+R（ξt+iδ）sinθsinαtsinφ。（87）我们现在可以对变量φ进行积分。为此，我们称之为2πep cosφ+q sinφdφ=2πIpp+q. （88）这可以通过将被积函数的指数视为向量（p，q）和单位向量（与向量（p，q）成一定角度φ）之间的内积来看出。然后该项等于topp+qcosφ，结果如下。

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可人4

2022-6-14 11:36:29

在这种情况下，我们有p=R（ξt- iδ）sinθcosαtand q=R（ξt+iδ）sinθsinαt，因此p+q=Rωtsinθ，其中ωt=|（ξt- iδ）|=ξt- δ- 2iξtδcos（2αt）。（89）我们由此推断出πCT=2π(√2π∑tT）Z∞ZπR e-2∑tT（R+ωt）sinθIRωt∑tTsinθdθdR.（90）对变量θ进行积分，我们从（62）中注意到i（νsinθ）=∞Xk=0ν2k2k（k！）（sinθ）2k。（91）因此，因为zπ（sinθ）2k+1dθ=2k+1（k！）（2k+1）！，（92）并考虑泰勒级数展开式2 sinh（ν）ν=2∞Xk=0ν2k（2k+1）！，（93）我们推导出恒等式zπsinθI（νsinθ）dθ=νeν- e-ν, （94）之后是thatEtπCT=ω-1吨√2π∑tTZ∞e-2∑tT（R+ωt）eRωt∑tT- e-Rωt∑tTdR=ω-1特尔夫ωt√2∑tT. （95）注意到πCt=ω-1因此，我们验证了导致（27）的计算适用于复杂参数a、b和c的说法。特别是，对于债券价格，我们有ptt=Re（ω-1t）Reω-1特尔夫ωt√2∑tT, （96）其中ω由（89）定义。很明显，在δ=0的实际情况下，我们超越了（96）之前的债券价格表达式（27）。因此，通过贝塞尔过程模型的复杂化，我们可以获得最终期限结构模型的真正参数扩展。我们在这里应用的复杂性方法让人想起了物理应用中使用的类似技术【22，23】。讨论严格局部鞅应在金融中发挥作用的概念已被许多作者在各种背景下考虑。尤其值得一提的是，普莱滕及其合作者所谓的本希马克（Benchmark）方法，以及F¨ollmer-Jarrow-Protter价格泡沫理论（见[21、24、25]和其中引用的参考文献），都是吸引了大量关注的例子。

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可人4

2022-6-14 11:36:32

在本文中，我们对金融理论中的局部鞅的应用提出了一个完全不同的建议，即严格的局部鞅可以作为在没有货币市场账户的加密经济中建模定价核的基础。熟悉的风险中性定价规则已不再适用，因为货币市场账户无法充当资产负债表。然而，正如我们所示，尽管短期利率消失，但市场风险价格的存在足以确保非平凡的贴现。我们在基于贝塞尔三阶和四阶过程的模型中详细研究了利率冻结方法。这些模型的优点是，可以为各种衍生合约的价格获得显式公式，或包含高斯积分的半显式表达式。更一般地说，我们可以设想一个允许许多分散货币进入的市场。现在，在一个有n种加密货币的无摩擦市场中，如果我们写下Sijt（i，j=1，2，3，…，n）表示时间t时我以货币单位j报价的一种货币单位的价格，那么我们有Sijt=πit/πjt，（97），其中{πit}表示货币i的定价核[11，18，26]。在目前的建模框架中，可以想象这样一种情况，即定价核的形式为（11），初始值πi=（ai+bi+ci）-1/2和相应的{σit}函数。一些布朗运动在整个加密经济中是共同的，代表着系统风险，而另一些可能只适用于一种或两种加密货币，代表着异质风险。

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何人来此

2022-6-14 11:36:35

到期日为T且删除利率为K的加密汇率上的看涨期权的支付为HT=（πiT/πjT-K） +，由于设置的高斯性质，其价格可以很容易地用数字计算。同样，我们可以研究加密货币i和主权货币（如美元）之间的汇率上的看涨期权定价问题。然后，在时间T，以执行价格K isCi$=π$E购买一单位加密货币i的期权的美元价格（πiT- Kπ$T）+. （98）举例来说，假设我们有一个几何布朗运动模型π$t=π$e-rt公司-λBt-λt（99）表示美元定价核，其中短期利率r为常数。对于加密货币（比如比特币），我们考虑形式为（11）的定价核，初始值πB=（a+B+c）-因此{Bt}和{Wt}是独立的。然后，期权价格由随机变量（πBT）的预期确定- Kπ$T）+，仅为非零ifBT>-λ日志πBT/Kπ$+ rT+λT. （100）一个简单的计算表明，期权价格由cb$=π$E给出πBTN（g+）- Ke公司-rTπ$N（g-), （101）其中g±=对数πBT/Kπ$+ rT±λTλ√T（102）和N（x）=√2πZx-∞e-zdz。（103）因此，加密货币汇率期权价格可以很容易地用数字计算出来。虽然为了简单起见，我们将美元期限结构视为指数型，短期利率不变，但很容易扩展模型，以允许对初始美元期限结构进行校准，同时保持结果的整体可跟踪性。

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mingdashike22

2022-6-14 11:36:38

在这方面，我们对加密汇率期权的分析可以与Madan、Reyners&Schoutens[27]的定价工作进行对比，其中美元和比特币利率被视为常数（事实上为零），这一假设可能适用于目前BTC-USD汇率上相对较短的期权，尽管不太令人满意，不用说，从更广泛的角度来看。随着适用于比特币和其他加密货币的利率模型的发展，金融机构将能够从事加密货币利率产品的交易。有可能分布式账本技术最终会找到一种方法，以持续的利息奖励虚拟货币持仓人。与此同时，应该有一个不感兴趣的榜样的角色。感谢作者对J.R.Boland、M.Kecman和A.Rafailidis的有益评论表示感谢。[1] Nakamoto，S.（2008）《比特币：点对点电子现金系统》。比特币白皮书，https://bitcoin.org.[2] 国际清算银行（2018）BIS统计公报，2018年12月，货币和经济部。www.bis。组织/统计/公告1812。htm。[3] Hughston，L.P.，ed.（1996）Vasicek and Beyond（伦敦：风险出版物）。[4] Hughston，L.P.，ed.（2000）《新利率模型》（伦敦：风险出版物）。[5] Heath，D.、Jarrow，R.和Morton，A.（1992年），《债券定价和利率期限结构：未定权益估价的新方法》。计量经济学60，77-105。[6] Constantinides，G.M.（1992）利率名义期限结构理论。金融研究回顾5531-552。[7] Brody，D.C.&Hughston，L.P.（2004）《混沌与连贯：利率建模的新框架》。《伦敦皇家学会会刊》A460，85-110。[8] 休斯顿，L.P。

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大多数88

2022-6-14 11:36:41

&Rafailidis，A.（2005）利率建模的混沌方法。金融与随机9，43-65。[9] Brody，D.C.和Hughston，L.P.（2018）《社会贴现和长期利率》。数学金融28306-334。[10] Hunt，P.J.&Kennedy，J.E.（2004）《金融衍生品的理论与实践》，修订版（Chichester：John Wiley&Sons）。[11] Rogers，L.C.G.（1997）《利率和外汇汇率期限结构的潜在方法》。数学金融7，157-176。[12] Jobert，A.&Rogers，L.C.G.（2002）估值和动态凸风险度量。数学金融18，1-22。[13] Johnson，G.和Helms，L.L.（1963年）D级超级马丁格尔。《美国数学学会公报》69，59-62。[14] Revuz，D.&Yor，M.（1999）《连续鞅与布朗运动》，第三版（柏林：Springer）。[15] Madan，D.B.&Yor，M.（2006）Ito的严格局部鞅积分公式。摘自：M.Emery&M.Yor（编辑），《纪念保罗·安德烈·梅耶》（Memoriam Paul Andr\'e Meyer），S'eminaire de probabilit'es XXXIX（柏林：斯普林格）。[16] Pal，S.&Protter，P.（2010）通过h变换分析连续严格局部鞅。随机过程及其应用1201424-1443。[17] F¨ollmer，H.&Protter，P.（2011）《局部鞅与过滤收缩》。ESAIM:PS 15，S25-S38。[18] Flesaker，B&Hughston，L.P.（1997）《利率和外汇的国际模型》。净风险敞口，3，55-79。再版于：L.P.Hughston（编辑），《新利率模型》，伦敦：风险出版物（2000），217-235。[19] Blei，S.&Engelbert H.J.（2009）关于与强马尔可夫连续局部鞅相关的指数局部鞅。随机过程及其应用119，28592880。[20] Mijatovi\'c，A.&Urusov，M。

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mingdashike22

2022-6-14 11:36:45

（2012）某些局部鞅的鞅性质。概率论及相关领域152，1-30。[21]Platen，E.&Heath，D.（2009）《定量金融的基准方法》（柏林：Springer）。[22]Newman，E.T.、Coach，E.、Chinnapared，K.、Exton，A.、Prakash，A.&Torrence，R.J.（1965）旋转带电质量的度量。J、数学。物理。6 (6), 918-919.[23]Synge，J.L.（1972）自由粒子Schr¨odinger方程的一类特殊解。物理学基础，2（1），35-40。[24]Jarrow，R.&Protter，P.（2009）《带泡沫的远期和期货价格》。《国际理论与应用金融杂志》12901-924。[25]Jarrow，R.（2016）《泡沫与多因素资产定价模型》。国际理论和应用金融杂志191650007。[26]Lipton，A.（2001）《外汇数学方法》（新加坡：世界科学出版公司）。[27]Madan，D.B.、Reyners，S.和Schoutens，W.（2019）比特币选项的高级模型校准。数字金融，https://doi.org/10.1007/s42521-019-00002-1.

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