不确定交易量目标下的最优交易执行

2022-6-15 20:28:43

不确定交易量目标下的最优交易执行*Julien Vaes+Raphael Hauser2021年9月，Almgren和Chris（2001）在关于投资组合交易最佳执行的开创性论文中，定义了在价格不确定性下清算固定数量单一证券的最佳交易策略。然而，也存在这样的情况，例如在电力市场中，交易量只能估计，并且在接近特定交付时间时变得更加准确。在执行过程中，atrader应不断调整其交易策略，以满足其波动量目标。在这篇文章中，我们建立了一个模型来解释交易量的不确定性，并且我们证明了风险厌恶交易者在延迟交易方面是有好处的。更准确地说，我们认为最佳策略是在近期和后期交易之间进行权衡，以平衡与价格和交易量相关的风险。通过加入与交易量相关的arisk项，我们的模型提出的静态优化策略避免了通常与动态规划解决方案相关的算法复杂性的爆发，同时产生了具有竞争力的性能。1简介最优执行问题是指找到最佳交易策略的问题，以确保在分配的时间内从一个投资组合过渡到另一个投资组合。交易策略包括在专用市场上交换的买卖订单。最佳执行问题与流动性不足的市场密切相关。事实上，在流动性不足的市场中，价格动态对大型交易非常敏感。因此，一个理性的交易者应该考虑到自己交易的影响，因为这会增加他们的交易成本，这对他们的交易头寸是不利的。

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2022-6-15 20:28:46

Almgren和Chris（2001）在其关于最优执行的论文中提出了一个模型，该模型既能捕捉价格的内在随机演变，也能捕捉交易对价格动态的影响。通过采用Markowitz（1952）定义的回报风险交易进行投资组合对冲，Almgren和Chriss（2001）将风险缺失的细微差别添加到Bertsimas和Lo（1998）之前所述的最优订单执行问题中。他们表明，交易者越厌恶风险，就应该越快获得所需头寸，以避免与价格动态相关的风险。这些策略是静态的和时间一致的：它们是在交易之前确定的，因为它们只依赖于执行期开始之前可用的信息。此外，如果交易者在中途重新计算最优策略，则未来交易计划保持不变，因为未来价格波动假设独立于过去的实现。然而，如果交易者将中期更新规则定义为初始策略的一部分，那么Kissell和Malamut（2005）意义上的激进货币策略会带来更好的回报风险交易效果（Almgren和Lorenz，2007；Lorenz和Almgren，2011）。由于方差会毫无区别地惩罚有利和不利的交易成本结果，文献中也使用了其他风险度量，如预期效用（Schied和Sch"oneborn，*第一作者的工作得到了阿兰·图灵研究所（AlanTuringInstitute）在图灵博士生资助计划（grantTU/C/000022）下的支持。

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2022-6-15 20:28:50

第二作者的工作得到了Alan Turing研究所在EPSRC grantEP/N510129/1下的支持。+牛津大学数学研究所，安德鲁·怀尔斯大楼，牛津伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津大学，邮编：2 6GG（朱利安。vaes@maths.ox.ac.uk).牛津大学数学研究所，牛津大学伍德斯托克路Radcliffe天文台区Andrew Wiles大楼，OX2 6GG(hauser@maths.ox.ac.uk).2009; Sch"oneborn，2016），或α-条件风险值（CVaRα）（Butenko等人，2005；Feng等人，2012；Krokhmal和Uryasev，2007）。在前面提到的论文中，待交易的证券总量是确定的，并且是一个参数。然而，在许多情况下，交易者只处理对该交易量的估计，这在整个执行过程中是不同的；因此，需要一个模型，将与价格动态和交易量目标的不确定性相关的风险结合起来。例如，开放式投资基金的经理可以发行或赎回股票，以避免资产负债不匹配，如果股票仅在二级市场交易，则可能会出现这种不匹配。订单通常在交易日收集和汇总，净股票订单的发行或赎回导致需要收购或处置一定数量的基金投资资产，通常是在接下来的两个交易日内。我们的模型允许基金经理提前完成部分交易，并在接近首次下单的时间执行订单，然后在一天结束时结算所有股票订单，从而大大增加了基金投资者的市场流动性。

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nandehutu2022

2022-6-15 20:28:53

另一个例子是电力期货市场的清算，由于发电厂的物理限制，现货市场的流动性有限，因此必须在每个给定的交付期内产生接近实际需求的未偿交易量。据我们所知，以前的模型都没有考虑这两种不确定性来源。相关文章如Cheng等人（2017）；Bulthuis等人（2017年）；Cheng等人（2019），其中研究了订单不确定的最优策略，即订单未完成或超额完成的风险（后一种情况主要是出于数学原因而非实际原因）。与我们的情况形成显著对比的是，在他们的环境中，订单不确定性的大小被假定为常数或与订单大小成比例。在我们的案例中，不确定性与交易者的决策无关：成交量预测的更新完全取决于外部变量。因此，我们的模型假设，不确定性的两个来源，即价格动态和成交量目标的预测更新，都是市场固有的，独立于交易者的交易策略。此外，与Cheng等人（2017）采用的方法相比，本文提出的模型具有更大的灵活性；Bulthuis等人（2017年）；Cheng等人（2019年），因为它不依赖于交易期同质的假设：例如，它允许资产的流动性在执行期间发生变化。最后，与其他方法相比，使用我们的模型获得的策略是静态的，它们的计算避免依赖于计算密集型动态规划方法。本文的其余部分结构如下。

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2022-6-15 20:28:56

在第2节中，我们提出了一个模型，该模型在Almgren和Chriss（2001）的回报风险权衡模型的CVaRα当量公式中纳入了量的不确定性。我们建立了市场生存能力与最优交易策略凸集唯一性之间的关系。我们还探索了将文献中的模型应用于我们的问题的途径，并比较了它们的相对优势。第3节提供了数字证据，表明我们的模型比忽略体积不确定性时的平均CVaRα权衡效果要好得多，并将我们的方法与当前的备选方法进行了比较。然后，我们将说明如何将我们的模型应用于英国的电力交易，在英国，电力批发商交换电力期货合同，以对冲与电力需求波动相关的风险。最后，第4节和第5节讨论了研究结果，提出了进一步研究的途径，并对论文进行了总结。2模型为了符合介绍性示例中描述的框架，我们从希望在固定时间范围内获得头寸的交易者的角度制定了最优执行问题；这相当于Almgren和Chriss（2001）中提出的清算问题，直至下文所述交易引起的临时和永久影响发生变化。2.1价格不确定性下的最优执行我们使用以下符号：dT>0是m个执行期内时间T的总交易量，Sis是初始证券价格，τiis是两个连续离散决策时间ti之间的交易期长度-1和ti；通过滥用语言，我们也在第i个交易期使用τiin。

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2022-6-15 20:28:59

与Elamgren和Chris（2001）一样，我们认为价格动态遵循算术随机游走，其中决策时间之间的价格步长为-1和根据随机变量ξi的分布确定的价格。最后，如果除了这些假设外，还将贸易引起的市场临时和永久影响插入价格动态中，我们得出价格演变如下∈ {1，…，m}：Si=Si-1+ξi+τigniτi, （1a）~Si=Si-1+小时niτi, （1b）其中Si是决策时ti的证券价格，ni是交易期τi内交易的证券数量（ni>0时买入，ni<0时卖出），Si是交易期τi内执行的交易的有效证券价格，最后g和h分别模拟了作为交易间隔内平均交易率函数的永久和临时价格影响。清算成本为随机变量givenby（2），此处从买方的角度计算：C（n）：=mXi=1niSi- dTS=mXi=1ξi+τigniτidT公司-iXk=1nk+mXi=1nihniτi. （2）其中，n=[n，…，nm]是周期τi内交易量nio的向量。给定Markowitz（1952）的均值-方差框架，并给定由λVar表示的风险规避参数≥ 0，Almgren和Chriss（2001）模型得出的最优交易策略是通过解决以下优化问题获得的：极小值[C（n）]+λVarV[C（n）]（3a）服从1Tn=dT（3b），其中1是1s的向量，即[1，…，1]T。Gatherel和Schied（2012，推论1）证明了该模型的连续公式没有价格操纵，如果满足以下条件，则等于市场生存能力：（i）g是线性非减函数，即g（v）=γv和γ≥ 0和（ii）函数f:x 7→ xh（x）是凸的。如Almgren等人（2005年）所示，这些条件是根据经验观察到的。

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能者818

2022-6-15 20:29:02

对于Almgren和Chriss（2001）的离散公式，Huberman和Stanzl（2004，命题2）提供了具有时间独立价格影响函数的市场可行的以下必要条件：（i）函数g的线性度，以及（ii）hqτ- h类-qτR g公司qτ, 对于q R 0，（4），其中q是交易量，τ是每个交易周期的长度，即。我∈ {1，…，m}：τi=τ；稍后将对此条件进行解释。在他们的论文中，Almgren和Chriss（2001）假设了线性永久和临时影响函数。我们对我们的模型做出了类似的假设，但我们允许流动性参数随时间变化。因此，一个具有依赖于时间的价格影响函数。与交易期τiar相关的永久和临时影响函数gi和hi表示为followsgi（v）=γiv，（5a）hi（v）=isign（v）+ηiv，（5b），其中v是交易期间τi的平均交易率。函数的选择与该参数相关iandηimight被视为固定和可变的交易成本。合理的估计是买卖价差的一半和交易费用的总和（Almgren和Chris，2001）。参数ηican可解释为限制订单簿中订单量线性模型的梯度，作为与最佳限制订单偏差的函数；我们假设在进行空头或多头头寸时，该参数是相同的。

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2022-6-15 20:29:05

由于临时影响，任何市场参与者都会产生额外的HI成本nτi= i | n |+ηinτi，（6）对于交易期内交易的n个证券单位，τi.2.2在交易量目标的不确定性的情况下，dT（时间T前交易的总交易量）仅在执行期内完全确定，必须调整优化问题（3），以确保交易需要正确数量的证券。为此，我们假设成交量目标在最后一个交易期τm开始时是完全已知的。截至目前，我们用大写字母表示成交量目标，即DT，以强调这是一个与第2.1小节不同的随机变量。在本文中，我们认为与总交易量相关的不确定性定义如下：对于给定的交付时间T，让DIB在时间to预测总交易量，时间tm=T，Di：=E[DT | Fi]，（7）其中（Fi）mi=1是表示时间ti可用信息的sigma代数的过滤。假设两个连续的预测在decisiontime tm时由一个连续的随机变量δifor i<m产生差异-1，假设体积目标是完全已知的。因此，在整个执行期间，dt的预测如下：（Di=Di-1+δi，如果i∈ {1，…，m- 1} Dm=Dm-1，（8）其中Dm=DT，时间T前的总交易量。显然，在存在交易量不确定性的情况下，优化问题（3）的约束条件（3b）无法实施，因为在时间t，只有待交易总量的粗略估计是已知的，即。

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可人4

2022-6-15 20:29:08

D、尽管如此，无论何时，只要有数量目标的更新可用，当与系统追索一起部署时，Almgren和Chriss（2001）的模型作为规划工具可能会很有用。然后，交易者将在每个交易期根据新的可获得交易量预测重新计算和更新其策略。这种方法的主要特点是交易者无法在时间t确定确保满足约束的静态策略（3b）。事实上，每个交易期的交易量必须不断更新。为了解决这个问题，我们随后提出了一种定义交易员策略的新方法。此外，为了避免模型数值评估的算法复杂性激增，我们希望避免采用基于动态规划和聚焦模型的方法，这些模型通过引入风险项来解释追索行动的影响。首先，与Almgren和Chris（2001）将交易者的策略定义为每个交易期的交易量不同，我们将交易者的策略定义为在每个交易期τi的过程中获得的总交易量dt的比例yi。自然地，以下约束必须保持，以在所有交易期强制执行整个交易量目标的分配：mXi=1yi=1。（9）因此，在dt完全可预测的理想情况下，交易者将在交易期τi内获得证券的yidtunits。显然，这种定义必须适应dt不确定的情况，因为交易者应采取追索权以满足约束（3b）。作为一个起点，我们假设交易者尊重其初始策略，在每个交易期间进行交易，即计划的Di比例-1，即对可用的体积目标数据的最佳估计。

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2022-6-15 20:29:11

这仅部分解决了预测更新带来的问题，因为过去的决策不能事后修改，这意味着PMI=1yiDi-16=DT。事实上，如果我们用δk表示，k<m，则在决策时间tk报告的预测更新，那么与δkdue相关的预测误差与过去决策相当，等于δεk：=δkPkr=1年。这对应于额外的交易量，可能是正的，也可能是负的，为了与DT匹配，需要在剩余的交易期内进行交易。我们预测，当volumetarget发生更新时，交易者会根据独立于决策变量的固定分布，通过在剩余交易期间重新分配预测误差来调整其策略。预先考虑这些更正可以部分考虑未来的追索行动，而无需计算代价高昂的动态编程模拟。在我们的方法中，我们在未来的交易期间根据固定的比例重新分配额外的交易量。我们将这些固定比例视为模型参数，并将最佳参数值的学习留给未来的工作。让βk，i注意交易期τi的预测误差Δεkto的校正比例。显然，如果i≤ k和pmi=k+1βk，i=1表示所有k<m。我们将参考β：=（βk，i）∈ Rm-1×mas再分配矩阵。如果数量目标不确定，我们将交易策略的成本定义为：（i）在考虑由再分配矩阵β确定的追索权粗略模型的情况下，遵循初始交易策略，在执行期结束时产生的交易成本与（ii）在完全流动的市场中理想获得的交易成本之间的差异，其中整个头寸在执行期的开始。

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2022-6-15 20:29:15

考虑到这些因素，与策略相关的交易者交易成本y=【y，…，ym】是以下随机变量：C（y）：=mXi=1ni（y）~Si- DTS（10）=mXi=1“ξi+τigini（y）τiD+mXk=1δk-iXk=1nk（y）#+mXi=1ni（y）高ni（y）τi, （11）式中，ni（y）是一个随机变量，表示交易期间的交易量τi：ni（y）=yiDi-1+1-1Xk=1βk，iδεk=yiD+i-1Xk=1δkyi+βk，ikXr=1yr！。（12）在交易期间交易的头寸数量ni（y）τiis由（i）最佳交易量估计值Di的比例yi组成-1和（ii）与之前的交易量预测更新相关的头寸调整。现在，如果我∈ {1，…，m}，ni（y）定义为（12），然后1Tn（y）=DT，其中n（y）：=[n（y），…，nm（y）]T。从（12），我们观察到，给定样本空间的任何结果ωOhm因此，任何预测更新的实现，即δ（ω）：=[δ（ω），…，δm-1（ω）]T，交易量的实现n（y；ω）：=[（n（y））（ω），…，（nm（y））（ω）]T可以表示为决策变量y的线性组合。形式上，这意味着ω ∈ Ohm, 我们可以找到一个（下三角）矩阵L（ω），使得n（y；ω）=L（ω）y。（13）此外，如果D6=0，L（ω）是非奇异的，因为对角线上的所有元素都不同于零，即。i:Lii（ω）=D。在本文的其余部分，C（y；ω）是（C（y））（ω）的简写，即给定结果ω的执行策略的交易成本。最后，我们认为，如果保证交易者在不利时期不会支付过高的价格，那么他们交易成本的差异就不是最重要的。因此，我们认为风险厌恶交易者更愿意在最坏情况情景的分位数条件下最小化其预期交易成本，而不是在所有情景下最小化其交易成本的方差。

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2022-6-15 20:29:18

因此，我们用α-条件风险值（CVaRα）风险度量来量化交易者策略的风险：CVaRα[C（y）]=βyZOhmyC（y；ω）dP（ω），（14），其中βy=P[C（y）≥ VaRα[C（y）]]，Ohmy={ω∈ Ohm : C（y；ω）≥ VaRα[C（y）]}，且VaRα[C（y）]=minnγ∈ R | FC（y）（γ）≥ 1.- αo，（15），其中fc（y）（γ）=P[C（y）≤ γ] （16）是C（y）的累积分布函数。α-条件风险值是一种一致的风险度量（Artzner等人，1999年；Rockafellar和Uryasev，2002年），其重点是极端成本的比例α，并可解释为条件成本超过阈值VaRα[C（y）]的预期。给定风险规避参数λCVaR∈ [0，1]，交易者因此试图最小化总交易成本的平均CVaRαtrade-o fff：minimiseyДλCVaRα（y）：=（1- λCVaR）E[C（y）]+λCVaRCVaRα[C（y）]（17a）受1Ty=1的约束。（17b）注意，在优化问题（17）中，交易者的追索权是预先估计的，而不是通过动态规划进行模拟，以避免困扰随机优化的维数灾难。然而，与Almgren和Chriss（2001）的模型相比，模型（17）定义得很好，因为它适应总体积变化，因此保证满足总贸易体积等于DT的约束。2.2.1市场可行性的必要条件如前所述，Huberman和Stanzl（2004）提供了市场可行的必要条件（4），前提是交易周期是同质的，即gi=g，hi=h，τi=τ，每个交易周期τi，i∈ {1，…，m}。对于线性冲击函数，即方程（5a）和（5b），条件（4）随后变为签名qτ+ ηqτ- 签名-qτ+ η-qτRγq，对于q R 0。

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nandehutu2022

2022-6-15 20:29:21

（18）这种情况直观地意味着，在不同交易期购买和转售任何相同数量的qof股份所产生的临时成本应始终大于永久性影响引起的价格变动所带来的成本节约机会。对于任何向量:= [, . . . , m] Twith公司k：k≥ 0，条件（18）相当于η>γτ，这是Almgren和Chriss（2001）模型中具有唯一最优交易策略的有效条件。基于市场不应允许任何价格操纵的基本原理，我们将其定义为具有负预期成本的往返策略，条件（18）可以在更一般的框架中推广，其中影响对交易周期τi.Definition 2.1（往返策略）起作用并隐藏。往返策略n是一种策略，其中在执行期间执行的所有交易的总和等于零，即1Tn=0。请注意，往返策略是根据每个交易周期内的交易量而非比例y来定义的。事实上，如果总交易量DTA确定且等于零，则基于DTA比例的唯一往返策略将等同于不交易；因此，在提供更多灵活性方面，制定往返策略。根据定义2.1和Huberman和Stanzl（2004，定义1）的价格操纵定义，我们将价格操纵定义如下：定义2.2（价格操纵）。（风险中性）价格操纵是一种往返策略，具有严格负的预期成本，即[C（n）]<0。（19）引理2.3。如果市场没有价格操纵，那么矩阵M：=E-Γ为正半定义，即。

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2022-6-15 20:29:24

M 0，其中=2ητ+2ηmτm2ηmτm··2ηmτm2ηmτm。。。。。。。。。。。。。。。。。。2ηmτm2ηmτm··2ηmτm2ηm-1τm-1+2ηmτm, 和Γ=2γγγiγm-1γ2γ...............γi·····2γi。。。。。。。。。γm-1············2γm-1.. （20）证明。为了证明引理2.3，我们证明了如果矩阵M不是正半定义，那么我们可以找到aprice操纵。给定结果ω∈ Ohm, 往返策略n的交易成本由c（n；ω）=mXi=1“（ξi（ω）+γini）给出-iXk=1nk#+mXi=1i | ni |+ηiniτi！。（21）由于n定义了往返策略，交易成本可以用第一个m表示- 1通过使用pmi=1ni=0的事实，n的成分=> 牛米=-下午-1i=1ni:C（n；ω）=m-1Xi=1“（ξi（ω）+γini）-iXk=1nk#+m级-1Xi=1i | ni |+ηiniτi+m级m级-1Xi=1ni+ηm下午-1i=1niτm. （22）该交易成本可分为两部分：（i）Lin（n；ω），其随n线性增长，并取决于不确定性结果ω，（ii）n中的二次项与ω无关：C（n；ω）=Lin（n；ω）+m-1Xi=1ηiniτi+ηm下午-1i=1niτm-m级-1Xi=1γiniiXk=1nk！！（23）=Lin（n；ω）+nT[1:m-1] M n【1：M】-1] ，（24）式中，n[1:m-1] 是第一个m的向量- 1 n的分量。如果矩阵M不是正半定义，则存在方向d∈ Rm-对于每个ω，二次型是凹的∈ Ohm M与ω无关；与M的负特征值之一相关的任何归一化特征向量都是这样的方向。下面，让ζ-是M和v的负特征值，是相关的归一化特征向量。因此，存在一个κ∈ R、这样，往返策略n：=hκv，κvm-1.-κ电视这是价格操纵。事实上，我们可以找到一个κ∈ R、因此ω ∈ Ohm : C（~n；ω）<0，这意味着~n是一种价格操纵，即[C（~n）]<0。

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2022-6-15 20:29:27

当κ→ ∞, 因此，当knk→ ∞, 交易成本主要由其二次部分决定，即C（▄n；ω）▄nT【1:m】-1] M~n【1:M】-1]=κζ-< 02.2.2最优策略集与模型（3）相比，我们可以证明优化问题（17）的目标函数νλCVaRα在其可行集Y上是凸的：=ny∈ Rm | 1Ty=1如果市场排除任何价格操纵。任意λCVaR值的目标函数在Y上的凸性∈ [0，1]等价于两个函数f:Rm的同时凸性→ Ry 7→ E【C（y）】和f:Rm→ Ry 7→ y.引理2.4上的CVaRα[C（y）]。如果（5a）-（5b）给出了永久和临时冲击函数，并且如果M 0（分别为M 0），然后是函数f:Rm→ Ry 7→ E[C（y）]在y证明上（严格地）是凸的。根据定义，我们有E[C（y）]=ROhmC（y；ω）dP（ω）。因此，如果对于任何结果ω∈ Ohm, 函数C（·；ω）：Rm→ Ry 7→ C（y；ω）在y中是（严格地）凸的，那么引理2.4的结果成立，因为C（y）的期望可以看作是C（y；ω）的非负加权和。给定（11），C（y；ω）写为：C（y；ω）=mXi=1“ξi（ω）+τigini（y；ω）τiD+mXk=1δk（ω）-iXk=1nk（y；ω）#+mXi=1ni（y；ω）hini（y；ω）τi. （25）对于任何ω∈ Ohm, y和n（y；ω）之间存在线性变换，如（13）所示，前提是y中C（·；ω）的凸性等价于证明n（y；ω）中C（·；ω）的凸性（Boyd和Vandenberghe，2004），其中，使用（5a）-（5b），eC（·；ω）由eC（n（y；ω）给出；ω） =mXi=1“（ξi（ω）+γini（y；ω））D+mXk=1δk（ω）-iXk=1nk（y；ω）#+mXi=1i | ni（y；ω）|+ηini（y；ω）τi=mXi=1ξi（ω）DT（ω）-iXk=1nk（y；ω）+mXi=1γini（y；ω）DT（ω）+mXi=1i | ni（y；ω）|-mXi=1γini（y；ω）iXk=1nk（y；ω）+mXi=1ηini（y；ω）τi，（26），其中DT（ω）：=D+Pmk=1δk（ω）。

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2022-6-15 20:29:30

很明显，（26）的前三项是凸inn（y；ω），后两项可以用与引理2.3证明类似的方式组合，即。-mXi=1γini（y；ω）iXk=1nk（y；ω）+mXi=1ηini（y；ω）τi=nT[1：m-1] M n【1：M】-1]- γmDT（ω）-m级-1Xi=1ni（y；ω）！DT（ω）+ηmτmDT（ω）DT（ω）- 2米-1Xi=1ni（y；ω）！，（27）其中n【1:m】-1] ：=[n（y；ω），…，nm-1（y；ω）]T。因此，如果M 0（分别为M 0); 这将终止证明。引理2.5。如果（5a）-（5b）给出了永久和临时冲击函数，并且如果M 0（分别为M 0），然后是函数f:Rm→ Ry 7→ CVaRα[C（y）]在y证明上（严格地）是凸的。任何实值一致性风险度量%：Rm→ Ry 7→ % Artzner等人（1999）定义的[C（y）]可以用其双重表示法表示，即%[C（y）]=supu∈DEu[C（y）]，（28），其中D是Ohm （Shapiro等人，2009年，定理6.4和6.6）。因此，由于CVaRα是一个一致的风险度量（Rockafellar和Uryasev，2002，推论12），因此，通过将任意ω的C（·；ω）的（严格）凸性与定义为（严格）凸函数的点态上确界的函数是（严格）凸的（Boyd和Vandenberghe，2004）这一事实相结合，可以显示出所设计的结果。定理2.6。如果永久和临时冲击函数由（5a）-（5b）给出，如果λCVaR∈ [0，1]如果M 0（分别为M 0），则优化问题（17）的目标函数在其可行集Y证明上是（严格）凸的。基于引理2.4和2.5，证明很简单。与模型（3）类似，在λCVaR的条件下，可行集Y和定理2.6的凸性和非空性意味着∈ [0，1]和M 0，凸集Y的存在唯一性？（17）中定义的模型的最佳执行策略。

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2022-6-15 20:29:34

如果M 0，最优策略集是一个单例，即Y？：={y？}。换句话说，必要条件M 0表示没有价格操纵，因此没有交易者有兴趣通过人工交易影响价格动态的可行市场，这等同于优化问题的凸性（17），因此是交易者考虑价格和交易量不确定性的最优策略的凸集。2.3与其他方法的比较有追索权的差异。在产量目标不确定的情况下，只要有对产量目标的预测更新可用，就可以将Almgrenand Chriss（2001）模型与系统追索一起部署。我们将证明，通过选择适当的y和β，可以在我们的模型中复制这种策略。与模型（17）类似，模型（3）中的交易策略n可以等效地表示为每个交易周期τi，i中固定量目标dt与交易的比例yi∈ {1，…，m}。引理2.7。如果ξi，i∈ {1，…，m}，是从平均值为零的独立随机变量中得出的，即如果永久和临时冲击函数由（5a）-（5b）给出，并且如果临时冲击参数所有（即独立于）交易期的iis常量，即。我∈ {1，…，m}：i=,那么最优策略y？优化问题（3）的比例表示为dti独立于dT的比例。证据基于（2），交易成本的期望值和方差由[C（n）]=mXi=1γinidT给出-iXk=1nk+mXi=1 |ni |+ηiniτi=mXi=1γiyi1-iXk=1yk！dT+mXi=1 |yidT |+ηiτi（yidT）,V【C（n）】=mXi=1V【ξi】dT-iXk=1nk=mXi=1V[ξi]1-iXk=1yk！dT。此外，如果我们假设w.l.o.g.dT>0，那么最佳体积n？优化问题（3）的数量为正（Almgren和Chris，2001）。

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2022-6-15 20:29:37

因此，在优化问题（3）中添加决策变量n的非负性约束不会改变其最优解。因此，可以替换PMI=1 |ni | byPmi=1ni=dT。因此，优化问题（3）目标函数中依赖于决策变量y的所有项都乘以dT，这意味着dT对最优解y？没有影响？。引理2.7意味着，在价格和交易量不确定的情况下，交易者的策略包括部署Almgren和Chriss（2001）的模型，以及在交易量目标更新可用时的系统追索权，是时间一致的。更准确地说，给定最优策略y？，tof（3）在时间t计算，如果重新计算最优策略y？，ti公司-（3）中的1个在随后的决策时间ti-1，我∈ {2，…，m}，它只是时间ti的延续-1至tmof y？，t、即y？，ti公司-1： =hy？，ti公司-1i，yti公司-1miT=Pmr=iy？，tr！·yt[i：m]，（29）式中y？，t[i：m]：=hy？，ti，ytmiT。请注意，重新缩放的比例y？，ti公司-1，我∈ {2，…，m}，与过去的实现（价格变动和预测更新）无关，因此可以在执行期开始时，即在时间t预先计算。如果nrec：=[nrec，…，nrecm]t通过求解（3）每当发生交易量目标的更新，则在交易期τi，i计算交易量，从而更新其策略的交易员的交易量∈ {1，…，m}，等于比例y？，ti公司-最佳交易量目标估计Di的1-1分钟已交易量，即nreci=y？，ti公司-1i·Di公司-1.-圆周率-1k=1nreck.引理2.8。如果ξi，i∈ {1，…，m}，是从平均值为零的独立随机变量中抽取的，即。

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能者818

2022-6-15 20:29:40

如果永久和临时冲击函数由（5a）-（5b）给出，并且如果临时冲击参数iis在所有交易期间保持不变，即。我∈ {1，…，m}：i=, 然后存在策略“y”和再分配矩阵“β：=（βk，i）∈ Rm-1×m这样，等式（12）给出的交易量等于nrec。证据将y定义为y？，t> 0，时间t时优化问题（3）的最优解，和‘’=βk，i∈ Rm-1×mas由y？表示的再分配矩阵？，t、即其成分定义如下的矩阵‘βk，iyt型:=0如果我≤ k、 y？，tiPmr=k+1y？，三逆。（30）那么，\'y和\'β使得等式（12）给出的交易量等于nrec。事实上，利用PMI=1y的事实？，ti=1，其中体积nrecare由nRec=y？给出？，tD，（31）nrec=y？，tPmr=2y？，tr公司D+δ- ytD公司=yt1级- yt型1.- yt型D+δ= ytD+y？，t1级- ytδ（32）nrec=y？，tPmr=3y？，trD+δ+δ- ytD公司- ytD公司-yt1级- ytδ！=ytD+y？，t1级- ytδ+y？，t1级- yt型- ytδ（33）。。。nreci=y？，tiD+i-1Xk=1y？，第1条-Pkr=1年？，tr！δk.（34）使用“y”和“β”的定义，得到一个nReci=”yiD+i-1Xk=11.-Pkr=1年“彝语+”彝语Pkr=1年1.-Pkr=1年δk=(R)yiD+i-1Xk=1'yi+'βk，ikXr=1'年！δk，（35）正是（17）中策略“y”和再分配矩阵“β”的交易量的表达式（见等式（12））。引理2.8意味着，如果我们要优化（17）策略集Y和再分配矩阵集B：=β ∈ Rm-1×mβk，i=0，如果i≤ k和k∈ {1，…，m- 1} ：Pmi=k+1βk，i=1, 然后存在一个策略（y，β）∈ Y×B，以便在发布交易量目标更新时，遵循此策略的交易量与交易员在均值-方差框架中重新计算最优策略的交易量相同。因此，明智选择的再分配矩阵β可以模拟采取追索权的行为。

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2022-6-15 20:29:43

再分配矩阵β的一个明智选择是最佳风险中性策略y？所隐含的矩阵？，t、 λVar=0，在时间t的均值-方差框架（优化问题（3））中，即矩阵定义如（30）所示，但带有y？，t、 λVar=0。指数效用和平均QV。据我们所知，考虑到数量目标的不确定性，迄今为止文献中忽略了这一点。有些文章在概念上处理与我们的问题类似的问题，但依赖于我们的模型中丢弃的假设，允许更大的通用性，如下所述。在Cheng等人（2017、2019）的研究中，作者将订单的不确定性纳入了最优执行问题，即订单执行不足或执行过度的风险。Bulthuis等人（2017年）扩展了该模型，除市场订单外，还包括不确定利率的限制订单。作者还增加了惩罚，以调整订单符号和订单数量。为了进行比较，我们考虑了Cheng等人（2017）的模型，因为我们对市场做出了类似的假设；该模型在这里被表述为一个清算问题，即从卖方的角度，而不是早期采用的买方的角度。他们的模型如下。让Xt表示traderholds在t时持有的股份数量∈ 执行过程中的[0，T]；xdenotes股份的初始金额。类似于toAlmgren和Chriss（2001），SDEdSt驱动的公平价格STI=γdxt+udt+σdWt<=> St=S- γx+γxt+ut+σWt（36），交易价格Sti由St=St给出- ηvt，（37）其中wt是布朗运动，vt表示交易者计划在t时刻交易的速率，u参数化价格漂移，γxt，γ≥ 0，和-ηvt，η>0，分别指交易的永久和临时影响。

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2022-6-15 20:29:46

为了考虑到有关顺序的不确定性，Cheng等人（2017）增加了由另一个布朗运动Zt（可能与Wt相关）驱动的位置xta噪声的动力学，即dxt=-vtdt+m（vt）dZt，（38），其中差异m（vt）表示订单不确定性的大小。每次t∈ [0，T]，策略x产生的利润和损失（损益）∏T（x），直到时间T为∏T（x）=xt（St- S）-Zt公司Su- Sdxu。（39）（39）的第一项表示仍需交易的头寸公允价值的变化（如果St>S，则对交易员有利），而第二项是由于时间t之前交易的股票的价格风险和价格影响而产生的成本。使用方程式（36）和（37），损益可重新计算为∏t（x）=xt（γ（xt- x） +ut+σWt）-Zt（γ（xu- x） +uu+σWu- ηvu）dxu。（40）为了阻止在终端时间T的任何剩余头寸，惩罚条款f:xT→ -βxT，β≥ η>γ加在∏T（x）上，得出最终P&Le∏T（x）：=∏T（x）+f（xT。如果订单不确定性的大小是恒定的（m（vt）=m），并且没有漂移（u=0），Cheng等人（2017）提供了最佳交易率v？的封闭式表达式？tand清算轨迹x？tof arisk厌恶交易者以两种不同的方式评估风险。一方面，通过最大化最终损益的预期效用，即supv∈埃胡e∏T（x）i与U的指数效用函数：U（x）=1-e-θeuxθeu。另一方面，通过最大化因其二次变化而受到惩罚的预期损益（Forsyth et al.，2012），即supv∈AEhe∏T（x）- λqvQV[πT（x）]i。在这两种情况下，A表示容许控制集。风险厌恶参数分别由θeu>0和λqv>0给出；θeu（分别为λqv）越大，交易者越厌恶风险。基于最优交易率v？tgiven by Cheng et al。

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可人4

2022-6-15 20:29:49

（2017），很容易获得执行问题的最佳交易率，该交易率是从买方的角度制定的，希望获得不确定数量的股份DT。事实上，由于订单不确定，交易员持仓数量的波动可被视为交易量目标不确定的波动。因此，如果体积目标预测的动力学Dt：=E【Dt | Ft】由dDt=mdXt给出，其中xt是布朗运动，而（Ft）t∈[0，T]是表示时间T可用信息的西格玛代数的过滤，如果wt表示瞬间T的交易率，如果zt表示剩余交易的股票数量，以便与当前预测的成交量目标数据相匹配，则zt的动态由dzt给出=-wtdt+mdXt，（41），其中交易股份的初始金额Zi等于D：=E【DT | F】。请注意，与vt相比，WT的正值对应于股份收购。与Cheng等人（2017）的模型相比，交易对价格动态和交易价格的影响方向相反。考虑到清算计划中的正价格变动与收购计划中的负价格变动具有类似的效益，价格漂移和价格风险也与（36）相反。公允价格Stdynamics、交易价格St和损益∏t（z）由DST=-γdzt- udt- σdWt<=> St=S+γ（z- zt）- ut- σWt，（42）~St=St+ηWt，（43）∏t（z）=zt（S- St）-Zt公司S-Sudzu。（44）与（39）类似，（44）的第一项表示仍需收购头寸的公允价值变化（如果St<S，对交易员有利），而第二项是由于时间t之前交易的股票的价格风险和价格影响而产生的成本。

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2022-6-15 20:29:53

利用方程式（42）和（43），P&L可重新表示为∏t（z）=zt（γ（zt- z） +ut+σWt）-Zt（γ（zu- z） +uu+σWu- ηwu）dzu。（45）我们观察到等式（40）和（45）相似。因此，如果风险厌恶交易者要么使最终损益的预期效用最大化，即∏T（z）=∏T（z）+f（zT），要么使其二次变化所产生的预期损益最大化，那么最优交易率w？如果收购计划受制于不确定的成交量目标，那么该收购计划是否会与最优交易率v相同？tin受不确定订单限制的清算计划。此外，如果我们假设没有价格漂移，并且禁止任何剩余头寸，即u=0和β→ ∞, 然后，在没有固定成本的情况下，上文所述的持续执行问题基本上解决了与模型（17）相同的问题，即：。我∈ {1，…，m}：i=0，当价格变化ξi且预测更新δi，i∈ {1，…，m}，分别遵循方差τiσ和τim的零均值正态分布，即ξi~ N0，τiσ和δi~ N0，τim.总之，我们的方法有多个优点。首先，我们在引理2.8中表明，每当卷目标更新可用时，由在均值方差框架中重新计算最优策略组成的策略产生的交易量可以在我们的模型中使用适当的更新规则β进行复制。其次，与Cheng等人（2017）的模型相比，我们的模型具有更大的通用性。事实上，为了提供最优交易率的封闭式表达式，Cheng等人（2017）基于以下假设，即价格动态和不确定订单均采用布朗运动建模，以及基于以下假设，即价格波动率（σ），成交量目标更新的波动率（m），价格影响参数（γ和η）在整个执行期内保持不变。

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2022-6-15 20:29:56

我们的模型中不需要考虑所有这些因素，这使我们能够考虑更广泛的情况，例如，在执行期间流动性比例不是恒定不变的情况，或者预测量目标更新相关的情况。在这些情况下，为Chenget al.（2017）提出的模型找到最佳交易率的封闭式表达式将具有更大的挑战性。或者，可以使用动态规划方法获得最佳速率；然而，与我们的方法相比，这将导致更高的计算成本。最后，正如我们将在第3节中所示，我们将观察到，尽管CVaRα风险度量不具有时间一致性，这可能导致次优策略（Rudloff et al.，2014），但与Cheng et al.（2017）提出的动态规划方法提供的最优解相比，使用我们的模型获得的策略具有竞争力。这表明，将与交易量目标相关的不确定性整合到策略交易成本的估计中（见方程式（11）），并通过预定规则β采取部分追索权，可以产生直观且具有竞争力的交易策略，同时避免更复杂方法的计算成本。3数值结果在本节中，我们分析了将与交易量目标相关的不确定性纳入交易执行问题的影响。我们提供了一些数字证据，表明在考虑与成交量目标相关的不确定性时，交易者应该通过延迟交易来调整其执行程序。为了验证结果，我们在两个不同的测试用例中应用了我们的模型。

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2022-6-15 20:30:00

在这两种情况下，假设市场上有一只股票，初始价格S=50，日交易量V中位数为500万股：（a）恒定的买卖价差。我们假设市场流动性在所有交易期间保持不变；我们假设每个交易期τi的买卖价差等于初始资产价格的0.25%，即。我∈ {1，…，m}：bi=0.125。（b） U形日内买卖价差。之前的论文，如Chan等人（1995年）指出，纽约证券交易所股票的交易量和买卖价差在交易日通常遵循U型模式；交易活动集中在市场开盘和收盘时。因此，价格影响斜率，即ηi，在早期和最后阶段大于中期（Huberman和Stanzl，2005）。为了捕捉这种行为，假设5个交易期的买卖价差为以下比例：b:=[b，…，b]T=[0.15，0.125，0.125，0.2，0.25]T，对应于初始资产价格S的0.3%，0.25%，0.25%，0.4%和0.5%。对于这两种情况，我们假设资产的波动率σ在整个执行期内是恒定的，等于0.95，价格变化ξi，i∈ {1，…，m}，遵循方差τiσ的零均值高斯分布，即ξi~ N0，τiσ. 对于临时影响，固定成本因素假设iis占所有交易期τi买卖价差的一半，即。我∈ {1，…，m}：i=0.5bi。此外，Almgren和Chriss（2001）认为，交易者产生的价格影响相当于每日交易量的每百分之一的买卖价差，即。我∈ {1，…，m}：ηi=bi/（0.01·V），这也是我们在本文中采用的。至于永久价格影响，Almgren和Chris（2001）假设，当每日交易量的10%被交易时，价格影响变得显著。

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2022-6-15 20:30:03

在此应用中，我们建议，如果其对应于交易期的5倍买卖价差，则影响是显著的，而Almgren和Chris（2001）认为价格变动等于一个买卖价差是显著的。这种规模的增加使我们能够更清楚地说明交易量不确定性对交易者所采用的风险的贡献，但对于非流动资产来说，这也是不完全现实的。因此，我们为所有i设置γi=（5bi）/（0.1V）∈ {1，…，m}。对于较小的γi值，交易量不确定性的影响略小，但由于顺序交易的累积影响，即使交易成本的微小节约也会随着时间的推移产生较大差异。最后，我们假设在这两种情况下，初始成交量目标损失为50万股，并且对于每个交易期τi，除了最后一个交易期，预测更新遵循方差τiν的零均值高斯分布，其中ν等于初始成交量目标的10%（ν：=0.1D），即。我∈ {1，…，m- 1} ：δi~ N0，τiν. 如第2.3小节所述，我们假设由于预测更新而产生的剩余交易量将根据风险中性最优交易策略y？隐含的矩阵β在未来交易期间重新分配？，t、 λVar=0在时间t计算的均值-方差框架（优化问题（3））中，即β=βk，iyt、 λVar=0∈ Rm-1×M，带βk，iyt、 λVar=0=0如果我≤ k、 y？，t、 λVar=0iPmr=k+1y？，t、 λVar=0rotherwise。（46）在实践中，价格变动和预测更新的准确分布未知，并根据历史数据进行估计（例如，见第3.4小节）。在下面，我们用^·任何交易者对基本真值参数的估计来表示。例如，τi^νiis交易者对τiνi的估计值，即交易期τi后发布的预测更新的方差。

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能者818

2022-6-15 20:30:06

表1总结了这两种情况的市场详情。表1：市场参数申购时间：T=5[天]交易周期数：m=5交易周期长度：我∈ {1，…，m}：τi=T/m=1[天]初始资产价格：S=50[$/股]资产波动率：σ=0.95[（$/股）/天1/2]价格变动分布：我∈ {1，…，m}：ξi~ N0，τiσ日交易量：V=5·10[共享]初始交易量目标预测：D=0.5·10[共享]交易量预测更新分布：我∈ {1，…，m- 1} ：δi~ N0，τiνν=0.1买卖价差：情况（a）：我∈ {1，…，m}：bi=0.125[$/股]案例（b）：b=[0.15，0.125，0.125，0.2，0.25][$/股]固定成本：我∈ {1，…，m}：i=0.5bi[$/股]对1%市场的影响：我∈ {1，…，m}：ηi=bi/（0.01·V）[（$/股）/（股/日）]永久影响参数：我∈ {1，…，m}：γi=（5bi）/（0.1V）[美元/股]CVaRα参数：α=0.13.1流动性的最佳策略和影响在表1的市场参数中，条件m 验证了定理2.6中的0，这意味着对于任何风险规避参数λCVaR∈ [0，1]，平均CVaR框架中的最佳交易策略是唯一确定的。图1a和1b描述了在仅考虑价格不确定性（PU）的情况下，两种流动性模型（17）的最优策略，而图1c和1d描述了在考虑两种不确定性来源时的最优交易策略，即价格和交易量不确定性（PVU）。图1e和1f分别表示了这两种情况下最优策略之间的差异。

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2022-6-15 20:30:09

这种差异说明，只有当交易者额外考虑到与交易量相关的不确定性时，才应该调整价格不确定性下的最优策略。考虑与交易量相关的不确定性对最优策略的影响与直觉是一致的：如果交易量不确定，等待对该交易量的更精确估计在降低风险方面是有利的。事实上，我们观察到，交易者应该减少第一个交易期的交易量，并将其分散到下一个交易期。此外，交易者越厌恶风险，对其最优策略的影响就越大。这些数据还表明，考虑成交量不确定性对最优执行策略的影响是非单调的，因为极端事件有两个不同的子集：成交量预测在交易后期增加的子集和成交量预测缩小的子集。第一种情况要求进行足够的早期交易，以避免在最新阶段将交易量提升到受流动性约束强烈影响的水平。第二种情况是，有必要避免在早期交易期间进行交易，并在稍后进行这些头寸的交易。这两种效应试图相互制衡，其结果是将一些早期交易重新分配到交易期的中间部分。

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