A、 B、C表示从量化回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通的最小二乘回归模型。从左至右，子图报告以下统计数据的箱线图：平均值（a）、标准偏差（b）、平均绝对偏差（c）、10%（d）水平的风险值、α=0.1（e）时的α-风险、bψ（rp，ψ）（f）、bψ（rp，ψ）（g），ψ=0.9，夏普比率（h）。普通最小二乘模型提供了最低的标准差，有（图5（b））和无（图4（b））惩罚，正如预期的那样，因为其目标函数由投资组合方差给出。如第2.1节所述，在假设E【Rp】=0且ξ（0.5）=0的情况下，中值回归使投资组合平均绝对偏差最小化。这样的结果在QR（0.5）中是清楚的（图4（c））；当我们强加l-与其他分位数回归模型相比，范数惩罚P QR（0.5）仍然提供了最低的MAD，但其表现优于LASSO（图5（c））。如果我们强加l-在中位数回归中，我们希望获得一个具有两个特征的投资组合：低平均绝对偏差和稀疏性，即活跃头寸数量有限。然后，在中值回归不受惩罚的情况下，获得稀疏投资组合的进一步目标可能需要在更高的MAD方面付出代价，即当关注点仅放在方程式（16）中定义的数量的最小化上时。在α-风险的情况下也会出现同样的现象：在θ=0.1时应用的分位数回归模型在不受惩罚时提供最佳结果（图4（e）），但当我们施加l-定额罚款（图5（e））。

就风险价值而言，没有系统性优于其他策略的策略；事实上，基于VaR的排名并没有很好的定义，它取决于数据集的不同，我们在其他情况下获得了非常相似的结果，可根据要求提供。图5：通过施加l-标准普尔500指数成分股的收益率系列。窗口大小为500个观测值的滚动分析。A、 B、C表示从分位数回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示有序最小二乘回归模型。从左至右，子图报告以下统计数据的箱线图：平均值（a）、标准偏差（b）、平均绝对偏差（c）、10%（d）水平的风险值、α=0.1（e）时的α-风险、bψ（rp，ψ）（f）、bψ（rp，ψ）（g），ψ=0.9，夏普比率（h）。窗口大小。关于夏普比率（图4（h）-5（h）），最低方差值允许Wols和LASSO排名靠前，即使它们平均不会产生显著的投资组合回报，如图4（a）-5（a）所示。此外，当我们关注平均回报时，没有任何策略系统地支配其他策略。最后，在HBψ（rp，0.9）和Bψ（rp，0.9）（子图（f）和（g））方面，分位数回归在θ=0.9时始终优于其他策略。分析样本内结果后，重要的是检查它们是否在样本外得到证实。样本外分析的关键作用在于，它指的是投资者从金融投资组合中获得的实际表现。

现在我们比较了普通的Leatsquares和分位数回归（应用于θ={0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9}）模型，有无l-标准惩罚，在图6-9中仅显示了在ws=1000的情况下运行Rolling方法得到的结果；类似的结果适用于ws=500。与样本内预期一致，普通最小二乘回归模型记录的样本外标准偏差最低。这个l-标准惩罚意味着所有策略的重要改进。尽管分位数回归模型在中心θ值的M AD方面工作得更好，正如预期的那样，有序最小二乘模型记录的平均绝对偏差最低；需要注意的是l-标准惩罚降低了所有策略的MAD（图6（b）-7（b））。当我们分析风险价值时l-范数惩罚带来了好处。在大多数情况下，理论最小二乘模型优于分位数回归模型，主要是在它们不存在的情况下。图6：由普通最小二乘法（有套索）和无套索（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-标准惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-正常惩罚）模型。这些策略应用于标准普尔100指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑了以下指标：标准偏差（a）、平均绝对偏差（b）、风险值（c）和10%水平的α-风险（d）。图7：由普通最小二乘法（有套索）和无套索（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-标准惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-正常惩罚）模型。

这些策略应用于标准普尔500指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑了以下指标：标准偏差（a）、平均绝对偏差（b）、风险值（c）和10%水平的α-风险（d）。受到处罚。这个l-标准惩罚允许减少该差距，并且（参见图6（c）-7（c））在中高θ值下由P QR（θ）执行套索。样本外α-风险的行为随样本内情况而变化，如图6（d）-7（d）所示。事实上，分位数回归模型，无论有无惩罚，在低水平上都会产生令人失望的结果。这个l-标准惩罚非常有效，因为它减少了所有策略对α风险的暴露。LASSO被评为最佳策略，分位数回归模型在中心水平上效果更好。关于可支持性，高水平应用的分位数回归模型提供了图8：由普通最小二乘法（有（套索）和无（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-标准惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-正常惩罚）模型。这些策略应用于标准普尔100指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑了以下度量：ψ=0.9时的bψ（rp，ψ）（a）和bψ（rp，ψ）（b），平均值（c）和S harpe比（d）。图9：由普通最小二乘法（有套索）和无套索（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-标准惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-正常惩罚）模型。

这些策略应用于标准普尔500指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑了以下度量：ψ=0.9时的bψ（rp，ψ）（a）和bψ（rp，ψ）（b），平均值（c）和S harpe比（d）。突出样本结果，始终符合样本中的期望。如果通过使用相对于投资组合维度而言不太大的样本量（即ws=500和n=452）来估计投资组合权重，则当量化回归模型未正则化时，bψ（rp，0.9）和bψ（rp，0.9）在θ上没有表现出明显的趋势，如图8（a）-（b）和图9（a）-（b）之间的比较所示。不同的是，当我们施加l-标准惩罚，同样适用于标准普尔500指数数据集。从平均收益率和夏普比率得出了类似的结论。特别是，在S&P 100数据集的情况下，在高θ水平应用的分位数回归模型产生了最好的性能，无论有无惩罚，P QR（0.9）优于所有其他策略（参见图8（c）-（d））。在S&P500数据集的情况下，θ=0.9的分位数回归模型只有在与l-定额罚款。为了分析每个策略产生的投资组合价值的趋势超时，我们假设初始财富等于100美元，并根据样本外的投资组合回报将其从ws+1更新为T。

在标准普尔100指数的情况下，分位数回归模型在θ=0.9时不仅提供了最高的最终财富，而且随着时间的推移，它还主导了其他策略；不同的是，在标准普尔500指数数据集的情况下，当我们采用l-定额罚款（见图10）。图10：由普通最小二乘法（有（套索）和无（OLS）构建的策略产生的投资组合价值的演变l-标准惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-规范惩罚，对于θ={0.1，0.5，0.9}）模型。子图根据使用的数据集和回归模型应用与否的事实报告了不同的结果l-定额罚款。滚动分析的窗口大小为1000个观测值。如上所述，如果不进行规范化，大型投资组合会受到投资组合权重不断变化的影响，并对交易费用产生负面影响。因此，营业额成为一个问题，特别是对于分位数回归模型（图11）。这个l-范数惩罚允许获得稀疏的投资组合，随着时间的推移，其权重保持稳定，所以它在转换控制方面非常有效。事实上l-在所有分析的案例中，定额罚款导致营业额急剧下降。分位数回归模型是从正则化中获益最多的模型，因为OLS和QR（θ）之间的显著差距缩小到几乎不相关。要总结样本外的结果l-定额罚款调整了投资组合权重，对营业额产生了显著的积极影响。此外，它还显著改善了投资组合和可操作性。

一般来说，普通的最小平方模型被证明是风险方面的最佳策略，因为它意味着最低水平的波动性和极端风险；分位数回归模型在中心θ值下效果更好。在低θ值下应用的分位数回归在样本期望的极端ris k方面产生了不令人满意的结果；不同的是，当我们分析投资组合的可操作性和风险调整后的回报时，它提供了出色的性能图11：根据普通最小二乘法（带套索）和不带套索（OLS）构建的策略的周转率l-标准惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-标准惩罚）模型。该策略适用于标准普尔100指数（子地块（a））和500指数（子地块（b））的收益序列。滚动分析的窗口大小为1000个观测值。高θ级性能。对2004年11月4日至2014年11月21日的数据进行了实证分析。这些年的特点是发生了特殊事件，即起源于美国、以2008年9月雷曼兄弟违约为标志的次贷危机，以及几年后袭击欧元区的主权债务危机。这些事件对金融市场产生了深远的影响，因此，检查它们是否影响所考虑的资产配置战略的绩效非常重要。此外，通过这种方式，我们可以分析战略的绩效是否以及如何取决于市场状态：以金融动荡为特征的状态和相对平静的状态。为此，我们将样本外投资组合收益序列分为两个子期。

当窗口大小等于1000时，第一个子时段为2008年7月31日至2011年10月31日，而它涵盖了2006年10月31日至2010年10月31日之间的天数，atws=500。考虑到与上述危机的接近程度，我们可以将这一子时期与金融动荡状态联系起来。第二阶段包括截至2014年11月21日的剩余天数。正如预期的那样，与第一个子周期相比，第二个子周期的策略记录了更好的样本外绩效，如表2所示，其中我们报告了从标准普尔500数据集获得的结果，应用了1000个观测值的滚动程序。与对整个样本的分析类似，在这两个子周期中，普通Leatsquares回归几乎总是记录了最佳的风险表现，通过标准偏差、平均绝对偏差、风险值和α-风险进行评估。