因此，直觉上，如果δ为负，则委托人更容易激励消费者减少消费。在这个假设下，我们在风险规避和风险中性本金以及更明确的最优支付率的两种情况下都得到了一个封闭形式的解。为了简化符号，我们定义了HPT，zq：“F`θ\'RAz`ρ\'pz'^ Amaxq`δpT'tq，pT，zq P r0，T s^R。我们将结果总结在以下命题中。命题4.12。让能量值差异为线性，即pf'gqpxq'δx，x P R。定义确定的等价函数upasupappt，uXtq：“δpT'tqxuXtpdxq''TtmPpsqds，其中mPptq：“θ`σ"` ` `σ"R'ρ'δpT'tq'infzPRhpt，zq，thenpiq最优支付率过程ζ'''''''''''''''''''''''''Z'，Z''''t''RPRA'''RPδpT''tq和''''t''t'最大值“θ\'RApZ媫tq，λ*。对于所有t P r0，t s.piiq，具有CARA效用函数和风险规避参数RPis的生产者的值函数，由vp给出”'eRPpξ'uPp0，uXqq；piiq风险中性生产者的值函数由V给出“\'ξ\'up0，uXq.Proof。这一命题的证明是命题4.8和4.10的直接应用，其规格为pf\'gqpxq”δx，因为函数uP和u分别满足条件（4.7）和（4.12）。事实上，注意到uPux\'t，uXt“uux\'t，uXt”δpTtq，我们显然有eptuPux\'t，uXtdt；p“δpT3p{2p{2a\'8和EP^TˇuuX\'T，uXtˇdt{1{2“δT3{2a`8。因此，使用条件（4.12）。为了表明提高满意度（4.7），仍需证明EP“sup0dtdTedqpp”1RP“δpTatqEPrXt”F“tssTtmPpsqds”, a\'8这是正确的，因为mPis连续，X具有有界漂移和波动性。上述主张强调了一个事实，即在arisk-厌恶或风险-中性本金的两种情况下，最优支付率pZ媫，Γ23211; q是相同的。

因此，无论委托人的风险厌恶程度如何，消费者对其偏差消费的影响都是相同的。由于控制Zu，委托人控制了她想要承担的风险。事实上，在风险中性的情况下，委托人并不关心风险，因此Zu使得合同不依赖于公共噪声。另一方面，在规避风险的情况下，代理人因公共噪音的一部分而获得报酬：由公共噪音引起的风险由代理人和委托人共同承担。此外，人们可以注意到，在这种特殊情况下，主体从conditionallawuXis中使用的唯一信息实际上是条件平均值。事实上，唯一带有ux的术语出现在生产者的确定性等效函数中，其形式为sxuXtpdxq，等于EPrXt | F"ts。备注4.13。对于所有t P r0、t s，如果δ为非负且介于δpT'tq'amax和0（如果δ'0.5）之间，则最佳支付率Z媫等于零。与经典合同相比，本节的目的是研究将合同指数化对其他消费者偏差分布的好处。因此，作为一个基准案例，我们考虑了生产者的问题，即激励措施仅限于所考虑的消费者的支付。更准确地说，我们只考虑由ζ控制的合同：“pZ，0，Γq，而不是ζ：”pZ，Zu，Γq。我们用V表示V的相应限制。我们在第5.1小节中提供了最佳合同ξ和消费者的福利。

我们关注线性能源价值差异（EVD）案例，以比较两种类型合同在风险规避（见第5.2小节）或风险中性生产者（第5.3小节）两种情况下的消费者效用和生产者效用的结果。5.1最优合同形式我们考虑相同的模型，偏差消耗X的动态相同，但我们的研究仅限于委托人向消费者提供的合同，仅取决于其偏差。这类合同具有漂移和波动控制合同的经典形式（见[1]、[17]、[18]）：ξT“ξ'TH'pXt、ζtqdt'TZtdXt'T'T'T'RAZt'dxyt，其中ζ：“pZ，0，Γq，一个R^t0u^R-值F-可预测过程，是由主程序和ξ选择的一组参数“U'1ApRq。直觉上，我们在定理3.4中已经表明，消费者对由ζ”pZ，Zu，Γqis索引的契约的最佳响应与Zu无关，尤其是ν媫'ζ”pα媫pZq，β媫pΓqq。因此，在经典契约的情况下，主要是Zu”0，后者应该是pZ，Γq的相同函数。该结果与[1]的结果一致，与备注3.5一致。因此，这些契约显然导致了与定理3.4中定义的相同的唯一平均场均衡。委托人必须最佳地选择指数化参数pZ，Γq，以使其效用最大化。她的值函数与之前相同，但仅限于控制ζP VV0，P：“supζPVEP”UP'''EP“LζTˇˇF'Ti'。（5.1）按照第4节的线，我们获得了一个类似于（4.2）的HJB方程，但其上确界为ζ（直观地考虑到（4.2）中的Zu“0”）。

因此，我们可以建立一个与定理4.7.5.2 Principal相似的结果，其中包含CARA效用5.2.1理论结果。在生产者效用函数的CARA规范下，通过模仿第4.1.1节，我们预计与（5.1）相关的HJB方程的解V0，Ppt将由V0，Ppt，uYtq“'eRP'EPt”Lζt'u0，Ppt，uXtq'，，（5.2）其中，u0，Psatis是以下PDE（类似于（4.6））0“'Btu0，P'pg'fqpxquXtpdxq'θ'σ'''σ''u0，Px，uX'σ'u0，PuX，uX'ρu0，PuX'` infzPR！F ` q ` z，u0，Px，uX` RA `σ"z `ρ` ` z''^ Amax` u0，PuX'RP'σ"'u0，PuX），（5.3）终端条件为u0，Ppt，uXtq“0.在我们的基准案例中，我们可以用经典合同陈述命题4.8的等价物。命题5.1。如果PDE（5.3）有一个解u，在定义4.5的意义上足够平滑，满足条件（4.7），并且函数v0，媫：r0，T s^PpCTq'Ynir^t0u^R达到（4.8）定义的上限，那么pIQ v0，P“'eRPpξ'up0，uXqq；piiq诱导平均消耗偏差减少的最佳支付率是过程Z0，由Z0定义的所有t P r0，t s，èt：“Z0，è\'t，uXt其中函数Z0，è是（5.3）中最小化问题的最小化者。”;piiiq所有t P r0、t s的最优支付率Γ0，旨在降低消费偏差的波动性，媫t：“γ0，媫t，uXt其中γ0，媫pt，uq：’max”θ'ux，uXpt，uq'RApz0，媫pt，uqq，λ*。备注5.2。如果消费者为风险中性pRA“0q”，则PDE降低至0“’Btu0，P'pg'fqpxquXpdxq'θ'σ'''''''''''''''σ''''''''''''728; u0，PuX，uX'ρ'u0，PuX'F'θ'u0，Px，uX'infzPR“ρ`` z'^ Amax'u0，PuX'RP'σ"`'z'u0，PuX*，因此，z媫的最大值为：“u0，PuX，类似于备注4.9，最终的最优合约取决于生产者的风险规避RP。为了获得封闭形式的解决方案，我们可以研究线性EVD的情况，类似于命题4.12。

为了加强符号，我们表示HPPT，zq：“Fpθ\'RAzq\'RA`σ"z`ρ` pz'^ Amaxq`δpT'tq'RP`σ"'`'z`δpT'tq。命题5.3。让能量值差异是线性的，即pf'gqpxq'δx，x P R。然后，piq生产者的值函数由V0，P'eRPpξu0，uxqq给出，其中确定性等效函数u0，Pis以u0、Ppt、uXtq为特征“δpT'tqzxuXtpdxq'Ttm0，Ppsqds，其中m0，Pptq：”θ'σ'ρδpT'tq'infzPRhPpt，zq，piiq最优支付率过程ζ0，媫“`Z0，媫，0，Γ0，是Z0，媫t”Arg minzPRhPpt，zq和Γ0，媫t“'max给出的时间的确定性函数“θ\'RA\'Z0，èt，λ*表示t P r0，t s。主要目的是研究消费者的福利和生产者在与经典合同相比提供新合同时的效用，通过对之前命题与命题4.12.5.2.2数值结果的比较分析和讨论来比较消费者在平均消费水平上的福利，我们需要比较Zè根据定理3.4，对于t P r0，t s，α媫t：“a媫pZ媫tq和β媫t：”b媫pΓ媫tq。虽然可以通过分析获得一些不等式，但可能需要数值计算最佳支付率Z媫，因为这是我们在线性EVD情况下无法获得封闭式表达式的唯一数量，请参阅第4.12节。对于数值计算，使用了[1]中详细说明的参数校准。

事实上，即使他们在[1]中考虑了消费，通过将消费的初始条件设定为零，他们工作中的消费过程X也会直接成为观察到的消费减少，这是我们的标准过程X。更准确地说，我们将考虑大多数时间T“5.5 h，θ”4^10'3p/kWh，κ”11.76 p/kWh，δ“'55.44p/kWh，RP“6^10'3p'1，RA”5，7^10'3p'1，ρ“9.3^10'5kWh'1p'1，η”1，λ“2.8^10'2kWh/p（便士的pstands）. 我们将明确指出特定参数的不同值，例如，当我们调查RPO对委托人效用的影响时。关于[1]中校准的波动率（即名义波动率，值为0.085 kW/h1{2），我们将假设它等于我们模型中不受影响的总波动率，即a∑p1q ` pσ"q。因此，我们将考虑σ"的不同值，但使不受影响的总波动率保持不变，等于0.085。请注意，将对d“1.效果比较进行数值计算。为了比较消费者的效果，我们需要根据线性EVD参数δ的符号区分两种情况。piq我们首先关注δd0中最具代表性的情况，因为[1]中的经验结果提供了δ“\'55.44.然而，在这种情况下，效果的分析比较并不清楚。图1代表了消费者对提货的最佳效果和两个Rp值的波动率接近于[1]中校准的值，并且当50%的方差由共同噪声解释时（即σ"“σ”0.085{？2<<0.0601）. 蓝线代表经典合同的最佳效果，而橙色线则专用于我们的新合同。

回想一下，当合约与其他合约挂钩时，代理人对漂移和波动性的影响与委托人的风险厌恶无关。因此o对于RP“0.006（上图），由于其他指数化的合同，委托人可以在整个合同期限内激励消费者对漂移和波动性做出更多的影响（橙色曲线与蓝色曲线相比）；如果委托人的风险厌恶增加（RP“0.03，下图），对于经典合同，她要求消费者提供更多的服务，而对于其他合同，她要求提供相同的服务，无论她是否厌恶风险。因此，我们得出，在新合同中，消费者在合同开始时会做出更多的努力，但在合同结束后会做出更少的努力。0 1 2 3 4 50.0000.0050.0100.0150.0200.025（Z）RP=0.0060 1 2 3 4 50.30.40.50.60.70.80.91.0（）0 1 2 3 4 5Time0.0000.0050.0100.0150.0200.025 RP=0.03的经典合同RP=0.030 1 2 3 4 5Time0.30.40.60.70.80.91.0图1：线性EVD情况下的效果比较。参数：σ"“σ”0.085{？2和RP“0.006（上图）或RP“0.03（下图）.影响在时间上减少的事实可以解释如下。在合同的每一时刻，对委托人来说，重要的是0和t之间的积分，而不是瞬时效应。事实上，她关心所有t P r0，t s的偏差Xt，该偏差由Xt“\'tαtdt\'tσ？βtdWt\'tσ"dW"t定义。因此，委托人在合同开始时寻求更多的帮助符合其利益。

为了评估新合同对消费者的影响，我们计算了以下两个数量，α媫：“sT\'a媫pZ媫tq\'a媫Z0，媫TdtsTa媫Z0，媫Tdtandβ媫：“σsT\'b媫pΓ媫tq\'b媫0，媫TdtσsTb0，媫TdtTσ0，分别代表新合同和经典合同之间的平均和波动性的相对收益。更准确地说，如果αèě0（分别为。βèě0），新合同激励消费者在合同结束时（时间T）进一步降低其总消费量的平均值（相对波动率）。结果如图2所示。我们选择的RPof值与[1]中的估计值顺序相同。对于σ"，我们设定的值为总方差的pσ"q“x%，无影响（名义方差），即∑p1q ` pσ"q”0.085。例如，当σ"0.085时，则pσ"q“100%名义方差：这意味着偏差消耗的波动性与气候危害（σ”0）密切相关.图2显示，在大多数情况下，与传统合同相比，我们的新合同导致平均消费和波动率显著下降。然而，当本金的风险厌恶增加时，这一收益为负值。然而，可以强调的是，一方面，对于[1]中校准的参数，无论与常见噪声的相关性如何，都有显著的增益。另一方面，即使委托人具有相对较高的风险厌恶，如果受到天气条件的强烈影响，我们的新合同允许平均和波动性的消费减少。因此，我们的合同有助于更好地管理气候危害导致的高峰需求期间的消费削减。piiq出于好奇，我们还可以调查阳性δ情况。使用备注4.13，我们可以通过分析证明，在这种情况下，Z0，ěZè“0。

一方面，由于在这两种情况下，漂移的支付率都是正的，并且使用定理3.4，消费者减少其平均消费的效果为零。另一方面，这种不平等导致Γ0，dΓd0。因此，当委托人提供经典合约时，她会激励更多的消费者对波动性产生影响。然而由于λ“2.8^10'2和θ”4^10'3，我们可以注意到0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030RP0.00.10.20.30.4（）2=10.0%（）2=20.0%（）2=30.0%（）2=40.0%（）2=50.0%（）2=60.0%（）2=70.0%（）2=80.0%（）2=90.0%（）2=100.0%0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030RP0.000.010.020.030.04图2：平均值（左）和波动率（右）的相对收益线性EVD情况下的消耗。事实上，消费者不会对波动性产生影响，媫t“'max”θ\'RApZ0，媫tq，λ*“'λ，因此β媫tpΓ0，媫tq”1 ^ `λ'0，媫tq''1{pηk'1q\\ubmin“1.因此，对于较小的λ，两个合约对漂移和波动率的影响均为零。为了找到一个我们的合约对波动率的影响小于经典合约的情况，我们需要大幅增加λ。例如，图3用δ“5，λ”2.8说明了这一特殊情况，当50%的方差由共同噪声解释时（σ"，“σ”0.085{？2）.0 1 2 3 4 50246810Z经典合同新合同0 1 2 3 4 5Time0.040.020.000.020.04（Z）经典合同新合同0 1 2 3 4 50.650.600.550.500.450.400.350 1 2 3 4 5Time0.750.800.850.900.951.00（）图3：线性EVD情况下的付款率和效益与δě0的比较。参数：δ“5，λ”2.8和σ"“σ”0.085{？2。虽然这个结果看起来不直观，但解释如下。

当δ为正时，与生产者效用的边际收益相比，消费的减少大大降低了消费者的效用。因此，对于委托人来说，激励消费者做出贡献的成本太高，尤其是在漂流中。因此，委托人设置非负支付率Z（左上图）。然而，由于她厌恶风险，她希望通过合同与消费者分担一些风险。在经典合同案例中，分担风险的唯一方式是通过小额付款Z0，媫tdXt。这就解释了为什么Z0，媫是正的（左上角的图表，蓝色曲线），而在新合同的情况下，委托人可以通过将其他人的风险指数化Zu，媫，并且可以设置Z媫“0（左上图，橙色曲线）。此外，当委托人支付正付款Z时，她需要通过支付负付款（右上图，蓝色曲线）来补偿，以最小化二次变化pΓt ` raztqdxyt上的支付指数。否则，在新合同的情况下，委托人通过支付率Zu来管理风险，并且不需要用一个小的（负的）Γ（右上图，orangecurve）进行补偿。我们可能会认为之前的结果令人失望，因为消费者在降低消费波动性方面所做的努力较少（右下图）。但如上所述，我们坚持认为，这种情况不会发生，因为根据[1]中的校准，λ“2.8^10'2和δ”55.44'0。效用比较。我们可以分析证明，如果委托人可以就其他人的偏差消费签订合同，则委托人的效用更大。

事实上，我们有M0，Pptq“θ`σ"'ρδpT'tq'infzPRhpt，zq'θ'σ"'ρδpT'tq'infzPRhpt，zq'σ"infzPR！RAz'RPp'z'δpT'tqq）。在z“RP'δpT'tq{pRA'RPq上获得第二个最大值，这导致0，Pptq'θR'ρ'δpT'tq'infzPRhpt，zq“mPptq。因此，对于所有的t P r0，t s，我们有m0，PptqěmPptq，因此VPěV0，P。这一结果非常直观，因为在新合同的情况下，委托人有更多的控制权来最大化其效用（三个而不是两个）。为了确保在RPtends为零时收敛，我们在图4中绘制了效用差异，定义如下V“1`VPRP'1`V0，PRP”RP`VP'V0，P，sincelimRP~n01`VPRP”limRP~n01'eRPpξ'uPp0，uXqqRP“'ξ'up0，uXq“V.我们研究了风险规避参数Rpo对生产者效用的影响，以及与常见噪音相关的方差百分比的影响。首先，请注意，效用差异与效用本身一样为1级。因此，我们通过实施这类合同获得了显着的收益，图5证实了这一点，代表了相对效用差异差异，计算如下：V“1\'VPRP\'1\'V0，PRP1\'V0，PRP”VP\'V0，P1\'V0，P。此外，很明显，与常见噪音的相关性越大，效用差异越重要。这是一个预期结果，因为我们的合同类型允许委托人通过将合同与其他合同进行索引，更好地选择她想要承担的剩余风险。

我们已经注意到，在没有共同噪声（σ"“0）的情况下，我们的合同被简化为漂移和波动控制的经典合同。0.0000 0.0025 0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 0.0150 0.0175 0.0200RP0.000.250.500.751.001.251.501.752.00绝对效用差（）2=10.0%（）2=20.0%（）2=30.0%（）2=40.0%（）2=50.0%（）2=60.0%（）2=70.0%（）2=80.0%。图4：线性EVD情况下的绝对效用差异。风险规避参数Rp的变化以及与共同噪声σ"的相关性。图4还显示，效用收益随着本金的风险厌恶而减少。事实上，对于classicalcontracts，她被迫通过线性支付ZtdXt给消费者带来一些风险。由于消费者也规避风险，因此这种支付必须由确定性支付进行补偿。我们的新合同允许她更好地选择她想要承担的风险。一方面，如果她的风险厌恶度很低，她可以把所有风险都留给自己。因此，她不需要用确定性付款来补偿风险，因此她获得了显著的收益。

另一方面，如果她是风险厌恶型的，她会在合同中添加一个随机部分，以常见噪音为索引：RPRA ` RPσ"ΔztpT'sqdW's。但是，由于消费者也是风险厌恶型的，这种随机支付必须通过其二次变化来补偿：rarpra'RPq'σ'Δ't't's'ds，因此，本金越是风险厌恶型的，她分散风险的成本就越高。0.0000 0.0025 0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 0.0150 0.0175 0.0200RP0.000.050.100.150.200.250.300.35相对效用差（）2=10.0%（）2=20.0%（）2=30.0%（）2=40.0%（）2=50.0%（）2=60.0%（）2=70.0%（）2=80.0%。图5：线性EVD情况下的相对效用差。风险规避参数Rp的变化以及与共同噪声σ"的相关性。5.3风险-中性原则如果委托人是风险-中性的，我们希望得到形式为V0,0pt，uYtq“\'EPt”Lζti\'u0,0pt，uXtq的解决方案。（5.4）可以正式证明前一节的结果适用于RP“0”。特别是，u0,0是RP“0”的PDE（5.3）的解，在这种情况下，我们也可以陈述命题5.1与RP“0”的等价物。但是，为了获得闭式解，我们将重点放在线性能量值差异的情况下。命题5.4（命题5.3与RP“0”）. 让能量值差异为线性，即pf'gqpxq'δx，x P R。生产者的价值函数由V0,0“'ξ'u0,0p0，uXq给出，其中确定性等价函数u0,0由u0,0pt，uXtq'δpT'tqzxuXtpdxq'Ttm0,0psqds表示，其中m0,0ptq：“θ'σ'δ'pT'tq'pzprhpt，zq，piiq-最优支付率过程0，媫“pZ0，媫，Γ0，媫q是z0，媫t”Arg minzPRhpt，zq和Γ0，媫t“'max”θ\'RApZ0，媫tq，λ*给出的时间的确定性函数。让我们将此命题与命题4.12进行比较。

如前所述，我们需要根据正δ或负δ区分情况。一方面，在有意义的情况下，当δd0时，当Principalcan指数合约偏离另一方时，消费者的收益更高。事实上，让我们回顾一下两种情况下的最优支付率Z:Z0，媫t“Arg minzPR！Fph ` RAzq ` RA `σ"z `ρ` pz'^ Amaxq `δpT'tq）0和z媫t“Arg minzPR！Fph ` RAzq'ρ'pz'^ Amaxq'δpT'tq）0。根据最小值的定义，我们有：F `θRA'Z0、媫t'''RA'''''''''''''''σ'对于所有z，尤其是z，z“Zèt.同样，对于所有Z，尤其是Z，F`θ\'RA\'Zèt`ρ`` Zèt'^ Amaxq `δpT'tq271 ^ Fph'RAzq'ρppz'^ Amaxq'δpT'tqq“Z0，èt.因此，使用第一个和第二个不等式，我们得到了σ"''Z0，èt'''''''''''Z'''t'''F'θ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''因此，RA `σ"61指数收缩其他人的偏差消费，消费者减少其平均偏差消费的效果更为重要。此外，最优支付率z上的不等式意味着0ěΓ0，ětΓ媫：对波动性的影响也更为重要。这些结果如图6所示，pσ"q“50%，即50%的方差由共同噪声解释。另一方面，如果δě0，我们在这两种情况下都得到Z媫”0，这导致消费者对其平均出行消费的影响为零。

此外，在这两种情况下，最优支付率Γ媫也是相同的，并导致0 1 2 3 4 5Time0.0000.0050.0100.0150.0200.025（Z）经典合同新合同0 1 2 3 4 5Time0.30.40.50.60.70.80.91.0（）图6：风险中性本金的线性EVD情况下的效果比较。对波动性也有同样的影响。因此，在这种特殊情况下，选择新合同或经典合同不会影响消费者的利益。效用比较。当风险中性委托人能够根据其他人的偏离消费指数合约时，其效用更高。的确m0,0ptq“θ`σ"'ρδpT'tq'infzPR！Fph'RAzq'RA'σ"z'ρ'pz''^ Amaxq'δpT'tq'）θ'σ'pT'tq'infzPR！Fph'RAzq'ρpz''^ Amaxq'δpT'tq“mptq。因此，对于所有的t P r0，t s，我们有m0,0ptqěmptq，这导致了'Ttm0,0psqdsd'Ttmpsqds，我们得出的结论是VěV0,0。这一结果如图7所示。相对于与公共噪声的相关性，绝对效用差异和相对中性差异正在增加，这与合同允许委托人管理t他有剩余的风险。这种风险越重要，委托人获得的效用收益就越多。0.00 0.02 0.04 0.06 0.080.00.51.01.52.02.5绝对效用差异相对效用差异图7：风险中性本金的线性EVD情况下的绝对和相对效用差异。与公共噪声σ"相关的变化。在本节结束时，考虑到线性EVD，实施其他人偏差消费指数化合同会带来净效益。除了为委托人带来巨大的效用收益外，这种类型的合同通常会给消费者带来更多的好处，以减少他们的平均消费量，减少波动性。对于风险中性的生产商，可获得最佳结果。

在这种情况下，如果偏差的方差仅由公共噪声解释，则具有新合同的效用高达具有经典合同的效用的1.5（见图7）。此外，图2（左）显示，消费者的消费平均减少了1.5倍。关于波动性的最佳结果是，当波动性被公共噪声解释一半时，即σ"“0.085{？2.消费者因此对波动率的影响增加了近4%。6扩展和第一–最佳6.1可收缩共同噪声在本文中，我们研究了委托人不能直接根据共同噪声对合同进行索引的情况下的最优合同。本节的目标是在可收缩共同噪声的情况下确定最佳合同形式，并将结果与前一个案例中获得的结果进行比较。在第3节中，我们着眼于代表消费者的最佳合同形式，即委托人只能根据其偏差消费和其他人的条件法则对合同进行索引的情况。备注3.3还引导我们研究如果委托人能够将合同编入索引，那么可以获得的合同类别。从（2.7）中，我们可以回忆到，在这种情况下，委托人提供的是一份FOB合同，这是可衡量的。因此，我们预计消费者的价值函数现在取决于三个状态变量：X、pu和W"。我们考虑代表消费者的价值函数VAt的动态版本，它可以写为VAt“vA ` t，Xt ^¨，W"t ^¨，put。如果函数vA:r0，t s^Cpr0，t s，Rq^PpCTq在[11，第4.3.4节]中定义的意义上足够平滑，我们可以将[11，定理4.17]中定义的C1，2，2-正则性下的链式规则应用于vA。

根据与第3.2.1小节中所述推理相同的推理，并使用备注3.3中的计算，我们得出以下合同形式：，由三个ζ"“pZ，Z"，q，ξt”ξ'tH"pXs，ζ'sqds'tZsdXs't's'RAZs'dxyss'σ'tZ'sdW's'RA'σ'tZ'tZ's'ds's'ds'索引。6.1）因此，如果委托人遵守共同噪声，就相当于将合同索引为他人法律或共同噪声。事实上，我们在此获得的合同形式与备注3.3中的合同形式相同。这种契约显然对消费者产生了同样的影响，并达到了一种独特的平均场平衡。如果我们比较委托人是否观察到常见噪音的两种情况，唯一的区别是合同参数的可测量性。事实上，无论委托人是否遵守共同噪声，最优合同形式都是相同的。当然，在这种情况下，合同的形式更加明确，我们不需要将其他法律指数化，但唯一的变化是，对于更大的过滤FOB，委托人的控制ζ"是可预测的。综上所述，如果委托人没有观察到共同噪声，Fobs是由X和pu产生的自然过滤，因此ζ是Fobs–可测量的，最佳合同形式由（3.11）给出。如果委托人观察到共同噪声，Fobs，"是由X、pu和W"产生的自然过滤，因此ζ是Fobs，"是可测量的，最佳合同形式由（6.1）给出。在这种情况下，在pu或W"上索引合同是等效的。在这两种情况下，合同格式都是一样的，但我们可以根据常见的噪音来写或不写。如果委托人观察到这种常见的噪音，她可能有兴趣提供基于它的合同。

然而，直观地说，在线性能量差异的情况下，由于合同的最佳补偿率是确定的，委托人不应该从将合同索引到公共噪声中获益。该原则的优化问题与之前相同，只是上确界被接管合同ξPΞ"。事实上，在这种情况下，按照与第4节相同的理由，可以建立定理4.7和命题4.8、4.10和4.12。因此，如果已经对其他法律进行了指数化，那么根据共同噪声对合同进行指数化是没有好处的。这意味着，我们的合同以他人的法律为索引，允许委托人以隐藏的方式以常见噪音为索引进行赔偿。6.2第一最佳问题在本节中，我们将注意力集中在所谓的第一最佳框架上，其中不存在道德风险，委托人实际上可以直接选择合同ξ以及代理人的行为。考虑到代表代理的预订效用水平，R，主体问题是VFB：“infρa0！’ρR ` suppP，uXqPP^P pCTqsupξPΞfbjpξ，Pq `ρJApξ，uX，Pq（），其中ρ261a0是与参与约束相关的拉格朗日乘数，而ΞF Bis由（C.1）定义. 重新调用代表代理人是风险厌恶型的，带有风险厌恶参数RA。我们可以考虑arisk（厌恶型）或风险中性本金的两种情况。我们给出了以下结果，然后我们在附录C.6.2.1 Principal中提供了具有CARA实用性的证明。如果Principal的实用性定义为UPpxq“'e'RPx，使用与第4节中相同的工具，我们得到以下命题。命题6.1。

在第一种最佳情况下，对于具有CARA效用函数PIQ的风险规避生产者，生产者的效用由VFB“R^VRR˙1 ` RPRA给出，其中VR”e'R uF Bp0、uXQ和uF B解决以下HJB方程Btuf B“‘pg’uX'θ''c'β'uF Bx，uX'θ'，upT，¨q'1；piiq最佳效果是过程νF B，媫：“pαF B，媫，βF B，媫q由αF B定义为所有t p r0，t，媫t：“aF B，媫t，uXt'和βF B，媫t：“bF B，嫘t，uXt其中，对于k”1，…，d，ak，F B，嫘pt，uq：“ρk `` uF BuXpt，uq''^ Amax和bk，F B，嫘：“1 ^`λk'uF Bx，uXpt，uq'θθ'''''''Bmin；piiq最佳合同由ξ嫘''''''Rq'''''RAlnp't'''''，s'fpXsqds；线性能量差异情况下的pivq，形式为uF B't的uF Bis，uXt“δpt'tq'xuXtpdxq'TtmPpsqds，其中mpptq“θ`σ"``σ"R'ρ'δpT'tq'ρ'δpT'tq ^ Amax'δpT'tq'θ''''''''''''''''''''''θ'''''''''''''''''''''''c''''''β''θB，èptq：“1 ^ `λkθ'1ηk\'1\\ubmin，对于k“1，…，d.6.2.2风险-中性原则风险-中性原则问题与风险-规避问题非常相似，非正式地说，通过在提案6.1提案6.2中设置RP“0”（从而设置R“0），可以获得以下提案。

在第一种最佳情况下，对于风险中性的生产商，piq她的实用程序由VFB“RAlnp'Rq'Vp0，uXq”给出，其中，以下HJB方程的Vis解为“BtV'pf'gqpxquXpdxq'θ'σ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''σ'''''''''''''''''''∑è\'Vx，uX'θ'cèβ'Vx，uX'θ；线性能量差异情况下的piiq，形式Vpt的Vis，uXtq“δpT'tqzxuXtpdxq'Ttmpsqds，其中mis等于mPfor R”0，以及确定最佳效益的函数是与风险规避情况下相同的时间确定性函数。7结论我们在本文中扩展了[1]中设定的电力市场需求响应合同问题通过考虑一系列具有平均场交互作用的消费者，他们的消费受到常见噪音的影响。我们证明，生产者可以通过将一个代理的消费合同和其他代理的法律指数化来考虑消费者与平均场互动的连续性。这种新型合同允许委托人拒绝比其他人做得更多的消费者，或者如果他做得更少，就惩罚他。至少在线性能源价值差异的情况下，生产者的效用通过使用新合同而增加，在大多数情况下，这些合同会从消费者那里获得更多的好处，以降低他们的平均消费水平，并降低可利用性。最优合同以一种隐藏的方式根据气候危害调整的消耗量编制索引。这使得委托人能够根据实际由消费者控制的过程提供指数补偿，以鼓励他对偏差的漂移和波动性做出反应。

此外，如果委托人是风险规避者，她可以在该合同中加入一部分以其他人为索引的内容，这实际上是对常见噪音的索引，以便更好地选择她想要承担的剩余风险。如果委托人被授权直接将合同索引到常见噪音，我们将获得相同的合同格式。因此，根据他人的有条件法律或共同噪声签订合同是严格等效的。然而，如果委托人不能遵守常见噪音，或者如果存在一些监管规则阻止其在合同中直接使用常见噪音，则将合同与其他合同进行索引是克服这一问题的一种方法。我们的方法可以更好地管理与常见噪音相关的风险。因此，共同噪声解释的方差越大，结果越显著。因此，在用电量受到天气条件强烈影响的时期，这些新合同可以改善需求响应，例如在冬季，停电风险很高，因此需求响应超出了需要。自然，在没有常见噪音的情况下，我们的合约被简化为漂移和波动控制的经典合约。技术证明A。引理的证明2.3Let P P P。首先，通过对P的定义，我们得到了Pr∧P Us“1，因此∧pds，dvq”ΔνPspdvqds P–a.s。对于一些可预测的控制过程νP：“`αP，βP。因此，pX，W，W"q是一个It'o过程，在P下具有漂移ApνPq和二次变化B'νPtBJ'νPt”，其中B'νPtBJ'νPt'''''''''''''''''PβPtq ``σ"σJpβPtqσ"σPβPtq Iddσ"“"0σJpβPtqσdIdd0 0Jd"0 jdσpβPtq IdJdσJd1，dt b Ppdωq'a.e.此外，按照Lin、Ren、Touzi和Yang[34]的路线，我们考虑扩展空间Ohme“Ohm ^ Ohm哪里Ohm“Cpr0，T s，Rd\'2q。Ohm配备了标准流程生成的过滤pFtqtě0和Pis上的维纳度量Ohm.

我们定义Fet：“Ftb Ft，Fe：”F b Fand Pe：“P b P。我们表示Xe，W，W的自然张力Ohm 到Ohme、 Stroock和Varadhan[46，定理4.5.2]，在p上有一个d ` 2维布朗运动Ohme、 Fe、Peq，使D¨XetWetW"，因此，我们有“d’Be，2t，…，Be，d’1t，Jand，dW，et”dBe，d’2t。然后，有“x”tαPs，1dds，σJpβPsq，σ弱势商业企业“\'tαPs–1dds ` tσpβPsq–dWes` tσdW"，es，对于tě0，Pe–a.s.，这意味着期望的结果。a.2度量集的另一种表示方法Cvitani'c、Possama"i和Touzi中道德风险问题的一般方法【18】需要区分在P中产生绝对连续概率度量的代理效应，即仅漂移变化的代理效应，或在保持X的二次变化不变的情况下波动控制变化的代理效应。本小节的目标是在我们的设置中提供适当的公式。让我们从介绍一些符号开始。设P是P上的概率测度P的集合Ohm, FTq使得（i）标准向量过程pX，W，W"qJis an pF，Pq–存在F–可预测和B–值过程βPsuch的局部鞅，pX，W，W"qJis P–a.s.的P–二次变化等于∑`βPs`σ"σσJ `βPsσ"σ`βPsIddσ"Jd，Jd s P r0，T s；（ii）P“λP Us”1。如引理2.3所述，我们知道，对于所有P P PXt“X ` tσ`βPsq¨dWs ` tσ"dW"s，t P r0，t s，P a.s。注意，使用Bichteler[9]的经典结果（现代表述见Neufeld和Nutz[38，命题6.6]），我们可以定义xXy的二次变化的路径版本，是F-可预测的，允许我们定义以下R-值过程st：“limsupn~n\'8n\'xXyt\'xXyt\'1{n。定义a.1。

对于任何A值和F值可预测过程α、任何P P P、F值可预测和B值过程β，P-A.s。，∑`βP∑`β，我们通过FT:dPνdP:“exp^'Tαs¨1d∑pβsqσ'βs¨dWs'Tpαs¨1dqds¨729;。请注意，由于a是一个紧集，这样的度量定义很好，并且B值过程自动边界化并远离0。然后立即检查p是否与形式pν的全概率度量集完全一致，这另外满足（i）pνpXq'1“%，并且在Rd^R上存在一个度量，使得Pν"` pW，W"q'1”；（ii）对于P–a.eωPOhm 对于每t P r0，t s，我们有utpωq“`Pνωt"pXt ^¨q'1；（iii）pW"，uq是Pν–与W无关。对于任何P P P，我们用U pPq表示控制集νP U，这样PνP.A.3消费者的最佳反应函数和平衡。在本小节中，我们希望将消费者的最佳反应函数与给定的合同ξPΞ以及由其他消费者的平均场（换句话说，VApξ，Puq）发挥的给定测量u与适当的二阶BSDE相关联。考虑到这一点，我们考虑过程S，取由t定义的对称正2^2矩阵集合中的值：“St``σ"σ""σ""˙，t P r0，t S，以及以下规范，对于任何Pě1，}Z}pHp：“supppep^tzttztdt˙P, 和}Y}pSp：“supppep"sup0dtdt | Yt | p,定义任何FOB–可预测、R值流程Z和任何FOB–可选、R值流程Y以及cádlág路径。我们考虑以下所谓的二阶BSDE（简称2BSDE）Yt“’e'RAξ'TtF pXs，Ys，Zs，Ssqds'TtZsdXs'σ'TtZsdW's'TtdKs，（A.1）以下定义回顾了2BSDE的概念，并使用额外的符号PTPP，pFobsq'q：“！PP P:PrEs”PrEs表示所有e P pFobstq`），对于任何PP，tq P P P P^r0，T s.定义A.2。

我们说pY，Z，Kq是2BSDE（a.1）的解，如果对于某些k1piq Y是一个cdlág和一个pFobsqP `–可选过程，并且}Y}Ska\'8；piiq Z“pZ，ZqJis是一种pFobsqP–可预测的R值过程，具有>>>>>>>Hka\'8；piiiq K是一种pFobsqP–可选，cádlág，非递减，K”0，支持pRKKTSa\'8，并满足最低条件KT“Essinpppptpp，F ` qEP”KTˇˇpFobstqPi，0dt，P'a.s.对于所有P P P.（a.2），本节的主要结果将上述2BSDE的溶液与试剂的最佳反应功能联系起来。严格地说，过程β应该用测度P来索引，但我们选择不这样做是为了减少符号。提案A.3。固定pξ，puq pΞ710; PpCTq。设pY、pZ、ZqJ、Kq为2BSDE（a.1）的解。我们有VAPξ，puq”支持。相反，Pdynamiq值函数VAtpξ，puq始终提供（a.1）的解的第一个组分。此外，任何最佳的函数ν媫：“pαp媫，βp媫q，以及最佳度量p媫p必须是k“0，`Pèνèa.s.、αèt、βètP argmaxpa、bqPA^∑'1pStqF pXt^¨、Yt、Zt、Stq、`Pèνèa.s.，其中，`Pèνèèèèè通过定义a.1.证明从Pè中定义。证明是经典的，并遵循Cvitani'c、Possamaè和Touzi[18，命题4.6]. 因此，我们在此仅说明满足所需假设的原因。首先，映射F可以很容易地重写为函数rf px，y，pSq1{2pz，zqJ，Sq，正如Possama"i，Tan和Zhou[43]所做的那样，因为矩阵在我们的设置中总是可逆的。此外，我们可以通过考虑2BSDE满足的'tfpXs ^¨qdsYtinstead，轻松地去掉F中的线性项'RAfpxqy。因此，我们在不丧失一般性的情况下假设F在这里为0。

然后，rF和终端条件'e'RAξ满足[43，假设1.1 piq和piiq]中的Lipschitz和可积性属性，因为控制是有界的，并且是由合同集的定义决定的，回忆（2.6）（并且P中概率的密度与P中概率的密度具有任意阶的矩，统一在度量上）。[43，假设4.1]也会自动验证，因为y“z”z“0的Rf为0。接下来，[43，假设1.1 piiiq–pvq]也会被度量集P所满足，参见Nutz和van Handel[39]。最后，集P在[43，定义5.1]的意义上是饱和的，参见[43，备注5.1].有了命题A.3，我们现在可以通过平均场类型的2BSDE来描述平均场平衡，这让人想起在【25】设置中获得的平均场BSDE，其中仅控制了X的漂移。定理A.4。这对pP媫，u媫q属于M媫pξq，当且仅当存在p媫p和ν：“pα媫，β媫q使得p媫”`pν媫，其中\'p媫ν媫媫是从定义A.1和K媫中定义的“0，`Pèνèa.s.，αèt，βètP arg maxpa，bqPA^∑'1pStqF pXt ^¨，Yèt，Z1èt，Stq，`Pèνèa.s.，其中pYè，pZ1è，Z2èqJ，Kèq是平均值2BSDEYèt”'e''RA'TtF的解pXs、Yès、Z1ès、Ssqds'TtZ1èsdXs'σ"zTtZ2èsdW's'TtdKès，（a.3），满足定义a.2和固定点约束utpωq“pP媫qωt"pXt ^¨q'1.证明。通过命题A.3，我们可以描述试剂对任意Pu的最佳反应函数。然后，非平衡只需要Pu与P媫下X的条件分布一致，这正是平均值2BSDE（A.3）给出的结果。”.我们以以下引理结束本节，该引理为我们提供了与定义3.1中的契约相关的过程Z和Zu的显式可积性属性。这对我们分析委托人的问题很有用。引理A.5。

对于任何pZ、Zu、q P V，都存在一些pP p1、pq，从而支持pPep^T | Zs | ds˙P{2` 支持p{2a `8.证据第一通过定理3.4及其证明，我们知道，如果我们定义：“\'e'RAξ，ζt，Zt：'RAYtZt，Zt：'RAYtZut，Γt：'RAYt，t P r0，t s，Kt：'t^'RAYsH'pXs，ζsq s'Ss''σ's，Ys，Zs，Ssq'ds，t P r0，t s然后pY，pZ，ZqJ，Kq解出2BSDE A.1，特别是有一些P P p1，pq，使得pZ，ZqJP H，P。此外，我们还有“eRAξξ，ζt，因此我们使用霍尔德不等式、Ξs的定义以及Pand P中度量值之间的密度具有任何阶次的矩的事实进行推断a `8.那么，对于任何▄p p p1，▄pqsupppep▄T▄Zs▄ds▄p{2“R▄PASUPPPEP▄T▄ZsYs▄ds▄p{2dRpasupppepdsup0dtdtdYtdp^tdZs˙p{2dR▄pAsupPPP^EP▄sup0dtdtdYtdpPPSUPPP EP Zs ds p p2pp pq˙1''p{p{p{p'p{p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p'p{p1 ` pqd~n'ppp'1qa0。同样的推理为我们提供了定理4.1的所需结果。在解释如何证明上述结果之前，请注意定理4.1中的第二个等式是微不足道的。实际上，在没有有限责任的情况下，委托人的值是代理人获得的效用的非递增函数。从数学上讲，这转化为事实上，主体问题中两个状态变量的动力学实际上并不依赖于L，因此对相关初始值的依赖是直接的。第一个等式的证明依赖于类似于[18]、[25]和[1]中提出的论点。

使用命题A。3和定理A.4，我们知道对于ξPΞ，存在一个平衡pP媫，u23211; q P M媫Pξq，其中P媫表示P媫–A.eωPOhm 对于每t P r0，t s，我们有u媫tpωq“pP媫qωt"pXt ^¨q'1和K”0，P媫'a.s.，`α媫t，β媫tP argmaxpa，bqPA'∑'1pStqF pXt ^¨，Yt，Zt，Stq，P'a.s.，其中K是2BSDEYt溶液pY，pZ，ZqJ，Kq的最后一个组分“\'e'RAξ\'TtF pXs，Ys，Zs，Ssqds'TtZsdXs'σ"zTtZsdW's'TtdKs。在'和'中，合同之间的主要区别在于上述过程K在Lebesgue度量方面是否是绝对连续的。由于它不是一般的，我们将通过一系列绝对连续的值来近似它。因此确定一些ε0，并定义绝对连续的近似值KKεt的定义：“εztpt'εq'Ksds，t P r0，t s。显然，Kε是FP–可预测的，非递减的P–q.s.和Kε”0，P媫a.s。对于所有pP媫，u媫q P M媫Pξq.（a.4）我们接下来定义任何t P r0，t s的过程εt：“Y'tF pXs，Yεs，Zs，Ssqds'tZsdXs''''''''''''''''''''''ztZsdW"s'tdKεs，（a.5），并验证pYε、pZ、Zq、Kεq在终端条件'e'RAξε下求解2BSDE：“Yε和生成器F。事实上，由于KεK，Kε确实满足所需的最小条件，这在（A.4）中是显而易见的。我们还验证了，对于p p1，pq，我们最终观察到概率度量值为}Yε}S}p`>pZ，ZqJ>H'pa8。p满足K“0，p–A.S.当且仅当其满足Kε“0，P–a.s.注意，对于任何pt，ω，x，y，z，zq P r0，T s^Ohm R，px，y，z，Sspωqq上的映射γTh'Y'Y~n'RAyH'x，'RAypz，z，γq'γ'Sspωq''σ'''σ'''x，y，z，Sspωqq是p0，8q上的满射。（A.7）事实上，它是非负的，通过定义H"和F，是凸的，在其域内部是连续的，并且是由控制的有界性强制的。LetKε表示绝对连续过程Kε相对于Lebesgue测度的密度。

应用经典的可测量选择参数（这里出现的映射是连续的，我们可以使用Benes[4，5]的结果），我们可以推断Fobs–可预测过程的存在，使得kεs“'RAYεsH'Xs，'RAYεspZs，Zs，εsq'sq'εs'Ss``σ'F pXs，Yεs，Zs，Ssq。ForKεsa0，这在（A.7）中是明确的，如果kεs“0，ε可以任意选择。替换为（in A.5），因此YεholdsYεt的以下表示“Y'托盘εsH'Xs，'RAYεspZs，Zs，εsq'ds'tZsdXs'σ'tZsdW's't'εsdxXys。将其'o公式应用于'1{RAlogp'Yεtq，ξεt'RAlogp'Yεq'tH'pXs，ζsqds'”；tZsdXs `σ"ztZusdW"s ` t ` s ` RA | Zs |dxyss ` RA `σ"tZus ` Zus ` 2Zsds。其中ζ：“pZ，Zu，q“\'RAYεpZ，Z，εq。定义Zu为任何FOB–可预测过程，取L值，使PEP媫srZusppx ^¨qs”Zus。使用DynamicOffx，我们推断ξεt：”“\'RAlogp'Yεq'thpx，pus，ζs，α媫sqds'tZsdXs t's'RAZs'dxys'dxys'tpEP'媫s“Zus ` pXs ^¨728; dpXs‰`RAztpEP媫sqEP媫s”Zus ` pXs ^¨728; Zus ` qXs ^¨728;d@pX，qXDs‰`RAztZspEPès“Zus”pXs ^¨728;d@X，pXDs‰，t P r0，t s，式中ζ：“pZ，Zu，Γq。这表明合同ξε具有所需的动力学（3.11），因为在平衡状态下，u媫”pu和effα媫”pα媫是唯一的。它属于Ξ的事实源于（A.6）和引理A.5中的论点。然后，根据附录A.2和[18，定理3.6]的证明，我们可以得出结论，注意ξε“ξ，P媫–a.s.a.5定理4.7的证明设v为PDE（4.2）的解，在定义4.5的意义上足够光滑，从而满足条件（4.4）。此外，假设函数v媫从r0，T s^PpRq toR获得PDE（4.2）中的上确界。

我们需要证明VP“vp0，uYq。将C1,2–正则性下的链式规则应用于v，作为依赖于时间的函数和Yζ”pX，LζqJ的条件定律，我们得到：dvpt，uYtq北京大学的学生家长会，北京大学的学生家长会，北京大学的学生家长会，北京大学的学生家长会，北京大学的学生家长会，QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQY，北京北京大学的学生们，d\'QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQq˙dt`σ"z`BuXvpt，uYtqpx，`q`BuLvpt，uYtqpx，`q`Zt`ZutYtpdx，d`qdW"t。根据假设，v是HJB方程的解选项（4.2）：0“Btvpt，uYtq``σ"zzBuXvpt，uYtq`x，`，rx，r` `'uYtpdx，d` quYtpdx，dr`'q'BuLvpt，uYtqpx，qpg f qpxquYtpdx，d`'q'θ'σ'BuLvpt，uYtqpx，d`'quYtpdx；BxBuXvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d ` q ` supvPRhpuYt，Buvpt，uYtq，ByBuvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，vq，因此我们得到了vpt，uYtq“vp0，uYq'T'hpuYt，Buv，ByBuv，Buv，ζq'supζPRhpuYt，Buv，ByBuv，Buv，vq'dt'σ"zTzT'BuXvpt，uYtqpx，q'BuLvpt，uYtqpx，q'Zt'ZuT'Ytpdx，d'qdW tUnder假设（4.4）在v的偏导数上，过程σ"¨z''BuXvpt，uYtqpx，`q'BuLvpt，uYtqpx，`q'Zt'Zut，uYtpdx，d'qdW't.是一个P-鞅，因为以下数量为sup0dtˇtˇtzBuXvps，uYsqpx，`quYspdx，d'qdW sLoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooLoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooa\'8，根据假设的第一部分（4.4）。

另一方面，除了使用H"older不等式外，对于一些独立于P的常数Ca0，对于引理A.5BdrCEP^T^zBuLvps，uYsqpx，\'q\'Zs\'ZusYspdx，d\'q˙ds˙1{2d2rCEP"sup0dtdtdtzBuLvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d`q<<<<tzZs ` pZusq ds˙1{2d2rC^EP"sup0dtdtˇtˇ380; BuLvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d`qˇpp'11'p'EP'T'Zs'pZusq'ds'p{2˙pa\'8。事实上，根据假设（4.4）的第二部分，第一项是有限的，第二项也是有限的，因为ζP Vimplies Z和Zu在Hpby引理A.5中。因此，我们获得了EP“vpT，uYTq‰”vp0，uYq `zTEP”hpuYt，BuvpT，uYTq，ByBuvpT，BuvpT，uYTq，ζtq'supvPRθpuYt，BuvpT，uYTq，BuvpT，uYTq，vqidt。使用终端条件vPpT，uYTq“UP'''EPT”LζTi”，并注意到对于所有T P r0、T s、hpuYt、Buvpt、uYTq、ByBuvpt、uYTq、Buvpt、uYTq、ζtq'supvPRθPuYt、Buvpt、uYTq、ByBuvpt、uYTq、vqd0，ζèèT相等：“vèpt，uYTq，假设导致toEP“UP'''EPT”LζTiidvp0，uYq，等于ζ媫。因此，vp0，uYq“VP.A.6命题4.8的证明让u成为PDE（4.6）的一个解决方案，在定义4.5的意义上足够平滑，满足条件（4.7）。让ζ媫”pZ媫，Zu，Γ媫媫q是V中的一个过程，这样对于所有t P r0，t s，ζ媫媫t：“V媫\'t，uXt是（4.8）定义的HP的最大值。我们将函数V定义为：vpt，uYtq“\'eRP ` EPt“Lζ媫t‰'upt，uXtq。为了证明命题的第一点，有必要证明函数v满足第4.7条的假设。事实上，根据定理的第一点，我们将得到'eRPpξ'up0，uXqq”vp0，uYq“VP。首先，v与u具有相同的规律性，因此在定义4.5的意义上足够平滑。此外，我们可以证明v满足条件（4.4）。