存在套利的Black-Scholes方程

2022-6-14 14:09:42

存在套利时的Black-Scholes方程：Farinlicore Dynamics GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006 ZurichEmail：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学Narashino校区信息科学高达系2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年10月13日摘要我们应用几何套利理论获得数学金融中的结果，数学金融中不需要随机微分几何。首先，对于由多维It^o过程的子类给出的一般市场动态，我们指定并证明了无免费午餐和消失风险（NFLVR）与预期效用最大化之间的等价性。作为一种副产品，我们提供了It^o过程子类的零曲率（ZC）条件给出的无无界Pro-fit-with-Bounded-Risk（NUPBR）条件的几何特征。最后，我们将Black-Scholes偏微分方程推广到允许套利的市场。关键词：N FLVR、NUPBR、几何套利理论、非线性Black-Scholes PDEAMS:91G80、53C07内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。42.2市场模型的几何重构：原语。62.3市场模型的几何重组：投资组合。72.4不同几何框架下的套利理论。82.4.1作为主要纤维束的市场模型。82.4.2 Nelson弱D-微分市场模型。102.4.3曲率套利。

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2022-6-14 14:09:45

123套利和效用204套利和衍生品定价264.1套利之前B缺乏Scholes偏微分方程。264.2修改后的Black-Scholes偏微分方程的近似解。295结论32A随机过程的广义导数331简介本文应用了一种称为几何套利理论（GAT inshort）的概念结构，以证明金融数学中的结果，这种结果在不使用随机微分几何的情况下是可以理解的，并扩展了众所周知的经典事实。因此，我们希望让数学金融界更广泛的公众能够接触到GAT。GAT用随机微分几何术语重新表述了经典的随机金融，以描述套利。GAT方法的主要思想包括对由基本金融工具构成的市场及其作为主要金融工具组合的期限结构进行建模。然后，该市场的金融特征（如无套利和均衡）以标准差异几何结构（如曲率）为特征，并与该基金会的自然联系相关联。在理论物理学中，主纤维束理论被大量利用，作为一种语言，通过提供一个不变的框架来描述物理系统及其动力学，可以最好地表述自然法则。

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2022-6-14 14:09:49

这些想法可以延续到数学金融和经济学。市场是一个金融经济系统，可以用一个适当的原则束来描述。一个类似于市场规律在数量变化下的不变性的原则可以被视为计量变化。Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下首次提出计量理论是描述经济的自然语言这一事实（[35]，[43]）。Ilinski（se e[27]和[28]）和Young[44]在对一些物理理论的分析中，提出将套利视为一个螺旋连接的曲率。独立地，[41]进一步发展了[15]开创性工作，并利用不同几何体的技术，在随机建模之前降低资产模型的复杂性。为什么套利建模很重要？无套利条件只是一个近似值，当我们考虑真实市场时，它是不完全满足的。非交易资产、交易频率低于2分钟的交易资产（参见[11]）或电力市场的情况就是如此，在电力市场中，我们不可能在任何给定时间完全清算投资组合，正如我们隐含的数学金融假设。长期以来，这一点已得到承认，近年来，允许病理案例以外的套利的市场建模取得了相关进展（见f.i.[23，38]）。数学金融模型的基准方法[21]允许套利，即使没有明确提及。本文的结构如下。

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2022-6-14 14:09:52

第2节回顾了经典的随机金融和几何滴定理论，总结了[12]，其中GAT利用了[40]、[9]、[10]、[20]、[42]和[24]中随机微分几何的形式背景，获得了严格的数学基础。套利被视为代表市场的主捆绑的曲率，它定义了与之相关的套利数量。零曲率条件是一个弱于无零风险免费午餐的条件（NFLVR）。在引入其他假设的情况下，它变得等效。例如，一个资产价格为It^o过程的市场。一般来说，零曲率条件源自无无界有界风险利润（NUPBR）条件，如我们在第3节中所述，我们分析了rbitrage与预期效用最大化之间的关系。证明了It^o过程的一个子类的等价性。在第4节中，GAT被用于在允许套利的市场情况下批准Black-Scholes偏微分方程的扩展。第5节总结，附录A回顾了Nelson的储蓄衍生品。2几何套利理论背景在这一节中，我们解释了文献[12]中介绍的几何套利理论的主要概念，并参考了这些概念的证明和其他示例。由于差异几何思想在数学金融界并不普遍，我们详细解释了资产模型作为带连接的主束的重新表述，其曲率可以视为轨道的度量。与[12]相比，提供了新的结果和更多的教学结果。2.1经典市场模型在本小节中，我们将总结经典设置，将在第2.4节不同几何术语中重新表述。

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2022-6-14 14:09:55

我们基本上遵循[26]和最终参考文献[7]。我们假设连续时间交易，交易日期集为[0+∞[.这一假设足够普遍，可以嵌入有限和有限离散时间的情况，以及连续时间内具有有限原点的情况。请注意，虽然真实世界中的交易确实只发生在离散时间，但这些都不是先验的，实际上可以是时间连续统中的任何点。这激发了连续时间随机函数的技术效应南希。不确定性通过过滤概率空间进行建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率度量，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增子σ-代数族∞以及(Ohm, A.∞, P）是一个概率空间。假设过滤A满足通常条件，即右连续性：对于所有t∈ [0, +∞[.oA包含A的所有空集∞.市场由j=1、…、指数为的众多资产组成，N、其名义价格由向量值半鞅S给出：[0+∞[×Ohm → Rn由（St）t表示∈[0,+∞[适用于过滤A.存储过程s（Sjt）t∈[0,+∞[描述了第j个资产在t时的价格，即t=0时的现金单位。更精确地说，我们假设存在第0个资产，即现金，一个严格正半鞅，它根据St=exp（Rtdu ru）演化，其中可积半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率：人们总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会不时发生变化。因此，现金账户被视为本地无风险资产，而不是其他风险资产。

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2022-6-14 14:10:03

在下文中，我们将主要利用不计算的价格，定义为^Sjt：=Sjt/St，以当前现金单位表示资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。但是，在我们的案例中，必须至少有一项严格为正的资产，即现金。如果我们想通过选择其他资产而不是cas h作为参考来重新规范价格，即通过将其设定为我们的数字，那么该资产必须具有严格的正向定价过程。更准确地说，通用数字是一种资产，其名义价格由严格正随机过程（Bt）表示∈[0,+∞[，这是一个原始资产的组合j=0，1，2，…，N。原始资产的贴现价格a再由semima rtingales^Sjt=Sjt/Bt表示。我们假设没有交易成本，允许卖空。请注意，交易成本的存在可能是对现实模型的严重限制。过滤A不一定由价格过程（St）t生成∈[0,+∞[：允许价格以外的其他信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤A。让v为正实数。v-容许策略x=（xt）t∈[0,+∞[是一个S-可积可预测过程，其It^o integralRtx·dS≥ -v a.s.适用于所有t≥ 0，x=0。如果一个策略对某些v是v-容许的，则该策略是允许的≥ 定义1（套利）。让进程（St）[0+∞[是半鞅且（xt）t∈[0,+∞[采用可接受的自我融资策略。让我们考虑交易u p到时间T≤ ∞. 时间t的投资组合财富由Vt（x）：=V+Rtxu·dSu给出，我们用k表示L的子集(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。

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2022-6-14 14:10:06

我们定义oC：=K- L+(Ohm, 第页）C：=C∩L∞(Ohm, 第页）\'\'C:L中C的闭合∞关于范数拓扑VV：=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值.o VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV型: V-容许自我融资策略的终端财富。让我∞+(Ohm, AT，P）是L中的正随机变量集∞(Ohm, AT，P）。我们说S满足o（NA），无套利，当且仅当C∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}（NFLVR），无风险消失的自由lu nch，当且仅当'C∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}（NUPBR），无无界pro-fit-with-bounded-ri sk，当且仅当某些V的VVTis在L中有界>0时。[6]和[30]阐述了这三种不同类型套利之间的关系，并证明了以下结果。定理2。（NF LV R）<=> （NA）+（NUP BR）。备注3。我们记得，如【6、30、32、31】所示，（NUPBR）相当于（NAA 1），即第1类无合意套利，相当于（NA 1），即第1类无套利。2.2市场模型的几何重构：Primitives我们将介绍第2.1节中介绍的市场模型的更一般表示，它更适合套利建模任务。定义4。规范是两个A-适应实值半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R称为减容剂，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、它被称为期限结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为估值日期，t：{（t，s）∈ [0 , +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。几乎可以肯定的是，对于所有t，s，必须满足以下特性：≥ t型≥ 0; Pt，s>0，Pt，t=1。可在固定收入范围之外考虑债务和债务结构。

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2022-6-14 14:10:09

任意金融工具被映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是金融工具在时间t的价值，用一些数字表示。如果我们选择现金账户，第0个资产作为num'eraire，那么我们可以设置Djt：=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构：Pt，sis是指在时间t时（以时间t的贴现单位表示）到期日为s的合成零息债券在时间s时交付一单位金融工具的价值。它代表了与所选数量相关的远期价格的期限结构。我们指出，对于描述资产模型的定义和期限结构，没有唯一的选择。例如，如果一组衰减因子合格，那么我们可以将每个衰减因子乘以相同的半鞅，以获得另一组合适的衰减因子。当然，期限结构必须根据情况进行修改。术语“deflicator”显然受到精算数学的启发，并在[41]中首次引入。在当前上下文中，它指的是资产价值除以严格正半鞅（如果存在这种情况，则可以是国家定价，并按数字计算）。无需假设一个偏差是一个积极的过程。然而，如果我们想将资产计入我们的收入，那么我们必须确保相应的负债是一个严格的正随机过程。2.3市场模型的几何重构：投资组合我们现在想引入贴现率和期限结构的转换，以便对包含相同（或更少）随机信息的计量表进行分组。对于这一点，我们将考虑由相同指标建模的资产的确定性线性组合（例如，相同信用质量、不同利率的零债券）。定义5。

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2022-6-14 14:10:19

设π：[0+∞[-→ R是确定的现金流强度（可能是广义的）函数。它引起规范变换（D，P）7→ π（D，P）：=（D，P）π：=（Dπ，Pπ）通过公式化的πt：=DtZ+∞dhπhPt，t+h，Pπt，s：=Z+∞dhπhPt，s+hZ+∞dhπhPt，t+h。备注6。现金流强度π规定了债券现金流结构。按市场模型数字计算的债券价值由Dπt给出。按债券现值表示的债券未来远期价格的期限结构由Pπt，s.命题7给出。现金流向量引起的规范变换具有以下特性：（（D，P）π）ν=（（D，P）ν）π=（D，P）π*ν、（1）其中* 分别表示两个现金流向量或强度的卷积积：（π* ν） t：=Ztdhπhνt-h、（2）证明。我们可以观察到（Dπt）ν=DπtZ+∞dhνhPπt，t+h=DtZ+∞dhνhZ+∞duπuPt，t+h+u。通过改变变量v：=h+u，我们得到（Dπt）ν=DtZ+∞dvZvdhνhπv-h类Pt，t+v=（Dt）π*ν与（Dνt）π重合，证明了（1）的第一个分量。第二个组件可以类似地派生。两个不可逆规范变换的卷积是不可逆的。不可逆规范变换的不可逆演化是不可逆的。定义8。期限结构可以写为ins等值远期利率fde定义的asft的函数，s：=-行程Pt，s，Pt，s=expA-Zstdhft、h~a和RT：=lims→t+ft，s（3）称为短期利率。备注9。由于（Pt，s）t，sis是一个依赖于参数s的t-随机过程（半鞅）≥ t、 s-导数可以确定，上述表达式在经典和广义意义上具有路径意义。在广义意义上，任何ω都有一个D′导数∈ Ohm; 如果Pt，s（ω）是s的C函数，则这对应于经典的s-连续导数≥ 0和ω∈ Ohm.备注10。

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2022-6-14 14:10:22

消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于所有资产，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。2.4不同几何框架中的套利理论现在，我们可以用自然几何语言重新表述第2.1小节中提出的资产模型。鉴于基础资产，我们希望构建投资组合理论并研究套利，因此我们不能先验地假设存在风险中性度量或国家价格波动。在微分几何方面，我们将采用数学家的方法，而不是物理学家的方法。市场模型被视为（贴现、期限结构）对的主要组合，贴现和组合再平衡（或外汇）作为平行运输，num'eraire作为计量组合的glo-bal部分，Arbitrage作为曲率。证明了无无界pro-fit-with-bounded-risk条件意味着零曲率条件。2.4.1市场模型，作为美国主要的纤维束公司，我们连续考虑一个拥有N个资产和一个数量的市场。一般投资组合的时间t由名义向量x描述∈ 十、对于开集X 注册护士。按名义x，xNwe是指我们在投资组合中持有的资产数量。定义4后，通过计量表（Dj，Pj）=（（Djt）t来描述由N个合成零债券组成的资产模型∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t），其中dj表示偏差，pj表示j=1的期限结构，N

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2022-6-14 14:10:25

More确切地说：dj是第j个金融工具在时间t的价值，用一些数字表示，Pjt是第j个合成零息债券在时间t的价值（用债务Djtat时间t的单位表示），到期日为s，在时间s交付一个金融工具单位。期限结构可以写成jt，s=expA-Zstfjt，udu~a，其中fjis是第j项资产的瞬时正向利率过程，相应的短期利率由rjt给出：=limu→t+fjt，u。对于名义值为x的投资组合∈ 十、 RNwe定义文本：=NXj=1xjDjtfxt，u：=NXj=1xjDjtPNk=1xkDktfjt，uPxt，s：=expA-Zstfxt，udu~a。短速率写入文本：=limu→t+fxt，u=NXj=1xjDjtPNk=1xkDktrjt。所有可能策略的图像空间rea dsM：={（x，t）∈ X×[0+∞[}。在第2.3小节中，引入了现金流强度和相应的计量转换。它们具有Abe-lian s emigroup H的结构：=E′（[0+∞[，R）={F∈ D′（[0+∞[）| s upp（F） [0, +∞【is Compact}，其中具有紧支持的分布上的半群运算是卷积（见第四章【22】），它扩展了公式（2）定义的正则函数的卷积。定义11。市场纤维束定义为gaugesB的纤维束：={（Dxt，Pxt，·）π|（x，t）∈ M、 π∈ G} 。定义可逆交易的现金流强度构成一个阿贝尔群G：={π∈ H |存在ν∈ H使得π* ν = δ} E′（[0+∞[，R）。其中δ是Diracδ函数，作为恒等元。从命题7我们得到定理12。市场纤维束B的结构是由动作B×G给出的G-主纤维束-→ B（（D，P），π）7→ （D，P）π=（Dπ，Pπ）群G自由地、不同地作用于右侧的B。市场组合重新包装了有关资产未来及其基础的市场动态的所有信息。

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2022-6-14 14:10:28

主捆绑结构反映了固定时间的投资组合构建可能性，以及计量变换指定的给定现金流模式的合成债券构建可能性。2.4.2 Nelson弱D-差异市场模型我们继续根据随机差异几何学重新构建第2.1小节中引入的经典资产模型。定义13。N资产的Nelson弱D-可微市场模型由Ngauges描述，该模型对于时间变量是Nelson弱D-可微的。更确切地说∈ [0, +∞[和s≥ 这里有一个开放时间间隔I 因此，对于定义因子Dt：=[Dt，…，DNt]+和术语结构Pt，s：=[Pt，s，…，PNt，s]+，后者被视为t中的过程es和参数s，存在关于时间变量t的弱D导数（见附录a）。短期利率由rt定义：=lims→t型+slog Pt，s.A战略是一条曲线γ：I→ 由时间参数化的公文包空间中的X。这意味着时间t的分配由标称值xt的向量给出：=γ（t）。我们用γ表示γtoM的升力，即γ（t）：=（γ（t），t）。如果策略由闭合曲线表示，则称其为闭合的。弱可容许策略是可预测的，弱D-可微的。备注14。我们需要弱的D-可微性，而不是强的D-可微性，因为对t-修正策略施加先验正则性属性对应于限制与Delbaen和Schachermayer的经典概念相关的可容许策略类。每一个（无）套利考虑都在很大程度上取决于所选择的可采性定义。因此，限制可接受策略的类别可能导致自动排除潜在的套利机会，从而导致对各种资产定价基本定理的空洞陈述。

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2022-6-14 14:10:32

经典意义上的可接受策略（见第2节）是弱D-可微的。一般来说，分配可以取决于性质的状态，即对于ω，xt=xt（ω）∈ Ohm.提案15。弱D-容许策略是自融资的当且仅当ifD（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Ditor Dxt·Dt=-D*hx，抖动Dxt·Dt=0，（4）几乎可以肯定。括号h·、·i表示二次协变量的连续部分。证据当且仅当xt·Dt=x·D+Ztxu·dDu时，该策略是自我融资的，这表示它的微分D，等效toD（xt·Dt）=xt·DDt，（5）或等效TODX·Dt=0。（6）自我融资条件可以通过预期差异d表示*asxt·Dt=x·D+Ztxu·D*杜邦-Ztd hx，Diu，相当于toD*（xt·Dt）=xt·D*Dt公司- D*hx，Dit。（7）通过对方程（5）和（7）求和，我们得到D（xt·Dt）=（D+D*)（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Dit。为了证明表达式（4）中的第二条语句，我们考虑了它的分部积分公式^o\'sintegralZtxu·dDu+ZtDu·dxu=xt·Dt- x·D- hx，Dit，用Stratonovich积分表示，导致ZTxUodDu-hx、Dit+ZtDuo dxu-hx，Dit=xt·Dt- x·D- hx，Dit。通过在两侧取Stratonovich的导数D，我们得到D（xt·Dt）=Dxt·Dt+xt·DDt，这与表达式（4）中的第一条语句一起证明了第二条。为了提醒本文，除非另有说明，否则我们将仅使用弱D-可差分市场模型、弱D-可差分策略，并在必要时使用弱D-可差分州价格浮动。所有It^o过程都是弱D-可微的，因此被认为是一类非常大的可容许策略。2.4.3曲率套利G的李代数是[0+∞[表示为G=R[0+∞[因此是可交换的。

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2022-6-14 14:10:40

根据Ilinski在[28]中提出的想法，我们鼓励选择特定的g值连接1-形式，因为它允许将投资组合重新编码为e（或外汇），并将折扣作为平行运输。定理16。选择连接χ（x，t，g）。（δx，δt）：=鐞DδxtDxt- rxtδtag，（8）B中的随机平行传输具有以下财务解释：o沿标称方向（x线）的平行传输对应于交换率的乘法沿时间直接离子（t线）的平行传输对应于随机折扣因子的除法。证据我们参考了文献[12]中的定理28。回想一下，必须从Stratonovich的角度理解定义沿时间线平行传输所需的时间导数。我们看到这个捆绑包是独立的，因为它有一个全球化的特权，但它的连接并不是微不足道的。连接χ作为基本形式的线ar组合写入，如χ（x，t，g）=尼DxtNXj=1Djtdxj- rxtdtég.（9）g值曲率2-fo形式定义为r：=dχ+[χ，χ]，（10）表示所有（x，t，g）∈ B和所有ξ，η∈ T（x，T）MR（x，T，g）（ξ，η）：=dχ（x，T，g）（ξ，η）+[χ（x，T，g）（ξ），χ（x，T，g）（η）]。（11）注意，作为Lie alg e bra交换的，Lie括号[·，·]消失了。经过一些计算，我们得到r（x，t，g）=gDxtNXj=1Djt"Arxt+Dlog（Dxt）- rjt公司- Dlog（Djt）"adxj∧ dt，（12）总结如下。命题17（曲率公式）。设R为曲率。然后，以下等式成立：R（x，t，g）=gdt∧ dx[数据日志（Dxt）+rxt]。（13）曲率抑制了市场允许的瞬时套利能力。

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2022-6-14 14:10:44

尽管原始证明可以在[12]中的命题38中找到，但它是基于物理概念，如散度和电流，这对于数学金融来说并不太熟悉，在此我们重新陈述了s的向前证明。证据由于Lie括号[·，·]消失，且外导数d仅作用于（9）右侧的第一项，R（x，t，g）=dχ（x，t，g）=g·dNXi=1 日志（Dxt）xi·dxi- rxtdt！。我们注意到，对于第一项，微分d的作用是d=dx+dt=dx+d，而对于第二项，微分dact的作用是d=dx(-rxt）dt，因为dt∧ dt=0，如下所示。d(-rxtdt）=dx(-rxtdt）=-Xj公司xjrxtdxj∧ dt=Xjxjrxtdt∧ dxj。然后我们得到r（x，t，g）=g·Xi<jxixj公司日志（Dxt）dxi公司∧dxj+XjD 日志（Dxt）xi+Xjxjrxt！dt公司∧ dxj！，但是第一项消失了，因为楔形积dxi的抗突变性∧dxj=-dxj公司∧dxi。重新排列或删除我们可以得出如下结论：r（x，t，g）=g·Xjxj公司Dlog（Dxt）+rxtdt公司∧ dxj=g·dt∧ dx公司Dlog（Dxt）+rxt.我们可以证明以下将套利特征化为曲率的结果。定理18（无套利）。以下论断是等效的：（i）市场模型（由基础资产和期货以及贴现价格D和P组成）满足风险消失条件下的无免费午餐。（ii）存在正的局部突变β=（βt）t≥0以使贴现率和短期利率满足所有投资组合名义和任何时候的条件Rxt=-Dlog（βtDxt）。（14）（iii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使所有投资组合名义和所有时间条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt的定义和期限结构满足。（15）证明。我们参考了文献[12]中的定理33。这激发了以下定义。定义19。

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2022-6-14 14:10:47

当且仅当曲率为a.s.时，市场模型满足零曲率（ZC）。因此，我们有以下含义，依赖于两个不同的无可能性定义：推论20。（NFLVR）=> （ZC）。作为演示如何应用第2节最重要的几何概念的示例，我们考虑一个资产模型，其动力学由多维It^o过程给出。让我们考虑一个由N+1资产组成的市场，这些资产用j=0，1，N、其中，第0项资产是用作数字的现金账户。因此，如介绍性小节2.1所述，有必要对其他资产的价格动态j=1，N以第0项资产表示。作为离散价格过程的向量值se半鞅：[0+∞[×Ohm → R和短期评级者：[0，+∞[×Ohm → RN，我们选择了多维It^o过程，其中o（Wt）t∈[0,+∞[是RK中的标准P-布朗运动，对于某些K∈ N、 o（σt）t∈[0,+∞[，（αt）t∈[0,+∞[分别是RN×K-，和，RN值随机过程，σthasmaximal秩，即秩（σt）=K，和，o（bt）t∈[0,+∞[，（at）t∈[0,+∞[分别是RN×K-和RN-值随机过程。命题21。通过遵循（16）中的It^o过程来描述市场模型的动力学，其中我们另外假设系数o（αt）t、（σt）t和（rt）t满足极限→t型-Es[αt]=αt，lims→t型-Es【rt】=rt，lims→t型-Es[σt]=σt，o（σt）是一个It^o过程，o（σt）和（Wt）皮重独立过程。然后，市场模型满足（ZC）条件，当且仅当αt+rt∈ 范围（σt）。（17）备注22。在经典模型中，没有术语结构（即r≡ 0），条件（17）读数为αt∈ 范围（σt）。证据

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2022-6-14 14:10:50

让我们考虑关于Stratonovich\'sZtσudWu=Ztσu的It^o积分表达式o dWu公司-Ztd hσ，W iu，取对应于Stratonovich积分的Nelson导数：DZtσudWu=σtDWt-Dhσ，W it。（18）由于独立性，假设两个It^o过程（σt）和（Wt）t，hσ，W It≡ 0，我们得到dztσudWu=σtWt2t，插入到资产动力学中-diag（σuσ+u）du+ZtσudWu，导致log^St=αt-diag（σtσ+t）+σtWt2t。根据命题17，曲率消失当且仅当所有x∈ RNDlog^Sxt+rxt=Ct，对于实值随机过程（Ct）t≥0，或，相当于ydlog^St+rt=Cte，其中e：=[1，…，1]+或αt+rt-diag（σtσt+）+σtWt2t=Cte。（20）方程式（20）是市场模型（16）的（ZC）条件的公式。在（20）林的两侧→0+Et-h[·]，并利用独立性假设-h"iσtWt2tò=Et-h[σt]Et-h"iWt2tò{z}=0=0下面，我们使用r（αt）t，（σt）t和（rt）t的连续性假设，得到了αt+rt-diag（σtσt+）=βte，其中βt：=limh→0+Et-h【Ct】是一个可预测的过程。因此，方程式（20）变为σtWt2t=（Ct- βt）e，（21）和，thuse∈ 范围（σt），（22）由σt的列向量所连接的空间。由于σt为最大imal秩，σt的k列向量线性独立，且Ct- βt6=0。设Pσt，Pσ⊥t给出区间（σt）及其正交补区间（σt）的正交投影⊥, 分别地然后，我们可以分解eαt+rt=Pσt（αt+rt）+Pσ⊥t（αt+rt），（23）和pσ⊥t（αt+rt）=Pσ⊥t（Cte）- Pσ⊥tAσtWt2t~a+Pσ⊥tAdiag（σtσt+）~a。（24）由于e和σtWtlie在范围（σt）内，（24）右侧的前两个附录消失。第三个也消失了，所以Pσ⊥t（αt+rt）=0，即。

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2022-6-14 14:10:53

αt+rt∈ 范围（σt）。相反，如果αt+rt∈ 范围（σt），则方程（20）成立，并且（ZC）条件和（17）之间等价性的证明完成。引理23。设A是欧几里德RN上的线性算子。向量diag（A）：=NXj=1（Aej·ej）ej不依赖于RN的正交基{e，…，en}的选择，并定义了A的对角线。证据diag（A）相对于正交基{e，…，eN}的坐标可以写为[diag（A）]{e}=NXj=1（[ej]+{e}[A]{e}[ej]{e}）[ej]{e}（25）。让我们考虑RN的另一个正交基{f，…，fn}。这意味着Rn上存在一个正交线性算子U，使得对于所有j=1，…，U ej=fj，N、因此，我们可以写[diag（A）]{e}=NXj=1"A（[U]+{f}[fj]{f}）+[A]{e}[U]+{f}[fj]{f}228[U]+{f}[fj]{f}=NXj=1"A[fj]+{f}[U]{f}[A]{e}[U]+{f}[fj]{f}"a[U]+{f}[fj]{f}=[U]+{f}尼NXj=1[fj]+{f}[A]{f}[fj]{f}é=[U]+{f}[诊断（A）]{f}。（26）因此，对角线的坐标在基的变化过程中像向量一样变换，因此对角线得到了很好的定义。引理24。设σ为秩为K的RN×Kreal矩阵，P为σ列向量生成的曲面的正交补上的正交投影。那么，P diag（σ+）=0∈ 注册护士。证据实对称矩阵σ+∈ RN×9通过标准正交基在RN上引入一个自伴线性算子，通过引理23，该算子有一个定义良好的对角线。让我们通过添加N，将σ扩大到RN×Nmatrix- K零列向量。材料ixσ+∈ RN×Nremains相同。让我们考虑RN，{f，…，fN}的正交基，其中{f，…，fK}是范围（σ）的基，{fK+1，…，fN}是其或thogonal补码范围（σ）的基⊥. σ+readsdiag（σ+）=NXj=1（σ+fj·fj）fj=NXj=1（σ+fj·σ+fj）fj=KXj=1（σ+fj·σ+fj）fj的对角线，（27）因为σ+fj=0表示j=K+1，N，是范围（σ）的正交补。

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2022-6-14 14:10:56

因此，P diag（σ+）=KXj=1（σ+fj·σ+fj）P fj=0，（28），因为j=1，…，fjis在范围内（σ），K和P是射程的投影（σ）⊥.接下来，在It^o动力学的情况下，我们展示了（ZC）条件与（NFLVR）的e等价性。提案25。在与命题21相同的假设下，如果正随机过程（βt）t≥0，定义为βt:=expC-ZtCudua是一个局部鞅。证据根据命题17，零曲率（ZC）条件R=0等价于随机过程s（Ct）t的存在≥0这样，对于所有i=1，N方程式dLog^Sit+rit=Ct成立。这意味着dLog^Sit=Ct- ritlogSitSi=Zt（Cu- riu）duSit=Siexp玟ZtCuduaexp玟-Ztriudua。因此，对于所有i=1，…，Dlog（βtDit）+rit=0，N、根据定理18，if（βt）t≥0是鞅，那么我们已经证明了（NFLVR）。我们可以将命题21的结果重新表述如下。推论26。设{Jt，…，JBt}为ker（σt）的正交基注册护士。在与命题21相同的假设条件下，市场模型（16）的（ZC）条件（相当于（NFLVR）等于ρt：=J+t（αt+rt）≡ 0∈ RB，（29）其中Jt：=[Jt，…，JBt]。备注27（反例）。让我们考虑一个金融市场，其现金账户为rt=0，单一风险资产的（贴现）价格为t=eXt，其中Xt：=ZtWuu+Wt，（30）对于标准的单变量布朗运动（Wt）t。根据It^o公式，它遵循DST=StA+Wt~a+stdwtands=1。在命题21的符号中，这对应于αt=+wt和rt=0。系数αt不满足假设极限→t型-Es[αt]=αt，因为Elims→t型-Es"i+Wttò=+lims→t型-Es【Wt】{z}=06=αt。过程（St）t不满足（NFLVR），sinceRWtt公司由于[29]第3.2条的规定，所有>0的dt>0。

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2022-6-14 14:10:59

用Delbaen&Schachermayer的术语来说，模型（30）产生了即时入股机会。其他简单的反例可以从布朗桥（BrownianBridges）中构造出来，它提供了公认的套利模型示例（见[33]）。此外，Font ana和Runggaldier在[17]（示例7.5）和[18]（第59页）中基于贝塞尔过程提出了资产模型，这些模型不符合命题21和25的假设。它们是满足动力学（NUPBR）而非满足动力学（NFLVR）的一个示例。（NUPBR）性质的证明基于其与第一类套利可能性不存在的等价性。3套利和效用我们现在考虑一个效用函数，即实变量的实C函数，它是严格单调递增（即u′>0）和凹形（即u′<0）。通常，市场参与者希望在某个时间范围内最大化其财富的预期效用。让我们假设他（或她）持有一个以到期日为基础资产的零债券组合，并且时间非常接近，即瞬时总回报的效用必须最大化。Portfolio值读取为：o在时间t- h： Dxt公司-hPxt公司-h、 t+h.o时间t:DxtPxt，t+h.o时间t+h:dxth+h。从现在起，我们做出以下假设：（A1）：市场过滤（At）t≥0是最粗的过滤，其中（Dt）t≥0已调整。（A2）：过程（Dt）t≥0是关于过滤（At）t的Mar kov≥0、提案28。在假设（A1）和（A2）下，合成债券投资组合即时回报可计算为：Retxt：=limh→0+Et~nDxt+h- Dxt公司-hPxt公司-h、 t+h2hDxt-hPxt公司-h、 t+h^o=Dlog（Dxt）+rxt。证据

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2022-6-14 14:11:02

在假设（A1）和（A2）下，市场过滤（At）t的条件预期≥0与针对当前（Nt）t计算的值相同≥0，过去（Pt）t≥0和未来（Ft）t≥0过滤（见附录A）。因此，我们可以开发瞬时回程→0+Et~nDxt+h- Dxt公司-hPxt公司-h、 t+h2hDxt-hPxt公司-h、 t+h^o=limh→0+Et~nDxt+h- Dxt公司-h2hDxt-hPxt公司-h、 t+h+1- Pxt公司-h、 t+h2hPxt-h、 t+h^o=DxtDDxt+limh→0+exp"ARt+ht-hds fxt-h、 s"a- 12h=Dlog Dxt+rxt。备注29。这种理论上的合成零债券组合与实践中的未来债券组合相对应。如果短期利率消失，则未来与原始资产相对应。定义30（合成债券组合回报的预期效用）。让t≥ 时间是固定的。对于初始资本ξwritessupx={xh}h，在时间s时的预期效用最大化问题≥sDxss=ξEs~nuexpZTsdt（D log（Dxtt）+rxtt）adxsspxs，Ta，（31）其中上确界接管所有弱D-可微自融资容许策略x={xu}u≥现在，我们可以得出本小节的第一个结果。定理31。让我们假设（A1）和（A2），（Dt）t，（rt）tar是弱D-可微半鞅。当且仅当所选效用函数的期望效用最大化问题可以在所有时间和范围内求解时，市场曲率消失。这一结果可视为离散时间内相应结果的自然推广，参见[16]中的第3.5节，也可参见[37]。与Bellini、Frittelli和Schachermayer关于连续时间内有限维优化问题的结果进行比较，参见[2]中的定理m 22和[39]中的定理2.2。对于风险消失条件下的无免费午餐的充分性，没有任何说明：只有较弱的ze-ro曲率条件相当于在所有时间范围内的预期效用最大化。证据

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2022-6-14 14:11:06

优化问题（31）转化为连续时间随机最优理论的标准问题，可通过Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程的基本解来解决。然而，有一种直接的方法，使用拉格朗日乘子计算巴拿赫空间（见[34]第239-270页和[45]第4.14节，第270-271页）。首先，remark that问题（30）是一个具有凸域和凹效用函数的凹优化问题，因此具有对应于全局最大值的唯一解。对应于ma ximummproblemΦ（x，λ，u）的拉格朗日主函数c：=Es~nuCexpCZTsdt（Dlog（Dxtt）+rxtt）dxsspxs，Ta-ZTsdtλtDxt·Dt^o- u（Dxss- ξ).（32）请注意，对应于自拟合条件（6）的拉格朗日乘数λ，表示对应于它的微分的纳尔逊导数之间的微分，是一个随机过程（λt）t≥0.ThisLagra nge乘数是弱D-可微的，因为迄今为止涉及的所有过程都是。与初始财富相对应的拉格朗日乘数u为实数。为了解决Φ关于过程（xt）和（λt）的最大化问题，我们将最优解嵌入到一个单参数族中，如下所示：xt（）：=xt+δxtλt（η）：=λt+ηδλtu（ν）：=u+νδu，其中、η和ν是在0附近定义的所有参数，δxt、δλ和δν是任意变化，因此边界条件xs（）≡ xsxT（）≡ xT，（33）表示满意。

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2022-6-14 14:11:09

与最大化问题相关的拉格朗日主方程如下Φ=η=ν：=0=Es“u′CexpCZTsdt（Dlog（Dxtt）+rxtt）adxsspxs，Ta·expCZTsdt（D log（Dxtt）+rxtt）adxsspxs，T·ZTsdtx（Dlo g（Dxt）+rxt）x=xt·δxt-ZTsdtλtDδxt·Dt#-uDδxss=0Φη=η=ν:=0= -ZTsdtΔλtDxt·Dt=0Φν=η=ν:=0= -Δu（Dxss- ξ） =0，（34）其中，根据莱布尼茨定理，我们将关于或η的微分与对t的期望和条件期望的积分互换。边界条件意味着δxs=0，因此uDδxss=0。按时间变量的部分积分显示-ZTsdtλtDδxt·Dt=ZTsdt D（λtDt）·δxt，插入到（34）的第一个方程中，导致toEs~nZTsdtx（Dlog（Dxt）+rxt）x=xt+D（λtDt）a·δxt^o=0，（35），其中m：=u′CexpCZTsdt（Dlog（Dxtt）+rxtt）dxsspxs，TaexpCZTsdt（Dlog（Dxtt）+rxtt）dxsspxs，是一个严格的正随机变量。由于δx的变化是任意的，我们从（35）M推断x（Dlog（Dxt）+rxt）对于任何t，x=xt+D（λtDt）=0∈ [s，T]，因此，对于选择T：=s，它是初始条件xs∈ RNarbitraryDlog（Dxt）+rxt=-MD（λtDjt）xj+cjt对于所有j=1，N、对于随机过程（Cjt）t≥0因此-MD（λtDjt）xj+Cjt=-MD（λtDit）xi+cit对于所有j 6=i，当且仅当D（λtDjt）=0Cjt=Ct（36），对于所有j=1，N、因此，对于最优拉格朗日乘子，D（λtDt）=0∈ RN和Dlog（Dxt）+rxt=Ct对于所有j=1，N、（37）因此，根据命题17，曲率必须消失，这意味着最大化问题的解的存在意味着曲率的消失。反过来也是正确的，正如我们可以从（37）到（32）的证明步骤中看到的那样。

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2022-6-14 14:11:12

因此，（ZC）和（31）之间的等价性成立。事实证明，套利的两个较弱的概念，零曲率和无界有界风险是等价的。定理32。让我们假设（A1）和（A2），（Dt）t，（rt）tare半鞅。然后，（NUPBR）=> （ZC）。备注33（反例）。（30）Saties（ZC）给出的模型，因为它在风险资产中是一维的，但不完全（NUPBR），因为它允许立即套利机会，如Remark27所示。理论证明32。根据[25]中的命题2.1（4），（NUPBR）等价于增长最优投资组合的存在。我们将por tfolio优化的经典设置应用于考虑中的未来投资组合（作为一种特殊情况涵盖基础资产投资组合）。由于时间s处的por tfolio值为xsspxss，T，并且从s到T的增长因子为isexpztsdt（D log（Dxtt）+rxtt）a，因此s：=0和任意T的效用函数u：=log的预期效用最大化的解必须等于最优增长组合。因此，根据定理em31（ZC）如下。在什么条件下，定理32的逆是真的？对于马尔可夫动力学的一个特殊选择，可以证明期望效用最大化和（NFLVR）的等价性。也就是说，如果资产动态遵循It^o过程，则建议25和定理31将导致建议34。让市场模型的动力学通过遵循（16）中的It^o过程来具体化，其中我们还假设系数o（αt）t、（σt）t和（rt）tsatisfylims→t型-Es[αt]=αt，lims→t型-Es【rt】=rt，lims→t型-Es[σt]=σt，o（σt）是一个It^o过程，o（σt）和（Wt）皮重独立过程。然后，当且仅当所选效用函数的预期效用最大化问题可以在所有时间和范围内得到解决时，（NFLVR）条件成立。推论35。

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2022-6-14 14:11:15

在提案34的相同假设下，（ZC）=> （NUPBR）。这两个结果与文献[1]、[5]、[31]和[25]中的著名结果一致。4套利和衍生品定价（NFLVR）是金融市场的一种均衡条件，Black-Scholes PDE允许对这些金融市场基础资产的衍生品进行独特定价。即使（ZC）没有填满，市场力量也会决定一种资产动态，使市场允许的套利总量最小化，如[12，13]所示。最小套利也是一种均衡条件，它概括了基准方法（如[21]），导致概率度量与统计度量等价，这是风险中性度量的最佳近似值（参见未来的[14]）。在这种情况下，（非线性）偏微分方程允许对基本资产的衍生品进行唯一定价，其中明确显示了套利措施。4.1 Black-Scholes PDE在存在允许套利的市场套利的情况下，我们能够得出衍生工具的价格动态，其基础遵循It^o过程。这是一个非线性偏微分方程，一旦套利消失，它就与线性Black-Scholes偏微分方程重合。定理36。让我们考虑一个由银行账户、资产和衍生品组成的市场，该市场的定价Xt和Φ（t，Xt）遵循It^o的过程。特别地，rdxt=Xt（αtdt+σtdWt），其中（αt）t∈[0,+∞[和（σt）t∈[0,+∞[是实值适应过程，后者具有有限的变化。假设支付函数Φ=Φ（t，x）∈ C1,2，衍生工具贴现价格解决PDEΦt+σtXtΦx=ρtΦ丏1+AΦΦxXta，（38）（29）中定义的ρt衡量市场允许的套利。证据

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2022-6-14 14:11:18

我们在推论26中证明了这个定理，其中短期利率rt为零。通过假设，选择N：=2，B：=1，市场动力学读数为d^St=^St（(R)αtdt+(R)σtdWt），（39），其中^St：=XtΦ（t，Xt）, (R)αt：=αtβt, (R)σt：=σtτt.对于适当的实值可预测过程（βt）t∈[0,+∞[和（τt）t∈[0,+∞[描述导数的动力学。我们将It^o引理应用于（39）的第二个成分。通过比较确定性项和随机项，我们得到Φt型+ΦxXtαt+σtΦxXt=βtΦΦxXtσt=τtΦ。（40）一维ker（(R)σt）的跨距为jt：=（σt+τt）--τt+σt, （41）和向量‘αt限制分解‘αt=λt‘σt+ρtJt，（42）对于实λ和ρt=’α+tJt。现在我们可以在（40）中插入（42）并消除λt，因为λtterms c取消了。（40）的第一个方程式为Φt+σtXtΦx=ρtXtΦxAσt+τtτt~a。（43）（40）的第二个方程可以写成σtτt=ΦXtΦx、插入（43）中，得到（38）。备注37。在[11]中，利用另一种套利度量|ρt，PDEΦt+σtXtΦx=-√2ρtΦ~n1+XtΦAΦx~a-Φx^o，（44）是推导出来的。经过一些计算，结果表明|ρt=-√1+XtΦΦx个1.-XtΦΦx+XtΦΦx个!ρt，从而保证（40）和（44）都是存在套利情况下衍生品价格的相同非线性Black-ScholesPDE的两个表示。备注38。如果允许套利可能性，则不存在风险中性概率度量。然而，资产定价可以作为（有条件的）关于最小套利概率度量的贴现资产现金流预期来获得，如【14】所述。可以直接根据价格而非折扣价格重新制定orem36。推论39。让我们考虑一个市场，由一个具有恒定瞬时无风险利率r的银行账户组成，一个资产和一个价格为ψ（t，St）的衍生品遵循It^o过程。

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2022-6-14 14:11:21

具体而言，rdst=St（αtdt+σtdWt），其中（αt）t∈[0,+∞[和（σt）t∈[0,+∞[是实值适应过程，后者具有有限的变化。假设支付函数ψ=ψ（t，s）∈ C1，2，衍生价格解PDEΨt+rStΨs+σtStΨs- rψ=ρtψ丏1+AψΨsSta，（45）（29）中定义的ρt衡量市场允许的套利。注意，在（ZC）情况下（45）成为著名的线性Black-Scholes偏微分方程，这在教科书中很有名。证据在等式（38）中，我们插入Φ（t，x）=ψ（t，s）e-rtx=e-rts，并且考虑到x=ertsx=e2r tsst=rs，在一些代数方程（45）之后，我们得到。4.2修正Black-Scholes Pd的近似解在本小节中，我们以隐式形式推导了看涨期权价格、其基础价格和套利度量ρ之间的依赖关系。为此，我们假设套利测度ρt≡ ρ在所考虑的期间内保持不变，通常介于0和衍生工具到期日T之间。正如【11】经验性讨论的那样，套利测度相对较小，因此我们考虑ρ的概率，并寻求修正Black-Scholes偏微分方程（38）的近似解。我们注意到，修改后的Black-Scholes PDE（38）的非线性项与ρ线性相乘。定理40。

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