，pNon^Γ，然后使用c循环单调性、引理2.6中构造的竞争序列、c（x，·）的上半连续性和c（x，·）的上界性- a（x）b（·）对于某些a（x）>0的情况，nxi=1C（xi，pi）=limn→∞nNXi=1nXj=1c（xi，yij）≤ lim supnNXi=1ZYc（xi，y）qni（dy）≤NXi=1C（xi，qi）。尾声凸性是弱输运背景下的一个自然假设。众所周知，C（x，·）的凸性对于在耦合空间中获得一般存在的极小值是必要的，请参见【4，示例3.2】。同样，C-单调性需要凸性才能成为必要的最优性标准：示例5.1。设X={0}，Y={0，1}，u=δ，ν=（δ+δ），c（X，p）=min（p（{0}），p（{1}））。那么C在X×P（Y）上是连续的和凹的，但是唯一的（因此是最佳的）耦合u ν ∈ π（u，ν）不是C-单调的。实际上，2C（0，ν）=1>0=C（0，δ）+C（0，δ）。在经典的最优运输设置中，当成本函数c从下到实值有界时，c-循环单调性已经暗示了最优性，请参见【10】。在最优弱传输中不能得出类似的结论，因为当C是较低连续性时，C-单调性甚至不意味着最优性：例5.2。设X=[0，1]，Y=[0，1]和C（X，p）：=ps，δX（[0，1]）=p（[0，1]\\{X}），这是一个可测量的成本函数（C.f.命题6.5）和fixedx的下半连续∈ [0，1]：给定一个弱收敛序列pk*p∈ P（Y），Portmanteau theoremyieldslim infkC（x，pk）=lim infkpk（[0，1]\\{x}）≥ p（[0，1]\\{x}）=C（x，p）。乘积耦合π：=λλ ∈ π（λ，λ），其中λ表示[0，1]上的均匀分布实际上是C-单调的：由于πx=λ（λ-几乎肯定），我们对任何x，xN公司∈ [0，1]和q，qN公司∈ P（Y），其中NXi=1πxi=Nλ=NXi=1qi22 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G。

pammer认为qi与λ绝对连续，因此，NXi=1C（xi，πxi）=N=NXi=1C（xi，qi）。但代价为C的（WOT）的唯一优化器由π给出*（dx，dy）：=λ（dx）δx（dy）和z[0,1]C（x，π）*x） λ（dx）=0<1=Z[0,1]C（x，πx）λ（dx）。甚至当C是关于某些C:X×Y的积分时→ R、 正如下一个示例所示，我们不希望C-单调性意味着最优性和/或C-循环单调性。示例5.3。设X=[0，1]，Y=[0，1]，C（X，p）=R[0，1]C（X，Y）p（dy），C（X，Y）：={X}（Y）。与前一示例一样，乘积耦合π=λ λ是C-单调的，但不是最优的，而π*（dx，dy）=λ（dx）δx（dy）是最优的，尤其是c-环单糖。C-单调性在这些简单设置中无法提供最优性（代价函数C是偶数有界且下半连续的）是由其在“X×Y”上变化的方式造成的：X上的变化是逐点的（类似于C-循环单调性），而Y上的变化是在弱意义上进行的，即我们要求两个竞争序列的Y强度一致。这里，C-单调性无法检测到x处从1到0的跳跃，我们可以认为，C-单调性在所有耦合χin∏（λ，λ）下产生π的最优性，使得χx λ表示λ-几乎所有x∈ [0, 1]. 为了能够与所有相互竞争的耦合进行比较，C在“Y方向”上的更多正则性是必要的，例如，定理4.2中的上半连续性或定理2.2中的一致等连续性，但问题仍然悬而未决，即需要多少正则性。

作者推测C为上卡拉斯角，即C:X×P（Y）→ R是联合测量的，对于固定x∈ X地图第7页→ C（x，p）是上半连续的，需要C-单调性作为最优性准则。值得注意的是，示例5.2，当取▄C：=-C作为cost，提供了一个上半连续cost函数，该函数在以下意义上是凸的（实际上是线性的）：设Q∈ P（P（[0,1]）），然后ZP（[0,1]）~C（x，P）Q（dp）=▄Cx，ZP（[0,1]）pQ（dp）！。（5.1）因此，与（5.1）中所述的凸性以及可测性相比，C是下半连续且凸的，这是一个严格更强的假设，如OREM 2.5.6所要求。附录定理2.2的证明采用了凹连续模的存在性。我们将论点分为一般部分和针对论文背景进行优化的部分。引理6.1。设（Y，d）是度量空间，r≥ 1和f:X×Y→ R在x中均匀连续∈ 十、 即θ（δ）：=sup{| f（X，a）- f（x，b）|：x∈ 十、 a、b∈ Y s.t.d（a，b）r≤ δ} ，对于δ和0为零。另外假设c>0：supa，b∈Y:d（a，b）≥c、 x个∈X | f（X，a）- f（x，b）| d（a，b）r<∞.然后是θ：[0，∞) → [0, ∞] 凹形，使得limδ&0|θ（δ）=0和| f（x，a）- f（x，b）|≤θ（d（a，b）r）。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性23证明。固定ε>0时，存在Δε，使得| f（x，a）- f（x，b）|≤ ε如果d（a，b）≤ δε. 如果另一方面d（a，b）>Δε，则| f（x，a）- f（x，b）|≤ d（a，b）rsup'a，'b∈Y:d（\'a，\'b）≥Δε，(R)x∈X | f（\'X，\'a）- f（\'x，\'b）| d（\'a，\'b）r=：d（a，b）rKε。因此，总体| f（x，a）- f（x，b）|≤ ε+d（a，b）rKε，尤其是θ（δ）≤ ε+δKε和Kε<∞. 用θ表示θ的凹包络，即所有函数的最大值，我们得出θ（δ）≤ ε+δKε，so limδ→0|θ（δ）=0，因为ε是任意的。

最后指出| f（x，a）- f（x，b）|≤ θ（d（a，b）r）≤θ（d（a，b）r）。引理6.2。设C:X×Pr（Y）→ 假设C（x，·）是Wr，在x上一致连续一致∈ 十、 即θ（δ）：=supn | C（X，p）- C（x，q）|：x∈ 十、 （p，q）∈ Pr（Y）s.t.Wr（p，q）r≤ δo，δ&0为零。然后是θ：[0，∞) → [0, ∞] 凹形，使得limδ&0|θ（δ）=0和| C（x，p）- C（x，q）|≤θ（Wr（p，q）r）。证据我们应用引理6.1。必须表明，对于任何c>0supp，q∈Pr（Y）：Wr（p，q）r≥c | c（x，p）- C（x，q）| Wr（p，q）r<∞. （6.1）为此，选择0<δ≤C使θ（δ）<∞. 对于任何p，q∈ Pr（Y）带Wr（p，q）r≥ C此处为N≥ 2使得（N- 1)δ ≤ Wr（p，q）r≤ Nδ。表示[p，q]α=（1- α） p+αq，通过最优输运的凸性，我们得到了所有α，β∈ [0，1]Wr（[p，q]α，[p，q]β）r≤ |α - β| Wr（p，q）r。因此，| C（x，p）- C（x，q）|≤NXk=1C（x，[p，q]（k-1） /N）- C（x，[p，q]k/N）≤NXk=1θWr（p，q）rN！≤ Nθ（δ）≤θ（δ）Wr（p，q）rNδ（N- 1)≤ 2Wr（p，q）rθ（δ）δ。我们得出结论，（6.1）的左侧以2θ（δ）δ<∞. 下面的引理可以看作是Lusin定理的一个可测量版本。在第3节和第4节中，分别将鞅C-monontone C-单调集与（C，FM）-单调C-循环单调集连接起来。也就是引理3.7和命题4.4中的isdone。引理6.3。LetΓ X×P（Y）是解析的，c:X×Y→ R∪{±∞} 是可测量的。然后存在一个解析集 具有以下性质的X×Y：（i）对于任意（X，p）∈ 我们发现p集中在fibre^x={y∈ Y：（x，Y）∈^Γ}，即p（^Γx）=1。（ii）对于任何（x，y）∈我们发现（x，p）∈ Γ和Borel可测集K^Γxsuch（a）c限制在fibre{x}×K是连续的，实际上，如果β>α，我们写[p，q]β：=1-β1-α[p，q]α+β-α1-αq和首先推导Wr（[p，q]α，[p，q]β）r≤β-α1-αWr（[p，q]α，q）r，通过最优传输相对于边缘的凸性。

迭代参数，我们发现WR（[p，q]α，[p，q]β）r≤ (β - α） Wr（p，q）r.24 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.PAMMER（b）y∈ 供应商（p）∩ K和zbδ（y）∩Kc（x，z）p（Bδ（y））∩ K） p（dz）→ δ和0的c（x，y）。证据在不丧失一般性的情况下，我们可以假设c是有界的。我们遵循[22]中的类似观点。为了说明这个想法，让我们先来看一下K Y是任何可测集，写cx（Y）：=c（x，Y）。cx{x}×k的连续性是指对于任何开集O R原图c-1x（O）∩ Kis在Y上的跟踪拓扑中打开∩ K、 对于任意半径α>0和开集O R、 我们可以在c周围考虑一个α-甜甜圈-1x（O），即￠A（α）：=ny∈ Y:z∈ c-1x（O）s.t.dY（y，z）<αO\\c-1x（O）。显然，~A（α）∪ c-1x（O）开路，c-1x（O）=（￠A（α）∪ c-1x（O））∩Ac（α），因此，c-1x（O）是▄Ac（α）的相对开子集。注意，对于任何p∈ P（Y），我们通过外正则性得到P（~A（α））随α消失。接下来，我们将上述推理充分推广到乘积空间X×Y和可数多个开集。用{Un}n表示∈在R上的拓扑的可数基础上，我们定义Y方向上的任意半径序列α=（αn）n∈N∈ 对于所有n，RN+，αn>0∈ N、 B（X×Y）-可测集a（α）：=[N∈Nn（x，y）∈ X×Y：（x，z）∈ c-1（Un）s.t.dY（y，z）<αno\\c-1（联合国）。我们同样看到c-1（联合国）∩ A（α）c∩ {x} ×Y在A（α）c中相对开放∩ {x} ×Y.作为{Un}n∈n在R上形成拓扑的基础，我们找到任何开集O R子集N NwithSn公司∈NUn=O，因此，c-1（O）∩ A（α）c∩ {x} ×Y=[n∈北卡罗来纳州-1（联合国）∩ A（α）c∩ {x} ×Y，在A（α）c中也相对开放∩ {x} x Y，因此c | A（α）c∩{x} ×Yi对所有x连续∈ 十、 Let（X，p，α）∈ X×P（Y）×RN+和αn>0（对于所有n）∈ N、 K：=项目（A（α）c∩ {x} ×Y）。我们已显示任何y∈ 补充（p | K），δ&0表示p（K∩ Bδ（y））p | K∩Bδ（y）→ δyin P（Y）。由于c在{x}×K上是有界的和连续的，我们有δ和0ZK∩Bδ（y）c（x，z）p（K∩ Bδ（y））p（dz）→ c（x，y）。

（6.2）对于任何（x，p）∈ X×P（Y）通过P的外正则性，我们得到了任意n∈ N和δ&0p纽约州∈ Y:z∈ c-1x（Un）s.t.dY（y，z）<δo→ pc-1x（Un）.因此，对于任何ε>0的情况，都有α∈ αn>0，n时的RN+∈ N这样p纽约州∈ Y:z∈ c-1x（Un）s.t.dY（y，z）<αno\\c-1x（Un）<εn，其中δx p（A（α））≤Xn公司∈Np公司纽约州∈ Y:z∈ c-1x（Un）s.t.dY（y，z）<αno< ε.setMε：=n（x，p，α）∈ X×P（Y）×RN+：δX p（A（α））<εosatis fies，近似于X×p（Y）Mε=X×p（Y）。我们声称（x，p，α）7→ δx p | A（α）c和Mε都是Borel可测量的：显然，α7→ A（α）满足下面引理6.4的要求，因此鞅最优输运和弱最优输运的函数稳定性25（x，y，α）7→ fA（x，y，α）：=A（α）（x，y）是Borel可测的。由此推导出（x，p，α）7的钻孔可测性→ δx p（{x}×B\\A（α））=ZB | 1- fA（x，y，α）| p（dy），对于每个B∈ B（Y），这就产生了我们的索赔。最后，我们可以定义^Γ：由于Γ是解析的，而Mε是Borel可测量的，所以集合Mε：=Mε∩ Γ×RN+再次是解析的。考虑解析集Θε：=n（x，p，α，y）∈ X×P（Y）×RN+×Y：（x，p，α）∈ MεΓs.t.y∈ supp（p），A（α）（x，y）=0o=MεΓ∩n（x，p，α，y）∈ X×P（Y）×RN+×Y:Y∈ supp（p），fA（x，y，α）=0o，其中，y允许一个可数基（Ok）k∈Nof其拓扑，wherebyy∈ 供应商（p）<==> k∈ N： p（正常）>0或y<正常。由于ε是解析的，所以它的X×Y投影也是解析的。因此，^Γ：=[k∈NprojX×YΘkis分析。回想一下，对于任何（x，p）∈ Γ和k∈ N有αk∈ (0, ∞)n带δxp（A（αk））<k.对于每k∈ N我们有p（^Γx）=δx p（^Γ）∩ X×supp（p））≥ δx p（{x}×{y∈ Y:fA（x，Y，αk）=0}）=1- δx p（A（αk））>1-k、 我们得出^Γ满足项目（i）。另一方面，如果（x，y）∈然后是k∈ N和（x，p，α）∈ 带（x，p，α，y）的MεΓ∈Θk.集k：=projY（A（α）c∩ {x} ×Y）∩ supp（p），注意{x}×{p}×{α}×K ε，表示K^Γx.召回（6.2）。

根据前面（6.2）段，我们得到了c{x}×K的连续性，并得出结论，第（ii）项满足。引理6.4。让A：RN+→ 对于任何α，β，B（X×Y）应给出s.t.（a）∈ RN+，α≤ β我们有A（α） A（β），（b）对于任何{αk}k∈N RN+，αkn%αn，n∈ N和α=（αN）N∈N∈ RN+，我们有A（αk）%A（α）。然后函数fa:X×Y×RN+→ R： （x，y，α）7→A（α）（x，y）是Borel可测的。证据函数fa是setA的指示函数：=n（x，y，α）∈ X×Y×RN+：（X，Y）∈ A（α）o=[α∈RNA（α）×{α}。我们证明A与Borel可测集A一致，A：=[q∈QA（q）×On∈N[qn，∞),其中Q：={α∈ QN+：n∈ N s.t.αk=0k≥ n} 。根据a的性质（a），我们推导出a A、 现在让（x，y，α）∈ A、 然后我们找到一个序列{qk}k∈N Q与qk%α和by（b），存在指数k∈ N使得（x，y）∈ A（qk）表示所有k≥ k、 因此，（x，y，α）∈ A（qk）×On∈N【qkn，∞)  A、 和A A、 因此，A是Borel可测集，fAa是Borel可测函数。在这一部分中，我们写α≤ β <==> αi≤ βi对于所有i.26 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer，我们通过展示Lebesguedecomposition定理的以下可测量变量来结束本节，引用示例5.2。提案6.5。设X上所有有限测度的空间M+（X）具有测度弱收敛的拓扑。然后mapT：M+（X）×M+（X）→ M+（X）×M+（X），（p，q）7→ （qac，p，qs，p），其中T（p，q）是q w.r.T.p的唯一Lebesgue分解，即qac，p+qs，p=q，qac，p p、 qs，p⊥ p、 是可测量的。证据本质上，我们定义了一系列可测函数：对于任何δ>0和∈ B（X）letFδ，A:M+（X）×M+（X）×B（X）→ R、 （p、q、B）7→q（A\\B）p（B）<δ，q（A）其他。（6.3）反过来，这允许我们将T（p，q）（A）定义为可测量函数的可数函数的极限。由于X是波兰的，因此在X上存在一个开集的可数族O，σ（O）=B（X）。

用R（O）表示由O生成的集合论环，它是不可数的。然后，对于任何ε>0，A∈ B（X）和p∈ P（X）有一个集合aε∈ R（O）使得p（A\\Aε∪ Aε\\ A）<ε。（6.4）使用经典Lebesgue分解定理，对于任何对（p，q）∈ M+（X）×M+（X）有一组▄B X，其中p（B）=0，qac，p（A）=q（A \\-B）A.∈ B（X）。根据[16，命题4.5.3]，我们得到了limδ和0supB∈B（X）：p（B）<δqac，p（B）=0，其中，qac，p（A）=limδ&0infB∈B（X）：p（B）<δqac，p（A\\B）=limδ和0infB∈B（X）：p（B）<δqac，p（A）\\（~B∪ B） ）+qs，p（A \\（▄B∪ B） ）=limδ和0infB∈B（X）：p（B）<δq（A\\B）=limδ和0infB∈R（O）：p（B）<δq（A\\B），其中我们使用近似性质（6.4）作为最后一个等式。因此FA:M+（X）×M+（X）→ 定义的byFA（p，q）：=qac，p（A）=infδ和0inf{B∈B（X）：p（B）<δ}q（A\\B）=limk→∞infB公司∈R（O）Fk，A（p，q，B）（6.5）是Borel可测量的，并且作为A∈ B（X）是任意的，我们得出结论，T是可测的。参考文献【1】B.Acciaio、J.Backho Off和A.Zalashko。因果最优运输及其与扩大过滤和连续时间随机优化的联系。随机过程及其应用，130（5）：2918–29532002。[2] A.Alfonsi、J.Corbetta和B.Jourdain。凸阶概率测度的抽样与鞅最优运输问题的逼近。2017年，SSRN 3072356提供。[3] A.Alfonsi、J.Corbetta和B.Jourdain。利用Wasserstein投影对凸阶概率测度进行抽样。亨利·庞加莱研究所年鉴《概率与统计》，第56卷，1706-1729页。亨利·彭加勒研究所，2020年。[4] J.-J.Alibert、G.Bouchitt\'e和T.Champion。优化运输规划的一类新成本。《欧洲应用数学杂志》，30（6）：1229–12632019。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性27[5]J.Backho ff，D.Bartl，M.Beiglb¨ock和E.Manu。

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