（3.1）在本节中，我们将通过引入适当的哈密顿函数，开始针对其他消费者选择的给定合同和给定效果，这将允许首先正式计算消费者的最佳响应。直观地说，该哈密顿量是通过将链规则和公共噪声定义的Carmona和Delarue【11，定理4.17】应用于消费者的动态值函数，并考虑相关的主方程而产生的。然后，我们的下一步是推导出一类所谓的披露合同，从而将[18]的主要论点扩展到一般平均场游戏框架，其中考虑了一个代理的一般道德风险问题，以及[25]的主要论点，其中考虑了平均场游戏道德风险问题，其中代理仅控制输出过程X的漂移。非正式地，揭示合同的类别是通过仍然使用带有常见噪声的链式规则获得的，但将其应用于消费者动态价值函数的转换函数，由（3.1）定义。我们坚持认为，我们在以下小节中进行的分析，以确定代理人的哈密顿量以及合同的相关形式，是非正式的。实际上，我们考虑了马尔可夫框架，也就是说，我们假设代理在时间t的动态值函数仅取决于x和put，其中pu是已知公共噪声的x的条件定律（而不是x到时间t的路径）。该框架允许我们应用【11，定理4.17】中定义的带有常见噪声的链式规则。尽管如此，我们所做的分析虽然在这一点上是非正式的，但在很大程度上依赖于控制McKean–Vlasov SDEsand的动态规划方法的最新进展，本文稍后将严格地进行调整，主要在附录A中。

事实上，考虑到马尔可夫框架所激发的简单契约，我们可以计算代表性代理的最优效果和关联平均场均衡（见定理3.4），其证明基于二阶BSDE理论（2BSDE for Short）。本文的主要结果，主要是对这种所谓的披露合同的限制实际上没有失去普遍性，推迟到下一节（见定理4.1）。3.1马尔可夫框架的直觉桑尼科夫（Sannikov）[45]首创的、在Cvitani'c、Possama"i和Touzi（18）中全面研究的连续时间道德风险问题方法的基石之一，是为激励相容的合同获得适当的概率表示。本节的目标是使用非正式的动态规划类型论证，在涉及具有平均场交互作用的连续代理的情况下，推导出这种表示，其中每个代理都能够控制输出过程的波动性，然后证明这类合同很容易获得平均场均衡。我们在本节中确定了一个概率型购买力平价，由其他消费者根据自己的规范空间选择Ohm. 使用定义2.2，我们用ppωt表示给定F"t的p的r.c.p.d，并用put表示相关的文本条件定律。

几乎通过对购买力平价的定义，更准确地说，通过引理2.3，存在一个代表其他消费者影响的控制过程，表示为pν：“ppα，pβq PpU”pA^pB，因此其偏差消耗的动态px为：dpXt“\'pαt–1ddt`σ\'pβt¨dxWt`σ"dW"t。因此，固定pp PpP意味着ppu，pνq p PpCTq^pU也是固定的。从（3.1）来看，直觉上看，我们预计合同Fobs–可测量是以下过程的任何终值，作为t、X到t的路径和put的函数，Xt ^¨关于公共噪声的条件定律：ξt：“\'RAln `''''''''VAt''uApt，Xt ^¨，putq，（3.2），其中uA:r0，t s^CT^PpCTq'YИR。因此，给定合同ξpΞ以及分配pu所包含的其他消费者的效用，消费者的持续效用VAt可以写为VAt：“vApt，Xt ^¨，putq，其中vA：“\'e'RA¨uA，即时间t的过程VAat取决于t、X的路径历史以及其他人偏差消耗px的条件lawpu。事实上，合同仅在X和pu上索引，延续实用程序不应依赖于F和pf中包含的所有信息。要找到合同的相关形式，直觉是关注马尔可夫框架，即n函数va和函数uA仅取决于t、Xt和put，其中pu是关于公共噪声的Xt的条件定律（而不是时间t之前的路径）。

请注意，在这种特殊情况下，VAR和UAR函数均来自r0，T s^R^PpRq，其值在马尔可夫框架中的R.3.1.1消费者哈密顿量中，即，当VAtonly依赖于XT和putwhere，pu是XT的条件定律（而不是时间T之前的路径），知道公共噪声，并且如果Vai在Carmona和Delarue的意义下足够平滑【11，第4.3.4节】，我们可以将带公共噪声的链式规则（对于状态和测量的函数，请参见[11，定理4.17]）应用于vA:r0，T s^R^PpRq'YR:vApt，Xt，putq“vA` tBsvAps，Xs，pusqds` tBxvAps，Xs，pusqdXs ` tpEpPs”BuvAps，Xs，pusqpxs pXs pXs ` tBxvAps，Xs sztpEpPs“BxBuvAps，Xs，pusq”pXsdxX，pXysiztpEpPs“BvBuvAps，Xs，pusq ` pXsdxpXysi` tpeppsqqps“BuvAps，Xs，pusq ` pXs，qXsdxpX，qXysi，（3.3），其中qx是定义2.5意义上的px副本。人们可能会注意到，这一特殊的It'o公式涉及与度量有关的导数：我们参考[11，第4.3.4节]对这些类型导数的严格定义，以及wedenote byrL（resp.rL）将Borel可测泛函集从R（resp.R）转换为R，以考虑后者。直觉上，与经典控制理论一样，代表性智能体的哈密顿量应该由之前It'o展开式中出现的所有漂移项组成。

因此，通过计算代表消费者和其他消费者的偏差消费之间的二次变化和协变量，主要是：dxyt“∑βPtpσ"qdt，dxpXyt”∑pβtpσ"qdt，dxX，pXyt“dxpX，qXyt”pσ"qdt，此外，使用X和px的动力学，可以获得以下形式的哈密顿量，对于Pt，X，yq Pr0，t s^R，p：“pzu，γ，γu，γu，γu，1，γu，2q p R^rL^R^rL^rL，并沿ppu，pνq p PpCTq^pU计算：Hpt，X，y，p，put，pνtq：“supvPUhpt，x，y，p，put，pνt，vq，其中，对于v p U，hpt，x，y，p，put，pνt，vq：”\'RApcpvq\'fpxqqy\'za¨1d'pEpPt“zu'pXt'pαt¨1d‰`γ''∑pbq\'pσ'q'pσ'qpEpPt“γupXt''pEpPt”γu，1 ` pXt∑` pβt` pσ"qi``σ"peppetqpt“γu，2 ` pXt，qXt‰。根据控制理论中的经典推理，值函数应满足以下Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程：\'BtvApt，x，put，vApt，x，vApt，x，putq，vApt，x，putq，put，pνtq“0，（3.4），其中vApt，x，putq：“` BxvApt，x，putq，BuvApt，x，putq，和vApt，x，putq：“` BxxvApt，x，putq，BxBuvApt，x，putq，BvBuvApt，x，putq，BuvApt，x，putq。3.1.2关于合同的相关形式，通过仍然考虑马尔可夫框架，并假设我们可以应用于（3.2）C1,2,2–正则性下的链规则定义的函数uA，我们可以获得类似于（3.3）的公式，uA。

通过用vA的偏导数计算ua的偏导数，我们经过一些繁琐而简单的计算得到：ξt“'RAln'''vA''''''tBsuAps，Xs，pusqds''tZsdXs'''tpeps”Zusppxsqpxs''''''''''t'''s''''''''''''''dxys'''''''''''''''''''''，2s\'pXs，qXs\'RAZus\'pXsZus\'qXs\'d@pX，qXDsi`ztpEpPs“\'us ` pXs ` RAZsZus ` pXs”d@X，pXDsi，（3.5），其中过程pZ，Zu，Γ，Γu，Γu，1，Γu，2q取R^rL，R^rL^rL^rL rL rL rL rL rL rL rL，并通过以下方式定义所有t P r0，t:Zt，Zut，Γt，Γt，1t，Γ，2t：“\'RAVAt\'BxvA，BuvA，BxxvA，BxBuvA，BvBuvA，BuvApt，Xt，putq。使用vA满足的HJB方程，请参见（3.4），我们可以陈述uA满足的HJB方程：\'BtuApt，x，putq'rH\'t，x，Zt，Zut，Γt，Γt，put，2t pνtq“0，（3.6）其中，Rh是初始哈密顿量H的略微修改版本，在处理CARA效用函数时更加方便，并且满足ppu、pνq p PpCTq^pU、pt、xq p r0、T s^R和pz、zu、γ、γu、γu、1、γu、2q p R^rL R^rL rL rL、rHpt、x、zu、zu、γ、γ、1、γu、2、γu、puT，pνtq“Hdpzq ` Hvpγq ` Hcpx，γq ` H"pzu，γu，1，γu，2，γu，put，pνtq，（3.7），其中Hdpzq：\'infaPA2za–1d ` cαpaq（，Hvpγq：\'infbPBcβpbq'γ∑pbq（，Hcpx，γq：\'γpσ"q，和H"pzu，γu，1，γu，2，γu，put，pνtq：“pEpPt”zu\'pXtpαt–1dipσ"qpEpPt“γu\'pXtpEpPt”γu，1\'pXt∑pβtpσ"q305;\'pσ"qpepptqpt”γu，2\'pXt，qXt。因此，在这种情况下，代表消费者的哈密顿量由四部分组成。前三个，Hd、HV和Hc，是漂移和波动控制的经典部分，不依赖于其他参与者状态的影响和分布。最后一部分，H"，确实取决于法律和其他人的影响，并作为代表性消费者的一个固定部分，因为他无法控制它。注意，优化值由AK、媫pzq：“ρkpz'^ Amaxq和bk、媫pγq：“1 ^`λkγ''''''''1ηk'1\\ubmin给出，对于k”1，…，d。

（3.8）因此，我们声称，在我们的框架中，代表消费者的哈密顿量应该是（3.7）的路径依赖版本，并且相关契约应该是（3.5）形式，由过程pz、Zu、Γ、Γu、Γu、1、Γu、2q参数化。尽管如此，仍有必要进行一些修改，主要是考虑路径依赖版本，但也可以进行一些简化。特别是，通过明确写出（3.5）的最后三个积分的二次变化，我们可以表明，由Γu、Γu、1和Γu、2索引的项可以简化为哈密顿量的某些部分，因此是不必要的。我们将在下一节中提供详细信息。关于导数的计算规则，我们再次参考【11，第4.3.4节】，但为了给出一个想法，我们有：BuuApt，x，putqppxq“'RAVAtBuvApt，x，putqppxq和BvBuuApt，x，putqppxq“\'RAVAtBvBuvApt，x，putqppxq.3.2通过简单合同求解平均值上一小节中开发的马尔可夫框架中的直觉允许我们在我们的框架中直觉出收入合同的形式，定义3.1如下。特别是，相关合同形式的灵感来自（3.5），适用于非马尔可夫框架，并注意到一些简化是可能的。因此，从由过程pZ、Zu、Γ、Γu、Γu、1、Γu、2q的元组索引的契约形式开始，我们最终得出，过程pZ、Zu、Γq的元组应该能够有效地参数化相关契约。这类合同仅以pZ、Zu、Γq为索引，然后允许我们计算代表性代理的最佳效果和相关的平均场平衡（见定理3.4），其证明基于2BSDEs理论。

本文的主要结果，主要是对这种所谓的披露合同的限制实际上没有失去一般性，被推迟到下一节（见定理4.1）。在下文中，为了简单起见，对于任何正整数n，我们用ln表示从Cpr0、ts、Rnq到R的Borel可测泛函集，和L：“L.事实上，我们现在应该考虑，在我们的非马尔可夫框架中，对于所有的P r0，T s，函数Zutca可以应用于x的路径，直到T.3.2.1简单合同调用（3.1）中的值，我们期望合同Fobs–可测量定义为（3.2），作为t的函数，X到t的路径，以及put，X ^¨的条件定律。由于上一节中的推理，并且注意到，以合同（3.5）的形式将哈密顿量Rh替换为其值（见（3.7）），可以在哈密顿量部分和与二次变化相关的项之间进行一些简化。特别是，通过设置px、z、zu、γq P R^R^L^R和ppu、Pαq P PpCTq^pA:Hpx、Put、z、zu、γ，pαtq：“Hdpzq ` Hvpγq ` Hcpx，γq'pEpPt”zu\'pXt ^¨728; pαt¨1d‰，（3.9）我们得出，合同应仅通过过程ζ进行参数化：“pZ，zu，Γq，取R^L^R中的值，并应满足ξt“ξ'tHpXs，pus，ζs，pαsqds'tZsdXs'tpEpPs”zus ^¨728; dpXsi` t ` s ` RAZsdxys ` RAztppsqeqps“zus ` pXs ^¨728; zus ` qXs ^¨728;d@pX，qXDsi\'RAztZspEpPs“Zus\'pXs ^¨728;d@X，pXDsi，（3.10）对于某些ξP R。因此，（3.9）定义的H是我们非马尔可夫框架中的相关哈密顿量。人们可能会注意到，H是由方程式（3.7）定义的哈密顿量RH的简化版本。事实上，哈密顿量中一些不受消费者控制的部分用合同的某些部分进行了简化。

因此，合同中不再出现三重pΓu、1、2、q。因此，我们获得了合同的简化表格，仅以三重ζ为索引：“pZ，Zu，Γq PR^L^R。这三重ζ将被称为支付率的三重。此外，人们可能会注意到，哈密顿量以及代表性代理的合同不再依赖于其他消费者对波动性的影响，即pβ，但仍然依赖于对其他消费者漂移的影响，即pα。尽管（3.10）呼吁用作我们的通用合同形式，但不可能在存在道德风险的委托代理问题的情况下直接使用它。事实上，这种形式明确地依赖于其他消费者的漂移效应，即pα，通过哈密顿量，而这种效应对于主体来说是不可观察的，也不可收缩的。然而，我们可以通过将pα替换为其他消费者的最佳漂移过程来克服这一困难，该过程必须正式计算为由pα媫和definedby（3.8）表示的哈密顿量中的最大值，以便pak，媫ppzq：“ρkppz'^ Amaxq，k“1，…，d，其中pz是其他消费者漂移效应的支付率。事实上，在均衡状态下，每个消费者都应该进行最佳消费。此外，在我们的平均场框架中，消费者是相同的，无法区分。因此，委托人将为所有代理提供相同的合同，即所有消费者漂移效应的支付率都是相同的，since不允许歧视。因此，其他用户的最佳漂移过程将是pαèpZq。因此，我们需要考虑一种特殊类型的收入合同，具体描述见下文定义。定义3.1（简单合同）。

对于任何R^L^R-值FOB-可预测过程ζ：“pZ，Zu，Γq，和任何ξP R，让我们定义以下过程ξ，对于所有t P r0，由ξ确定的t s，ζt：”ξ'tHpXs，Pus，ζs，Pαèsqds'tZsdXs't's'RAZs'dxyss'tpEpPs“Zus'pXs dpXsi\'RAztpEpPsqEqPs“Zus\'pXs ^¨728; Zus\'qXs ^¨728;d@pX，qXDsi\'RAztZspEpPs“Zus\'pXs ^¨728;d@X，pXDsi，（3.11），其中函数H由（3.9）定义。然后，我们将R^L^R-值FOB-可预测过程ζ的集合设为V，以支持PPEP“sup0dtdTepRA”ξξ，ζt|a\'8，其中p与条件（2.6）中的相同。我们将形式为pξξ，ζTq的随机变量称为pξ，ζq p R^V，simplecontracts，并用ΞS表示相应的集合。此外，对于任何R^L^R值F可预测过程ζ：“pZ，Zu，Γq，我们将用ζ”pZ，Zu，Γq表示R值F可预测过程，Zut“pEpPtrZutppXt^qs，对于t P r0，t s。我们会说，如果ζP V，那么ζP V。备注3.2。请注意，集V定义中的可积性要求是相当隐含的。但很明显，V不是空的，因为它包含平凡的常数过程，因为X的漂移和波动性总是有边界的。此外，这正是我们需要能够解决M如下面定理3.4的证明所示，对于给定收缩的代理，FG。3.2.2合同格式的解释定义3.1中给出的合同格式主要由两部分组成：一部分是消费者控制过程的指数化，即其偏差消费，另一部分是通过pu法对其他消费者的指数化。特别是，与[1]类似，合同在消耗偏差水平x和相应的二次变化xXy中具有线性部分，具有线性系数Z和Γ。合同的这一部分是漂移和波动控制的经典合同。

恒定部分与道德风险框架中通常的部分略有不同。事实上，我们可以把它分成三个积分：zTHpXs，pus，ζs，pαèsqds“zT^HdpZsq ` HvpΓsq ` fpXsq˙ds'tpeps“ZusppXs ^¨qpα23s¨1d‰ds'pσ"qzTΓsds。第一个代表消费者效用收益的确定性等价物，可以通过对合同的最佳响应来实现，因此从委托人的付款中减去，与通常的委托人-代理人口头风险类型的合同一致。此外，由于消费者的风险厌恶，最小的必须通过额外付款RAZTDXXYT来补偿yment ZTDXTM。遵循同样的推理，（3.11）中的第二个积分和额外薪酬是对其他指标的最小薪酬的补偿，最后一个积分是对两个最小薪酬引起的协变量的补偿。总之，委托人将选择三重控制ζ“pZ，Zu，Γq，其中，支付率pZ，Γq为所考虑的消费者的偏差消费指数合同，与漂移和波动性控制的通常委托-代理道德风险类型合同一致，支付率Zu为其他消费者的行为指数合同，由条件定律pu表示。备注3.3。到目前为止，我们认为ipal无法观察到常见噪声，或者至少不允许直接对其进行指数补偿。只要她能这样做，我们注意到（3.10）定义的合同可以用以下方式书写：ξt“ξ'tH'pXs，Zs，sqds'tZsdXs'σ'tpEpPs”Zus'pXs'dW's't's'RAZs'dxys'RA'tpeppsqps“Zus'pXs Z''Zus\'qXs ^¨728;d@pX，qXDs‰`RAztZspEpPs“Zus ` pXs ^¨728;d@X，pXDs‰，其中对于px，z，γq P R^R^R，H"px，z，γq“Hdpzq` Hvpγq` Hcpx，γq，（3.12），因此不再依赖于其他方的作用Pα。

我们甚至可以进一步简化，注意到，给定公共噪声，pX和qx是独立的。因此，回顾Zus“pEpPs”Zus ` pXs ^¨728;‰，我们有ztpEpPsqEqPs“Zus ` pXs ^¨728; Zus ` qXs ^¨¨728;d@pX，rXDs‰“`σ"ztpEpPs\'Zus ` pXs ^¨¨qEqPs\'Zus ^¨¨qXs ^¨ds”`σ"zt'Zus ^¨¨¨ds，tpEpPs\'ZsZus ^¨¨¨728;d@X,pXDs‰“`σ"tZspEpPs\'Zus` pXs ^¨728; ds”`σ"ztZsZusds。因此，在这种情况下，合同的实际补偿参数是三重ζ：` Z，Zu，P V，合同形式变为ξ'tH"pXs，Zs，sqds'tZsdXsσ"tZusdW's\'t\'s\'RAZsdxyss\'RApσ"qztZus\'Zus\'2Zsds。（3.13）之前的合同形式只不过是对（3.10）给出的合同形式的改写。这表明，基于条件律的索引实际上是对公共噪声的隐藏索引：合同中的补偿条款依赖于其他条款被重写为仅依赖于公共噪声的条款。因此，如果生产商被允许使用W"，她可以直接履行此类合同。否则，如果有一些监管原因阻止她在合同中直接使用，她可以在定义3.1中解除合同。也就是说，当委托人使用C"中的合同时，我们需要将公共噪声作为状态变量添加到代表消费者的价值函数中，然后可以类似地显示合同通过参数Z"根据公共噪声进行索引，委托人选择的付款率ζ"可以根据X、W和pu生成的自然过滤进行测量。因此，如果主体观察到公共噪声，我们只需扩展主体选择的控制空间。事实上，最优合同的形式将是相同的，这将导致相同的消费者福利和相同的委托人效用。

我们参考第6.1节了解详细合同以及在这种特殊情况下最优合同的解决方案。前面的评论强调了这样一个事实，即如果σ"“0，定义3.1中的简单合同正是漂移和波动控制的标准合同（见[1，17，18]）。因此，在没有常见噪音的情况下，可以直接得出结论，考虑消费者群体消费指数的合同不会改善[1]中给出的结果. 有关此结果的更多详细信息，请参阅第5节。3.2.3解决平均场博弈通过考虑简单合同，我们能够计算代表代理人的最佳效益，非正式地由（3.8）计算得出。直觉上，最大化（3.9）给出的哈密顿量有助于获得最佳效果，但形式证明依赖于2BSDE理论。我们将注意到，消费者的最优效用并不依赖于其他人的效用，这简化了获得理论3.4给出的唯一平均场均衡的任务。换句话说，每个消费者都独立于其他人优化其偏差消费。因此，存在一个唯一的平均场平衡，由以下定理给出。定理3.4。给定合同ξξ，ζTPΞ由参数ζ的三重指数表示：“pZ，Zu，Γq P V，在定义3.1的意义上，在定义2.7的意义上存在一个唯一的平均场平衡，由pP媫，u媫q表示，其中piq消费者的最佳漂移由过程α媫给出：“a媫pZq，其中k，媫pZq：”ρkpz''^ Amaxq，Z P R，k“1，…，d；piiq消费者的最佳波动率由过程β媫给出：“b媫pΓq，其中bk，媫pγq：”1 ^ `λkγ'''''1ηk'1\\uBmin，γp R，k“1，…”。

dpiiq P媫是由最优控制驱动的X定律xt“'ρ\'Z\'t^Amaxdt'σ媫PΓtq¨dWt'σ"dW"t；（3.14）pivqu媫是给定F"的X的条件定律。前面定理的证明（总结如下）依赖于2BSDE理论，主要推迟到附录A：这里的论点的关键是使用命题A.3和定理A.4的一般结果，并表明只要ξξ，ζPΞS，我们就可以直接构造2BSDE（A.3）的解。事实上，与前一节中给出的直觉相反，带有公共噪声的链式规则不能应用于我们的非马尔可夫框架。证据我们首先假设其他消费者正在按照P媫进行游戏，这尤其意味着，他们的效力是ν媫“pα媫，β媫q和that pu”u媫。在这种情况下，可以注意到合同的简化（3.13），因为其他消费者都在玩α媫。定义如下：“\'e\'RAξ，ζt，Zt：”“\'RAYtZt，Zt：”“\'RAYtpEP媫ZutppXt ^¨q‰，Γt：”“\'RAYt，tpr0，t s，Kt：“zt^'RAYsH'pXs，ζsq's'Ss ``σ"'F pXs，Ys，Zs，Ssq'ds，t P r0，t s，其中对于任何sě0，∑'1pSq是映射∑：B'YИR'的单子tSu前映像，其中我们用∑pBq表示B的映像∑，其中映射F:R^R^∑pBq'Y~nR由F px，y，z，sq定义：“suppa，bqPA∑'1pSq'a–1dz'RAypcpa，bq'fpxqq（，px，y，z，Sq P R^R^R^∑pBq，（3.15）和H"通过等式（3.12）。然后，简单应用通常的It'o公式，得到y“'e'RAξT'TtF'Xs，Ys，Zs，Ss'ds'TtZsdXs'σ'TtZsdW's'TtdKs，T P r0，T s。通过定义H'和F，我们还直接检查K始终是一个非递减过程，它在与e'F'效应对应的任何概率测度的支持下消失ned在命题陈述中。

的确dKs“射线”infbPBcβpbq's∑pbq（'infbP∑1pSsqcβpbq'sSs'ds。确保pY、pZ、ZqJ、Kq解决2BSDE（A.3）因此，仍需检查定义A.2中的所有可积性要求是否得到满足，因为定义满足了定点约束。Y的一个是集合V的直接定义。然后，ppZ、ZqJ、Kq上所需的可积性来自Bouchard、Possama"i、Tan和Zhou【10，定理2.1和命题2.1】。因此，我们得出命题陈述中提供的候选者确实是一个均衡。现在让我们来证明独特性。设pν“ppα，pβq是其他消费者的任意影响，以及相关的条件分布pu。在这种情况下，合同ξξ，ζpΞ不再允许分解（3.13）. 尽管如此，根据命题A.3，最优effνè是映射F的最大值，并且不依赖于pν。虽然概率P媫通常不唯一，因此，effβ媫也不唯一，但effα媫是唯一的，并且是定理声明中定义的。综上所述，对于其他消费者的任意效应spν，给定一个契约，每个消费者都有一个唯一的最优漂移效应αè，与pν无关。因此，我们已经可以得出结论，对于所有消费者来说，最佳的效果α媫是相同的。使用带有α媫的Px动力学，合同ξξ，ζ允许分解（3.13）。因此，我们可以应用上述推理来构造2BSDE（a.3）的解，现在我们有了概率P媫的唯一性，因此也有了由定理的piiq点给出的波动率β媫。综上所述，给定一个任意的lawpu和一个合同ξξ，ζPΞS，最佳效应是ν媫“Pα媫，β媫q，诱导lawp媫和条件定律u媫。因此，这是唯一的平衡。在整个工作中，我们将用v媫pz，γq表示：“pa媫pzq，b媫Pγqq”是给定药剂的最佳反应。

与此相关的成本将由c媫pz、γq.3.2.4对最佳效率的解释表示。对于一组支付率ζP R^L^R，piq，支付的z分量会对消费者的所有用途产生影响，以减少其平均消费量。对第k次使用的影响与其成本成比例，1{ρk，不随z增加，如果z为负，则为正，否则为零。因此，z为负越多，代理将减少其平均消费偏差越大；piiq组分γ仅对成本比付款低1{λkis的使用产生影响。如果γ为非负，则bk，èpγq“1对于所有用途，因此消费者不会影响其消费偏差的波动性。γ越负，b越接近零，即代理越能降低其消费偏差的波动性；piiiq zu分量对消费者的影响没有影响：虽然他的付款是根据其他人的消费偏差进行索引的，但消费者不会将其考虑在内以优化其偏差消耗。这种模式可能会受到批评，但从某种意义上讲似乎相当合乎逻辑，即即使电价取决于全球需求，消费者也会独立于其邻居的行为来优化其消费。因此，尽管我们考虑的合同有更多的组成部分，但消费者的福利与[1]中定义的相同。附加组件不会影响消费者的最佳效果。备注3.5。这些结果与漂移和波动控制的经典结果一致，psee【17】或【18】q，pz编制的合同指数，γq有助于激励代理人对漂移和波动进行影响。

因此，很自然，合同中的另一个参数不会直接影响效果，但可能会增加委托人的价值函数。为了总结本节内容，我们在定义3.1中提供了一种新的合同形式，称为简单合同，通过定理3.4，我们可以计算消费者的最佳效益和相关的唯一平均值-场平衡。下一节的目的是证明只考虑简单合同不会失去一般性，并解决委托人的问题，因此仅限于这些简单合同。4委托人的问题我们记得，委托人的优化问题定义如下VP：“supξPΞSUPP，uqPM媫PξqEP^UP^'EPξzTgpXsqdsθTdxXysF"T˙.按照[18]的一般方法，我们预计委托人在定义3.1而非定义3.1的意义上限制合同不会失去一般性。这一性质在艾列、马斯特罗利亚和波萨梅（25）之前就已获得，用于一般道德风险问题，这些问题具有一系列具有平均场相互作用的因素，但这些因素仅限于控制扩散X的漂移。我们在此表明，这一一般结果也扩展到了波动性也可以控制的情况，使用2BSDEs理论。为便于注释，我们为任意Pξ，ζq P R^V定义了以下过程Lξ，ζt：“ξ，ζt` tgpXsqds`θtdxXys，对于t P r0，t s。定理4.1。以下等式表示P”suppξ，ζqPrU\'1ApRq，`8q^VEP媫UP'''EP媫Lξ，ζtˇFisup pv EP媫“UP'''EP媫”LU'1ApRq，ζtˇˇF"tii。这一主要定理的证明推迟到附录A.4。从现在起，假设f和g具有线性增长。因此，命题B.1的结果成立。为了简化符号，通常会省略指数U'1ApRq，因为使用命题B.1，它是由U'1ApRq“ψp0，Xq一次性固定的。

请注意，从委托人的角度来看，当考虑以Ξs为单位的合同时，当消费者处于唯一均衡时，其他消费者的偏差px只不过是X的一个副本，在定义2.5的意义上，我们用X表示。此外，注意到分布PP和P媫重合，特别是在pu“u媫，并施加ξ：”U'1ApRq从现在起，获得：ξζt”ξ'tHpXs，u媫s，ζs，α媫sqds'tZsdXs'trEP's“ZusprXsqdrXs‰`t's'RAZs'dxyss'RA'σ'σ's'Zusprq'ds'RA'σ'ztZsrEP媫s“ZusprXsq‰ds。考虑到委托人的控制问题和合同的形式，直觉是她的价值函数应该只依赖于时间和状态变量Y的条件律uyo“pX，LqJ.4.1一般情况细心的读者注意到，定理4.1的右侧看起来像是带有常见噪声的McKean–Vlasov随机微分方程的随机控制问题的值函数。然而，两个状态变量中的一个，主要是L，似乎被考虑在强公式中（由控制ζ索引），而在弱公式中考虑了其他状态变量X（控制ζ仅影响X到P的分布）。Ashighlighted by Cvitani'cand Zhang【16，备注5.1.3】，直接考虑这种形式的控制问题几乎没有意义。因此，从我们的角度来看，我们没有理由只采用弱公式来说明委托人的问题，这与通常在委托代理问题中所做的相反（参见，例如，[18]），因为这对代理人的问题是有意义的。因此，我们将在下文对此进行阐述。设V是r0，T s^R上所有有限和正Borel测度的集合，其在r0，T s上的投影是Lebesguemeasure，对于某些Borel函数φ，我们称V为Δφspdvqdt形式的所有q P V的集合。

直觉是，委托人的问题只取决于时间和状态变量Y“pX，LqJ的条件定律uyo。按照用于代理人问题的相同方法，为了正确定义委托人问题的弱公式，我们考虑以下正则空间OhmP： “”Ohm"^ Ohm1，P^Ohm2，P^V，其中OhmP、 1：“Cpr0、T s、R^Rdq和OhmP、 2：“PTpRq，具有规范过程pW"，Y，W，uY，λPq，其中对于任何pt，W"，Y，W，u，qq P r0，T s^OhmPW"tpw"，y，w，u，qq：“w"ptq，Ytpw"，y，w，u，qq：”yptq，Wtpw"，y，w，u，qq：”wptq，uYtpw"，y，w，u，qq：“uptq，∧Ptpw"，y，w，u，qq：”q。不太正式地说，对于所有的t P r0，t s，uYtP PpRq将是y的条件分布“pXt，Ltq，我们将用ux和ul来表示uY的边际分布。当不可能混淆时，为了减轻符号，我们通常会省略与条件分布相关的积分空间，例如表示：φpx，`quYpdx，d`q:”“Rφpx，`quYpdx，d`q，对于任何φ：RuR。规范过滤FP：“pFPtqtPr0，T定义为fpt：“σ'\'W"s，Ys，Ws，uYs，spхq：ps，Дq P r0，ts^Cb\'r0，T s^R，R\'，T P r0，T s，其中Cbpr0，T s^R，Rq是从r0，T s^Rto R到R的所有有界连续函数的集合，对于任何ps，则为Дq Pr0，T s^Cbpr0，T s^R，Rq，spsq：“sssRspr，vq∧Ppdr，dvq。我们还定义了FP，"：”“pFP，"tqtPr0，T s，一个较小的滤波器，仅包含由公共噪声和Y，FP，"T的条件定律生成的信息：“σ` pW"s，uYsq:s P r0，ts，t P r0，t s。让CbpR^Rd^R，Rq是有界的两次连续可微分函数集，请注意，在一天结束时，这不是一个真正的问题。

事实上，只要问题有足够的规律性（通常是终端和运行奖励相对于状态的半连续性），就可以预期强公式和弱公式是一致的。Djete、Possama"i和Tan在具有常见噪声的环境中证明了这一点【21，22】。R^Rd^R到R，其一阶和二阶导数也有界，对于任何ps，^q P r0，T s^CbpR^Rd^R，Rq，我们设置mpsp^q：“pYs，Ws，W"sqzszU^APpvq¨^1pYr，Wr，W"rq ` Tr“D"pYr，Wr，W"rqBPpvqBJPpvq‰∧Ppdr，dvq，其中D"表示ν、apa和bpa的Hessian矩阵，分别是向量过程pY、W、W的漂移向量和扩散矩阵；qJAPpvq："'ρ''z'^ Amax'b'Xt，vD''''''''，BPpvq：''''''''''''''''00σ媫pγqJσ"0 0 zσ媫pγqJpz`zuqσ"ddid0 0 0Jd媫其中v：“pz，zu，γq p Rbpx，vq：“c媫pz，γq ` gpxq'f pxq'RAz∑pγq'RA'σ"'zu'θ'''pγq'σ"''σ''''''θ''pγq'''''''''σ'''''''''σ''''''''''''''''x'x'x'x'设MPbe是p上所有概率测度的集合OhmP、 FPTq。子集QAMPis由所有Psuch thatpiq MPp^Q组成，是一个pP，FPq–r0上的局部鞅，T s，表示所有ДP CbpR^Rd^R，Rq；piiq P"pYq'1”%P和P"`pW，W"q'1“ι；piiiq P∧PP Vs”1；P–a.e.ωP的pivqOhm对于每个t P r0，t s，我们有uYtpωq“Pωt"pYtq'1，其中pPωtqωPOhm是给定FP，"t的p的r.c.p.d.族。与之前类似，我们将用ept表示r.c.p.d.pωt下的条件期望；pvq pW"，uYq为P–与W无关。备注4.3。人们可能会注意到，之前的定义，尤其是点pivq，不再涉及路径空间的概率测量，与定义2.2相反，如备注2.8所示。

事实上，我们正在考虑的合同形式使委托人的问题在这个意义上成为马尔可夫问题。按照第2.2小节中的推理，我们可以构造正则空间的副本OhmPand定义2.4和2.5意义上的Y副本。由于前面的公式，我们可以将委托人问题的弱公式写成如下vp“supPPQEP”UP'''EPT“LζPTi'305;，其中，给定一些P P Q，符号EPT将指在定义4.2 pivq的意义下，在r.c.P.d.Ptof some P Q给定FP，tf for all t P r0，t s下的条件期望。备注4.4。首先，回顾一下简单合同被定义为形式为pξξ，ζTq的随机变量，对于pξ，ζq p R^V。通过方程（4.1），我们注意到过程pY，W的漂移向量和扩散矩阵，W"qJare定义为v“pz，zu，γq的函数。这就是为什么我们认为主控通过概率P P q控制着控制的三重ζP”pz，zu，Γq P v，其中对于所有t P r0，t s，zut“rEPtrZutprXtqs，而不是ζPP V。此外，X和L的条件律不会影响它们的动力学，因此委托人的问题似乎不是McKean–Vlasov控制问题，而是一个标准控制问题。然而，委托人的标准揭示了L的条件律，它将问题转化为McKean–Vlasov控制问题。为了应用链式rule对于依赖于时间和条件分布的函数的常见噪声，我们确定了所需的正则性假设。定义4.5（C1,2–规律性）。

函数u:r0，T s^PpRdq'Ynir，pt，uq'Yniup，uq在C1,2-正则性下的链规则意义下足够光滑，如果piq u相对于T是可微的，且偏导数Btu:r0，T s^PpRdq'Ynir是连续的；piiq对于所有t P r0，t s，映射uP PpRdq'Y'Yupt，uq仅为C，在[11，第4.3.2节]中定义，并满足[11，定理4.14]的假设。前面的定义允许我们考虑在[11，定理4.14]中定义的C-正则性下链式规则的时间相关函数的自然扩展。因此，对于定义4.5中足够光滑的任何函数v:r0，T s^PpRq'Ynir，C1,2-正则性下的链式规则写为dvpt，uYtq“Btvpt，uYtqdt ` EPt”Buvpt，uYtqpYtq¨dYt‰` EPtrEPt“Tr”Buvpt，uYtq ` Yt，rYtdxY，rY Yt‰EPt“Tr”ByBuvpt，uytqpytqxy Yti，其中rY是定义2.5意义上的Y的副本，必须根据定义4.2 pivq。备注4.6。请注意，获取此链的另一种方法规则是简化【11，定理4.17】中的链式规则通过考虑一个不依赖于状态进程的函数。因此，我们需要考虑以下HJB方程，写在测量间距上：0“Btvpt，uYtq``σ"^ijBuXvpt，uYtq` y，ryuYtpdyquYtpdyqzθBuLvpt，uYtqpyq` BxBuXvpt，uYtqpyquYtpdyqfqpxquYtpdyqsupvPRhYt，Buvpt，uYtq，BYTQ，BYT Buvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，v，，（4.2）终端条件vpt，uYtq“UP `'EuLTrLTs'，其中，对于任何vuP L1^2、vy、uP L2^2和vu、uP'L'2^2、hpu、vu、vy、u、vu、vq：“\'2ρ\'z'^ Amaxvupyqupdyq\'2c媫pz，γqzvupyqupdyq'∑pγq''''θ'RAz'vupyq'v1,1y，upyq'zv2 2y，upyq'2zv1,2y，upyq'pyq'pyqupdyq'''''''''σ'''''''''728;'z'zupy,2y，upyq'v2,2u，uy，ry'updryq'updyq'2'σ'''''728;''z'''v1,2u，upy，ryq'pdryq'v1,2y，upyq'updyq，（4.3）定理4.7。

如果PDE（4.2）有一个解决方案v，在定义4.5的意义上足够平滑，每个P P QEP的部分导数满足^T^TzBuXvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d ` q˙dt˙1{2` EP“sup0dtdtˇtˇBuLvpt，uYtqpx，\'quYtpdx，d\'qˇpp'1a\'8，（4.4），其中pa1是引理A.5中出现的指数，函数v媫：r0，T s^PpRq'YnirsatisfyinghpuYt，Buvpt，uYtq，ByBuvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，v媫pt，uYtqq“supvPRhpuYt，Buvpt，uYtq，ByBuvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，vq，thenpiq vp0，uYq”VP；piiq通过ζ媫t为所有t P r0，t s定义的过程ζ媫：“v媫pt，uYtq是合同参数的最佳三倍。结果与有关McKean–Vlasov问题的文献中发现的结果非常相似，请参见Bensoussan、Frehse和Yam【6、7、8】、Pham和魏[42，41]，Bayraktar、Cosso和Pham【3】，或Djete、Possama"i和Tan【21】获得最新结果。我们参考附录A.5来证明这一主张。在以下两小节中，我们将指定效用函数Up，以考虑两种不同的情况：“风险规避主体的情况，具有CARA效用函数和风险规避参数RPa0，第4.1.1节；”风险中性委托人的情况，对于UPpxq“x，在第4.1.2小节中，第一种情况下定义的所有函数都将以P为索引，以明确对RP的依赖关系，例如，对于主体问题的值，vp。为了一致性，第二种情况下，它们将以0为索引，这意味着非正式地，设置RP是有效的“在风险规避情况下定义的函数中为0，以获得风险中性情况下的函数。4.1.1在生产者效用函数的恒定相对风险规避规范下，即UPpxq下，具有CARA效用的本金：”\'e'RPx，对于某些风险规避RPa0，我们正在寻找具有形式VPPT的解决方案vPof（4.2），uYtq“\'eRP\'EPtrLts\'uPpt，uXtq，带uPpt，uXtq”0。

（4.5）为了便于标记，我们将表示所有函数u:r0，T s^PpRq'Ynir，uuXpt，uq：“zBuXu\'t，upxqupdxq，ux，uXpt，uq：”zBxBuXu\'t，upxqupdxq，和uuX，uXpt，uq：“ijBuXuP\'t，upx，rxqupdxqupdrxq，对于pt，uq P r0，t s^PpRq，我们将风险规避率R定义为1{R:”1{RP，其中如果RAor RP等于0，则约定R“0。仍需求解函数uP的简化HJB方程：0“\'BtuP\'t，uXt` pg'fqpxquXtpdxq'θ'σ'''''''''σ''''uPx，uX't，uXt't，uXt'''''R'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''σ'''''，uXt`ρ` pz'^ Amaxq'uPuX't，uXt），（4.6），终端条件uP't，uXt“0”，其中qpz，uq：“θ'RAz'u和Fpqq：“infγa0t∑èpγqq\'cèβpγqu。然而，为了应用定理4.7，我们需要确保条件（4.4）适用于函数vP。因此，我们假设存在一些papp'1，关于合同可积性的以下技术条件强制执行“sup0dtdteppep”ξζtˇF't'a `8. （CARA）我们将使用符号ε“appp'1q{p。在合同的这种假设下，我们从定理4.7推导出以下验证结果。命题4.8。假设u是PDE（4.6）的解，在定义4.5的意义上足够平滑，并且满足EP^TˇuuX'T，uXtˇdt'p'sup0dTdTexp'qpp'1rport，uXtq'9）a\'8，（4.7）对于q“ε{pε'1q。

此外，letv媫：r0，T s^PpRq'Y~nRbe是满足HP\'uuX\'T，uXt，ux，uX\'T，uXt，v媫\'T，uXt“infvPRhPpuuX，uXt，ux，uX，uXt，v，其中hppu，u，vq:∑èpγq ` h ` RAz'u'cèβpγq'c'αpzq'2ρz''Amax''u'''''σ'''pRA'RPq'z'z'''''2RP'''` z` zuu，（4.8）然后是PIQ VP'eRPpξ'up0，uXqq；piiq诱导平均消费偏差减少的最佳支付率是一个过程z媫，由z媫t定义所有t p r0，t s“z嫀\'t，uXt，其中函数zè是（4.6）中最小化问题的解决方案，当uuXpt，uqě0，和zèpt，uq P“uuXpt，uq'Amax，0‰，当uuX\'t，u728; 271 0；piiiq最佳支付率zu，è是由z，èt“z”，为所有t P r0，t s定义的过程媫\'t，uXt其中zu，媫pt，uq：“'z媫pt，uq'RPRA'RPuuXpt，uq。回顾zu，媫s：“rEPs”zu，媫sprXsq‰，我们可以任意设置所有x P R的zu，媫pt，uq。用于降低消费偏差波动性的最佳支付率是为所有t P r0确定的过程，T s byΓ媫T”γ媫\'T，uXt式中γ媫pt，uq：“\'max”θ'ux，uXpt，uq'RA'z'pt，uq'z'pt，λ*，式中λ“maxk”1，…，dλk；pvq次优合约由U'1ApRq'THpXs，uXsζ23211 s，α'sqds'TZ's'dXs rEPs'drXs RPRA\'RPzTuuX\'s，uXsrEPs“drXs‰`zT`Γès` RA` Zèsdxys` rarpra` RPq`σ"T` uuX` s，uXsds ` RA`σ"T` Zds，其中H在（3.9）中定义.我们参考附录A.6来证明这个命题，这是定理4.7的结果。最优合同的解释。最优契约最有趣的部分由命题4.8 pvq给出，并涉及到最小支付Z媫s\'dXs\'rEPs“drXs‰。事实上，由于4.8 piiq提案的Z媫0，如果消费者的偏差消费低于其他偏差的平均值，则该支付为正。相反，如果消费者的收益低于池中的其他部分，则该部分补偿为负。

因此，补偿的一部分是基于消费者偏差消费与其他人偏差消费平均值之间的比较。除此之外，我们可以通过X"表示无共同噪声的偏差消耗，得出一种更具启发性的合同形式，其在最佳效果下的动态由dx"t“'ρ\'pZètq'Amaxdtèσèpètq'dWt给出。因此，合同可以用常见噪声asU'1ApRq'tH'X's'σèW's、ζ232; 232; s'ds'tZ'sdX's't's's'来编写RA`ZèsdxX"ys`RPRA`RPσ"ztuPuX`s，uXsdW"s`rarpra`RPq`σ"t` uPuX`s，uXsds，（4.9），其中Hpx，ζèq：“Hdpz媫q ` Hvpγ媫q ` fpxq。然后，我们可以将合同研究分为两部分，即（4.9）中定义的合同第一行是漂移和波动控制的经典合约形式，指数在过程X"中，这是偏差消耗的一部分，真正由代理控制：o合约在X"及其二次变化xX"y水平上是线性的；o通过以最佳效果响应合同，消费者获得一定的效用。因此，委托人可以从合同中减去该效用收益的确定性等价物，即常量部分X"s"σ"W"s，ζèsds；o由于消费者的风险厌恶，需要额外的付款来补偿小额付款ZètdX"t。由于常见噪音W"在我们的框架中代表气候危害，因此过程X"也可以视为针对气候危害调整的偏差消耗。因此，合同的这一部分是固定补偿，与天气条件无关。piiq合同的另一部分是对常见噪音的指数化，这是委托人想要给代理人的剩余风险。

至于小额支付ZtdXt，由于消费者的风险规避，必须通过RPRA ` RPσ"uPuX\'s、uXsdW"s对RPRA ` RPσ"uPuX\'s进行补偿，uXs˙dxW"ys“RARPpRA ` RPq `σ"` uPuX ` s，uXsds。我们已经注意到，如果委托人是风险中性的，她根本不会使用常见的噪音来激励代理人。事实上，由于她是风险中性的，而消费者是风险规避者，因此分担风险的成本太高，她可以独自承担。我们参考风险中性c中的下一小节详细合同ase。这种解释的结论是，合同对其他人的指数化允许委托人将代理人的偏差消耗分为两部分：真正由代理人控制的部分X"，以及常见噪音。因此，她提供了一个基于受控偏差X的补偿指数，以鼓励代理人对漂移和波动性形成影响。此外，如果她是风险厌恶者，她会在合同中加入一部分常见噪音指数，以分担剩余的风险，即使监管规则阻止她在合同中直接使用常见噪音。备注4.9。在消费者为风险中性pRA“0q的情况下，PDE（4.6）降低至0”'BtuP\'t，uXt''''''''''''pg'fqpxquXtpdxq''θ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''uPx，uX\'t，uXt` infzPR！ρ\'pz'^ Amaxq ` uPuX\'t，uXt）。注意，所有t P r0，t s在Zèt达到了最大值“uPuX`t，uXt，诱导消费偏差波动性降低的最佳支付率为Γ媫t”'max“θ'uPx，uX`t，uXt，λ*，最佳支付率为Zu，媫isZu，媫t”'Z't uP X`t，uXt”“0表示所有t P r0，t s。因此，委托人效用的确定性等价物以及由此产生的最优合同不取决于生产者的风险规避RP。

此外，由于Zu，媫“0，该合同未根据其他消费者的法律编制索引。这一结果特别有趣，因为该合同在[1]意义上具有一种经典形式，扩展到了一个常见的噪音模型。请注意，与考虑一个代理的委托代理问题的文献不同，案例“0与第一个最佳问题PSE不一致，请参见附录6.2）。4.1.2风险-中性原则风险-中性原则的价值函数定义为V“supPPQEP”'EPT“LζPT‰。根据上述规范，我们正在寻找一种解决方案vof（4.2），其形式为Vpt，uYtq“'EPT”Lζti\'u\'t，uXt，带u\'t，uXT“0。（4.10）通过调整命题4.8的推理，我们获得了与u0‘'Btupt，uXtq'''pg'fqpxquXtpdxq'θ'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''pr！F\'q\'z，ux，uX\'t，uXTρ`\'z'^ AmaxuuX\'t，uXT），（4.11）终端条件为u\'t，uXT“0。通过在（4.6）中设置RP”0，可以直观地找到该结果。同样，我们可以从命题4.8中推断出以下结果，即RP”0。命题4.10。

如果PDE（4.11）中存在溶液u，则在定义4.5的意义上足够平滑，从而满足以下条件：P^TˇuuX ` T，uXtˇdt˙1{2a\'8，（4.12）和函数v媫：r0，T s^PpRq'Ynirsatisfyingh\'uuX\'T，uXt，ux，uX\'T，uXt，v媫\'T，uXt“infvPRh\'uuX\'t，uXt，ux，uX\'t，uXt，v，然后是piq v”'ξ\'up0，uXq；piiq诱导平均消费偏差减少的最佳支付率是由Z媫t“Z媫\'t，uXt定义的过程Z媫，其中函数Z媫是（4.11）中最小化问题的优化器，且满足Fieszèpt，uq“0，当uuXpt，uqě0，和zèpt，uq P”uuXpt，uqèAmax，当uuXpt，uqd0时为0‰；piiq最佳支付率zu，è等于zè；pivq所有t P r0，t的最佳支付率由Γèt定义：“γèt，uXt”；其中γèpt，uq：“\'max”θux，uXpt，uuq\'RApz媫pt，uqq，λ*；pvq letζ媫：“Z媫，Zu，媫，Γ23211，然后第二个最佳契约由ξ'tHpXs，uXs，ζ23211 s，α'sqds'tZ's'dXs'rEPs”drXs'''t's'RA'Z's'dxyss'RA''σ''728; t'Z's'ds.证明。证明包括简单地对附录a.6中的证明稍作修改，显示函数v，定义为（4.10），满足应用定理4.7所需的假设。注意到zBuXvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d\'q“uuX\'t，uXt和zBuLvpt，uYtqpx，\'quYtpdx，d\'q”\'1，由于u满足条件（4.12），我们直接推断v满足条件（4.4）。备注4.11。请注意，风险中性委托人的问题可以重写如下v“Suppqep“'LζPT‰。因此，这是一个标准的随机控制问题，因此可以用经典的方法来解决。然而，为了保持本文的一致性，我们选择使用定理4.7.最优契约的解释来解决它。

如前一小节所述，为了更好地了解消费者将获得的补偿，我们可以用X"表示其无共同噪声的偏差消耗，并按共同噪声条款签订合同：ξζ媫t“ξ'''''tH'X's''σ'W's，ζ媫s'ds'tZ'sdX's'''t''s''RA'Z's''''''''dxX'ys。（4.13）因此，在风险中性的情况下，最优合约是漂移和波动控制的经典合约形式，以过程X"为索引，即根据气候危害调整的偏差消耗。这一结果来自这样一个事实，即委托人使用合同对其他人的偏差zu进行指数化，以隔离常见噪音。因此，在没有常见噪音（X"）的情况下，她清楚地了解了代理的偏差消耗量。因此，她可以提供一笔付款，该付款仅针对代理商真正优化的消费部分进行索引。在这种风险规避代理人和风险中性委托人的特殊情况下，委托人可以独自承担风险，并签订一份不依赖于共同噪声的合同。4.2线性能源价值差异（EVD）的应用能源价值差异是指消费者对其偏差消费的偏好（由函数f表示）与该偏差的生产成本（由g表示）之间的差异。按照[1]的思路，获得闭式解，在本节中，我们考虑以下情况：“δx，x P R。直觉上，如果δ为正，这意味着能源对消费者的价值高于对生产者的成本。因此，减少消耗对消费者效用的负面影响比对生产者效用的正面影响更为重要。同样，δ为负意味着消耗的增加会导致产品成本的增加比为消费者带来的利益更大。