现在我们计算F在uasF下的G^ateaux导数*[u] 。U（τ，y）=ZτdsZ∞-∞dz G（τ，y；s，z）f、 （u（s，z），u′（s，z））u（s，z）+f.（u（s，z），u′（s，z））u′（s，z）.现在我们可以导出u asu（τ，y）=u（τ，y）+ρZτdsZ的二阶近似解∞-∞dz G（τ，y；s，z）f（u（s，z），u′（s，z））+ρzτdsZ∞-∞dz G（τ，y；s，z）u（s，z）f.（u（s，z），u′（s，z））+u′（s，z）f.（u（s，z），u′（s，z））+ O（ρ）（ρ→ 0).通过返回（38）中变量的变化，我们可以得到（4 6）中的解Φ（t，Xt）。5结论我们应用计量套利理论来获得数学金融中的结果，这些结果在公式中不需要随机微分几何。首先，我们利用It^o过程的某个子类在无无界有界风险条件和期望效用最大化之间的等价性来证明（NUPBR）条件与（ZC）条件之间的等价性。然后，我们将Black-Scholes偏微分方程推广到允许套利的市场，计算具有套利的看涨期权的非线性偏微分方程的近似解。致谢我们感谢金融量化方法大会（悉尼，2017年12月）和单身金融学会第十届世界大会（都柏林，2018年7月）的与会者进行了宝贵的讨论，特别是Stefan Tappe，他们提出了（NUPBR）和（ZC）之间的关系。我们要向克劳迪奥·丰塔纳表示感谢，他强调，对于之前错误版本的Propositio n 25，贝塞尔过程满足（NUPBR），但不满足（NFLVR），如[17]和[18]所示，将是一个反例，从而导致当前的相应版本。随机过程的广义导数在随机微分几何中，人们希望将随机分析的构造从RN的开放子集提升到N维可微分流形。

为此，需要图表不变的定义，并且需要一个满足通常链式规则而不是It^o引理的随机演算（参见[20]，第7章，以及第4章第200页开头的备注）。这就是为什么几何套利理论的论文主要关注的是随机积分和导数，这是Stratonovich意义上的，而不是It^o。当然，在计算结束时，Stratonovich积分可以转换为It^o。请注意，一个基本的投资组合方程，自融资条件不能用Stratonovich积分直接正式表示，但首先用it^o积分，然后转换为Stratonovich积分，因为这是一种非预期条件。定义41。设I为实区间，Q=（Qt）t∈概率空间上的一个RN值随机过程(Ohm, A、 P）。过程Q确定了σ-代数的三个σ-子代数族：（i）“过去”Pt，由RNby all映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RNfor0<s<t.（ii）“未来”Ft，由RNby所有映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RNfor0<t<s.（iii）“Present”Nt，由RN中Borel集的前像通过映射Qs生成：Ohm → 注册护士。设Q=（Qt）t∈Ibe连续。假设存在以下限制，Nelson的随机导数定义为dqt：=limh→0+EhQt+h- Qth公司Pti：正向导数，D*Qt：=limh→0+EhQt- Qt-hh小时Fti：后向导数，DQt：=DQt+D*Qt：平均导数。（54）设S（I）所有过程的集合Q，使得t 7→ Qt，t 7→ DQT和t 7→ D*Qtare从I到L的连续映射(Ohm, A） 。设C（I）S（I）关于normkQk的完成：=supt∈我kQtkL(Ohm,A） +kDQtkL(Ohm,A） +kD*QtkL(Ohm,（A）. （55）备注42。随机导数D，D*和D分别对应于It^o、预期和Stratonovich积分（参见[19]）。

进程空间C（I）包含所有It^o进程。如果Q是一个马尔可夫过程，那么向前和向后导数定义中的西格玛代数Pt（“过去”）和Ft（“未来”）可以用西格玛代数Nt（“现在”）代替，参见（【19】中的第6.1章和第8.1章。可以在ω中逐点定义随机导数∈ Ohm 类外Cin的广义函数术语。定义43。问：我Ohm → RNbe测试过程中的连续线性函数Д：I×Ohm →RNforД（·，ω）∈ C∞c（I，RN）。我们的意思是，对于固定ω∈ Ohm 函数Q（·，ω）∈ D（I，RN），连续分布的拓扑向量空间。然后我们可以定义Nelson的广义随机导数：DQ（νt）：=-Q（Dνt）：正向广义导数，D*Q（νt）：=-Q（D*νt）：向后广义导数，DQ（Дt）：=-Q（DДt）：平均广义导数。（56）如果广义导数是正则的，则过程具有经典意义上的导数。这种构造只不过是将广义函数理论直接提升到一类更广泛的随机过程中，而这类随机过程先验地不允许Nelson的强导数。参考文献【1】Becherr，D.，无界半无限大资产的Num’eraire投资组合。《金融与随机》，2001年，5327-341。[2] Bellini，F.和Frittelli，M.，关于极大极小鞅测度的存在性。MathematicalFinance，2002，12，1-21。[3] Bj¨ork，T.和Hult，H.，关于Wick积和分数Black-Scholes模型的注记。《金融与随机》，2005，9197–209。[4] Bleecker，D.，规范理论和变分原理。Addiso n-Wesley出版社。（1981）（由多佛2005年重新出版）。[5] Christensen，M.M.和Lar sen，K.，无套利和增长最优投资组合。随机分析与应用，2007，25255–280。[6] Delbaen，F。

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