（4.3）对于p=4（p=2的情况类似），|δ（n）x |u（n）IJ（t）≤ C | J（n）（r）|+C（t- r） ZtrkD（n）（s）kDds+CXi∈一、 j∈JZtr |δ（n）x | n（n）ij（ds）+CXi公司∈一、 k级∈KZtrZRZRδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）andkδ（n）vλ（n）IK（t，·）kL≤ C | J（n）（r）|+C（t- r） ZtrkD（n）（s）kDds+CXi∈一、 j∈JZtr |δ（n）x | n（n）ij（ds）+CXi公司∈一、 k级∈KZtrZRZRδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）,其中，N（ds）和M（ds，dy，dz）分别是N（ds）和M（ds，dy，dz）的补偿随机测度。Burkholder-Davis-Gundy不等式、Cauchy-Schwarz不等式和H¨older不等式，EFrZtr |δ（n）x | n（n）ij（ds）≤ CEFr公司Ztr |δ（n）x | n（n）ij（ds）= CEFr公司Ztr |δ（n）x |u（n）ij（s）ds+Ztr |δ（n）x | n（n）ij（ds）≤ CEFr公司Ztr |δ（n）x |u（n）ij（s）ds+ CEFr公司Ztr |δ（n）x | n（n）ij（ds）≤ CEFr公司Ztr |δ（n）x |u（n）ij（s）ds+ CEFr公司Ztr |δ（n）x |u（n）ij（s）ds≤ CZtrEFrh |δ（n）x |u（n）ij（s）|+|δ（n）x |u（n）ij（s）idsandfrZtrZRZRδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）≤ CEFr公司ZtrZRZR |δ（n）v | M（n）ik（ds，dy，dz）≤ CZtrEFrhk |δ（n）v |λ（n）ik（s，·）kL+k |δ（n）v |λ（n）ik（s，·）kLids。因此，EFrhkD（n）（t）kDi≤ C | J（n）（r）|+C（t- r） ZTRFRHKD（n）（s）kDids+CZtrEFrh |δ（n）x |u（n）ij（s）+δ（n）x |u（n）ij（s）ids+CZtrEFrhk |δ（n）v |λ（n）ik（s，·）kL+k |δ（n）v |λ（n）ik（s，·）kLids≤ C | J（n）（r）|+CZtrEFrhkD（n）（s）KDID。现在，第一个结果来自Gr¨onwall的不等式。第二个结果遵循fr om（4.1）-（4.2）以及r=0的第一个结果。

以下J（n）（t）增量的条件矩估计直接来自上述证明，因此省略。命题4.2存在一个常数C>0，因此对于任何0≤ r≤ t型≤ T和p∈ {1，2，4}EFrh | J（n）（t）- J（n）（r）| pi≤ C | J（n）（r）| p | t- r |和Eh | J（n）（T）| pi≤ C、 使用引理4.1证明中的sa me参数，下面的漂移矩估计来自条件2.11 i）。命题4.3存在一个常数C>0，因此对于任何0≤ r≤ t型≤ T和I∈ I havefrh |β（n）I（t）| I≤ C | J（n）（r）|和Ehsupt∈[0，T]|β（n）I（T）| I≤ C、 接下来，我们建立被动订单到达强度的矩估计。引理4.4存在一个常数C>0，因此对于任何0≤ r≤ t型≤ T和p∈ {2，4}EFrhkδ（n）vλ（n）IK（t，·）kpLpi≤ C | J（n）（r）|和Ehsupt∈[0，T]kδ（n）vλ（n）IK（T，·）kpLpi≤ C、 证明。这里我们用p=4来证明这个结果。根据条件2.12 i）和H¨older不等式，我们得到了ZrZtψIK，ij（x，t- s） |δ（n）x | n（n）ij（ds）dx公司≤ZtZR |ψIK，ij（x，t- s） | dx |δ（n）x | n（n）ij（ds）×Zt |δ（n）x | n（n）ij（ds）≤Zt |δ（n）x | n（n）ij（ds）andZR公司ZtZRZRψIK，IK（x，y，t- s） δ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）dx公司≤ZtZRZRZR |ψIK，IK（x，y，t- s） | dxδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）×ZtZRZRδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）≤ZtZRZRδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）.通过（2.13）和Cauchy-Schwarz不等式，kδ（n）vλ（n）IK（t，x）kL≤ C+CXi∈一、 j∈JZt |δ（n）x | n（n）ij（ds）+CXi公司∈一、 k级∈KZtZRZRδ（n）vM（n）ik（ds，dy，dz）≤ C | J（n）（t）|。现在期望的结果如下引理4.1的证明。体积密度函数的条件矩估计使用以下观测值。自从（n） （十）-P（n）a（s）（y）=1（n） （y+P（n）a（s））（x），x，y∈ R、 它遵循Fubini定理，对于任何可积函数g（y），ZRZ（n） （十）-P（n）a（s））g（y）dydx=ZRZRg（y）1（n） （十）-P（n）a（s）（y）dydx=ZRZRg（y）1（n） （y+P（n）a（s））（x）dydx=ZRg（y）dyZR（n） （y+P（n）a（s））（x）dx=δ（n）xZRg（y）dy。

（4.4）引理4.5存在一个常数C>0，因此对于任何0≤ r≤ t型≤ T和I∈ 一、 EFr公司kVI（t，·）kL≤ C[千伏（n）I（r，x）kL+| J（n）（r）|]和E“支持∈[0，T]kVI（T，·）kL#≤ C、 证明。由于（2.19）中第三个方程右侧的第三项是非正的，而V（n）a（t，x）始终是非负的，因此从H¨older不等式得出| V（n）a（t，x）|≤ C | V（n）a（r，x）|+CZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s））α（n）aLδ（n）vδ（n）xλnaL（s，y）dsdy+CZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s））ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）≤ C | V（n）a（r，x）|+C |αaL |δ（n）x | t- r | ZtrZ（n） （十）-P（n）a（s））δ（n）vλnaL（s，y）dyds+CZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s））ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）.根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，存在一个常数C>0，使得EFR“ZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s））ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）#≤ CEFr“ZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s））ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1)M（n）aL（ds、dy、dz）#≤ CEFr“ZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s））δ（n）vδ（n）xλ（n）aL（s，y）dyds#≤ C |δ（n）v | |δ（n）x | | t- r | EFr“ZtrZ（n） （十）-P（n）a（s））|δ（n）vλ（n）aL（s，y）| dyds#+CEFr“ZtrZ（n） （十）-P（n）a（s））δ（n）vδ（n）xλ（n）aL（s，y）dyds#。根据（4.4）a和Fubini定理，EFr千伏安（t，·）kL≤ CkV（n）a（r，x）kL+C |αaL | t- r | ztrefhkδ（n）vλnaL（s，·）kLids+Cδ（n）vδ（n）x|t型- r | ztrefhkδ（n）vλ（n）aL（s，·）kLids+Cδ（n）vδ（n）xztrefhkδ（n）vλ（n）aL（s，·）kLids。现在，第一个结果来自引理4.1和引理4.4。第二个结果来自：E“supt∈[0，T]kVa（T，·）kL#≤ CkV（n）a（0，x）kL+CE“ZRZTZ公司（n） （十）-P（n）a（s））ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）dx公司#≤ CkV（n）a（0，x）kL+CXp∈{1,2,4}ZTEhkδ（n）vλnaL（s，·）kpLpids≤ C4.2增量的矩估计我们开始证明状态过程增量的矩估计。

我们将（2.4）-（2.5）改写为P（n）a（t）=P（n）a（0）+Zthρ（n）bM（S（n）（S））β（n）a（S）+（n） a（S（n）（S））|δ（n）x |u（n）aL（S）ids+Ztδ（n）x￠n（n）bM（ds）-Ztδ（n）xn（n）aL（ds），V（n）a（t，x）=V（n）a（0，x）+ZtZ（n） （十）-P（n）a（s）-))ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）+ZtZ（n） （十）-P（n）a（s）-))ZR+δ（n）vδ（n）xV（n）a（s-, y+P（n）a（t））（e-z- 1） M（n）aC（ds、dy、dz）+ZtZ（n） （十）-P（n）a（s））δ（n）vδ（n）xhαaLλaL（s，y）+αaCV（n）a（s，y+P（n）a（t））λaC（s，y）idsdy，以类似方式重写P（n）b（t）和v（n）b（t，x）。引理4.6存在一个常数C>0，因此对于任何0≤ r≤ t型≤ 特弗克斯（n）（t）- S（n）（r）kSi≤ CXI∈IkV（n）I（r，x）kL+| J（n）（r）|（| t- r |+| t- r |）和Hsupt∈[0，T]kS（n）（T）kSi≤ C、 证明。这需要证明第一个不等式，因为第二个不等式与第一个不等式直接相关，r=0和（2.8）。

根据引理4.1和命题4.3，我们得到了efrh | P（n）a（t）- P（n）a（r）| i≤ C（t- r） ZtrEFr公司|β（n）a（s）|+|δ（n）x |u（n）aL（s）ds+CEFrZtrδ（n）xn（n）bM（ds）+ CEFr公司Ztrδ（n）xn（n）aL（ds）≤ C（t- r） ZtrEFrh |β（n）a（s）+|δ（n）x |u（n）aL（s）| ids+CZtrEFrh |δ（n）x |u（n）bM（s）+δ（n）x |u（n）aL（s）ids≤ C | J（n）（r）|（| t）- r |+| t- r |）。此外，根据马尔可夫不等式，| V（n）a（t，x）- V（n）a（r，x）|≤ 计算机断层扫描- rδ（n）xZtrZ（n） （十）-P（n）a（s））|δ（n）vλ（n）aL（s，y）| dyds+Ct- rδ（n）xZtrZ（n） （十）-P（n）a（s））| V（n）a（s）-, y+P（n）a（t））| |δ（n）vλ（n）aC（s，y）| dsdy+CZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s）-))ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）+CZtrZ公司（n） （十）-P（n）a（s）-))ZR+δ（n）vδ（n）xV（n）a（s-, y+P（n）a（t））（e-z- 1） ~M（n）aC（ds、dy、dz）.HenceEFrhkV（n）a（t，·）- V（n）a（r，·）kLi≤ C | t- r | ztrefhkδ（n）vλ（n）aL（s，·）kL+kV（n）a（s，·+P（n）a（t））δ（n）vλ（n）aC（s，·）kLids+Cδ（n）vδ（n）xztrefhkδ（n）vλ（n）aL（s，y）kL+k | v（n）a（s，·+P（n）a（t））|δ（n）vλ（n）aC（s，·）kLids≤ C | t- r | ztrefhkδ（n）vλ（n）aL（s，·）kL+kδ（n）vλ（n）aC（s，·）kL+kV（n）a（s，·）kLids+Cδ（n）vδ（n）xztrefhkδ（n）vλ（n）aL（s，y）kL+kδ（n）vλ（n）aC（s，·）kLids+kV（n）a（s，·）kLids≤ C[千伏（n）a（r，x）kL+| J（n）（r）|]（| t- r |+| t- r |）。最后一个不等式来自引理4.1、4.4和4.5。对于其他项，我们可以得到类似的结果。总之，EFrhkS（n）（t）- S（n）（r）kSi≤ ChXI公司∈IkV（n）I（r，x）kL+| J（n）（r）| I（| t- r |+| t- r |）。第二个结果可以用引理4.5的证明中类似的参数来证明。从（2.16）中，存在一个序列{γn}n≥ 1消失为n→ ∞, 这样的支持∈[0，T]，y∈R |κ（n）（y，t）- κ（y，t）|≤ γn引理4.7存在一个常数C>0，使得对于任何0≤ r≤ t型≤ TEFrhkD（n）（t）- D（n）（r）kD1,2i≤ ChXI公司∈IkV（n）I（r，·）kL+| J（n）（r）| I[γn+| t- r |+| t- r |]。证据这里我们只处理EFr[kD（n）（t）- D（n）（r）kD）。