（E.20）！！！！！！！≤!o!!!o !!! o!!=!!!!! o!!.                                                     （E.21）施加n → ∞  关于方程（E.19）-（E.21），可以得到方程（E.10）-（E.12）。□     通过使用定理1，很容易计算：lim!→!μ = -!*!*= μ*.                                                                                       （E.22）方程式（E.22）表明，如果没有约束x ≥ μ,  然后估计μ  是一致的。然而，约束的存在x ≥ μ  可能导致估价不一致μ.    截断示例现在让我们恢复约束x ≥ μ.  自约束之后x ≥ μ  保持不变，我们试图构造μ. 为此，我们不妨假设μ  已经存在。因此，完整数据的截断x!  可以写为：x!≥ μ,                                                                                        （E.23）其中j = g*, g*+ 1, … , ∞.    使用截断数据（E.23），方程（4）可以写成：y!= βx!+ α + ε!,                                                                                        （E.24）x!≥ μ,                                                                                                             （E.25）其中β = -!!,  α =!!,  和ε!~N 0, σ!  对于k = g*, g*+ 1, … , ∞ .  在这里β   和α   are24“通过回归获得y!!!!*!  在…上x!!!!*!. 因此，方程式（E.24）和（E.25）的样本估计得出：y!= β!x!+ α!,                                                                                                  （E.26）x!≥ μ!,                                                                                                            （E.27）其中i = g, g + 1, … , n  和g = g n .

在这里x!!!!!  和y!!!!!  表示截断样本。值得强调的是g*  和g = g n   尚未确定。根据方程（E.26）的最小二乘估计，我们得到：β!=!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,                                                                                    （E.28）α!= y!- β!x!,                                                                                             （E.29）其中x!=!!!!!!x!!!!!  和y!=!!!!!!y!!!!!. 本节的主要目的是得出估算值μ!. 假定g*< ∞, 因此，我们将得到以下定理和命题：定理2：假设ε!  是i.i.d。N 0, σ!. 如果有lim!→!X!*!X!*!!= 0, 然后有：lim!→!β!*= β,                                                                                            （E.30）lim!→!α!*= α,                                                                                              （E.31）其中X!*=x!*··· x!1.··· 1.证据与定理1相同。□“”提案2：lim!→!X!*!X!*!!= 0.  “”“证明。与命题1相同。□“符合方程式（E.4）的形式，μ!  可定义为：μ!= -!!!!.                                                                                                         （E.32）现在我们开始推导保证估计有效性的一致条件（E.32）。将等式（E.29）代入（E.32）得到：25“”μ!= x!-!!!!,                                                                                                 （E.33），保证方程式（E.26）的约束已施加在估算（E.32）上。另一方面，方程式（E.27）表明：x!> μ!+ δ,                                                                                                     （E.34）我们使用假设（b）和δ > 0

将方程式（E.33）插入方程式（E.34）中的产量：！！！！>δ > 0，（E.35），这保证了方程式（E.27）的约束已施加在估算（E.32）上。因此，我们可以得到本附录的核心命题如下：命题3：对于严格单调递增序列x!!!!!, 如果存在整数g = g n   保证：（A）。x!!!< μ < x!  或x!= μ, 哪里i = g < n  和lim!→!!!= 0;    （B） .！！>δ > 0表示任何n; 然后有：lim!→!μ!= lim!→!x!-!!!!= μ,                                               （E.36）其中g  由唯一确定n  和g < ∞. 这意味着：lim!→!g = g*.                                                                       （E.37）为了验证命题3，我们需要证明以下四个引理：引理1：如果ξ!!!!!  是单调序列，如果ξ!< ∞  对于任何i, 然后有：lim!→!ξ!= ξ,                                                                                                   （E.38）其中ξ < ∞.     证据参见Rudin（1976）中的定理3.14。□  引理2：对于序列ξ!!!!!, 如果lim!→!ξ!= ξ, 然后有：lim!→!!!ξ!!!!!= ξ.                                                                                       （E.39）证明。自从lim!→!ξ!= ξ, 根据极限的定义，对于每ε>0，总是存在一个正整数N  所以当k > N, 其中一个具有：ξ!- ξ <!!.

（E.40）26“为了验证方程（E.39），我们只需要证明：lim!→!!!ξ!!!!!- ξ = 0;                                                                              （E.41）也就是说，对于每ε>0，总是存在一个正整数N!  所以当n > N!, 其中一个有：！！ξ!!!!!- ξ < ε.                                                                                             （E.42）很容易计算：！！ξ!!!!!- ξ     =!!ξ!- ξ + ξ!- ξ!!!!!!!!!!    ≤!!ξ!- ξ!!!!+!!ξ!- ξ!!!!!!.                                                        （E.43）因为lim!→!ξ!= ξ,  很容易验证ξ!< ∞  和ξ < ∞.  因此max!ξ!- ξ < ∞. 因此，由于j > N, 方程式（E.43）可写成以下形式：！！ξ!!!!!- ξ                                               ≤!!max!ξ!- ξ + !!!!!! <!!max!ξ!- ξ +!!.                                                                                       （E.44），其中我们使用了方程式（E.40）。很容易计算lim!→!!!max!ξ!- ξ = 这意味着对于每一个ε>0，总是存在一个正整数N!  所以当k > N!, 其中一个有：！！max!ξ!- ξ <!!.                                                                                   （E.45）我们点菜吧N!= max N, N!;  因此，将方程（E.45）代入方程（E.44），我们得出结论，对于每一个ε>0n > N!, 始终保持不变：！！ξ!!!!!- ξ < ε. □    引理3：如果lim!→!!!= 0，其中一个具有：lim!→!x!= lim!→!x = x,    lim!→!y!= lim!→!y = y, 哪里x = lim!→!x!  和y = β*x + α*.     证据我们首先验证lim!→!x!= lim!→!x.

很容易检查：x =!!x!!!!!=!!x!!!!!!!+!!!!!!!!!!!!x!!!!!=!!x!!!!!!!+!!!!!!x!.27“（E.46）自lim!→!!!= 0，强制n → ∞  根据方程式（E.46），可以得出：lim!→!x!= lim!→!x, 我们使用过的地方x!< ∞.    由于假设（a）和（b）成立，使用引理1可以得到：lim!→!x!= x.  这意味着通过使用引理2，可以得到lim!→!x = x.  因此，我们验证lim!→!x!=lim!→!x = x.    现在我们开始验证lim!→!y!= lim!→!y = y.    基于方程（E.46）中的相同技术，通过假设（a），我们可以验证lim!→!y!= lim!→!y. 通过使用方程式（E.1），可以得出：y = β*x + α*+ ε,                                                                                                  （E.47）其中ε =!!ε!!!!!.    假设（c）ε!  是i.i.d。N 0, σ!, 因此，利用大数定律，很容易得到：lim!→!ε = E ε!x!, … , x!= 0。（E.48）因此，将方程式（E.48）替换为方程式（E.47）会导致：lim!→!y = β*lim!→!x + α*+ lim!→!ε = β*x + α*. □  引理4：如果lim!→!!!= 0，其中一个具有：lim!→!β!= lim!→!β = β = β*.                                                                           （E.48）lim!→!α!= lim!→!α = α = α*.                                                   （E.49）证据。这里，我们仅验证方程式（E.48）。通过同样的技术，可以验证方程（E.49）。很容易检查：β =!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!=!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.                                （E.50）施加n → ∞  根据方程式（E.50），可以得出：lim!→!β =!\"#!→!!!!!!! !!!!!!!!!\"#!→!!!!!!!!!!!!. =!\"#!→!!!!!!!\"#!→!! !!!!\"#!→!!!!!!!\"#!→!!!!!!!\"#!→!!!!!!!,                                          （E.51）28英寸x!< ∞,  y!< ∞  和lim!→!!!= 0

使用引理3，方程（E.51）可以改写为：lim!→!β =!\"#!→!!!!!!!\"#!→!!!!!!!\"#!→!!!!!!!!\"#!→!!!!!!!\"#!→!!!!!!!!.         = lim!→!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = lim!→!β!.                                                 （E.52）因为g*< ∞,  通过推导方程（E.52）的相同方法，我们可以得到：lim!→!β = lim!→!β!*.    另一方面，根据定理1lim!→!β = β*  根据定理2lim!→!β!*= β. 因此，我们得出结论，方程式（E.48）成立。□     现在我们开始验证命题3。命题3的证明。壮观的n → ∞  根据方程式（E.33），可以得出：lim!→!μ!= lim!→!x!-!\"#!→!!!!\"#!→!!!.                                                             （E.53）使用引理1-4，方程式（E.53）等于：lim!→!μ!= x -!!.                                                                                        （E.54）我们知道μ = -!!.  （E.55）施加n → ∞  根据方程式（E.29），可以得出：α = y - βx.                                                                                                                （E.56）将方程式（E.55）和（E.56）代入方程式（E.54）得出：lim!→!μ!= x -!!= μ.                                                                                            （E.57）因为！！！！>δ > 0表示任何n, 通过引理3和引理4，我们得到：lim!→!!!!!=!!≥ δ > 0。（E.58）因此，根据方程式（E.57），我们必须得出以下结论：μ < x < ∞,                                                                                                       （E.59）我们使用x!< ∞.    自从x!!!< μ < x!  或x!= μ, 根据假设（b），我们有：29”“0≤ μ < x < ∞.

现在我们进一步验证，对于给定的n,  没有其他人了g!≠ g  为了保证x!!!!< μ < x!!  或x!!= μ. 我们从两个案例来讨论这一点。首先，如果x!!!!< μ <x!!  我们必须得出结论x!!!< μ < x!!  和x!!!!< μ < x!. 对于这种情况，我们不妨假设g!> g,  假设（b）导致x!!> x!.  这意味着x!≤ x!!!, 与假设相矛盾（b）。同样，我们可以反驳g!< g. 第二，如果x!!= μ  和g!≠ g, 然后根据假设（b），矛盾发生了。总之，我们必须得出结论g!= g. 最后，我们验证g < ∞.  如果g = ∞,  通过x!!!< μ < x!  或x!= μ,  我们必须得出结论lim!→!x!= μ = x, 这与μ < x < ∞.   根据以上结果，我们应该lim!→!g = g*. 要看到这一点，我们不妨假设lim!→!g > g*.  然后，通过x!!!< μ = x!*< x!,  一个有lim!→!g - 1 = g*, 这与x!\"#!→!!!!< x!*, 我们使用过的地方g < ∞. □30“F。