此更新功能与向后和向前实用程序（请参见[32]）和动态随机实用程序（或者更好的是，与相应的条件确定性等价物（请参见[22]）有着有趣的联系，其中实用程序可能随状态和时间而变化。为了更好地说明这种财务解释，假设金融市场是在上述框架下建模的，并且金融代理人规定以下合同在时间T到期：o合同在时间T=0时的价格是一个货币单位。o如果合同期间没有违约，代理人在合同结束时收到最初投资的金额加上布朗运动的价值如果在合同期间存在违约，则在终端时间T，代理仅收到部分WTT- τTof值wt取决于到期时间T- 出现默认τ时的τ。因此，代表合同盈亏的财务状况由以下随机变量描述：ξ=WTT<τ+WTT公司- τT- 1.T≥τ.正如我们不久将看到的那样，索赔的拟议结构允许我们获得一个明确的公式，通过前面介绍的熵风险度量来评估其风险。很明显，ξ是GT可测的，ξ=ξT<τ+ξ（τ）1T≥τ、 式中，ξ=wt，ξ（θ）=WTT-θT-1，对于所有0≤ θ ≤ T从（4.1）-（4.2）中，经过常规计算，我们得到ρt（ξ）=t- t型- Wt，ρt（ξ（τ））=1+（t- τ） 2γ（τ）T（T- t）-T- τ行波管。这些明确的公式允许我们对这种金融头寸的风险评估进行数值模拟，并强调我们的结果在可能发生违约的金融市场背景下的相关性。备注4.1。

在给出我们的数值结果之前，让我们强调一个事实，即在迄今为止文献中研究的BSDE引起的动态风险度量的框架下，无法对本例中提出的索赔进行评估。事实上，随机变量ξ表示为FT可测随机变量WT的可测函数，在这种情况下，随机时间τ与WT无关。最后一个事实至关重要，据我们所知，它阻止使用任何已知结果。同时，很明显，在这种情况下，或者更一般地说，在逐步扩大过滤的理论下，对动态风险度量的调查应该引起重视，因为在这个框架中可以推导出许多有趣的结果，可以研究更多的金融市场模型。我们提供了BSDEJ（2.2）诱导的动态风险度量ρ及其组件ρ和ρ（默认时间之前，ρ的值通常固定为零）的以下五个模拟轨迹。使用的数据如下：T=1，u=1，σ=0.1，γ（θ）=1- 0.9 e-θ，具有1000个时间网格离散步骤。特别要注意的是，建议的γ函数描述了一种情况，即在违约情况下，随着违约时间的推移，风险容忍度参数越来越接近无违约参数（在本例中等于1）。图中给出了模拟的默认时间。风险度量、过滤扩大和BSDES 210 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t-1012t（）模拟轨迹0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t-10120t（）模拟轨迹0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t-10121t（）模拟轨迹图1。与财务索赔评估相对应的ρ、ρ和ρ的模拟轨迹ξ=WTT<τ+WTT公司-τT- 1.T≥τ.

模拟的默认时间为：τ=0.1191（绿色轨迹）、τ=0.3023（蓝色轨迹）、τ=0.8398（紫色轨迹）、τ=1.4381、τ=2.0087。很容易看出，如果要应用风险度量，例如在信贷市场中，有一种工具可以以时间一致的方式改变违约事件的风险评估，这是一个至关重要的特征：在某些情况下，财务状况ξ在违约前至少一段时间是可接受的，然后在违约后变得不可接受。这种行为不仅是由于ξ对违约时间的依赖性，而且还取决于金融机构风险容忍度参数的更新。第二个也是最后一个示例提供了对风险度量ρ的唯一更新特性影响的评估。假设被评估的净财务状况为ξ=WT。这显然是FT可测量的，因此由τ确定的随机事件的影响（例如，违约或突然出现的新信息）只有通过金融机构的风险容忍参数才是有形的。事实上，在这种情况下，风险评估ρ（ξ）和ρ（ξ（τ））的演化由ρt（ξ）=t给出- t型- Wt，ρt（ξ（τ））=t- t2γ（τ）- Wt.22 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINAs之前，我们提供了BSDEJ（2.2）诱导的动态风险度量ρ及其组成部分ρ和ρ的五条模拟轨迹（如前一示例所示，默认时间之前的ρ值通常固定为零）。数据与之前模拟的数据相同，模拟的默认时间在图片下给出。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t-1012t（）模拟轨迹0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t-10120t（）模拟轨迹0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t-10121t（）模拟轨迹1图2。

与财务索赔评估相对应的ρ、ρ和ρ的模拟轨迹ξ=WT。模拟默认时间为：τ=0.1181（黄色轨迹）、τ=0.2172（红色轨迹）、τ=0.2803（蓝色轨迹）、τ=0.3263（紫色轨迹）、τ=0.8639（绿色轨迹）。同样在这种情况下，可以清楚地看到，允许在违约事件或新信息到来时更改风险容忍度参数的可能性会从根本上改变（正如人们所期望的）财务索赔的评估，即使它们不依赖于事件本身。还可以看出，这种变化随着时间的推移而逐渐消失，因为正如我们从理论上所预期的那样，如果ξ是FT可测量的，则ρT（ξ）=ρT（ξ）。备注4.2。在这个例子中，g的选择（以及相应的ρ、ρ的选择）及其财务解释和动机，使我们能够指出对随机时间τ带来的新信息的到达作出不同反应的代理之间的有趣比较。让我们考虑一个终端条件ξ∈ L∞（FT）和fix a timet∈ [0，T]。对于每个（θ，e）∈ [0，t）×E，我们有g（z）≤ g（z，θ，e）对于任何z，因此，根据布朗BSDE上的比较定理，Y0，-ξt≤ Y1，-ξt（θ，e）。推理风险度量、扩大过滤和BSDES 23as在命题2.7的证明中，这意味着Y0，-ξt≤ Y1，-ξt（τ，ζ），在事件t>τ时，即在违约之后。反过来，这需要ρt（ξ）≤ ρt（ξ），在事件t>τ时。现在，假设比较两个不同的金融代理人，A和B：两者都可以访问违约相关信息，但当A根据本例中描述的风险容忍度参数的变化更新其偏好时，B坚持初始值γ，因此不会修改其偏好。

根据上述推理，在违约后的任何时候，A将采用比B更保守的风险度量，即ρ对ρ，从而将违约事件视为增加其财务状况ξ的风险。请注意，要进行这种比较，必须假设ξ是一种不受默认事件影响的财务索赔，即ξ是可测量的。通过考虑另一种观点，也可以提供不同和相反的论点。事实上，可以选择更保守的参考风险度量ρ，以强调和惩罚违约前的不确定性。在这种情况下，违约事件被解释为向金融机构的知识添加信息，从而降低风险。关于诱导风险度量的对偶表示的一些结果本文最后一节的目的是研究（2.13）中引入的g动态风险度量ρ的稳健表示。我们能够在这个方向上给出一些结果，这些结果只能部分回答以下问题：是否有可能证明ρ的对偶表示中出现的惩罚项允许类似于（2.14）的分解？如果没有任何其他假设，我们无法明确回答该问题。然而，通过进一步的假设，我们可以以不等式的形式提供部分肯定的答案，如命题5.3所示。在本节中，我们假设定理2.3和2.5的假设以及性质（a）、（b）、（e）和（f）均已满足。我们还记得，由于OREM 2.5，风险度量ρsatifies（d）是单调的。首先，我们注意到Fatou属性包含以下任意t的鲁棒表示∈ [0，T]（参见，例如，[21，Th。

11.2]）：ρt（ξ）=ess supQ∈Qt均衡器[-ξ| Gt]- αt（Q）, ξ ∈ L∞（GT），（5.1），其中Qt={Q∈ M（GT）：Q P | GT，Q | GT=P}和α是惩罚项：αt（Q）=ess supξ∈L∞（燃气轮机）均衡器[-ξ| Gt]- ρt（ξ）= ess supξ∈L∞（GT），ρt（ξ）≤0EQ[-ξ| Gt]，Q∈ Qt。（5.2）首先，我们可以证明ρ满足另一个性质，保证（5.1）中考虑的概率度量集不会随时间变化。由于ρ是时间一致的，如果ξ ∈ L∞（GT），ξ≥ 0, λ>0 s.t.ρ(-λξ) > ρ(0). （5.3）提案5.1。风险度量ρ：L∞（燃气轮机）→ 在（2.13）满意度（5.3）中定义，即相关性属性。证据让我们计算ξ∈ L∞（GT），带ξ≥ 0（显然，不包括ξ=0的情况，P-a.s.，其（5.3）永远不满足）。首先，让我们注意到ρ（0）=0，这要归功于零一定律。那么，我们需要证明的是，存在λ>0，这样：ρ(-λξ）=Y>0,24 A.CALVIA和E.ROSAZZA Gianin，其中Y是具有终端条件λξ的BSDEJ（2.2）的解的第一个分量。如果我们用（Y，Z）表示带终端条件λξ的BSDE（2.6）的解（其中ξ是分解（2.3）中出现的随机变量），由于ρ=ρ，我们必须证明，对于某些λ>0的情况，Y>0，我们有：Y=λξ+ZTg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））- Ys）ds-ZTZsdWs。考虑双方的期望值得出：Y=λE[ξ]+EZTg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））- Ys）ds.由于ξ不是零P-a.s，我们得到E[ξ]>0。此外，由于我们假设布朗BSDE的解的存在性和唯一性，我们有第二个期望存在并且是有限的。因此，如果ERTg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））-Ys）ds≥ 0，任何λ>0保证Y>0；否则，我们可以选择：λ>-E[ξ]ERTg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））-Ys）ds. 根据命题5.1，我们得到了ρ的以下稳健表示：ρt（ξ）=ess supQ∈Q均衡器[-ξ| Gt]- αt（Q）, ξ ∈ L∞（GT），t∈ [0，T]，（5.4），其中Q：={Q∈ M（GT）：Q~ P | GT}。

现在，我们继续对（5.4）中出现的条件期望进行分解。提案5.2。让Q∈ Q并确定GT可测量随机变量L：=dQdP | GT，允许分解L=LT<τ+L（τ，ζ）1T≥τ. 那么，对于任何ξ∈ L∞（GT）EQ[-ξ| Gt]=Φt<τ+Φ（τ，ζ）1t≥τ、 （5.5）式中Φ：=ZPtEZ+∞ZE公司-ξL（T+∞)(θ) - ξ（θ，e）L（θ，e）1（t，t）（θ）γT（θ，e）dθde | Ft,Φ（θ，e）：=e[-ξ（θ，e）L（θ，e）γT（θ，e）| Ft]γT（θ，e），（5.6）和ZPt：=P（T<τ| Ft）是与τ相关的Azéma上鞅。证据修复Q∈ Q和ξ∈ L∞（GT）并表示L：=dQdP | GT。由于随机变量ξ和L是GT可测的，且[-ξ| Gt]是Gt可测的，我们从引理2.1得到以下分解ξ=ξT<τ+ξ（τ，ζ）1T≥τ、 L=LT<τ+L（τ，ζ）1T≥τ、 均衡器[-ξ| Gt]=Φt<τ+Φ（τ，ζ）1t≥τ、 式中，ξ、ξ、L、L、Φ、Φ的定义如（2.3）所示。我们的目标是识别最后两个物体。在{t<τ}上，我们有t<τEQ[-ξ| Gt]=等式[-ξ1t<τ| Gt]=E[-（ξLT<τ+ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）1T≥τ） 1t<τ| Gt]。由于括号内的随机变量是可积的，我们从[1，引理2.9]t<τEQ[-ξ| Gt]=1t<τZPtE[-（ξLT<τ+ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）1T≥τ） 1t<τ| Ft]。注意到{T<τ} {t<τ}，使用假设2.1，我们得到[-（ξLT<τ+ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）1T≥τ） 1t<τ| Ft]=EE类[-（ξLT<τ+ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）1t<τ≤T） |英尺]|英尺= EZ+∞ZE公司-ξL（T+∞)(θ) - ξ（θ，e）L（θ，e）1（t，t）（θ）γT（θ，e）dθde | FtΦ的定义从何而来。关于{t≥ τ}，自{t≥ τ} 暗示{T≥ τ} 与{T<τ}不相容，我们得到<τEQ[-ξ| Gt]=等式[-ξ1t<τ| Gt]=E[-ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）| Gt]1t≥τ.自从-ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）是一个HT可测且P-可积的随机变量，从[10，引理2.10]中我们得到[-ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）| Gt]1t≥τ=E[-ξ（θ，e）L（θ，e）γT（θ，e）| Ft]γT（θ，e）T≥τΦ的定义。备注5.1。由于[10，等式（2.2）]，我们可以用不同的方式写出（5.5）的第二个和。

事实上：Φ（τ，ζ）=E[-ξ（θ，e）L（θ，e）γT（θ，e）| Ft]|（θ，e）=（τ，ζ）γT（τ，ζ）=e[-ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）| Ht]。因此≥τEQ[-ξ| Gt]=1t≥τE[-ξ（τ，ζ）L（τ，ζ）| Ht]=E[-ξ（τ，ζ）1t≥τLT<τ+L（τ，ζ）1T≥τ| Ht]=E[-ξ（τ，ζ）L1t≥τ| Ht]=等式[-ξ（τ，ζ）| Ht]1t≥τ、 其中Qi是概率测度(Ohm, HT）由dQ=LdP | HT定义。为了证明本节的主要（和最终）结果，即（5.2）中出现的一个不等式，我们需要适当限制概率测度Q的类别。让我们定义Q→包含所有概率测度Q的Q子集∈ Q满足浸入特性，即根据Q定理5.3，F浸入G中。对于任何t∈ [0，T]和任意Q∈ Q→以下不等式适用于（5.2）αt（Q）给出的幂项≥ kt（Q）αt（Q）1t<τ+αt（Q）1t≥τ、 （5.7）如果Qand Qare概率测量(Ohm, FT）和(Ohm, HT），使得dQ=E[L | FT]dP | FT，dQ=LdP | HT，L：=dQdP | GT，26 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINkt（Q）是一个FT可测量的随机变量，取决于Q并满足kt（Q）≥ 1 P-a.s.，和αt（Q）：=ess supξ∈L∞（英尺）均衡器[-ξ| Ft]- ρt（ξ）, （5.8）αt（Q）：=ess supξ∈L∞（HT）均衡器[-ξ（τ，ζ）| Ht]- ρt（ξ（τ，ζ））. （5.9）此外，αt（Q）1t≥τ=αt（Q）1t≥τ.备注5.2。回想一下，根据[10，Prop.2.7]中的（i），对于某些FT，任何HT可测量的随机变量ξ的形式为ξ=x（τ，ζ B（R+） B（E）-可测地图x。为了简化旋转，我们仍将使用符号ξ表示地图x，如（5.9）所示。证据修复t∈ [0，T]和Q∈ Q→. 通过对αt（Q）的定义以及命题2.8和5.2，我们得到了αt（Q）≥ 均衡器[-ξ| Gt]- ρt（ξ）=Φ- ρt（ξ）t<τ+Φ(τ, ζ) - ρt（ξ（τ，ζ））t型≥任意ξ的τ∈ L∞（GT）。

我们首先关注分解的第二部分。因为对于任何ξ∈ L∞（HT）我们有ξT≥τ∈ L∞（GT），记住备注5.1，我们可以写出αt（Q）1t≥τ≥均衡器[-ξ（τ，ζ）1T≥τ| Ht]- ρt（ξ（τ，ζ）1T≥τ)t型≥τ=均衡器[-ξ（τ，ζ）1T≥τ| Ht]- ρt（ξt≥τ)t型≥τ.自{t≥ τ} ∈ 燃气轮机 Ht，{t≥ τ}  {T≥ τ} 回顾ρ通过本节开头列出的假设满足零一定律，我们得到均衡器[-ξ（τ，ζ）1T≥τ| Ht]- ρt（ξt≥τ)t型≥τ=等式[-ξ（τ，ζ）1T≥τt≥τ| Ht]- ρt（ξt≥τt≥τ） =相等[-ξ（τ，ζ）1t≥τ| Ht]- ρt（ξt≥τ)=均衡器[-ξ（τ，ζ）| Ht]- ρt（ξ）t型≥τ=均衡器[-ξ（τ，ζ）| Ht]- ρt（ξ（τ，ζ））t型≥τ.因此，αt（Q）1t≥τ≥均衡器[-ξ（τ，ζ）| Ht]- ρt（ξ（τ，ζ））t型≥τ，并在r.h.s.上取关于所有可能ξ的基本UPREMUM∈ L∞（HT）我们得到αt（Q）1t≥τ≥ αt（Q）1t≥τ.我们还可以得到逆不等式，把命题5.2，零一定律性质和L∞（HT） L∞（GT），如下所示：αt（Q）1t≥τ=ess supξ∈L∞（燃气轮机）均衡器[-ξ| Gt]- ρt（ξ）t型≥τ=ess supξ∈L∞（燃气轮机）均衡器[-ξ| Gt]1t≥τ- ρt（ξ）1t≥τ= ess supξ∈L∞（燃气轮机）均衡器[-ξ（τ，ζ）| Ht]1t≥τ- ρt（ξ（τ，ζ））1t≥τ= ess supξ∈L∞（燃气轮机）均衡器[-ξ（τ，ζ）1t≥τ| Ht]- ρt（ξ（τ，ζ）1t≥τ)≤ ess supξ∈L∞（HT）均衡器[-ξ1t≥τ| Ht]- ρt（ξ1t≥τ)= ess supξ∈L∞（HT）均衡器[-ξ| Ht]- ρt（ξ）t型≥τ=αt（Q）1t≥τ.因此，我们有αt（Q）1t≥τ=αt（Q）1t≥τ.风险度量、过滤扩大和BSDES 27我们现在将注意力转向分解的第一部分。让我们用zqt：=Q（t<τ| Ft）和ZPt：=P（t<τ| Ft）分别表示与τ相关的Q-和P-Azéma超马尔可夫。

对于任何ξ∈ L∞（FT），考虑到（5.6）中给出的Φ的定义，我们得到αt（Q）1t<τ≥ZPtE公司Z+∞ZE公司-ξL（T+∞)（θ）+L（θ，e）1（t，t）（θ）γT（θ，e）dθde | Ft-ρt（ξ）t<τ=ZPtE公司E类[-ξ{LT<τ+L（τ，ζ）1t<τT≥τ} |英尺]|英尺- ρt（ξ）t<τ=ZPtE公司-ξE[1t<τ{LT<τ+L（τ，ζ）1t≥τ} |英尺]|英尺- ρt（ξ）t<τ=ZPtE公司-ξE[L1t<τ| FT]| FT- ρt（ξ）t<τ=E-ξE【L1t<τ| FT】ZPt英尺- ρt（ξ）t<τ。我们使用了{T<τ}这一事实 {t<τ}。注意，E[L | FT]>0，因为L>0，因此使用条件Bayes公式和[1，引理3.8]（浸没性质至关重要），我们得到E[L1t<τ| FT]=Q（t<τ| FT）E[L | FT]=Q（t<τ| FT）E[L | FT]，因此αt（Q）1t<τ≥ZQtZPtE公司-ξE[长|英尺]|英尺-ρt（ξ）t<τ=ZQtZPtEQ-ξ| Ft-ρt（ξ）t<τ。从现在起，让我们将ξ的选择限制在积极的范围内。否则，由于ρtis由于零一定律而归一化，我们只考虑ξ，使得ρt（ξ）≤ 然后，简单的计算表明αt（Q）1t<τ≥ZQtZPt- 1.nZQtZPt≥1o+1均衡器-ξ| Ft- ρt（ξ）t<τ。因为方括号中的项为正，ρt（ξ）≤ 0，我们得到αt（Q）1t<τ≥ZQtZPt- 1.nZQtZPt≥1o+1均衡器-ξ| Ftt<τ并取关于所有ξ的本质上确界≥ 0，即w.r.t.全部ξ∈ L∞（FT）使得ρt（ξ）≤ 0，我们有αt（Q）1t<τ≥ZQtZPt- 1.nZQtZPt≥1o+1αt（Q）1t<τ=kt（Q）αt（Q）1t<τ。28 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINRemark 5.3。值得注意的是，类似的结论适用于所有Q∈ Q使得氡Nikod'ym密度L为FT可测量。在这种情况下，浸没特性自动满足，即Q∈ Q→, 此外，对于所有t，kt（Q）=1∈ [0，T]（见[1，第3.6（c）项）]。准确地说，仔细检查之前的证明可以发现，在这种情况下，根本没有必要调用浸没特性）。备注5.4。

从命题5.3和备注5.3中可以清楚地看出，如果关于P | GT的等效概率测度集Q上没有任何额外的结构，就不可能实现类似于（2.14）中动态风险测度ρ的惩罚项αt（·）的分解。事实上，当αt（Q）在事件{t上减少为αt（Q）时≥ τ} 由于G和H重合，在{t<τ}上，它超过了αt（Q）乘以大于或等于1的膨胀因子，这取决于Q和τ。从数学角度来看，这是因为我们对等价概率度量Q如何修改违约相关事件的概率{t<τ}的先验知识一无所知，即它如何修改（P，F）-Azemasupermartingale P（t<τFt）。同样从金融角度来看，这一事实（因此也存在不平等（5.7））是非常合理的，可以解释如下。由于与ascenario相关的惩罚越高，人们对该情景的信心越低，αt（Q）上的不平等，尤其是系数kt（Q）的存在≥ 1可以被视为对τ之前的处罚条款部分的进一步处罚，以考虑到信息的缺乏。相反，一旦发生违约，惩罚项αt（Q）将减少到αt（Q）。确认。作者希望感谢克劳迪奥·丰塔纳（Claudio Fontana）指出[41]并对可选拆分公式进行了有益的讨论。参考文献【1】A.Aksamit和M.Jeanblanc。考虑到融资，扩大过滤。SpringerBriefs在定量金融领域。查姆斯普林格，2017年。[2] Artzner博士、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。数学《金融》，9（3）：203–2281999年。内政部：10.1111/1467-9965.00068。[3] Artzner博士、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。相干多周期调整值和Bellman原理。安。操作。Res.，152:5–22，2007年。

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