我们必须记住，我们正在考虑这样一种情况，即N和T都具有固定比率r，并且相边界是在这个特定极限下推导出来的。然而，在极大极小问题（α=1）的特殊情况下，优化的可行性或其他方面也可以由有限N和T决定。对于有限N和T，没有尖锐的相界（有限系统中没有相变），相反，可以进行优化的概率很高，但对于N/T<1/2，小于1；对于1/2<N/T<1，很小，但不为零；对于N/T>1，则相同为零【18】。如果N和T的比值r=N/T保持不变，则r<1/2的高概率变为1，1/2<r的小概率变为零，因此临界点固定在r=1/2。的行为√qand公司√qcurves表明，对于有限的N和T，在0和1之间的任何α都会出现类似的情况：我们推测，如果能够将[18]中的组合结果从α=1概括为一般的置信水平，那么将在最终成为N，T可行区域的区域中找到高概率的解→ ∞ , 在拟成为相边界以上的概率很小，在r=1以上的概率为零。现在让我们包括第三个等式（53），它决定 根据我们上面讨论的控制参数和两个比率，从而可以分别为所有三阶参数提供完整的解决方案。图4显示了.这些线或多或少地沿着相边界，直到在某一点上弯曲并落向r=0，α=1的点。对于越来越高的 这些等值线在弯曲之前越来越靠近相边界，之后在α=1时，它们与垂直线的距离越来越近。

请注意，等高线 切勿离开可行区域。这种行为告诉我们什么？我们必须记住 出现在两个角色中：它与ES的样本估计值成反比，公式（46），它也是样本平均portfolioweights的易感性，公式（48）。的分歧 意味着ES的样本内平均值（及其估计误差）在相位边界上消失，精确地位于0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αr0.10.512510105000●ε=0图4：固定的等高线. 红点表示给定的r=N/Tat的最大值 并对应于 = 0行。数量 是投资组合权重对收益率微小变化的敏感性，同时与样本ES中的估计值成反比。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αr1.051.11.21.351.51.7522.55101固定Q0的等高线图5：固定q的等高线。这些曲线也是ES样本外估计相对误差的等高线。样本外估计值存在分歧。很明显，样本内估计误差总是小于样本外估计误差。然而，我们在这里了解更多。事实上√跨越相界时的QI定义相当于说，在临界点，样本内和样本外的估计误差彼此成反比：样本内的估计似乎是最令人鼓舞的，而它成为最具误导性的估计。在方差作为风险度量的情况下，我们也观察到了类似的行为【17】。现在让我们转向其他两个阶参数。在图5中，我们展示了q的轮廓图，q是ES相对估计误差的度量。

可以看出，qalso的轮廓线也会弯曲，但与 线，它们不会下降到零，但在另一次弯曲后，会在α=1时达到某个特定值。然而，对于相当小的相对误差（对应于最低曲线），该限值非常小，意味着非常大的T值。最后，在图6中 展出。正如我们已经提到的， 是在ES下优化的投资组合的VaR，当然不同于在VaR下优化权重的aportfolio的VaR。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αr0.250.50.7511.251.52-0.25-0.5-0.75-1.-1.5-2.5固定ε轮廓图6：等高线图, 在ES下优化的投资组合的VaR。6历史估计结果我们现在能够得出上述结果的结果。在上一节中，我们构建了表征VaR估计误差问题的量的等值线图。这些图覆盖了相位边界以下的整个区域，在该区域可以进行ES优化。从实际角度来看，最重要的区域是α=1线附近。因此，让我们关注该法规倡导的直线α=0.975。四个数量√q- 1.,√qand公司 A沿α=0.975线的r函数如图所示。分别为7、8、9和10。我们可以看到√qand公司 随着r单调增加。我们已经了解到√q- 1是ES的相对估计误差。根据图7，只有当N/T很小时，该相对误差才很小，即与N相比，样本量很大。随着r的增加，相对估计误差迅速变得非常大。